BAB I

PENDAHULUAN

Para absolutis teguh pendiriannya dalam memandang secara objektif kenetralan

matematika, walaupun matematika yang dipromosikan itu sendiri secara implisit

mengandung nilai-nilai. Abstrak adalah suatu nilai terhadap konkrit, formal suatu nilai

terhadap informal, objektif terhadap subjektif, pembenaran terhadap penemuan, rasionalitas

terhadap intuisi, penalaran terhadap emosi, hal-hal umum terhadap hal-hal khusus, teori

terhadap praktik, kerja dengan fikiran terhadap kerja dengan tangan, dan seterusnya. Setelah

mendaftar macam-macam nilai di atas maka pertanyaannya adalah, bagaimana matematisi

berpendapat bahwa matematika adalah netral dan bebas nilai ? Jawaban dari kaum absolutis

adalah bahwa niai yang mereka maksud adalah nilai yang melekat pada diri mereka yang

berupa kultur, jadi bukan nilai yang melekat secara implisist pada matematika. Diakui bahwa

isi dan metode matematika, karena hakekatnya, membuat matematika menjadi abstrak,

umum, formal, obyektif, rasional, dan teoritis. Ini adalah hakekat ilmu pengetahuan dan

matematika. Tidak ada yang salah bagi yang kongkrit, informal, subyektif, khusus, atau

penemuan; mereka hanya tidak termasuk dalam sains, dan tentunya tidak termasuk di dalam

matematika (Popper, 1979 dalam Ernest, 1991: 132).

Yang ingin ditandaskan di sini adalah bahwa pandangan kaum absolutis, secara sadar

maupun tak sadar, telah merasuk ke dalam matematika melalui definisi-definisi. Dengan

perkataan lain, kaum absolutis berpendapat bahwa segala sesuatu yang sesuai dengan nilai-

nilai di atas dapat diterima dan yang tidak sesuai tidak dapat diterima. Pernyataan-pernyataan

matematika dan bukti-buktinya, yang merupakan hasil dari matematika formal, dipandang

dapat melegitimasikan matematika. Sementara, penemuan-penemuan matematika, hasil kerja

para matematisi dan proses yang bersifat informal dipandang tidak demikian. Dengan

pendekatan ini kaum absolutis membangun matematika yang dianggapnya sebagai netral dan

bebas nilai. Dengan pendekatan ini mereka menetapkan kriteria apa yang dapat diterima dan

tidak diterima.

Hal-hal yang terikat dengan implikasi sosial dan nilai-nilai yang menyertainya, secara

eksplisit, dihilangkannya. Tetapi dalam kenyataannya, nilai-nilai yang terkandung dalam hal-

hal tersebut di atas, membuat masalah-masalah yang tidak dapat dipecahkan. Hal ini

disebabkan karena mendasarkan pada hal-hal yang bersifat formal saja hanya dapat

menjangkau pada pembahasan bagian luar dari matematika itu sendiri.

Kelompok II Page 1

Jika mereka berkehendak menerima kritik yang ada, sebetulnya pandangan mereka

tentang matematika yang netral dan bebas nilai juga merupakan suatu nilai yang melekat

pada diri mereka dan sulit untuk dilihatnya. Dengan demikian akan muncul pertanyaan

berikutnya, siapa yang tertarik dengan pendapatnya ? Inggris dan negara-negara Barat pada

umumnya, diperintah oleh kaum laki-laki berkulit putih dari kelas atas.

Keadaan demikian mempengaruhi struktur sosial para matematisi di kampus-kampus

suatu Universitas, yang kebanyakan didominasi oleh mereka. Nilai-nilai mereka secara sadar

dan tak sadar terjabarkan dalam pengembangan matematika sebagai bagian dari usaha

dominasi sosial. Oleh karena itu agak janggal kiranya bahwa matematika bersifat netral dan

bebas nilai, sementara matematika telah menjadi alat suatu kelompok sosial. Mereka

mengunggulkan pria di atas wanita, kulit putih di atas kulit hitam, masyarakat strata

menengah di atas strata bawah, untuk kriteria keberhasilan penguasaan pencapaian akademik

matematikanya.

BAB II

Kelompok II Page 2

Sebuah Kritik Filsafat absolutis Matematika

Konstruktivisme

Konstruktivis ada dalam filsafat matematika yang dapat ditelusuri kembali setidaknya

pada jaman Kant dan Kronecker (Korner, 1960). Program konstrutivis salah satunya adalah

merekonstruksi pengetahuan matematika (dan reformasi praktek matematika) dalam rangka

agar matematika tidak kehilangan makna dan dari kontradiksi. Untuk tujuan ini, konstruktivis

menolak pendapat non-konstruktivis seperti buku Cantor bahwa bilangan-bilangan rill tidak

terhitung, dan hukum logika dari Excluded Middle.

Intuinis yang memperkenalkan kontraktifis dengan baik adalah L.E.J. Brouwer (1913)

dan Heyting (1931, 1956). Baru-baru ini ahli matematika E. Bishop (1967) telah melakukan

program konstruktivis yang jauh, dengan merekonstruksi sebagian besar dari Analisis dengan

cara yang konstruktif. Berbagai bentuk konstruktivisme yang masih berkembang saat ini

seperti dalam karya intuisionis M. Filsafat Dummen (1973, 1977) Konstruktivisme mencakup

berbagai macam pandangan yang berbeda,dari ultra-intuitionis (A Yessenin- Volpin) melalui

apa yang disebut filosofis intuitionis yang ketat ( L.E.J. Brouwer), ditengah perjalanan

intuitionis (A Heyting dan awal H weyl) intuitionis logika modern ( A.Troelstra ) untuk

jangkauan lebih atau kurang konstruktivisme liberal termasuk P. Lorenzen, E Uskup, G

Kreisel dan P. Martin-lof

Para Matematikawan ini berbagi pandangan bahwa matematika klasik mungkin tidak

aman dan itu perlu dibangun kembali oleh “konstruktif” metode dan penalaran. Tuntutan

konstruktivis bahwa kedua kebenaran matematika dan keberadaan objek matematika harus

ditetapkan dengan metode konstruktif. Ini berarti bahwa konstruksi matematis diperlukan

untuk menetapkan kebenaran atau keberadaan sebagai lawan untuk metode mengandalkan

pada bukti dengan kontradiksi. Untuk pengetahuan konstruktivis harus didirikan melalui

bukti yang konstruktif, berdasarkan batasan logika konstruktivis dan dari istilah matematika/

objek terdiri dari prosedur resmi matematika itu dibangun.

Meskipun beberapa konstruktivis berpendapat bahwa matematika adalah proses

mempelajari konstruksi yang dirancang/dilakukan dengan pensil dan kertas, menurut

pandangan para ahli brouwer, bahwa matematika pada dasarnya terjadi di dalam pikiran dan

Kelompok II Page 3

dituliskan pada tahap selanjutnya. Salah satu konsekuensi dari itu brouner melibatkan seluruh

aksioma dari pikiran intuisi menjadi tidak lengkap. Pemikiran langsung tidak selalu

menutupi kebenaran aksioma dengan cara intutif dari pemikiran intuisi, jadi itu tidak dapat

dilibatkan sebagaimana yang telah dibentuk di akhir.

Intuitionism mewakili filsafat konstruktivis paling lengkap yang dirumuskan dalam

matematika. Dua tuntutan yang tak dapat dipisahkan dari intuisi dapat dibedakan, yang mana

ada dalam istilah positif dan negatif tesis dari dummet

Yang Positif adalah cara mengintuisi dari menafsirkan dugaan/gagasan matematika

dan operasi-operasi logis adalah tepat dan sah, yaitu teori bentuk-bentuk matematika

intuitif yang dapat dimengerti. Tesis negatif adalah cara menafsirkan dugaan/gagasan

matematika yang klasik dan operasi-operasi logis adalah tidak tepat dan tidak masuk

akal, yaitu matematika klasik yang mengandung bentuk menyimpang, banyak nilai

yang kosong, tidak dapat dimengerti.

(Dummett,1997,halaman 360)

Dalam daerah yang terbatas ,dimana diantara bukti klasik dan kontruksi ada sebuah

hasil, yang terakhir ini sering lebih baik karna lebih informative. Sedangkan bukti kebenaran

klasik mungkin hanya menunjukkan keharusan logis dari keadaannya, bukti keberadaan

konstruktif menunjukkan bagaimana menyusun objek matematika yang keberadaannya

ditegaskan. Hal ini memberikan kekuatan kepada tesis positif, dari sudut pandang

matematika. Namun tesis negative jauh lebih bermasalah, karena tidak hanya gagal

memperhitungkan besarnya badan non-konstruktif matematika klasik, tetapi juga menangkal

kesesuaiannya. Para konstruktivis menunjukkan bahwa ada masalah matematika klasik yang

dihadapi dan tidak terhindarkan atau hal itu kacau dan tidak sesuai. Memang kedua

matematika klasik yaitu murni dan terapan sudah semakin menguat sejak progam

konstruktivis diusulkan. Oleh karena itu, tesis negatif dari intuisi ditolak.

Masalah lain dari pandangan konstruktivis adalah bahwa ada hasil yang tidak

konsisten dengan matematika klasik. Misalnya kesatuan dari bilanagn real, seperti yang

didefenisikan oleh para intuisi adalah terhitung. Hasil ini bertentangan dengan hasil klasik

bukan karna adanya perbedaan yang signifikan, tetapi karena definisi bilanagn real yang

berbeda. Pengertian konstrutivis sering memiliki arti yang berbeda dari pengertian klasik

yang sesuai.

Kelompok II Page 4

Dari pandangan epistemologis, baik tesis positif dan negatif intuisi ini memiliki

kelemahan. Para intuisi mengklaim untuk menyediakan dasar tertentu bagi versi mereka

tentang kebenaran matematika dengan menurunkannya (secara mental) dari aksioma teretntu,

menggunakn metode intuitif dengan pembuktian yang tepat. Pandangan ini berdasarkan

pengetahuan matematiak secara khusus berdasarkan keyakinan yang subjektif. namun

kebenaran mutlak (dimana para intuitif mengklaim menyediakan) tidak dapat didasarkan

pada keyakinan subyektif saja. Tidak ada jaminan bahwa intuisi dari para intuitif yang

berbeda tentang dasar kebenaran akan menjadi sama, karena sesungguhnya tidak sama.

Instuisi mengorbankan sebagian besar matematika sebagai imbalan untuk jaminan

yang menyejukkan yang tetap digunakan oleh” instusi lama” kita (Urintuition).

Tetapi intuisi itu bersifat subjektif dan bukan inter subjektif, dan tidak mungkin untuk

mencegah intuisi intersubjektif diabaikan sebagai landasan dasar matematika

( Kalmar,1967,hal.190)

Dengan demikian tesis intuisi yang positif tidak memberikan dasar tertentu bahkan

untuk bagian dari pengetahuan matematika. Kritik ini mencakup bentuk-bentuk

konstruktivisme dan juga menyatakan kebenaran dasar matematika secara kontruktif atas

dasar asumsi konstruktifis yang sudah jelas.

Tesis intuisi yang negative (dan konstruktivisme, jika dianut), menyebabkan

penolakan yang berdasar dari pengetahuan matematika dengan alasan bahwa hal itu

dimengerti. Tetapi matematika klasik jelas. Hal itu berbeda dari matematika konstruktivis

terutama pada asumsi yang mendasar. Dengan demikian konstruktivisme adalah salah karena

atas apa yang sejalan dengan jenis kesalahan statistik, yaitu penolakan terhadap pengetahuan

yang sesuai.

Suatu kritik mengatakan, untuk suatu kelompok tertentu, misalnya kelompok kulit

putih dari strata atas, mungkin dapat dianggap matematika sebagai netral dan bebas nilai.

Namun kritik demikian menghadapi beberapa masalah. Pertama, terdapat premis bahwa

matematika bersifat netral. Kedua, terdapat pandangan yang tersembunyi bahwa pengajaran

matematika juga dianggap netral. Di muka telah ditunjukkan bahwa setiap pembelajaran

adalah terikat dengan nilai-nilai. Ketiga, ada anggapan bahwa keterlibatan berbagai kelompok

masyarakat beserta nilainya dalam matematika adalah konsekuensi logisnya. Dan yang

terakhir, sejarah menunjukkan bahwa matematika pernah merupakan alat suatu kelompok

Kelompok II Page 5

masyarakat tertentu. Kaum ‘social constructivits’ memandang bahwa matematika merupakan

karya cipta manusia melalui kurun waktu tertentu. Semua perbedaan pengetahuan yang

dihasilkan merupakan kreativitas manusia yang saling terkait dengan hakekat dan sejarahnya.

Akibatnya, matematika dipandang sebagai suatu ilmu pengetahuan yang terikat

dengan budaya dan nilai penciptanya dalam konteks budayanya.Sejarah matematika adalah

sejarah pembentukannya, tidak hanya yang berhubungan dengan pengungkapan kebenaran,

tetapi meliputi permasalahan yang muncul, pengertian, pernyataan, bukti dan teori yang

dicipta, yang terkomunikasikan dan mengalami reformulasi oleh individu-individu atau suatu

kelompok dengan berbagai kepentingannya. Pandangan demikian memberi konsekuensi

bahwa sejarah matematika perlu direvisi.

Kaum absolutis berpendapat bahwa suatu penemuan belumlah merupakan matematika

dan matematika modern merupakan hasil yang tak terhindarkan. Ini perlu pembetulan. Bagi

kaum ‘social constructivist’ matematika modern bukanlah suatu hasil yang tak terhindarkan,

melainkan merupakan evolusi hasil budaya manusia. Joseph (1987) menunjukkan betapa

banyaknya tradisi dan penelitian pengembangan matematika berangkat dari pusat peradaban

dan kebudayaan manusia. Sejarah matematika perlu menunjuk matematika, filsafat, keadaan

sosial dan politik yang bagaimana yang telah mendorong atau menghambat perkembangan

matematika. Sebagai contoh, Henry (1971) dalam Ernest (1991: 34) mengakui bahwa

calculus dicipta pada masa Descartes, tetapi dia tidak suka menyebutkannya karena

ketidaksetujuannya terhadap pendekatan infinitas. Restivo (1985:40), MacKenzie (1981: 53)

dan Richards (1980, 1989) dalam Ernest (1991 : 203) menunjukkan betapa kuatnya hubungan

antara matematika dengan keadaan sosial; sejarah sosial matematika lebih tergantung kepada

kedudukan sosial dan kepentingan pelaku dari pada kepada obyektivitas dan kriteria

rasionalitasnya.

Kaum ‘social constructivist’ berangkat dari premis bahwa semua pengetahuan

merupakan karya cipta. Kelompok ini juga memandang bahwa semua pengetahuan

mempunyai landasan yang sama yaitu ‘kesepakatan’. Baik dalam hal asal-usul maupun

pembenaran landasannya, pengetahuan manusia mempunyai landasan yang merupakan

kesatuan, dan oleh karena itu semua bidang ilmu pengetahuan manusia saling terikat satu

dengan yang lain.

Akibatnya, sesuai dengan pandangan kaum ‘social constructivist’, matematika tidak

dapat dikembangkan jika tanpa terkait dengan pengetahuan lain, dan yang secara bersama-

Kelompok II Page 6

sama mempunyai akarnya, yang dengan sendirinya tidak terbebaskan dari nilai-nilai dari

bidang pengetahuan yang diakuinya, karena masing-masing terhubung olehnya.

A. Kesalahan dari Absolutism

Kita telah melihat bahwa sejumlah filsafat absolutis matematika telah gagal untuk

menetapkan ketentuan logis dari pengetahuan matematika. Masing-masing tiga pembelajaran

dari pemikiran logika, formal dan intuisi (yang paling jelas diutarakan dari bentuk

konstruktivisme) upaya untuk memberikan landasan yang kuat bagi kebenaran matematika,

dari menurunkan dengan bukti matematis dari alam yang terbatas namun aman dari

kebenaran. Dalam setiap kasus ada meletakkan dasar aman akan kebenaran absolut. Untuk,

formalis logistik dan intuitionists ini terdiri dari aksioma-aksioma logika, prinsip-prinsip

intuitif tertentu meta-matematika, dan jelas aksioma 'intuisi permulaan, masing-masing.

Masing-masing rangkaian aksioma prinsip-prinsip diasumsikan tanpa demonstrasi.

Selanjutnya masing-masing sekolah mempekerjakan logika deduktif untuk menunjukkan

kebenaran teorema matematika dari basis yang diasumsikan. Akibatnya ketiga sekolah

pemikiran gagal untuk menetapkan kepastian mutlak kebenaran matematika.

Untuk logika deduktif hanya menyalurkan kebenaran dan kesimpulan dari bukti logis adalah

yang terbaik sebagai premis tertentu yang terlemah.

Hal ini dapat mengatakan bahwa upaya ketiga sekolah juga gagal untuk memberikan

dasar untuk berbagai macam calon kebenaran matematis dengan cara ini.

Seperti Teorema Godel yang pertama menunjukkan kekurangan kelebihan, bukti ini tidak

cukup untuk menunjukkan semua kebenaran. Jadi ada kebenaran matematika tidak ditangkap

oleh sistem sekolah-sekolah.

Kenyataan bahwa tiga sekolah pemikiran dalam filsafat pengetahuan matematika tidak

menyelesaikan masalah umum. Hal ini masih mungkin untuk alasan lain dapat ditemukan

untuk menyatakan kepastian kebenaran matematika. Kebenaran mutlak dalam matematika

masih kemungkinan.

Namun kemungkinan ini dibantah oleh argumen umum yang kuat karena menolak

kesepakatan status kepastian kepada kebenaran matematika.

Ini menyerupai argumen umum digunakan di atas untuk mengkritik tiga sekolah, karena

mereka semua bergantung pada sistem deduktif.

Kelompok II Page 7

Lakatos (1962) menunjukkan bahwa pencarian kepastian dalam matematika pasti

mengarah ke lingkaran setan. Setiap sistem matematika tergantung pada seperangkat asumsi,

dan mencoba untuk menetapkan kepastian mereka dengan membuktikan mereka, mengarah

ke regresi tak terbatas. Tidak ada cara pemakaian asumsi. Tanpa bukti, asumsi tetap

keyakinan keliru, dan pengetahuan tidak tertentu. Yang bisa kita lakukan adalah untuk

meminimalkannya, untuk mendapatkan satu set aksioma dikurangi, yang harus menerima

tanpa bukti, sehingga melanggar lingkaran setan pada biaya mengorbankan kepastian, atau

yang dapat mengganti. Penggantian mengirimkan 'kami di sirkuit lebih lanjut dari lingkaran

setan. Himpunan mengurangi aksioma hanya dapat ditiadakan dengan mengganti dengan

asumsi setidaknya kekuatan yang sama. Jadi kita tidak dapat menetapkan kepastian

matematika tanpa membuat asumsi-asumsi, yang dengan demikian gagal menjadi kepastian

yang mutlak.

Hal ini harus dipahami bahwa argumen ini diarahkan pada seluruh pengetahuan

matematika, dan tidak dibingkai untuk sistem formal tunggal atau bahasa.

Banyak upaya untuk memberikan landasan bagi matematika di bahasa tersebut berhasil

mengurangi asumsi bahwa sistem formal atau bahasa.

Apa yang telah dilakukan dalam kasus seperti itu adalah untuk mendorong beberapa atau

semua asumsi dasar menjadi meta-bahasa, seperti strategi eksplisit formalis '.

Di mana pun itu tetap, dan di suatu tempat harus, ada sebuah kernel asumsi yang

memperkenalkan kebenaran ke dalam sistem, dan yang deduksi kirimkan ke semua teorema

sistem (yang disediakan sistem aman, yaitu, konsisten).

Seperti Lakatos mengatakan: 'kita harus mengakui bahwa meta-matematika tidak

menghentikan kemunduran yang tak terbatas dalam bukti yang sekarang muncul kembali

dalam hirarki tak terbatas teori meta-pernah kaya' (Lakatos, 1978, halaman 22).

Matematika kebenaran akhirnya tergantung pada set direduksi dari asumsi, yang

diadopsi tanpa demonstrasi. Tetapi untuk memenuhi syarat sebagai pengetahuan yang benar,

asumsi memerlukan surat perintah untuk pernyataan mereka. Tidak ada surat perintah yang

berlaku untuk pengetahuan matematika selain demonstrasi atau bukti.

Oleh karena itu asumsi adalah kepercayaan, bukan pengetahuan, dan tetap terbuka.

Ini argumen utama terhadap kemungkinan pengetahuan tertentu dalam matematika.

Ini secara langsung bertentangan dengan klaim absolut dari sekolah foundationist pemikiran.

Kelompok II Page 8

Di luar sekolah foundationist, itu dianggap sebagai sanggahan terjawab absolutisme oleh

seorang penulis.

Kebenaran mutlak sudut pandang harus dibuang. 'Fakta' dari setiap cabang

matematika murni harus diakui sebagai asumsi yang (postulat atau aksioma), atau

definisi atau teorema ... paling yang dapat diklaim adalah bahwa jika postuletes adalah

benar dan definisi diterima, dan jika metode thr penalaran adalah suara, maka teorema

adalah benar. Dengan kata lain kita sampai pada konsep kebenaran relatif (dari

teorema dalam kaitannya dengan postulat, definisi, dan penalaran logis) untuk

menggantikan titik pandang kebenaran mutlak.

(Stabil, 1955, halaman 24).

Apa yang kita miliki disebut matematika murni adalah, untuk itu sistem

hipotetiko-deduktif. Aksioma yang menjadi hipotesis atau asumsi-asumsi,

dipertimbangkan untuk proposisi yang diisyaratkan.

(Cohen dan Nagel, 1963, halaman 133).

[Kita] hanya bisa menggambarkan aritmatika, yaitu, menemukan aturan, tidak

memberikan dasar untuk mereka. Dasar seperti tidak bisa memuaskan kita, untuk

alasan bahwa itu harus diakhiri kapan dan kemudian mengacu pada sesuatu yang tidak

lagi dapat didirikan. Hanya konvensi adalah yang paling. Apapun yang terlihat seperti

yayasan adalah, ketat berbicara, sudah adultareted dan tidak harus memenuhi kita.

(Waismann, 1951, halaman, halaman 122)

Pernyataan atau proposisi atau teori dapat dirumuskan dalam pernyataan yang

mungkin benar dan kebenaran mereka dapat dikurangi, dengan cara turunan dengan

proposisi primitif. Upaya untuk membangun (bukan mengurangi) oleh berarti

kebenaran mereka mengarah ke kemunduran yang tak terbatas.

(Popper, 1979, ekstrak dari meja di halaman 124).

Kritik di atas adalah untuk menentukan pandangan absolutis matematika. Namun,

adalah mungkin untuk menerima kritik tanpa mengadopsi filosofi falibilis matematika. Untuk

itu adalah mungkin untuk menerima bentuk hipotetiko-deductivism yang menyangkal

dikoreksi dan kemungkinan mendalam matematika errorin. Posisi seperti pandangan aksioma

Kelompok II Page 9

hanya sebagai hipotesis dari mana teorema matematika bersifat sementara, logika dan

penggunaan logika untuk menurunkan teorema dari aksioma menjamin pengembangan yang

aman matematika, meskipun dari basis diasumsikan. Bentuk melemah dari posisi absolutis

menyerupai 'Russel yang jika keamanan sistem. Namun posisi absolutis melemah didasarkan

pada asumsi yang meninggalkan terbuka untuk kritik falibilis.

B. Kritik Falibilis dari Absolutisme

Argumen sentral terhadap pandangan absolutis pengetahuan matematika dapat

dielakkan dengan pendekatan hipotetiko-deduktif. Namun, di luar masalah kebenaran asumsi

aksioma-aksioma, pandangan absolutis memiliki kelemahan yang lebih besar.

Yang pertama menyangkut logika yang mendasari bukti

matematis. Pembentukankebenaran matematis, yaitu pengurangan teorema dari satu himpuna

n aksioma, membutuhkanasumsi lebih lanjut, yaitu aksioma dan aturan inferensi logika itu se

ndiri. Ini adalah asumsi yang non-trivial dan asumsi non-eliminasi. Hal ini juga berlaku sama

untuk logika. Jadi, kebenaran matematika tergantung pada inti-inti logika serta asumsi

matematika.

Hal ini tidak hanya untuk mengarahkan semua asumsi logika

ke himpunan dari asumsi matematika, berikut ini hipotetiko-deduktif strategi 'jika-

maka'. Untuk logika menyediakan aturan dari inferensi yang benar dengan yang teorema

yang berasal dari matematika. Memuat semua asumsi logis dan matematis ke dalam bagian

'hipotetiko' tidak ada dasar untuk bagian metode'deduktif'. Deduksi menitikberatkan

pada 'inferensi benar', dan ini pada gilirannya didasarkan pada gagasan tentang kebenaran

(yang pelestarian nilai kebenaran). Tetapi setiap asumsi tanpa dasar yang kuat, apakah itu

diperoleh melalui intuisi, konvensi, yang bermakna atau apa pun, adalah memungkinkan

kekeliruan.

Singkatnya, kebenaran matematika dan pembuktian berdasarkan pada deduksi dan

logika.Tapi logika sendiri tidak memiliki dasar-dasar tertentu. Hal ini terlalu bertumpu pada

asumsi tereduksi. Jadi ketergantungan pada deduksi logis meningkatkan kumpulan asumsi

sebagai dasar kebenaran matematika, dan ini tidak dapat dinetralkan oleh strategi 'jika-maka'.

Sebuah anggapan lebih lanjut dari pandangan absolutis adalah bahwa

matematika pada dasarnya bebas dari kesalahan. Untuk ketidakkonsistenan dan absolutisme

jelas tidak dapat digantikan. Tapi hal ini tidak dapat ditunjukkan. Matematika terdiri dari

Kelompok II Page 10

teori (misalnya, teori grup,teori kategori) yang dipelajari dalam sistem matematika, berdasark

an kumpulan asumsi (aksioma).Untuk menetapkan bahwa sistem matematika aman (yaitu,

konsisten), untuk setiapnya tapi pada sistem yang paling sederhana kita diharuskan untuk

memperluas kumpulan asumsi-asumsi dari sistem (Teorema Ketidaklengkapan Godel Kedua,

1931). Kita memiliki hal hal tersebut untuk menganggap konsistensi sistem kuat guna menun

jukkan dari yang lebih lemah. Oleh karenanya tidak tahu apapun tetapi sistem matematika

yang paling sederhana terjamin, dan kemungkinan kesalahan dan inkonsistensi harus selalu

tetap. Kepercayaan pada keterjaminan matematika harus didasarkan baik pada dasar empiris

(belum ada kontradiksi yang ditemukan dalam sistem matematika kita sekarang) atau

pada keimanan, tidak memberikan dasar tertentu dari apa yangabsolutisme perlukan.

Di luar kritik ini, ada masalah lebih lanjut dari pihak terkait pada penggunaan bukti

sebagaidasar untuk kepastian dalam matematika. Tidak ada bukti deduktif tetapi

sepenuhnya secaraformal dapat berfungsi sebagai penjamin keabsahan untuk kepastian dalam

matematika. Tapi bukti seperti ini hampir tidak ada. Jadi absolutisme menginginkan untuk me

mbentuk kembali matematika informal ke system deduktif yang formal, yang

memperkenalkan asumsi lebih lanjut. Masing-masing asumsi berikut ini merupakan kondisi

yang diperlukan untuk kepastian tersebut dalam matematika. Setiap pendapat itu adalah

sebuah asumsi yang tidak beralasan absolutis.

Asumsi A

Bukti bahwa matematikawan menerbitkan sebagai jaminan untuk

menegaskan teorematerpenuhi, dalam prinsipnya, dapat diterjemahkan ke dalam bukti-bukti

formal yang sepenuhnya ketat.

Bukti informal yang mempublikasikan matematika umumnya memiliki kekurangan,

dan tidak berarti sepenuhnya dapat diandalkan (Davis, 1972). Menerjemahkan

mereka sepenuhnya ke dalam bukti-bukti formal yang keliru sebagian besar adalah tugas non-

mekanis. Hal ini membutuhkan kecerdikan manusia untuk menjembatani dan untuk

memperbaiki kesalahan. Karenakeseluruhan formalisasi matematika adalah tidak mungkin

dilakukan, berapakah nilai pengakuanbahwa bukti informal dapat diterjemahkan ke

dalam bukti formal 'sesuai prinsipnya'? Ini adalah janji yang tak terpenuhi, bukan alasan

untuk kepastian. Keseluruhan tindakan yang ideal tidak tercapai dan bukan realitas

Kelompok II Page 11

praktis. Oleh karena itu, kepastian tidak dapat diklaim untuk bukti matematika, bahkan jika

kritik sebelumnya diabaikan.

Asumsi B

Bukti formal yang ketat dapat diperiksa kebenarannya. Sekarang ada bukti formal

manusiawi terkontrol, seperti pembuktian Appel-Haken (1978) pada teorema empat warna

(Tymoczko, 1979). Diterjemahkan ke dalam bukti formal yang ketat ini akan lebih lama. Jika

tidak mungkin disurvei oleh ahli matematika, atas dasar apa mereka bisa

dianggap sepenuhnya benar? Jika bukti tersebut diperiksa oleh komputer apa yang dapat

diberikan jaminan bahwa perangkat lunak dan perangkat keras yang dirancang benar-benar

sempurna, dan bahwa perangkat lunakberjalan dengan sempurna dalam praktek? Mengingat

kompleksitas hardware dan softwaretampaknya tidak masuk akal bahwa bukti ini dapat

diperiksa oleh satu orang. Selanjutnya, dalampemeriksaan melibatkan unsur empiris

(misalnya, apakah hal itu berjalan sesuai denganrancangan?). Jika memeriksa dari bukti-bukti

formal tidak dapat dilakukan, atau memiliki unsur empiris,

maka pernyataan apapun dari kepastian mutlak harus dilepaskan (Tymoczko, 1979).

Asumsi C

Teori matematika dapat diterjemahkan ke dalam aksioma formal yang sah.

Formalisasi teori matematika intuitif dalam seratus tahun terakhir (Misalnya, logika

matematika, teori bilangan, teori himpunan, analisis) telah menyebabkan masalah tak

terduga yang mendalam, sebagai konsep dan bukti-bukti di bawah pengawasan semakin

mendalam, selama upaya untuk menjelaskan dan merekonstruksinya. Formalisasi memuaskan

sisa matematika tidak dapat diasumsikan untuk menjadi problematis. Sampai saat ini

formalisasi dilakukan tidak mungkin untuk menyatakan dengan pasti bahwa hal itu dapat

dilakukan secara sah. Tapi sampai matematika diformalkan, ketelitian, yang merupakan

kondisi yang diperlukan untuk kepastian, jauh dari ideal.

Asumsi D

Konsistensi dari representasi (dalam C asumsi) dapat dikoreksi.

Seperti kita ketahui dari Teorema Godel, ini menunjukkan secara signifikan terhadap

Kelompok II Page 12

beban pengetahuan yang mendukung asumsi matematika. Jadi tidak ada

mutlak jaminan keselamatan.

Masing-masing dari empat asumsi menunjukkan di mana masalah lebih lanjut dalam

membangun kepastian pengetahuan matematika mungkin timbul. Ini bukan masalah tentang

kebenaran asumsi dasar pengetahuan matematika (yaitu, dasar asumsi). Melainkan ini adalah

masalah dalam mencoba untuk mengirimkan kebenaran asumsi

asumsi ini ke seluruh pengetahuan matematika dengan cara deduktif

bukti, dan dalam membangun keandalan metode ini.

C. Pandangan Para Falibilis

Mengingat pengetahuan matematika. Ini adalah pandangan bahwa kebenaran

matematika adalah keliru dan yg dpt diperbaiki, dan tidak pernah dapat dianggap sebagai

melampaui revisi dan koreksi. Falibilis yang tesis dengan demikian memiliki dua bentuk

setara, satu positif dan satu negatif. Bentuk negative kekhawatiran penolakan absolutisme:

pengetahuan matematika adalah bukan kebenaran mutlak, dan

tidak memiliki validitas mutlak. Bentuk positif adalah bahwa pengetahuan matematika

yg dpt diperbaiki dan terus-menerus terbuka untuk revisi. Dalam bagian ini saya ingin

menunjukkan bahwa dukungan untuk sudut pandang falibilis, dalam satu bentuk atau yang

lain, jauh lebih luas daripada yang telah seharusnya. Berikut ini adalah pilihan dari berbagai

ahli logika, matematikawan dan filsuf yang mendukung pandangan ini:

Dalam makalahnya "Sebuah kebangkitan empirisme dalam filsafat matematika ',

Lakatos mengutip dari karya kemudian Russell, Fraenkel, Carnap, Weyl, von

Neumann, Bernays, Gereja, Godel, Quine, Rosser, Curry, Mostowski dan Kalmar (sebuah

daftar yang mencakup banyak ahli logika kunci dari abad kedua puluh) untuk menunjukkan

mereka umum pandangan tentang 'ketidakmungkinan kepastian lengkap di

matematika, dan dalam banyak kasus, kesepakatan mereka bahwa pengetahuan matematika

telah dasar empiris, entailing penolakan absolutisme. (Lakatos, 1978, halaman 25,

kutipan dari R. Carnap)

Sekarang jelas bahwa konsep tubuh, sempurna diterima secara universal

penalaran-matematika agung dari 1800 dan kebanggaan manusia-adalah

sebuah ilusi besar. Ketidakpastian dan keraguan tentang masa depan

matematika telah menggantikan kepastian dan kepuasan dari

Kelompok II Page 13

masa lalu ... Keadaan matematika adalah ejekan dari deeprooted sampai sekarang

dan kebenaran dan kesempurnaan terkenal luas logis dari matematika.

(Kline, 1980, halaman 6)

Tidak ada sumber otoritatif pengetahuan, dan tidak ada 'sumber' adalah

khususnya diandalkan. Semuanya menyambut sebagai sumber inspirasi,

termasuk 'intuisi' ... Tapi tidak ada yang aman, dan kita semua tidak sempurna.

(Popper, 1979, halaman 134)

Saya ingin mengatakan bahwa di mana surveyability tidak hadir, yaitu, di mana ada

ruang untuk keraguan apakah apa yang kita miliki benar-benar adalah hasil dari ini

substitusi, bukti ini hancur. Dan tidak dalam beberapa konyol dan tidak penting

cara yang tidak ada hubungannya dengan sifat bukti.

Atau: logika sebagai dasar matematika tidak bekerja, dan untuk menunjukkan

ini cukup bahwa daya meyakinkan bukti logis berdiri dan jatuh dengan perusahaan

hal yg meyakinkan geometris. Kepastian logis dari bukti-aku ingin mengatakan-tidak

melampaui mereka geometris kepastian.

(Wittgenstein, 1978, halaman 174-5)

Sebuah teori Euclidean dapat diklaim untuk menjadi kenyataan, sebuah kuasi-empiris

teori-yang terbaik-untuk menjadi baik dikuatkan, tetapi selalu dugaan.Juga, dalam

Euclidean teori dasar pernyataan benar di 'atas' dari deduktif

sistem (biasanya disebut 'aksioma') membuktikan, seolah-olah, seluruh sistem; dalam

kuasi-teori empiris (benar) laporan dasar dijelaskan oleh sisanya

system ... Matematika adalah kuasi-empiris

(Lakatos, 1978, halaman 28-29 & 30)

Tautologi adalah selalu benar, tetapi matematika tidak. Kita tidak bisa mengatakan

apakah aksioma aritmatika konsisten, dan jika mereka tidak, setiap

Teorema aritmatika tertentu mungkin salah. Oleh karena itu teorema-teorema yang

tidak tautologi. Mereka harus tetap dan selalu tentatif, sementara

tautologi adalah kebenaran mutlak tak terbantahkan ...

[T] dia matematika merasa dipaksa untuk menerima matematika sebagai

benar, bahkan meskipun dia sekarang ini kehilangan kepercayaan keharusan logis dan

Kelompok II Page 14

ditakdirkan untuk selamanya mengakui kemungkinan dibayangkan bahwa perusahaan

seluruh kain mungkin tiba-tiba runtuh dengan mengungkapkan kontradiksi-diri yang

menentukan.

(Polanyi, 1958, halaman 187 dan 189)

Doktrin bahwa pengetahuan matematika adalah matematika apriori apriorisme

telah diartikulasikan berbagai selama refleksi tentang matematika ... saya akan mena

warkan gambaran pengetahuan matematika yang menolak apriorisme matematika ...

alternative untuk matematika apriorisme matematika empirisme tidak pernah diberi ri

nci artikulasi. Saya akan mencoba untuk memberikan account hilang.

(Kitcher, 1984, halaman 3-4)

Pengetahuan empiris Matematika menyerupai pengetahuan yaitu, kriteria

kebenaran dalam matematika seperti halnya dalam fisika adalah keberhasilan ide-ide

kami dipraktek, dan bahwa pengetahuan matematika adalah yg dpt diperbaiki dan

tidak mutlak.

(Putnam, 1975, halaman 51)

Ini adalah wajar untuk mengusulkan tugas baru untuk filosofi matematika: tidak

mencari kebenaran pasti, tetapi untuk memberikan account pengetahuan matematika

sebagai itu benar-benar keliru-, dpt diperbaiki, tentatif dan berkembang, seperti setiap

jenis lainnya pengetahuan manusia.

(Hersh, 1979, halaman 43)

Mengapa tidak jujur mengakui kesalahan matematika, dan mencoba untuk

mempertahankan martabat pengetahuan sempurna dari skeptisisme yang sinis,

daripada menipu diri sendiri bahwa kita akan mampu untuk memperbaiki air mata tak

terlihat terbaru dalam kain dari 'utama' kami intuisi.

(Lakatos, 1962, halaman 184)

Kelompok II Page 15

BAB III

PENUTUP

KESIMPULAN

Program konstrutivis salah satunya adalah merekonstruksi pengetahuan matematika

(dan reformasi praktek matematika) dalam rangka agar matematika tidak kehilangan makna

dan dari kontradiksi. Kebenaran mutlak dalam matematika masih kemungkinan. Kita tidak

dapat menetapkan kepastian matematika tanpa membuat asumsi-asumsi, yang dengan

demikian gagal menjadi kepastian yang mutlak. Posisi seperti pandangan aksioma hanya

sebagai hipotesis dari mana teorema matematika bersifat sementara, logika dan penggunaan

logika untuk menurunkan teorema dari aksioma menjamin pengembangan yang aman

matematika, meskipun dari basis diasumsikan.

Kelompok II Page 16

Untuk logika menyediakan aturan dari inferensi yang benar dengan yang teorema

yang berasal dari matematika. Memuat semua asumsi logis dan matematis ke dalam bagian

'hipotetiko' tidak ada dasar untuk bagian metode'deduktif'. Deduksi menitikberatkan

pada 'inferensi benar', dan ini pada gilirannya didasarkan pada gagasan tentang kebenaran.

Demikian juga dalam matematika, karena pengetahuan kita telah menjadi lebih baik

didirikan dan kami belajar lebih banyak tentang dasar, kita telah menyadari bahwa

pandangan absolutis adalah idealisasi, sebuah mitos. Ini merupakan kemajuan dalam

pengetahuan, bukan mundur dari masa lalu kepastian. Taman Eden absolut hanyalah

surga orang bodoh.

SARAN

Adapun saran-saran yang penyusun ajukan terkait pembahasan makalah “Sebuah

Kritik Filsafat absolutis Matematika” adalah:

1. Diharapkan dengan adanya kejelasan tentang hakikat/makna dari kritik filsafat absolutis

matematika para pendidik dapat meng-impletasikan pembelajaran dengan menyesuaikan

falsafah ilmu dan falsafah pendidikan.

2. Diharapkan para pembaca dapat termotivasi untuk terus menggali makna pendidikan

seutuhnya guna mencapai tujuan pendidikan nasional.

DAFTAR PUSTAKA

Ernest, Paul. 1990. The Philosophy of Mathematics Education. University of Exeter : School of Education

http://marsigitphilosophy.blogspot.com/2008/12/matematika-dilihat-dari-berbagai-sudut.html

Kelompok II Page 17