Jawab untuk Jaya Pahang 2006

8/7/2019 Jawab untuk Jaya Pahang 2006

1/59

MATEMATIK TAMBAHAN

FORMAT | ANALI SIS | SET SOALAN & J AWAPAN | LATIHAN

ila pilih menu:-


2/59

FORMAT INSTRUMEN PENTAKSIRAN

MATEMATIK TAMBAHAN SPMMULAI TAHUN 2003

Bil Perkara Kertas 1 (3472/1) Kertas 2 (3472/2)1 Jenis Instrumen Ujian Objektif Ujian Subjektif

2 Jenis Item Objektif

(Respons Diberi)

Bahagian A

(Respons terhad dan struktur)

Bahagian B


Bahagian C


3 Bilangan Soalan 25 soalan (JAWAB SEMUA) Bahagian A6 soalan (Jawab SEMUA)

Bahagian B5 soalan (Pilih EMPAT)

Bahagian C4 soalan

(2 soalan daripada Pakej AST, 2

soalan daripada Pakej ASS)

(Pilih DUA)

4 Jumlah Markah 80 100

5 Tempoh Ujian 2 jam 2 jam 30 minit

6 Wajaran

Konstruk

Pengetahuan - 20%

Kem. Manipulasi - 80%

Kemahiran

Mengaplikasi

Menyelesaikan Masalah - 40 %

7 Cakupan Konteks Mencakupi semua B.P. T4-5 Mencakupi semua B.P. T4-5

R : S : T = 6 : 3 : 1 R : S : T = 4 : 3 : 38 Aras Kesukaran

Rendah - R

Sederhana - S

Tinggi - T

Keseluruhan

R : S : T = 5 : 3 : 2

9 Alatan Tambahan

a. Kalkulator Saintifik

b. Buku Sifir Matematik

c. Alatan Geometri

a. Kalkulator Saintifik

b. Buku Sifir Matematik

c. Alatan Geometri


3/59

KERTAS 1 KERT

Bahagian A Bahagian B Bahagia

TAJUK 2003 2004 2005 2003 2004 2005 2003 2004 2005 2003 2004 2005

T 1 Fungsi 1, 2 1,2,3 1,2,3

I 2 Persamaan Kuadratik 3 4 4,5

N 3 Fungsi Kuadratik 4 5,6 6 2

G 4 Persamaan Serentak 1 1 1

K 5 Indeks dan Logaritma 5, 6 7,8 7,8,9

A 6 Geometri Koordinat 9, 11 14,15 14 2 11 9

T 7 Statistik 23 5 4 4

A 8 Sukatan Membulat 19 19 18 4 9 10

N 9 Pembezaan 15,16 20,21 19,20 3 5b 2a 9a 10a 8a

4 10 Penyelesaian Segi Tiga 15 13 12

11 Penggunaan Nombor Indeks 13 12 13

T 1 Janjang 7,8 ,10,11,12 10,11,12 6 3

I 2 Hukum Linear 10 13 13 7 7 7

N 3 Pengamiran 17,18 22 21 5a 2b 9b 10b 8b,c

G 4 Vektor 12, 13, 14 16,17 15,16 6 6 8

K 5 Fungsi Trigonometri 20, 21 18 17 3 5 8

A 6 Pilihatur dan Gabungan 22, 23 23 22

T 7 Kebarangkalian Mudah 24 24

A 8 Taburan Kebarangkalian 24, 25 25 25 10 11 11

N 9 Gerakan Pada Garis Lurus 12 15 15

5 10 Pengaturcaraan Linear 14 14 14

JUMLAH 25 25 25 6 6 6 5 5 5 4 4 4

Catatan :

Kertas 1 : Jawab semua soalan.

Kertas 2 : Jawab semua soalan dalam Bahgian A, empat soalan dalam Bahagian B dan

dua soalan dalam Bahagian C.

F.H.LAN

MATEMATIK

TAMBAHAN (3472)

SPM


4/59

Rumus-rumus berikut boleh digunakan untuk membantu anda menjawab soalan. . Simbol-

simbol yang diberi adalah yang biasa digunakan.

ALGEBRA

1 x =a

acbb2

4

2

2 am

an

= am + n

3 am

an

= am - n

4 (am

)n

= anm

5 logamn = log am + logan

6 logan

m

= log am - logan7 logam

n= n log am

8 logab = a

b

c

c

log

log

9 Tn = a + (n-1)d

10 Sn = ])1(2[2

dnan

+

11 Tn = arn-1

12 Sn =r

ra

r

rann

=

1

)1(

1

)1(, (r 1)

13r

aS

=1

, r


5/59

SULIT 3472/2

[ Lihat sebelah

3472/2

2

STATISTIK

1 Panjang lengkok,s = j

2 Luas sektor , L = 2

2

1j

3 sin2A + kos

2A = 1

4 sek2A = 1 + tan

2A

5 kosek2

A = 1 + kot2

A

6 sin2A = 2 sinAkosA

7 kos 2A = kos2A sin

2A

= 2 kos2A-1

= 1- 2 sin2A

8 tan2A =A

A2tan1

tan2

TRIGONOMETRI

9 sin (A B) = sinAkosB kosAsinB

10 kos (A B) = kos AkosB sinAsinB

11 tan (A B) =BA

BA

tantan1

tantan

12C

c

B

b

A

a

sinsinsin==

13 a

2= b

2+c

2- 2bckosA

14 Luas segitiga =Cabsin2

1

1 x =

N

x

2 x =

f

fx

3 =N

xx 2)(

=

2

2( ) .x

xN

4 =

f

xxf2)(

=

2

2( )fx

x

f

5 M= Cf

FN

Lm

+ 2

1

6 1000

1 =P

PI

7 1 1

1

W II

W

=

8)!(

!

rn

nPr

n

=

9!)!(

!

rrn

nCr

n

=

10 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

11 p (X=r) = rnrrn qpC , p + q = 1

12 Min(mean) =np

13 npq=

14 Z =X

>


6/59

1

Tingkatan 4. Bab 2 (Persamaan Kuadratik) kertas 1

1. Cari nilaiksupaya persamaan kuadratikk(x2 + 1) = 6x mempunyai punca-punca yang sama.

[ 2 markah ]

Jawapan : _________________

2. Persamaan 3x2 + mx = - 18 mempunyai punca-punca n dan 2. Carikan nilai m dan n.

[ 3 markah ]

Jawapan : m = ______________

n = ______________

3. Diberi -1 ialah satu punca bagi persamaan kuadratik x2 vx + 5 = 0. Carikan nilai v.

[ 2 markah ]

Jawapan : v = ______________

4. Persamaan kuadratik (t + 5) x2 = 8x 1 mempunyai punca nyata dan berbeza. Cari julat nilai t

[ 3 markah ]

Jawapan : t = _______________

5. Jika persamaan kuadratik (h + 1)x2

+ 2 = (h + 1)x mempunyai punca-punca yang sama , Carikan

nilai h.

[ 4 markah ]

Jawapan : h = ______________


7/59

2

Kertas 2

1. (a) Carikan julat nilai q jika persamaan x2 + qx = -2 -2

1q mempunyai punca-punca nyata

dan berbeza.

[ 4 markah ]

(b) Carikan julat nilai k jika garis lurus 2y + x = 3 tidak bertemu dengan lengkung

4y2 + 2x2 k = 0.

[ 4 markah ]

2. Diberi m dan n adalah punca-punca bagi persamaan x2

x 2 + k = 0 dan mn = -6. Cari nilai

bagi k,m dan n.

[ 6 markah ]

3. Diberi dan adalah punca-punca bagi persamaan x

2

+ 6 = 4x, bentukkan persamaankuadratik yang mempunyai punca-punca 3 dan 3 .

[ 4 markah ]

4. Satu daripada punca persamaan px2 + qx + r = 0 adalah tiga kali punca yang satu lagi..

Tunjukkan 3q2 = 16pr.

[ 4 markah ]

5. Persamaan x2 + mx + n = 0 mempunyai punca-punca yang sama dengan persamaan

4x2 (2 3m)x + n 9 = 0. Cari

(a) nilai m dan nilai n

(b) punca-punca persamaan itu.

[ 7 markah ]


8/59

1

Jawapan Tingkatan 4 Bab 2 (Persamaan Kuadratik) kertas 1

1. k(x2 + 1) = 6x.

kx2 + k 6x = 0

b2 4ac = 0 (-6)2 4(k)(k) = 036 4k

2= 0

k2 = 9

k = 3, k = -3.

2. 3x2

+ mx + 18 = 0

H.T.P n + 2 =3

m

H.D.P 2n =3

18= 6

n = 3

3 + 2 =3

m

m = -15.

3. Katakan punca persamaan x2 vx + 5 = 0 adalah -1 dan a

-1 + a = v

dan -a = 5a = -5

v = -6.

4. (t + 5) x2 8x + 1 = 0

b2

4ac > 0 (-8) 4(t + 5)(1) > 0-4t > -44

t < 11.

5. (h + 1)x

2 (h + 1)x + 2 = 0

b2 4ac = 0 [ - (h + 1) ]2 4(h + 1)(2) = 0

(h + 1)2 8h 8 = 0

h2

6h 7 = 0

(h 7)(h + 1) = 0h = 7, h = -1.


9/59

2

Kertas 2

1. (a) x2 + qx + 2 +2

1q = 0

b2 4ac > 0 q2 4(1)(2 +2

1q) > 0

q2 8 2q > 0

(q 4)(q + 2) > 0

q > 4 , q < -2

(b) 2y + x = 3 -----------(1)4y

2+ 2x

2 k = 0 ---------------(2)

Dari (1) y =2

3 x

Masukkan ke (2) 4(2

3 x)2 + 2x2 k = 0

9 6x + x2

+ 2x2

k = 03x

2 6x + 9 k = 0

b2 4ac < 0 (-6)2 4(3)(9 k) < 0-72 + 12k < 0

12k < 72

k < 6.

2. x2 x 2 + k = 0 dan mn = -6.H.T.Pm + n = 1H.D.Pmn = -2 + k = -6

k = -4x2 x 6 = 0

(x 3)(x + 2) = 0x = 3, x = -2Jika m = 3, n = -2

n = 3, m =-2.

4-2


10/59

3

3. x2

4x + 6 = 0

H.T.P + = 4

H.D.P= 6

H.T.P

+ 3 3 = + - 6= 4 6

= -2

H.D.P ( 3 )( 3 ) = - 3- 3+ 9

= - 3( + ) + 9

= 6 3(4) + 9= 3

Persamaan kuadratikx2

+ 2x + 3 = 0.

4. px2 + qx + r = 0

Katakan punca a dan 3a

4a = -p

q a = -

p

q

4

3a2 =p

r 3( -

p

q

4)2 =

p

r

p

q

16

3 2= r

prq 163 2 =

Tertunjuk.

5. x2

+ mx + n = 0

4x

2

(2 3m)x + n 9 = 0

H.T.P -m =4

32 m

-4m = 2 3m

m = -2

H.D.P n =4

9n

4n = n 9

n = -3.X

2 2x 3 = 0

(x 3)(x + 1) = 0

x = 3 , x = -1.


11/59

1

Tingkatan 4 Bab 3(Fungsi Kuadratik) Kertas 1

1. Cari julat nilai x yang memuaskan ketaksamaan x x2

+ 9

4

< 0.

[ 3 markah ]

Jawapan : _________________

2. Diberi p (x + q)2

= 6 + 4x x2

, carikan nilai p dan nilai q.

[ 3 markah ]

Jawapan : p = ______________

q = ______________

3. Cari julat nilai m supaya f(x) = x2 (m + 2)x + 2 + m sentiasa positif bagi semua nilai

nyata x.[ 3 markah ]

Jawapan : _________________


12/59


13/59

3

Kertas 2

1. Diberi graf g(x) = s (3x + t)2 mempunyai titik maksimum pada (3

2, 6).

(a) cari nilai s dan nilai t(b) lakarkan graf g(x) untuk domain -1 x 2.

[ 7 markah ]

2. Diberi f(x) = m (x n)2 menyilang paksi-x pada (-2,0) dan (4,0). Carikan

(a) nilai m dan nilai n

(b) nilai maksimum bagi f(x)

[ 7 markah ]

3. (a) Carikan julat nilai n jika (1 n)(6 + n) < 10.

[ 3 markah ]

(b) Carikan julat nilai p jika garis lurus y + x + p = 0 tidak bersilangdengan lengkung x2 + y2 8 = 0.

[ 4 markah ]

4. Ungkapkan g(x) = 2x2 + 6x + 5 dalam bentuk g(x) = a(x + p)2 + q dimana a,p dan q

adalah pemalar. Nyatakan nilai minimum bagi g(x) dan nilai x yang sepadan.

[ 4 markah ]

5. Diberi f(x) = 6h 2hx x2 mempunyai nilai maksimum 16.

(a) cari nilai-nilai yang mungkin bagi h

(b) nyatakan titik maksimum bagi setiap nilai h.

[ 4 markah ]


14/59

1

Jawapan Tingkatan 4 Bab 3(Fungsi Kuadratik) Kertas 1

1. x x2 +

9

4< 0

9x 9x2 + 4 < 09x2 9x 4 > 0

(3x + 1)(3x 4) > 0

x < -3

1, x >

3

4

2. 6 + 4x x

2= - [x

2 4x] + 6

= - [x2

4x + (-2)2

(-2)2] + 6

= - [(x 2)2 4] + 6= - (x 2)2 + 10

Bandingkan dengan (x + q)2 +p

q = -2 dan p = 10.

ATAU

q =a

b

2=

)1(2

4

= -2

p =a

bac

4

4 2=

)1(4

)4()1(4 2

=4

40

= 10.

3. b2

4ac < 0

[ - (m + 2) ]2

4(1)(2 + m) < 0

m2

4 < 0(m 2)(m + 2) < 0

-2 < m < 2.

4. y = 8 2(x 9)2titk maksimum (a,8)

bandingkan pada gambarajah (1,8) a = 1

x = 0, b = 8 2(0 1)2

b = 6.


15/59

2

5. f(x) = -2x2 + 4x + hb2 4ac < 0 (4)

2 4(-2)(h) < 0

16 + 8h < 08h < -16

h < -2.

Kertas 2

1. (a) g(x) = s (3x + t)2

3x + t = 0t = -3x

= -3(3

2)

t = -2 , s = 6ATAU

titik maksimum (

3

t,s)

bandingkan (3

2,6)

maka t = -2 dan s = 6.

(b)

2. (a) (-2,0)0 = m (-2 n )2

m = (-2 n)2m = 4 + 4n + n2___________(1)(4,0)

m = (4 n)2m = 16 8n + n2__________ (2)

(1) (2) 0 = -12 + 12n

n = 1m = (4 1)2

m = 9. (b) f(x)maksimum = 9.

(3

2,6)

2x

0

y

y = 6 (3x 2)2

y = 6 (3x 2)2


16/59

3

3. (a) (1 n)(6 + n) < 106 5n n2 < 10

n2 + 5n + 4 > 0(n + 4)(n + 1) > 0

n < -4, n > -1.

y + x + p = 0

y = -x - px2 + y2 8 = 0 x2 + (-x p)2 8 = 0

2x2 + 2px + p2 8 = 0

b2 4ac < 0 (2p)2 4(2)(p2 8 ) < 0

-4p2 + 64 < 0p2 16 > 0(p - 4)(p + 4) > 0

p < -4 , p > 4.

4. g(x) = 2x2 + 6x + 5

= 2[x2 + 3x] + 5

= 2[(x +2

3)2 -

4

9] + 5

= 2 (x +2

3)2 +

2

1

maka nilai minimum g(x) =2

1dan x =

2

3

5. (a) g(x) = - [x2 + 2hx] + 6h= - [ (x + h)2 h2] + 6h= - (x + h)2 + h2 + 6hmaka h2 + 6h = 16

h2 + 6h 16 = 0(h + 8)(h 2) = 0

h = -8 , h = 2

ATAU

q =

a

bac

4

4 2=

4

)2()6)(1(4 2

h

6h + h2 16 = 0

h = -8 , h = 2. (b) Jika h = -8

titik maksimum (8,16)h = 2

titik maksimum (-2,16).


17/59

1

Tingkatan 4 Bab 5 (Indeks Dan Logaritma) kertas 1

1. Selesaikan persamaan 81x3

= 2716 +x

.

[ 3 markah ]

Jawapan : _________________

2. Selesaikan persaman 512 x

= 9x

.

[ 4 markah ]

Jawapan : _________________

3. Selesaikan log2 x = 4 + log8 x.

[ 3 markah ]

Jawapan : _________________

4. Diberi loga 2 = p dan loga 3 = q, ungkapkan loga 1.5a3 dalam sebutan p dan q.

[ 3 markah ]

Jawapan : _________________

5. Diberi log2 w + log4 v =2

5, ungkapkan w dalam sebutan v.

[ 4 markah ]

Jawapan : _________________


18/59

2

Kertas 2

1. Diberi 2

2x (8y) = 2 dan 9x (3y) = 27. Cari nilai x dan nilai y.

[ 6 markah ]

2. (a) Selesaikan persamaan 3x+4

3x

= 720

[ 3 markah ]

(b) Cari nilai bagi h jika

(i) logh 16 = 2

(ii) log3 (h 2) =2

1log3 81

[ 4 markah ]

3. (a) Diberi logx 5 + logx y= 0, cari nilai bagi y.

[ 3 markah ]

(b) Diberi 4 logr 3 + 2 logr 2 2 logr 12 = 2, cari nilai bagi r.

[ 4 markah ]

4. (a) Diberi loga 3 = r dan loga 4 = s, ungkapkan

(i) log4 36,

(ii) log327

4 2a

Dalam sebutan r dan s.

[ 6 markah ]

(b) Selesaikan log9 ( log3 2y) = log16 4.

[ 4 markah ]

5. (a) Selesaikan persamaan 4x3log = 32.

[ 3 markah ]

(b) Jika 72h = k2 (53h), tunjukkan bahawa h logk125

49= 2.

[ 4 markah ]


19/59

1

Jawapan Tingkatan 4 Bab 5 (Indeks Dan Logaritma) kertas 1

1. 81x3

= 2716 +x

(34)

3x= (3

3)

6x + 1

312x = 318x + 312x = 18x + 3

x =2

1.

2. 512 x

= 9x

log 512 x

= log 9x

(2x 1) log 5 = x log 9(2x 1) (0.6990) = x (0.9542)0.4438 x = 0.6990

x = 1.5750.

3. log2 x = 4 + log8 x.

log2 x = log2 16 +3

log 2 x

x3 = 4096 x

x = 64.

4. loga 1.5a

3 = loga 1.5 + loga a3

= loga2

3+ 3

= log2 3 log2 2 + 3= p q + 3.

5. log2 w + log4 v =2

5

2 log2 w + log2 v = 5w

2v = 32

w =v

32


20/59

2

Kertas 2

1. 22x (8y) = 2

22x . 23y = 22x + 3y = 1___________(1)

9

x(3

y) = 2

32x . 3y = 33

2x + y = 3___________(2)(1) (2) 2y = -2

y = -12x 1 = 3

x = 2.

2. (a) 3x+4

3x

= 720

81(3x) 3

x= 720

80(3x) = 7203x = 9

x = 2.(b)

(i) logh 16 = 2h2 = 16

h = 4, -4

(ii) log3 (h 2) =2

1log3 81

log3 (h 2) = log3 9h 2 = 9

h = 11.

3. (a) logx 5 + logx y= 0

logx 5y = 05y = 1

y =5

1

(b) 4 logr3 + 2 logr2 2 logr12 = 2

2 logr3 + logr2 logr12 = 1

logr

12

)2)(9(= 1

r =2

3.


21/59

3

4. (a) (i) log4 36 =4log

36log

a

a

=4log

4log3log2

a

aa +

=s

sr ++++2

(iii) log327

4 2a= log3 4a

2 log3 27

= log3 4 + 2 log3 a 3

=r

s+

r

2- 3

=

r

rs 32 ++++.

(b) log9 ( log3 2y) = log16 4

log9 ( log3 2y) =2

1

log3 2y = 32y = 27

y =2

27.

5. (a) 4x3log = 32

2x3log2 = 2

5

2 log3 x = 5x2 = 35

x = 243

x = 15.59

(b) 72h = k2 (53h)49h = k2 (125h)

h

h

125

49= k2

logk( 125

49

)

h

= 2

h logk125

49= 2. Tertunjuk.


22/59

JUJ 2006 5/17/2006

1

T5 Bab 1 (Janjang)

Kertas 1

1. Tiga sebutan pertama suatu janjang aritmetik ialah k -3, k + 3, 2k +5.

Carikan

(a) nilai k,(b) hasil tambah 8 sebutan kedua bagi janjang itu. [ 4 markah ]

Jawapan : (a)_____________

(b)_____________

_____________________________________________________________________________________

2. Diberi sebutan sebutan ke-10 bagi suatu janjang aritmetik ialah 33 dan beza antara sebutan ke-8dengan ke-3 ialah 15. Cari sebutan ke-15. [ 3 markah ]

Jawapan :__________________

_____________________________________________________________________________________

3. Diberi janjang aritmetik -23,-15, -7, . Carikan hasil tambah bagi sepuluh sebutan berturut-turutselepas sebutan bernilai 33. [ 3 markah ]

Jawapan :__________________

_____________________________________________________________________________________

4. Pada hari pertama, isi padu minyak dalam sebuah tangki ialah 450 liter. Setiap hari berikutnya,

minyak dalam tangki itu berkurang sebanyak 8 liter.

Pada hari keberapakah minyak dalam tangki itu mula kurang daripada separuh ? [ 3 markah ]

Jawapan : ________________


23/59

JUJ 2006 5/17/2006

2

5. Dalam suatu janjang geometri, nisbah sepunya ialah 4 dan sebutan keempat ialah 27. Hitungkan(a) sebutan pertama,

(b) hasil tambah sebutan-sebutan janjang itu hingga ketakterhinggaan. [ 4 markah ]

Jawapan : (a)_____________

(b)_____________

_____________________________________________________________________________________

6. Diberi janjang geometri 192, 144, 108, . Cari sebutan terakhir yang nilainya melebihi 5.

[ 3 markah ]

Jawapan :__________________

_____________________________________________________________________________________

7. Diberi ....+0006.0+p+5=....060606.5=k

25 . Carikan nilai k dan nilai p.

[ 3 markah ]

Jawapan :__________________


24/59

JUJ 2006 5/17/2006

3

Kertas 2 :

8. Rajah menunjukkan 3 garis lurus A, B, C sebagai kumpulan pertama dan cabang- cabang sebagai

kumpulan yang berikutnya.

Setiap garis lurus dalam kumpulan yang berikut itu mempunyai bilangan cabang yang sama.

Cari

(a) bilangan garis lurus pada kumpulan ke-7, [ 2 markah ]

(b) jumlah garis lurus dalam kumpulan ke-5 hingga kumpulan ke-10 [ 3 markah ]

9. Sebuah semibulatan dibahagi kepada 10 sektor dengan keadaaan setiap sudut sektor yang dicakupi

pada pusat semibulatan membentuk suatu janjang aritmetik. Diberi sudut sektor terkecil ialah 4.5o.

Carikan

(a) sudut sektor terbesar, [ 3 markah ]

(b) jumlah sudut bagi lima sektor terkecil. [ 2 markah ]

10.

Rajah menunjukkan sebuah segi empat sama PQRS dengan panjang sisi 10 cm dan luasnya diwakili

oleh L1. Panjang sisi segi empat sama kedua SEFG ialah separuh panjang sisi segi empat sama PQRS

dan luasnya diwakili oleh L2. Panjang sisi segi empat sama yang seterusnya ialah separuh panjangsisi segi empat sama sebelumnya dan luasnya diwakili oleh L3, L4,, Ln.

Hitungkan

(a) perimeter segi empat yang kelapan, [ 2 markah ]

(b) hasil tambah luas segi empat sama ketiga hingga segi empat sama keenam, [ 2 markah ](c) hasil tambah luas n segi empat sama, n meningkat sehingga ketakterhinggaan. [ 3 markah ]

Kumpulan 1 Kumpulan 2


25/59

JUJ 2006 25/17/2006

1

B1

B1

T5 bab 1 (Janjang) Kertas 1

1. (a) (k+3) (k-3) = (2k +5) (k+3)

6 = k + 2

k = 4

(b) S16 - S8 = )]6(7+)1(2[2

8-)]6(15+)1(2[

2

16

= 736 -176

= 560

2. T10 = a + 9d = 33

T8 T3 = 15

(a + 7d) ( a+2d) = 15

d = 3

a + 9(3) = 33

a = 6

T15 = 6 + 14(3)

= 48

3. -23 + (n-1)(8) = 33

n = 8

S18 S8 = )]8(17+)23-(2[2

18- )]8(7+)23-(2[

2

8

= 810 40

= 770

4. 450 + (n-1)(-8) < 225

n > 29.13

Pada hari ke-30, minyak dalam tangki mula kurang daripada separuh.

5. (a) a(4)3

= 27

64

27=a

B1

B1

B1

B2

B1

B2


26/59

JUJ 2006 25/17/2006

2

(b)4-1

64

27

=S

64

9-=

6.

( )

6809.13

6809.121

4

3log

1925log

1

192

5log

4

3log1

192

5

4

3

54

3192

1

1

n

n

n

n

n

n

Sebutan terakhir yang melebihi 5 ialah sebutan ke-13.

7. 5.060606 = 5 + 0.06 + 0.0006 + 0.000006 + .

a = 0.06 01.0=06.0

0006.0=r

5.060606 = 5 + 01.0-1

06.0

= 5 +99.0

06.0

= 5 +33

2

=33

25

k = 33 p = 0.06

B1

B1

B1

B1

B1


27/59

JUJ 2006 25/17/2006

3

Kertas 2

8. (a) a = 3 r = 3

Bilangan garis lurus = 3(3)6

= 2187

(b) Jumlah garis lurus 4106 SSS =

( )

88452

12088572

13

133

13

)13(3 410

6

=

=

=S

9. (a) ]d9+)5.4(2[2

10=180 o

d = 3o

T10 = 4.5o

+ 9(3o

)

= 31.5o

(b) )]3(4+)5.4(2[2

5=S oo5

= 52.5o

10. (a) Perimeter : 40, 20, 10,

7

8 )2

1(40=T

= 0.3125 cm.

(b) Luas : 100, 25, 12.5,

25.0-1

))25.0(-1(100-

25.0-1

))25.0(-1(100=S-S

26

26

= 133.3 -125

= 8.3 cm2

(c)25.0-1

100

S

= 133.3333 cm2

K1

N1

K1 N1

K1

N1

N1

k1

N1

k1 N1

N1

k1

N1

N1

k1

N1


28/59

JUJ 2006 5/17/2006

1

T5 Bab 3 (Pengamiran)

kertas 1_____________________________________________________________________________________

1. Diberi ( ) ( )++=

+cxkdxx

n

1212

106 . Carikan nilai kdan n. [ 3 markah ]

Jawapan : k=____, n =____

_____________________________________________________________________________________

2. Diberi ( ) 32

1

= dxxf dan ( )[ ] 1122

1

=+ dxkxf . Carikan nilai k. [ 3 markah ]

Jawapan :__________________

_____________________________________________________________________________________

3. Diberi 012183 =+ x

dx

dydan 5=y apabila 1=x . Ungkapkan y dalam sebutan x. [ 3 markah ]

Jawapan :__________________

_____________________________________________________________________________________

4. Nilaikan( )( )

dxx

xx

+2

1

4

55. [ 3 markah ]

Jawapan :__________________


29/59

JUJ 2006 5/17/2006

2

5. Rajah di ruang jawapan (a) menunjukkan lakaran sebahagian daripada suatu lengkung. [ 3 markah ]

(a) Lorekkan rantau yang diwakili oleh5

0

dxy .

Jawapan :(a) (b) ____________________

(b) Seterusnya, carikan nilai 6

2

5

0

dyxdxy

_____________________________________________________________________________________

6. Diberi fungsi kecerunan suatu lengkung ialah 42+kx kx2 + 4. Cari persamaan lengkungan jika

lengkung itu melalui titik (0,1) dan (3,1), [4 markah]

Jawapan :___________________________________

(5,2)

(0,6).

.


30/59

JUJ 2006 5/17/2006

3

Kertas 2 :

7. Diberi .14 32

2

= xdx

ydApabila 1=x , y =

10

3, dan .5=

dx

dyCarikan nilai y apabila 2=x

[4 markah]

8. Rajah di bawah menunjukkan lengkung 43 2 += xy dan garis lurus ky = . Diberi luas rantau berlorek

ialah 32 unit2, cari nilai k. [4 mark

9. Rajah menunjukkan lengkung ( )xxy = 8 dan garis lurus xy 3= . Tentukan nisbah luas kawasan A

kepada luas kawasan B. [5

10. Rajah menunjukkan suatu lengkung 12 += xy yang bersilang dengan garis lurus xy 24 = dititikA.

(a) Cari koordinat titik A, [2 mark

(b) Hitungkan isi padu yang dijanakan apabila rantau berlorek dikisarkan

melalui 360o

pada paksi-y. [5 markah

.

y = x2 + 1

y = 4 - 2x

= k

0

=3x2

+ 4

x

y

2-2

=x(8 x)

= 3x

x

y

0

B

A

5


31/59

JUJ 2006 5/25/2006

Skema T5 Bab 3 (Pengamiran) Kertas 1

1. =dx)1+x2(10

6 dx)1+x2(10 6-

C+)5-)(2(

)1+x2(10=

5-

B1

= -(2x + 1)-5 + c

k = -1, n = -5

2. 2

111=dx]k2+)x(f[

2

1

2

111=dxk2+dx)x(f[

3 + =1121]kx2[ B1

= 82

1]kx2[

B2

2k = 8

k = 4

3.

( ) ( )

643

6

14135

15

43

46

46

2

2

2

+=

=

+=

==

+=

=

=

xxy

c

c

xdanyBila

cxxy

dxxy

xdx

dy

B1

B2

1


32/59

JUJ 2006 5/25/2006

4.

( )( )

( ) ( )

24

163

24

200252412

24

200

24

25

2

2

2

1

3

25

1

1

24

25

2

1

13

25

1

1

23

25

2

1

3

251

3

25

1

25252555

33

2

13

2

1

1412

4

2

1

2

4

2

1

4

22

1

4

22

1

4

=

++=

++

=

+

+

=

+

+

=

+

=

=

==

=+

++

xx

xx

dxxxdxxx

xdx

x

xdx

x

xx

B1

B2

5. (a)

0

y

x

(5,2)

(0,6).

.

(b) 5 x 2B1

= 10 unit2

6.

( )

( )( )

( )( )

143

4

3

4

27

36

2736

39273

1343

31

,31

1

043

01

,10

43

4

3

3

3

32

++=

=

=

=

+=

++=

==

=

++=

==

++=+=

xxyk

k

k

k

xdanyApabila

c

ck

ydanxApabila

cxkx

dxkxy

B1

B2

2


33/59

JUJ 2006 5/25/2006

Kertas 2 :

7. c+x-x=dx

dy4

k15 = 1 + 1 + c

c = 3

3+x-x=dx

dy4

c+x3+2

x-

5

x=y

25

c+3-

2

1-

5

1-=

10

3

N1c = 4

4+x3+2

x-

5

x=y

25

N1

Apabila x = -2, 4+)2-(3+2

)2-(-5

)2-(=y

25

5

12= N1

8. Luas rantau berlorek = 32 unit2

k132=dxy-k4

2

2-

32=dx)4+x3(-k4 2

2-2

k1 N132=]x4+x[-k4 22-

3

4k-[(8+8)-(-8-8)]=32

k = 16

N1

3


34/59

JUJ 2006 5/25/2006

9. Luas kawasan A =2

75=155

2

1 P1

Luas kawasan B =2

75-dx)x-x8(

5

0

2 k1 N1

=2

75-]

3

x-x4[ 50

3

2

=2

75-]

3

)5(-)5(4[

3

2

N1

=6

125unit

2

Luas A : Luas B =

6

125:

2

75= 9 : 5

N1

10. (a) x2

+ 1 = 4 -2x

x2

+ 2x 3 = 0k1

(x-1)(x+3) = 0

x = 1 atau x = -3

Apabila x =-3, y = 4-2(-3) N1=10

A(-3,10)

(b) 10

1

2 dyx=v - hr3

12

-10

1dy)1-y(= )6()3(

3

12

k1 N1

= 101

2

]y-2

y[ - 18

k1

= 18-))]1(-2

)1(((-))10(-

2

)10([(

22

N1

= 18-5.40N1= unit5.22 2

4


35/59

MODUL MATEMATIK TAMBAHAN - TAJUK : TRIGONOMETRI

1

5.1 Enam Fungsi Trigonometri bagi Sebarang Sudut Penyelesaian persamaan

Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut untuk 00< x < 360

0.

1. sin x + kos 40o

= 0

2. kos x sin 40o

= 0

3. sin( x + 10o) = 0.5

4. kos( x 40o) = 0.5

5. sin (2x + 10o) = 0.5

6. kos(2x 40o) = 0.5

7. =)80+x2

1sin( o - 0.5

8. = )102

1( oxkos - 0.5


36/59


2

9. 4 tan 2x = -1

10. 2 sin 3x = 1

11. sek 2x = 2

12. 4=x2

1kot

13. 2 sin x kos x = sin x

14. 2 sin x kos x = kos x


37/59


3

15. 2 tan2x + tan x 3 = 0

16. 6 sin2

x + sin x 2 = 0

17. 3 sin x = 2 + kosek x

18. 3 kot x = 2 tan x - 1

19. 3 kos x + 2 sek x + 7 = 0

20. 3 sin2

x = 4 kos2

x


38/59


1

5.2 Identiti Asas Trigonometri Penyelesaian Persamaan


0.

1. sin2

x +5 kos2

x = 4

2. sek2x + 3 tan

2x = 5

3. 4 sin2

x - 4 kos x 1 = 0

4. 4 kos2

x + 12 sin x 9 = 0


39/59


2

5. 4 sek2x 12 tan x + 5 = 0

6. 3 sek2x 5 ( tan x + 1) = 0

7. 2 kot2

x 5 kosek x + 4 = 0

8. 2 kot2x = 7 kosek x - 8


40/59


3

9. 3 sin x -2 kosek x + 1 = 0

10. 6 kos x -2 sek x 1 = 0

11. sin x - 2 kos x = 0

12. kot x 2 kos x = 0


41/59


1

5.3 Sudut Majmuk dan Sudut Berganda Penyelesaian Persamaan


0.

1. 3 sin 2x = sin x

2. 4 sin 2x = kos x

3. kos 2x + kos x = 0

4. 3 kos 2x 7 kos x + 5 = 0


42/59


2

5. 3 kos 2x + 8 sin x + 5 = 0

6. 3 kos 2x + sin x 2 = 0

7. 3 tan 2x + 2 tan x = 0

8. tan 2x 10 tan x = 0


43/59


1

Jawapan Modul : Tajuk Trigonometri

5.1 5.2

1. 230o

, 310o

1. 30o

, 150o, 210

o, 330

o

2. 50o

, 310o

2. 45o

, 135o, 225

o, 315

o

3. 20o

, 140o

3. 60o

, 300o

4. 100o

, 340o

4. 30o, 150

o

5. 10o

, 70o, 190

o, 250

o

5. 56.31o

, 231.31o

6. 50o

, 170o, 230

o, 350

o

6. 63.43o

, 161.57o, 243.43

o, 341.57

o

7. 260o

7. 30o, 150

o

8. 260o

8. 30o

, 41.81o, 138.19

o, 150

o

9. 82.980, 172.98

o, 262.98

o,352.98

o

9. 41.81

o, 138.19

o, 270

o

10. 10o

, 50o, 130

o, 170

o, 250

o, 290

o

10. 48.19o

, 120o, 240

o, 311.51

o

11. 30o

, 150o, 210

o, 330

o

11. 63.43o

, 243.43o

12. 28.08o

12. 30o

, 90o, 150

o, 270

o

13. 60o

, 180o, 300

o

14. 30o

, 90o, 150

o, 270

o

15. 45o

, 123.69o, 225

o, 303.69

o

16. 30o

, 150o, 221.81

o, 318.20

o

17. 90o, 199.47

o, 340.53

o

18. 56.31o

, 135o, 236.31

o, 315

o

19. 109.47o

, 250.53o

20. 49.1o , 130.9o, 229.1o, 310.9o


44/59


2

5.3

1. 80.41o

, 180o, 279.51

o

2. 7.18o

, 90o, 172.82

o, 270

o

3. 60o

, 180o, 300

o

4. 48.19

o

, 60

o

, 300

o

,311.41

o

5. 221.81o

, 318.19o

6. 30o, 150

o, 199.47

o, 340.53

o

7. 63.43o, 116.57

o, 180

o, 243.43

o, 296.57

o

8. 41.81o, 138.19

o,180

o, 221.81

o, 318.19

o


45/59

5.1 Hukum Indeks

I. am

x an

= am + n

II. am

an

= am n

III (am

)n

= amn

Info Penting : a0

= 1 , mm

aa 1= , (ab)

m= a

mb

m

1. 1000

= 3 2

= (3p)2

=

5.1 BACK TO BASIC

BIL am

x an

= am + n

am

an

= am n

(am

)n

= amn

1. a3

a2

= a3 + 2

= a5

a4

a = a5 1

= a4

(a3)

2= a

3x2= a

6

2.

23

24

= 23 + 4

= 2

a3

a5

= a3 5

= a

= 21

a

(32)

4= 3

2x4= 3

3.

p3

p 4

= p3 + ( 4)

= p

=

p 4

p5

= p 4 5

= p

= ( )p

1

(p 5

)2

= p 5 x2

= p

=

4.

2k3

(2k)3

= 2k3

23

k3

= ( )

(4a)2

2a5

= (42a

2) (2a

5)

= 5

2

2

16

a

a

=

(3x2)

3= 3

3

x

2x3

=

1


46/59

5.2 PERSAMAAN INDEKS MUDAH

Langkah Penyelesaian:

L1 : Gunakan hukum indeks untuk permudahkan ungkapan

(jika perlu)

L2 : Jadikan (dan PASTIKAN) asas SAMAL3 : Bentuk persamaan linear dengan menyamakan indeks

L4 : Selesaikan persamaan linear

BIL Contoh Latihan 1 Latihan 21. 3

x= 81

3x

= 34

x = 4

2x

= 32

x =

4x

= 64

x =

2.8

x= 16

(23)

x= 2

4

23x

= 24

3x = 4

x =3

4

4x

= 32

x =

27x

= 9

x =

3. 8x

= 16x 3

(23)

x= 2

4(x 3)

23x

= 24x 12

3x = 4x 12

x = 12

4x+2

= 32x - 1

x =

271 x

= 92x

x =

4.

2 82x

= 16x + 3

21

(23)

x= 2

4 (x + 3)

21+3x

= 24x + 12

1 + 3x = 4x + 12

1 12 = 4x 3x

x = 11

16 42x 3

= 322 x

x =

251 3x

= 5 125x

x =

2


47/59

5.2 LOGARITMA

Tahukah anda bahawa :

Jika satu nombor N boleh dinyatakan dalam

bentuk N = ax , maka logaritma bagi nombor

N pada asas a ialah x?

N = ax

loga N = x

100 = 10

2

log10 100 = 264 = 4

3 log4 64 = 3

0.001 = 10-3

log10 0.001 = 3

3


48/59

Menukar dari bentuk indeks kepada bentuk logaritma dan sebaliknya

BIL Bentuk Indeks Bentuk logaritma

1. 102 = 100 log10100 = 2

2. 23 = 8 log2 8 = 3

3. pq = r logp r = q

4. 104 = 10000

5. a3 = b

6. 81 = 34

7. logp m = k

8. 2

x

= y

9. V = 10x

10. log3 x = y

11. loga y = 2

12. 25 = 32

13. log3 (xy) = 2

14. 10x =y3

15. log10 100y = p

4


49/59

Mencari Nilai Logaritma

PENTING :

BIL Bentuk logaritma Sebab

1. log101000 = 3103 = 1000

dan log10 103 = 3

2. log2 32 = 525 = 32

dan log2 25 = 5

3. log10 0.01 =10 =0.01

dan log10 =

4 =644. log4 64 =

dan log4 =

5.

loga ax

= x

log p p =

(PENGUKUHAN)

6. logp p8 = loga a

2 =

7. logm

m-1 = logm 21

m=

8. loga a = logp p

-5 =

9. loga 41

a= log b b

k =

10. logp (pp2) = log p p p =

5


50/59

1

5.3 Hukum Logaritma

I. loga (xy) = logax + loga y

II. loga

y

x= logax loga y

III logaxm = m loga x

Info Penting : loga 1 = 0 (sebab 0)

loga a = 1 (sebab 1

= 1)BIL Contoh Latihan 1. loga 3pr = loga 3 + loga p + loga r

(a)loga 2mn =

(b) loga 3aq =

(c) log10 10yz =

(d) log10 1000xy =

(e) log2 4mn =

2. loga qp = loga p loga q

(a) loga rp

2= loga p loga 2r

= loga p (loga 2 + loga r)

=

(b) log2

m

4=

(c) log10

kx

10=

(d) log10

100

xy=

(e) loga m

a3=


51/59

2

Menggunakan hukum logaritma loga xn = n logax

3. Contoh :

loga x3

= 3 logax

(a) loga 21

x= loga x

2

=

(b) log2 (4xy ) = log2x + log2y 4

= log2x +

(c) log2 (44y ) =

=

(d) log2

x

y4

=

(e) log2 8

4y

=

Latihan Pengukuhan (Hukum Logaritma)1. Contoh :

log10 100x3

= log10 100 + log10x3

= log10 102

+ 3 log10x

= 2 + 3 log10x

(a) log10 10000x5

=

=

=

(b) log2 (

8

4xy

) =

=

(c) logp (58 p ) =

=

(d) log2 3

2

4x

k=

(e) log4 64

3y

=


52/59

3

5.4 PERSAMAAN INDEKS (yang melibatkan LOGARITMA)

I. Persamaan berbentukax

= b

BIL Contoh Latihan 1 Latihan 21. 3

x= 18

log10 3x

= log10 18

x log10 3 = log10 18

3log

18log

10

10=x

x =

2x

= 9

x =

7x

= 20

x =

2. 5x+2

= 16

log10 5x+2

= log10 16

(x+2) log10 3 = log10 18

5log

16log2

10

10=+x

x+2 =

x =

4x+1

= 28

x =

3x-2

= 8

x =

3. Cara lain:

2002 3 =+x

6439.4

2log

25log

25log2log

8

2002

20022 3

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

71-x

= 2.8

x =

63x-2

= 66

x =

Langkah Penyelesaian:

L1 : Ambil logaritma (asas 10) pada kedua-dua belah.L2 : Gunakan hukum logaritma log10 a

x= x log10 a.

L3 : Selesaikan persamaan linear dengan bantuan

kalkulator.


53/59

4

x =


54/59

1

5.5 Penukaran Asas Logaritma :

RUMUS : logax = ax

b

b

log

log

BIL Contoh Latihan 1 Latihan 21.

log4 8 =4log

8log

2

2

=2

3

(a) log4 32 =4log

32log

2

2

=

(b) log16 8 =

(c) log8 2 =

=

(d) log9 27 =

=

(e) log81 9 =

=

(Dengan bantuan kalkulator) Tukar kepada ASAS 10

1.log4 9 =

4log

9log

10

10

=

(a) log5 20 =5log

20log

10

10

=

(b) log4 0.8 =

(c) log7 2 =

(d) log9 77 =

(e) log3 9.6 =

(f) log6 2.54

=

(g) 35log5 =

(h)

5

4log12 =


55/59

2

5.6 Aplikasi Hukum-Hukum Logaritma

Untuk Penyelesaian Persamaan Logaritma Mudah

CONTOH LATIHAN

C1 Selesaikan log2 (x+1) = 3.Jawapan:

( )

( )

( )

7

18

21

2log1log

2log31log

3

3

22

22

=

=

=+

=+

=+

x

x

x

x

x

L1. Selesaikan log2 (x 3 ) = 2.Jawapan:

C2.Selesaikan ( ) 223log4

=

x Jawapan:

( )

( )

( )

( )

16

11

16

333

216

13

4

123

423

4log23log

4log223log

223log

2

2

2

44

44

4

=

=

+=

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

L2. Selesaikan log5 (4x 1 ) = 1.

Ans : x = 0.3

L3. Selesaikan log3 (x 6) = 2.

Ans : x = 15

L4. Selesaikan log10 (1+ 3x) = 2

Ans : x = 33


56/59

3

L5. Selesaikan log3 (2x 1)+ log2 4 = 5 .

Ans : x = 14

L6. Selesaikan log4 (x 2)+ 3log2 8 = 10.

Ans : x = 6

L7. Selesaikan log2 (x + 5) = log2 (x 2) + 3.

Ans : x = 3

L8. Selesaikan log5 (4x 7) = log5 (x 2) + 1.

Ans : x = 3

L9. Selesaikan log3 3(2x + 3)= 4

Ans : x = 12

L10. Selesaikan log2 8(7 3x)= 5

Ans : x = 1


57/59

4

Mencari Nilai Logaritma Tanpa Bantuan Kalkulator

CONTOH LATIHAN

C1. Diberi log2 3 = 1.585, log2 5 = 2.322. Tanpa

menggunakan kalkulator, nilaikan

(a) log2 15 = log2 (3 5)

= log2 3 + log2 5

= 1.585 + 2.322

=

L1. Diberi log3 5 = 1.465 , log3 7 = 1.771 .

Tanpa menggunakan kalkulator, nilaikan

(a) log3 35 =

=

=

=

(b) log2 25 = log2 (5 5)

=

=

=

(b) log3 49 =

=

=

=

(c) log2 0.6 = log2 (

5

3)

= log2 3 log2 5

=

=

(c) log3 1.4 =

=

=

=

(d) log2 10 = log2 (2 5)= log2 2 + log2 5

=

=

(d) log3 21 ==

=

=

(e) log4 5 =

4log

5log

2

2

= 2

322.2

=

(e) log9 21 =

=

=

=

(f) log5 2 =

5log

2log

2

2

=)(

1

=

(f) log5 3 =

=)(

1

=


58/59

1

Latihan Pengayaan (Soalan Bentuk SPM)

LATIHAN LATIHAN

L1 Diberi mx =3log dan nx =2log .

Cari 24log x dalam sebutan m dan n. [4 markah][SPM 2001]

+

mnAns

13

:

L2. Diberi px =3log dan qx =2log .

Cari 36logx

dalam sebutan p dan q.

[4 markah]

+

qpAns 22:

L3. Diberi kx =3log dan qh =9log .

Cari2

3log kh dalam sebutan kdan h. [4 markah][Klon SPM 1998]

( )hkAns 4: +

L4. Diberi log3x = p dan log9y = q.

Cari log3 x2y3 dalam sebutan p dan q.

[4 markah]

( )qpAns 62: + L5

Diberi m=2log5 dan p=7log5 , ungkapkan

9.4log5 dalam sebutan m dan p. [4 markah] [SPM 2004]

( )12: mpAns

L6. Diberi f=2log5 dan d=7log5 ,

ungkapkan2

5 8.2log dalam sebutan fdan d.

[4 markah]

( )( )12: + mpAns


59/59

L7 Diberi log 2 T - log4 V = 3, ungkapkan T dalam

sebutan V. [4 markah][SPM 2003]

( )VTAns 8: =

L8. Diberi log4 T + log2 V = 2, ungkapkan

T dalam sebutan V. [4 markah]

=

2

16:

V

TAns

L9 Selesaikan persamaanxx 74

12=

. [4 markah]

( )677.1: =xAns

L10. Selesaikan persamaan223

94 + = xx [4 markah]

( )6536.3: =xAns L11. Selesaikan persamaan ( ) 21log112log 2

2

2 = xx .

[4 markah]

L12. Selesaikan persamaan ( ) 2172log 23 =+ xx [4 markah]

Jawab untuk Jaya Pahang 2006

Documents

Transcript of Jawab untuk Jaya Pahang 2006