Konsep Dasar Matematika- JMS

Konsep Dasar Matematika-JMS

J u l i a n a M . S u m i l a t i | P a g e

BUKU AJAR

KONSEP DASAR MATEMATIKA KODE M.K. PROF 245

JULIANA MARGARETA SUMILAT,S.Pd., M.Pd

UNIMA PRESS 2017


J u l i a n a M . S u m i l a t ii | P a g e

KATA PENGANTAR

Puji Syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas terselesaikannya penulisan buku ajar dari mata kuliah “Konsep Dasar Matematika.”

Buku ini membahas tentang konsep-konsep dasar matematika untuk pendidikan guru SD, yaitu Bab 1 membahas tentang penalaran dalam matematika, Bab 2 membahas tentang Persamaan Linear dan Persamaan Kuadrat, Bab 3 membahas tentang Pertidaksamaan, Bab 4 membahas tentang Relasi dan Fungsi, Bab 5 membahas tentang Transformasi Geometri, Bab 6 membahas Tentang Permutasi, Kombinasi dan Peluang, serta Bab 7 membahas tentang Pengantar Statistika.

Diharapkan buku ini dapat bermanfaat bagi setiap pembaca terlebih khusus mahasiswa PGSD, yaitu dapat memberikan pemahaman tentang konsep dasar matematika dan pemecahan masalah dalam kehidupan sehari-hari dengan menggunakan konsep dasar matematika.

Penulisan Buku ajar ini dapat terselesaikan atas bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada Rektor Unima Prof. Dr. Julieta Runtuwene, M.Si, Ketua LP2AI Unima Dr. Ichdar Domu, M.Pd, Dekan FIP Unima Dr. Roos Tuerah, M.Pd. yang telah mengijinkan penulis untuk menulis buku ajar ini dan suami tercinta Fransiskus Royke Seke bersama anak-anak Eca dan Eci yang selalu mendukung penulis serta pihak-pihak lainnya yang tak dapat disebutkan satu persatu.

Akhir kata, “Tiada Gading Yang Tidak Retak” untuk itu penulis mohon bagi para pembaca untuk dapat memberikan kritik dan saran yang membangun untuk dapat lebih mengembangkan isi buku ajar ini.

Penulis

Juliana M. Sumilat


J u l i a n a M . S u m i l a t iii | P a g e

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ………………………………………………….. ii DAFTAR ISI ………………………………………………………….... iii DAFTAR LAMPIRAN …………………………………………………. iv BAB I PENALARAN DALAM MATEMATIKA …………………... 1 Pendahuluan ……………………………………………………………. 1 Penyajian ……………………………………………………………….. 2 Penutup …………………………………………………………………. 23 BAB II PERSAMAAN LINEAR DAN PERSAMAAN KUADRAT… 26 Pendahuluan ……………………………………………………………. 26 Penyajian ……………………………………………………………….. 27 Penutup …………………………………………………………………. 48 BAB III PERTIDAKSAMAAN ………………………………………. 50 Pendahuluan ……………………………………………………………. 50 Penyajian ………………………………………………………………. 51 Penutup …………………………………………………………………. 82 BAB IV RELASI DAN FUNGSI ……………………………………... 86 Pendahuluan ……………………………………………………………. 86 Penyajian ………………………………………………………………. 87 Penutup …………………………………………………………………. 103 BAB V TRASFORMASI GEOMETRI ………………………………. 106 Pendahuluan ……………………………………………………………. 106 Penyajian ………………………………………………………………. 107 Penutup ………………………………………………………………… 132 BAB VI PERMUTASI, KOMBINASI, DAN PELUANG ……………. 135 Pendahuluan ……………………………………………………………. 135 Penyajian ………………………………………………………………. 136 Penutup ………………………………………………………………… 144 BAB VII PENGANTAR STATISTIKA ……………………………….. 146 Pendahuluan ……………………………………………………………. 146 Penyajian ………………………………………………………………. 147 Penutup ………………………………………………………………… 163 DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………... 164 SENARAI ……………………………………………………………… 164 INDEKS ………………………………………………………………... 164 LAMPIRAN ……………………………………………………………. 165


J u l i a n a M . S u m i l a t iv | P a g e

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1: Soal UTS …………………………………………….. 165 Lampiran 2: Soal UAS …………………………………………….. 169 Lampiran 3: Silabus ……………………………………………….. 183 Lampiran 4: Jadwal Perkuliahan ………………………………….. 192

J u l i a n a M . S u m i l a t 1 | P a g e

A. Pendahuluan

Setelah mempelajari materi penalaran dalam matematika ini,

diharapakan mahasiswa mampu memahami penalaran matematika dan menggunakannya dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.

Materi penalaran dalam matematika ini merupakan dasar dari pembaca untuk menganalisis permasalahan sehari-hari, dimana materi ini sebagai suatu kaidah dalam berfikir benar yang memiliki peran penting dalam pengkajian-pengkajian dan pengembangan pengetahuan. Penalaran matematika ini juga merupakan salah satu kajian pembuka didalam menganalisis berbagai keadaan. Intinya berfikir merupakan hal dasar dalam melakukan suatu tindakan, maka seharusnya kita mamppu berfikir benar agar tindakan kita juga benar dan untuk sampai pada eksfektasi tersebut dibutuhkan alat berupa penalaran dalam matematika atau lebih kita kenal ilmu logika.

Mempelajari penalaran dalam matematika atau logika matematika adalah suatu kondisi dimana kita diperhadapkan pada dua subjek logika yaitu defenisi dan argumentasi. Dimana defenisi akan membahas gambaran ataupun batasan serta menjelaskan sesuatu berdasarkan gambaran yang jelas. Sedangkan argumentasi merupakan penyusunan suatu kata yang dapat mewakili defenisi yang telah dibuat. Jika kita mampu mendefenisikan sesuatu dengan tepat dan dapat menyampaikannya dengan argumentasi yang sesuai maka kita akan terbantukan untuk memahami


argumentasi orang lain. Jadi mempelajari penalaran dalam matematika adalah hal yang penting karena merupakan alat dalam berpikir dan bisa menjadi suatu pertimbangan dalam pembuatan strategi tertentu.

Mahasiswa diminta untuk memahami dengan seksama materi penalaran dalam matematika ini dengan membaca materi dan mencoba menjawab soal-soal latihan yang ada, soal dan bahan ajar ini masih terbatas untuk itu mahasiswa diminta untuk lebih banyak melatih diri dengan latihan-latihan soal dari buku referensi lainnya sesuai dengan tujuan yang ingin dicapai. selanjutnya untuk mengukur pemahaman mahasiswa atas materi ini, maka diakhir bab ini mahasiswa dimintakan untuk membuat rangkuman dan menjawab soal tes formatif. B. Penyajian

Kegiatan berpikir merupakan kegiatan yang pasti dilakukan setiap

insan dalam kehidupannya, karena setiap kesan yang ditangkap oleh panca indra selalu akan diproses di otaknya. Melihat suatu kejadian setiap orang akan berpikir tentang penyebab, jalan ceritanya, siapa yang terlibat dalam kejadian tersebut, atau menanggapi peristiwa tersebut. Contohnya anda mendapati layar HP anda pecah, anda akan berpikir siapa yang melakukannya atau bagaimana layar HP anda bisa pecah, atau berapa uang yang akan saya keluarkan untuk memperbaiki layar HP yang pecah, dan sebagainya. Intinya setiap kesan yang ditangkap oleh indra manusia akan menyebakan manusia tersebut untuk berpikir.

Kegiatan berpikir memiliki berbagai ragam, dan dari sekian banyak macan atau ragam berpikir, mungkin anda harus melakukannya secara sistematis dan logis untuk mendapatkan suatu keputusan atau kesimpulan yang benar. Kegiatan berpikir seperti ini yang dinamakan kegiatan bernalar. Kegiatan penalaran yang benar akan menghasilkan sebuah keputusan atau kesimpulan yang tepat jika memiliki data-data dan fakta-fakta serta kaidah-kaidah yang benar dirangkai dalam alur yang sistematis dan logis.

Pada setiap bidang ilmu pasti, konsep-konsep yang muncul merupakan hasil dari suatu proses penalaran, terlebih dalam bidang matematika. Untuk memahami matematika dan dapat menggunakannya


dalam menyelesaikan masalah diperlukan penguasaan konsep yang lebih baik. Dalam menyelesaiakan soal-soal matematika dengan benar diperlukan berbagai kemampuan diantaranya memahami masalah dan dapat menggungkapkan kembali masalah yang dipelajari, membuat rencana penyelesaian, mengkaji langkah-langkah penyelesaian dan mengadakan dugaan atau prediksi. Kegiatan seperti ini disebut berpikir kritis. Matematika pada hakekatnya berkenan dengan struktur dan ide-ide abstrak yang disusun secara sistematis dan logis melalui penalaran deduktif. Hal yang perlu dilakukan dalam memahami konsep-konsep matematika secara benar adalah bagaiamana penalaran dan kaidah-kaidah logika yang akan digunakan sebagai alat berpikir kritis dalam matematika.

Banyak orang belajar matematika dengan cara menghafal, padahal cara ini merupakan cara yang kurang tepat karena konsep matematika berkenan dengan obsyek-obyek abstrak yang ditampilkan menggunakan Bahasa symbol. Seharusnya cara belajar matematika yang tepat adalah dengan memahami lewat bacaan dan latihan-latihan soal. Kebiasaan belajar dengan cara melatih diri dengan latihan soal membuat kita terbiasa untuk merumuskan masalah, merencanakan penyelesaian, mengkaji langkah-langkah penyelesaian, membuat dugaan bila data yang disajikan kurang lengkap, dan juga membuktikan teorema-teorema. Cara belajar seperti ini yang dimaksud dengan berpikir kritis. Pola penalaran dalam proses berpikir kritis terdiri dari 2 pola yaitu pola penalaran induktif dan pola penalaran deduktif. 1. Penalaran Induktif

Penalaran induktif merupakan penalaran yang berlangsung dari hal

khusus ke hal yang umum (generalisasi). Penalaran Induktif adalah proses penalaran untuk menarik kesimpulan berupa prinsip atau sikap yang berlaku umum berdasarkan fakta-fakta yang bersikap khusus, prosesnya disebut induksi. Ketepatan sebuah dugaan atau pembentukan generalisasi dalam pola penalaran ini sangatlah tergantung dari data dan pola yang tersedia, oleh sebab itu semakin banyak data yang diberikan atau semakin spesifik pola yang disediakan maka akan menghasilkan penarikan kesimpulan atau dugaan yang semakin mendekati nilai kebenaran.


Dalam matematika, langkah-langkah penalaran induktif secara umum sebagai berikut:

a) Mengamati pola-pola yang terjadi b) Membuat perkiraan/dugaan (konjektur) tentang pola umum yang

mungkin berlaku. c) Membuat generalisasi d) Membuktikan generalisasi secara deduktif.

Contoh: 1. Berapakah hasil penjumlahan 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 199? Untuk menjawab soal tersebut coba diperhatikan pola berikut ini.

Banyak Suku

Penjumlahan Hasil Rumus

1 1 = 1 …..2

2 1+3 = 4 2… 3 1+3+5 = 9 …2 4 1+3+5+7 = 16 4… 5 1+3+5+7+9 = 25 …2 6 1+3+5+7+9+11 = 36 6…

100 1+3+5+7+9+11+ …+199 = 10.000 ….2 Lengkapilah titik-titik diatas. Anda akan memperoleh bahwa: 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 199 = 1002 =10.000 Pada soal tersebut 199 merupakan bilangan ganjil ke -100. 2. Tentukan Rumus Jumlah dari 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)!

Jawab: 1+3+5 = 9

: 1+3+5+7+9+11 = 36


: 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 199 = 1002 =10.000

Berapakah jumlah n bilangan ganjil pertama, yaitu: 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2. Pola penalaran induktif sangat banyak dijumpai dalam masyarakat umum maupun disekolah. Contoh penalaran induktif yang salah seperti berikut: Contoh: n2 + n + 41 merupakan bilangan prima, untuk n bilangan asli sampai dengan 40 hasilnya benar, tapi untuk n=41 412 + 41 + 41=1763 1763 memiliki faktor 1, 41, 43, dan 1763. Berarti 1763 bukan merupakan bilangan prima karena memiliki lebih dari dua faktor. Jadi kesimpulan yang ditarik akan salah, oleh sebab itu penalaran induktif secara matematis tidak selalu benar. Selanjutnya coba simak contoh penalaran induktif berikut:


Pola baris dalam ilustrasi ini lebih spesifik yaitu 7, 6, 5, 4, …, sehingga anda akan memprediksikan bahwa gambar yang ditanyakan akan memiliki 3 baris. Tetapi pola jumlah kolomnya kurang spesifik, karena dengan pola 5,5,3,3,1,1 anda akan menduga jumlah kolom pada gambar yang ditanyakan adalah 1 namun bagi yang beasumsi bahawa pada pola tersebut jumlah kolom 5,5,3,3,3,1,1,1,1 akan menghasilkan dugaan jawaban jumah kolom yang ditanya adalah 3.

Dilihat proses penarikan kesimpulan atau penalaran secara induktif

seperti yang diuraikan sebelumnya menghasilkan pola penyimpulan yang beragam, ada yang tunggal ada juga yang tidak tunggal.

Dari uraian tersebut, jelas penalaran induktif adalah proses

penyimpulan secara umum dari data atau hasil observasi yang terbatas, sehingga kesimpulan yang dihasilkan bisa jadi kurang valid atau bisa mengakibatkan kesalahan penafsiran apabila data yang dipergunakan kurang lengkap. Dari contoh-contoh yang telah diuraikan penulis merasa penalaran induktif lebih cocok untuk bidang non-matematika yang hasil perumusan konsep-konsepnya sering diperbaiki agar teori-teori yang muncul sesuai dengan hasil penelitian yang terbaru. Semntara konsep-konsep dalam matematika tidak pernah mengalami perubahan, karena sistematika dalam matematika merupakan system deduktif, oleh sebab itu untuk mendapatkan kebenaran dalam matematika perlu pembuktian secara deduktif.


2. Penalaran Deduktif Penalaran deduktif merupakan kebalikan dari penalaran induktif.

Penalaran deduktif yaitu proses berpikir berdasarkan atas suatu pernyataan dasar yang berlaku umum untuk menarik suatu kesimpulan yang bersifat khusus. Aturan yang berlaku secara umum tersebut, pada umumnya dibuktikan terlebih dahulu kebenaranya dan setelah terbukti kebenranya baru diterapkan untuk kasus-kasus yang bersifat khusus. Contoh :

1. Jumlah dua bilangan ganjil akan menghasilkan bilangan genap. Buktikan kebenaran atau kesalahan pernyataan tersebut secara deduktif. !

Jawab: Dibuktikan secara deduktif dengan melakukan pemisalan secara umum bahwa bilagan ganjil dapat dituliskan sebagai 2 + 1 untuk n bilangan asli. Maka 2 bilangan ganjil dijumlahkan menjadi (2n + 1) +(2n + 1 ) = (2n + 2n +1 + 1 ) = 4n +2 = 2 (2n + 1 ) karena 2n + 1 merupakan bilangan ganjil maka 2x bilangan ganjil pasti akan mengahasilkan bilangan genap sehingga terbukti bahwa jumlah dari 2 bilangan ganjil akan menghasilkan bilangan genap.

Contoh: 2. Berdasarkan aksioma-aksioma berikut:

1) A1 : Pada bilangan Real berlaku hokum komutatif perkalian 2) A2 : Pada bilangan Real berlaku hokum distributive

perkalian terhadap penjumlahan. 3) A3 : a2 = a x a untuk setiap a anggota bilangan Real

Maka buktikan bahwa untuk setiap x,y anggota bilangan real, (x+y)2 = x2 + 2xy +y2

Bukti: (x+y)2 = (x+y) x (x+y) = (x+y) x + (x+y)y = x.x +x.y +x.y +y.y = x2+ 2.x.y+y2 Terbukti


Jika tadi telah dinyatakan bahwa system penalaran banyak berperan dalam matematika adalah penalaran deduktif, muncul pertanyaan bagaimana dengan metode pembuktian yang dikenal dengan sebutan induksi matematika?

Walaupun namanya induksi matematika tapi penalarannya menggunakan penalaran deduktif.

3. Logika Matematika

Logika merupakan sebuah alat yang penting untuk berpikir kritis dan

penalaran deduktif. Berikut akan dibahas unsur-unsur logika.

a. Proposisi

Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition). Proposisi adalah pernyataan yang sudah memiliki nilai benar atau salah tetapi tidak keduanya. Contoh :

1) Seluruh mahasiswa PGSD menggunakan pakaian putih hitam (Benar) 2) Gunung Lokon terletak di Kota Tomohon (Benar) 3) 100 + 20 = 125 (salah) 4) 100 – 20 = 90 (salah) 5) 6 adalah bilangan genap (benar) 6) 13 adalah bilangan ganjil (benar)

b. Negasi

Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk), kita bisa membuat sebuah pernyataan baru berupa “ingkaran” dari pernyataan itu. “Ingkaran” disebut juga “negasi” atau “penyangkalan”. Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya p salah, dan jika sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya p benar.


Negasi digunakan untuk menyangkal suatu pernyataan. Negasi bisa juga disebut sebagai invers (kebalikan). Negasi suatu pernyataan adalah suatu pernyataan baru yang dibentuk dari suatu pernyataan awal sehingga nilai kebenarannya berubah.

Ingkaran pernyataan p atau negasi p dinyatakan dengan “~p” jika p benar maka “~p” salah dan sebaliknya.

Tabel 1.1. Nilai kebenaran untuk Negasi p ~𝒑 B S S B

Contoh soal : 1) Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:

a) Hari ini mahasiswa UNIMA libur (salah) b) Kambing bisa terbang (salah) c) Hari ini mahasiswa PGSD memakai putih hitam (benar)

Jawab : a) Hari ini Mahasiswa UNIMA tidak libur. (benar) b) Kambing tidak bisa terbang. (benar) c) Hari ini mahasiswa PGSD tidak memakai putih hitam. (salah)

c. Konjungsi

Konjungsi adalah proposisi majemuk atau terdiri dari 2 pernyataan

yang dirangakai dengan kata “dan” proposisi “p dan q” dinotasikan dengan p ˄ q. sebuah proposisi majemuk dengan jenis konjungsi mempersyaratkan terpenuhinya masing-masing unsurnya. Contohnya pada pernyataan berikut: “ saya menonton film dan makan pisang”. Pernyataan tersebut memliki pengertian bahwa pada saat bersamaan saya sedang menonton film dan sekaligus makan pisang. Apabila saya hanya melakukan salah satu seperti hanya menonton film dan tidak makan pisang atau hanya makan pisang dan tidak menonton film, maka pernyataan tersebut menjadi pernyataan yang salah. Untuk itu pernyataan


konjungsi akan bernilai benar jika kedua proposisi dalam pernyataan tersebut bernilai benar.

Tabel 1.2. Nilai kebenaran untuk Konjungsi

p ~𝒑 q ~𝒒 p ˄ q ~p ˄ ~𝒒 p ˄ ~𝒒 ~p ˄ 𝒒 B S B S B S S S S B S B S B S S B S S B S S B S S B B S S S S B

Contoh: 1. “Lolitha sekarang berada di Manado dan Tomohon”

Jawab: Menurut logika matematika pernyataan konjungsi tersebut merupakan pernyatan bernilai salah karena tidak mungkin kedua proposisinya bernilai benar.

2. 32= 9 dan 3 x 3 ≠ 9 Jawab: p → 32= 9 (benar) q→3 x 3 ≠ 9 (salah) maka p ˄ q bernilai salah tapi jika p ˄ ~𝑞 akan bernilai benar

d. Disjungsi

Disjungsi adalah proposisi majemuk yang dirangkai menggunakan kata “atau”. Propisisi “p atau q” dituliskan dalam notasi p ˅ q. disjungsi mempersyaratkan terpenuhinya salah satu proposisi atau dengan kata lain menawarkan satu pilihan p yang bernilai benar atau q yang bernilai benar atau keduanya bernilai benar maka pernyataan disjungsi akan bernilai benar untuk kondisi tersebut.

“Para mahasiswa bersedia menyumbangkan buku di perpustakaan

atau menyumbangkan karyanya hasil praktek dilaboratorium”


Penyataan disjungsi yang diuraikan diatas akan bernilai benar jika 1) mahasiswa hanya menyumbangkan buku di perpustakaan, dan 2) mahasiswa hanya menyumbangkan karyanya yang merupakan hasil

praktek di laboratorium, atau 3) mahasiswa melakukan keduanya yaitu menyumbangkan buku dan

karyanya.

Tabel 1.3. Nilai kebenaran untuk Konjungsi p ~𝒑 q ~𝒒 p ˅ q ~p ˅ ~𝒒 p ˅ ~𝒒 ~p ˅ 𝒒 B S B S B S B B S B S B S B B B B S S B B B B S S B B S B B S B

e. Implikasi 1) Konvers

Konvers adalah perubahan dari satu sistem ke sitem yang lain. Pernyataan q=>p disebut Konvers dari p=>q.

Tabel Kebenaran Implikasi

p Q Implikasi

p q Konvers q p

B B B B B S S B S B B S S S B B

Contoh: Jika hati tenang maka kita senang, konversnya berbunyi jika kita senang maka hati tenang.


2) Invers Invers adalah Pembalikan suatu susunan dari suatu susunan yang

lazim. Pernyataan ~p=>~q disebut Invers dari p=>q.

Tabel Kebenaran Invers P Q Implikasi

p q Invers

~p ~q B B B B B S S B S B B S S S B B

Contoh: Jika hati tenang maka kita senang, inversnya berbunyi jika hati tidak tenang maka kita tidak senang.

3) Kontraposisi Pernyataan ~q=>~p disebut Kontraposisi dari p=>q.

Tabel Kebenaran Kontraposisi

P Q Implikasi p q

Kontrapososi ~q ~p

B B B B B S S S S B B B S S B B

Contoh: Jika hati tenang maka kita senang, kontraposisinya berbunyi Jika kita tidak senang maka hati tidak tenang.

f. Biimplikasi

Biimplikasi atau bikondisional ialah suatu pernyataan majemuk yang

berbentuk ”p jika dan hanya jika q” yang berarti “jika p maka q dan jika q maka p”. Biimplikasi sering disebut juga sebagai implikasi dua arah. Pernyataan “p jika dan hanya jika q” dilambangkan dengan “p⇔q”.


Pernyataan biimplikasi “p⇔q” bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama (semua benar atau semua salah), sedangkan jika nilai kebenaran p dan q tidak sama maka p ⇔ q merupakan pernyataan yang salah.

Berikut merupakan Tabel kebenaran dari pernyataan biimplikasi:

P Q p q B B B B S B S B B S S B

Contoh: Diketahui: p : Aliciea rajin belajar q : Aliciea lulus Ujian Nasioanal Tuliskan pernyataan majemuk dari dua pernyataan di atas yang diwakili oleh lambang p⇔~q! Jawab: p⇔~q : Aliciea rajin belajar jika dan hanya jika Aliciea tidak lulus Ujian Nasional.

g. Proposisi Berkuantor

Ada proposisi yang memakai rata-rata seperti beberapa atau semua.

Proposisi yang memakai kata-kata beberapa atau semua dinamakan proposisi berkuantor.

Contoh: a) Beberapa mahasiswa indeks prestasinya 3. b) Semua mahasiswa lulus ujian matematika. c) Beberapa mahasiswa tidak boros. d) Tidak semua mahasiswa tinggal di rumah sendiri. Ada 2 macam kuantor, yaitu kuantor eksistensial ditulis (Ex) atau

(ᴲx), dan kuantor universal ditulis (Ax) atau (x). Contoh penggunaan kuantor sebagai berikut:


Bubuhkan kuantor di depan kalimat terbuka di bawah ini sehingga menjadi proposisi benar. a) x + 4 > 8 b) x2 ≥ 0 Jawab: a) (x) (x + 4 > 8) dibaca “ada x sedemikian sehingga berlaku x + 4>

8” b) (x) (x2 ≥ 0) dibaca “untuk semua x berlaku x2 ≥ 0”

h. Ingkaran Proposisi Berkuantor

(1) Ingkaran Kuantor Universal

Kuantor universal yang disebut kuantor umum. Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap objek dalam semestanya mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya. Kita dapat meletakkan kata-kata “Untuk semua/setiap x” di depan kalimat terbuka yang mengandung variabel x untuk menghasilkan kalimat yang mempunyai suatu nilai kebenaran. Nilai x ditentukan berdasarkan semesta pembicaraannya. Kuantor universal disimbolkan dengan “∀”. Ciri – Ciri Kuantor Universal :

1) Sifat P dimiliki oleh setiap X dalam semesta pembicaraannya. 2) ( ∀ x), P(x) 3) Sesuatu bernilai benar untuk semua individualnya. Kuantor universal mengindikasikan bahwa sesuatu bernilai benar

untuk semua individual-individualnya.

Langkah Untuk Melakukan Pengkuantoran Universal: Perhatikan pernyataan berikut ini : “Semua mahasiswa harus rajin belajar” Untuk melakukan pengkuantoran universal pada pernyataan tersebut maka dilakukan langkah-langkah seperti berikut : Carilah lingkup (scope) dari kuantor universalnya, yaitu “Jika x adalah mahasiswa, maka x harus rajin belajar”. Selanjutnya akan ditulis: mahasiswa(x) ⇒ harus rajin belajar(x) Berilah kuantor universal di depannya (∀x)(mahasiswa(x) ⇒ harus rajin belajar(x))


Ubahlah menjadi suatu fungsi (Ax)(M(x) ⇒ B(x)). Contoh :

1. ”Semua tanaman hijau membutuhkan air untuk tumbuh ”. Jika x adalah tanaman hijau, maka x membutuhkan air untuk tumbuh Tanaman hijau(x)⇒ membutuhkan air untuk tumbuh(x) (∀x) (Tanaman hijau(x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh(x)) (∀x)(T(x) ⇒A(x))

2. ”Semua artis adalah cantik”. Jika x adalah artis, maka x cantik, Artis(x) ⇒ cantik(x). (∀x)( Artis(x) ⇒ cantik(x)) (∀x)(A(x) ⇒ C(x))

3. Jika diketahui persamaan x+3>10, dengan x adalah himpunan bilangan bulat positif A >5. Tentukan nilai kebenaran (∀x∈A) x+3>10.Untuk menentukan nilai kebenarannya, maka harus dicek satu persatu. A={1,2,3,4}. Jika kuantor universal, maka untuk semua nilai A yang dimasukkan harus memenuhi persamaan yaitu x+3>10 Untuk A=1, maka 1+3>10 ≡ 4>10 Memenuhi

A=2, maka 2+3>10 ≡ 5>10 Memenuhi A=3, maka 3+3>10 ≡ 6>10 Memenuhi A=4, maka 4+3>10 ≡ 7>10 Memenuhi

Karena semua himpunan A memenuhi, maka (∀x) x+3>10 bernilai benar. Tapi jika ada satu saja nilai A yang tidak memenuhi, misalnya dimasukkan A=8, sehingga 8+3>10 ≡ 11>10, dimana hasilnya salah maka (∀x) x+3>10 bernilai salah. Nilai x yang menyebabkan suatu kuantor bernilai salah disebut dengan contoh penyangkal atau counter example.

(2) Kuantor Eksistensial

Simbol $ dibaca “ada” atau “untuk beberapa” atau “untuk paling sedikit satu” disebut kuantor khusus. Jika p(x) adalah fungsi pernyataan pada x $ himpunana tertentu A (himpunana A adalah semesta pembicaraan) maka ( Î A) p(x) atau x! p(x) atau $ x p(x) adalah suatu pernyataan yang $ dibaca “Ada x elemen A, sedemikian


hingga p(x) merupakan pernyataan” atau “Untuk beberapa x, p(x)”. ada yang menggunakan simbol ! Untuk menyatakan “Ada hanya satu”.

Contoh : 1. “Beberapa orang rajin beribadah”.

Jika ditulis dengan menggunakan logika predikat, maka: ”Ada x yang adalah orang, dan x rajin beribadah”. (∃x)(Orang(x) ∧ rajin beribadah(x)) (∃x)(O(x) ∧ I(x))

2. “Ada binatang yang tidak mempunyai kaki”. “Terdapat x yang adalah binatang, dan x tidak mempunyai kaki”. (∃x)(binatang(x) ∧ tidak mempunyai kaki(x)) (∃x)(B(x) ∧￢K(x))

Misalkan B adalah himpunan bilangan bulat. Tentukan nilai kebenaran (∃x ∈ B)(x2=x). (∃x ∈ B)(x2=x) dapat dibaca “Terdapat x yang adalah bilangan bulat dan x memenuhi x2=x”. (∃x ∈ B)(x2=x) akan bernilai benar jika dapat ditunjukkan paling sedikit ada satu bilangan bulat yang memenuhi x2=x. Misal x= -1, maka 〖-1〗2 Tidak memenuhi x= 1, maka 〖(1)〗2=1 Memenuhi karena ada satu nilai yang memenuhi, yaitu x=1, maka pernyataan di atas bernilai benar.

i. Tautologi dan Kontradiksi

(1) Tautologi

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.


Contoh: Perhatikan argumen berikut: “Jika Toni pergi kuliah, maka Dini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Dini pergi kuliah. Dengan demkian, jika Toni pergi kuliah atau Siska tidur, maka Dini pergi kuliah.” Diubah ke variabel proposional: A Toni pergi kuliah B Dini pergi kuliah C Siska tidur

Setelah diubah ke bentuk variabel maka diubah ubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan. 1) A B (premis) 2) C B (premis) 3) (A ˅ C) B (kesimpulan) Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B

A B C AB C (A˄(C A˅C (A˅C) B B B B B B B B B B B S B B B B B B B S B S S S B S B B S S S B S B S B S B B B B B B B B S B S B B B S B B S S B B S S B S B S S S B B B S B B

Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk : ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B adalah semua benar (Tautologi)

(2) Kontradiksi

Kontradiksi adalah proporsi majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan kombinasi nilai kebenaran dari proporsi-proporsi nilai pembentuknya. Untuk membuktikan apakah suatu


pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Contoh : 1. (A˄ A) Pembahasan:

A ~ A (A ʌ ~A) B S S S B S

Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A˄ A) selalu salah.

2. P ʌ (~p ʌ q) Pembahasan:

P Q ~ P (~p ʌ q) P ʌ (~p ʌ q) B B S S S B S S S S S B B B S S S B S S

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).

j. Pemanfaatan Logika dalam Penarikan Kesimpulan

Nilai kebenaran untuk setiap jenis proposisi majemuk dalam logika matematika adalah tetap, sehingga dengan meninjau nilai kebenaran tersebut, kita bisa mengontrol validitas sebuah penarikan kesimpulan. Skenario sebuah penarikan kesimpulan dinyatakan dalam bentuk argumen. Argumen merupakan himpunan proposisi-proposisi yang dikelompokkan ke dalam dua bagian, yakni premis dan konklusi.


Premis tersusun atas proposisi-proposisi yang digunakan sebagai data untuk menghasilkan sebuah proposisi baru yang merupakan konklusi.

Sebuah penarikan kesimpulan dikatakan valid jika kebenaran konjungsi proposisi-proposisi pada premis mengakibatkan secara logik kebenaran konklusi. Dan apabila argumennya dinyatakan sebagai sebuah implikasi maka implikasi tersebut merupakan sebuah tautologi. Tetapi jika tidak demikian, yakni bila kebenaran proposisi-proposisi pada premis tidak menghasilkan secara logik kebenaran konklusi, maka argumen tersebut dinyatakan tidak valid, dan disebut sesat pikir.

Berikut akan dibahas beberapa skenario dasar dalam pengambilan kesimpulan: 1) Modus Ponens

Modus ponens merupakan salah satu bentuk dari hukum pengasingan yang bentuk argumennya adalah sebagai berikut.

Jika dinyatakan sebagai sebuah implikasi maka argumen tersebut adalah [(p ⇒ q)∧ p] ⇒q yang nilai kebenarannya dapat dilihat dalam tabel berikut.

Tabel nilai kebenaran argumen Modus Ponens

P Q p ⇒ q (p ⇒ q) ˄ p [(p ⇒ q) ˄ p] ⇒ q B B B B B B S S S B S B B S B S S B S B Dari tabel di atas terlihat bahwa [(p ⇒ q) ˄p] ⇒ q merupakan

sebuah tautologi. Oleh karenanya argumen tersebut adalah valid.

p∴ q

p ⇒ q


2) Modus Tollens Modus tollens juga merupakan salah satu bentuk dari hukum

pengasingan yang memanfaatkan ekivalensi antara sebuah implikasi dengan kontrapositifnya. Bentuk argumen dari modus tollens adalah sebagai berikut.

Jika dinyatakan sebagai sebuah implikasi maka argumen tersebut

adalah yang nilai kebenarannya dapat dilihat dalam tabel berikut

Tabel Nilai Kebenaran Argumen Modus Tollens p ~p q ~q p ⇒ q (p ⇒ q)˄ ~q [(p ⇒ q) ˄ ~ q] ⇒ ~p B S B S B S B B S S B S S B S B B S B S B S B S B B B B

Dari tabel di atas terlihat bahwa [(p ⇒ q) ˄ ~ q] ⇒ ~ p merupakan

sebuah tautologi. Oleh karenanya argumen tersebut adalah valid.

3) Silogisme Silogisme merupakan sebuah konsep pengambilan kesimpulan

dengan menggunakan aturan rantai, yakni jika p ⇒ q dan q ⇒ r maka p ⇒r. Bentuk implikasi dari silogisma adalah ((p ⇒ q) ˄ (q ⇒r)) ⇒ (p ⇒ r). Nilai kebenaran dari silogisma dapat dilihat dalam tabel berikut.

~ q∴ ~ p

p ⇒ q


Tabel Nilai Kebenaran dan Silogisme p q r p ⇒

q q⇒r (p⇒q)˄(q⇒r) p⇒r [(p⇒q)˄(q⇒r

)] ⇒(p⇒r) B B B B B B B B B B S B S S S B B S B S B S B B B S S S B S S B S B B B B B B B S B S B S S B B S S B B B B B B S S S B B B B B

Dari tabel tersebut didapat bahwa ((p⇒q)˄(q⇒r)) ⇒(p⇒r) merupakan sebuah tautologi. Oleh karenanya silogisma merupakan sebuah argumen yang valid.

4. Mengajak Siswa SD Bernalar dengan Benar Seorang guru harus memahami proses penalaran dalam matematika, maka hal selanjutnya yang perlu dipikirkan adalah bagaimana mengajak siswa SD supaya juga memiliki penalaran yang benar. 1. Pembelajaran dengan Pendekatan Induktif Secara ilustratif, pola penalaran dalam matematika bukan "karena 2 + 3 = 3 + 2 maka operasi penjumlahan bilangan bulat bersifat komutatif", melainkan "karena operasi penjumlahan bilangan bulat bersifat komutatif maka 2 + 3 = 3 + 2". Satu hal yang perlu diperhatikan oleh guru adalah bahwa pola induktif tersebut hanya digunakan sebagai pendekatan pembelajaran matematika pada siswa SD, dan tidak digunakan sebagai alat generalisasi dalam matematika. Namun sebaliknya kita juga tidak perlu kawatir bahwa dengan pendekatan pembelajaran secara induktif, anak akan terbiasa berpola pikir induktif pula sampai dewasa, sebab manakala seorang anak sudah memasuki tahap operasional formal maka dia sudah dapat berpikir secara abstrak dan tidak terlalu tergantung dari benda-benda kongkrit dalam mengembangkan konsepnya. Apalagi dengan pendekatan pembelajaran yang mengenalkan siswa pada proses pembuktian maupun


penurunan suatu konsep di tingkat sekolah lanjutan, maka siswa akan dapat merubah pola pikirnya dari induktif ke deduktif.

2. Membantu Siswa Berpikir Deduktif

Sarana lain yang dapat dipergunakan untuk melatih siswa berpikir kritis adalah dengan memberikan soal cerita. Umumnya untuk dapat menyelesaikan soal cerita siswa harus menggunakan penalaran secara deduktif. Pertama-tama siswa harus mampu mentransfer soal cerita tersebut ke dalam model matematika, selanjutnya dengan konsep-konsep yang sudah dimilikinya siswa akan menyelesaikan model tersebut. Interpretasi dari penyelesaian model matematika inilah yang akhirnya digunakan sebagai jawaban atas soal cerita. Banyak sekali materi matematika SD yang dapat disajikan sedemikian hingga penyajian tersebut akan dapat mengajak siswa bernalar secara benar, baik itu materi matematika SD untuk kelas rendah maupun kelas tinggi. Coba anda pilih suatu materi dan buatlah prosedur-prosedur sederhana yang akan dapat mengajak siswa berpikir kritis. Sebagai latihan coba anda buat:

1. Sebuah kegiatan siswa, yang dengan pendekatan induktif, menuntun siswa memperoleh rumus luas lingkaran!

2. Sebuah kegiatan siswa, yang dengan pendekatan deduktif, menuntun siswa memperoleh rumus luas segitiga!


C. Penutup 1. Rangkuman

Kegiatan berpikir memiliki berbagai ragam, dan dari sekian banyak macan atau ragam berpikir, mungkin anda harus melakukannya secara sistematis dan logis untuk mendapatkan suatu keputusan atau kesimpulan yang benar. Kegiatan berpikir seperti ini yang dinamakan kegiatan bernalar. Kegiatan penalaran yang benar akan menghasilkan sebuah keputusan atau kesimpulan yang tepat jika memiliki data-data dan fakta-fakta serta kaidah-kaidah yang benar dirangkai dalam alur yang sistematis dan logis.

Untuk memahami matematika dan dapat menggunakannya dalam menyelesaikan masalah diperlukan penguasaan konsep yang lebih baik. Dalam menyelesaiakan soal-soal matematika dengan benar diperlukan berbagai kemampuan diantaranya memahami masalah dan dapat menggungkapkan kembali masalah yang dipelajari, membuat rencana penyelesaian, mengkaji langkah-langkah penyelesaian dan mengadakan dugaan atau prediksi. Kegiatan seperti ini disebut berpikir kritis.

Pola penalaran dalam proses berpikir kritis terdiri dari 2 pola yaitu pola penalaran induktif dan pola penalaran deduktif. Penalaran induktif merupakan penalaran yang berlangsung dari hal khusus ke hal yang umum (generalisasi). Penalaran Induktif adalah proses penalaran untuk menarik kesimpulan berupa prinsip atau sikap yang berlaku umum berdasarkan fakta-fakta yang bersikap khusus, prosesnya disebut induksi. Penalaran deduktif merupakan kebalikan dari penalaran induktif. Penalaran deduktif yaitu proses berpikir berdasarkan atas suatu pernyataan dasar yang berlaku umum untuk menarik suatu kesimpulan yang bersifat khusus. Aturan yang berlaku secara umum tersebut, pada umumnya dibuktikan terlebih dahulu kebenaranya dan setelah terbukti kebenranya baru diterapkan untuk kasus-kasus yang bersifat khusus.

Logika merupakan sebuah alat yang penting untuk berpikir kritis dan penalaran deduktif. Unsur-unsur logika diantaranya adalah proposisi, negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi, proposisi berkuantor, ingkaran proposisi berkuantor, tautology dan kontradiksi.

Satu hal yang perlu diperhatikan oleh guru adalah bahwa pola induktif tersebut hanya digunakan sebagai pendekatan pembelajaran


matematika pada siswa SD, dan tidak digunakan sebagai alat generalisasi dalam matematika. Namun sebaliknya kita juga tidak perlu kawatir bahwa dengan pendekatan pembelajaran secara induktif, anak akan terbiasa berpola pikir induktif pula sampai dewasa, sebab manakala seorang anak sudah memasuki tahap operasional formal maka dia sudah dapat berpikir secara abstrak dan tidak terlalu tergantung dari benda-benda kongkrit dalam mengembangkan konsepnya. Apalagi dengan pendekatan pembelajaran yang mengenalkan siswa pada proses pembuktian maupun penurunan suatu konsep di tingkat sekolah lanjutan, maka siswa akan dapat merubah pola pikirnya dari induktif ke deduktif. Sarana lain yang dapat dipergunakan untuk melatih siswa berpikir kritis adalah dengan memberikan soal cerita. Umumnya untuk dapat menyelesaikan soal cerita siswa harus menggunakan penalaran secara deduktif.

2. Tes Formatif

1) Pasangan pernyataan p dan q berikut yang memenuhi p ⇒ q

adalah… a. p : ganjil; q: 2x genap b. p : x positif; q: 2x positif c. p: x ganjil; q: 2x + 1 ganjil d. p: x2 – x < 2; q: -1 < x < 2

2) Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut: a. Hari ini Tomohon hujan b. Kucing bisa terbang c. Kemarin Lolitha tidak sekolah d. Richard memakai dasi e. Ibu Juli mengajar matematika

3) Diketahui premis-premis: P: Jika Tasya menjadi juara kelas dan menjadi utusan untuk mengikuti olimpiade, Ayah akan membelikan Tasya smartphone baru. Q: Ayah tidak membelikan Tasya smartphone baru. Kesimpulan yang sah adalah…

4) Pernyataan yang ekuivalen dengan “jika p maka q salah” adalah…


5) Diketahui pernyataan: P : jika hari panas, maka Reygel memakai topi. Q : Reygel tidak memakai topi atau Ia memakai payung R : Reygel tidak memakai payung Kesimpulan yang sah adalah…

6) Ingkaran pernyataan “semua murid menganggap matematika sulit” adalah…

7) Jika pernyataan-pernyataan p dan q bernilai benar, selidikilah pernyataan berikut dalam tabel kebenaran. a. p ⇔ q b. p ∧ q c. ~p ⇒q d. p ∨ ~q

8) Bentuk p ∧ q senilai dengan… 9) Perhatikan kalimat “jika ia berusaha maka ia berhasil”.

Kontraposisinya adalah… 10) Pernyataan (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q) ekuivalen dengan pernyataan…


A. Pendahuluan

Setelah mempelajari materi persamaan linear dan kuadrat ini, diharapakan mahasiswa mampu memahami tentang persamaan linear dan kuadrat dan menggunakannya dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan persamaan linear dan kuadrat yang ditemui dalam kehidupan sehari-hari, serta mampu menjadikanbahan rujukan untuk menjarkan matematika pada anak didik sekolah dasar.

Bentuk model matematika persamaan linear dan kuadrat seringkali kita temui dalam permasalahan kehidupan sehari- hari. Konsep persamaan linear dan kuadrat ini didasari oleh konsep kesamaan dalam system bilangan riil, sehingga sifat-sifat dari kesamaan system bilangan riil banyak digunakan sebagai acuan dalam menyelesaikan suatu persamaan linear dan kuadrat.

Pada perkembangannya suatu persamaan linear dan kuadrat dapat diterapkan pada suatu semesta pembicaraan tertentu, misalnya pada ruang lingkup bilangan bulat, bilangan kompleks, dan sebagainya. Perbedaan ruang lingkup pembicaraan ini mengakibatkan perbedaan pada penyelesaian terhadap suatu persamaan linear dan kuadrat. Oleh karenannya dalam menyelesaikan sebuah persamaan harus memperhatikan semestanya. Namun jika tidak terdapat pernyataan tentang semesta pembicatraan, maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dalam lingkup himpunan bilangan riil.


B. Penyajian

1. Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung satu atau lebih

variabel dan belum diketahui nilai kebenarannya. Contoh : x + 5 = 12

Belum dapat mengatakan kalimat itu benar atau salah, sebab nilai (x) belum diketahui. Bila lambang (x) diganti dengan lambang bilangan cacah, barulah itu dapat dikatakan kalimat itu benar atau salah. Jika (x) diganti dengan “3” , kalimat itu bernilai salah ; tetapi bila (x) diganti dengan 7 , kalimat itu bernilai benar. Lambang (x) dapat pula diganti menggunaan huruf-huruf kecil dalam abjad lainnya, yaitu ; a, b,c,… x,y,z dari bentuk diatas

x + 5 = 12 (kalimat terbuka) 3 + 5 = 12 (kalimat Salah ) 7 + 5 = 12 (kalimat benar)

Huruf x pada x + 5 = 12 disebut variable (peubah), sedangkan 5 dan 12 disebut konstanta.

2. Kesamaan Suatu proposisi benar yang memuat tanda “sama” disebut kesamaan.

Contoh : 5 × 4 = 2 × 10 10 = 2 × 5 7 + 1 = 8

Bagian yang dipisahkan dengan tanda “=” disebut ruas, di sebelah kiri “=” disebut ruas kiri dan yang di sebelah kanan tanda “=” disebut ruas kanan.


Sifat-Sifat Kesamaan

1) Sifat aditif Jika a = b maka a + c = b + c adalah benar dengan a, b dan c bilangan real.

Contoh: Jika 3 + 4 = 7 maka (3+4) +5 = 7 + 5 bernilai benar.

2) Sifat multiplikatif Jika a = b maka a × c = b × c adalah benar dengan a, b, dan c bilangan-bilangan real.

Contoh: Jika 3 +4=7 maka (3+4) × 2=7×2 bernilai benar.

3. Persamaan Suatu kalimat terbuka yang memuat tanda “sama” disebut persamaan. Contoh: 2y = 14 3x = x Variabel dalam kalimat terbuka seperti diatas perlu diketahui nilai

konstantanya agar membuat persamaan menjadi proposisi benar. Kemudian Kontanta itu dinamakan akar dari persamaan atau penyelesaian. Sedangkan Himpunan penyelesaian adalah semua penyelesaian suatu persamaan.

Contoh: 2y = 14 himpunan penyelesaiannya adalah 7. 3x = 6 + 3 himpunan penyelesaiannya adalah 3.

Dalam persamaan juga ada sifat Aditif dan Multiplikatif. Sifat Aditif Jika kedua ruas sama-sama ditambah atau dikurangi maka memiliki kesamaan.


Contoh : 2 + 3 = 5 apabila kedua ruas di tambah 3 maka 2+ 3 + 3 = 5 + 3 bernilai benar Contoh lain : x + 2 = 5, x bilangan asli. Persaman tersebut mempunyai himpunan penyelesaian {3}. Jika kedua ruas masing-masing ditambah 4 terdapatlah persamaan baru yaitu (x + 2) + 4 = 5 + 4 atau x + 6 = 9. Persamaan terakhir ini mempuyai himpunan penyelesaian yang sama yaitu {3}. Jadi persamaannya x + 2 = 5 Ekuivalen dengan persamaan (x + 2) + 4 = 5 + 4. Perhatikan notasi untuk ekuivalen ditulis ⇔ jadi x + 2 = 5 ekuivalen dengan (x + 2) + 4 = 5 + 4 ditulis (x + 2) + 4 = 5 ⇔ (x + 2) + 4 = 5 + 4

Sifat Multiplikatif Jika kedua ruas sama-sama dikalikan dengan nilai yang sama maka akan bernilai sama kecuali dikalikan dengan nilai nol.

Contoh : 5x = 6 apabila kedua ruas dikalikan 6 maka 30x = 36 Contoh lain : 15x2 = 5, x bilangan rasional

Persamaan tersebut mempunyai himpunan penyelesaian = {-5, 5} jika kedua ruas masing-masing dikali dengan 5, maka diperoleh persamaan baru yaitu x2 = 25.Persamaan baru ini mempunyai himpinan penyelesaian {-5, 5} jadi persamaan x2 = 5 ⇔ x2 = 25.


4. Persamaan Linear Dengan Satu Variabel Bentuk umum dari suatu persamaan linear satu variabel adalah ax + b =

0 dimana a≠ 0. Dalam menyelesaikan persamaan linear maksudnya menentukan persamaan yang paling sederhana dan ekuivalen dengan persamaan semua.

Contoh : 2( x – 1 ) + 4( x + 6 ) = 26 2x – 2 + 4x + 24 = 26 2x + 4x – 2 + 24 = 26 ( kita kelompok yang mempunyai variabel) 6x + 22 = 26 6x + 22 – 22 = 26 – 22 (kita kurangi kedua ruas dengan 22) 6x = 24

x = 24/6 x = 4.

Jadi himpunan penyelesaiannya { 4 }.

Cara kedua adalah dengan mengalikan/membagikan masing-masing ruas (kanan dan kiri) dengan bilangan yang sama. Contoh :

1. Carilah penyelesaian dari 3x - 6 < 12 ?

Jawab : 3x - 6 + 6 < 12 + 6 3x < 18 3x/3 < 18/3 x < 6

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari 12(2x + 10) – 2

3(2x + 3) = 1

6

Jawab : 12(2x + 10) – 2

3(2x + 3) = 1

6


KPK dari penyebut pecahan-pecahan tersebut adalah 6. Jika kedua ruas dikalikan dengan 6, maka persamaannya menjadi : 3(2x + 10) – 2.2(2x + 3) = 1 6x + 30 – 4(2x + 3) = 1 6x + 30 – 8x – 12 = 1 -2x + 18 = 1 -2x + 18 – 18 = 1 – 18 -2x = -17 (-2x) = 1

2 (-17)

-x = - 172

x = 8 12

Jadi himpunan penyelesaiannya {8 12}.

Perhatikan : a) Persamaan yang memuat pecahan dan penyebutnya tidak variable

langkah penyelesaiannya: mengubah lebih dahulu persamaan tersebut dengan megalikan bilangan pada kedua ruas persamaan itu dengan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari penyebut pecahan-pecahannya.

b) Persamaan yang memuat pecahan dan penyebutnya mempunyai veriabel, langkah menyelesaikannya: mengubah dahulu persamaan tersebut dengan jalan mengubah semua sukunyamenjadi pecahan dengan satu penyebut.

5. Persamaan Linear Dengan Dua Variabel Sistem persamaan linear dua variabel adalah dua persamaan linear dua

variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian. Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah:

ax + by = c px + qy = d Dimana: x dan y disebut variabel

a, b, p dan q disebut koefisien c dan r disebut konstanta.


Jika kita akan menentukan dua konstanta sebagai pengganti dua variabel yang belum diketahui, maka diperlukan dua persamaan yang diketahui. Biasanya, soal cerita memuat dua hal yang belum diketahui dan akan dicari penyelesaiannya dengan menggunakan persamaan, dua hal yang belum diketahui tadi dinyatakan dengan dua variabel (peubah). Jika terjadi dari kedua hal yang belum diketahui hanya diketahui satu hubungan, maka diperoleh satu persamaan dengan dua veriabel.

Cara-Cara Menyelesaikan Persamaan

Metode Substitusi

Metode subtitusi adalah cara menyelesaikan persamaan dengan memasukkan salah satu persamaan ke dalam persamaan yang lain. perhatikan contoh soal berikut:

Contoh : Tentukanlah nilai x dan y pada persamaan berikut dengan menggunakan metode substitasi: 4x + 3y = 18 x + y = 8

Jawab : Karena persamaan kedua lebih sederhana, kita bisa mengubahnya menjadi 8-x = y setelah itu kita masukkan ke dalam persamaan yang pertama:

4x + 3y = 18 4x + 3(8-x) = 18 4x + 24 – 3x = 18 4x-3x = 18 – 24 x = -6

Setelah kita mendapatkan nilai x = -6 lalu kita masukan ke dalam persamaan kedua untuk mendapat nilai y. x + y = 8 -6 + y = 8 y = 8+6 y = 14


Metode Eliminasi Metode eliminasi adalah sebuah cara menyelesaikan persamaan dengan

cara menghilangkan salah satu dari variabel yang ada.

Contoh : Carilah nilai x dan y dari kedua persamaan berikut dengan menggunakan metode eliminasi: 8x + 3y = 48 3x + y = 17

Jawab : Pertama kita harus mencari nilai dari variabel x dengan menghilangkan variabel y. Pada persamaan pertama nilai y adalah 3 sementara pada persamaan kedua nilai y adalah 1. Maka kita kalikan persamaan pertama dengan 1 dan persamaan kedua dengan 3 agar nilai y bisa dihilangkan. Perhatikan: 8x + 3y = 48 | × 1 -> 8x + 3y = 48 3x + y = 17 | × 3 -> 9x + 3y = 51 - -x = -3

Karena –x = -3 maka x = 3 Setelah kita mengetahui nilai x, kita bisa mencari nilai y dengan memasukkan nilai x ke dalam salah satu persamaan di atas: 8x + 3y = 48 8 (3) + 3y = 48 24 + 3y = 48 3y = 48-24 3y = 24 y = 24/3

y = 8 Maka kita sudah mendapat nilai x = 3 dan nilai y = 8


untuk membuktikannya mari kita masukkan nilai x dan y ke dalam persamaan kedua: 3x + y = 17 3 (3) + 8 = 17 9 + 8 = 17

Terbukti nilai x dan y tersebut benar.

Metode Substitusi dan Eliminasi Jika dari dua persamaan akan dicari penyelesaiannya, maka salah satu

variabel dari persamaan pertama dinyatakan ke dalam variabel yang lainnya. Selanjutnya substitusikan kedalam persamaan yang kedua tadi, dengan demikian nilai dari salah satu variabel dapat ditentukan, kemudian nilai dari satu variabel yang sudah ditemukan tadi dimasukkan pada persamaan yang akhirnya variabel yang lain dapat juga ditentukan nilainya.

Contoh : 1. Dengan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari

sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 ! Jawab: Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh. 2x – 5y= 2 ×1 → 2x 2x – 5y = 2 x + 5y = 6 ×2 → 2x +10y = 12

-15y = -10 y = (-10)/(-15) y = 2/3

Kemudian, disubstitusikan nilai y ke persamaan x + 5y = 6 sehingga diperoleh.

x + 5y = 6 x + 5 (2/3) = 6 x + 10/15 = 6 x = 6 – 10/15 x = -2/3 Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(-2/3,2/3)}.


2. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel x + 2y = 6 dan 2x – y = 6 dengan menggunakan metode gabungan! x + 2y = 6………….(1) 2x – y = 6………….(2) Langkah I eliminasi salah satu variabel mengeliminasi variabel x. x + 2y = 6 | × 2 -> 2x + 4y = 12 2x – y = 6 | × 1 -> 2x – 2y = 6 -

6y = 6 y = 1

Dari langkah I diperoleh y = 1. Selanjutnya untuk memperoleh nilai x, substitusikan nilai y = 1 ke persamaan (1) yaitu x + 2y = 6 x + 2(1) = 6 => x + 2 = 6 => x = 6 – 2 => x = 4 Jadi, himpunan penyelesaian dari SPLDV dari persamaan x + 2y = 6 dan 2x – y = 6 adalah {4, 1}.


Latihan soal : 1. Diketahui x dan y memenuhi sistem persamaan:

2x + 3y = -1 x + 2y = -2 Tentukanlah nilai x.y! Penyelesaian: 2x + 3y = -1 …(1) x + 2y = -2 …(2) penyelesaiannya dapat menggunakan metode gabungan eleminasi dan substitusi. Eleminasi x dari persamaan (1) dan (2) 2x + 3y = -1 x1 2x +3y = -1 x + 2y = -2 x2 2x +4y = -4 -y = 3 y = -3 Substitusikan y = -3 kedalam persamaan (1). 2x + 3y = -1 ⇒ 2x + 3(-3) = -1 2x – 9 = -1 2x = -1 + 9 2x = 8 x = 4 Diperoleh x = 4 dan y =-3 Jadi, nilai x.y = 4 x (-3) = -12

2. Dua tahun yang lalu umur Kenzhi dua kali umur Lolitha. Tiga tahun yang akan datang, jumlah umur mereka 43 tahun. Berapakah umur Lolitha sekarang? Penyelesaian: Misalkan: x = umur Kenzhi sekarang y = umur Lolitha sekarang dua tahun yang lalu, umur Kenzhi (x – 2) tahun dan umur Lolitha (x-2) tahun, diperoleh persamaan:


x – 2 = 2 (y-2) ⇔ x – 2 = 2y - 4) ⇔ x – 2y = - 4 + 2 ⇔ x – 2y = -2 …(1) Tiga tahun yang akan datang, umur Kenzhi (x +3) tahun dan umur Lolitha (y +3) tahun. Tiga tahun yang akan datang, jumlah umur mereka 43 tahun, dipeloleh persamaan: x + 3+ y + 3 = 43 x + y + 6 = 43 x + y = 37…(2) Eleminasi x dari persamaan (1) dan (2) x – 2x = -2 x + y = 37 -3y = -3 y = 13 dipeloleh y = 13. Jadi, umur Lolitha sekarang 13 tahun.

3. Sepuluh tahun yang lalu umur Rendi dua kali umur Alo, lima tahun kemudian umur Rendi menjadi setengah kalinya umur Alo. sekarang umur Rendi adalah… Penyelesaian: Missal umur Rendi sekarang = x dan umur Alo sekarang = y x – 10 = 2 (y – 10) ⇒ x – 2y = -2 3x ⇒ 3x – 6y = -30 x – 5 = 3

2 (y – 5) ⇒ 2x – 3y = -5 2x ⇒ 4x – 6y = -10

-x = -20 x = 20 Jadi umur Rendi sekarang adalah 20 tahun.

4. Dua buah buku dan tiga batang pensil harganya Rp. 525,-

Lima buah buku dan dua batang pensil harganya Rp. 900,- Harga sebuah buku dan sebatang pensil adalah…


Penyelesaian: Misal pensil = x dan buku = y 3x + 2y = 525...(1) 2x 6x + 4y = 1050 2x + 5y = 900…(2) 3x 6x + 5y = 2700 -11y = - 1650 y = 150 Substitusikan y ke persamaan (1) 3x + 2y = 525 ⇒ 3x +2.150 = 525 3x+ 300 = 525 3x =225 x =75 jadi, harga sebatang pensil adalah Rp. 75

5. Sebuah pabrik memproduksi paku baja dengan panjang 5 cm. toleransi kesalahan pengukuranyang diterima adalah 0,5 cm. agar paku baja yang diproduksi lolos loloa kontrol kualitas. Tentukan: a. Panjang maksimal paku yang diterima b. Panjang minimal paku yang diterima Penyelesaian: Permasalahan tersebut dapat disajikan dalam bentuk persamaan nilai mutlak a. X – 5 = 0,5 ⇔ x = 0,5 + 5 ⇔ x = 5,5 b. X – 5 = -0,5

⇔ x = -0,5 + 5 ⇔ x = 4,5

6. Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari

variabelnya adalah 2 (dua). Berikut ini adalah bentuk umum persamaan kuadrat:

ax2 + bx + c = 0 (a,b,c € R) dan a ≠ 0


Dengan: x adalah variabel dari persamaan kuadrat a adalah koefisien x2 b adalah koefisien x c adalah konstanta

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat terdapat tiga cara yaitu sebagai berikut :

- Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan faktorisasi - Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat

sempurna - Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus

a. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Faktorisasi Cara ini akan mudah untuk dilakukan. Cara ini dilakukan dengan cara

mencari faktor dari persamaan yang akan dihitung, dimana hasilnya menyerupai titik koordinat {(x, y)}.

ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2) = 0. Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat. Contoh : 1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari x2 – 2x – 3 = 0

Jawab: x2 – 2x – 3 = 0 ( x – 3 ) ( x + 1 ) x – 3 = 0 x + 1 = 0 x = 3 x = -1 Jadi HP = {3, -1}

2. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari 2 x2 + 7 x + 6 = 0 Jawab: 2 x2 + 6 x + 4 = 0 2 x2 + 4 x + 2 x + 4 = 0 2 x (x + 2) + 2 (x + 2) = 0 (x + 2) = 0 atau (2 x + 2) = 0 x1 = –2 atau x2 = – 1 Jadi HP = {-2, -1}


3. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari p2 – 16 = 0 Jawab: p2 – 16 = 0 (p + 4)(p – 4) = 0 p + 4 = 0 atau p – 4 = 0 p1 = -4 atau p2 = 4 Jadi HP = {-4, 4}

4. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari x2 – 3 = 0 Jawab: x2 – 3 = 0 (x2

+ √3)( x2 - √3) = 0

x1 = −√3 atau x2 = √3

Jadi HP = {-√3, √3}

5. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari x2 – 3 = 0 Jawab: y2 – 5y = 0 y(y-5) = 0 y = 0 atau y = 5 Jadi HP = {0, 5}

b. Menyelesaikan Persaamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna Setelah pemfaktoran, kamu juga bisa melakukan penyelesaian

persamaan kuadrat dengan melengkapi kuadrat sempurna. Cara ini dilakukan untuk mengubah persaman kuadrat menjadi sebuah kuadrat sempurna. Kuadrat sempurna adalah sebuah hasil pemfaktoran persamaan dimana kedua hasil pemfaktoran memiliki anggota yang sama.

Pada dasarnya, cara penyelesaian persamaan kuadrat ini hampir sama dengan pemfaktoran persamaan. Hanya saja, setiap anggota dari hasil pemfaktoran harus memiliki anggota yang sama. Sebagai contoh (x + 2) (x + 2) = (x + 2)². Untuk proses penghitungan setelahnya, kamu hanya tinggal mencari nilai x dari kedua hasil faktor dengan menjadikan keduanya = 0.

https://www.wardayacollege.com/matematika/aljabar/persamaan-kuadrat/melengkapkan-kuadrat-sempurna/


Cara melengkapkan kuadrat ini yaitu dengan mengubah ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 menjadi berbentuk ( x – p )2 = q dengan p dan q real dan q ≥ 0. Ada beberapa langkah untuk melengkapkan kuadrat sempurna, yaitu:

1. Koefisien x2 harus 1 3. Konstanta pindah ke ruas kanan {-> x2 + mx}= n 4. Diubah ke bentuk kuadrat sempurna (x + p)2 = q

Contoh : 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 2 = 0

Jawab: x2 – 6 x + 2 = 0 pertama kita pindahkan konstanta pada persamaan kuadrat tersebut keruas kanan sehingga: x2 – 6 x = -2 sekarang, perhatikan bahwa nilai b = 6 sehingga (1

2 b)3 = 33

dengan demikian kedua ruas kita tambahkan dengan 33 dan menjadi: x2 – 6 x + 33= -2 + 33

x2 – 6 x + 33 = 7 (x + 3)2 = 7 (x + 3) = ±√7 x = -3±√7 Jadi HP { -3+ √7, -3−√7 }

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x – 4 = 0 Jawab: x2 – 6 x + 9 – 4 = 0 x2 – 6 x + 9 = 4 (x – 3)2 = 4 x – 3 = 2 atau x – 3 = –2 x = 5 atau x = 1 Jadi HP { 5, 1 }


3. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2𝑥2 + 4𝑥 + 1 = 0 Jawab.

⇔ 𝑥2 + 2𝑥 = −12

⟺ � 𝑥 +22�2− �

22�2

= −12

⟺ ( 𝑥+ 1 )2 − 1 = −12

⟺ ( 𝑥 + 1 )2 = −12 + 1

⟺ ( 𝑥+ 1)2 =12

⟺ (𝑥 + 1) = ± �12

⇔𝑥 = −1 ±�12 .

22 ⟺𝑥 = −1 ±

12 √2

Akar akarnya adalah 𝑥1 = −1 + 12 √2 atau 𝑥2 = −1− 1

2 √2

Jadi HP = { −1 + 12 √2 , −1 − 1

2√2 }

c. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Rumus Dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, kamu juga bisa

menggunakan rumus abc (rumus kuadratis). Rumus persamaan kuadrat ini harus kamu hafal, baik rumusnya maupun pengerjaannya. rumus abc ini bisa kamu lakukan untuk menemukan akar-akar persamaan menurut nilai a, b, dan c dari sebuah persamaan.

Cara ini merupakan cara yang lebih cepat dan praktis dalam menyelesaikan persamaan kuadrat. Rumus yang didapat untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah rumus yang diturunkan dari cara melengkapakan kuadrat.

https://www.wardayacollege.com/matematika/aljabar/persamaan-kuadrat/rumus-abc/


Rumus penyelesaian untuk persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

𝑋1,2 = −𝑏 ±√𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Contoh: 2𝑥2 − 3𝑥 − 9 = 0, 𝑎 = 2, 𝑏 = −3, 𝑐 = −9

Jawab:

𝑥1,2 = −𝑏± √𝑏2− 4𝑎𝑐

2𝑎

⟺ 𝑥1,2 = 3 ± �(−3)2− 4.2. (−9)

2.2

⟺ 𝑥1,2 = 3 ± √9 + 72

4

⟺ 𝑥1,2 = 3 ± 9

4

Jadi akar akarnya adalah 𝑥1 = 64

= 32

𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥2 = − 124

= −3 𝑏2 − 4𝑎𝑐 disebut diskriminan dan dinotasikan dengan D. dari rumus

penyelesaian persamaan kuadrat, dapat dilihat bahwa diskriminan (D) dapat menentukan banyaknya penyelesaian (akar) persamaan kuadrat dalam semesta himpunan bilangan riil, yakni :

1. Jika D > 0 maka terdapat dua penyelesaian riil berbeda 2. Jika D = 0 maka terdapat satu penyelesaian riil 3. Jika D < 0 maka tidak terdapat penyelesaian riil

Contoh: Tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini: 1. 2x2 + 4x –1 =0 2. 4x2 + 12x +9 =0


Jawab: 1. 2x2 + 4x –1 =0

Dik: a= 2, b= 4, dan c= -1 D= b2 – 4ac D= 42 – 4.2.(-1) D= 16 + 8 D= 24 Jadi D>0, tetapi Bukan Bilangan kuadrat sehingga akar-akarnya: Riil, Berbeda, bilangan Irasional

2. 4x2 +12x +9 =0 Dik: a= 4, b= 12, dan c=9 D= b2 – 4ac D= 122 – 4.4.9 D= 144-144 = 0 Jadi D=0, sehingga akar-akarynya: Riil, kembar, bilangan rasional


Latihan soal:

1. Diketahui persamaan kuadrat 2x2 – 5x + 12 = 0 dengan akar-akar p dan q. nilai 2

𝑝 + 2

𝑞 =…

Penyelesaian: Dari persamaan 2x2 – 5x + 12 = 0 diperoleh a = 2, b = -5 dan c= 12. Diketahui p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat sehingga diperoleh: P + q = -𝑎

𝑏

= 52

P x q = 𝑐𝑎

= 122

= 6 2𝑝 + 2

𝑞 = 2𝑝+2𝑞

𝑝.𝑞

=2(𝑝+𝑞)𝑝 .𝑞

= 2(52)

6

=56

Jadi, nilai 2𝑝 + 2

𝑞 = 5

6

2. Akar-akar persamaan kuadrat x2 - (p + 1)x + p = 0 adalah x1 dan x2.

Jika x12 + x2

2 = 7 + p, nilai p yang memenuhi adalah… Penyelesaian: Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar dari x2 - (p + 1)x + p = 0 sehingga: x1 + x2 = -𝑎

𝑏 = p + 1


x1 . x2 = 𝑐𝑎 = p

x12 + x2

2 = 7 + p ⇔ (x1 + x2 )2 - 2 x1x2 = 7 + p ⇔ (p + 1)2 – 2(p) = 7 + p ⇔ P2 + 2p + 1 – 2p = 7 + p ⇔ P2 – p – 6 = 0 ⇔ (p - 3)(p+2) = 0 ⇔ p = 3 atau p = 2 Jadi, nilai p yang memenuhi adalah p = -2 atau p = 3

3. Persamaan kuadrat x2 + 4x – 5 = 0 mempunyai akar-akar p dan q. persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (p - 10) dan (q – 10) adalah… Penyelesaian: Dari persamaan kuadrat x2 + 4x – 5 = 0 diperoleh a = 1, b = 4, dan c = -5. Diketahui p dan q adalah akar-akar dari persamaan kuadrat sehingga: p + q = -4 p x q = -5 (p - 10) dan (q – 10) adalah akar-akar persamaan kuadrat baru sehingga: (p - 10) + (q – 10) = (p + q) – 20 = - 4 – 20 = -24 (p - 10) x (q – 10) = pq – 10(p + q) + 100 =-5 - 10x(-4) + 100 =-5 + 40 + 100

=135 Persamaan kuadrat baru:

x2 –((p - 10) + (q - 10))x + (p - 10) x (q – 10)= 0 ⇔ x2 + 24x +135 =0

Jadi, persamaan kuadrat baru tersebut adalah x2 + 24x +135 =0


4. Akar-akar persamaan kuadrat 5x2 – 3x + 1 = 0 adalah Penyelesaian: Ingat : D>0, memiliki akar-akar rill dan berbeda D<0. Memiliki akar-akar imajiner D=0, memiliki akar-akar rill dan sama 5x2 – 3x + 1 = 0 D = b2-4ac D = (-3)2 – 4.5.1 = 9-20 =-11 Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 5x2 – 3x + 1 = 0 adalah imajiner.

5. Persamaan kuadrat x2 - px + 32p - 2 = 0 mempunyai satu akar rill.

Nilai p yang memenuhi adalah… Penyelesaian: Dari persamaan x2 - px + 3

2p - 2 = 0 diperoleh a = 1, b = -p dan c =

32p – 2.

Persamaan kuadrat mempunyai satu akar rill jika D = 0 D = 0 ⇔ b2- 4ac = 0 ⇔ (-p)2 – 4 x 1 x (3

2p – 2) =0

⇔ p2 – 6p +8 = 0 ⇔ (p -2) (p – 4) = 0

⇔ p = 2 atau p = 4 Jadi, nilai p yang memenuhi adalah p = 2 atau p = 4


C. Penutup 1. Rangkuman a) Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung satu atau lebih

variabel dan belum diketahui nilai kebenarannya. b) Suatu proposisi benar yang memuat tanda “sama” disebut kesamaan.

Sifat-sifat kesamaan : aditif, multiplikatif. c) Suatu kalimat terbuka yang memuat tanda “sama” disebut persamaan.

Sifat-sifat persamaan : aditif, multiplikatif. d) Bentuk umum dari suatu persamaan linear satu variabel adalah

ax + b = 0 dimana a≠ 0. e) Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah:

ax + by = c px + qy = d

Dimana: x dan y disebut variabel; dan a, b, p, q disebut koefisien; serta c dan r disebut konstanta

f) Menyelesaikan Persamaan dapat dilakukan dengan metode subtitusi, metode eliminasi, metode subtitusi dan eliminasi.

g) Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2 (dua).

h) bentuk umum persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0; (a,b,c € R) dan a ≠ 0; Dengan: x adalah variabel dari persamaan kuadrat a adalah koefisien x2 b adalah koefisien x c adalah konstanta

i) Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat terdapat tiga cara yaitu sebagai berikut :

1) Faktorisasi 2) Melengkapkan kuadrat sempurna 3) Rumus ABC

j) 𝑏2 − 4𝑎𝑐 disebut diskriminan dan dinotasikan dengan D. Diskriminan (D) dapat menentukan banyaknya penyelesaian (akar) persamaan kuadrat dalam semesta himpunan bilangan riil, yakni :

1. Jika D > 0 maka terdapat dua penyelesaian riil berbeda 2. Jika D = 0 maka terdapat satu penyelesaian riil


3. Jika D < 0 maka tidak terdapat penyelesaian riil

2. Tes Formatif

1. Himpunan penyelesaian dari 8x = 24 adalah… 2. Himpunan penyelesaian dari 2x = 14 adalah… 3. Himpunan penyelesaian dari 2x + 5 = 9 adalah… 4. Tentukan penyelesaian dari x – 5 = 8. 5. Tentukan penyelesaian dari x + 2 = 5. 6. Nilai x yang memenuhi persamaan 3x + 5 = 14 adalah… 7. Nilai x yang memenuhi persamaan 5x + 15 = 30 adalah… 8. Selesaikanlah persamaan 4x – 3 = 3x + 7. 9. Untuk persamaan 4x + y = 12, jika x = -1 maka y adalah… 10. Nilai x yang memenuhi persamaan 5x- 7 = 3x + 5 adalah.. 11. Penyelesaian sistem persamaan 3x –2y= 12 dan 5x + y = 7 adalah x

= p dan y = q. Nilai 4p + 3q adalah . . . .

12. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x – 2y = 10 dan 3x + 2y = -2 adalah . . . .

13. Jika 2x + 5y = 11 dan 4x – 3y = -17, Maka nilai dari 2x – y = . . . . 14. Penyelesaian sistem persamaan 3x –2y= 12 dan 5x + y = 7

adalah x = p dan y = q. Nilai 4p + 3q adalah . . . . 15. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x – 2y = 10 dan 3x

+ 2y = -2 adalah . . . . 16. Carilah himpunan penyelesaian dari 𝑥2 − 4 = 0 dengan cara faktorisasi

! 17. Tentukanlah himpunana penyelesaian dari 𝑥2 + 9𝑥+ 18 =0 dengan cara

faktorisasi ! 18. Selesaikanlah persamaan kuadrat x2 - 4x + 8 = 0 dengan cara

melengkapkan kuadrat sempurna ! 19. Selesaikanlah persamaan kuadrat 2x2 + 3x + 2 = 0 dengan cara

melengkapkan kuadrat sempurna ! 20. Selesaikanlah persamaan kuadrat 2x2 + 3x - 6 = 0 dengan menggunakan

rumus ! 21. Carilah deskriminan dari 5x2 + 10x + 5 = 0 22. Carilah deskriminan dari x2 + 8x + 16 = 0


A. Pendahuluan

Setelah mempelajari materi pertidaksamaan ini, diharapakan mahasiswa mampu memahami tentang pertidaksamaan dan menggunakannya dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan yang ditemui dalam kehidupan sehari-hari, serta mampu menjadikan bahan rujukan untuk mengajarkan matematika pada anak didik sekolah dasar.

Dalam bab ini bahasan materi pertidaksamaan terbagi menjadi dua yaitu pertidaksamaan linear dan pertidaksamaan kuadrat. Bagian pertama akan membahas tentang pertidaksamaan linear. Pembahasan materi pertidaksamaan linear dimulai dari pengertian pertidaksamaan linear, sifat-sifat pertidaksamaan, pertidaksamaan linear satu variabel, dan pertidaksamaan linear dua variabel. Bagian kedua yaitu pertidakamaan kuadrat. Pembahasan materi pertidaksamaan kuadrat dimulai dari pengertian selang atau interval, pengertian grafik fungsi kuadrat, dan cara-cara menyelesaiakan pertidaksamaan kuadrat.

Dalam mempelajari materi pertidaksamaan ini, mahasiswa perlu memahami materi dasar aljabar matematika. Selain itu tentunya pula akan sangat membantu jika para mahasiswa menguasai materi perkalian.


B. Penyajian

1. Pengertian Pertidaksamaan Linear Suatu kalimat matemamatika yang memuat satu atau lebih peubah dan

relasi “lebih dari”, “lebih dari sama”, “kurang dari”, atau “kurang dari sama”, disebut pertidaksamaan.

Pertidaksamaan linear merupakan kalimat terbuka dalam matematika

yang terdiri dari variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan. Bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel yaitu :

ax + by > c ax + by < c ax + by ≥ c ax + by ≤ c Dengan a koefisien untuk x, b koefisien dari y dan c konstanta dimana

a,b,c anggota bilangan riil dan a ≠ 0, b ≠ 0 . Suatu penyelesaian dari pertidaksamaan linear biasanya digambarkan

dengan grafik, adapun langkah-langkah dalam menggambar grafik pertidaksamaan linear yaitu sebagai berikut :

1. Ubah tanda ketidaksamaan menjadi persamaan 2. Tentukan titik potong koordinat kartesius dengan sumbu x dan

sumbu y. 3. Gunakan titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian. 4. Gambarkan grafiknya dan beri arsiran pada daerah

penyelesaiannya. Contoh: 1) 3x < 6 dibaca 3x kurang dari 6 2) y + 5 > 0 dibaca y + 5 lebih dari 0 3) y2 ≥ 9 dibaca y2 lebih dari atau sama dengan 9 4) 2x ≤ 3x2 + 5 dibaca 2x kurang dari atau sama dengan 3x2 + 5


Menyelesaikan pertidaksamaan artinya menentukan bilangan pengganti variabel atau konstanta yang membuat pertidaksamaan itu menjadi kalimat yang bernilai benar. Konstanta yang membuat pertidaksamaan itu menjadi kalimat yang bernilai benar dikatakan memenuhi penyelesaian dari pertidaksamaan itu. Jadi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan merupakan himpunan dari semua konstanta yang membuat pertidaksamaan itu menjadi kalimat yang bernilai benar.

Perhatikan : Dua pertidaksamaan yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama di sebut ekuivalen.

Contoh: Pertidaksamaan x < 3 dan x + 1 < 4 adalah ekuivalen,sebab masing-masing pertidaksamaan mempunyai himpunan penyelesaian { x │x < 3, x Є R } .

Pada pertidaksamaan berlaku sifat aditif dan sifat multiplikatif.

1) Sifat Aditif Pertidaksamaan

Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah dengan bilangan yang sama, maka diperoleh pertidaksamaan baru dengan arah pertidaksamaan yang sama, yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula.

Contoh: Pertidaksamaan x + 3 < 6 mempunyai peubah x pada himpunan bilangan cacah. Jika x diberi nilai 0 atau 1 atau 2 maka diperoleh kalimat yang bernilai benar. Penggantian x dengan 3, 4, 5, … menghasilkan kalimat yang bernilai salah. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 0, 1, 2} Apabila kedua ruas pertidaksamaan tersebut ditambah 1, maka terdapatlah x + 3 + 1 < 6 + 1 atau x + 4 < 7. Ternyata hanya jika x diganti dengan 0 atau 1 atau , diperoleh kalimat yang berniai benar. Himpunan penyelesaian adalah {0, 1, 2}. Jadi pertidaksamaan x + 3 < 6 ekuivalen dengan pertidaksamaan x + 4 < 7.


2) Sifat Multiplikatif Pertidaksamaan

a) Jika kedua ruar suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif

yang sama, maka diperoleh pertidaksamaan baru dengan tanda pertidaksamaan yang sama, yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula.

b) Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negative yang sama, maka diperoleh pertidaksamaan baru dengan arah kebalikan dari pertidaksamaan semula, yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula. Contoh: Pertidaksamaan x > 5 mepunyai peubah x pada {0, 1,… 9, 10} Jika “x” diganti dengan “6”, “7”, “8”, “9”, atau “10”, maka diperoleh kalimat yang berniai benar. Penggantinya “x” dengan “0”, “1”, “2”, “3”, “4”, atau “5” menghasilkan kalimat yang benrilai sala. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {6, 7, 8, 9, 10}. Apabila kedua ruas pertidaksamaan tersebut dikalikan -1 dan tanda pertidaksamaan dibalik maka terdapat –x < -5. Pengganti “x” dengan “6”, “7”, “8”, “9”, atau “10”juga menghasilkan kalmia yang bernilai benar, sedangkan pengganti “x” dengan “0”, “1”, “2”, “3”, “4”, atau “5” menghasilkan kalimat yang bernilai salah. Jadi {6, 7, 8, 9, 10} adalah himpunan penyelesaian dari –x < -5. Berarti x > 5 ekuivalen dengan –x < -5. Jika kedua ruas dikalikan -1 dan tanda pertidaksamaan tetap, terdapatlah –x < -5. Himpunan {6, 7, 8, 9, 10} ternyata bukan himpunan penyelesaian dari –x < -5 tersebut. Jadi –x < -5 tidak ekuivalen dengan x > 5.

2. Pertidaksamaan Linear dengan Satu Peubah

Pertidaksamaan linier satu peubah adalah pertidaksamaan yang hanya memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya adalah satu. Pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari variable (peubah) adalah


satu Himpunan penyelesaian pertidaksamaan dapat ditulis dalambentuk notasi himpunan atau dengan garis bilangan. Cara Mencari Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu Peubah Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan pertidaksamaan linier satu peubah adalah:

1. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap.

2. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama dan tidak nol, maka tanda pertidaksamaan tetap.

3. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangannegatif yang sama dan tidak nol, maka tanda pertidaksamaan menjadi sebaliknya.

Contoh soal : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di bawah ini !

a. 3x – 1 > 5 b. 3x + 4 ≤ 5 ( x - 1 ) Jawab : Jawab : 3x – 1 >5 3x + 4 ≤ 5 ( x - 1 ) 3x > 5 + 1 3x + 4 ≤ 5 x - 5 3x > 6 3x – 5x≤ -5 – 4 x > 6

3 -2x≤ -9

x >2 x ≥ 92

HP = { x │x > 2, x Є R } HP = { x │x ≥ 92, x Є R }

1. 2x ≥ 4; pertidaksamaan linear satu peubah 2. 3x + y < 0; pertidaksamaan linear dua peubah 3. x – 2y ≤ 3; pertidaksamaan linear dua peubah 4. x + y – 2z > 0; pertidaksamaan linear tiga peubah

Contoh : 1. 2x + 9 > 21, merupakan pertidaksamaan linier satu peubah banyak

peubahnya satu (yaitu x ) dan pangkatnya adalah 1. 2. 5x + 7y < 12 , bukan pertidaksamaan linier dua peubah karena

peubahnya dua (yaitu x dan y ).


3. x + 4 ≤ 3x2 + 3 , bukan pertidaksamaan linier satu peubah walaupun peubahnya hanya satu tetapi paubahnya ada yang berpangkat 2.

Latihan soal :

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut a. x + 4 ≤ 6 b. 3x – 1 > 8 Penyelesaian: Cara 1 x + 4 ≤ 6 ⇔-6 ≤ x + 4 ≤ 6 ⇔-6 − 4 ≤ x ≤ 6 – 4 ⇔-10≤ x ≤ 2} Jadi, HP = {x│ -10 ≤ x ≤ 2} Cara 2 x + 4 ≤ 6 Perstidaksamaan diatas diubah kedalam bentuk kuadrat (x + 4)2 ≤ 62

⇔x2 + 8x + 16 ≤ 36 ⇔x2 + 8x – 20 = 0 ⇔ (x + 10)(x – 2) = 0 ⇔x = -10 atau x = 2 Daerah penyelesaiannya adalah

Jadi, HP = {x│ -10 ≤ x ≤ 2}


2. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaaan 2x + 5 < 6 Jawab : 2x + 5 < 6 ⇔ 2x < 6 – 5 ⇔ 2x < 1 ⇔ x < 1

2

Jadi penyelesaiannya adalah x < 1

2

3. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaaan 5x – 10 > 5

Jawab : 5x – 10 > 5 ⇔ 5x > 5 + 10 ⇔ 5x > 15 ⇔ x > 15

5

⇔ x > 3 Jadi penyelesaiannya adalah x > 3

4. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaaan 9 – 4x <45 !

Jawab : 9 – 4x < 45 ⇔ -4x < 45 – 9 ⇔ x > 36/-4

⇔ x > - 9 (tanda pertidaksamaan berubah karena dibagi dengan bilangan negatif).

Jadi penyelesaiannya adalah x > - 9


5. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan x + 5 < 2x -4 Jawab : x + 5 < 2x -4 ⇔x- 2x < -4 -5 ⇔ -x < -9 ⇔ x > 9 (tanda pertidaksamaan berubah) Jadi penyelesaiannya adalah x > 9

6. Tentukan penyelesaian dari 12 – 5a ≥ 3a Jawab : 12 – 5a ≥ 3a ⇔– 5a - 3a ≥ -12 ⇔ – 8a ≥ -12 ⇔ a ≤ -12/-8 ⇔ a ≤ -3/2 Jadi penyelesaiannya adalah a ≤ -3/2

7. Umur Devina dan Deysi masing-masing (5x - 2) dan (2x + 4). Jika

umur Devina lebih dari umur Deysi maka tentukan nilai x. Jawab: Menyusun model matematikanya: Kata yang digunakan lebih dari, sehingga menggunakan tanda “ >”. Umur Devina lebih dari umur Deysi, Pertidaksamaan linear satu variabelnya, 5x – 2 > 2x + 4 Menentukan nilai x:

5x – 2 > 2x + 4 (kedua ruas ditambahkan 2) ⇔5x – 2 + 2 > 2x + 4 + 2

⇔ 5x > 2x + 6 (kedua ruas dikurangkan 2x) ⇔5x – 2x > 2x + 6 – 2x ⇔ 3x > 6 (kedua ruas dibagi 3) ⇔ 3𝑥

3 > 6

3


⇔ x > 2 Jadi, nilai x adalah x > 2

8. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 8x – 3 < 6x + 3 adalah Jawab: 8x – 3 < 6x + 3 ⇔8x – 6x < 3 + 3 ⇔2x < 6 ⇔x < 6

2

⇔x< 3 Daerah penyelesaiannya adalah

Himpunan penyelesaiannya adalah {x│x < 3, x ∈ 𝑅 }

9. Sebuah resep menyarankan adonan kue dapat mengembang sempurna pada suhu 150°C. jika tegangan listrik dan suhu ruangan dapat membuat suhu oven menyimpang sebesar 4°C. Tentukan interval perubahan suhu oven tersebut. Penyelesaian: Misalnya T = kemungkinan perubahan suhu oven karena pengaruh tegangan listrik dan suhu ruangan. T – 4 ≤ 150 ⇔-150 ≤ T – 4 ≤ 150 ⇔-150 + 4 ≤ T ≤150+ 4 ⇔-146 ≤ T ≤ 154 Jadi interval perubahan suhu oven tersebut adalah { T │-146℃ ≤ T ≤ 154℃}


10. Sebuah mobil dengan merek A tertulis angka komsumsi penggunaan bensin yaitu 12km/L. indeks kisaran tempuh mobil A adalah 2,8. Jika Marsel mengendarai mobil tersebut yang bensinnya bersisa 1 liter, maka pada jarak berapa Marsel setidaknya harus mengisi bensin dan berapa jarak tempuh maksimal yang bisa di tempuh Marsel? Penyelesaian: Misal: S = jarak tempuh S – 12 < 2,8 Penulisan ini karena selisih jarak tempuh dan ketetapan perancangan (12km/L) hanya memiliki indeks kisaran 2,8 tidak lebih dari itu. -2,8 < S – 12 < 2,8 ⇔-2,8 + 12 < S – 12 +12 < 2,8 + 12 ⇔9,2 < S < 14,8 Jadi, dari penyelesaian diatas bisa dikatakan bensin pada mobil A (dengan bensin 1 L) yang dikendarai Marsel akan habisa pada jarak antara 9,2 km hingga 14,8 km. Agar lebih aman, Marsel melakukan perngisian ulang bahan bakar pada jarak 9,2 km. Sementara jarak tempuh maksimal yang bisa ditempuh Marsel adalah 14,8 km.

3. Pertidaksamaan Linier Dua Peubah atau Variabel

Penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dua peubah adalah pasangan berurut (x,y) yang memenuhi pertidaksamaan linear tersebut. Himpunan penyelesaian tersebut dinyatakan dengan suatu daerah pada bidang kartesius. Bentuk umum pertidaksamaan linier dua variabel adalah sebagai berikut.


ax + by < c ax + by > c ax + by ≤c ax + by ≥ c dengan a,b,c ∈ dan x,y peubah

Ada beberapa langkah menyelesaikan daerah himpunan penyelesaian

pertidaksamaan linier dua variabel. Berikut langkah-langkahnya: a. Menggambar garis ax + by = c pada bidang kartesius. Caranya

mencari titik-titik potong grafik dengan sumbu x (y=0) dan sumbu y(x=0).

b. Mengambil titik sembarang, missal T(x1 , y1) yang tidak terletak pada garis tersebut. Selanjutnya, menghitung nilai ax1 + by1, nilai ax1 + by1 ini dibandingkan dengan nilai c

c. Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan ax + x by ≤ c ditentukan sebagai berikut: 1) Jika ax1 + by1 < c, maka daerah yang memuat T merupakan

daerah penyelesaian 2) Jika ax1 + by1 > c, maka daerah yang memuat T bukan merupakan

daerah penyelesaian d. Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan ax + x by ≥ c ditentukan

sebagai berikut: 1) Jika ax1 + by1 > c, maka daerah yang memuat T merupakan

daerah penyelesaian 2) Jika ax1 + by1 < c, maka daerah yang memuat T bukan merupakan

daerah penyelesaian e. Daerah penyelesaian diberi arsiran. Dengan begitu daerah yang

bukan penyelesaiannya merupakan daerah tanpa arsiran. f. Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan yang memuat tanda sama

dengan (=) digambar degan garis penuh. Adapun daerah penyelesaian pertidaksamaan yang tidak memuat tanda sama dengan digambar dengan garis putus-putus.

Untuk lebih memahami daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan

linear dua peubah, pelajari contoh-contoh berikut.


Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear di bawah ini. a. 2x + 3y ≥ 12 b. 2x – 5y > 20 c. 4x – 3y < 12 d. 5x + 3y ≤ 15 Jawab:

a. Mula-mula dilukis garis 2x + 3y = 12 dengan menghubungkan titik

potong garis dengan sumbu X dan sumbu Y.Titik potong garis dengan sumbu X berarti y = 0, diperoleh x = 6 (titik (6,0)). Titik potong garis dengan sumbu Y berarti x = 0, diperoleh y = 4 (titik (0,4)). Garis 2x + 3y = 12 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah. Misalkan diambil titik (0,0), kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh: 2 x 0 + 3 x 0 < 12

0 < 12 Jadi 0 ≥ 12 salah, artinya tidak dipenuhi sebagai daerah penyelesaian. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini.


b. Mula-mula dilukis garis 2x – 5y = 20 dengan menghubungkan titik

potong garis di sumbu X dan sumbu Y. Titik potong garis dengan sumbu X, y = 0, diperoleh x = 10 (titik (10,0)) Titik potong garis dengan sumbu Y, x = 0, diperoleh y = –4 (titik (0,–4)) Garis 2x – 5y = 20 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil titik uji dari salah satu sisi daerah. Misalkan diambil titik (0,0), kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh: 2 x 0 – 5 x 0 > 20 0 > 20 (salah), artinya tidak dipenuhi. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar.


c. Mula-mula dilukis garis 4x – 3y = 12 dengan menghubungkan titik

potong garis di sumbu X dan sumbu Y. Titik potong garis dengan sumbu X maka y = 0 diperoleh x = 3 (titik (3,0)) Titik potong garis dengan sumbu Y maka x = 0 diperoleh y = –4 (titik (0,–4)) Garis 4x – 3y = 12 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah. Misalkan diambil titik (0,0), kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh: 4 x 0 – 3x 0 < 12 0 < 12 (benar), artinya dipenuhi sebagai daerah penyelesaian. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar di bawah.


d. Mula-mula dilukis garis 5x + 3y = 15 dengan menghubungkan titik

potong garis di sumbu X dan sumbu Y. Titik potong garis dengan sumbu X maka y = 0, diperoleh x = 3 (titik (3,0)) Titik potong garis dengan sumbu Y maka x = 0, diperoleh y = 5 (titik (0,5)) Garis 5x + 3y = 15 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah. Misalkan diambil titik (0,0), kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh: 5 x0 + 3x 0 ≤15 0 ≤ 15 (benar), artinya dipenuhi. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar.


Berdasarkan contoh di atas, cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dengan dua peubah dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

(1) Lukislah garis ax + by = c pada bidang kartesius dengan

menghubungkan titik potong garis pada sumbu X di titik (c/a ,0) dan pada sumbu Y di titik (0,c/b ).

(2) Selidiki sebuah titik uji yang terletak di luar garis dengan cara menyubstitusikannya pada pertidaksamaan. Jika pertidaksamaan dipenuhi (benar), maka daerah yang memuat titik tersebut merupakan daerah himpunan penyelesaian. Jika pertidaksamaan tidak dipenuhi (salah), maka daerah yang tidak memuat titik uji merupakan daerah himpunan penyelesaian.


4. Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear

Menentukan Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah

adalah himpunan titik-titik (pasangan berurut (x,y)) dalam bidang kartesius yang memenuhi semua pertidaksamaan linear dalam sistem tersebut. Sehingga daerah himpunan penyelesaianny amerupakan irisan himpunan-himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan dalam sistem pertidaksamaan linear dua peubah itu. Agar kalian lebih mudah dalam memahami daerah penyelesaian dari sistem pertidak-samaan linear dua peubah, perhatikan contoh-contoh di bawah ini.

Contoh : Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut. a.3x + 5y ≤ 15 b. x + y ≤ 6 x ≥ 0 2x + 3y ≤ 12 y ≥ 0 x ≥ 1 y ≥ 2 Penyelesaian: a. Mula-mula gambar garis 3x + 5y = 15, x = 0, dan y = 0

Untuk 3x + 5y ≤ 15 Pilih titik (0,0), kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh: 3x 0 + 5x 0 ≤ 15 0 ≤ 15 (benar), artinya dipenuhi Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuatntitik (0,0) Untuk x ≥ 0, pilih titik (1,1) kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh: 1 ≥ 0 (benar), artinya dipenuhi. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,1)


Untuk y ≥ 0, pilih titik (1,1) kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh: 1 ≥ 0 (benar), artinya dipenuhi. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,1). Daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan merupakan irisan dari ketiga daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan di atas, yaitu seperti terlihat pada gambar berikut ini (daerah yang diarsir).

b. Mula-mula gambar garis x + y =6, 2x + 3y = 12, x = 1, dan y = 2.

Untuk x + y ≤ 6, pilih titik (0,0), kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh: 1 x 0 + 1 x 0 ≤ 6 0 ≤ 6 (benar), artinya dipenuhi. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0). Untuk 2x + 3y ≤ 12, pilih titik (0,0), kemudian substitusikan ke pertidak-samaan sehingga diperoleh: 2 x 0 + 3 x 0 ≤ 12 0 ≤ 12 (benar), artinya dipenuhi. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0). Untuk x ≥ 1, pilih titik (2,1) kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh 2 ≥ 1 (benar), artinya dipenuhi.


Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (2,1). Untuk y ≥ 2, pilih titik (1,3) kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh 3 ≥ 2 (benar), artinya dipenuhi. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik 1,3). Daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut merupakan irisan dari ketiga daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan di atas, yang seperti terlihat pada gambar di samping (daerah yang diarsir)

Menentukan Sistem Pertidaksamaan jika Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Peubah Diketahui

Cara menentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah telah dipelajari sebelumnya. Sekarang bagaimana menentukan sistem pertidaksamaan jika daerah himpunan penyelesaiannya yang diketahui? Untuk itu simaklah beberapa contoh di bawah ini.


Contoh: Daerah yang diarsir di bawah ini merupakan daerah himpunan penyelesaiaan dari suatu sistem pertidaksamaan linear dua peubah. Tentukanlah sistem pertidaksamaan tersebut.

Penyelesaian: a. Garis l1 melalui titik (2,0) dan (0,2), persamaan garis l1 adalah:

𝑥2 + 𝑦

2 = 1 menjadi x + y = 2

Garis l2 melaui titik (1,0) dan (0,2), persamaan garis l2 adalah: 𝑥1 + 𝑦

2 = 1 menjadi 2x + y = 2


Dari gambar terlihat bahwa daerah himpunan penyelesaian (yang diarsir) berada di bawah garis l1, di atas garis l2, di kanan sumbu Y, dan di atas sumbu X. Sistem pertidaksamaannya adalah: x + y ≤ 2, 2x + y ≥ 2, x ≥ 0, dan y ≥ 0

b. Garis l1 melalui titik (4,0) dan (0,4), persamaan garis l1 adalah: 𝑥4 + 𝑦

4 = 1 menjadi x + y = 4

Garis l2 melalui titik (2,0) dan (0,–1), persamaan garis l2 adalah: 𝑥2 + 𝑦

1 = 1 menjadi –x + 2y = -2

x - 2y = 2 Dari gambar terlihat bahwa daerah himpunan penyelesaian (yang diarsir) berada di bawah garis l1, di atas garis l2, di kanan sumbu y, dan di atas sumbu x. Sistem pertidaksamaannya adalah: x + y ≤ 4, x – 2y ≤ 2, x ≥ 0, dan y ≥ 0

Latihan soal:

1. Diberikan sistem pertidaksamaan berikut 2x – 3y ≤ 6 x + y ≥ 2 x ≥ 0 y ≥ 0 Penyelesaian:

(1) Pertidaksamaan 2x – 3y ≤ 6 dibatasi oleh garis 2x – 3y = 6. Garis ini memotong sumbu X dititik (3,0) dan meotong sumbu Y dititik (0,-2). Uji titik (0,0) ke 2x – 3y ≤ 6 2 x 0 – 3 – 0 ≤ 6 bernilai benar Daerah penyelesaian 2x – 3y ≤ 6 adalah daerah yang dibatasi oleh garis 2x – 3y = 6 dan memuat titik (0,0).Pertidaksamaan x + y ≥ 2


(2) Pertidaksamaan x + y ≥ 2 dibatasi oleh garis x + y = 2. Garis ini memotong sumbu X dititik (2,0) dan memotonng sumbu Y dititik (0,2) Uji titik (0,0) ke x + y ≥ 2 0 + 0 ≥ 2 bernilai salah Daerah penyelesaian x + y ≥ 2 adalah daerah yang dibatasi oleh garis x + y = 2 dan tidak memuat titik (0,0)

(3) Daerah penyelesaian pertidaksamaan x ≥ 0 adalah daerah dikanan dan pada sumbu Y

(4) Daerah penyelesaian pertidaksamaan y ≥ 0 adalah daerah diatas dan pada sumbu X

Keempat daerah pernyelesaian diatas ketika diiriskan akan memperoleh daerah penyelesaian seperti berikut:

2. Ibu akan membuat dua jenis roti, yaitu roti jenis A dan roti jenis B. roti jenis A memerlukan 150 gram tepung dan 50 gram mentega roti jenis B memerlukan 75 gram tepung dan 75 gram mentega. Banyak tepung yang tersedia 2,25 kg sedangkan banyaknya mentega 1,25 kg. jika x menyatakan banyak roti jenis A dan y menyatakan banyak roti jenis B, model matematika dari permasalahan tersebut adalah…


Pernyelesaian: x = banyak roti jenis A y = banyak roti jenis B untuk menyusun model matematikanya dapat dibuat tabel seperti berikut:

Roti Tepung Mentega

Jenis A 150 gram 50 gram

Jenis B 75 gram 75 gram

Pembatas 2,25 kg =

2250 gram 1,25 kg = 1250 gram

Pertidaksamaan untuk bahan tepung: 150 x + 75 y ≤ 2250 2x + y ≤ 30 …(1) Pertidaksamaan untuk bahan mentega: 50x + 75y ≤ 1250 2x + 3y ≤ 50…(2) Banyak roti tidak mungkin negatif, sehingga: x≥0 dan y≥0. Jadi,model matematika dari permasalahan tersebut adalah 2x + y ≤ 30 ; 2x + 3y ≤ 50 ; x≥0 ; y≥0.

3. Tempat parkir seluas 600m2 hanya mampu menampung 58 mobil dan bus. Setiap mobil memerlukan tempat seluas 6m2 dan bus 24m2. Harga parker untuk parkir satu mobil Rp. 2000 dan bus Rp. 5000. Berapakah uang parkir yang terkumpul maksimum jika tempat parkir penuh dengan mobil dan bus?


Penyelesaian:

Misalkan: x = banyak mobil y = banyak bus

Jenis Banyak Luas(m2) Uang yang terkumpul

Mobil x 6 2000x Bus Y 24 5000y

pembatas 58 600 Berdasarkan tabel diatas diperoleh model matematika: x + y ≤ 58 6x + 24y ≤ 600 ⇔x + 4y ≤ 100

x ≥ 0 y ≥ 0

Fungsi objektif: Memaksimumkan f(x,y) = 2000x dan 5000y

Daerah penyelesaian SPLDV:

Diperoleh titik A(0,0), B(58,0) dan D(x + y = 58 0,25).


Menentukan titik C, yaitu titik potong antara garis dan x + 4y = 100. Eleminasi x dari kedua persamaan: x + 4y = 100 x + y = 58 3y = 42 ⇔ y = 14 Substitusikan y = 14 kedalam salah satu persamaan x + y = 58 ⇔x + 14= 58 ⇔ x = 44 Doperoleh titik C(44,14). Uji titik pojok ke fungsi f(x,y) = 2000x dan 5000y

Titik pojok Nilai f(x,y) A(0,0) 2.000 x 0 + 5.000 x 0 = 0 B(58,0) 2.000 x 58 + 5.000 x 0 = 116.000 C(44,14) 2.000 x 44 + 5.000 x 14 = 158.000 D(0,25) 2.000 x 0 + 5.000 x 25 = 125.000

Jadi, uang parkir yang terkumpul maksimul mencapai Rp. 158.000

4. Bu Yeti adalah seorang pedagang roti. Beliau menjual roti menggunakan gerobak yang hanya dapat memuat 600 roti. Roti yang dijual adalah roti manis dan roti tawar dengan harga masing-masing adalah Rp. 5.500 dan Rp. 4.500 per bungkusnya. Dari penjualan roti ini, beliau memperoleh keuntungan Rp.500 dari sebungkus roti manis dan Rp. 600 dari sebungkus roti tawar. Apabila modal yang dimiliki oleh bu Yeti Rp600.000. tentukan model matematikanya!


Penyelesaian: Permasalahan diatas dapat dimodelkan dalam bentuk matematika dengan menggunakan sistem pertidaksamaan linier dua variabel. Dengan memisalkan banyaknya roti manis dan roti tawar secara berturut-turut sebagai x dan y, maka diperoleh tabel sebagai berikut:

Jenis roti Kapasitas gerobak

Modal Keuntungan

Manis x 5.500x 500x tawar y 4.500y 600y

≤ 600 ≤ 600.000 Sehingga apabila dituliskan dalam bentuk sistem pertidaksmaan, akan menjadi seperti berikut: x + y ≤ 600 5.500x + 4.500y ≤ 600.000 Untuk x,y anggota bilangan cacah x≥0 dan y≥0

5. Gambarlah pada bidang kartesius, himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier 2x + y ≤ 4 dan x + y ≤ 3, untuk x,y∈ R! Penyelesaian: Titik-titik potong garis 2x + y = 4 dan x + y = 3 dengan sumbu koordinat 2x + y = 4

x 0 2 y 4 0

(x,y) (0,4) (2,0) x + y = 3


x 0 3 y 3 0

(x,y) (0,3) (3,0)

Keterangan grafik diatas: 1) Penyelesaian pertidaksamaan 2x + y ≤ 4 adalah daerah di

sebelah kiri garis 2x + y = 4 2) Penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 3 adalah daerah di

sebelah kiri garis x + y = 3 3) Titik potong garis 2x + y = 4 dan x + y = 3

2x + y = 4 x + y = 3 x = 1 untuk x = 1 ⇒ x + y = 3

1 + y = 3 y = 2

titik potongnya adalah (1,2)


Dengan demikian, himpunan pernyelesaian sistem pertidaksamaan 2x + y ≤ 4 dan x + y ≤ 3 untuk x,y∈ R adalah daerah yang diarsir, seperti yang terlihat pada grafik diatas.

5. Pertidaksamaan Kuadart

Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang variabelnya berpangkat paling tinggi 2.

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dalam x dapat dinyatakan dengan salah satu bentuk di bawah ini :

1. 𝑎𝑥2+ bx + c > 0 2. 𝑎𝑥2+ bx + c ≠ 0 3. 𝑎𝑥2+ bx + c < 0 4. 𝑎𝑥2+ bx + c ≠ 0 dengan a, b, c dan x elemen R, dan a≠ 0 Sebelum kita membahas cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat,

perlu kita tinjau ulang pengertian tentang selang atau interval dan grafik fungsi kuadrat. Pengertian ini akan sangat membantu kita dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. (1) Pengertian Selang Atau Interval.

Selang atau interval adalah himpunan bagian bilangan real R. Sebuah selang (interval) dapat dilukiskan pada garis bilangan real berbentuk ruas garis (segmen garis) yang ditandai lebih tebal pada selang (interval) yang bersesuaian.

No. Selang atau interval 1 a <x < b 2 a ≤ x ≤ b 3 x < a 4 x ≤ a 5 x > b 6 x ≥ b 7 x< a atau x > b 8 x ≤ atau x ≥ b

(2) Pengertian Grafik Fungsi Kuadrat.


Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y = f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0

Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat (parabola) adalah :

• Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas, dan jika a < 0 parabola terbuka ke bawah.

• Memotong sumbu X jika y = 0 atau ax2 + bx + c = 0, memotong sumbu Y jika x = 0 atau y = a.02 + b.0 + c

• Titik potong dengan sumbu X ditentukan oleh nilai

Teknik penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, pertama kita tentukan himpunan penyelesian persamaan kuadrat yaitu: ax2 + bx + c = 0.

Dari pengalaman sebelumnya diskriminan D=b2 – 4ac menentukan keanggotaan himpunan penyelesaianya, yaitu bila D>0 maka terdapat 2 anggota, bila D=0 terdapat satu anggota dan bila D<0 himpunan penyelesaian imajiner.

Macam-macam grafik fungsi a>0 a<0

D>0

D=0

D<0


Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat:

a. Rubalah pertidaksamaan kuadrat menjadi persamaan kuadrat b. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut c. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat pada garis bilangan d. Tentukan mana yang termasu daerah + dan mana yang termasuk

daerah – e. Tuliskan himpunan penyelesaiannya

Contoh soal:

1. Carilah penyelesaian pertidaksamaan x2 – 8x + 12>0 Penyelesaian:

x2 – 8x + 12>0 (x-2) (x-6)>0

(1) Pilih sembarang x untuk x <1, misalnya x=0, maka: (0-2) (0-6)>0 = 12 > 0, ini berati untuk semua x<1 memenuhi pertidaksamaan di atas.

(2) Pilih sembarang x untuk 1<x <6= misalnya x=3 maka: (3-1) (3-6)= -6 <0 , ini berarti untuk 1<x <6 tidak memenuhi pertidaksamaan di atas.

(3) Pilih sembarang x untuk x>6, misalnya x=7, maka: (7-2) (7-6)= 5 >0, ini berarti untuk semua x>6 memenuhi pertidaksamaan di atas. Dari (1), (2), dan (3) dapat disimpulkan untuk (x-2) (x-6)>0 haruslah x<1 atau x>6 yang dinyatakan pada garis bilangan berikut:

Jadi HP{x|x <1 atau x>6}


2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 - x – 6 > 0 Penyelesaian: Ubah tanda pertidaksamaan menjadi persamaan x2 - x – 6 = 0 (x+3) (x-2) = 0 X = -3 atau x =2 Gambarkan nilai -3 dan 2 ke dalam garis bilangan

Berdasarkan garis bilangan itu, maka kita bisa ambil tida nilai titik uji. x = -4 (-4)2 + (-4) -6 = +6 , maka tanda interval > 0 x = 0 (0)2 + (0) – 6 = -6, maka tanda interval <0 x = 3 (3)2 + (3) -6 = +6, maka tanda interval >0 Karena pertidaksamaan dalam soal adalah > maka interval yang sesuai adalah interval yang nilai ujinya menghasilkan nilai bertanda positif (+)

Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {x|x -3 atau x>2}

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 - 2x – 3 Penyelesaian:

Ubalah pertidaksamaan x2 - 2x – 3 ≤ 0 kedalam bentuk persamaan x2 - 2x – 3 = 0 (x - 3 ) (x + 1) = 0 x = 3 atau x =-1


Karena pertidaksamaan dalam soal adalah ≤ maka interval yang sesuai adalah interval yang nilai ujinya menghasilkan nilai bertanda negatif (-) Berdasarkan soal daerah yang diminta ≤ 0 berarti daerah yang bertanda - , Dengan demikian,himpunan penyelesaiannya adalah {x |−1 ≤x < 3}

C. Penutup

1. Rangkuman

1. Pertidaksamaan linear merupakan kalimat terbuka dalam matematika

yang terdiri dari variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan.

2. Bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel yaitu : ax + by > c ax + by < c ax + by ≥ c ax + by ≤ c

3. Langkah-langkah dalam menggambar grafik pertidaksamaan linear yaitu sebagai berikut :

1) Ubah tanda ketidaksamaan menjadi persamaan 2) Tentukan titik potong koordinat kartesius dengan sumbu x dan

sumbu y. 3) Gunakan titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian. 4) Gambarkan grafiknya dan beri arsiran pada daerah

penyelesaiannya


4. Persamaan Memiliki Sifat-sifat: 1) Aditif: Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau

dikurang dengan bilangan yang sama, maka diperoleh pertidaksamaan baru dengan arah pertidaksamaan yang sama, yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula

2) Multiplikatif: a) Jika kedua ruar suatu pertidaksamaan dikalikan dengan

bilangan positif yang sama, maka diperoleh pertidaksamaan baru dengan tanda pertidaksamaan yang sama, yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula.

b) Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negative yang sama, maka diperoleh pertidaksamaan baru dengan arah kebalikan dari pertidaksamaan semula, yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula.

5. Pertidaksamaan linier satu peubah adalah pertidaksamaan yang hanya memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya adalah satu.

6. Cara menyelesaiakan soal cerita tentang persamaan linear satu peubah yaitu: 1) Susun model matematikanya 2) Lakukan operasi aljabar sampai salah satu ruas tinggal menujukan

satu suku yaitu variabel tersebut. 7. Penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dua peubah adalah pasangan

berurut (x,y) yang memenuhi pertidaksamaan linear tersebut. Himpunan penyelesaian tersebut dinyatakan dengan suatu daerah pada bidang kartesius.

8. Bentuk umum pertidaksamaan linier dua variabel adalah sebagai berikut. ax + by < c ax + by > c ax + by ≤c ax + by ≥ c dengan a,b,c ∈ dan x,y peubah

9. Langkah-langkah menyelesaikan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel:


g. Menggambar garis ax + by = c pada bidang kartesius. Caranya mencari titik-titik potong grafik dengan sumbu x (y=0) dan sumbu y(x=0).

h. Mengambil titik sembarang, missal T(x1 , y1) yang tidak terletak pada garis tersebut. Selanjutnya, menghitung nilai ax1 + by1, nilai ax1 + by1 ini dibandingkan dengan nilai c

i. Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan ax + x by ≤ c ditentukan sebagai berikut: 3) Jika ax1 + by1 < c, maka daerah yang memuat T merupakan

daerah penyelesaian 4) Jika ax1 + by1 > c, maka daerah yang memuat T bukan merupakan

daerah penyelesaian j. Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan ax + x by ≥ c ditentukan

sebagai berikut: 3) Jika ax1 + by1 > c, maka daerah yang memuat T merupakan

daerah penyelesaian 4) Jika ax1 + by1 < c, maka daerah yang memuat T bukan merupakan

daerah penyelesaian k. Daerah penyelesaian diberi arsiran. Dengan begitu daerah yang

bukan penyelesaiannya merupakan daerah tanpa arsiran. l. Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan yang memuat tanda sama

dengan (=) digambar degan garis penuh. Adapun daerah penyelesaian pertidaksamaan yang tidak memuat tanda sama dengan digambar dengan garis putus-putus.

10. Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang variabelnya berpangkat paling tinggi 2.

11. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dalam x dapat dinyatakan dengan salah satu bentuk di bawah ini :

1) 𝑎𝑥2+ bx + c > 0 2) 𝑎𝑥2+ bx + c ≠ 0 3) 𝑎𝑥2+ bx + c < 0 4) 𝑎𝑥2+ bx + c ≠ 0

dengan a, b, c dan x elemen R, dan a≠ 0 12. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y = f(x) =

ax2 + bx + c, dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0


13. Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat (parabola) adalah : • Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas, dan jika a < 0 parabola

terbuka ke bawah. • Memotong sumbu X jika y = 0 atau ax2 + bx + c = 0, memotong

sumbu Y jika x = 0 atau y = a.02 + b.0 + c • Titik potong dengan sumbu X ditentukan oleh nilai

14. Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat: a. Rubalah pertidaksamaan kuadrat menjadi persamaan kuadrat b. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut c. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat pada garis bilangan d. Tentukan mana yang termasuk daerah positif dan mana yang

termasuk daerah negatif e. Tuliskan himpunan penyelesaiannya Berdasarkan nilai diskriminan D=b2 – 4ac dapat ditentukan keanggotaan himpunan penyelesaianya, yaitu bila D>0 maka terdapat 2 anggota, bila D=0 terdapat satu anggota dan bila D<0 himpunan penyelesaian imajiner.


2. Tes Formatif 1) Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan

a. 3x < 9.

b. y + 4 > 0.

c. x + 1 < 4

d. 3x – 1 > 5

e. 2x + 5 < 6

f. 5x – 10 ≥ 7

g. 9 – 4x < 45

2) Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan:

a. 12 – 5a ≥ 3a

b. 3x + 4 ≤ 5 ( x - 1 )

c. x + 5 < 2x – 4.

3) Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan

a. x2 – 6x + 8 > 0 b. x2 + 8x + 16 < 0 c. x2 – 10x + 25 < 0

4) Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 4x + 2y ≤ 8 2x + 4y ≤ 8, x ≥ 0 dan y ≥ 0!

5) Seorang agen sepeda bermaksud membeli 25 buah sepeda untuk persediaan. Harga sepeda biasa Rp. 600.000 per buah dan sepeda federal Rp. 800.000 per buah. Pedagang tersebut merencanakan untuk tidak membelanjakan uangnya lebih dari Rp. 16.000.000 dengan mengharap keuntungan Rp. 100.000 per buah sepeda biasa dan Rp.120.000 per buah dari sepeda federal. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!


A. Pendahuluan Setelah mempelajari materi relasi dan fungsi ini diharapkan

mahasiswa mampu memahami tentang relasi dan fungsi yang menjadi dasar pengerjaan dan penalaran serta pemecahan masalah di SD.

Dalam bab ini bahasan materi terbagi atas dua bagian yaitu yang pertama relasi dan yang kedua fungsi. Adapun materi relasi diuraikan mulai dari pengertiannya dan cara menyatakan relasi. Selanjutnya untuk materi fungsi akan dibahas pengertian dan sifat-sifat dari fungsi yaitu injektif surjektif dan bijektif, serta cara menyatakan Fungsi yaitu dengan: diagram panah, diagram cartesius, himpunan pasangan berurutan.

Konsep relasi dan fungsi adalah salah satu konsep yang banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Konsep relasi dan fungsi ini saling berhubungan satu dengan yang lainnya. Dalam banyak hal fungsi dapat diterapkan dalam berbagai bidang untuk menyelesaikan persoalan-persoalan seperti bidang teknik, ekonomi, dan lain-lain yang mempelajari hubungan-hubungan anatara variabel, dimana variabel-variabel tersebut saling mempengaruhi satu sama lain dan dapat diukur. Contohnya jika Stevani membutuhkan pendonor darah untuk melakukan operasi dan golongan darah kita adalah B, sementara pendonor yang siap yaitu Melisa bergolongan darah O, Grace bergolongan darah AB, dan Tole serta Momo


memiliki golongan darah B. Maka yang dapat mendonorkan darahnya untuk Stevani adalah Tole dan Momo. B. Penyajian

1. Konsep Relasi

Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B.

Untuk dapat memahami konsep dari relasi, perhatikan contoh di bawah ini.

Contoh 1 : Diketahui : A = Himpunan siswa yang bernama Andy, Aida, dan Angga. B = Himpunan jenis makanan bakso dan roti. Dari himpnan A dan B kesukaan makan anak-anak tersebut dinyatakan sebagai berikut :

a) Andy suka makan bakso dan roti. b) Aida suka makan roti. c) Angga suka makan bakso.

Dari contoh tersebut terdapat relasi (hubungan) antara himpunan A dan B atau biasa dikatakan antara A dan B mempunyai relasi (hubungan) yaitu sama-sama “ suka makan “. Contoh 2 : Dari 4 orang siswa yaitu Imanuel, Nadia, Desi dan Riri. Diperoleh keterangan mengenai permaian kegemaran mereka. Data yang diperoleh sebagai berikut. Imanuel senang dengan sepak bola dan basket, Nadia senang Volly dan Basket, Desi senang Tenis dan Wanla senang Basket. Dan keterangan diatas dapat dinyatakan dalam suatu relasi yaitu kegemaran bermain. Diketahui : A = Himpunan siswa yang bernama Imanuael, Nadia, Desi dan Riri. B = Himpunan gemar bermain Sepak Bola, Basket, Volly, dan Tenis.


Dari himpunan A dan B kegemaran bermain anak-anat tersebut dinyatakan sebagai berikut :

a) Imanuel gemar bermain Sepak Bola dan Basket. b) Nadia gemar bermain Volly dan Basket. c) Desi gemar bermain Tenis d) Riri gemar bermain Basket.

Dari contoh tersebut terdapat relasi (hubungan) antara himpunan A dan B atau biasa dikatakan antara A dan B mempunyai relasi (hubungan) yaitu “ gemar bermain “. Jika kita perhatikan kedua contoh diatas, suatu relasi dapat dinyatakan

dengan kata-kata misalnya suka bermain, suka makan, faktor dari, saudara kandung dari, lebih besar dari, kelipatan dari. Relasi juga dapat kita gambar dengan diagram panah, anggota himpunan digambarkan dalam kurva tertutup sederhana dengan noktha-noktha dan anak panah berfungsi untuk memasangkan anggota himpunan yang satu dengan anggota himpunan yang lainnya.

Contoh soal : Relasi “ suka makan “ dari himpunan A ke B di atas, diagram

panahnya dapat digambarkan sebagai berikut :

Pada gambar di atas dapat kita lihat bahwa anak panah menunjuk relasi “ suka makan “. Relasi bisa ditulis dengan “R”. Secara umum jika a mempunyai relasi dengan b maka dapat ditulis dengan a R b atau


R (a,b) tetapi jika a tidak memiliki relasi dengan b, maka dapat ditulis a R b. Pada gambar diatas dapat kita tulis sebagai berikut :

a) Andy R bakso artinya Andy suka makan bakso. b) Andy R roti artinya Andy suka makan roti. c) Aida R roti artinya Aida suka makan roti. d) Aida R bakso artinya Aida tidak suka makan bakso. e) Angga R bakso artinya Angga suka makan bakso. f) Angga R roti artinya Angga tidak suka makan roti.

Relasi dari A ke B pada contoh di atas juga dapat dinyatakan ke dalam pasangan berurutan. Pasangan berurutan yaitu pasangan yang urutannya harus diperhatikan. Maksudnya yaitu (a,b) tidak sama dengan (b,a). Himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi “ suka makan” dari himpunan A ke B dapat di tulis {(Andy, bakso), (Andy, roti), (Aida, roti), (Angga, bakso)}. Relasi dapat dinyatakan dengan pasangan berurutan yang bisa digambarkan dengan menggunakan diagram cartesius, biasa juga disebut dengan diagram koordinat, anggota himpunan pertama di gambarkan pada sumbu horizontal atau di simbolkan dengan sumbu x dan anggota kedua digambarkan pada sumbu vertikal atau disimbolkan dengan sumbu y.

Jadi dapat kita simpulkan relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi


dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan ataupun korespondensi anggota A dengan anggota-anggota B.

2. Konsep Fungsi

Diketahui A= { 1, 2, 3} dan B= {2, 4, 6}. Relasi dari A ke B adalah “ setengah dari “, dengan demikian terdapat pemasangan sebagai berikut :

1 ∈ A dipasangkan dengan 2 ∈ B 2 ∈ A dipasangkan dengan 4 ∈ B 3 ∈ A dipasangkan dengan 6 ∈ B

Setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu pada anggota B, relasi ini dinamakan dengan pemetaan ataupun fungsi dari A ke B.

Contoh :

a. Diketahui C = {2, 3} dan D= {4, 9}, relasi dari C ke D adalah “faktor dari” dengan demikian dapat di tulis sebagai berikut : 2 ∈ C dipasangkan dengan 4 ∈ D 3 ∈ C dipasangkan dengan 9 ∈ D

b. Diketahui C= {2, 3) dan D= {4, 9}. Relasi dari C ke D adalah “kurang dari” dengan begitu dapat ditulis sebagai berikut : 2 ∈ C dipasangkan dengan 4 ∈ D dan 2 ∈ C depasangkan dengan 9 ∈ D 3 ∈ C dipasangkan dengan 4 ∈ D dan 3 ∈ C dipasangkan dengan 9 ∈ D

Setiap anggota C pasangannya tidak hanya satu akan tetapi lebih dari satu pada anggota D, berarti relasi “kurang dari” dari C ke D bukan termasuk fungsi. Jadi dapat disimpulkan bahwa suatu pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B atau pasangannya tidak lebih dari satu.


Di dalam fungsi terdapat beberapa istilah yaitu: a) Domain adalah himpunan asal yang dipetakan dalam fungsi. b) Kodomain adalah himpunan tujuan pemetaan dalam fungsi. c) Range adalah daerah hasil pemetaan yang merupakan bagian dari

kodomain Contoh: Diketahui: P={1,2,3,4} Q={2,4,6,8,10,12} Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan “setengah dari”. Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi : {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}. Relasi tersebut merupakan fungsi karena setiap anggota dari himpunan P mempunyai tepat satu pasangan dengan anggota himpunan Q. Dari fungsi kita dapat menentukan domain, kodomain, dan range.

• Domain (daerah asal) yaitu himpunan P={1, 2, 3, 4} • Kodomain (daerah kawan) yaitu himpunan Q= {2, 4, 6, 8,

10, 12} • Range (daerah hasil) yaitu {2, 4, 6, 8}

Pada relasi dari himpunan P ke Q, himpunan P disebut dengan Domain (daerah asal), himpunan Q disebut Kodomain (daerah kawan) dan semua anggota Q yang mendapat pasangan dari P disebut Range (daerah hasil).

3. Cara Menyatakan Fungsi

Dalam menyatakan suatu fungsi kita dapat menggunakan tiga metode yaitu diagram panah, diagram cartesius dan juga himpunan pasangan berurutan, sama seperti kita menyatakan suatu relasi karena fungsi merupakan bentuk khusus dari relasi.


a. Diagram Panah Diagram panah yang menggambarkan fungsi f tersebut seperti gambar di bawah berikut ini.

b. Diagram Cartesius Diagram Cartesius dari fungsi f tersebut seperti gambar di bawah berikut ini.


c. Himpunan Pasangan Berurutan Himpunan pasangan berurutan dari fungsi f tersebut adalah {(0, –2), (2, 0), (4, 2)}.

Contoh : 1. Suatu fungsi dari A ke B didefinisikan sebagai f(x) = 2x + 3. Jika A

= {x | –1 < x ≤ 5} dan B adalah himpunan bilangan bulat maka: 1) Tentukan f(x) untuk setiap x anggota himpunan A; 2) Gambarlah fungsi f(x) dalam diagram panah, diagram

Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Penyelesaian: A = {x | –1 < x ≤ 5} = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = Bilangan bulat, dan f(x) = 2x + 3, maka: a. nilai f(x) untuk setiap x anggota himpunan A yakni:

f(0) = 2.0 + 3 = 3 f(1) = 2. 1 + 3 = 5 f(2) = 2.2 + 3 = 7 f(3) = 2.3 + 3 = 9 f(4) = 2.4 + 3 = 11 f(5) = 2.5 + 3 = 13


b. fungsi f(x) dalam : 1) Diagram panah


2) Diagram Cartesius

3) Himpunan Pasangan Berurutan Fungsi f(x) dalam himpunan pasangan berurutan yakni {(0, 3), (1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11), (5, 13)}.

http://2.bp.blogspot.com/-kxZjQL51kl0/U15O2J6BTtI/AAAAAAAAJ24/bp_xhHdZW0s/s1600/menyajikan+fungsi3.png

http://2.bp.blogspot.com/-kxZjQL51kl0/U15O2J6BTtI/AAAAAAAAJ24/bp_xhHdZW0s/s1600/menyajikan+fungsi3.png


4. Jenis-Jenis Fungsi

a. Fungsi Konstan

Fungsi f : P → Q disebut fungsi konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = c, dimana c adalah bilangan konstan. Contoh: Diketahui f : R → dengan rumus f(x) = 4 dengan domain: {-3 ≤ x ≤ 3}. Tentukan gambar grafiknya! Penyelesaian:

x f(x) -3 4 -2 4 -1 4 0 4 1 4 2 4 3 4

Grafik:


b. Fungsi Linier Fungsi f(x) disebut fungsi linier jika fungsi itu ditentukan oleh f(x) = px + q, untuk p ≠ 0, p dan q bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.

c. Fungsi Kuadrat Jika fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax2 + bx + c; a,b,c ∈ 𝑅 dan a ≠ 0, untuk semua nilai x dalam daerah asalnya, fungsi f(x) tersebut dikatakan sebagai fungsi kuadrat atau fungsi polinomberderajat dua dalam variabel x.

d. Fungsi Identitas Fungsi f(x) disebut fungsi identitas jika setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri.

e. Fungsi Tangga Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar.

f. Fungsi Modulus Fungsi modulus atau disebut juga fungsi mutlak. Jika fungsi y = f(x) dengan f(x) = │x│untuk semua nilai x dalam daerah asalnya, fungsi f(x) tersebut dikatakan sebagai fungsi modulus atau fungsi mutlak. Bentuk │x│dibaca sebagai “nilai mutlak x” dan didefinisikan sebagai:

│x│ = � x, untuk x > 0−x, untuk x < 0

Nilai mutlak suatu bilangan real x tidak pernah negative. Oleh karena itu, grafik fungsi f(x) = │x│ tidak pernah terletak dibawah sumbu Y.

g. Fungsi Ganjil Dan Fungsi Genap Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(-x) = -f(x) dan disebut sebagai fungsi genap apabila berlaku f(-x) = f(x). Jika f(-x) ≠ -f(x), maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.


Contoh: Tentukan fungsi f dibawa ini termasuk fungsi genap, fungsi ganjilatau tidak genap dan tidak ganjil! a. F(x) = 2x2 + x b. F(x) = 8x2 + 4 Penyelesaian: a. F(x) = 2x2 + x F(-x) = 2(-x)2 + (-x) = -2x2 – x = -(2x2 + x) = -f(x) Jadi, fungsi f(x) merupakan fungsi ganjil. b. F(x) = 8x2 + 4 F(-x) = 8(-x)2 + 4 = 8(x)2 + 4 = f(x) Jadi, fungsi f(x) merupakan fungsi genap.

5. Sifat Fungsi a. Fungsi Injektif (satu ke satu)

Injektif adalah jika himpunan A memiliki satu pasang dengan himpunan B. Fungsi f disebut fungsi satu-satu (one-to-one) atau injektif jika semua preimage adalah unik. Dengan kata lain, jika a ≠ b maka f(a) ≠ f (b). Atau jika a = b maka f (a) = f (b). Fungsi f dikatakan satu-ke satu (one-to-one) atau (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan memiliki bayangan sama. Contoh 1 : Relasi f ={(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fungsi satu-ke-satu. Di sini f(1) = w, f(2) = u, dan f(3) = v. Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u, v, w}, yang dalam hal ini anggota dari himpunan B. Dikatakan fungsi satu-ke-satu karena, anggota daerah asal dari f adalah A memiliki tepat satu pasangan pada daerah kawan dari f adalah B.


Dan tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan yang sama pada himpunan B.

Contoh 2 : Diketahui A = {x | 1 ≤ x ≤ 4, x anggota bilangan asli} dan B = {bilangan genap kurang dari 12}, sehingga B = {2, 4, 6, 8, 10}. Jika x anggota dari himpunan A dan y anggota dari himpunan B, di mana y = f(x), maka range dari fungsi f(x) = 2x adalah f(1)=2(1)=2 f(2)=2(2)=4 f(3)=2(3)=6 f(4)=2(4)=8 Range atau Rf= {(1,2), (2, 4),(3, 6), (4, 8)} Perhatikan, masih terdapat anggota B yakni 10 yang tidak dipasangkan dengan anggota A.

b. Fungsi Surjektif

Fungsi surjektif adalah suatu fungsi yang setiap elemen daerah hasil (Rf) merupakan bayangan paling sedikit dari daerah kodomain (Kf) Kalimat tersebut secara matematika diartikan : Misal f : A → B adalah sebuah fungsi. Jika Rf = B atau daerah hasil dari fungsi f sama dengan kodomain f, maka f adalah fungsi subyektif atau pada. Contoh : Diketahui A = {-1, 0 , 1, 2} dan B = {0 , 1, 4} Jika x anggota dari himpunan A dan y anggota dari himpunan B, di mana y = f(x), maka range dari fungsi f(x) = x² adalah : f(-1) = (-1)² = 1 f(0) = (0)² = 0 f(1) = (1)² = 1 f(2) = (2)² = 4 Range atau Rf = {(-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)} Perhatikan, anggota B yakni 1 dipasangkan dengan dua anggota A. Tidak ada anggota B yang tidak dipasangkan.


c. Fungsi Bijektif

Fungsi bijektif adalah korespondensi satu-satu, yaitu suatu fungsi yang setiap anggota domain dipasangkan tepat satu ke anggota kodomain dan setiap anggota kodomain merupakan pasangan dari satu dan hanya satu anggota domain Contoh : Diketahui A = {-1, 0 , 1, 2} dan B = {-1, 0, 1, 8} Jika x anggota dari himpunan A dan y anggota dari himpunan B, di mana y = f(x), maka range dari fungsi f(x) = x³ adalah f(-1) = (-1)³ = -1 f(0) = (0)³ = 0 f(1) = (1)³ = 1 f(2) = (2)³ = 8 Range atau Rf = {(-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 8)} Perhatikan, tiap satu anggota A tepat dipasangkan dengan satu anggota B

6. Operasi Aljabar pada Fungsi Misalkan, f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang diketahui , maka operasi ajabar dari f(x) dan g(x) adalah sebagai berikut:

a. Penjumlahan Penjumlahan f(x) dan g(x) berlaku: (f + g) (x) = f(x) + g(x) Contoh: Diketahui f(x) = 2x + 4 dan g(x) = 3x2 – 5x. Tentukan (f + g) (x)! Penyelesaian: (f + g) (x) = f(x) + g(x) = 2x + 4 + 3x2 – 5x = 3x2 – 3x + 4

b. Pengurangan Pengurangan f(x) dan g(x) berlaku: (f - g) (x) = f(x) - g(x)


Contoh: Diketahui f(x) 6x3 - 7x2 + x – 1 dan g(x) = x3 - 8x2 – 2. Tentukan (f - g) (x)! Penyelesaian: (f - g) (x) = f(x) - g(x) = 6x3 - 7x2 + x – 1 – (x3 - 8x2 – 2) = 5x3 - 15x2 + x + 1

c. Perkalian Perkalian f(x) dan g(x) berlaku: (f . g) (x) = f(x) . g(x) Contoh: Diketahui f(x) = x + 1 dan g(x) = x2 – 2. Tentukan (f . g) (x)! Penyelesaian: (f . g) (x) = f(x) . g(x) = (x + 1) . ( x2 – 2) =x3 + x2 - 2x -2

d. Pembagian Pembagian f(x) dan g(x) berlaku:�fg�(x) = f(x)

g(x)

Contoh: Diketahui f(x) = x2 – 1 dan g(x) = x + 1. Tentukan �fg�(x)! Penyelesaian: �fg�(x) = f(x)

g(x)

= x2 – 1 x+1

= (𝑥+1)(𝑥−1)𝑥+1


Latihan soal : 1. Suatu fungsi ditentukan dengan rumus f(x) = 2x + 1 dengan daerah asal

(0,1,2,3,4). Tentukanlah: a. Daerah hasilnya b. Himpunan pasangan berurutannya c. Gambar grafik cartesius dan diagram panahnya Penyelesaian: a. Fungsi f memetakan x ke 2x dapat ditulis

f = x → 2x + 1 x = 0 → 2.0 + 1 = 1 x = 1 → 2.1 + 1 = 3 x = 2 → 2.2 + 1 = 5 x = 3 → 2.3 + 1 = 7 x = 4 → 2.4 + 1 = 9

jadi, daerah hasilnya adalah {1, 3, 5, 7, 9}

b. HP = {(0,1), (1,3), (2,5), (3,7), (4,9)

c. Diagram panah


Grafik cartesius:

Daerah asal(domain) ={0,1,2,3,4}

Daerah kawan (kodomain) ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Daerah hasil (range) = {1,3,5,7,9}


C. Penutup 1. Rangkuman 1) Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu

ke himpunan lain. 2) Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau

perkawanan ataupun korespondensi anggota A dengan anggota-anggota B.

3) Fungsi f adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain).

4) Di dalam fungsi terdapat beberapa istilah yaitu: a) Domain adalah himpunan asal yang dipetakan dalam fungsi. b) Kodomain adalah himpunan tujuan pemetaan dalam fungsi. c) Range adalah daerah hasil pemetaan yang merupakan bagian

dari kodomain. 5) Cara menyatakan Fungsi ada 3 macam yaitu dengan :

a) Diagram Panah. b) Diagram Cartesius. c) Himpunan pasangan berurutan.

6) Sifat-sifat fungsi ada 3 yaitu : a) Fungsi Injektif b) Fungsi Surjektif c) Fungsi Bijektif


2. Tes Formatif

1)

Diagram panah diatas menunjukan fungsi dari P ke Q. Tentukan : a. Daerah asal ( domain) b. Daerah kawan ( kodomain) c. Daerah hasil (range) d. Bayangan k dan m !

2) Diketahui A={1, 2, 3, 4} dan B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Suatu fungsi f: A → B ditentukan oleh f(x) + 2x-1.

a. Gambarlah fungsi f dengan diagram panah. b. Tentukan range fungsi f.

3) Tentukanlah berapa banyak pemetaan dari himpunan A ke himpunan B dari setiap pemetaan berikut, A = {a,b} dan B = { 1,2,3}

4) Buatlah table fungsi untuk fungsi f (x) = 2x – 2 dengan domain = { x I 0 ≤ 𝑥 ≥ 5 , 𝑥 ∈ 𝑅 } kemudian gambarlah grafiknya serta tentukan daerah hasilnya (range) !

5) Fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = 2x2 – 3x + 1. Tentukan nilai fungsi f(x) untuk x = - 3 adalah……

6) Suatu fungsi didefinisikan dengan rumus f(x) = 3 – 5x. Tentukan nilai f(-4) !


7) Diketahui f (x) = ax + b, jika f (2) = 5 dan f (-1) = -4 , tentukan nilai a dan b serta bentuk fungsinya…….

8) Fungsi f didefinisikan dengan rumus f(x) = px + q. Jika f(3) = -10 dan f(-2) = 0, nilai f(-7) adalah...

9) Fungsi f ditentukan dengan rumus f(x) = -2x dari {-2, -1, 0, 1, 2} ke himpunan bilangan bulat.

a. Gambarlah grafik fungsi tersebut b. Tulislah persamaan dari grafik tersebut. c. Buatlah garis yang menghubungkan titik-titik tersebut,

bagaimana letak titik-titik tersebut 10) Gambarlah garis-garis yang mempunyai persamaan

y = x + 1; y = 2x – 1; y = 3x (petunjuk: karena letak sebuah garis ditentukan paling sedikit oleh dua titik, buatlah titik-titik yang terletak pada sumbu x dan sumbu y saja, lalu hubungkan kedua titik tersebut).


A. Pendahuluan

Setelah mempelajari transformasi geometri ini mahasiswa diharapkan mampu memahami dan melakukan operasi trasformasi serta menggunakan konsep geometri transformasi dalam pemecahan masalah sehari-hari.

Bab ini akan membahas konsep-konsep beserta contoh-contoh transformasi yang terdiri dari translasi, refleksi, rotasi dan dilatasi. Materi transformasi geometri ini umumnya merupakan dasar bagi contoh-contoh materi sekolah dasar yaitu materi kongruen dan kesebangunan, juga merupakan dasar untuk melukis atau menggambar.

Jika dalam dunia kerja, profesi sebagai arsitek yang paling banyak menggunakan konsep transformasi sebagai dasar untuk mengambil keputusan. Sebagai contoh seorang pengusaha rumah kayu memamerkan produk rumah kayunya untuk dijual disebuah mall menggunakan maket, konsep translasi yang digunakan disini adalah konsep dilatasi. Selanjutnya profesi sebagai desainer, untuk merancang sebuah desain grafis atau desain fasion membutuhkan konsep translasi. Demikian juga dengan profesi animator, untuk mengatur keyframe serta proses modeling animasi 2D dan 3D menggunakan konsep transformasi.


B. Penyajian 1) Pengertian Transformasi

Transformasi berartikan perubahan. Transformasi merupakan proses pemetaan titik-titik pada gambar ke suatu objek untuk membentuk gambar lainnya. Dalam transformasi, bentuk dapat dipindahkan dimana saja, atas, bawah, kiri, kanan atau ke segala arah. Jenis-jenis Transformasi geometri adalah translasi (pergeseran), rotasi (perputaran), refleksi (pencerminan) dan dilatasi (penskalaan).

2. Jenis – Jenis Transformasi Jenis Transformasi ada empat yaitu translasi, refleksi, dan rotasi, serta dilatasi.

1. Translasi( pergeseran) :

Translasi (Pergeseran) merupakan suatu transformasi yang

memindahkan setiap titik dari suatu posisi yang baru sepanjang ruas garis dan arah tertentu sehingga menempati posisi baru. Di dalam operasi translasi, bangun geometri bayangan kongruen terhadap bangun geometri semula. Dengan kata lain dapat dikatakan kalau translasi hanya memindahkan tanpa mengubah ukuran tanpa memutar. Kata kuncinya transformasik ke arah yang sama dan ke jarak yang sama. contoh gambar dibawah ini:


Misalkan sebuah titik T (x,y) yang ditranslasikan menurut (a,b) maka hasil setelah transfromasi adalah:

Translasi T dapat dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut dua bilangan ab

dan dituliskan sebagai: T = ab

Keterangan: 1) a dan b masing-masing disebut sebagai komponen translasi 2) a menyatakan komponen translasi dalam arah sumbu X

Jika a > 0, maka arah pergeserannya adalah a satuan ke kanan

Jika a < 0, maka arah pergeserannya adalah |a| satuan ke kiri

3) b menyatakan komponen translasi dalam arah sumbu Y Jika b > 0, maka arah pergeserannya adalah b satuan ke atas Jika b < 0, maka arah pergeserannya adalah |b| satuan ke

bawah Bayangan titik P (x,y) oleh translasi T = ab

adalah P’ (x’ , y’) dengan x’=

x+a dan y’ = y+b. Bayangan garis y = mx + c oleh translasi T=ab

adalah garis y - b = m (x - a) + c.


Contoh : Kedudukan titik hasil translasi pada bidang :

Penjelasan :Titik A’(x’,y’) merupakan hasil translasi dari titik A(x, y) dengan panjang dan arah yang sama dengan a

Contoh soal : 1. Tentukan bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8) 2. Tentukan bayangan dari titik A(5,10) oleh translasi T = (4

2)

3. Tentukan bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)


Pembahasan : Bayangan dari titik A oleh suatu transformasi namakan A’ Dua model yang biasa dipakai sebagai berikut:

Hasilnya akan sama saja, hanya sedikit beda cara penulisan,

sehingga:

1. Bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8) 2. Bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi

Bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U =(3,4)

2. Refleksi (pencerminan)

Refleksi atau sering disebut dengan istilah pencerminan adalah suatu transformasi dengan memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat-sifat pencerminan pada cermin datar. Berikut tabel transformasi pencerminan: Secara umum, ada 2 jenis pencerminan yang dilakukan, antara lain pencerminan (refleksi) terhadap sumbu x dan pencerminan (refleksi) terhadap sumbu y.


contoh pencerminan:


Cara melukis bayangan dari bangun geometri adalah sebagai berikut. Tentukan terlebih dahulu sebuah garis yang akan bertindak sebagai

sumbu cermin atau sumbu simetri. Dari tiap titik sudut geometri yang akan dilukis bayangannya,

buatlah garis yang tegak lurus terhadap sumbu cermin. Lukislah titik-titik sudut bangun geometri bayangan dengan cara

mengukur jarak antara titik sudut bangun geometri bayangan terhadap sumbu cermin sama dengan jarak titik sudut bangun geometri semula terhadap sumbu cermin.

Hubungkan titik-titik sudut yang berdekatan sehingga diperoleh bangun geometri bayangan.


Persamaan transformasi pada bidang, yaitu

1) Persamaaan transformasi terhadap sumbu X Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu X sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap sumbu X ditentukan oleh hubungan: x’ = x y’ = -y Ditulis : P(x,y) sumbu X P’(x,-y)

2) Persamaan transformasi terhadap sumbu Y Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu Y sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap sumbu Y ditentukan oleh hubungan: x’ = -x y’ = y Ditulis : P(x,y) sumbu Y P’(-x,y)

3) Persamaan transformasi refleksi terhadap garis y = x Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap garis y = x sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap garis y = x ditentukan oleh hubungan: x’ = y y’ = x Ditulis : P(x,y) y = x P’(y,x)

4) Persamaan transformasi refleksi terhadap garis y = -x Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap garis y = -x sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap garis y = - x ditentukan oleh hubungan: x’ = -y y’ = -x Ditulis : P(x,y) y = -x P’(-y,-x)

5) Persamaan transformasi refleksi terhadap titik asal O(0,0) Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap titik asal O(0,0) sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap titik asal O(0,0) ditentukan oleh hubungan:


x’ = -x y’ = -y Ditulis : P(x,y) titik asal O P’(-x,-y)

6) Persamaan transformasi refleksi terhadap garis y = k Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap garis y = k sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap garis y = k ditentukan oleh hubungan: x’ = x y’ = 2k-y Ditulis : P(x,y) y = k P’(x, 2k-y)

Refleksi terhadap Sumbu X

Pada gambar dibawah ini terlihat 4 buah titik yang diketahui pasangan koordinatnya, yaitu titik-titik A (4,2), B (-2,4), C (-4,-2), dan D (2,-4).


Kemudian kita tentukan bayangan dari titik-titik A (4,2), B (-2,4), C (-4,2),dan D (2,-4) pada refleksi (pencerminan) terhadap sumbu X, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut. Bayangan dari titik-titik A (4,2), B (-2,4), C (-4,-2), dan D (2,-4) pada refleksi (pencerminan) terhadap sumbu X adalah A’(4,-2), B’(-2,-4), C’ (-4,2), dan D’(2,4).

Contoh soal : Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap sumbu X. Penyelesaian: - Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap sumbu X

adalah P’(-2,3). - Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap sumbu X

adalah Q’(3,-3). - Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap sumbu X

adalah R’(3,-6).


Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap sumbu X adalah titik-titik P’(-2,-3), Q’(3,-3), dan R’(3,-6). Refleksi terhadap Sumbu Y

Pada gambar dibawah ini terlihat 4 buah titik yang diketahui pasangan koordinatnya,yaitu titik-titik A (2,4), B (-4,2), C (-2,-4), dan D (4,-2).

Kemudian kita tentukan bayangan dari titik-titik A (2,4), B (-4,2), C (2,4),dan D (4,-2) pada refleksi (pencerminan) terhadap sumbu Y, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.

Bayangan dari titik-titik A (2,4), B (-4,2), C (-2,-4), dan D (4,-2) pada refleksi (pencerminan) terhadap sumbu Y adalah A’(-2,4), B’(-4,2), C’(-2,-4), dan D’(-4,-2).


Contoh soal : Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap sumbu Y. Penyelesaian: - Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah

P’(2,3). - Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah

Q’(-3,3). - Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah

R’(-3,6).

Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah titik-titik P’(2, 3), Q’(-3,3), dan R’(-3,6).


Refleksi terhadap Garis y = x

Pada gambar diatas terlihat 4 buah titik yang diketahui pasangan koordinatnya,yaitu titik-titik A (2,5), B (-4,2), C (-2,-5), dan D (4,-2).

Kemudian kita tentukan bayangan dari titik-titik A (2,5), B (-4,2), C (-2,-5),dan D (4,-2) pada refleksi (pencerminan) terhadap garis y = x, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.

Bayangan dari titik-titik A (2,5), B (-4,2), C (-2,-5), dan D (4,-2) pada

refleksi (pencerminan) terhadap terhadap garis y = x adalah A’(5,2), B’(2,-4), C’(-2,—5), dan D’(-2,4).


Contoh soal : Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap garis y = x. Penyelesaian: - Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah

P’(3,-2). - Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah

Q’(3,3). - Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah

R’(6,3). Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah titik-titik P’(3, -2), Q’(3,3), dan R’(6,3).


Refleksi terhadap Garis y = -x Pada gambar dibawah terlihat 4 buah titik yang diketahui pasangan

koordinatnya, yaitu titik-titik A (-1,4), B (-4,3), C (1,-4), dan D (4,3).

Kemudian kita tentukan bayangan dari titik-titik A (-1,4), B (-4,3), C (1,-4),dan D (4,3) pada refleksi (pencerminan) terhadap garis y = -x, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.

Bayangan dari titik-titik A (-1,4), B (-4,3), C (1,-4), dan D (4,3) pada refleksi (pencerminan) terhadap terhadap garis y = x adalah A’(-4,1), B’(3,4), C’(4,-1), dan D’(-3,-4).


Contoh Soal : Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap garis y = -x. Penyelesaian: - Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap garis y = -x

adalah P’(-3,2). - Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah

Q’(-3,-3). - Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah

R’(-6,-3). Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah titik-titik P’(-3,2), Q’(-3,-3), dan R’(-6,-3). Refleksi terhadap Garis x = k

Pada gambar dibawah tampak sebuah titik P(a,b) yang direfleksikan (dicerminkan) terhadap garis x = k sehingga bayangannya adalah P’(a’,b’). Kemudian kita cari hubungan antara a, b, a’, b’, dan k, hasilnya adalah sebagaiberikut.

Selanjutnya, dari gambar di atas tampak jelas bahwa a’ = a, sehingga titik P(a,b) berturut-turut diganti oleh a dan 2k-b. Oleh karena itu, koordinat titik P’(a’,b’) menjadi P’(a,2k-b).


Contoh soal : Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap garis x = 5.

Penyelesaian: - Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap garis x = 5 adalah

P’(2(5)-(-2),3) = P’(12,3). - Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap garis x = 5 adalah

Q’(2(5)-3,3) = Q’(7,3). - Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap garis x = 5 adalah

R’(2(5)-3,6) = R’(7,6). Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap garis x = 5 adalah titik-titik P’(12,3), Q’(7,3), dan R’(7,6).


Refleksi terhadap Garis y = k Pada gambar dibawah ini terlihat sebuah titik P(a,b) yang direfleksikan (dicerminkan) terhadap garis y = k sehingga bayangannya adalah P’(a’,b’).

Kemudian kita cari hubungan antara a, b, a’, b’, dan k, hasilnya adalah sebagai berikut.


Contoh soal : Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap garis y = 3. Penyelesaian: - Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap garis y = 4 adalah

P’(-2,2(4)-3) = P’(-2,5). - Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap garis y = 4 adalah

Q’(3,2(4)-3) = Q’(3,5). - Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap garis y = 4 adalah

R’(3,2(4)-6) = R’(3,2). Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan terhadap garis y = 4 adalah titik-titik P’(-2,5), Q’(3,5), dan R’(3,2).

3. Rotasi (Perputaran)

Rotasi(putaran) adalah transformasi yang memetakan setiap titik pada

bidang ke titik lainnya dengan cara memutar pada pusat titik tertentu. Rotasi ditentukan oleh tiga hal, yaitu titik pusat, besar sudut, dan arah sudut rotasi. Suatu rotasi dikatakan memiliki arah positif, jika rotasi itu berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam. Pusat rotasi adalah titik tetap atau titik pusat yang digunakan sebagai acuan untuk menentukan arah dan besar sudut rotasi. Titik pusat dapat berada di dalam, pada, atau di luar bangun geometri yang hendak dirotasi.

Arah rotasi disepakati dengan aturan bahwa jika perputaran berlawanan dengan arah jarum jam maka rotasi bernilai positif sedangkan jika perputaran searah jarum jam maka rotasi bernilai negatif. Besarnya sudut putar rotasi menentukan jauhnya rotasi. Jauh rotasi dinyatakan dalam bilangan pecahan terhadap satu kali putaran penuh (3600 ) atau besar sudut dalam ukuran derajat atau radian.


Contoh gambar rotasi :

1. Rotasi terhadap Titik Pusat O(0,0) Sebesar 900 Searah Jarum Jam

Pada gambar dibawah ini terlihat 2 buah titik yang diketahui pasangan koordinatnya, yaitu titik-titik A (2,3) dan B (-2,-4).


Contoh soal : Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 900 searah jarum jam. Penyelesaian: Pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 900 searah jarum jam,

- Bayangan titik P(-2,3) adalah P’(3,2). - Bayangan titik Q(3,3) adalah Q’(3,-3). - Bayangan titik R(3,6) adalah R’(6,-3).

Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 900 searah jarum jam adalah titik-titik P’(3,-2), Q’(3,-3),dan R’(6,-3). 2. Rotasi terhadap Titik Pusat O(0,0) Sebesar 900 Berlawanan

dengan Arah Jarum Jam Pada gambar dibawah ini terlihat 2 buah titik yang diketahui pasangan

koordinatnya,yaitu titik-titik A (2,-4) dan B (-3, 4).


Dari gambar yang tampak di atas diperoleh bahwa bayangan dari titik A(2,-4) dan B(-3,4) pada rotasi sebesar 900 berlawanan dengan arah jarum jam masingmasing adalah A’(4,2) dan B’(-4,3).

Berdasarkan penjelasan di atas disimpulkan bahwa: Pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 900 berlawanan dengan arah jarum jam, bayangan titik P(a,b) adalah P’(-b,a).

Contoh soal: Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 900 berlawanan dengan arah jarum jam. Penyelesaian:

Pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 900 berlawanan dengan arah jarum jam,

- Bayangan titik P(-2,3) adalah P’(-3,-2). - Bayangan titik Q(3,3) adalah Q’(-3,3). - Bayangan titik R(3,6) adalah R’(-6,3).

Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 900 berlawanan dengan arah jarum jam adalah titik-titik P’(-3,-2), Q’(-3,3), dan R’(-6,3).


3. Rotasi Terhadap Titik Pusat O(0,0) Sebesar 180 Searah atau Berlawanan dengan Arah Jarum Jam

Pada gambar dibawah ini terlihat sebuah titik yang diketahui pasangan

koordinatnya, yaitu titik-titik A (4,-2).

Contoh soal : Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 1800 berlawanan dengan arah jarum jam. Penyelesaian: Pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 1800 berlawanan dengan arah jarum jam,

- Bayangan titik P(-2,3) adalah P’(2,-3). - Bayangan titik Q(3,3) adalah Q’(-3,-3). - Bayangan titik R(3,6) adalah R’(-3,-6).

Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 1800 berlawanan dengan arah jarum jam adalah titik-titik P’(2,-3), Q’(-3,-3), dan R’(-3,-6).


4. Dilatasi (Penskalaan) Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran atau skala suatu bangun geometri (pembesaran/pengecilan), tetapi tidak mengubah bentuk bangunan tersebut. Bayangan titik P (x,y) oleh dilatasi [ O, k] adalah 𝑃1 (𝑥1, 𝑦1) dengan 𝑋1 = kx dan 𝑦1 = ky.

Contoh gambar dilatasi :


Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) didilatasi: • Dengan faktor skala k = 1/3 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi

segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(1, 3), B2(1, 1), C2(2, 1) • Dengan faktor skala k = 2 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi

segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3 (6, 18), B3 (6, 6), C3 (12, 6)

Rumus praktis dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi O(0, 0)


Contoh soal : 1. Tentukan bayangan persegi panjang ABCD dengan A(2,2) , B(-

2,2) , C(-2,-2) dan D(2,-2) jika dilakukan transformasi Dilatasi pusat O dan skala 3 adalah.... Jawab : Jadi hasilnya A'(6,6) , B'(-6,6) , C'(-6,-6) dan D'(6,-6)

2. Bayangan garis y = x - 3 karena dilatasi faktor skala 4 dengan pusat A(1,2) adalah ..... Jawab : 4.(x-1) = 𝑥′- 1 ⇒ 4x – 4 = 𝑥′ - 1 4.(y-1) = 𝑦′ - 2 ⇒ 4y – 8 = 𝑦′ 𝑦′+64

= 𝑥′+ 34

– 3 ⇒ 𝑦′ = 𝑥′ + 15 atau dapat ditulis menjadi sehingga bayangannya adalah : x = 𝑥′+ 3

4

y = 𝑦′+64

atau ditulis y = x + 15 atau x - y + 15 = 0 .


C. Penutup 1. Rangkuman 1. Transformasi dapat disebut sebagai proses pemetaan titik-titik pada

gambar ke suatu objek untuk membentuk gambar lainnya. 2. Transformasi geometri dapat dilakukan dengan beberapa cara seperti

translasi (pergeseran), rotasi (perputaran), refleksi (pencerminan) dan dilatasi (penskalaan).

3. Translasi (Pergeseran) merupakan suatu transformasi yang memindahkan setiap titik dari suatu posisi yang baru sepanjang ruas garis dan arah tertentu sehingga menempati posisi baru dan tidak merubah ukuran.

4. Sebuah titik T (x,y) yang ditranslasikan menurut (a,b) maka hasil

setelah transfromasi adalah T �𝑥𝑦�

�𝑎𝑏�→𝑇′ �𝑥 + 𝑎

𝑦 + 𝑏�

5. Refleksi atau pencerminan adalah suatu transformasi dengan memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat-sifat pencerminan pada cermin datar

6. Rumus refleksi atau pencerminan Pencerminan Terhadap Pemetaan Matriks Transformasi Sumbu x (a,b)→(a, -b) �1 0

0 −1� Sumbu y (a,b)→(-a, b) �−1 0

0 1� Garis x = y (a,b)→(b, a) �0 1

1 0� Garis x= -y (a,b)→(-b, -a) � 0 −1

−1 0 � Garis x =h (a,b)→(2h – a, b) Garis y= k (a,b)→(a, 2k – b) Titik (0,0) (a,b)→(-a, -b) �−1 0

0 −1� Garis y = mx m = tan q

𝑥′ = 𝑥 cos2𝛼 + 𝑦 sin 2𝛼 𝑦′ = 𝑥 sin 2𝛼 − 𝑦 cos 2𝛼

�cos2𝛼 𝑠𝑖𝑛2𝛼sin 2𝛼 − cos 2𝛼�


7. Rotasi(putaran) adalah transformasi yang memetakan setiap titik pada bidang ke titik lainnya dengan cara memutar pada pusat titik tertentu. Rotasi ditentukan oleh tiga hal, yaitu titik pusat, besar sudut, dan arah sudut rotasi.

8. Rumus praktis rotasi a. dengan pusat (0,0)

b. sejauh 𝜃 dengan pusat (a,b)

9. Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran atau skala suatu

bangun geometri (pembesaran/pengecilan), tetapi tidak mengubah bentuk bangunan tersebut.

Rumus praktis dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi O(0,0) adalah


2. Tes Formatif 1) Titik A(4,-2) ditranslasi oleh T (-3, 1). Tentukan koordinat

bayangan titik A tersebut! 2) Tentukan bayangan garis y = 3x – 5 oleh translasi T (-2, 5)! 3) Bayangan titik A oleh refleksi terhadap titik (2, 2) adalah titik A’(3,

5). Tentukan koordinat titik A! 4) Tentukan bayangan garis 2x – y = 5 apabila dicerminkan terhadap

garis x = -1! 5) Tentukan bayangan titik (9, 3) oleh dilatasi [O, 1/3]! 6) Tentukan bayangan titik (-2, 8) oleh rotasi R(O, 135) 7) Tentukan bayangan garis 2x – y = 5 apabila dicerminkan terhadap

garis y = -x! 8) Tentukan bayangan titik (6, -3) oleh rotasi R(P, 90) dengan

koordinat titik P(-1, 3)! 9) Tentukan bayangan garis 3x + 4y – 5 = 0 oleh dilatasi dengan pusat

(-2, 3) dan faktor skala 3! 10) Tentukan bayangan garis y = 5x + 4 oleh rotasi R(O, -90)! 11) Carilah bayangan titik H(-3,5) yang ditranslasilan oleh T = � 4

−3� dan bayangannya dicerminkan terhadap garis x = -3. Tentukan bayangan titik tersebut.


A. Pendahuluan Setelah mempelajari bab ini, diharapakan mahasiswa memahami dan

menguasai serta dapat menerapkan konsep permutasi, kombinasi dan peluang suatu kejadian yang dihubungkan dengan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari pada pembelajaran di sekolah dasar.

Bab ini akan membahas materi factorial, permutasi, kombinasi serta peluang. Materi permutasi yang akan dibahas terbagi pada materi permutasi n unsur yang berbeda, permutasi n unsur yang sama, serta permutasi siklis. Selanjutnya untuk materi peluang akan dibahas ruang sampel dan kejadian, peluang suatu kejadian, kisaran nilai peluang, dan frekuensi harapan serta peluang kejadian majemuk.

Dalam kehidupan sehari-hari tanpa kita sadari konsep peluang sering kita temui, contohnya dalam pemilihan ketua kelas yang terdapat 3 calon. Kita dapat menetukan peluang dari salah satu calon dengan mengunakan konsep peluang. Demikian juga ketika anak-anak diminta ibu guru untuk menata bunga-bunga ditaman sekolah agar terlihat harmonis dan indah konsep permutasi siklis dapat membantu anak-anak dalam mengaturnya. Selanjutnya dalam dunia kerja, para marketing dalam meprediksi jumlah produksi dan penjualan yang menghasilkan keuntungan yang maksimal menggunakan konsep peluang.


B. Penyajian Sebelum kita memasuki materi tentang permutasi, kombinasi dan

peluang terlebih dahulu kita mengetahui apa yang dimaksud dengan faktorial. Faktorial adalah perkalian bilangan-bilangan dari n sampai 1 dinotasikan dengan (!). n! dibaca n faktorial.

0! = 1 1! =1 2! = 2.1=2 3! = 3.2.1=6 4! = 4.3.2.1=24 … Dst.

1. Permutasi

Permutasi adalah susunan dari unsur-unsur dengan memperhatikan urutan. Banyaknya permutasi dari n buah unsur yang diambil dari n buah unsur yang berbeda adalah P(n,n) = n!.

Banyaknya permutasi dari k buah unsur yang diambil dari n buah unsur yang berbeda adalah :

Banyaknya permutasi dari k buah unsur yang diambil dari n buah unsur

yang berbeda jika setiap unsur boleh disusun berulang adalah : Jika n unsur disusun dalam suatu lingkaran secara siklis, maka akan

terjadi permutasi siklis sebanyak : P (n,n) = (n – 1)! Banyaknya permutasi dari n unsur dengan p,q dan r unsur yang sama

adalah sebagai berikut:

P (n,k) = n!(n−k)

P (n,k) = nk

P (n, p, q, r ) = n!p! q! r!


Contoh soal: 1. Berapakah banyaknya bilangan yang dibentuk dari 2 angka berbeda

yang dapat kita susun dari urutan angka 4, 8, 2, 3, dan 5? Jawab: Pertanyaan di atas dapat disimpulkan sebagai permutasi yang terdiri dari 2 unsur yang dipilih dari 5 unsur maka dapat dituliskan sebagai P(5,2). tinggal kita masukkan ke dalam rumus. P(5,2) = 5!

(5−2)!= 5x 4 x 3 x 2 x 1

3 x 2 x 1= 120

6 = 20

Maka ada 20 cara yang dapat dilakukan untuk menysyn bilangan tersebut menjadi 2 angka yang berbeda-beda (48, 42, 43, 45, 84, 82, 83, 85, 24, 28, 23, 25, 34, 38, 32, 35, 54, 58, 53, 52).

2. Dari tujuh orang calon akan dipilih tiga orang untuk jabatan ketua, sekertaris,dan bendahara. Berapa cara susunan dapat terjadi? Jawab: Peristiwa pemilihan diatas adalah suatu permutasi dari 7 unsur yang berbeda diambil dari tiga unsur yaitu:

P ( 7,3) = 7!(7−3)!

= 7!4!

= 7.6.5.4!4!

= 7.6.5 = 210 cara

3. Dalam pelemparan satu dadu, berapa kemungkinan muncul bilangan prima? Jawab: Himpunan mata dadu S = {1,2,3,4,5,6}= 6 angka. Himpunan mata dadu bilangan prima P = {2,3,5} = 3 angka Jadi hasil yang dimaksud adalah: P ({2,3,5}) = 3

6 = 1

2

2. Kombinasi

Kombinasi adalah pengelompokkan unsur-unsur tanpa memperhatikan urutannya. Didalam kombinasi, {AB} dianggap sama dengan {BA} sehingga sebuah kombinasi dari dua objek yang sama tidak dapat terulang.


Banyaknya kombinasi dari n unsur yang berbeda di ambil k unsur adalah sebagai berikut:

Binominal newton: (a + b)n = C(n,0) an-0 b0 + C (n,1) an-1 b1 + C (n,2) an-2 b2 …. + C (n,n) an-n bn . Contoh soal: 1) Suatu tim bola basket terdiri dari lima orang akan dipilih 20 orang

pemain. Berapa macam susunan dapat dibentuk? Jawab: Susunan diatas adalah suatu kombinasi sebab tidak memperhatikan susunan pemain, banyaknya cara menyusun:

C (20,5) = 20!5! 20−5!

= 20!5!15!

= 15504. 2) Dari 7 bunga yang berbeda-beda warnanya, akan dibentuk

rangkaian bunga yang terdiri dari 3 warna. Banyaknya cara menyusun rangkaian bunga tersebut adalah… Jawab: C (7,3) = 7!

3!(7−3)! = 7.6.5.4!

3.2.1.4! = 35

3) Imanuel Rantung membawa 16 pemain saat Manchester City melawan Liverpool di Etihad Stadium. 11 orang diantaranya akan dipilih untuk bermain pada babak pertama. jika kita tidak memperhatikan posisi pemain, berapakah banyaknya cara yang dapat diambil oleh pelatih untuk memilih pemain? Jawab: Karena tidak mementingkan posisi pemain, maka kita gunakan rumus kombinasi:

C (n,k) = n !k!(n−k)


16C11 = 16! = 16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 11!

11!(16-11)! 11!5!

= 524160 = 524160 = 4368

5x4x3x2x1 120 3. Peluang (probabilitas)

Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul

dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.

Contoh: Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)! Jawab : S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG} P = {AAG, AGA, GAA}

1) Peluang Suatu Kejadian Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari sebuah

percobaan. n(S) = banyak anggota ruang sampel. Jika n(A) banyaknya peristiwa yang diharapkan, dan n(S) banyaknya

semua peristiwa yang mungkin terjadi. Maka probabilitas terjadinya peristiwa yang diharapkan adalah:

P(A) = n( A)n(S)

, A ∈ S


Jika A’ komplemen kejadian A, peluang kejadian A tidak terjadi adalah: Frekuensi harapan dari kejadian A

2) Peluang Kejadian Majemuk a. Peluang Dua Kejadian Saling Lepas

Jika A dan B kejadian yang berada di dalam ruang sampel S, peluang kejadian A ∪ B adalah:

P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Jika A dan B masing-masing dua kejadian yang saling lepas, berlaku: P (A ∪ B) = P(A) + P(B)

b. Peluang Dua Kejadian Saling Bebas Jika terjadinya kejadian A tergantung dengan kejadian B atau

sebaliknya, kejadian A dan B tidak saling bebas. Kejadian tersebut dinamakan kejadian bersyarat.

Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dahulu ditulis P(B/A).

P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A) dengan P(A)≠ 0 Jika A dan B masing-masing dua kejadian yang saling bebas,berlaku: P(A ∩ B) = P(A) x P(B) Contoh soal: 1. Dua anak melakukan percobaan dengan mangambil bola secara

bergantian masing-masing satu bola dari dalam kantong berisi 4 bola merah dan 5 bola hijau. Jika dalam setiap pengambilan bola tanpa dikembalikan, peluang kejadian anak pertama mengambil 1 bola hijau dan anak kedua mengambil 1 bola hijau adalah…

Fh (A) = P(A) x N dengan N=banyak percobaan

P(A’) = 1 - P(A)


Jawab : Banyak bola merah (M) = 4 sehingga n(M) = 4. Banyak bola hijau (H) = 5 sehingga n(H) = 5. Misalkan: K1 = kejadian anak pertama mengambil satu 1 hijau K2 = kejadian anak kedua mengambil 1 bola hijau setelah anak pertama mengambil 1 bola hijau K1 ∩ K2 = kejadian anak pertama mengambil 1 bola hijau dan anak kedua juga mengambil satu bola hijau.

P(K1) = peluang anak pertama mengambil 1 bola hijau

=n(H)n(S)

=59

P(K1/K2) = peluang anak kedua mengambil 1 bola hijau setelah anak pertama mengambil 1 bola hijau

=n(H)−1n(S)−1

=48

P(K1 ∩ K2)= peluang anak pertama mengambil 1 bola hijau dan anak kedua juga mengambil 1 bola hijau = P(K1) x P(K1/K2)

= 59 x 4

8

= 59 x 1

2

= 518

Jadi, peluang anak pertama mengambil 1 bola hijau dan anak kedua

juga mengambil 1 bola hijau adalah 518


2. Dua dadu dilempar bersama-sama sebanyak 180 kali. Frekuensi harapan muncul jumlah kedua mata dadu lebih dari 4 adalah…kali Jawab: N=180 S= himpunan pasangan mata dadu dari pelemparan 2 dadu secara bersamaan Anggota ruang sampel S dapat ditentukan menggunakan table berikut:

I/II 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6.5) (6,6)

Dari table diatas diperoleh 36 pasangan mata dadu sehingga n(S) = 36 Misalkan: A =kejadian muncul jumlah kedua mata dadu kurang dari atau

sama dengan 4 ={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)} n(A) =6

peluang muncul jumlah kedua mata dadu kurang dari atau sama dengan 4:

P(A) = 𝑛(𝐴)𝑛(𝑆)

= 636

= 16

Peluang muncul jumlah keduan mata dadu lebih dari 4: P(A’) = 1 - P(A) = 1 – 1

6

= 56

Frekuensi harapan muncul jumlah kedua mata dadu lebih dari 4


fh(A) = P(A’) x n =5

6 x 180

=150 kali Jadi, frekuensi harapan muncul jumlah kedua mata dadu lebih dari 4 adalah 150 kali


C. Penutup 1. Rangkuman 1) Faktorial merupakan hasil perkalian dari n bilangan asli pertama yang

berturut-turut sampai 1. 2) Notasi factorial dilambangkan dengan simbol “ ! ” dan n! = n x (n-1) x

(n-2) x (n-3) x …. x 3 x 2 x 1. 3) 0! = 1, 1! = 1 4) Permutasi merupakan susunan yang mungkin dari sejumlah unsur

berbeda dengan memperhatikan urutannya. Lambang permutasi adalah 𝑃𝑛 𝑟 , 𝑃𝑛𝑟 , 𝑃(𝑛,𝑟)

5) Rumus permutasi dari n unsur yang tersedia diambil dari r unsur adalah 𝑃𝑛 𝑟 = 𝑛!

(𝑛−𝑟)!; n= banyak unsur yang tersedia; r= banyak unsur

yang diambil. 6) Rumus permutasi dengan beberapa unsur yang berbeda adalah

𝑃𝑛 𝑝,𝑞,𝑟 = 𝑛!𝑝!𝑞!𝑟!

; n= banyak unsur seluruhnya; p,q,r= unsur yang sama. 7) Permutasi siklis merupakan banyaknya susunan melingkar dari n

unsur yang berbeda. Rumus permutasi siklis adalah P = (n – 1)! 8) Kombinasi adalah susunan yang mungkin dari sejumlah unsur berbeda

dengan tidak memperhatikan urutannya. Lambang kombinasi adalah 𝐶𝑛 𝑟 , 𝐶𝑛𝑟 , 𝐶(𝑛,𝑟)

9) Rumus Kombinasi 𝐶𝑛 𝑟 = 𝑛!(𝑛−𝑟)!𝑟!

; n= banyak unsur yang tersedia; r= banyak unsur yang diambil.

10) Ruang sampel adalah himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin terjadi dari suatu percobaan.

11) Ruang sampel n buah dadu =6n, ruang sampel untuk n buah koin = 2n, ruang sampel untuk n dadu dan n uang koin = 6n x 2n

12) Rumus peluang suatu kejadian A = 𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴)𝑛(𝑆)

13) Kisaran Peluang suatu kejadian adalah 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1, dimana jika P(A) = 1 merupakan kejadian pasti dan jika P(A) = 0 merupakan kejadian mustahil.


14) Frekuensi harapan suatu kejadian adalah perkalian antara peluang dengan banyak percobaan. Rumus frekuensi harapan adalah F.H (A) = n x P(A)

2. Tes Formatif 1) Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “UNIMA”? 2) Menjelang Pergantian kepengurusan BEM FIP UNIMA akan

dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada berapa pasang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?

3) Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah kelima mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja tersebut?

4) Dalam mengadakan suatu pemilihan dengan menggunakan obyek 4 orang pedagang kaki lima untuk diwawancarai, maka untuk memilih 3 orang untuk satu kelompok. Ada berapa cara kita dapat menyusunnya?

5) David akan melakukan tendangan penalty kegawang yang dijaga Perchy. Peluang membuat gol dalam sekali tendangan 3

5. Jika David

melakukan tendangan pinalti, peluang untuk membuat 3 gol sebesar…

6) Sebuah kantong berisi 4 kelereng hijau dan 6 kelereng biru. Dari kotak tersebut diambil tiga kelereng sekaligu. Peluang kelereng yang terambil satu kelereng hijau dan dua kelereng biru adalah…

7) Sebuah tim bola voli yang beranggotakan 6 orang akan dipilih dari 10 orang. Jika 2 orang sudah pasti terpilih, banyak cara memilih anggota tim yang lain adalah…

8) Enam orang anak akan duduk pada kursi A,B C dan D secara berdampingan. Banyak kemungkinan mereka duduk adalah…

9) Tujuh anak akan foto bersama tiga-tiga ditempat penobatan juara I,II, dan III. Jika salah seorang diantaranya harus selalu menempati tempat juara I, banyak posisi foto berbeda yang mungkin adalah…

10) Dua dadu dilempar bersama-sama sebanyak 68 kali. Frekuensi harapan muncul pasangan mata dadu bernomor genap adalah…


A. Pendahuluan

Setelah mempelajari materi pengantar statistika ini, diharapakan mahasiswa mampu mengumpulkan data, menyajikan data dalam bentuk distribusi frekuensi atau diagram serta histogram, menghitung penyebaran data, dan pemusatan data, menganalisis data serta menyimpulkan makna dari data yang diperoleh.

Materi pengantar statistika ini adalah materi yang akan dapat membuat kita dapat merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, dan menginterpretasi, serta mempresentasi data. Ilmu statistika sangat berperan dalam berbagai disiplin ilmu dan banyak digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai tujuan seperti sesnsus penduduk, demikian juga dalam dunia pendidikan di SD. Materi pengantar statistika ini akan membuat para calon guru SD memahami cara mengumpulkan dan mengukur hasil belajar siswa kemudian menyajikannya dan menginterpretasikannya serta menginformasikannya kepada pihak-pihak yang membutuhkan seperti orang tua, kepala sekolah, dinas pendidikan dan lain sebagainya.

Mahasiswa diminta untuk memahami dengan seksama materi pengantar statistika ini dengan membaca materi dan mencoba menjawab soal-soal latihan yang ada, soal dan bahan ajar ini masih terbatas untuk itu mahasiswa diminta untuk lebih banyak melatih diri dengan latihan-latihan soal dari buku referensi lainnya sesuai dengan tujuan yang ingin dicapai. selanjutnya untuk mengukur pemahaman mahasiswa atas materi ini, maka diakhir bab ini mahasiswa dimintakan untuk membuat rangkuman dan menjawab soal tes formatif.


B. Penyajian

1. Pengertian Statistik, Statistika, Populasi, Sampel, Datum dan

Data

Statistika adalah ilmu yang mempelajari tentang cara mengumpulkan data, mengolah data, menyajikan data, menganalisis data, menafsirkan dan menarik kesimpulan berdasarkan data, sementara statistic adalah suatu ukuran numerik yang mengambarkan hasil pengamatan dalam berbagai bentuk. (Triola, 2012). Statistic juga merupakan alat pengolah data angka dan sebagai produk kerja statistika. Dalam suatu penelitian kita akan menemui istilah populasi dan sampel. Misalnya kita akan meneliti tentang kemampuan guru-guru SD untuk kepentingan pemilihan gurus SD teladan di propinsi Sulawesi Utara. Pada tahap pertama maka dilakukan pemilihan dari antara guru-guru disetiap kecamatan selanjutnya mereka yang terpilih akan diseleksi lagi di tingkat propinsi. Dalam penelitian ini yang dimaksud dengan populasi adalah seluruh guru SD yang ada di Sulawesi Utara, dan sampelnya adalah guru-guru yang mewakili tiap kecamatan. Penarikan sampel dari satu populasi ada beraneka ragam. Pada materi pengatar statiska ini belum akan dibahas secara panjang lebar tentang bagaiamana teknik penarikan sampel tapi nanti akan dibahas pada mata kuliaha Statatistika Dasar.

Selanjutnaya setelah kita mengetahui tenatang statistika, statistic, populasi dan sampel kita akan membahas pengertian Datum dan Data. Misalnya kita akan membuat laporan hasil belajar siswa (raport) maka setiap guru akan memiliki daftar nilai untuk setiap siswa. sekumpulan nilai ini yang terdiri dari beberapa mata pelajaran dinamakan data, dan nilai salah satu mata pelajaran disebut datum.

2. Teknik Pengumpulan Data

Suatu kelompok data dapat diperoleh kapan saja bergantung pada tujuan dilakukannya penelitian. Untuk menghasilkan data statistic yang akurat maka pemngumpulan data harus dilakuka secara komprehensif dan


selalu memiliki keterkaitan dengan tujuan yang ingin dicapai. Dalam mengumpulkan data yang diperlukan, ada beberapa teknik yang dapat digunakan antara lain wawancara, angket atau kusioner dan pengamatan atau observasi. a. Wawancara

Wawancara adalah salah satu teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan cara tanya jawab secara langsung dengan responden atau sumber data yang merupakan sampel dan bagian dari populasi yang tentunya dianggapa mampu memberikan data yang dibutuhkan dalam suatu penelitian. Proses wawancara dilakukan dengan menggunakan pedoman yang disusun terlebih dahulu sesuai dengan tujuan penelitian. b. Angket atau Kusioner

Angket atau kusioner merupakan alat yang digunakan dalam mengumpulkan data penelitian yang terdiri dari pernyataan-pernyataan ataupun pertanyaan-pertanyaan yang disusun dalam satu daftar. Pengambilan data yang menggunakan angket biasanya adalah untuk penelitian yang jumlah sampelnya besar atau cukup banyak atau tempat tinggalanya tersebar cukup berjauhan. c. Pengamatan Observasi

Pengamatan adalah teknik pengumpulan data yang dapat dilakukan secara langsung dan tidak langsung terhadap suatu objek penelitian. Pengamatan dibedakan menjadi tiga macam yaitu 1) pengamatan langsung, 2) pengamatan taklangsung, 3) pengamatan partisipatif.

Pengamatan langsung itu biasanya paling banyak dilakukan oleh

guru-guru SD. Contohnya seorang guru sedang menilai kemampuan membaca pusi dari seorang siswa. dengan mengamati secara langsung guru tersebut mampu menilai apakah siswa tesebut telah menguasai teknik-teknik membaca puisi yang baik yang tentunya menggunakan lembar pengamatan atau peniliana sebagai dokumentasi yang dibutuhkan untuk digunakan pada proses selanjutnya. Sementara pengamatan tidak langsung, sering ditemui dalam pembelajaran IPA contohnya ketika kita mengajarkan pada siswa SD bagaimana melihat benda-benda kecil dengan bantuan mikrosoft. Pengamatan ini dinakamakan tak langsung karena mengguanakan alat bantu. Selanjutnya pengamatan partisipatif adalah


pengamatan yang dilakukan peneliti dengan ikut terlibat dalam situasi yang akan diteliti.

3. Penyajian Data

Setelah data diperoleh melalui salah satu metode yang telah

diuraikan diatas maka kita akan mencoba menyajikannya. Penyajian data dapat dilakukan dalam berbagai bentuk diantaranya diagram garis, diagram lingkaran, diagram batang, diagram batang dan distribusi frekuensi. Berikut dijelaskan bagaiamana cara menyajikan data sesuai dengan bentuknya. a. Diagram Garis

Diagram garis adalah suatu cara penyajian data statistic

menggunakan garis-garis lurus. Biasanya, diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh dari hasil pengamatan terhadap suatu objek secara berurutan. Contohnya jika ingin menampilkan jumlah siswa di suatu sekolah pada rentang waktu tertentu. Lebih jelasnya simak contoh berikut:

SD Negeri Tomohon ingin menyajikan data jumlah siswa selama rentang tahun ajaran 2010 sampai 2016. Data yang akan disajikan sebagai berikut

Tabel 7.1. Data Jumlah Mahasiswa di SD Negeri Tomohon Tahun Ajaran Jumlah Siswa

2010-2011 123 2011-2012 92 2012-2013 110 2013-2014 86 2014-2015 98 2016-2017 100

Data pada tabel diatas disajikan pada diagram berikut!


Untuk menyajikan data dalam diagram garis, langkah pertama adalah

mengelompokkkan data menurut data waktu terkecil. Seperti contoh diatas dimulai dari tahun terendah yaitu tahun ajaran 2010-2011 kemudian diurutkan samapi data terakhir. Selanjutnya ditentukan letak frekuensi pada bidang cartesius sesuai data yang ada, contohnya pada tahun ajaran 2010-2011 jumlah siswa ada pada angka 123. Setelah ditandai dengan titik langkah berikutnya tandai dengan titik pula frekuensi pada tahun selanjutnya demikian sampai data yang terakhir dan selanjutnya titik-titik yang telah terbentuk dihubungkan dengan garis.

b. Diagram Lingkaran

Diagram lingkaran adalah diagram yang menyajikan data dalam satu lingkaran. Seluruh lingkaran menujukan keseluruhan data atau 100%. Penyajian data dalam diagram lingkaran dilakukan dengan membentuk juring-juring lingkaran, dimana besarnya atau luas juring ditentukan besarnya data. Contoh data yang disajikan dalam tabel 7.1 jika disajikan dalam bentuk diagram lingkaran hasilnya sebagai berikut.


Langkah pertama untuk menyajikan data dalam diagram lingkaran

aalah menghitung sudut pusat juring yang akan dibuat. Lebih jelasnya simak contoh berikut.

Dari 354 mahasiswa PGSD, diperoleh data jumlah mahasiswa yang gemar IPA, IPS, Matematika, Bahasa, adalah sebagai berikut.

Tabel 7.2. Data Kegemaran Mahasiswa PGSD

Mata Kuliah Jumlah Mahasiswa Matematika 44

IPA 60 IPS 75

Bahasa 175 Dari data tersebut kita akan membuat tabel bantu sebagai berikut. Mata Kuliah Jumlah Mahasiswa Besar Sudut Pusat Matematika 44 44,750

IPA 60 61,020

IPS 75 76,270

Bahasa 175 177,960


Selanjuutnya kita akan membentuk sebuah lingkaran dan didalamnya terdapat 4 buah juring dengan masing-masing sudut pusat 44,750; 61,020;76,270;177,960. Hasilnya sebagai berikut.

c. Diagram Batang

Diagram batang adalah diagram yang menunjukkan bilangan atau kuantitas yang dinyatakan dalam bentuk persegi panjang atau persegi. Pada umumya diagram batang menggambarkan perkembangan nilai-nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan batang-batang tegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-batang tersisa. Table 7.4. Data pengunjung tempat wisata dalam satu pekan

Hari Jumlah pengunjung Minggu 950 Senin 600 Selasa 450 Rabu 750 Kamis 650 Jumat 300


Sabtu 900 Dari data diatas, dapat dibuat diagram batang berikut ini:

d. Distribusi Frekuensi Data yang telah diperoleh dari suatu penelitian yang masih berupa data acak yang dapat dibuat menjadi data berkelompok, yaitu data yang telah disusun kedalam kelas-kelas tertentu. Daftar yang memuat data berkelompok disebut distribusi frekuensi atau table frekuensi. Distribusi frekuensi adalah susuna data menurut kelas interval tertentu atau menurut kategori tertentu dalam sebuah daftar. Setelah distribusi frekuensi akan memiliki bagian-bagian yang akan dipakai dalam membuat sebuah daftar distribusi frekuensi. Bagian-bagian tersebut adalah sebagai berikut: Kelas-kelas (class) adalah kelompok nilai data. Batas kelas (class limits) adalah nilai-nilai yang membatasi kelas

yang satu dengan kelas yang lain. Batas kelas merupakan batas semu dari setiap kelas, karena diatas kelas yang satu dengan yang lain masih terdapat lubang tempat angka-angka tertentu. Terdapat dua batas kelas untuk data yang telah diurutkan, yaitu: batas kelas bawah (lower class limits) dan batas kelas atas (upper class limits).

950

600 450

750 650

300

900

0

200

400

600

800

1000

minggu senin selasa rabu kamis jumat sabtu

Jumlah pengunjung objek wisata dalam satu pekan


Tepi kelas disebut juga batas nyata kelas, yaitu batas kelas yang tidak memiliki lubang untuk angka tertentu antara kelas satu dengan kelas lainnya. Terdapat dua tepi kelas berbeda yaitu tepi bawah kelas dan tepi atas kelas.

Titik tengah kelas atau tanda kelas adalah angka atau nilai data yang tepat terletak ditengah suatu kelas. Titik tengah kelas merupakan nilai yang mewakili kelasnya dalam data. Titik tengah kelas = 1

2 (batas atas + batas bawah kelas).

Interval adalah selang yang memisahkan kelas yang satu dengan kelas yang lain.

Panjang interval kelas atau luas kelas adalah jarak antara tepi atas kelas dan dan tepi bawah keals.

Frekuensi kelas adalah banyaknya data yang masuk kedalam kelas tertentu dari data acak.

Contoh : Nilai ujian statistik mahasiswa S-1 PGSD

Nilai Frekuensi 31 – 40 2 41 – 50 3 51 – 60 5 61 – 70 14 71 – 80 24 81 – 90 20 91 – 100 12 Σ 80

Dalam daftar distribusi frekuensi, banyak objek dikumpulkan dalam kelompok-kelompok berbentuk a-b, yang disebut interval. Urutan kelas interval disusun dari data terkecil sampai data terbesar. Berturut- turut, mulai dari atas, diberi nama interval pertama, kedua, …, kelas interval terakhir.

Misal : f = 2


Untuk kelas interval pertama artinya 2 orang mahasiswa yang mendapat nilai ujian paling rendah 31 dan yang paling tinggi 40.

Bilangan-bilangan disebelah kiri kelas interval disebut ujung atas. Ujung-ujung bawah kelas interval pertama, kedua, …, terakhir adalah 31,41, …, 91 sedangkan ujung- ujung atasnya berturut-turut 40, 50, …, 100.

4. Ukuran Pemusatan Data Ukuran pemusatan data memberikan informasi letak penyebaran dan pemusatan data. Nilai yang menjadi pusat itu dinamakan ukuran pemusatan atau ukuran kecenderungan data sentral. a. Mean

Rata-rata hitung lebih dikenal dengan nama rata-rata atau rerata atau mean. Untuk menghitung nilai mean atau rata rata menggunakan rumus sebagai berikut:

𝑥̅ =∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑛 =

𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝐷𝑎𝑡𝑢𝑚𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑢𝑚

Contoh:

1. Tentukanlah mean dari Data nilai Lolitha dalam ujian semester genap Mata Kulia Nilai

Konsep Dasar Matematika 3,75 Komputer 3,80 Konsep Dasar Sains 1 3,50 Konsep Dasar IPS 2 3,85 Psikologi Pendidikan 3,25 Manajemen Pendidikan 3,75 Pendidikan Jasmani SD 1 3,00

Penyelesaian: Mean: 𝑥̅ = ∑ 𝑥𝑖𝑛

𝑖=1𝑛

= 3,75+3,80+3,50+3,85+3,25+3,75+3,07

= 24,97

= 3,56


2. Nilai rata-rata sekelompok mahasiswa yang berjumlah 20 orang adalah 3,25. Berapakah nilai mean ujian tersebut jika seorang dari kelompok itu yang mendapat nilai 2,5 tidak dimasukan dalam perhitungan?

Penyelesaian: Mean: 𝑥̅ = ∑ 𝑥𝑖𝑛

𝑖=1𝑛

= 𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥2020

= 3,25 𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥20 = 3,25 × 20

𝑥1 + 𝑥2 + ⋯+ 𝑥20 = 65 Misalkan 𝑥20 = 2,5 maka 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯+ 𝑥19 = 65 − 𝑥20 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯+ 𝑥19 = 65 − 2,5 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯+ 𝑥19 = 62,5 Jadi nilai Mean dari 19 data yang adalah 𝑥̅ = ∑ 𝑥𝑖𝑛

𝑖=1𝑛

=𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥1919

= 62,519

= 3,29 b. Median

Median adalah suatu nilai yang membagi satu kelompok data terurut dari terkecil sampai terbesar menjadi dua bagiansama banyak. Median merupakan nilai datum yang berada ditengah-tengah data jika jumlah datanya ganjil dan merupakaan rerata dua nilai datum yang berada ditengah jika jumlah datanya genap. Misalnya ada data yang diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar dilambangkan dengan x seperti berikut ini:

1. x1, x2, x3, x4, x5 maka nilai median ada pada datum ke 3 yaitu x3. 2. x1, x2, x3, x4, x5,x6 maka nilai mediannya merupakan rerata datum

ke-3 dan datum ke-4 yaitu x3,+x42

Untuk lebih jelasnya lagi perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal Tentukan nilai media dari setiap data berikut;

1. 3, 5, 4, 6, 3 2. 4, 8, 5, 8, 7, 10, 9, 12 Penyelesaian 1. Pertama-tama Data 3, 5, 4, 6, 3 akan kita urutkan dari yang terkecil

sampai yang terendah menjadi seperti berikut: 3, 3, 4, 5, 6.


Ukuran data atau jumlah datum adalah 5 sehingga median Me = 𝑥5+1

2= 𝑥3 = 4

2. Pertama-tama Data 4, 7, 5, 9, 7, 10, 9, 12 akan kita urutkan dari yang terkecil sampai yang terendah menjadi seperti berikut: 4, 5, 7, 7, 9, 9, 10, 12 Ukuran data atau jumlah datum adalah 8 sehingga median Me = 𝑥4+𝑥5

2= 7+9

2= 8

c. Modus

Modus adalah datum yang nilainya paling sering muncul. Dari satu kelompok data mungkin memiliki modus tunggal, ganda, banyak atau tidak bermodus.

Contoh : Tentukan Modus dari data berikut 1. 3, 6, 4, 6, 5, 10, 7. 2. 3, 6, 7, 7, 6, 8, 9 3. 7, 6, 5, 4, 3, 8, 9 Penyelesaian : 1. Modus dari data 6, 6, 4, 6, 5, 10, 7 adalah 6 karena frekuensi dari

6 adalah tiga. 2. Modus dari data 3, 6, 7, 7, 6, 8, 9 adalah 6 dan 7 karena masing-

masing memiliki frekuensi 2. 3. Kelompok Data 7, 6, 5, 4, 3, 8, 9 tidak memiliki modus karena

jumlah frekuensi masing-masing datum sama.

5. Ukuran Letak Data a. Kuartil

Kuartil adalah tiga nilai yang mebagi data yang telah terurut menjadi empat bagian sama banyak. Ketiga nilai tersebut adalah kuartil 1 atau disimbolkan Q1, dan kuartil 2 atau Median yang disimbolkan Me atau Q2 serta kuartil 3 disimbolkan Q3.

Kuartil 1 atau kuartil bawah adalah nilai tengah dari semua data yang nilainya telah terurut dan kurang dari kuartil 2 atau Q2. selanjutnya kuartil 2


adalah nilai datum yang membagi dua sama banyak data yang telah terurut. Serta kuartil 3 adalah nilai tengah dari semua data yang nilainya telah terurut dan lebih dari kuartil 2 atau Q2.

Secara umum dapat digambarkan sebagai berikut.

Contoh: Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data berikut: 1. 4, 5, 4, 3, 6, 7, 8, 9, 7, 8 2. 6, 5, 6, 7, 8, 7, 9, 6, 7, 7, 8, 9,10 Penyelesaian 1.

2.


b. Desil

Desil merupakan nilai-nilai yang mebagi data yang telah terurut menjadi sepuluh bagiansama banyak. Karena desil membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak, maka ada Sembilan nilai desil yaitu D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9.

Misalkan ukuran datanya n dengan x1, x2, ….., xn nilai-nilai data yang telah terurut dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar. Seperti pada pembahasan kuartil, desil pertama D1 merupakan nilai yang terletak pada urutan ke- 1

10(𝑛 + 1), desil ke-2 D2 merupakan nilai yang terletak

pada urutan ke - 210

(𝑛 + 1), desil ke-3 D3 merupakan nilai yang terletak

pada urutan ke- 310


pada urutan ke- 410


pada urutan ke- 510


pada urutan ke- 610


pada urutan ke- 710


pada urutan ke- 810


pada urutan ke 910

(𝑛 + 1). Untuk menentukan nilainya, dapat dilakukan seperti pada saat kalian

mempelajari kuartil. c. Minimum dan maksimum

Nilai minimum adalah nilai terkecil dari suatu kelompok data sedangakan nilai maksimum adalah nilai terbesar dari satu kelompok data.

Contoh: Tentukan nilai minimum dan maksimum dari data berikut: 1. 4, 5, 4, 3, 6, 7, 8, 9, 7, 8 2. 6, 5, 6, 7, 8, 7, 9, 6, 7, 7, 8, 9,10


Penyelesaian: 1. Nilai minimum atau nilai yang terkecil dari data 4, 5, 4, 3, 6, 7, 8,

9, 7, 8 adalah 3 Nilai maksimum atau yang terbesar dari data 4, 5, 4, 3, 6, 7, 8, 9, 7, 8 adalah 9

2. Nilai minimum atau nilai yang terkecil dari data 6, 5, 6, 7, 8, 7,

9, 6, 7, 7, 8, 9,10 adalah 5 Nilai maksimum atau yang terbesar dari data 6, 5, 6, 7, 8, 7, 9, 6, 7, 7, 8, 9,10 adalah 10

C. Penutup 1. Rangkuman

Statistika adalah ilmu yang mempelajari tentang cara mengumpulkan data, mengolah data, menyajikan data, menganalisis data, menafsirkan dan menarik kesimpulan berdasarkan data, selanjutnya Statistic merupakan alat pengolah data angka dan sebagai produk kerja statistika.

Dalam mandalami materi statistika atau mempelajari statististika kita kana melakukan beberapa hal pokok yaitu pengumpulan data meliputi beberapa cara diantaranya wawancara, angket atau kusioner dan pengamatan atau observasi. Setelah mengumpulkan data kita akan menyajikan data tersebut dalam berbagai bentuk yaitu diagram garis, diagram lingkaran diagram batang ataupun distribusi frekuensi.

Selanjutnya data akan diolah sebagai pengolahan yang paling dasar kita akan melihat ukuran pemusatan data yang terdiri dari tiga jenis yaitu menghitung mean atau rata-rata , median atau nilai tengah dan modus atau nilai yang paling sering muncul.


Dan jika dibutuhkan kita juga akan memperhatikan keduddukan data melalui ukuran letak data seperti kuartil, desil, dan minimum serta maksimum data.

2) Tes formatif 1) Tentukan mean, median, dan modusnya.

a. 5, 2, 4, 3, 6 b. 5, 8, 7, 7, 8, 5, 8 c. 3, 7, 2, 2, 4 d. 4, 8, 7, 7, 5, 7 e. 7, 2, 5, 5, 5, 6 f. 6, 3, 5, 1, 2, 3, 4

3) Nilai rata-rata ulangan dari 20 mahasiswa adalah 3,2. Jika nilai ulangan 15 mahasiswa dari kelas lain digabungkan dengan 20 mahasiswa itu, rata-rata nilai ulangan dari 35 mahasiswa itu menjadi 3,6. Tentukan rata-rata nilai ulangan dari 15 mahasiswa yang baru bergabung tadi.

4) Nilai mean ujian sekelompok mahasiswa yang berjumlah 40 orang adalah 3,5. Jika seorang mahasiswa yang mendapat nilai 3,2 dikeluarkan dari kelompok ini, berapa nilai meanujian dari 39 mahasiswa itu sekarang?

5) Data tinggi badan 40 siswa disajikan dalam poligon frekuensi berikut:

Banyak siswa yang mempunyai tinggi badan 158-163 cm adalah…

02468

101214

54,5 59,5 64,5 69,5 74,5

f

tinggi badan (cm)


6) Perhatikan tabel berikut:

Berat Badan (kg)

Banyak siswa

40-44 3 45-49 9 50-54 5 55-59 7 60-64 4 65-69 2

Rata-rata berat badan siswa pada data dalam tabel diatas adalah…

7) Perhatikan tabel berikut Nilai Frekuensi 50-59 5 60-69 7 70-79 12 80-89 10 90-99 6

Nilai persentil ke- 55 dari data yang disajikan adalah…

8) Perhatikan diagram di bawah ini! Data di atas diambil dari sekelompok siswa yang berjumlah 36 dengan berbagai kegiatan ekstrakurikuler yang diikuti. Banyaknya siswa yang mengikuti kegiatan fotografi adalah....


9) Diketahui data nilai 30 siswa dinyatakan dalam tabel dibawah ini Nilai Frekuensi 40-49 131

3

50-59 30 60-69 162

3

70-79 20 80-89 20

Median dari data tersebut adalah…

10) Perhatikan data berikut: Nilai Frekuensi 40-49 4 50-59 5 60-69 14 70-79 10 80-89 4 90-99 3

Dari data diatas, tentukan: a. Desil ke-2 b. Desil ke-9


DAFTAR PUSTAKA

Triola M. F. 2012. Elementary Statistics: Technology Update, 11thedition, Boston: Addison-Wesley

Wirodikromo, Sartono.2000. Matematika untuk SMU Jilid 6. Jakarta.

Sukayanti. 1999. Pengantar Statistika. Yogyakarta. PPPG MAtematika.

Hudojo, Herman dan Sutawidjaja, akbar 1996. Matematika (Paket PGSD). Jakarta: Depdikbud.

Darhim dkk. 1991. Pendidikan Matematika 2. Jakarta. Depdikbud PPTKPT.

Ruseffendi dkk. 1992. Pendidikan Matematika 3. Jakarta. Depdikbud PPTKPT.

Hambali, Julius. Siskandar. 1991. Pendidikan Matematika 1. Jakarta. Depdikbud PPTKPT.

Madja Mimiep, dkk. 1991. Pendidikan Matematika 1. Jakarta. Depdikbud PPTK.


Lampiran 1: Soal UTS Petunjuk : Bacalah soal dibawah ini dan jawablah soal yang dianggap

mudah terlebih dahulu, dan tuliskan cara kerja mendapatkan jawaban pada lembar jawaban anda.

Soal: 1. Nilai kebenaran yang tepat untuk pernyataan 𝑝 ⇒~(𝑝 ∨ 𝑞), pada tabel

dibawah ini adalah …. p q 𝑝 ⇒ ~(𝑝 ∨ 𝑞) B B … B S … S B … S S …

a. SBSB b. SSSB c. SSBB d. SBBB e. BBBB

2. Ingkaran “Jika semua pengendara tertib, maka jalan raya lancar” adalah …. a. Semua pengendara tertib dab jalan raya lancar b. Semua pengendara tertib, dan jalan raya tidak lancar c. Beberapa pengendara tertib, dan jalan raya lancar d. Sebagian pengendara tidak tertib, walaupun jalan raya lancar e. Ada pengendara yang tidak tertib, walaupun jalan raya lancar

3. Ingkaran dari kalimat: “Jika hari hujan, maka udara dingin” adalah a. Jika hari hujan udara panas b. Hari tidak hujan dan udara panas c. Hari hujan dan udara panas d. Hari tidak hujan dan udara dingin e. Hari hujan dan udara tidak panas


4. Kontraposisi dari pernyataan “Jika Liliani Lulusan terbaik maka ia mendapatkaan penghargaan” adalah ….

5. Penarikan kesimpulan dari premis-premis berikut adalah

𝑝⋁𝑞 ∼ 𝑞 … …

a. p b. ∼ 𝑝 c. q d. ∼ (𝑝⋁𝑞) e. ∼ 𝑞 6. Diketahui premis-premis sebagai berikut:

P1 : Jika musim hujan tiba maka akan terjadi banjir P2 : Jika terjadi banjir maka banyak warga terserang sakit Kesimpulan dari premis-premis diatas adalah … a. Jika tidak terjadi banjir maka musim hujan tiba b. Jika banyak warga terserang penyakit maka terjadi banjir c. Jika musim hujan tiba maka banyak warga terserang penyakit d. Jika banyak warga terserang penyakit maka musim hujan tiba e. Jika terjadi banjir maka musim hujan tiba.

7. Seorang Ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperolehnya. Jika permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah ... A. 60 buah B. 65 buah C. 79 buah D. 75 buah E. 80 buah

8. Dari suatu barisan aritmatika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ... A. 810 B. 660 C. 640 D. 630 E. 315

9. Seorang pemetik kebun memetik jeruknya setiap hari dan mencatat banyaknya jeruk yang diperik. Ternyata banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un = 50 + 25n. Jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari yang pertama adalah ... A. 2.000 buah B. 1.950 buah C. 1.900 buah D. 1.875 buah E. 1.825 buah


10. Suku ke-4 dan ke-9 dari suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 110 dan 150. Suku ke 30 barisan aritmatika tersebut adalah ... A. 308 B. 318 C. 326 D. 344 E. 354

11. Diberikan dua persamaan linier 2x + y = 12 dan x − y = 3 . Tentukan nilai x dan nilai y dengan menggunakan metode eliminasi!

a. {5, 2} b. {2, 5} c. {-5, 2} d. {5, -2} e. {-5, -2}

12 Diketahui sistem persamaan menggunakan metode eliminasi 3x + 7y = 1 2x – 3y = 16 Nilai x. y =.... A. 8 B. 6 C. –10 D. –12 E. – 8

13. Ani, Nia, dan Ina pergi bersama – sama ke toko buah. Ani membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan I kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Ina membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk dengan harga Rp 80.000,00. Harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk seluruhnya adalah … A. Rp 37.000,00 B. Rp 44.000,00 C. Rp 51.000,00 D. Rp 55.000,00 E. Rp 58.000,00

14. Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk dan 1 kg anggur adalah Rp. 70.000,00. Harga 1 kg mangga, 2 kg jeruk dan 2 kg anggur adalah Rp. 90.000,00. Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk dan 3 kg anggur adalah Rp. 130.000,00, maka harga 1 kg jeruk adalah …


A. Rp 5.000,00 B. Rp 7.500,00 C. Rp 10.000,00 D. Rp 12.000,00 E. Rp 15.000,00

15. Persamaan kuadrat x2 − 5x + 6 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 − 3 dan x2 − 3 adalah ..... A. x2 − 2 = 0 B. x2 − 2x + 30 = 0 C. x2 + x = 0 D. x2 + x − 30 = 0 E. x2 + x + 30 = 0

16. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – x – 12 ≤ 0 adalah: a. {x ≤ -3} b. {x ≤ 4} c. {x ≤ -3 atau x ≥ 4} d. {3 ≤ x ≤ – 4) e. {-3 ≤ x ≤ 4)

17. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 9(x – 2)2 ≤ (x + 2)2 adalah:

a. {x|-4 ≤ x -1} b. {x|-4 ≤ x 1} c. {x|1 ≤ x 4} d. {x|x ≤ -1 atau x ≥ 1} e. {x|x ≤ 1 atau x ≥ 4}

18. Pada pemetaan f : 5 – x, jika daerah asalnya {−3, −2, −1, 0. 1, 2, 3, 4}, maka daerah hasilnya adalah …

a. {–1, –2, –3, –4, –5, –6, –7, –8} d. {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} b. {–2, –3, –4, –5, –6, –7, –8, –9} e. {1,2,3,4,5,6,7,8,9} c. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

19. Diketahui fungsi f(x) = 3x + 5. Jika f(a) = 17, maka nilai a – 1 = ….. A. 5 D. 2 B. 4 E. 1 C. 3


20. Suatu fungsi dirumuskan f(x) = 9 – 3x. Jika f(p) = 15, nilai p adalah… A. -8 B. -2 C. 2 D. 8 E. 6

Lampiran 2: Soal UAS Tentukan refleksi dari titik P terhadap sumbu Y !

a. (2,3) b. (2,-3) c. (3,-2) d. (-3,-2) e. (-2, -3)

2. Hasil percerminan titik A terhadap sumbu X adalah (2,-3). Tentukan koordinat titik A ! a. (-3,2) b. (3,2) c. (-2,3) d. (2,3) e. (-2, -3)


3. Titik A berada pada koordinat (4,5). Tentukan koordinat A’, bila dilakukan trasnlasi oleh (2,-2) ... a. (2,7) b. (6,3) c. (2,3) d. (6,7) e. (7, 2)

4. Hasil translasi titik A terhadap (-3,2) adalah (2,-3). Tentukan koordinat titik A ! a. (-1,-1) b. (1,1 )̀ c. (-5,-5) d. (5,5) e. (-5, 5)

5. Sebuah segitiga siku-siku berada pada koordinat (2,3),(5,3) dan (2,6). Tentukan koordinat segitiga tersebut bila dicerminkan terhadap sumbu-X ! a. (-2,3),(-5,3) dan (-2,6) b. (2,-3),(3,-5) dan (2,-6) c. (2,-3),(5,-3) dan (2,-6) d. (-2,-3),(-5,-3) dan (-2,-6) e. (2,-3),(-5, 3) dan (2,-6)


6. Perhatikan jajargenjang berikut !

Bila jajargenjang tersebut dcermikan terhadap garis y=-x tentukan hasil pencerminannya ! a.

b.


c.

d.

e.

7. Sebuah titik berada pada koordinat (3,4). Titik ini dicerminkan

terhadap sumbu y=x kemudian ditranslasikan dengan (1,-1). Tentukan koordinat bayangannya !

a. (4,3) b. (3,3) c. (5,2) d. (2,5) e.(5,4)


8. Sebuah titik berada pada koordinat (-3,2). Titik ini ditranslasikan dengan (2,0) kemudian dicerminkan terhadap sumbu y=-x. Tentukan koordinat bayangannya ! a. (4,3) b. (-2,1) c. (-1,2) d. (2,1) e.(-1, 2)

9. Perhatikan gambar belah ketupat ABCD berikut !

Belah ketupat tersebut dicerminkan terhadap sumbu-Y, kemudian translasi (-2,2). Tentukan koordinat hasil translasinya ! a. (-2,4),(-5,2),(-5,6),(-8,4) b. (0,2),(-3,0),(-3,4),(-6,2) c. (2,4),(-1,2),(-1,6),(-4,4) d. (-2,4),(1,2),(1,6),(4,4) e. (-2, 4), (5,2),(-5,6), (-8,4)

10. Sebuah segitiga KLM yang sudah mengalami translasi (3,-2), kemudian mengalami pencerminan terhadap garis y=x adalah seperti gambar berikut.


Tentukan koordinat asal dari segitiga KLM ! a. (2,1),(4,3),(4,2) b. (1,2),(3,4),(2,4) c. (-1,-2),(-3,-4),(-2,-4) d. (-2,-1),(-4,-3),(-4,-2) e. (-2,3), (-4,1), (-4,2)

11. Titik A (-3,1) jika dirotasi terhadap sudut 90º dan 180º menghasilkan bayangan pada titik ... dan ... a. (1,3) dan (-3,-1) b. (-1,-3) dan (3,-1) c. (1,-2) dan (-1,-2) d. (-2,1) dan (2,-1) e. (-1, -3) dan ((1, 3)

12. Titik B (2,-5) dan titik C (-2,3) dirotasi dengan 270º menghasilkan bayangan ... a. B’ (-5,-2) dan C’ (3,2) b. B’ (-5,2) dan C’ (-3,-2) c. B’ (3,-2) dan C’ (5,2) d. B’ (3,-2) dan C’ (-5,2) e. B’(5,2) dan C’(3,2)


13. Titik K (a,b) didilatasi dengan (0,5) kemudian dirotasi terhadap 180º

dan menghasilkan bayangan (-10,-25). Maka nilai a+b adalah ... a.5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9

14. Perhatikan diagram di bawah ini!

Data di atas diambil dari sekelompok siswa yang berjumlah 36 dengan berbagai kegiatan ekstrakurikuler yang diikuti. Banyaknya siswa yang mengikuti kegiatan fotografi adalah.... A. 6 anak B. 9 anak C. 12 anak D. 18 anak e. 36 anak

15. Nilai ulangan harian matematika dari 12 orang siswa ditunjukkan data berikut: 58 45 80 85 48 65 44 90 95 75 60 70 Selisih antara datum terbesar dan datum terkecil dari data di atas adalah.... A. 45 B. 50 C. 51

D. 55 E. 60


16. Nilai ujian matematika dari sepuluh orang siswa adalah sebagai

berikut: 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9 Mean dari data di atas adalah.... A. 7,4 B. 7,5 C. 7,6 D. 7,7

E. 7,8 17. Nilai ujian matematika dari sepuluh orang siswa adalah sebagai

berikut: 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9 Modus dari data di atas adalah.... A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E.9

18. Nilai rataan ujian dari 5 mata pelajaran yang diikuti Budi 80. Jika ditambahkan nilai mata pelajaran biologi, nilai rataan Budi menjadi 82 dengan demikian maka nilai biologi Budi adalah.... A. 90 B. 92 C. 94 D. 95 E. 96


19. Data hasil ulangan matematika kelas 9 SMA N1 Tomohon disajikan dalam bentuk histogram sebagai berikut:

Modus dari data tersebut adalah…. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9

20. Perhatikan tabel berikut ini.

Tabel tersebut menunjukkan data nilai ujian matematika sekelompok siswa. Nilai rata-rata dari data tersebut adalah.... A. 6,05 B. 6,10 C. 6,15 D. 6,20 E. 6,50


21. Nilai ujian matematika dari sepuluh orang siswa adalah sebagai

berikut: 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9 Median dari data di atas adalah.... A. 6,5 B. 7 C. 7,5 D. 8 E. 8,5

22.

Diagram garis diatas menunjukan perubahan suhu udara dari senin sampai jumat. Perubahan suhu terbesar terjadi pada selang …. a. Senin – selasa b. Selasa – rabu c. Rabu – kamis d. Kamis – jumat e. Senin - rabu


23 Nilai 5 6 7 8 9 frekuensi 4 11 x 5 2 Jika data diatas memiliki mean 6,6 maka nilai x adalah … a. 8 b. 6 c. 5 d. 4 e. 3

24. Misal 6 orang akn duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Jika ada dua orang tertentu yang harus duduk sebelah menyebelah, maka banyak susunan yang berbeda yang mungkin sama dengan... A. 96 B. 48 C. 24 D. 14 E. 12

25. Banyak permutasi atau susunan yang berbeda 6 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah... A. 720 B. 120 C. 24 D. 12 E. 6

26. Sebuah bangku panjang hanya dapat diduduki oleh 5 orang. Banyak cara 8 orang menduduki bangku sama dengan... A. 6720 B. 336 C. 40 D. 36 E. 24


27. Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua, bendahara dan sekretaris dari 8 calon yang memenuhi kriteria. Banyak susunan yang mungkin dari 8 calon tersebut adalah... A. 56 B. 336 C. 456 D. 1680 E. 6720

28. Seorang peternak akan membeli 3 ekor ayam dan 2 ekor kambing dari seorang pedagang yang memiliki 6 ekor ayam dan 4 ekor kambing. Dengan berapa cara peternak tersebut dapat memilih ternak-ternak yang di inginkannya? A. 120 B. 60 C. 20 D. 10 E. 6

29. Dalam mengadakan suatu pemilihan dengan menggunakan obyek 5 orang pedagang kaki lima untuk diwawancarai, maka untuk memilih 3 orang untuk satu kelompok. Ada berapa cara kita dapat menyusunnya?

A. 20 B. 10 C. 5 D. 210 E. 105


30. Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 E. 3

31. Suatu kelas terdiri atas 40 siswa, 25 siswa gemar matematika, 21 siswa gemar IPA, dan 9 siswa gemar matematika dan IPA. Peluang seorang tidak gemar matematika maupun IPA adalah… a. 25/40 b. 12/40 c. 9/40 d. 4/40 e. 3/40

32. Kotak A berisi 8 butir telur denga 3 butir diantaranya cacat dan kotak B

berisi 5 butir telur dengan 2 diantaranya cacat. Dari masing-masing kotak diambil sebutir telur, peluang bahwa kedua butir ynag terambil itu cacat adalah… a. 3/20 b. 3/8 c. 3/5 d. 5/8 e. 24/25

33. Jika sebuah dadu dan sekeping mata uang dilempar undi satu kali

bersama, maka peluang untuk memperoleh gambar pada mata uang dan bilangan ganjil pada mata dadu adalah… a. 1/12 b. 1/6 c. ¼ d. 1/3 e. ½


34. Dari seperangkat kartu bridge diambil dua kartu sekaligus secara acak. Peluang yang terambil dua kartu King adalah… a. 1/221 b. 1/13 c. 4/221 d. 11/221 e. 8/663

35. Sebuah dadu dan sekeping uang logam dilambungkan bersama-sama satu kali. Peluang muncul gambar pada mata uang dan bilangan prima pada mata dadu adalah… a. 6/12 b. 4/12 c. 3/12 d. 2/12 e. 1/12

Essay 1. Sebuah titik mengalami translasi (3,5) kemudian pencerminan

terhadap sumbu-X, koordinatnya menjadi (1,1). Tentukan koordinat titik sebelum melakukan transformasi !

2. Tinggi rata-rata 10 pemain sepakbola sebuah klub adalah 162 cm. Jika digabung dengan 5 pemain lagi maka tinggi rata-rata pemain tersebut adalah 160 cm. Tinggi rata-rata 5 pemain tersebut adalah….cm

3. Median dari data 6, 6, 7, 4, 6, 5, 8, 7, 5, 4 dan 5 adalah ... 4. Masing-masing kotak A dan B berisi 12 lampu pijar. Setelah

diperiksa, ternyata pada kotak A terdapat 2 lampu rusak dan pada kotak B terdapat 1 lampu rusak. Dari masing-masing kotak diambil 1lampu pijar secara acak. Peluang terambilnya sebuah lampu pijar rusak adalah…

5. Banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata SAMASAJA = ...


Lampiran 3. Silabus


Lampiran 4. Jadwal Perkuliahan

Konsep Dasar Matematika- JMS

Documents

Transcript of Konsep Dasar Matematika- JMS