TUGASAN 1.1

Jika f(x) dan g(x) adalah dua fungsi sedemikian rupa sehingga limx→c

f ( x )=0 dan

limx→c

g ( x )=∞, apakah yang boleh anda katakan mengenailimx→c

(f ( x )∎ g ( x ) )=?

Berdasarkan fungsi yang telah diberikan saya telah memilih bebrapa contoh dan graf

yang sesuai:

Bagi fungsi limx−c

g ( x )=∞, saya telah memilih fungsig ( x )=1x

. Hal ini kerana nilai fungsi

f ( x )=∞sama seperti yang disediakan oleh soalan. Rujuk graf di bawah.

Bagi fungsi limx−c

f ( x )=0, saya telah memilih fungsif ( x )=x+3kerana limit bagi fungsi ini

adalah0. Rujuk graf di bawah.

Gambarajah2

Gambarajah1

Pada limx→c

(f ( x )∎ g ( x ) )=?, saya gunakan teori pendaraban. Dimana limx→c

f ( x )=L dan

limx→c

g ( x )=M ,

MEMBUAT ANGGARAN NILAI DAN KESIMPULAN BERKAITAN limx→c

(f ( x ) ∙ g ( x ) )=?

ANGGARAN 1:

f(x) = 3x + 3 g(x) = 1

x+1

0 = 3x + 3 0= x + 1

x = −1 x = −1

Jika f(x) = 3x + 3dan g(x)= 1

x+1 , oleh itu c= −1

limx→−1

( f ( x ) ∙ g ( x ) )=¿¿ [ limx→−1

f ( x )][ limx→−1

g (x )]

= limx→−1

(3 x+3 )( 1x+1

)

= 3

Hasil darab dua fungsi tersebut telah menghasilkan nilai

limx→−1

[ f ( x ) ∙ g ( x ) ]=3 .

ANGGARAN 2:

f(x) = 3x + 6 g(x) = 1

x+2

0 = 3x + 6 x + 2 = 0

x = −2 x = −2

Jika f(x) = 3x + 6 dan g(x)= 1

x+2 , oleh itu c = −2

limx→−2

( f ( x ) ∙ g ( x ) )=¿¿ [ limx→−2

f ( x )][ limx→−2

g (x )]

= limx→−2

(3 x+6 )( 1x+2

)

= 3

Hasil darab dua fungsi tersebut telah menghasilkan nilai

limx→−2

[ f ( x ) ∙ g ( x ) ]=3.

ANGGARAN 3

f(x) = 3x - 6 g(x) = 1

x−2

0 = 3x - 6 x - 2 = 0

x = 2 x = 2

Jika f(x) = 3x - 6 dan g(x)= 1

x−2 , oleh itu c = 2

limx→−2

( f ( x ) ∙ g ( x ) )=¿¿ [limx→2

f ( x )][limx→2

g ( x )]

= limx→2

(3 x−6)¿¿)

= 3

Hasil darab dua fungsi tersebut telah menghasilkan nilai

limx→2

[ f ( x ) ∙ g ( x ) ]=3 .

ANGGARAN 4

f(x) = 12 x−6 g(x) = 1

4 x−2

0 = 12 x−6 4x - 2 = 0

x = 12

x = 12

Jika f ( x )=4 x−2dan g(x)= 1

4 x−2 , oleh itu c = 12

limx→

12

(f ( x ) ∙ g ( x ) )=¿¿ [limx→

12

f ( x )][limx→

12

g ( x )]

= limx→ 1

2

(12 x−6)¿¿)

= 1

Hasil darab dua fungsi tersebut telah menghasilkan nilai

limx→

12

[ f ( x ) ∙ g ( x ) ]=1.

ANGGARAN 5

f(x) = 12 x−12 g(x) = 1

4 x−4

0 = 12 x−12 4x - 4 = 0

x =1 x = 1

Jika f ( x )=12 x−12dan g(x)= 1

4 x−2 , oleh itu c = 1

limx→

12

(f ( x ) ∙ g ( x ) )=¿¿ [limx→

12

f ( x )][limx→

12

g ( x )]

= limx→ 1

2

(12 x−12)¿¿)

= 3

Hasil darab dua fungsi tersebut telah menghasilkan nilai

limx→

12

[ f ( x ) ∙ g ( x ) ]=3 .

ANGGARAN 6

f(x) = 6 x−9 g(x) = 1

2x−3

0 = 6 x−9 2x - 3 = 0

x =32

x = 32

Jika f ( x )=6x−9dan g(x)= 1

4 x−2 , oleh itu c = 32

limx→

12

(f ( x ) ∙ g ( x ) )=¿¿ [limx→

12

f ( x )][limx→

12

g ( x )]

= limx→ 1

2

(6 x−9)¿¿)

= 3

Hasil darab dua fungsi tersebut telah menghasilkan nilai

limx→

12

[ f ( x ) ∙ g ( x ) ]=3 .

KESIMPULAN TUGASAN 1.1

Berdasarkan enam contoh yang telah saya kemukakan, dapat saya simpulkan bahawa

hasil darab limx→c

(f ( x ) ∙ g ( x ) )=3. Hal ini kerana setiap fungsi yang dipilih oleh saya dapat

dihapuskan satu sama lain. Apa yang saya maksudkan disini ialah fungsi bagi f ( x ) yang

saya pilih dapat dibahagikan dengan fungsi g(x ). Oleh yang demikian, nilai bagi hasil

darab kedua fungsi ialah 3. Saya memilih fungsi-fungsi yang mempunyai bentuk yang

lebih kurang sama supaya dapat memudahkan saya untuk mendarab kedua fungsi

tersebut. Selain itu, pemilihan fungsi yang dibuat oleh saya dalam contoh yang telah

ditunjukkan adalah supaya saya dapat mencari nilai x→c dengan mudah.

TUGASAN 1.2

Jika h(x) dan g(x) adalah dua fungsi sedemikian rupa sehingga limx→c

f ( x )=∞ dan

limx→c

g ( x )=∞, apakah yang boleh anda katakan mengenailimx→c

(h ( x )−g ( x ))

Kedua-dua fungsi h(x) dan g(x) menghampiri ke ∞ dan kedua-dua graf adalah graf

salingan. Apabila dilakar akan membentuk:

f ( x )=1x

Gambarajah 3

Dalamkajian kali ini, saya menggunakan teori penambahan dan pembezaan, dimana

limx→c

f ( x )=L dan limx→c

g ( x )=M

limx→c

[ f ( x )±g ( x )] = limx→c

f ( x )± limx→c

g (x)

= L ± M

Jika diperhatikan kedua-dua fungsi h(x) dan g(x) menghampiri ke ∞ dan apabila

ditunjukkan dalam graf kedua-dua fungsi h(x) dan g(x) adalah salingan. Apabila dilakar

akan membentuk:

Bagi menyelesaikan masalah limx→c

(h ( x )−g ( x )), saya menggunakan teori penambahan

dan pembezaan, dimana

limx→c

f ( x )=L dan limx→c

g ( x )=M

limx→c

[ f ( x )±g ( x )] = limx→c

f ( x )± limx→c

g (x)

Gambarajah 4

= L ± M

MEMBUAT ANGGARAN NILAI DAN KESIMPULAN BERKAITAN limx→c

(h ( x )−g ( x ))

ANGGARAN 1

Jika h(x) = 2x

dan g(x) = 1

x+2

h(x) = 2x

g(x) = 1

x+2

x = 0 x+ 2 = 0

x = - 2

Berdasarkan contoh anggaran 1, nilai had bagi h ( x ) dan g ( x ) adalah tidak sama. Dalam

teori yang dinyatakan, nilai had iaitu x=n ,n=semua nombor bulat mestilah sama dan

jika nilai had bagi kedua-dua fungsi berbeza maka teori ini tidak dapat digunapakai.

ANGGARAN 2

Jika h(x) = 1

3x+3 dan g(x) = 12x

h(x) = 1

3x+3 g(x) = 12x

3x + 3 = 0 2x = 0

x = −1 x = 0

Nilai had h(x) dan g(x) tidak sama. Aplikasi teori tidak dapat diguna pakai.

ANGGARAN 3

Jika h(x) = 16 x

dan g(x) = 14 x

h(x) = 1

6 x+2 g(x) = 12x

6x + 2 = 0 2x = 0

X = -13

x = 0

Nilai had h(x) dan g(x) tidak sama. Aplikasi teori tidak dapat diguna pakai.

ANGGARAN 4

Jika h(x) = 23−x

dan g(x) = 1

2x−6

h(x) = 13−x

g(x) = 1

6 x−2

3−x=0 2 x−6=0

x=3 x=3

Nilai had h(x) dan g(x) adalah sama. Aplikasi teori dapat digunapakai.

Seterusnya cari nilai limx→3

[h ( x )−g ( x )].

limx→3

f ( x )=∞ dan limx→3

g ( x )=∞

limx→3

[ f ( x )±g ( x )] = limx→3

f ( x )± limx→3

g (x)

= ∞±∞

¿∞

Hasil bagi fungsi limx→3

[h ( x )−g ( x )]=∞.

ANGGARAN 5

Jika h(x) = 1

2x+3 dan g(x) = 1x

h(x) = 1

5x+2 g(x) = 13x

5x + 2 = 0 3x = 0

x = −25

x = 0

Nilai had h(x) dan g(x) tidak sama. Aplikasi teori tidak dapat digunapakai.

ANGGARAN 6

Jika h(x) = 1

3x+1 dan g(x) = 1

3x+1

h(x) = −13x+1 g(x) =

13x+1

3 x+1 = 0 3 x+1 = 0

x = −13

x = −13

Nilai had h(x) dan g(x) adalah sama. Aplikasi teori dapat digunapakai.

Seterusnya cari nilai limx→−

13

[h ( x )−g ( x )].

limx→3

f ( x )=∞ dan limx→−

13

g (x )=∞

limx→−

13

[ f ( x )±g ( x )] = limx→−

13

f ( x )± limx→−

13

g(x )

= ∞±∞

¿∞

Hasil bagi fungsi limx→−

13

[h ( x )−g ( x )]=∞.

KESIMPULAN TUGASAN 1.2

Berdasarkan 6 anggaran yang telah saya kemukakan, terdapat dua kesimpulan yang

boleh dibuat:

1) Kesimpulan yang pertama ialah teori 2.6a iaitulimx→c

[ f ( x )±g ( x )] = limx→c

f ( x )± limx→c

g (x)

dapat digunapakai apabila nilai had bagi kedua-dua fungsi adalah sama. Jika

terdapat perbezaan nilai had antara kedua fungsi tersebut maka teori 2.6a tidak

digunakan sama sekali.

2) Kesimpulan yang kedua ialah apabila nilai had bagi kedua-dua fungsi adalah

sama maka hasil tolak atau tambah antara dua fungsi tersebut adalah ∞. Nilai ∞

dapat dilihat berdasarkan kajian dalam anggaran yang telah saya tunjukkan

dalam contoh-contoh anggaran 1 hingga 6.

TUGASAN 3.1

Takrifkan satu fungsi cebis demi cebis yang selanjar pada suatu selang tertutup dan

memenuhi syarat-syarat berikut

1) Ia terdiri daripada sekurang-kurangnya tiga cebis, diantaranya terdapat cebis

fungsi linear dan cebis fungsi tidak linear.

2) Bungkah yang dijanakan dengan memutarkan kawasan di bawah graf melalui

360 ° pada paksi x berbentuk seperti pasu bunga dengan ketinggian 10 unit.

3 FUNGSI YANG SAYA DIPILIH:

1) f ( x )=−0.5 x ²+5❑

2) g ( x )=3❑

3) h ( x )=x−4❑

Berikut adalah graf yang telah saya lakarkan menggunakan perisian GSP.

Untuk mencari mencari nilai titik persilangan antara lengkuk bagi bentuk pasu dibawah,

saya telah menjalankan proses persamaan serentak. Kaedah pengiraan ini dapat

dijalankan kerana berlaku persilangan pada graf f ( x )dan g(x).

f ( x )=−0.5 x ²+5❑.............................................1

g ( x )=3❑..................................................................2

Di mana persamaan1 adalah sama dengan persamaan2, f ( x )=g (x) pada titik x

Penanda

f ( x )g ( x )

h( x)

Gambar rajah 5: graf fungsi cebis demi cebis

f ( x )=g (x)

−0.5 x ²+5=3

−0.5 x ²+5−3=0

−0.5 x ²+2=0

x=2

Maka nilai titik persilangan, x ialah x=2.

Terdapat juga titik persilangan antara graf g ( x )=h(x ). Untuk mencari nilai x pada titik

persilangan tersebut, kaedah yang sama digunakan iaitu kaedah persaaan serentak.

g ( x )=3❑.............................................1

h ( x )=x−4❑...........................................2

Di mana persamaan1 adalah sama dengan persamaan2, f ( x )=h(x) pada titik x

g ( x )=h(x )

3=x−4

x=7

Maka, x=7

Berikut merupakan fungsi cebis demi cebis berdasarkan selang kelas tertutup yang

telah dibina oleh saya.

−0.5 x ²+5, 0≤ x≤2

f ( x )=¿ 3 2≤ x≤7

x−4, 7≤ x≤10

Gambar rajah 6: lakaran separa pasu

Gambar rajah 7: lukisan 3 matra bungkah pasu yang dijanakan.

PENGIRAAN ISIPADU BAGI BUNGKAH PASU YANG DIJANAKAN PADA

PAKSI-x:

formula pengiraan Isipadu yang dijanakan=π∫a

b

y2dy

Isipadubungkahpasu=π¿

Bagi memudahkan proses pengiraan, saya telah mengira persamaan di atas secara

berasingan. Nilai isipadu pada ketiga-tiga bahagian akan dijumlahkan untuk

mendapatkan isipadu bungkah pasu yang telah dijanakan.

ISIPADU BAHAGIAN PERTAMA.

¿ π∫0

2

(−12 x2+5)2

dx

¿ π∫0

2

(−14 x4+5 x2+25)dx❑

¿ π∫0

2x5

20+5 x

3

3+25x

❑

¿ π ¿

¿64.93 πunit3

ISIPADU BAHAGIAN KEDUA.

¿ π∫2

7

¿¿

¿ π∫2

7

(9)dx

¿ π∫2

7

9x

¿ π (9(7))−¿ (9(2))

¿45 π unit3

ISIPADU BAHAGIAN KETIGA.

¿ π∫7

10

(x❑−4 )2dx

¿ π∫7

10

( x2−8 x❑+16 )dx

¿ π ( x33 + 8 x2

2+16 x

❑)

¿ π ( x33 +4 x2+16 x❑)

¿ π ((10)33 +4 (10)2+16 (10)❑)−((7)33 +4 (7)2+16(7)

❑)¿471 π unit3

Jumlahkeseluruhanbagiisipadubungkah pasu

¿ π (64+45+471 )unit3

¿580π unit3