KESETIMBANGAN MODEL PENYEBARAN...

KESETIMBANGAN MODEL PENYEBARAN VIRUS

INFLUENZA A H1N1 MENGGUNAKAN MODEL SUSCEPTIBLE-

INFECTED-RECOVERED (SIR)

Firly Octavianti

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

2014 M/ 1435 H

i

KESETIMBANGAN MODEL PENYEBARAN VIRUS

INFLUENZA A H1N1 MENGGUNAKAN MODEL SUSCEPTIBLE-

INFECTED-RECOVERED (SIR)

SKRIPSI

Diajukan Kepada

Universitas Islam Negeri (UIN) Syarif Hidayatullah Jakarta

Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan Dalam

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Fakultas Sains dan Teknologi

Oleh :

Firly Octavianti

109094000006

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

2014 M/ 1435 H

ii

PENGESAHAN UJIAN

Skripsi berjudul “Kesetimbangan Model Penyebaran Virus Influenza A H1N1

menggunakan Model Susceptible-Infected-Recovered (SIR)” yang ditulis oleh

Firly Octavianti, NIM 109094000006 telah diuji dan dinyatakan lulus dalam sidang

Munaqosah Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif

Hidayatullah Jakarta pada hari Rabu, 1 Oktober 2014. Skripsi ini telah diterima untuk

memenuhi salah satu persyaratan dalam memperoleh gelar sarjana strata satu (S1)

Program Matematika.

Menyetujui :

iii

PERNYATAAN

DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR- BENAR

HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI

SKRIPSI ATAU KARYA ILMIAH PADA PERGURUAN TINGGI ATAU

LEMBAGA MANAPUN.

Jakarta, Oktober 2014

Firly Octavianti

109094000006

iv

PERSEMBAHAN

Alhamdulillahirobbil′aalamin, dengan mengucap rasa syukur kepada Allah SWT, Skripsi

ini dipersembahkan untuk keluargaku, Papa Edi Usdianto dan Ibu Yusniati, Abang Ferdy

Ferdyansyah & Adik Fauzan Merdianto tercinta yang selalu memberikan motivasi, Bapak

dan Ibu dosen Matematika yang dengan sabar mengajar saya

"Semoga Semua Kebaikan Mereka Dibalas Dengan Beribu Kenikmatan Dari ALLAH SWT"

MOTTO

"Berdoa,tidak berputus asa & yakinlah bahwa Allah akan memberi kemudahan pada

hambanya yang berusaha "

v

ABSTRAK

Influenza A H1N1 atau Swine Influenza merupakan penyakit saluran

pernapasan yang disebabkan oleh virus influenza (H1N1) yang sudah menular dari

manusia ke manusia dan dapat mengakibatkan kematian yang telah melanda beberapa

negara dalam waktu relatif cepat. Model SIR adalah model matematika yang

digunakan untuk mengetahui laju penyebaran dan laju kepunahan suatu wabah

penyakit dalam populasi tertutup dan bersifat endemi. Penelitian ini mempelajari

kesetimbangan model SIR dengan pengaruh vaksinasi, karantina, isolasi dan terapi

obat antivirus. Titik Kesetimbangan bebas penyakit digunakan untuk mendapatkan

bilangan reproduksi RC dengan nilai eigen yang diperoleh dari matriks Jacobian.

Hasil analisis diperoleh bahwa tingkat vaksinasi, karantina, isolasi dan terapi obat

antivirus diperlukan untuk mencegah penyebaran penyakit. Penyakit akan berangsur-

angsur menghilang dari populasi untuk RC < 1.

Kata kunci : Infuenza A H1N1, Kesetimbangan model SIR, Titik

Kesetimbangan, Bilangan Reproduksi, dan Stabilitas

Lyapunov.

vi

ABSTRACT

Influenza A H1N1 or Swine Influenza is a respiratory disease caused by

influenza virus (H1N1) that is easily transmitted from human to human and can cause

death that has hit several countries in a relatively quick time. SIR model is a

mathematical model used to determine the rate of spread and the rate of extinction of

an outbreak of disease in the population covered and are endemic. This research

studied the effect of equilibrium of SIR model with vaccination, quarantine, isolation,

and antiviral drug therapy. The equilibrium point free disease used to obtain

reproduction number RC with eigenvalues obtained from the Jacobian matrix. The

results of the analysis showed that the level of vaccination, quarantine, isolation, and

antiviral drug therapy is necessary to prevent the spread of disease. Disease will

gradually disappear from population for RC < 1.

Keywords : Influenza A H1N1, Equilibrium of SIR Model, Equilibrium Point,

Reproduction Number, and Lyapunov Stability.

vii

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Alhamdulillah, segala puji dan syukur ke hadirat Allah SWT atas segala

nikmat dan karunia-Nya, hingga penulis dapat menyelesaikan skripsi

“Kesetimbangan Model Penyebaran Virus Influenza A H1N1 menggunakan Model

Susceptible-Infected-Recovered (SIR)”. Shalawat serta salam selalu tercurah kepada

baginda Nabi Muhammad SAW, teladan dan rahmat bagi seluruh alam.

Penulis menyadari tanpa bantuan, dorongan, bimbingan dan do'a dari berbagai

pihak penelitian ini tidak mungkin terselesaikan dengan baik. Oleh karena itu, penulis

menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

1. Kedua orang tua tercinta, Ibu dan Papa yang telah memberikan kasih sayang,

motivasi, dan dukungan secara moril, materil, dan doa dalam menyelesaikan

skripsi ini.

2. Bapak Dr. Agus Salim M.Si sebagai Dekan Fakultas Sains dan Teknologi UIN

Syarif Hidayatullah Jakarta sekaligus sebagai penguji I, yang telah menyediakan

waktunya dan memberikan kritik serta saran dalam penyelesaian skripsi ini.

3. Ibu Yanne Irene M.Si sebagai Ketua Prodi Matematika Fakultas Sains dan

Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.

4. Ibu Irma Fauziah, M.Sc dan Dr. Nur Inayah, M.Si sebagai dosen di Prodi

Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta

sekaligus sebagai pembimbing I dan II, yang selalu menyediakan waktu disela-

sela kesibukannya untuk membimbing dan arahan serta saran yang mendukung

penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

5. Bapak Mahmudi, M.Si selaku dosen penguji II, yang telah menyediakan

waktunya dan memberikan kritik serta saran untuk kesempurnaan penulisan

skripsi ini.

viii

6. Para dosen di Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif

Hidayatullah Jakarta yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, tetapi tidak

mengurang rasa hormat penulis kepada mereka.

7. Sahabat Math'09 terutama Raihanul Jannah, S. Si, Maida Vitaloka, Ningtyas

Gayatri, S. Si, Iftah Afiffah yang selalu mendukung dan memotivasi, serta Syifa

Ainul Yaqin yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

8. Pihak-pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, yang telah

memberikan semangat dan bantuan sehingga skripsi ini selesai disusun.

Akhir kata, semoga Allah SWT membalas semua kebaikan mereka dan

semoga skripsi ini bermanfaat bagi pihak yang membutuhkannya.

Jakarta, Oktober 2014

Penulis

ix

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ...................................................................................................... i

LEMBAR PENGESAHAN ......................................................................................... ii

PERNYATAAN .......................................................................................................... iii

PERSEMBAHAN DAN MOTTO ............................................................................... iv

ABSTRAK .................................................................................................................. v

ABSTRACT ................................................................................................................ vi

KATA PENGANTAR ................................................................................................ vii

DAFTAR ISI ................................................................................................................ ix

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang .................................................................................... 1

1.2 Permasalahan ...................................................................................... 3

1.3 Pembatasan Masalah ........................................................................... 4

1.4 Tujuan Penulisan ................................................................................. 4

1.5 Manfaat Penulisan ............................................................................... 5

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Persamaan Diferensial ........................................................................ 6

2.2 Ruang Dimensi n ………………. ..................................................... 9

2.3 Titik Kesetimbangan ......................................................................... 10

2.4 Sistem Linearisasi .............................................................................. 12

x

2.5 Model SIR Dasar ............................................................................... 13

2.6 Bilangan Reproduksi ......................................................................... 15

2.7 Stabilitas Lyapunov .......................................................................... 15

BAB III METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Metode Pengolahan Data ................................................................... 17

3.1.1 Mempelajari Teori Dasar ......................................................... 17

3.1.2 Mempelajari Artiker Terkait .................................................... 17

3.2 Metode Analisa Data ........................................................................ 18

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Penentuan Asumsi dan Pemodelan SIR............................................. 20

4.2 Menentukan Titik Kesetimbangan Pemoodelan SIR ........................ 26

4.3 Menentukan Stabilitas Global Model SIQs ....................................... 44

BAB V PENUTUP

5.1 KESIMPULAN ................................................................................ 52

5.2 SARAN ............................................................................................. 53

REFERENSI ............................................................................................................... 54

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Influenza A H1N1 atau Swine Influenza merupakan penyakit saluran pernapasan

yang disebabkan oleh virus influenza (H1N1) yang sudah menular dari manusia ke

manusia dan dapat mengakibatkan kematian yang telah melanda beberapa negara

dalam waktu relatif cepat dan berpotensi menyebar ke Indonesia, sehingga dapat

menyebabkan kepanikan di kalangan masyarakat dan sewaktu-waktu dapat menjadi

wabah. Gejala-gejala secara umum penyakit ini mirip influenza dengan tanda-tanda

klinis antara lain; demam >38⁰C, batuk, pilek, lesu, letih, nyeri tenggorokan, nafas

cepat, sesak nafas, mual, muntah dan diare. Cara penularan melalui udara dan dapat

juga melalui kontak langsung. Masa inkubasi (waktu masuknya virus ke tubuh

sampai munculnya gejala klinis) adalah 3 - 5 hari. Langkah-langkah antisipasi

terinfeksi virus ini dengan mewaspadai semua kasus flu, menjauhkan hewan ternak

dari pemukiman penduduk, menganjurkan warga untuk selalu meningkatkan Perilaku

Hidup Bersih dan Sehat (PHBS), melakukan kampanye pencegahan flu A H1N1 pada

masyarakat untuk melakukan hal-hal sebagai berikut; selalu mencuci tangan sebelum

dan sesudah melakukan aktifitas sehari-hari (PHBS), menutup hidung dan mulut

dengan tissue atau saputangan saat batuk atau bersin, menggunakan masker, tidak

2

meludah disembarang tempat. Jika dicurigai adanya kasus flu A H1N1 laporkan ke

Unit Pelayanan Kesehatan terkait [1].

Di Indonesia, swine flu sudah terdeteksi hampir 25 propinsi dengan jumlah

korban terinfeksi mencapai 1.127 orang. Mudahnya penyebaran swine flu

dikarenakan kurangnya informasi kepada warga mengenai penyakit swine flu yang

pada saat itu masih merupakan penyakit baru [2].

Karena virus Influenza A H1N1 dapat mematikan secara alami, maka penting

menggunakan pemodelan matematika untuk mencoba menekan perkembangannya.

Pemodelan matematika yang dimaksudkan adalah model Susceptible-Infected-

Recovered (SIR). Model SIR pertama ini dikenalkan oleh Kermack dan McKendrick

pada tahun 1927. Bentuk umum model SIR disajikan dalam bentuk persamaan

diferensial. Pada model SIR, populasi dibagi kedalam tiga kelompok yaitu kelompok

individu yang sehat namun dapat terinfeksi penyakit (Susceptible), kelompok

individu yang terinfeksi penyakit dan dapat sembuh dari penyakit (Infected), dan

kelompok individu yang telah sembuh dan kebal terhadap penyakit (Recovered).

Model penyebaran yang bersifat endemi yaitu kondisi dimana penyakit

menyebar pada suatu wilayah dalam kurun waktu yang lama, sehingga terjadi

perubahan populasi yang disebabkan oleh kelahiran dan kematian. Penyebaran

penyakit dapat ditekan dengan pemberian vaksinasi, karantina, isolasi dan terapi obat

antivirus agar dapat mencegah meluasnya penyakit. Perilaku sistem juga dapat di

amati pada titik-titik dimana sistem berada pada keadaan setimbang. Titik-titik ini

3

kemudian disebut sebagai titik kesetimbangan pada sistem yang dikenal sebagai

kestabilan dan merupakan informasi yang menggambarkan perilaku pada sistem.

Model matematika merupakan salah satu alat yang dapat membantu

mempermudah penyelesaian masalah dalam kehidupan nyata. Masalah-masalah

tersebut dapat dibawa ke dalam model matematis dengan menggunakan asumsi-

asumsi tertentu. Selanjutnya model yang diperoleh akan dicari solusinya. Pada

penelitian sebelumnya, dengan judul Pengaruh Vaksinasi terhadap penyebaran

penyakit dengan model endemi SIR [3], menyimpulkan bahwa model endemi SIR

dengan pengaruh vaksinasi dapat menurunkan jumlah penderita pada model SIR.

Berdasarkan ulasan tersebut, penulis melakukan penelitian dengan judul

"KESETIMBANGAN MODEL PENYEBARAN VIRUS INFLUENZA A H1N1

MENGGUNAKAN MODEL SUSCEPTIBLE-INFECTED-RECOVERED (SIR) ”.

1.2 Permasalahan

Berdasarkan latar belakang diatas terdapat beberapa permasalahan yang akan

dibahas dalam penelitian ini, yaitu:

1. Bagaimana pengaruh bilangan reproduksi CR terhadap penyebaran virus

Influenza A H1N1 dengan model SIR yang dipengaruhi oleh vaksinasi,

karantina, isolasi dan terapi obat antivirus?

2. Bagaimana cara menentukan stabilitas global pada titik kesetimbangan

model SIQs?

4

1.3 Pembatasan Masalah

Sesuai dengan inti dari penelitian ini, maka penulis membatasi ruang lingkup

pada penyakit Influenza A H1N1 yang bersifat endemi dengan asumsi sebagai

berikut:

1. Jumlah populasi diasumsikan cukup besar dan tertutup, sehingga tidak ada

populasi yang masuk atau keluar dari populasi tersebut. Total populasi

diasumsikan konstan.

2. Model SIR memperhatikan faktor kelahiran dan kematian dengan jumlah

kelahiran dan jumlah kematian tiap satuan waktu dianggap sama yang

dipengaruhi oleh vaksinasi, karantina, isolasi, dan terapi obat antivirus. Tiap

individu yang baru lahir diasumsikan dapat terinfeksi penyakit karena belum

kebal terhadap penyakit.

3. Populasi bercampur secara homogen yang mempunyai kemungkinan yang

sama dalam melakukan kontak dengan individu lain.

4. Individu yang terinfeksi penyakit dapat sembuh dan dapat meninggal dunia

akibat penyakit.

5. Diasumsikan hanya terdapat satu penyakit yang menyebar dalam populasi.

1.4 Tujuan Penulisan

Tujuan dari penelitian ini adalah

5

1. Mengetahui pengaruh bilangan reproduksi RC terhadap penyebaran virus

Influenza A H1N1 dengan model SIR yang dipengaruhi oleh vaksinasi,

karantina, isolasi dan terapi obat antivirus.

2. Mengetahui cara menentukan stabilitas global pada titik kesetimbangan

model SIQs.

1.5 Manfaat Penulisan

Manfaat dari penelitian ini selain dari Tugas Akhir diharapkan juga dapat

mengembangkan wawasan keilmuan mengenai model SUSCEPTIBLE-INFECTED-

RECOVERED (SIR) dalam bidang kesehatan dengan menggunakan Pemodelan

Matematika.

6

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial adalah Persamaan yang melibatkan variabel-variabel

takbebas dan derivatif-derivatifnya terhadap variabel-variabel bebasnya. Persamaan

Diferensial dibagi menjadi dua bentuk, yaitu Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dan

Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Perbedaan keduanya terletak pada jumlah

variabel bebasnya. PDB melibatkan satu variabel bebas sedangkan PDP melibatkan

lebih dari satu variabel bebas.

Suatu PDB berorde-n dapat ditulis dalam bentuk [5] :

1t, , ', ", ,

n ny F y y y y

(2.1)

dengan 1, ', ", , ,

n ny y y y y

fungsi yang semua nilainya ditentukan oleh waktu t .

PDB orde satu dapat ditulis dalam bentuk [5] :

' t,y F y (.2.2)

Suatu persamaan diferensial linear berorde-n dapat ditulis dalam bentuk [5] :

1

1 1 0'n n

n na t y a t y a t y a t y f t

(2.3)

dengan barisan 1 1 0, , , ,n na t a t a t a t dan f t adalah fungsi dari t .

Persamaan Diferensial Linier dapat ditulis dalam bentuk [4] :

'y p t y g t (2.4)

7

dengan p t dan g t adalah fungsi dari waktu t . Untuk mendapatkan faktor

integrasi, yaitu dengan cara mengalikan fungsi t dinyatakan sebagai berikut :

y't t p t y t g t (2.5)

Dengan menggunakan kombinasi ' ' y't y t y t kita harus

menambahkan dan mengurangi dengan ' t y pada persamaan (2.5) di ruas sebelah

kiri dinyatakan sebagai berikut :

' ' y't y t y t t p t y t g t (2.6)

Sekarang jika kondisi kedua pada ruas sebelah kiri adalah nol, maka persamaan (2.6)

menjadi

't y t g t (2.7)

dan ruas sebelah kiri akan di integralkan. Untuk mencapai situsai ini kita harus

memilih menjadi

' 0t t p t (2.8)

Jika kita asumsikan positif, maka kita dapat menuliskan persamaan (2.8) menjadi

' tp t

t

atau

lnd

t p tdt

(2.9)

Maka

8

ln t p t dt k (2.10)

Dengan memilih konstanta k menjadi nol, diperolehlah fungsi untuk , yaitu

expt p t dt (2.11)

dengan expt p t dt merupakan faktor integrasi [4].

Pada persamaan (2.4) pula p t dapat dinyatakan sebagai matriks A

berukuran n n dengan koefisien konstan dan g t dinyatakan sebagai vektor

konstan b sehingga diperoleh bentuk persamaan diferensial linear sebagai berikut:

,dy

Ay bdt

00y y (2.12)

dari persamaan (2.12), dan y adalah matriks kolom, sehingga

111 12 1 1

21 22 2 22

1 2

n

n

n n nn n

n

b a a a y

a a a yb

a a a yb

atau

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n n nn n

b a y a y a y

b a y a y a y

b a y a y a y

dengan ija untuk , 1,2, ,i j n adalah bilangan riil [6].

9

Dari persamaan (2.12), misalkan suatu matriks A berukuran n n dan suatu

vektor taknol y di n yang dinyatakan dalam bentuk :

Ay y (2.13)

Vektor y disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen . Untuk

mencari nilai eigen dari matriks A , maka persamaan (2.13) dapat ditulis sebagai

berikut :

0A yI (2.14)

Dengan I adalah matriks identitas berukuran n n . Persamaan (2.14)

mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika :

0det A I (2.15)

Persamaan (2.15) disebut persamaan karakteristik dari A [6].

2.2 Ruang Dimensi-n

Jika n adalah bilangan bulat positif, maka ganda-n berurut adalah sederet n

bilangan real 1 2, ,...( ), na a a . Himpunan semua ganda-n berurut disebut ruang

berdimensi-n dan dinyatakan dengan n [6].

Dengan notasi pembentuk

1 2 1 2( ) ( ), ,..., , ,...,n

n na a a a a a (2.16)

10

2.3 Titik Kesetimbangan

Misalkan diberikan persamaan diferensial sebagai berikut :

dy

f ydt

(2.17)

Suatu titik * ny y disebut titik kesetimbangan dari persamaan (2.17),

jika * 0f y [9].

Pada titik kesetimbangan dapat ditentukan kestabilan titik kesetimbangan.

Diberikan sistem persamaan diferensial sebarang

, ndyf y y

dt (2.18)

Analisis kestabilan titik kesetimbangan dilakukan melalui matriks Jacobi,

yaitu matriks A . Penentuan kestabilan titik kesetimbangan didapat dengan melihat

nilai-nilai eigennya, yaitu i dengan 1,2,3,...,i n yang diperoleh dari

0det A I . Secara umum kestabilan titik kesetimbangan mempunyai tiga

perilaku sebagai berikut :

1. Stabil, jika setiap nilai eigen real adalah negatif 0 untuk semua i i dan

setiap komponen bagian real dari nilai eigen kompleks, lebih kecil atau

sama dengan nol 0 untuk semua e iR i .

11

2. Takstabil, jika ada nilai eigen real adalah positif 0 untuk semua i i dan

ada komponen bagian real dari nilai eigen kompleks, lebih besar dari nol

0 untuk semua e iR i .

3. Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen real sebarang adalah negatif

, 0 untuk semua dan sebarangi j i j . Titik kesetimbangan sadel ini

bersifat takstabil [9].

Berikut diberikan tabel kestabilan titik kesetimbangan berdasarkan nilai eigen

Tabel 2.1. Kriteria kestabilan berdasarkan nilai eigen

Nilai Eigen Nama Kestabilan

real, tidak sama, bertanda sama Simpul

stabil asimptotis: semuanya negative

tidak stabil: semuanya positif

real, tidak sama, berlawan tanda Sadel tidak stabil

real, sama Simpul

stabil asimptotis: semuanya negative

tidak stabil: semuanya positif

kompleks konjugate bukan

imajiner murni Spiral

stabil asimptotis: bagian real

negative

tidak stabil: bagian real positif

Imajiner murni Pusat Stabil

12

2.4 Sistem Linearisasi

Untuk suatu persamaan diferensial taklinear, analisis kestabilan dilakukan

melalui pelinearan. Misalkan diberikan persamaan diferensial taklinear sebagai

berikut [9] :

, : n ndyf y f U

dt (2.19)

Dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk suatu titik kesetimbangan *y ,

maka persamaan (2.19) dapat ditulis sebagai berikut :

dy

Ay ydt

(2.20)

Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial taklinear dengan A

adalah matrik Jacobi,

*

*

|y

1 1

1

1

11 1

1

y

n

n n

n

n

n nn

A Df y Df y

f fy y

f fy y

a a

a a

dan y suku berorde tinggi yang bersifat 0

lim 0y

y

. Selanjutnya Ay pada

persamaan (2.20) disebut sistem linearisasi dari (2.19) yang didapat dalam bentuk :

13

dyAy

dt (2.21)

2.5 Model SIR Dasar

Model dasar SIR menurut Hethcote [8], total populasi dianggap konstan dan

dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu S adalah kelompok individu yang sehat dan

dapat terinfeksi, I adalah kelompok individu yang telah terinfeksi, dan R adalah

kelompok individu yang telah sembuh dan kebal terhadap penyakit. Penyebaran

penyakit pada model SIR dapat disajikan dalam diagram alur pada gambar 2.1

Pada gambar 2.1 menunjukkan bahwa besarnya jumlah individu pada

kelompok S yang memasuki kelompok I karena telah terinfeksi penyakit melalui

kontak adalah sebesar SI . Individu pada kelompok I yang telah sehat dari penyakit

sebesar I akan memasuki kelompok R.

Misalkan mereka telah di asingkan dari populasinya. Persamaan yang diberikan

adalah

Gambar 2.1. Diagram alur model SIR

Recovered (R)

Infected

(I) Susceptible

(S) SI I

14

1. Laju penyebaran Susceptible akan menjadi Infected dalam satuan waktu,

yaitu

dSSI

dt (2.22)

2. Laju penyebaran Infected menjadi Recovered dalam satuan waktu, yaitu

dISI I

dt (2.23)

3. Laju perubahan kesembuhan Recovered dalam satuan waktu, yaitu

dRI

dt (2.24)

dengan

t menyatakan waktu,

menyatakan konstanta penularan dari individu susceptible, 0 ,

menyatakan konstanta pemulihan, 0

Persamaan (2.22) menjelaskan bahwa individu rentan yang terinfeksi

sebanding dengan jumlah kontak antara individu dari S dan I dalam satuan waktu,

dengan asumsi yang hanya bergantung dari jumlah masing-masing kelompok, yaitu

ada pencampuran seragam dari populasi. Persamaan (2.23) menjelaskan bahwa

individu yang terinfeksi akan berkurang dan memasuki laju kesembuhan antara

individu dari I dan R dalam satuan waktu. Asumsi pada persamaan (2.24) adalah

tingkat dimana individu tidak dapat menularkan penyakit sebanding dengan jumlah

yang terinfeksi. Ini merupakan rata-rata proses dimana individu-individu tertentu

15

dalam jangka waktu yang berbeda untuk mencapai keadaan dimana mereka tidak

menularkan infeksi. Dengan persamaan total populasi adalah

N t S t I t R t (2.25)

dengan N adalah total populasi.

2.6 Bilangan Reproduksi

Bilangan reproduksi (RC) adalah suatu nilai yang menyatakan rasio dari

banyaknya kasus infeksi kedua terhadap kasus infeksi pertama dalam populasi

tertutup dan bebas penyakit. RC digunakan untuk membedakan antara pertumbuhan

penyakit yang sangat pesat dengan yang hampir musnah atau hilangnya penyakit dari

populasi. Beberapa kondisi yang akan timbul, yaitu :

1. Jika RC < 1, maka penyakit akan menghilang.

2. Jika RC = 1, maka penyakit akan menetap.

3. Jika RC > 1, maka penyakit akan meningkat menjadi wabah [11].

2.7 Stabilitas Lyapunov

Misalkan * 0y adalah titik kesetimbangan dari persamaan (2.4) dan z

adalah sebarang solusi.

1. *y t dikatakan Stabil Lyapunov, jika untuk setiap 0 terdapat

0 , sedemikian sehingga untuk setiap solusi z t dengan

16

*

0 0 ,y t z t maka memenuhi pertidaksamaan *y t z t

untuk setiap 0 0,t t t .

2. *y dikatakan stabil asimtotik, jika *y stabil Lyapunov dan terdapat

konstanta 0b , sedemikian sehingga *

0 0 ,y t z t b maka memenuhi

*lim 0t

y t z t

[10].

Berikut diberikan fungsi Lyapunov Logaritma diperkenalkan oleh Goh untuk

Sistem Voltera jika [12]

* *

1 2 *1

, y , , yn

i

n i i i i

i i

yL y c y y y ln

y

(2.25)

dengan

L menyatakan fungsi Lyapunov

iy menyatakan variabel, untuk 1,2,3,...,i n

*

iy menyatakan titik kesetimbangan, untuk 1,2,3,...,i n

ic menyatakan konstanta, untuk 1,2,3,...,i n

17

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Metode Pengolahan Data

Secara umum metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur dengan

membaca buku dan paper. Dalam penelitian ini, langkah-langkah yang telah

dilakukan untuk memperoleh hasil yang diteliti. Secara detail metode pengolahan

data yang dilakukan sebagai berikut:

3.1.1 Mempelajari Teori Dasar

Beberapa materi dasar yang diharus dikuasai untuk skripsi ini adalah: modul

atas nilai eigen, vektor eigen, persamaan diferensial orde satu, faktor integrasi, sistem

linearisasi, titik kesetimbangan, kestabilan titik kesetimbangan, bilangan reproduksi,

dan fungsi lyapunov. Materi hingga faktor integrasi sudah dipelajari pada kelas

persamaan diferensial biasa, untuk materi selanjutnya dipelajari mandiri dan diskusi

dengan dosen pembimbing.

3.1.2 Mempelajari Artikel Terkait

Tahapan berikutnya adalah mencari dan mempelajari buku dan jurnal terkait.

Jurnal utama yang akan dikaji adalah jurnal G'omez Alcaraz [7], kemudian

mempelajari jurnal lain yang terkait dengan hasil penelitian mereka untuk

meningkatkan pemahaman tentang model Susceptible-Infected-Recovered (SIR).

18

3.2 Metode Analisa Data

Analisa data dilakukan dengan model SIR, setelah mempelajari teori dasar,

artikel terkait, dan memahami bukti model pada paper utama [7], penulis menganalisa

model lebih spesifik dengan alur sebagai berikut

Gambar 3.1 Alur penelitian Model SIR dengan pengendalian

Menentukan asumsi

dan Pemodelan SIR

[7]

Studi Literatur

Asumsi :

1. Calon individu

Susceptible

2. Faktor kematian &

kematian terkait

penyakit

3. Vaksinasi

4. Karantina

5. Isolasi

6. Terapi obat antivirus

Model SIR :

dS

dt,dI

dt, SdQ

dt,dR

dt, IdQ

dt,

dV

dt,

dT

dt

Titik kesetimbangan

1. E1 dengan solusi S=0

2. E2 dengan solusi I=0

3. E3 dengan solusi QS=0

4. E4 dengan solusi R=0

5. E5 dengan solusi QI=0

6. E6 dengan solusi V=0

7. E7 dengan solusi T=0

Menentukan Stabilitas global SIQs

Menentukan Titik

kesetimbangan pemodelan

SIR

Kesimpulan

19

Penelitian ini bersifat studi literatur, dari paper utama [7] penentuan asumsi

berupa calon individu Susceptible, faktor kematian alami dan kematian terkait

penyakit akibat virus swine influenzayang dipengaruhi vaksinasi, karantina, isolasi,

dan pengobatan berupa terapi obat antivirus. Pemodelan SIR yang telah diperoleh

selanjutnya akan ditentukan titik kesetimbangannya berdasarkan definisi pada

landasan teori.

Dari titik kesetimbangan yang diperoleh akan diketahui bentuk yang bersifat

bebas penyakit dan bersifat endemi. Titik kesetimbangan yang bersifat bebas penyakit

swine influenza ini dapat ditentukan bilangan reproduksi RC.

Dengan memanfaatkan bilangan reproduksi RC pada model SIR dan

menggunakan fungsi Lyapunov dengan kombinasi fungsi Volterra dapat ditentukan

stabilitas global pada model SIQS.

Gambar 3.1 Alur penelitian Model SIR dengan pengendalian

Kesimpulan

Studi Literatur

Menentukan asumsi

dan Pemodelan SIR

[7]

Asumsi :

7. Calon individu

Susceptible

8. Faktor kematian &

kematian terkait

penyakit

9. Vaksinasi

10. Karantina

11. Isolasi

12. Terapi obat

antivirus

Model SIR :

dS

dt,dI

dt, SdQ

dt,dR

dt, IdQ

dt,

dV

dt,

dT

dt

Menentukan Stabilitas global SIQs

Menentukan Titik

kesetimbangan pemodelan

SIR

Titik kesetimbangan

8. E1 dengan solusi S=0

9. E2 dengan solusi I=0

10. E3 dengan solusi QS=0

11. E4 dengan solusi R=0

12. E5 dengan solusi QI=0

13. E6 dengan solusi V=0

14. E7 dengan solusi T=0

20

BAB IV

PEMBAHASAN

4.1 Penentuan Asumsi dan Pemodelan SIR

Model SIR yang digunakan dalam tulisan ini diturunkan ulang dari model SIR

klasik yang mengacu pada Hethcote [8] dengan memperhatikan faktor pengaruh

vaksinasi, karantina, isolasi dan terapi obat antivirus. Asumsi atau batasan yang

digunakan dalam penyebaran penyakit menurut Hethcote [8] adalah

1. Jumlah populasi diasumsikan cukup besar dan tertutup, sehingga tidak ada

populasi yang masuk atau keluar dari populasi tersebut. Total populasi

diasumsikan konstan.

2. Model SIR memperhatikan faktor kelahiran dan kematian dengan jumlah

kelahiran dan jumlah kematian tiap satuan waktu dianggap sama yang

dipengaruhi oleh vaksinasi, karantina, isolasi, dan terapi obat antivirus. Tiap

individu yang baru lahir diasumsikan dapat terinfeksi penyakit karena belum

kebal terhadap penyakit.

3. Populasi bercampur secara homogen yang mempunyai kemungkinan yang sama

dalam melakukan kontak dengan individu lain.

4. Individu yang terinfeksi penyakit dapat sembuh dan dapat meninggal dunia

akibat penyakit.

5. Diasumsikan hanya terdapat satu penyakit yang menyebar dalam populasi.

21

Penyebaran swine influenza pada populasi manusia diasumsikan memiliki

jumlah konstan dan dalam satu periode waktu wabah serta dibagi menjadi tiga

kelompok. Pertama adalah populasi yang sehat namun rentan terhadap penyakit yang

disebut susceptible (S). Kedua adalah populasi yang terinfeksi yang disebut infected

(I). Kelompok populasi ketiga adalah populasi yang telah sembuh dari penyakit swine

influenza dan menjadi kebal sehingga tidak akan terinfeksi kembali swine influenza

yang disebut recovered (R). Pada saat t misalkan suatu populasi terdiri dari

susceptible (S), infected (I), dan recovered (R). Kemudian S(t) menyatakan proporsi

individu rentan pada saat t, I(t) menyatakan proporsi individu terinfeksi pada saat t,

R(t) menyatakan proporsi individu sembuh pada saat t, dan N adalah total populasi.

Karena total populasi konstan, sehingga S t I t R t N t .

Berdasarkan asumsi kedua bahwa laju kelahiran sama dengan laju kematian

sehingga individu yang lahir dan mati dalam populasi mempunyai laju μ. Sehingga

jumlah populasi yang mengalami kematian dalam tiap kelompok S, I, dan R masing-

masing sebesar μS, μI, dan μR. Dengan demikian laju μ pada populasi adalah

S I R S I R N

Diagram alur penyebaran penyakit swine influenza digambarkan sebagai

berikut:

22

Secara umum, model epidemiologi penyebaran penyakit swine influenza

sebagai berikut:

1. Laju penyebaran susceptible dengan pengaruh penyebaran penyakit akan

menjadi infected dalam satuan waktu, yaitu

S S S

dSQ

dtSI S (4.1)

2. Laju penyebaran infected menjadi recovered dalam satuan waktu, yaitu

I

dISI I

dt (4.2)

3. Laju perubahan kesembuhan recovered dalam satuan waktu, yaitu

I I

dRI Q R

dt (4.3)

Gambar 4.1. Diagram alur model SIR dengan pengaruh Vaksinasi, karantina, isolasi,

dan terapi obat antivirus

I S R

QI QS T

V SI I

( + )I

S

V

SQS

QS

S SS I

T QI

R II

IQI

23

4. Laju susceptible dengan pengaruh karantina dalam satuan waktu, yaitu

SS S S

dQS Q

dt (4.4)

5. Laju infected dengan pengaruh isolasi dalam satuan waktu, yaitu

II I I

dQI Q

dt (4.5)

6. Laju susceptible dengan pengaruh vaksinasi dalam satuan waktu, yaitu

dVS V

dt (4.6)

7. Laju infected dengan pengaruh obat antivirus dalam satuan waktu, yaitu

dTI T

dt (4.7)

8. Laju total populasi dalam satuan waktu dengan S IN S I Q R Q V T ,

yaitu

S I

S I

S S S

I S S S

I I I I I

S I

S I

d S I Q R Q V TdN

dt dt

dQ dQdS dI dR dV dT

dt dt dt dt dt dt dt

SI S Q

SI I S Q

I Q R I Q

S V I T

S I Q R Q V T I

S I Q R Q V T I

N I

24

dengan

SQ menyatakan individu pada populasi susceptible yang di karantina

IQ menyatakan individu pada populasi infected yang di isolasi

V menyatakan individu pada populasi susceptible yang di vaksinasi

T menyatakan individu pada populasi infected yang di terapi obat antivirus

menyatakan jumlah kematian pada individu susceptible, susceptible yang di

karantina, susceptible yang di vaksinasi, infected, infected yang di isolasi,

infected yang di terapi obat antivirus, dan recovered

menyatakan jumlah calon individu susceptible

menyatakan konstanta kematian terkait penyakit individu yang terinfeksi

menyatakan konstanta vaksinasi pada populasi susceptible

menyatakan konstanta pengobatan antivirus pada individu infected

S menyatakan konstanta karantina pada individu susceptible

I menyatakan konstanta untuk individu yang meninggalkan kelompok I ke

kelompok isolasi

S menyatakan konstanta dimana kembalinya dari kelompok karantina ke kelompok

susceptible

I menyatakan konstanta dimana individu pulih kembali ke kelompok recovered

25

Karena dN

N Idt

dan belum terinfeksi penyakit pada saat 0t ,

maka dN dN

N Ndt dt

. Misalkan p t , g t dan

p t dt tt e e dengan menggunakan faktor integrasi, sehingga

' ' '

' '

'

t t

t t

t

dNt t p t N t g t

dt

t N t N t t p t N t g t

t N t t p t N t g t

t N t g t

t N t g t dt

e N e dt

e N e c

N ce

Dengan 0t artinya ukuran populasi N akan mendekati / . Sehingga solusi

persamaan (4.1) sampai dengan (4.7) didefinisikan oleh

7 , , , , , , , , , , , , 0,S I S IS I Q R Q V T S I Q R Q V T N

(4.8)

R

26

4.2 Menentukan Titik Kesetimbangan Pemodelan SIR

Berdasarkan definisi titik kesetimbangan, dari persamaan (4.1) - (4.7) dapat

ditentukan titik kesetimbangannya dengan 0, 0, 0, 0,SdQdS dI dR

dt dt dt dt 0,IdQ

dt

0, dV

dt dan 0

dT

dt menjadi

0

0

0

0

0

0

0

S S S

I

S S S

I I

I I I

SI S Q

SI I

S Q

I Q R

I Q

S V

I T

(4.9)

Salah satu kemungkinan solusi untuk persamaan (4.9) adalah S=0, maka persamaan

(4.9) menjadi

0

0

0

0

0

0

S S

I

S S

I I

I I I

Q

I

Q

I Q R

I Q

V

I T

4.10

4.11

4.12

4.13

4.14

4.15

4.16

Solusi untuk persamaan (4.11) adalah

0

0

I

I

I

4.17


27

0

0

S S

S

Q

Q

4.18


0

0

V

V

Karena I=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.14) dan persamaan (4.16) menjadi

QI=0 dan T=0. Dan karena I=0 dan QI=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.13)

menjadi R=0, sehingga titik kesetimbangan untuk 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , ,S IE S I Q R Q V T

dengan 1 1 1 1 10, 0, 0, 0, 0,S IS I Q R Q 1 10, dan 0V T .

Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan I=0, maka persamaan

(4.9) menjadi :

0

0

0

0

0

0

S S S

S S S

I I

I I

S Q

S Q

Q R

Q

S V

T

4.20

4.21

4.22

4.23

4.24

4.25


0S S S

S S S

S S S

S S S

S S

S

S Q

S Q

S Q

S Q

QS

4.26

4.19

28


0S S S

S S S

S

S

S

S Q

Q S

SQ

4.27

Dengan mensubsitusikan persamaan (4.27) ke persamaan (4.26), sehingga

S

S

S

S

S S

S

S S S

S S

S

S

S

S S S

S S S S

S S

S

S

S S

S S

S S

S S S

SS S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S SSS

S

SS

S

(4.28)

sehingga solusi untuk persamaan (4.27) adalah

29

4.29

S

S

S

S

S

S S

S

S

S

S S

S

S

S

SS S

S

S

S S

Q

Q

Q

Q

Solusi untuk persamaan (4.21) dengan mensubstitusikan persamaan (4.28) adalah

0S V

V S

SV

S

S S

V

(4.30)


0

0

I I

I

Q

Q

4.31

Karena QI=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.22) menjadi R=0. Solusi untuk

persamaan (4.25) adalah

0

0

T

T

4.32

30

sehingga titik kesetimbangan untuk 2 2 2 2 2 2 2 2, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan

2 2 2 2 2, 0, , 0, 0,

S S

S

S I

S SS

S I Q R Q

2 1, dan 0

S

SS

V T

.

Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan 0SQ , maka

persamaan (4.9) menjadi :

0

0

0

0

0

0

0

S

I

S

I I

I I I

SI S

SI I

S

I Q R

I Q

S V

I T

4.33

4.34

4.35

4.36

4.37

4.38

4.39


0

0

S

S

S

4.40

Karena S=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.34) dan persamaan (4.38) menjadi

I=0 dan V=0. Dan karena I=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.37) dan persamaan

(4.39) menjadi QI=0 dan T=0. Dan karena I=0 dan QI=0 dapat mengakibatkan

persamaan (4.36) menjadi R=0, sehingga titik kesetimbangan untuk

3 3 3 3 3 3 3 3, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan 3 3 3 3 3 30, 0, 0, 0, 0, 0,S IS I Q R Q V

3 dan 0T .

31

Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan R=0, maka persamaan

(4.9) menjadi :

0

0

0

0

0

0

0

S S S

I

S S S

I I

I I I

SI S Q

SI I

S Q

I Q

I Q

S V

I T

4.41

4.42

4.43

4.44

4.45

4.46

4.47


0I

I

I

I

SI I

SI I

S

S

4.48


0S S S

S S S

S

S

S

S Q

Q S

SQ

S

S

I

S

Q

(4.49)


32

0S V

V S

SV

IV

(4.50)

Solusi persamaan (4.41) untuk I dengan mensubstitusikan persamaan (4.48) dan

persamaan (4.49) adalah

0

0

S S S

S S S

S S S

S S

S

S S

S

SS S

S

S

I

I

I

S

S

I

S

S S

SI S Q

I S Q

I

I

I

I

S Q

QI

S

QI

S

Q

S

S

S

33

S IS S SS

S

S S S

S

I

I

I I

I

I

I

S IS

SI

SI

(4.51)

Solusi persamaan (4.45) dengan mensubstitusikan persamaan (4.51) adalah

0I I I

I I I

I

I

I

I Q

Q I

Q I

I

I

S S SI

I

I S

Q

(4.52)

Solusi persamaan (4.47) dengan mensubstitusikan persamaan (4.51) adalah

0I T

T I

S

S

I

I

S ST

(4.53)

sehingga titik kesetimbangan untuk 4 4 4 4 4 4 4 4, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan

4 ,I

S

34

4 ,

S S S

I S

II

4 ,

S

I

S

SQ

4 0, R

4 ,

S S SI

S

I

I

I

I

Q

4 ,I

V

4dan

S S IS

SI

T

Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan 0IQ , maka

persamaan (4.9) menjadi :

0

0

0

0

0

0

0

S S S

I

S S S

I

SI S Q

SI I

S Q

I R

I

S V

I T

4.54

4.55

4.56

4.57

4.58

4.59

4.60


0

0

I

I

I

4.61

Karena I=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.57) dan persamaan (4.60) menjadi

R=0 dan T=0.

35


0S S S

S S S

S S S

S S S

S S

S

S Q

S Q

S Q

S Q

QS

4.62


0S S S

S S S

S

S

S

S Q

Q S

SQ

4.63

Dengan mensubsitusikan persamaan (4.63) ke persamaan (4.62), sehingga

S

S

S

S

S S

S

S S S

S S

S

S

S

S S S

S S S S

S S

S

S

S S

S S

S S

S S S

SS S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S SSS

36

S

SS

S

(4.64)

sehingga solusi untuk persamaan (4.63) adalah

4.65

S

S

S

S

S

S S

S

S

S

S S

S

S

S

SS S

S

S

S S

Q

Q

Q

Q


0S V

V S

SV

S

S S

V

(4.66)

Sehingga titik kesetimbangan untuk 5 5 5 5 5 5 5 5, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan

5 5 5 5 5, 0, , 0, 0,

S S

S

S I

S SS

S I Q R Q

5 5, dan 0

S

SS

V T

.

37

Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan V=0, maka persamaan

(4.9) menjadi :

0

0

0

0

0

0

0

S S S

I

S S S

I I

I I I

SI S Q

SI I

S Q

I Q R

I Q

S

I T

4.67

4.68

4.69

4.70

4.71

4.72

4.73


0

0S

S

4.74

Karena S=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.68) dan persamaan (4.69) menjadi

I=0 dan QS=0. Dan karena I=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.71) dan

persamaan (4.73) menjadi QI=0 dan T=0. Dan karena I=0 dan QI=0 dapat

mengakibatkan persamaan (4.70) menjadi R=0, sehingga titik kesetimbangan untuk

6 6 6 6 6 6 6 6, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan 6 6 6 6 6 60, 0, 0, 0, 0, 0,S IS I Q R Q V

6dan 0T .

Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan T=0, maka persamaan

(4.9) menjadi

38

0

0

0

0

0

0

0

S S S

I

S S S

I I

I I I

SI S Q

SI I

S Q

I Q R

I Q

S V

I

4.75

4.76

4.77

4.78

4.79

4.80

4.81


0

0

I

I

4.82

Karena I=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.79) menjadi QI=0. Dan karena I=0

dan QI=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.78) menjadi R=0.


0I

I

I

I

SI I

SI I

S

S

4.83


0S S S

S S S

S

S

S

S Q

Q S

SQ

S

S

I

S

Q

(4.84)

39


0S V

V S

SV

IV

(4.85)

Sehingga titik kesetimbangan untuk 7 7 7 7 7 7 7 7, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan

7 7 7 7 7, 0, , 0, 0,

I I

S I

S

S

S I Q R Q

7 7, dan 0I

V T

.

Dari penentuan titik kesetimbangan pada persamaan (4.9) diperolehlah tujuh

titik kesetimbangan, yaitu

1. 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan 1 0,S 1 0,I 1 0,SQ

1 0,R 1 0,IQ

1 0,V 1dan 0T . Individu yang rentan dianggap belum ada sehingga tidak ada

penyebaran penyakit yang terjadi pada populasi.

2. 2 2 2 2 2 2 2 2, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan

2 ,

S

SS

S

2 0,I

2 ,

S

S

S

SQ

2 20, 0,IR Q

2 ,

S S

SV

2dan 0T . Individu yang terinfeksi pada keadaan ini dianggap nol sehingga

hanya ada perlakuan terhadap individu rentan yang diberikan vaksinasi dan

dikarantina.

3. 3 3 3 3 3 3 3 3, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan 3 0,S

3 0,I 3 0,SQ 3 0,R 3 0,IQ

3 0,V dan 3 0T . Pada keaadaan ini individu yang dikarantina dianggap nol

sehingga tidak ada perlakuan yang diberikan pada sistem lainnya

40

4. 4 4 4 4 4 4 4 4, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan 4 ,

IS

4 ,

S S S

I S

II

4 4, 0,

S I

S

SQ R

4 ,

S S SI

S

I

I

I

I

Q

4 ,I

V

dan

4 .

I

SI

S S ST

Pada

keadaan ini kesembuhan dianggap nol sehingga penyebaran penyakit dari

individu rentan akan diberikan vaksinasi dan karantina, selanjutnya individu yang

rentan akan memasuki kelompok Infected yang diberi tindakan terapi obat

antivirus dan isolasi.

5. 5 5 5 5 5 5 5 5, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan

5 ,

S

SS

S

5 0,I

5 ,

S

S

S

SQ

5 50, 0,IR Q

5 ,

S S

SV

dan 5 0T . Pada keadaan ini tindakan isolasi dianggap nol sehingga individu

yang rentan hanya di karantina dan di isolasi

6. 6 6 6 6 6 6 6 6, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan 6 0,S

6 0,I 6 0,SQ 6 0,R 6 0,IQ

6 0,V 6dan 0T . Pada keadaan ini tindakan vaksinasi dianggap nol sehingga

perlakuan pada sistem lain dinggap tidak ada.

7. 7 7 7 7 7 7 7 7, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan 7 ,

IS

7 0,I

7 ,

S

I

S

SQ

7 0,R 7 0,IQ 7 ,

IV

dan 7 0T . Pada keadaan ini tindakan terapi obat antivirus dianggap nol,

41

sehingga penyebaran penyakit dari individu rentan hanya diberi tindakan

vaksinasi dan karantina.

Pada persamaan (4.1) - (4.2) dapat diketahui bentuk nilai reproduksi, yaitu

S S S

I

SI S Q

dISI I

dt

dS

dt

(4.86)

pada persamaan (4.86), misalkan dibuat menjadi persamaan berikut

S S S

I

SI S Q

g S

f

I I

(4.87)

Dari persamaan (4.87) akan diperoleh matriks Jacobian sebagai berikut

S

I

df df

dS dIA

dg dg

dS dI

I SA

I S

Karena untuk nilai reproduksi bebas penyakit belum ada individu yang terinfeksi

penyakit Influenza A H1N1, maka I bernilai nol sehingga matriks Jacobian menjadi

0

S

I

SA

S

(4.88)

Nilai eigen dari matriks A diperoleh dengan menggunakan persamaan karakteristik

dengan 0,Idet A I sebagai matriks identitas, sehingga

42

0

00

00

0

1

0

0

0 1

S

I

S

I

S I

S S I

S

S

S

S

S

S

I

S

det A

2

I S

20 I SS

S IS

0 S IS

1 2S Idan S

Maka didapatkan nilai eigen untuk 1 S dan

2 IS . Berdasarkan tabel 2.1, titik kesetimbangan bebas

penyakit akan stabil asimtotis jika 0i untuk 1,2i . Karena 1 S

dan 2 IS maka IS mengakibatkan

1

I

S

dengan

I

S

adalah cR . Karena pada keadaan bebas

penyakit

S

S S

S

, sehingga

43

c

I

S

S S

c

I

S

S S

c

I

S

c

I S S

SR

R

R

R

(4.89)

Sehingga bentuk lain dari bilangan reproduksi dengan tindakan pengendalian seperti

yang disajikan dalam tabel 4.1

Tabel 4.1. Bilangan Reproduksi pada model SIR untuk influenza A H1N1

Model SIR dengan dinamika Bilangan Reproduksi

Vaksinasi, pengobatan, karantina,

dan isolasi

S

c

I S S

R

Karantina dan isolasi

(dengan 0 )

S

q

I S S

R

Vaksinasi dan pengobatan

(dengan 0S I S I ) vR

Tanpa tindakan pengendalian

(dengan

0S I S I )

0

SR

44

4.3 Menentukan Stabilitas Global Model SIQS

Stabilitas global yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah kesetimbangan

dalam bentuk model SIQS, dengan modelnya adalah

S S S

I

SS S S

SI S Q

dISI I

dt

dQS Q

d

d

S

t

dt

(4.90)

dengan , ,VIR Q dan T adalah variabel independen. Dari hasil titik kesetimbangan

yang bersifat bebas penyakit 1cR merupakan kestabilan global, dan ketika titik

kesetimbangan yang bersifat endemi 1cR merupakan kestabilan global asimtotik.

Persamaan diferensial untuk persamaan (4.90) dalam ruang 3

adalah

S SS I Q S I Q

dengan persamaan (4.90) dalam ruang 3

didefinisikan oleh

3, , , , }0,S S SS I Q S I Q S I Q

Selanjutnya penentuan titik kesetimbangan dengan menggunakan fungsi

Lyapunov dengan kombinasi fungsi Volterra untuk stabilitas global, yaitu

1. Jika 1cR , maka titik kesetimbangan yang bersifat bebas penyakit 0P adalah

stabilitas global asimtotik dalam 3 , , 0, 0S SS QSI Q .

Misalkan 1cR dan U pemetaan dari 3

ke .

R

R

R

R R

R

45

3:U

yang didefinisikan dengan

0 0 0 0

0 0, , S S

S S S S

S S

QSU S I Q S S S ln I Q Q Q ln

S Q

Maka persamaan diferensial untuk , , SU S I Q di 3

, P⁰ adalah minimum

global dari , , SU S I Q di 3

, dan , , 0SU S I Q , adalah

0 00 000

' , ,

S

S S S

SS

S

S

QSd Q Q Q lnd S S S ln

QdISU S I Q

dt dt dt

00

1 1S S S

S S

Q dQS dS dI

S dt dt Q dt

(4.91)

Substitusikan persamaan (4.90) ke persamaan (4.91), sehingga

0

0

' , , 1

1

S S S S

I

S SS S S

S S

SU S I Q SI S Q

S

SI I

QS Q

Q

(4.92)

Gunakan persamaan (4.90) untuk titik kesetimbangan

0 0 0 0 0S S SS I S Q

Karena 0I merupakan keadaan belum terjangkitnya penyakit maka 0I bernilai

nol, sehingga

0 0

S S SS Q (4.93)

R R

46

0 0

0

0

0S S S

S S

S

S Q

Q

S

(4.94)

Gunakan persamaan (4.94) ke persamaan (4.93)

0

0 0

0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0

0 0

S S

S S

S S S S

S S S S S

S

S

QS Q

S

S S Q Q

S S Q Q Q

S S Q

S Q

(4.95)

Selanjutnya, substitusikan persamaan (4.94) dan persamaan (4.95) pada

persamaan (4.92)

00

0 0

0' , , 1 S

S S S S S

QSU S I Q S Q SI S Q

S S

0

0

0

0

1

1

S S

I S S

S S

S S

S S

S S

Q SSI I Q

Q S

Q

QQ

0 00

0

0 0' , , 1 S S

S

Q QSU S I Q S SI S

S S S

00

0

0

0

0 0

1

1

S

I S S S

S S

S S

S S

QSS I S Q

S S

Q QSQ

Q S Q

47

0 0 0 0

0 0

0 0 0' , , S S S

S

Q Q Q SU S I Q S S S

SS S S

0 0 0

0

SQ S S

S SI SIS SS

0 0 0 0

0 0

0 0

0

0 0 0 0

I

S S

S S S S S S

S S S S

S S

S SS S

S I

Q Q S SS Q S Q

S SS S

Q Q Q QS SQ

Q QS Q S Q

0 0

0 0

0 0' , , 2S

S I

Q S SU S I Q S S I

SS S

00

0 0

0 0 0 0 0 01 1S S S S

S S S S

SS S S

Q Q Q QS S S SQ Q

S QS Q Q S Q S

0 0

0 0

0 0' , , 2S

S I

Q S SU S I Q S S I

SS S

00

0

0 02 S S

S S

SS

Q QS SQ

S QQ S

20 0

0 0

0 0' , ,

S

S I

Q S SU S I Q S S I

SS S

200

0

0 0

S S

S S

SS

Q QS SQ

S QQ S

Dengan menggunakan persamaan 0

c

I

SR

maka bentuk

Untuk ' , , SU S I Q dapat ditulis kembali, sehingga

48

220 00 0

0 0

0 0 0 0' , , S S S

S S S

SS

Q Q QS S S SU S I Q S Q

S S QS S Q S

0

IS I

220 00 0

0 0

0 0 0 0' , , S S S

S S S

SS

Q Q QS S S SU S I Q S Q

S S QS S Q S

1I cR I (4.96)

Jadi, 1cR dengan titik kesetimbangan yang bersifat bebas penyakit P⁰

adalah stabilitas global asimtotik dalam 3

.

2. Jika 1cR , maka titik kesetimbangan yang bersifat endemi *P merupakan

stabilitas global asimtotik dalam 3

.

Misalkan 1cR dan L pemetaan dari 3

ke

3:L

yang didefinisikan dengan

* * * * * *

* * *, , S S

S S S S

S S

QS IS I Q S S S ln I I I ln Q Q Q ln

S I QL

(4.97)

Untuk menyelesaikan titik minimum global *P dan , , SS IL Q di 3

,

dengan , , 0SS IL Q dan persamaan diferensial untuk L adalah

R

R

R R

R R

R

49

* ** * * *

**

*

*

**

'

' 1

, ,

, , 1

S

S S S

S S

S

S

S S S

S

S S

QS Id Q Q Q lnd S S S ln d I I I ln

QS IS I Q

dt dt dt

Q dQSS I

L

I IdS dIL

S dt IQ

Q dtdt

(4.98)

Substitusikan persamaan (4.90) ke persamaan (4.98), sehingga

*

*

*

' 1, ,

1

S S S S

I

S S

S S S

S S

SS I Q SI S Q

S

QS Q

Q

LS

I I

(4.99)

Gunakan persamaan (4.90) untuk titik kesetimbangan

* * * *

* * * *

0S S S

S S S

S I S Q

S I S Q

(4.100)

* * *

*

0I

I

S I I

S

(4.101)

* *

*

*

0S S S

S

S S

S Q

Q

S

(4.102)

Gunakan persamaan (4.102) ke persamaan (4.100)

*

* * * *

*

* * * *

S

S S S

S

QS I S Q

S

S I S Q

(4.103)

50

Substitusikan persamaan (4.101), (4.102) dan persamaan (4.103) pada

persamaan (4.99)

**

* * * *

*' 1, , S

S S S S S

QSS I Q S I S Q SI S

SSQL

* *

*

*

*1S S S

S S S

S S

Q QS S S Q

Q SI I

* **

*

* *,' , 1 S S

S

Q QSS I Q

S SL S S

S

* *

* * *

*

*

* *

*

** *

*

1 1

1

S S S S

S S

S S

S S

S S SQ Q S I S

SS SI

Q QSS S S S Q

QI I

QI

SI

* * * *

* *

* * *,' , S S S

S

Q Q Q SS I Q S S S

S SL

SS

* * * *

* * * *

*

* *

* * *

* * * *

* *

*

* *

*

* *

*

S

S S

S S

S S

S S S S

S S

S SS S

Q S S SS S I SI S I SI

S

Q QS S S SS S S S Q

S S S

IS Q S Q

Q Q Q QS SQ

I

Q QS

I I

S Q

S S

Q

* * *

* * * *

* * *, , 2' 2S

S

Q S S S SS IL Q

S SS S I

S S S

**

*

* *2 S S

S S

SSS

Q QS SQ

QQ S

51

* *

* *

* *

**

*

* *, , 2' 2S

S

S S

S S

SS

LS

Q S SS I Q S I

S S

Q QS S

SQ

QQ S

22* ** *

* * *

* * * *, ,'

S S S

S S S

SS

Q Q QS S S SS I Q S I Q

QSL

S SS Q S

Oleh karena itu, ,' , SL S I Q bernilai negatif untuk setiap , , 0SS I Q dan

, ,' 0SS IL Q jika dan hanya jika *S S , *I I dan *

S SQ Q . Maka *P

adalah stabilitas global asimtotik dalam ruang 3

. R

52

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Pada skripsi ini, penulis mempelajari tentang model penyebaran virus

Influenza A H1N1 dengan model SIR yang dipengaruhi oleh vaksinasi, karantina,

isolasi dan terapi obat antivirus. Kesimpulan yang didapatkan dalam penulisan ini

adalah

1. Pengaruh bilangan reproduksi 0

1c

I

SR

dengan

1 S dan 2 IS terhadap penyebaran

virus A H1N1 dengan model SIR mengakibatkan penyakit akan menghilang atau

penyakit akan menetap. RC diperoleh pada keadaan titik kesetimbangan yang

bersifat bebas penyakit. Pada model SIR ini diperoleh tujuh titik kesetimbangan,

dengan titik kesetimbangan 2E , 5E , dan 7E merupakan keadaan bebas penyakit

sedangkan titik kesetimbangan 4E dan merupakan keadaan endemi.

2. Stabilitas global pada titik kesetimbangan model SIQs juga didapatkan dua titik

kesetimbangan yang bersifat bebas penyakit dan bersifat endemi yang sama

dengan kesetimbangan model SIR. Dengan memanfaatkan cR pada

kesetimbangan model SIR dan fungsi Lyapunov dengan kombinasi fungsi

Volterra untuk menentukan stabilitas global diperolehlah dua titik kesetimbangan,

53

yaitu titik kesetimbangan yang bersifat bebas penyakit dengan 1cR yang

mengakibatkan penyebaran penyakit akan menghilang atau penyebaran penyakit

akan menetap, dan titik kesetimbangan yang bersifat endemi dengan 1cR yang

mengakibatkan penyakit akan menjadi mewabah.

5.2 Saran

Dalam penulisan tugas akhir ini, penulis menyadari banyaknya kekurangan

dalam tulisan ini. Untuk itu, penulis memberikan saran kepada pembaca untuk

melakukan kestabilan titik kesetimbangan dari model SIR dan mengembangkan

model SIR ini dengan memperhatikan pengaruh dari masa inkubasi penyakit, faktor

biaya seperti vaksinasi, karantina, terapi, maupun isolasi, dan laju kelahiran yang

tidak sama dengan laju kematian guna mendapatkan model SIR yang lebih baik lagi.

54

REFERENSI

[1] Keputusan Menteri Kesehatan Republik Indonesia No

311/Menkes/SK/V/2009.

[2] Aditama, T.Y., (2010), Situasi Terkini Influenza Baru A H1N1 di Indonesia,

http://www.penyakitmenular.info/userfiles/Situasi%20terkini%20H1N1%20di

%20Indonesia.pdf.

[3/4/2014 14.10 WIB]

[3] Nugroho, Susilo. Pengaruh Vaksinasi terhadap Penyebaran Penyakit dengan

Model Endemi SIR. Surakarta : Universitas Sebelas Maret. 2009.

[4] Boyce, W. E. and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and

Boundary Value Problem. New York : John Wiley and Sons, Inc. 1986.

[5] Finizio N, Ladas G. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan

Modern, Edisi ke-2. Terjemahan Dra. Widiarti Santoso. Jakarta: Erlangga.

1988.

[6] Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear, Jilid 1. Ciputat : BINARUPA

AKSARA Publisher. 2008.

[7] G. G'omez Alcaraz. Modeling control strategies for influenza A H1N1

epidemics: SIR models, Revista Mexicana de F´ ısica S 58 (1) 37-43. 2012

[8] Hethcote, H. W., The Mathematics of Infectious Diseases, SIAM Rewiew 42,

no. 4, 599-653. 2000

[9] Tu PNV. Dynamical System, An Introduction with Application in Economics

and Biology. Germany : Spinger-verlag, Heidelberg. 1994.

[10] Wiggin, S. Introduction to Applied Non Linear Dynamical Systems and

Chaos. Springer – Verlag. 2003.

[11] Giesecke J. Modern Infectious Disease Epidemiology. New York : Oxford

University Press. 1994.

[12] Vergas, C. and De-Leon. Contructions of Lyapunov Functions for Classic SIS,

SIR and SIRS Epidemic models with Variable Population Size. Mexico :

UNAM. 2009.

http://www.penyakitmenular.info/userfiles/Situasi%20terkini%20H1N1%20di%20Indonesia.pdf

http://www.penyakitmenular.info/userfiles/Situasi%20terkini%20H1N1%20di%20Indonesia.pdf

KESETIMBANGAN MODEL PENYEBARAN...

Documents

Transcript of KESETIMBANGAN MODEL PENYEBARAN...