JUMP MODELS

Oleh

Dewi Jumliana ml

60600108021

Jurusan matematika fakultas sains dan tehnologi

Universitas islam negeri alauddin Makassar

2011

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur senantiasa kita panjatkan ke hadirat Allah swt atas segala nikmat dan

karunia-Nya. Shalawat dan salam semoga tercurah kepada Rasulullah saw, keluarga, sahabat,

dan para pengikutnya. Amin. Atas berkat rahmat Allah sajalah, sehingga penyusunan makalah

ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya.

Tak lupa pula, ucapan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga

makalah ini dapat diselesaikan, khususnya kepada dosen pembimbing mata kuliah Komputasi

Keuangan.

Penyusun menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Untuk itu, kritik

dan saran yang membangun dari pembaca sangat diharapkan guna perbaikan pada penyusunan

selanjutnya. Harapan penyusun, semoga makalah ini dapat dijadikan bahan bacaan bagi semua

pihak dan bisa penulis jadikan bahan pembelajaran tuk lebih memahami lagi masalah Jump

Models.

Wabillahi taufik walhidayah assalamu alaikum wr wb

Samata, 22 Juni 2011

Penyusun

BAB I

PENDAHULUAN

Jump model adalah salah satu model yang diakibatkan oleh gerak Brownian Geometrik yang

kontinyu menuju ke St. Model ini berfungsi ketika keadaan harga asset yang bergerak cepat.

Pada model ini,melibatkan beberapa variabel random dan menggunakan distribusi Poisson serta

Binomial pada penentun peluang investasi. Selain itu pada simulasi Model Jump juga dilibatkan

distribusi Eksponensial. Dimana eksponensial distribution suatu distribusi yang menggambarkan

interval antara dua kejadian. Biasanya distribusi eksponensial digunakan dalam teori keandalan

dan waktu tunggu atau teori antrian. Misalnya contoh pada saat menunggu kedatangan pasien

yang rata-ratanya adalah 5 menit tiap pasien nya, waktu 5 menit tiap pasiennya merupakan

distribusi eksponen.

Satu hal yang perlu kita pahami adalah bahwa Model Jump ini sangat berkaitan erat dengan

Gerak Brownian Geometrik sehingga pada simulasinya nanti kita bisa menggunakan program

Gerak Brownian.

Untuk lebih jelasnya mengenai Model ini akan Penulis bahas selanjutnya pada BAB II

PEMBAHASAN.

BAB II

PEMBAHASAN

Gerak Geometri Brownian kontinyu ke St. Seperti dijelaskan sebelumnya bahwa kekontinuan di varian dengan perubahan harga asset yang cepat dapat dianggap hampir instantaneous(seketika). Perubahan yang cepat tersebut dapat dimodelkan sebagai Jump. Pada bagian ini akan kita mulai menjelaskan dasar dari sebuah proses Jump yang dinamakan Proses Poisson.

Sebaran Poisson juga merupakan salah satu model sebaran peluang untuk peubah acak yang farik. Sebaran Poisson sering digunakan untuk menentukan peluang sebuah peristiwa yang dalam daerah atau waktu tertentu diharapkan jarang terjadi.

Untuk mendefinisikan proses Poisson,merupakan masalah waktu di mana jump terjadi τj, dengan

, τ1, <τ2, <τ3<…

Jt merupakan variabel untuk peulangan dari jump, dimana

τj = inf{t ≥ 0, Jt=j}

Percobaan Bernoulli menjelaskan bagaimana probabilitas Jump terjadi. Pertimbangkan selang

Δt = t / n dan memungkinkan hanya dua hasil, jump ya atau tidak, dengan probabilitas

P(Jt − Jt−Δt =1) = λΔt

P(Jt − J t−Δt =0) = 1 − λΔt

Untuk beberapa λ merupakan 0 < λΔt < 1. Parameter λ dikenal sebagai intensitas dari Jump proses. Sebagai konsekuensi K melompat di 0 ≤ τ ≤ t mempunyai probabilitas

P(Jt − J0 = k)= (λΔt)k(1 − λΔt) n-k

Dimana setiap kali dicoba di setiap subinterval dianggap independen.sebuah penalaran kecil

menyatakan itu untuk n →∞, kemungkinan ini konvergen ke .

Proses Poisson

Proses stokastik {Jt ,t ≥ 0}disebut Poisson proses jika memenuhi kondisi berikut ini:

1. J0=0

2. Jt – Js adalah bilangan bulat untuk 0 ≤ s<t< ∞ dan P(Jt − Js = k)=

Untuk k= 0,1, 2,…3. Keuntungan Jt2 –Jt1 dan Jt4 –Jt3 adalah independen tuk setiap 0 ≤ t1 <t2 <t3 <t4

Beberapa akibat yang ditimbulkan oleh definisi di atas:1. Jt kontinu dan tidak berkurang2. Waktu antara lompatan yang berturut-turut adalah independen dan berdistribusi

eksponensial dengan parameter λ. JadiP(τ j+1 − τj >Δτ )=ee− λΔτ untuk setiap Δτ .

3. Jt merupakan Proses Markov4. E(Jt)= λt, Var(Jt)= λt

Simulasi Jump

Ada dua kemungkinan untuk mengkalkulasi Jump mengenai τj

P(Jt − Jt−Δt =1) = λΔt

P(Jt − J t−Δt =0) = 1 – λΔt

Dengan mendiskritkan Δt dari t-grid maka dapat dengan mudah kita menentukan apakah Jump terjadi di sub interval. Alternatif lain dengan menggunakan distribusi eksponensial dengan bilangan random h1, h2 , h3…untuk mensimulasikan interval Δτ antara Jump yang berurutan. Dan memberikan

τj+1 := τj + hj.

Ekspektasi dari hj adalah 1/λ .

Unit amplitudo dari Jump dengan proses perhitungan Poisson Jt tidak relevan untuk tujuan menentukan model pasar. Ukuran Jump dari harga aset keuangan harus dianggap acak.Di samping kasus Jump τj yang lainnya variabel random.

Variabel random St melompat di τj dan menyatakan τ+ saat setelah Jump, dan τ− saat sebelum Jump. Kemudian

ΔS = Sτ+ − Sτ− , yang kita sebut sebagai proportional jump.

So, ΔS = qSτ− − Sτ− =(q − 1)Sτ− . Ukuran jump sama dengan q-1 arus waktu harga asset. Oleh karena itu, model dari proses Jump sangat bergantung pada variabel random qt dan dituliskan

dSt =(qt − 1)St− dJt, dimana Jt adalah proses Poisson.

Kita asumsikan itu qτ1 , qτ2, ...adalah independen dan distribusi yang merata,proses dimana menghasilkan dua variable yang saling berkaitan Jt, qt disebut Compound Poisson.

Kombinasi Gerak Brownian Geometrik dan Proses Poisson diberikan oleh

dSt = St− ( μ dt + σ dWt +(qt − 1) dJt) .Di sini σ sama dengan GBM, kondisi sekarang pada saat tidak jump. Lebih jauh kita asumsikan q independen dari W. Dengan demikian gabungan

persamaan di atas disebut proses jump-diffusion. Proses tersebut meliputi 3 proses stokastik yang berbeda yang dinamakan Wt, Jt,and qt

Sebuah solusi analitis dari persamaan di atas dapat dihitung di setiap subinterval Jump τt <t<τt+1

dimana Stochastic Differential Equation(SDE) hanya difusi GBM dS = S(μdt + σdW). Sebagai contoh,untuk sub interval yang pertama sampai τ1,solusinya diberikan oleh St := S0 exp (μ − σ2/2)t + σWt .Di τ1 sebuah ukuran lompatan

(ΔS)1 := (qτ1 − 1)Sτ1- terjadi, dan kemudian solusi dilanjutkan dengan

St = S0 · exp(( μ – σ2/2)t + σWt )+(qτ1 − 1)Sτ−1,sanpai τ2.

Sτ+ = qSτ− dengan q> 0 .

τj := τ (jΔt) dengan perumuman Wj = Wj−1 + Z√τj − τj−1

Contoh program gerak Brownian 2 dimensi

clear;clc;

N=10000;T=70;h=T/N;

t=(0:h:T);sigma=1.0;

x=zeros(size(t));y=zeros(size(t));

x(1)=0.0;y(1)=0.0;for i=1:N

x(i+1)=x(i)+sigma*sqrt(h)*randn;y(i+1)=y(i)+sigma*sqrt(h)*randn;

end;plot(x,y);grid on

%axis([0 T -3 8]);

Program Model Jump

%program Matematika keuanganrandn(100)

T=1;N=500;dt=T/N;

dw=zeros(1,N);w=zeros(1,N);tau(1)=0.05;

dw(1)=sqrt(tau(1))*randn;w(1)=dw(1);

for j=2:Ntau(j)=0.05;

x=tau(j)-tau(j-1);dw(j)=sqrt(x)*randn;w(j)=w(j-1)+dw(j);

endplot([0:x:T],[0,w],'r-')xlabel('t','fontsize',16)

ylabel('w(t)','fontSize',16,'rotation',0)

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Kesimpulan dari makalah ini adalah Gerak Geometri Brownian kontinyu ke St.

Kekontinuan di varian dengan perubahan harga asset yang cepat dapat dianggap hampir

instantaneous(seketika). Perubahan yang cepat tersebut dapat dimodelkan sebagai Jump