KESETIMBANGAN MODEL PENYEBARAN VIRUS
INFLUENZA A H1N1 MENGGUNAKAN MODEL SUSCEPTIBLE-
INFECTED-RECOVERED (SIR)
Firly Octavianti
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA
2014 M/ 1435 H
i
KESETIMBANGAN MODEL PENYEBARAN VIRUS
INFLUENZA A H1N1 MENGGUNAKAN MODEL SUSCEPTIBLE-
INFECTED-RECOVERED (SIR)
SKRIPSI
Diajukan Kepada
Universitas Islam Negeri (UIN) Syarif Hidayatullah Jakarta
Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan Dalam
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Fakultas Sains dan Teknologi
Oleh :
Firly Octavianti
109094000006
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA
2014 M/ 1435 H
ii
PENGESAHAN UJIAN
Skripsi berjudul “Kesetimbangan Model Penyebaran Virus Influenza A H1N1
menggunakan Model Susceptible-Infected-Recovered (SIR)” yang ditulis oleh
Firly Octavianti, NIM 109094000006 telah diuji dan dinyatakan lulus dalam sidang
Munaqosah Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif
Hidayatullah Jakarta pada hari Rabu, 1 Oktober 2014. Skripsi ini telah diterima untuk
memenuhi salah satu persyaratan dalam memperoleh gelar sarjana strata satu (S1)
Program Matematika.
Menyetujui :
iii
PERNYATAAN
DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR- BENAR
HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI
SKRIPSI ATAU KARYA ILMIAH PADA PERGURUAN TINGGI ATAU
LEMBAGA MANAPUN.
Jakarta, Oktober 2014
Firly Octavianti
109094000006
iv
PERSEMBAHAN
Alhamdulillahirobbil′aalamin, dengan mengucap rasa syukur kepada Allah SWT, Skripsi
ini dipersembahkan untuk keluargaku, Papa Edi Usdianto dan Ibu Yusniati, Abang Ferdy
Ferdyansyah & Adik Fauzan Merdianto tercinta yang selalu memberikan motivasi, Bapak
dan Ibu dosen Matematika yang dengan sabar mengajar saya
"Semoga Semua Kebaikan Mereka Dibalas Dengan Beribu Kenikmatan Dari ALLAH SWT"
MOTTO
"Berdoa,tidak berputus asa & yakinlah bahwa Allah akan memberi kemudahan pada
hambanya yang berusaha "
v
ABSTRAK
Influenza A H1N1 atau Swine Influenza merupakan penyakit saluran
pernapasan yang disebabkan oleh virus influenza (H1N1) yang sudah menular dari
manusia ke manusia dan dapat mengakibatkan kematian yang telah melanda beberapa
negara dalam waktu relatif cepat. Model SIR adalah model matematika yang
digunakan untuk mengetahui laju penyebaran dan laju kepunahan suatu wabah
penyakit dalam populasi tertutup dan bersifat endemi. Penelitian ini mempelajari
kesetimbangan model SIR dengan pengaruh vaksinasi, karantina, isolasi dan terapi
obat antivirus. Titik Kesetimbangan bebas penyakit digunakan untuk mendapatkan
bilangan reproduksi RC dengan nilai eigen yang diperoleh dari matriks Jacobian.
Hasil analisis diperoleh bahwa tingkat vaksinasi, karantina, isolasi dan terapi obat
antivirus diperlukan untuk mencegah penyebaran penyakit. Penyakit akan berangsur-
angsur menghilang dari populasi untuk RC < 1.
Kata kunci : Infuenza A H1N1, Kesetimbangan model SIR, Titik
Kesetimbangan, Bilangan Reproduksi, dan Stabilitas
Lyapunov.
vi
ABSTRACT
Influenza A H1N1 or Swine Influenza is a respiratory disease caused by
influenza virus (H1N1) that is easily transmitted from human to human and can cause
death that has hit several countries in a relatively quick time. SIR model is a
mathematical model used to determine the rate of spread and the rate of extinction of
an outbreak of disease in the population covered and are endemic. This research
studied the effect of equilibrium of SIR model with vaccination, quarantine, isolation,
and antiviral drug therapy. The equilibrium point free disease used to obtain
reproduction number RC with eigenvalues obtained from the Jacobian matrix. The
results of the analysis showed that the level of vaccination, quarantine, isolation, and
antiviral drug therapy is necessary to prevent the spread of disease. Disease will
gradually disappear from population for RC < 1.
Keywords : Influenza A H1N1, Equilibrium of SIR Model, Equilibrium Point,
Reproduction Number, and Lyapunov Stability.
vii
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Alhamdulillah, segala puji dan syukur ke hadirat Allah SWT atas segala
nikmat dan karunia-Nya, hingga penulis dapat menyelesaikan skripsi
“Kesetimbangan Model Penyebaran Virus Influenza A H1N1 menggunakan Model
Susceptible-Infected-Recovered (SIR)”. Shalawat serta salam selalu tercurah kepada
baginda Nabi Muhammad SAW, teladan dan rahmat bagi seluruh alam.
Penulis menyadari tanpa bantuan, dorongan, bimbingan dan do'a dari berbagai
pihak penelitian ini tidak mungkin terselesaikan dengan baik. Oleh karena itu, penulis
menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
1. Kedua orang tua tercinta, Ibu dan Papa yang telah memberikan kasih sayang,
motivasi, dan dukungan secara moril, materil, dan doa dalam menyelesaikan
skripsi ini.
2. Bapak Dr. Agus Salim M.Si sebagai Dekan Fakultas Sains dan Teknologi UIN
Syarif Hidayatullah Jakarta sekaligus sebagai penguji I, yang telah menyediakan
waktunya dan memberikan kritik serta saran dalam penyelesaian skripsi ini.
3. Ibu Yanne Irene M.Si sebagai Ketua Prodi Matematika Fakultas Sains dan
Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.
4. Ibu Irma Fauziah, M.Sc dan Dr. Nur Inayah, M.Si sebagai dosen di Prodi
Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta
sekaligus sebagai pembimbing I dan II, yang selalu menyediakan waktu disela-
sela kesibukannya untuk membimbing dan arahan serta saran yang mendukung
penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
5. Bapak Mahmudi, M.Si selaku dosen penguji II, yang telah menyediakan
waktunya dan memberikan kritik serta saran untuk kesempurnaan penulisan
skripsi ini.
viii
6. Para dosen di Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif
Hidayatullah Jakarta yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, tetapi tidak
mengurang rasa hormat penulis kepada mereka.
7. Sahabat Math'09 terutama Raihanul Jannah, S. Si, Maida Vitaloka, Ningtyas
Gayatri, S. Si, Iftah Afiffah yang selalu mendukung dan memotivasi, serta Syifa
Ainul Yaqin yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
8. Pihak-pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, yang telah
memberikan semangat dan bantuan sehingga skripsi ini selesai disusun.
Akhir kata, semoga Allah SWT membalas semua kebaikan mereka dan
semoga skripsi ini bermanfaat bagi pihak yang membutuhkannya.
Jakarta, Oktober 2014
Penulis
ix
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ...................................................................................................... i
LEMBAR PENGESAHAN ......................................................................................... ii
PERNYATAAN .......................................................................................................... iii
PERSEMBAHAN DAN MOTTO ............................................................................... iv
ABSTRAK .................................................................................................................. v
ABSTRACT ................................................................................................................ vi
KATA PENGANTAR ................................................................................................ vii
DAFTAR ISI ................................................................................................................ ix
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang .................................................................................... 1
1.2 Permasalahan ...................................................................................... 3
1.3 Pembatasan Masalah ........................................................................... 4
1.4 Tujuan Penulisan ................................................................................. 4
1.5 Manfaat Penulisan ............................................................................... 5
BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Persamaan Diferensial ........................................................................ 6
2.2 Ruang Dimensi n ………………. ..................................................... 9
2.3 Titik Kesetimbangan ......................................................................... 10
2.4 Sistem Linearisasi .............................................................................. 12
x
2.5 Model SIR Dasar ............................................................................... 13
2.6 Bilangan Reproduksi ......................................................................... 15
2.7 Stabilitas Lyapunov .......................................................................... 15
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Metode Pengolahan Data ................................................................... 17
3.1.1 Mempelajari Teori Dasar ......................................................... 17
3.1.2 Mempelajari Artiker Terkait .................................................... 17
3.2 Metode Analisa Data ........................................................................ 18
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Penentuan Asumsi dan Pemodelan SIR............................................. 20
4.2 Menentukan Titik Kesetimbangan Pemoodelan SIR ........................ 26
4.3 Menentukan Stabilitas Global Model SIQs ....................................... 44
BAB V PENUTUP
5.1 KESIMPULAN ................................................................................ 52
5.2 SARAN ............................................................................................. 53
REFERENSI ............................................................................................................... 54
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Influenza A H1N1 atau Swine Influenza merupakan penyakit saluran pernapasan
yang disebabkan oleh virus influenza (H1N1) yang sudah menular dari manusia ke
manusia dan dapat mengakibatkan kematian yang telah melanda beberapa negara
dalam waktu relatif cepat dan berpotensi menyebar ke Indonesia, sehingga dapat
menyebabkan kepanikan di kalangan masyarakat dan sewaktu-waktu dapat menjadi
wabah. Gejala-gejala secara umum penyakit ini mirip influenza dengan tanda-tanda
klinis antara lain; demam >38⁰C, batuk, pilek, lesu, letih, nyeri tenggorokan, nafas
cepat, sesak nafas, mual, muntah dan diare. Cara penularan melalui udara dan dapat
juga melalui kontak langsung. Masa inkubasi (waktu masuknya virus ke tubuh
sampai munculnya gejala klinis) adalah 3 - 5 hari. Langkah-langkah antisipasi
terinfeksi virus ini dengan mewaspadai semua kasus flu, menjauhkan hewan ternak
dari pemukiman penduduk, menganjurkan warga untuk selalu meningkatkan Perilaku
Hidup Bersih dan Sehat (PHBS), melakukan kampanye pencegahan flu A H1N1 pada
masyarakat untuk melakukan hal-hal sebagai berikut; selalu mencuci tangan sebelum
dan sesudah melakukan aktifitas sehari-hari (PHBS), menutup hidung dan mulut
dengan tissue atau saputangan saat batuk atau bersin, menggunakan masker, tidak
2
meludah disembarang tempat. Jika dicurigai adanya kasus flu A H1N1 laporkan ke
Unit Pelayanan Kesehatan terkait [1].
Di Indonesia, swine flu sudah terdeteksi hampir 25 propinsi dengan jumlah
korban terinfeksi mencapai 1.127 orang. Mudahnya penyebaran swine flu
dikarenakan kurangnya informasi kepada warga mengenai penyakit swine flu yang
pada saat itu masih merupakan penyakit baru [2].
Karena virus Influenza A H1N1 dapat mematikan secara alami, maka penting
menggunakan pemodelan matematika untuk mencoba menekan perkembangannya.
Pemodelan matematika yang dimaksudkan adalah model Susceptible-Infected-
Recovered (SIR). Model SIR pertama ini dikenalkan oleh Kermack dan McKendrick
pada tahun 1927. Bentuk umum model SIR disajikan dalam bentuk persamaan
diferensial. Pada model SIR, populasi dibagi kedalam tiga kelompok yaitu kelompok
individu yang sehat namun dapat terinfeksi penyakit (Susceptible), kelompok
individu yang terinfeksi penyakit dan dapat sembuh dari penyakit (Infected), dan
kelompok individu yang telah sembuh dan kebal terhadap penyakit (Recovered).
Model penyebaran yang bersifat endemi yaitu kondisi dimana penyakit
menyebar pada suatu wilayah dalam kurun waktu yang lama, sehingga terjadi
perubahan populasi yang disebabkan oleh kelahiran dan kematian. Penyebaran
penyakit dapat ditekan dengan pemberian vaksinasi, karantina, isolasi dan terapi obat
antivirus agar dapat mencegah meluasnya penyakit. Perilaku sistem juga dapat di
amati pada titik-titik dimana sistem berada pada keadaan setimbang. Titik-titik ini
3
kemudian disebut sebagai titik kesetimbangan pada sistem yang dikenal sebagai
kestabilan dan merupakan informasi yang menggambarkan perilaku pada sistem.
Model matematika merupakan salah satu alat yang dapat membantu
mempermudah penyelesaian masalah dalam kehidupan nyata. Masalah-masalah
tersebut dapat dibawa ke dalam model matematis dengan menggunakan asumsi-
asumsi tertentu. Selanjutnya model yang diperoleh akan dicari solusinya. Pada
penelitian sebelumnya, dengan judul Pengaruh Vaksinasi terhadap penyebaran
penyakit dengan model endemi SIR [3], menyimpulkan bahwa model endemi SIR
dengan pengaruh vaksinasi dapat menurunkan jumlah penderita pada model SIR.
Berdasarkan ulasan tersebut, penulis melakukan penelitian dengan judul
"KESETIMBANGAN MODEL PENYEBARAN VIRUS INFLUENZA A H1N1
MENGGUNAKAN MODEL SUSCEPTIBLE-INFECTED-RECOVERED (SIR) ”.
1.2 Permasalahan
Berdasarkan latar belakang diatas terdapat beberapa permasalahan yang akan
dibahas dalam penelitian ini, yaitu:
1. Bagaimana pengaruh bilangan reproduksi CR terhadap penyebaran virus
Influenza A H1N1 dengan model SIR yang dipengaruhi oleh vaksinasi,
karantina, isolasi dan terapi obat antivirus?
2. Bagaimana cara menentukan stabilitas global pada titik kesetimbangan
model SIQs?
4
1.3 Pembatasan Masalah
Sesuai dengan inti dari penelitian ini, maka penulis membatasi ruang lingkup
pada penyakit Influenza A H1N1 yang bersifat endemi dengan asumsi sebagai
berikut:
1. Jumlah populasi diasumsikan cukup besar dan tertutup, sehingga tidak ada
populasi yang masuk atau keluar dari populasi tersebut. Total populasi
diasumsikan konstan.
2. Model SIR memperhatikan faktor kelahiran dan kematian dengan jumlah
kelahiran dan jumlah kematian tiap satuan waktu dianggap sama yang
dipengaruhi oleh vaksinasi, karantina, isolasi, dan terapi obat antivirus. Tiap
individu yang baru lahir diasumsikan dapat terinfeksi penyakit karena belum
kebal terhadap penyakit.
3. Populasi bercampur secara homogen yang mempunyai kemungkinan yang
sama dalam melakukan kontak dengan individu lain.
4. Individu yang terinfeksi penyakit dapat sembuh dan dapat meninggal dunia
akibat penyakit.
5. Diasumsikan hanya terdapat satu penyakit yang menyebar dalam populasi.
1.4 Tujuan Penulisan
Tujuan dari penelitian ini adalah
5
1. Mengetahui pengaruh bilangan reproduksi RC terhadap penyebaran virus
Influenza A H1N1 dengan model SIR yang dipengaruhi oleh vaksinasi,
karantina, isolasi dan terapi obat antivirus.
2. Mengetahui cara menentukan stabilitas global pada titik kesetimbangan
model SIQs.
1.5 Manfaat Penulisan
Manfaat dari penelitian ini selain dari Tugas Akhir diharapkan juga dapat
mengembangkan wawasan keilmuan mengenai model SUSCEPTIBLE-INFECTED-
RECOVERED (SIR) dalam bidang kesehatan dengan menggunakan Pemodelan
Matematika.
6
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Persamaan Diferensial
Persamaan Diferensial adalah Persamaan yang melibatkan variabel-variabel
takbebas dan derivatif-derivatifnya terhadap variabel-variabel bebasnya. Persamaan
Diferensial dibagi menjadi dua bentuk, yaitu Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dan
Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Perbedaan keduanya terletak pada jumlah
variabel bebasnya. PDB melibatkan satu variabel bebas sedangkan PDP melibatkan
lebih dari satu variabel bebas.
Suatu PDB berorde-n dapat ditulis dalam bentuk [5] :
1t, , ', ", ,
n ny F y y y y
(2.1)
dengan 1, ', ", , ,
n ny y y y y
fungsi yang semua nilainya ditentukan oleh waktu t .
PDB orde satu dapat ditulis dalam bentuk [5] :
' t,y F y (.2.2)
Suatu persamaan diferensial linear berorde-n dapat ditulis dalam bentuk [5] :
1
1 1 0'n n
n na t y a t y a t y a t y f t
(2.3)
dengan barisan 1 1 0, , , ,n na t a t a t a t dan f t adalah fungsi dari t .
Persamaan Diferensial Linier dapat ditulis dalam bentuk [4] :
'y p t y g t (2.4)
7
dengan p t dan g t adalah fungsi dari waktu t . Untuk mendapatkan faktor
integrasi, yaitu dengan cara mengalikan fungsi t dinyatakan sebagai berikut :
y't t p t y t g t (2.5)
Dengan menggunakan kombinasi ' ' y't y t y t kita harus
menambahkan dan mengurangi dengan ' t y pada persamaan (2.5) di ruas sebelah
kiri dinyatakan sebagai berikut :
' ' y't y t y t t p t y t g t (2.6)
Sekarang jika kondisi kedua pada ruas sebelah kiri adalah nol, maka persamaan (2.6)
menjadi
't y t g t (2.7)
dan ruas sebelah kiri akan di integralkan. Untuk mencapai situsai ini kita harus
memilih menjadi
' 0t t p t (2.8)
Jika kita asumsikan positif, maka kita dapat menuliskan persamaan (2.8) menjadi
' tp t
t
atau
lnd
t p tdt
(2.9)
Maka
8
ln t p t dt k (2.10)
Dengan memilih konstanta k menjadi nol, diperolehlah fungsi untuk , yaitu
expt p t dt (2.11)
dengan expt p t dt merupakan faktor integrasi [4].
Pada persamaan (2.4) pula p t dapat dinyatakan sebagai matriks A
berukuran n n dengan koefisien konstan dan g t dinyatakan sebagai vektor
konstan b sehingga diperoleh bentuk persamaan diferensial linear sebagai berikut:
,dy
Ay bdt
00y y (2.12)
dari persamaan (2.12), dan y adalah matriks kolom, sehingga
111 12 1 1
21 22 2 22
1 2
n
n
n n nn n
n
b a a a y
a a a yb
a a a yb
atau
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
n n
n n
n n n nn n
b a y a y a y
b a y a y a y
b a y a y a y
dengan ija untuk , 1,2, ,i j n adalah bilangan riil [6].
9
Dari persamaan (2.12), misalkan suatu matriks A berukuran n n dan suatu
vektor taknol y di n yang dinyatakan dalam bentuk :
Ay y (2.13)
Vektor y disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen . Untuk
mencari nilai eigen dari matriks A , maka persamaan (2.13) dapat ditulis sebagai
berikut :
0A yI (2.14)
Dengan I adalah matriks identitas berukuran n n . Persamaan (2.14)
mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika :
0det A I (2.15)
Persamaan (2.15) disebut persamaan karakteristik dari A [6].
2.2 Ruang Dimensi-n
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka ganda-n berurut adalah sederet n
bilangan real 1 2, ,...( ), na a a . Himpunan semua ganda-n berurut disebut ruang
berdimensi-n dan dinyatakan dengan n [6].
Dengan notasi pembentuk
1 2 1 2( ) ( ), ,..., , ,...,n
n na a a a a a (2.16)
10
2.3 Titik Kesetimbangan
Misalkan diberikan persamaan diferensial sebagai berikut :
dy
f ydt
(2.17)
Suatu titik * ny y disebut titik kesetimbangan dari persamaan (2.17),
jika * 0f y [9].
Pada titik kesetimbangan dapat ditentukan kestabilan titik kesetimbangan.
Diberikan sistem persamaan diferensial sebarang
, ndyf y y
dt (2.18)
Analisis kestabilan titik kesetimbangan dilakukan melalui matriks Jacobi,
yaitu matriks A . Penentuan kestabilan titik kesetimbangan didapat dengan melihat
nilai-nilai eigennya, yaitu i dengan 1,2,3,...,i n yang diperoleh dari
0det A I . Secara umum kestabilan titik kesetimbangan mempunyai tiga
perilaku sebagai berikut :
1. Stabil, jika setiap nilai eigen real adalah negatif 0 untuk semua i i dan
setiap komponen bagian real dari nilai eigen kompleks, lebih kecil atau
sama dengan nol 0 untuk semua e iR i .
11
2. Takstabil, jika ada nilai eigen real adalah positif 0 untuk semua i i dan
ada komponen bagian real dari nilai eigen kompleks, lebih besar dari nol
0 untuk semua e iR i .
3. Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen real sebarang adalah negatif
, 0 untuk semua dan sebarangi j i j . Titik kesetimbangan sadel ini
bersifat takstabil [9].
Berikut diberikan tabel kestabilan titik kesetimbangan berdasarkan nilai eigen
Tabel 2.1. Kriteria kestabilan berdasarkan nilai eigen
Nilai Eigen Nama Kestabilan
real, tidak sama, bertanda sama Simpul
stabil asimptotis: semuanya negative
tidak stabil: semuanya positif
real, tidak sama, berlawan tanda Sadel tidak stabil
real, sama Simpul
stabil asimptotis: semuanya negative
tidak stabil: semuanya positif
kompleks konjugate bukan
imajiner murni Spiral
stabil asimptotis: bagian real
negative
tidak stabil: bagian real positif
Imajiner murni Pusat Stabil
12
2.4 Sistem Linearisasi
Untuk suatu persamaan diferensial taklinear, analisis kestabilan dilakukan
melalui pelinearan. Misalkan diberikan persamaan diferensial taklinear sebagai
berikut [9] :
, : n ndyf y f U
dt (2.19)
Dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk suatu titik kesetimbangan *y ,
maka persamaan (2.19) dapat ditulis sebagai berikut :
dy
Ay ydt
(2.20)
Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial taklinear dengan A
adalah matrik Jacobi,
*
*
|y
1 1
1
1
11 1
1
y
n
n n
n
n
n nn
A Df y Df y
f fy y
f fy y
a a
a a
dan y suku berorde tinggi yang bersifat 0
lim 0y
y
. Selanjutnya Ay pada
persamaan (2.20) disebut sistem linearisasi dari (2.19) yang didapat dalam bentuk :
13
dyAy
dt (2.21)
2.5 Model SIR Dasar
Model dasar SIR menurut Hethcote [8], total populasi dianggap konstan dan
dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu S adalah kelompok individu yang sehat dan
dapat terinfeksi, I adalah kelompok individu yang telah terinfeksi, dan R adalah
kelompok individu yang telah sembuh dan kebal terhadap penyakit. Penyebaran
penyakit pada model SIR dapat disajikan dalam diagram alur pada gambar 2.1
Pada gambar 2.1 menunjukkan bahwa besarnya jumlah individu pada
kelompok S yang memasuki kelompok I karena telah terinfeksi penyakit melalui
kontak adalah sebesar SI . Individu pada kelompok I yang telah sehat dari penyakit
sebesar I akan memasuki kelompok R.
Misalkan mereka telah di asingkan dari populasinya. Persamaan yang diberikan
adalah
Gambar 2.1. Diagram alur model SIR
Recovered (R)
Infected
(I) Susceptible
(S) SI I
14
1. Laju penyebaran Susceptible akan menjadi Infected dalam satuan waktu,
yaitu
dSSI
dt (2.22)
2. Laju penyebaran Infected menjadi Recovered dalam satuan waktu, yaitu
dISI I
dt (2.23)
3. Laju perubahan kesembuhan Recovered dalam satuan waktu, yaitu
dRI
dt (2.24)
dengan
t menyatakan waktu,
menyatakan konstanta penularan dari individu susceptible, 0 ,
menyatakan konstanta pemulihan, 0
Persamaan (2.22) menjelaskan bahwa individu rentan yang terinfeksi
sebanding dengan jumlah kontak antara individu dari S dan I dalam satuan waktu,
dengan asumsi yang hanya bergantung dari jumlah masing-masing kelompok, yaitu
ada pencampuran seragam dari populasi. Persamaan (2.23) menjelaskan bahwa
individu yang terinfeksi akan berkurang dan memasuki laju kesembuhan antara
individu dari I dan R dalam satuan waktu. Asumsi pada persamaan (2.24) adalah
tingkat dimana individu tidak dapat menularkan penyakit sebanding dengan jumlah
yang terinfeksi. Ini merupakan rata-rata proses dimana individu-individu tertentu
15
dalam jangka waktu yang berbeda untuk mencapai keadaan dimana mereka tidak
menularkan infeksi. Dengan persamaan total populasi adalah
N t S t I t R t (2.25)
dengan N adalah total populasi.
2.6 Bilangan Reproduksi
Bilangan reproduksi (RC) adalah suatu nilai yang menyatakan rasio dari
banyaknya kasus infeksi kedua terhadap kasus infeksi pertama dalam populasi
tertutup dan bebas penyakit. RC digunakan untuk membedakan antara pertumbuhan
penyakit yang sangat pesat dengan yang hampir musnah atau hilangnya penyakit dari
populasi. Beberapa kondisi yang akan timbul, yaitu :
1. Jika RC < 1, maka penyakit akan menghilang.
2. Jika RC = 1, maka penyakit akan menetap.
3. Jika RC > 1, maka penyakit akan meningkat menjadi wabah [11].
2.7 Stabilitas Lyapunov
Misalkan * 0y adalah titik kesetimbangan dari persamaan (2.4) dan z
adalah sebarang solusi.
1. *y t dikatakan Stabil Lyapunov, jika untuk setiap 0 terdapat
0 , sedemikian sehingga untuk setiap solusi z t dengan
16
*
0 0 ,y t z t maka memenuhi pertidaksamaan *y t z t
untuk setiap 0 0,t t t .
2. *y dikatakan stabil asimtotik, jika *y stabil Lyapunov dan terdapat
konstanta 0b , sedemikian sehingga *
0 0 ,y t z t b maka memenuhi
*lim 0t
y t z t
[10].
Berikut diberikan fungsi Lyapunov Logaritma diperkenalkan oleh Goh untuk
Sistem Voltera jika [12]
* *
1 2 *1
, y , , yn
i
n i i i i
i i
yL y c y y y ln
y
(2.25)
dengan
L menyatakan fungsi Lyapunov
iy menyatakan variabel, untuk 1,2,3,...,i n
*
iy menyatakan titik kesetimbangan, untuk 1,2,3,...,i n
ic menyatakan konstanta, untuk 1,2,3,...,i n
17
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Metode Pengolahan Data
Secara umum metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur dengan
membaca buku dan paper. Dalam penelitian ini, langkah-langkah yang telah
dilakukan untuk memperoleh hasil yang diteliti. Secara detail metode pengolahan
data yang dilakukan sebagai berikut:
3.1.1 Mempelajari Teori Dasar
Beberapa materi dasar yang diharus dikuasai untuk skripsi ini adalah: modul
atas nilai eigen, vektor eigen, persamaan diferensial orde satu, faktor integrasi, sistem
linearisasi, titik kesetimbangan, kestabilan titik kesetimbangan, bilangan reproduksi,
dan fungsi lyapunov. Materi hingga faktor integrasi sudah dipelajari pada kelas
persamaan diferensial biasa, untuk materi selanjutnya dipelajari mandiri dan diskusi
dengan dosen pembimbing.
3.1.2 Mempelajari Artikel Terkait
Tahapan berikutnya adalah mencari dan mempelajari buku dan jurnal terkait.
Jurnal utama yang akan dikaji adalah jurnal G'omez Alcaraz [7], kemudian
mempelajari jurnal lain yang terkait dengan hasil penelitian mereka untuk
meningkatkan pemahaman tentang model Susceptible-Infected-Recovered (SIR).
18
3.2 Metode Analisa Data
Analisa data dilakukan dengan model SIR, setelah mempelajari teori dasar,
artikel terkait, dan memahami bukti model pada paper utama [7], penulis menganalisa
model lebih spesifik dengan alur sebagai berikut
Gambar 3.1 Alur penelitian Model SIR dengan pengendalian
Menentukan asumsi
dan Pemodelan SIR
[7]
Studi Literatur
Asumsi :
1. Calon individu
Susceptible
2. Faktor kematian &
kematian terkait
penyakit
3. Vaksinasi
4. Karantina
5. Isolasi
6. Terapi obat antivirus
Model SIR :
dS
dt,dI
dt, SdQ
dt,dR
dt, IdQ
dt,
dV
dt,
dT
dt
Titik kesetimbangan
1. E1 dengan solusi S=0
2. E2 dengan solusi I=0
3. E3 dengan solusi QS=0
4. E4 dengan solusi R=0
5. E5 dengan solusi QI=0
6. E6 dengan solusi V=0
7. E7 dengan solusi T=0
Menentukan Stabilitas global SIQs
Menentukan Titik
kesetimbangan pemodelan
SIR
Kesimpulan
19
Penelitian ini bersifat studi literatur, dari paper utama [7] penentuan asumsi
berupa calon individu Susceptible, faktor kematian alami dan kematian terkait
penyakit akibat virus swine influenzayang dipengaruhi vaksinasi, karantina, isolasi,
dan pengobatan berupa terapi obat antivirus. Pemodelan SIR yang telah diperoleh
selanjutnya akan ditentukan titik kesetimbangannya berdasarkan definisi pada
landasan teori.
Dari titik kesetimbangan yang diperoleh akan diketahui bentuk yang bersifat
bebas penyakit dan bersifat endemi. Titik kesetimbangan yang bersifat bebas penyakit
swine influenza ini dapat ditentukan bilangan reproduksi RC.
Dengan memanfaatkan bilangan reproduksi RC pada model SIR dan
menggunakan fungsi Lyapunov dengan kombinasi fungsi Volterra dapat ditentukan
stabilitas global pada model SIQS.
Gambar 3.1 Alur penelitian Model SIR dengan pengendalian
Kesimpulan
Studi Literatur
Menentukan asumsi
dan Pemodelan SIR
[7]
Asumsi :
7. Calon individu
Susceptible
8. Faktor kematian &
kematian terkait
penyakit
9. Vaksinasi
10. Karantina
11. Isolasi
12. Terapi obat
antivirus
Model SIR :
dS
dt,dI
dt, SdQ
dt,dR
dt, IdQ
dt,
dV
dt,
dT
dt
Menentukan Stabilitas global SIQs
Menentukan Titik
kesetimbangan pemodelan
SIR
Titik kesetimbangan
8. E1 dengan solusi S=0
9. E2 dengan solusi I=0
10. E3 dengan solusi QS=0
11. E4 dengan solusi R=0
12. E5 dengan solusi QI=0
13. E6 dengan solusi V=0
14. E7 dengan solusi T=0
20
BAB IV
PEMBAHASAN
4.1 Penentuan Asumsi dan Pemodelan SIR
Model SIR yang digunakan dalam tulisan ini diturunkan ulang dari model SIR
klasik yang mengacu pada Hethcote [8] dengan memperhatikan faktor pengaruh
vaksinasi, karantina, isolasi dan terapi obat antivirus. Asumsi atau batasan yang
digunakan dalam penyebaran penyakit menurut Hethcote [8] adalah
1. Jumlah populasi diasumsikan cukup besar dan tertutup, sehingga tidak ada
populasi yang masuk atau keluar dari populasi tersebut. Total populasi
diasumsikan konstan.
2. Model SIR memperhatikan faktor kelahiran dan kematian dengan jumlah
kelahiran dan jumlah kematian tiap satuan waktu dianggap sama yang
dipengaruhi oleh vaksinasi, karantina, isolasi, dan terapi obat antivirus. Tiap
individu yang baru lahir diasumsikan dapat terinfeksi penyakit karena belum
kebal terhadap penyakit.
3. Populasi bercampur secara homogen yang mempunyai kemungkinan yang sama
dalam melakukan kontak dengan individu lain.
4. Individu yang terinfeksi penyakit dapat sembuh dan dapat meninggal dunia
akibat penyakit.
5. Diasumsikan hanya terdapat satu penyakit yang menyebar dalam populasi.
21
Penyebaran swine influenza pada populasi manusia diasumsikan memiliki
jumlah konstan dan dalam satu periode waktu wabah serta dibagi menjadi tiga
kelompok. Pertama adalah populasi yang sehat namun rentan terhadap penyakit yang
disebut susceptible (S). Kedua adalah populasi yang terinfeksi yang disebut infected
(I). Kelompok populasi ketiga adalah populasi yang telah sembuh dari penyakit swine
influenza dan menjadi kebal sehingga tidak akan terinfeksi kembali swine influenza
yang disebut recovered (R). Pada saat t misalkan suatu populasi terdiri dari
susceptible (S), infected (I), dan recovered (R). Kemudian S(t) menyatakan proporsi
individu rentan pada saat t, I(t) menyatakan proporsi individu terinfeksi pada saat t,
R(t) menyatakan proporsi individu sembuh pada saat t, dan N adalah total populasi.
Karena total populasi konstan, sehingga S t I t R t N t .
Berdasarkan asumsi kedua bahwa laju kelahiran sama dengan laju kematian
sehingga individu yang lahir dan mati dalam populasi mempunyai laju μ. Sehingga
jumlah populasi yang mengalami kematian dalam tiap kelompok S, I, dan R masing-
masing sebesar μS, μI, dan μR. Dengan demikian laju μ pada populasi adalah
S I R S I R N
Diagram alur penyebaran penyakit swine influenza digambarkan sebagai
berikut:
22
Secara umum, model epidemiologi penyebaran penyakit swine influenza
sebagai berikut:
1. Laju penyebaran susceptible dengan pengaruh penyebaran penyakit akan
menjadi infected dalam satuan waktu, yaitu
S S S
dSQ
dtSI S (4.1)
2. Laju penyebaran infected menjadi recovered dalam satuan waktu, yaitu
I
dISI I
dt (4.2)
3. Laju perubahan kesembuhan recovered dalam satuan waktu, yaitu
I I
dRI Q R
dt (4.3)
Gambar 4.1. Diagram alur model SIR dengan pengaruh Vaksinasi, karantina, isolasi,
dan terapi obat antivirus
I S R
QI QS T
V SI I
( + )I
S
V
SQS
QS
S SS I
T QI
R II
IQI
23
4. Laju susceptible dengan pengaruh karantina dalam satuan waktu, yaitu
SS S S
dQS Q
dt (4.4)
5. Laju infected dengan pengaruh isolasi dalam satuan waktu, yaitu
II I I
dQI Q
dt (4.5)
6. Laju susceptible dengan pengaruh vaksinasi dalam satuan waktu, yaitu
dVS V
dt (4.6)
7. Laju infected dengan pengaruh obat antivirus dalam satuan waktu, yaitu
dTI T
dt (4.7)
8. Laju total populasi dalam satuan waktu dengan S IN S I Q R Q V T ,
yaitu
S I
S I
S S S
I S S S
I I I I I
S I
S I
d S I Q R Q V TdN
dt dt
dQ dQdS dI dR dV dT
dt dt dt dt dt dt dt
SI S Q
SI I S Q
I Q R I Q
S V I T
S I Q R Q V T I
S I Q R Q V T I
N I
24
dengan
SQ menyatakan individu pada populasi susceptible yang di karantina
IQ menyatakan individu pada populasi infected yang di isolasi
V menyatakan individu pada populasi susceptible yang di vaksinasi
T menyatakan individu pada populasi infected yang di terapi obat antivirus
menyatakan jumlah kematian pada individu susceptible, susceptible yang di
karantina, susceptible yang di vaksinasi, infected, infected yang di isolasi,
infected yang di terapi obat antivirus, dan recovered
menyatakan jumlah calon individu susceptible
menyatakan konstanta kematian terkait penyakit individu yang terinfeksi
menyatakan konstanta vaksinasi pada populasi susceptible
menyatakan konstanta pengobatan antivirus pada individu infected
S menyatakan konstanta karantina pada individu susceptible
I menyatakan konstanta untuk individu yang meninggalkan kelompok I ke
kelompok isolasi
S menyatakan konstanta dimana kembalinya dari kelompok karantina ke kelompok
susceptible
I menyatakan konstanta dimana individu pulih kembali ke kelompok recovered
25
Karena dN
N Idt
dan belum terinfeksi penyakit pada saat 0t ,
maka dN dN
N Ndt dt
. Misalkan p t , g t dan
p t dt tt e e dengan menggunakan faktor integrasi, sehingga
' ' '
' '
'
t t
t t
t
dNt t p t N t g t
dt
t N t N t t p t N t g t
t N t t p t N t g t
t N t g t
t N t g t dt
e N e dt
e N e c
N ce
Dengan 0t artinya ukuran populasi N akan mendekati / . Sehingga solusi
persamaan (4.1) sampai dengan (4.7) didefinisikan oleh
7 , , , , , , , , , , , , 0,S I S IS I Q R Q V T S I Q R Q V T N
(4.8)
R
26
4.2 Menentukan Titik Kesetimbangan Pemodelan SIR
Berdasarkan definisi titik kesetimbangan, dari persamaan (4.1) - (4.7) dapat
ditentukan titik kesetimbangannya dengan 0, 0, 0, 0,SdQdS dI dR
dt dt dt dt 0,IdQ
dt
0, dV
dt dan 0
dT
dt menjadi
0
0
0
0
0
0
0
S S S
I
S S S
I I
I I I
SI S Q
SI I
S Q
I Q R
I Q
S V
I T
(4.9)
Salah satu kemungkinan solusi untuk persamaan (4.9) adalah S=0, maka persamaan
(4.9) menjadi
0
0
0
0
0
0
S S
I
S S
I I
I I I
Q
I
Q
I Q R
I Q
V
I T
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
Solusi untuk persamaan (4.11) adalah
0
0
I
I
I
4.17
Solusi untuk persamaan (4.12) adalah
27
0
0
S S
S
Q
Q
4.18
Solusi untuk persamaan (4.15) adalah
0
0
V
V
Karena I=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.14) dan persamaan (4.16) menjadi
QI=0 dan T=0. Dan karena I=0 dan QI=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.13)
menjadi R=0, sehingga titik kesetimbangan untuk 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , ,S IE S I Q R Q V T
dengan 1 1 1 1 10, 0, 0, 0, 0,S IS I Q R Q 1 10, dan 0V T .
Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan I=0, maka persamaan
(4.9) menjadi :
0
0
0
0
0
0
S S S
S S S
I I
I I
S Q
S Q
Q R
Q
S V
T
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
Solusi untuk persamaan (4.20) adalah
0S S S
S S S
S S S
S S S
S S
S
S Q
S Q
S Q
S Q
QS
4.26
4.19
28
Solusi untuk persamaan (4.21) adalah
0S S S
S S S
S
S
S
S Q
Q S
SQ
4.27
Dengan mensubsitusikan persamaan (4.27) ke persamaan (4.26), sehingga
S
S
S
S
S S
S
S S S
S S
S
S
S
S S S
S S S S
S S
S
S
S S
S S
S S
S S S
SS S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S SSS
S
SS
S
(4.28)
sehingga solusi untuk persamaan (4.27) adalah
29
4.29
S
S
S
S
S
S S
S
S
S
S S
S
S
S
SS S
S
S
S S
Q
Q
Q
Q
Solusi untuk persamaan (4.21) dengan mensubstitusikan persamaan (4.28) adalah
0S V
V S
SV
S
S S
V
(4.30)
Solusi untuk persamaan (4.23) adalah
0
0
I I
I
Q
Q
4.31
Karena QI=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.22) menjadi R=0. Solusi untuk
persamaan (4.25) adalah
0
0
T
T
4.32
30
sehingga titik kesetimbangan untuk 2 2 2 2 2 2 2 2, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan
2 2 2 2 2, 0, , 0, 0,
S S
S
S I
S SS
S I Q R Q
2 1, dan 0
S
SS
V T
.
Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan 0SQ , maka
persamaan (4.9) menjadi :
0
0
0
0
0
0
0
S
I
S
I I
I I I
SI S
SI I
S
I Q R
I Q
S V
I T
4.33
4.34
4.35
4.36
4.37
4.38
4.39
Solusi untuk persamaan (4.35) adalah
0
0
S
S
S
4.40
Karena S=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.34) dan persamaan (4.38) menjadi
I=0 dan V=0. Dan karena I=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.37) dan persamaan
(4.39) menjadi QI=0 dan T=0. Dan karena I=0 dan QI=0 dapat mengakibatkan
persamaan (4.36) menjadi R=0, sehingga titik kesetimbangan untuk
3 3 3 3 3 3 3 3, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan 3 3 3 3 3 30, 0, 0, 0, 0, 0,S IS I Q R Q V
3 dan 0T .
31
Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan R=0, maka persamaan
(4.9) menjadi :
0
0
0
0
0
0
0
S S S
I
S S S
I I
I I I
SI S Q
SI I
S Q
I Q
I Q
S V
I T
4.41
4.42
4.43
4.44
4.45
4.46
4.47
Solusi untuk persamaan (4.42) adalah
0I
I
I
I
SI I
SI I
S
S
4.48
Solusi untuk persamaan (4.43) dengan mensubstitusikan persamaan (4.48) adalah
0S S S
S S S
S
S
S
S Q
Q S
SQ
S
S
I
S
Q
(4.49)
Solusi untuk persamaan (4.46) dengan mensubstitusikan persamaan (4.48) adalah
32
0S V
V S
SV
IV
(4.50)
Solusi persamaan (4.41) untuk I dengan mensubstitusikan persamaan (4.48) dan
persamaan (4.49) adalah
0
0
S S S
S S S
S S S
S S
S
S S
S
SS S
S
S
I
I
I
S
S
I
S
S S
SI S Q
I S Q
I
I
I
I
S Q
QI
S
QI
S
Q
S
S
S
33
S IS S SS
S
S S S
S
I
I
I I
I
I
I
S IS
SI
SI
(4.51)
Solusi persamaan (4.45) dengan mensubstitusikan persamaan (4.51) adalah
0I I I
I I I
I
I
I
I Q
Q I
Q I
I
I
S S SI
I
I S
Q
(4.52)
Solusi persamaan (4.47) dengan mensubstitusikan persamaan (4.51) adalah
0I T
T I
S
S
I
I
S ST
(4.53)
sehingga titik kesetimbangan untuk 4 4 4 4 4 4 4 4, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan
4 ,I
S
34
4 ,
S S S
I S
II
4 ,
S
I
S
SQ
4 0, R
4 ,
S S SI
S
I
I
I
I
Q
4 ,I
V
4dan
S S IS
SI
T
Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan 0IQ , maka
persamaan (4.9) menjadi :
0
0
0
0
0
0
0
S S S
I
S S S
I
SI S Q
SI I
S Q
I R
I
S V
I T
4.54
4.55
4.56
4.57
4.58
4.59
4.60
Solusi untuk persamaan (4.58) adalah
0
0
I
I
I
4.61
Karena I=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.57) dan persamaan (4.60) menjadi
R=0 dan T=0.
35
Solusi untuk persamaan (4.54) dengan mensubstitusikan persamaan (4.61) adalah
0S S S
S S S
S S S
S S S
S S
S
S Q
S Q
S Q
S Q
QS
4.62
Solusi untuk persamaan (4.56) adalah
0S S S
S S S
S
S
S
S Q
Q S
SQ
4.63
Dengan mensubsitusikan persamaan (4.63) ke persamaan (4.62), sehingga
S
S
S
S
S S
S
S S S
S S
S
S
S
S S S
S S S S
S S
S
S
S S
S S
S S
S S S
SS S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S SSS
36
S
SS
S
(4.64)
sehingga solusi untuk persamaan (4.63) adalah
4.65
S
S
S
S
S
S S
S
S
S
S S
S
S
S
SS S
S
S
S S
Q
Q
Q
Q
Solusi untuk persamaan (4.59) dengan mensubstitusikan persamaan (4.64) adalah
0S V
V S
SV
S
S S
V
(4.66)
Sehingga titik kesetimbangan untuk 5 5 5 5 5 5 5 5, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan
5 5 5 5 5, 0, , 0, 0,
S S
S
S I
S SS
S I Q R Q
5 5, dan 0
S
SS
V T
.
37
Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan V=0, maka persamaan
(4.9) menjadi :
0
0
0
0
0
0
0
S S S
I
S S S
I I
I I I
SI S Q
SI I
S Q
I Q R
I Q
S
I T
4.67
4.68
4.69
4.70
4.71
4.72
4.73
Solusi untuk persamaan (4.72) adalah
0
0S
S
4.74
Karena S=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.68) dan persamaan (4.69) menjadi
I=0 dan QS=0. Dan karena I=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.71) dan
persamaan (4.73) menjadi QI=0 dan T=0. Dan karena I=0 dan QI=0 dapat
mengakibatkan persamaan (4.70) menjadi R=0, sehingga titik kesetimbangan untuk
6 6 6 6 6 6 6 6, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan 6 6 6 6 6 60, 0, 0, 0, 0, 0,S IS I Q R Q V
6dan 0T .
Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan T=0, maka persamaan
(4.9) menjadi
38
0
0
0
0
0
0
0
S S S
I
S S S
I I
I I I
SI S Q
SI I
S Q
I Q R
I Q
S V
I
4.75
4.76
4.77
4.78
4.79
4.80
4.81
Solusi untuk persamaan (4.81) adalah
0
0
I
I
4.82
Karena I=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.79) menjadi QI=0. Dan karena I=0
dan QI=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.78) menjadi R=0.
Solusi untuk persamaan (4.76) adalah
0I
I
I
I
SI I
SI I
S
S
4.83
Solusi untuk persamaan (4.77) dengan mensubstitusikan persamaan (4.83) adalah
0S S S
S S S
S
S
S
S Q
Q S
SQ
S
S
I
S
Q
(4.84)
39
Solusi untuk persamaan (4.80) dengan mensubstitusikan persamaan (4.83) adalah
0S V
V S
SV
IV
(4.85)
Sehingga titik kesetimbangan untuk 7 7 7 7 7 7 7 7, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan
7 7 7 7 7, 0, , 0, 0,
I I
S I
S
S
S I Q R Q
7 7, dan 0I
V T
.
Dari penentuan titik kesetimbangan pada persamaan (4.9) diperolehlah tujuh
titik kesetimbangan, yaitu
1. 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan 1 0,S 1 0,I 1 0,SQ
1 0,R 1 0,IQ
1 0,V 1dan 0T . Individu yang rentan dianggap belum ada sehingga tidak ada
penyebaran penyakit yang terjadi pada populasi.
2. 2 2 2 2 2 2 2 2, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan
2 ,
S
SS
S
2 0,I
2 ,
S
S
S
SQ
2 20, 0,IR Q
2 ,
S S
SV
2dan 0T . Individu yang terinfeksi pada keadaan ini dianggap nol sehingga
hanya ada perlakuan terhadap individu rentan yang diberikan vaksinasi dan
dikarantina.
3. 3 3 3 3 3 3 3 3, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan 3 0,S
3 0,I 3 0,SQ 3 0,R 3 0,IQ
3 0,V dan 3 0T . Pada keaadaan ini individu yang dikarantina dianggap nol
sehingga tidak ada perlakuan yang diberikan pada sistem lainnya
40
4. 4 4 4 4 4 4 4 4, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan 4 ,
IS
4 ,
S S S
I S
II
4 4, 0,
S I
S
SQ R
4 ,
S S SI
S
I
I
I
I
Q
4 ,I
V
dan
4 .
I
SI
S S ST
Pada
keadaan ini kesembuhan dianggap nol sehingga penyebaran penyakit dari
individu rentan akan diberikan vaksinasi dan karantina, selanjutnya individu yang
rentan akan memasuki kelompok Infected yang diberi tindakan terapi obat
antivirus dan isolasi.
5. 5 5 5 5 5 5 5 5, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan
5 ,
S
SS
S
5 0,I
5 ,
S
S
S
SQ
5 50, 0,IR Q
5 ,
S S
SV
dan 5 0T . Pada keadaan ini tindakan isolasi dianggap nol sehingga individu
yang rentan hanya di karantina dan di isolasi
6. 6 6 6 6 6 6 6 6, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan 6 0,S
6 0,I 6 0,SQ 6 0,R 6 0,IQ
6 0,V 6dan 0T . Pada keadaan ini tindakan vaksinasi dianggap nol sehingga
perlakuan pada sistem lain dinggap tidak ada.
7. 7 7 7 7 7 7 7 7, , , , , ,S IE S I Q R Q V T dengan 7 ,
IS
7 0,I
7 ,
S
I
S
SQ
7 0,R 7 0,IQ 7 ,
IV
dan 7 0T . Pada keadaan ini tindakan terapi obat antivirus dianggap nol,
41
sehingga penyebaran penyakit dari individu rentan hanya diberi tindakan
vaksinasi dan karantina.
Pada persamaan (4.1) - (4.2) dapat diketahui bentuk nilai reproduksi, yaitu
S S S
I
SI S Q
dISI I
dt
dS
dt
(4.86)
pada persamaan (4.86), misalkan dibuat menjadi persamaan berikut
S S S
I
SI S Q
g S
f
I I
(4.87)
Dari persamaan (4.87) akan diperoleh matriks Jacobian sebagai berikut
S
I
df df
dS dIA
dg dg
dS dI
I SA
I S
Karena untuk nilai reproduksi bebas penyakit belum ada individu yang terinfeksi
penyakit Influenza A H1N1, maka I bernilai nol sehingga matriks Jacobian menjadi
0
S
I
SA
S
(4.88)
Nilai eigen dari matriks A diperoleh dengan menggunakan persamaan karakteristik
dengan 0,Idet A I sebagai matriks identitas, sehingga
42
0
00
00
0
1
0
0
0 1
S
I
S
I
S I
S S I
S
S
S
S
S
S
I
S
det A
2
I S
20 I SS
S IS
0 S IS
1 2S Idan S
Maka didapatkan nilai eigen untuk 1 S dan
2 IS . Berdasarkan tabel 2.1, titik kesetimbangan bebas
penyakit akan stabil asimtotis jika 0i untuk 1,2i . Karena 1 S
dan 2 IS maka IS mengakibatkan
1
I
S
dengan
I
S
adalah cR . Karena pada keadaan bebas
penyakit
S
S S
S
, sehingga
43
c
I
S
S S
c
I
S
S S
c
I
S
c
I S S
SR
R
R
R
(4.89)
Sehingga bentuk lain dari bilangan reproduksi dengan tindakan pengendalian seperti
yang disajikan dalam tabel 4.1
Tabel 4.1. Bilangan Reproduksi pada model SIR untuk influenza A H1N1
Model SIR dengan dinamika Bilangan Reproduksi
Vaksinasi, pengobatan, karantina,
dan isolasi
S
c
I S S
R
Karantina dan isolasi
(dengan 0 )
S
q
I S S
R
Vaksinasi dan pengobatan
(dengan 0S I S I ) vR
Tanpa tindakan pengendalian
(dengan
0S I S I )
0
SR
44
4.3 Menentukan Stabilitas Global Model SIQS
Stabilitas global yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah kesetimbangan
dalam bentuk model SIQS, dengan modelnya adalah
S S S
I
SS S S
SI S Q
dISI I
dt
dQS Q
d
d
S
t
dt
(4.90)
dengan , ,VIR Q dan T adalah variabel independen. Dari hasil titik kesetimbangan
yang bersifat bebas penyakit 1cR merupakan kestabilan global, dan ketika titik
kesetimbangan yang bersifat endemi 1cR merupakan kestabilan global asimtotik.
Persamaan diferensial untuk persamaan (4.90) dalam ruang 3
adalah
S SS I Q S I Q
dengan persamaan (4.90) dalam ruang 3
didefinisikan oleh
3, , , , }0,S S SS I Q S I Q S I Q
Selanjutnya penentuan titik kesetimbangan dengan menggunakan fungsi
Lyapunov dengan kombinasi fungsi Volterra untuk stabilitas global, yaitu
1. Jika 1cR , maka titik kesetimbangan yang bersifat bebas penyakit 0P adalah
stabilitas global asimtotik dalam 3 , , 0, 0S SS QSI Q .
Misalkan 1cR dan U pemetaan dari 3
ke .
R
R
R
R R
R
45
3:U
yang didefinisikan dengan
0 0 0 0
0 0, , S S
S S S S
S S
QSU S I Q S S S ln I Q Q Q ln
S Q
Maka persamaan diferensial untuk , , SU S I Q di 3
, P⁰ adalah minimum
global dari , , SU S I Q di 3
, dan , , 0SU S I Q , adalah
0 00 000
' , ,
S
S S S
SS
S
S
QSd Q Q Q lnd S S S ln
QdISU S I Q
dt dt dt
00
1 1S S S
S S
Q dQS dS dI
S dt dt Q dt
(4.91)
Substitusikan persamaan (4.90) ke persamaan (4.91), sehingga
0
0
' , , 1
1
S S S S
I
S SS S S
S S
SU S I Q SI S Q
S
SI I
QS Q
Q
(4.92)
Gunakan persamaan (4.90) untuk titik kesetimbangan
0 0 0 0 0S S SS I S Q
Karena 0I merupakan keadaan belum terjangkitnya penyakit maka 0I bernilai
nol, sehingga
0 0
S S SS Q (4.93)
R R
46
0 0
0
0
0S S S
S S
S
S Q
Q
S
(4.94)
Gunakan persamaan (4.94) ke persamaan (4.93)
0
0 0
0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0
S S
S S
S S S S
S S S S S
S
S
QS Q
S
S S Q Q
S S Q Q Q
S S Q
S Q
(4.95)
Selanjutnya, substitusikan persamaan (4.94) dan persamaan (4.95) pada
persamaan (4.92)
00
0 0
0' , , 1 S
S S S S S
QSU S I Q S Q SI S Q
S S
0
0
0
0
1
1
S S
I S S
S S
S S
S S
S S
Q SSI I Q
Q S
Q
0 00
0
0 0' , , 1 S S
S
Q QSU S I Q S SI S
S S S
00
0
0
0
0 0
1
1
S
I S S S
S S
S S
S S
QSS I S Q
S S
Q QSQ
Q S Q
47
0 0 0 0
0 0
0 0 0' , , S S S
S
Q Q Q SU S I Q S S S
SS S S
0 0 0
0
SQ S S
S SI SIS SS
0 0 0 0
0 0
0 0
0
0 0 0 0
I
S S
S S S S S S
S S S S
S S
S SS S
S I
Q Q S SS Q S Q
S SS S
Q Q Q QS SQ
Q QS Q S Q
0 0
0 0
0 0' , , 2S
S I
Q S SU S I Q S S I
SS S
00
0 0
0 0 0 0 0 01 1S S S S
S S S S
SS S S
Q Q Q QS S S SQ Q
S QS Q Q S Q S
0 0
0 0
0 0' , , 2S
S I
Q S SU S I Q S S I
SS S
00
0
0 02 S S
S S
SS
Q QS SQ
S QQ S
20 0
0 0
0 0' , ,
S
S I
Q S SU S I Q S S I
SS S
200
0
0 0
S S
S S
SS
Q QS SQ
S QQ S
Dengan menggunakan persamaan 0
c
I
SR
maka bentuk
Untuk ' , , SU S I Q dapat ditulis kembali, sehingga
48
220 00 0
0 0
0 0 0 0' , , S S S
S S S
SS
Q Q QS S S SU S I Q S Q
S S QS S Q S
0
IS I
220 00 0
0 0
0 0 0 0' , , S S S
S S S
SS
Q Q QS S S SU S I Q S Q
S S QS S Q S
1I cR I (4.96)
Jadi, 1cR dengan titik kesetimbangan yang bersifat bebas penyakit P⁰
adalah stabilitas global asimtotik dalam 3
.
2. Jika 1cR , maka titik kesetimbangan yang bersifat endemi *P merupakan
stabilitas global asimtotik dalam 3
.
Misalkan 1cR dan L pemetaan dari 3
ke
3:L
yang didefinisikan dengan
* * * * * *
* * *, , S S
S S S S
S S
QS IS I Q S S S ln I I I ln Q Q Q ln
S I QL
(4.97)
Untuk menyelesaikan titik minimum global *P dan , , SS IL Q di 3
,
dengan , , 0SS IL Q dan persamaan diferensial untuk L adalah
R
R
R R
R R
R
49
* ** * * *
**
*
*
**
'
' 1
, ,
, , 1
S
S S S
S S
S
S
S S S
S
S S
QS Id Q Q Q lnd S S S ln d I I I ln
QS IS I Q
dt dt dt
Q dQSS I
L
I IdS dIL
S dt IQ
Q dtdt
(4.98)
Substitusikan persamaan (4.90) ke persamaan (4.98), sehingga
*
*
*
' 1, ,
1
S S S S
I
S S
S S S
S S
SS I Q SI S Q
S
QS Q
Q
LS
I I
(4.99)
Gunakan persamaan (4.90) untuk titik kesetimbangan
* * * *
* * * *
0S S S
S S S
S I S Q
S I S Q
(4.100)
* * *
*
0I
I
S I I
S
(4.101)
* *
*
*
0S S S
S
S S
S Q
Q
S
(4.102)
Gunakan persamaan (4.102) ke persamaan (4.100)
*
* * * *
*
* * * *
S
S S S
S
QS I S Q
S
S I S Q
(4.103)
50
Substitusikan persamaan (4.101), (4.102) dan persamaan (4.103) pada
persamaan (4.99)
**
* * * *
*' 1, , S
S S S S S
QSS I Q S I S Q SI S
SSQL
* *
*
*
*1S S S
S S S
S S
Q QS S S Q
Q SI I
* **
*
* *,' , 1 S S
S
Q QSS I Q
S SL S S
S
* *
* * *
*
*
* *
*
** *
*
1 1
1
S S S S
S S
S S
S S
S S SQ Q S I S
SS SI
Q QSS S S S Q
QI I
QI
SI
* * * *
* *
* * *,' , S S S
S
Q Q Q SS I Q S S S
S SL
SS
* * * *
* * * *
*
* *
* * *
* * * *
* *
*
* *
*
* *
*
S
S S
S S
S S
S S S S
S S
S SS S
Q S S SS S I SI S I SI
S
Q QS S S SS S S S Q
S S S
IS Q S Q
Q Q Q QS SQ
I
Q QS
I I
S Q
S S
Q
* * *
* * * *
* * *, , 2' 2S
S
Q S S S SS IL Q
S SS S I
S S S
**
*
* *2 S S
S S
SSS
Q QS SQ
QQ S
51
* *
* *
* *
**
*
* *, , 2' 2S
S
S S
S S
SS
LS
Q S SS I Q S I
S S
Q QS S
SQ
QQ S
22* ** *
* * *
* * * *, ,'
S S S
S S S
SS
Q Q QS S S SS I Q S I Q
QSL
S SS Q S
Oleh karena itu, ,' , SL S I Q bernilai negatif untuk setiap , , 0SS I Q dan
, ,' 0SS IL Q jika dan hanya jika *S S , *I I dan *
S SQ Q . Maka *P
adalah stabilitas global asimtotik dalam ruang 3
. R
52
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Pada skripsi ini, penulis mempelajari tentang model penyebaran virus
Influenza A H1N1 dengan model SIR yang dipengaruhi oleh vaksinasi, karantina,
isolasi dan terapi obat antivirus. Kesimpulan yang didapatkan dalam penulisan ini
adalah
1. Pengaruh bilangan reproduksi 0
1c
I
SR
dengan
1 S dan 2 IS terhadap penyebaran
virus A H1N1 dengan model SIR mengakibatkan penyakit akan menghilang atau
penyakit akan menetap. RC diperoleh pada keadaan titik kesetimbangan yang
bersifat bebas penyakit. Pada model SIR ini diperoleh tujuh titik kesetimbangan,
dengan titik kesetimbangan 2E , 5E , dan 7E merupakan keadaan bebas penyakit
sedangkan titik kesetimbangan 4E dan merupakan keadaan endemi.
2. Stabilitas global pada titik kesetimbangan model SIQs juga didapatkan dua titik
kesetimbangan yang bersifat bebas penyakit dan bersifat endemi yang sama
dengan kesetimbangan model SIR. Dengan memanfaatkan cR pada
kesetimbangan model SIR dan fungsi Lyapunov dengan kombinasi fungsi
Volterra untuk menentukan stabilitas global diperolehlah dua titik kesetimbangan,
53
yaitu titik kesetimbangan yang bersifat bebas penyakit dengan 1cR yang
mengakibatkan penyebaran penyakit akan menghilang atau penyebaran penyakit
akan menetap, dan titik kesetimbangan yang bersifat endemi dengan 1cR yang
mengakibatkan penyakit akan menjadi mewabah.
5.2 Saran
Dalam penulisan tugas akhir ini, penulis menyadari banyaknya kekurangan
dalam tulisan ini. Untuk itu, penulis memberikan saran kepada pembaca untuk
melakukan kestabilan titik kesetimbangan dari model SIR dan mengembangkan
model SIR ini dengan memperhatikan pengaruh dari masa inkubasi penyakit, faktor
biaya seperti vaksinasi, karantina, terapi, maupun isolasi, dan laju kelahiran yang
tidak sama dengan laju kematian guna mendapatkan model SIR yang lebih baik lagi.
54
REFERENSI
[1] Keputusan Menteri Kesehatan Republik Indonesia No
311/Menkes/SK/V/2009.
[2] Aditama, T.Y., (2010), Situasi Terkini Influenza Baru A H1N1 di Indonesia,
http://www.penyakitmenular.info/userfiles/Situasi%20terkini%20H1N1%20di
%20Indonesia.pdf.
[3/4/2014 14.10 WIB]
[3] Nugroho, Susilo. Pengaruh Vaksinasi terhadap Penyebaran Penyakit dengan
Model Endemi SIR. Surakarta : Universitas Sebelas Maret. 2009.
[4] Boyce, W. E. and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and
Boundary Value Problem. New York : John Wiley and Sons, Inc. 1986.
[5] Finizio N, Ladas G. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan
Modern, Edisi ke-2. Terjemahan Dra. Widiarti Santoso. Jakarta: Erlangga.
1988.
[6] Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear, Jilid 1. Ciputat : BINARUPA
AKSARA Publisher. 2008.
[7] G. G'omez Alcaraz. Modeling control strategies for influenza A H1N1
epidemics: SIR models, Revista Mexicana de F´ ısica S 58 (1) 37-43. 2012
[8] Hethcote, H. W., The Mathematics of Infectious Diseases, SIAM Rewiew 42,
no. 4, 599-653. 2000
[9] Tu PNV. Dynamical System, An Introduction with Application in Economics
and Biology. Germany : Spinger-verlag, Heidelberg. 1994.
[10] Wiggin, S. Introduction to Applied Non Linear Dynamical Systems and
Chaos. Springer – Verlag. 2003.
[11] Giesecke J. Modern Infectious Disease Epidemiology. New York : Oxford
University Press. 1994.
[12] Vergas, C. and De-Leon. Contructions of Lyapunov Functions for Classic SIS,
SIR and SIRS Epidemic models with Variable Population Size. Mexico :
UNAM. 2009.
Top Related