Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga -...
Transcript of Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga -...
![Page 1: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Kuliah Ke-1316.7 Integral Lipat Tiga16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat Bola
Tujuan Instruksional :Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa akandapat menentukan integral lipat tiga, baik dalamkoordinat siku-siku, dalam koordinat silinder dandalam koordinat bola.
Prasyarat: Prasyarat yang diperlukan adalahpengetahuan tentang integral lipat dua padadaerah umum dan pada koordinat polar.
![Page 2: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Integral Lipat TigaUntuk fungsi tiga variabel.Analog dengan integral lipat dua, integral lipat tiga padadaerah
Jika fungsi f kontinu pada daerah B, maka
Teorema Fubini juga berlaku.
{ }szrdycbxazyxB ≤≤≤≤≤≤= ,,|),,(
∫∫∫ ∫ ∫ ∫=B
b
a
d
c
s
r
dzdydxzyxfdvzyxf ),,(),,(
![Page 3: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Hitung:
Jawab:
![Page 4: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Seperti halnya integral lipat dua, integral lipat tiga dapat jugaberlaku pada daerah umum E.
1. Jenis I { }
.),,(),,(
Jadi),(),(,),(|),,(
),(
),(
21
2
1
∫∫ ∫∫∫∫ ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
≤≤∈=
D
yxu
yxuE
dAdzzyxfdVzyxf
yxuzyxuDyxzyxE
Daerah D dapat berupa (Ingat integral lipat dua):1). Segiempat, D = {(x,y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}.2). Daerah jenis I, D = {(x,y) | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}.3). Daerah jenis II, D = {(x,y) | c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}.
![Page 5: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/5.jpg)
5
{ }),(),(,),(|),,( 21 yxuzyxuDyxzyxE ≤≤∈=
![Page 6: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Contoh: Hitung
dimana E adalah daerah di bawahbidang padakuadran pertama
![Page 7: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/7.jpg)
7
![Page 8: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/8.jpg)
8
![Page 9: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/9.jpg)
9
2. Jenis II{ }
I. jenis di seperti (3)dan (2) (1), berupadapat ),(),(,),(|),,( 21
DzxuyzxuDzxzyxE ≤≤∈=
![Page 10: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Contoh: Hitung
dimana E adalah benda pejal yang dibatasi oleh
dan bidang y = 8
![Page 11: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/11.jpg)
11
![Page 12: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/12.jpg)
12
![Page 13: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/13.jpg)
13
{ }
I. Jenis di seperti (3)dan (2) (1), berupadapat ),(),(,),(|),,(
III Jenis 3.
21
DzyuxzyuDzyzyxE ≤≤∈=
![Page 14: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Contoh: Hitung volume daerah yang terletak di belakang
bidang dan di depan bidang yz yang
dibatasi oleh dan
![Page 15: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/15.jpg)
15
![Page 16: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/16.jpg)
16
16.8 Integral Lipat Tiga dalam Koordinat Silinder danKoordinat Bola.
Koordinat SilinderDalam koordinat silinder, titik P(x,y,z) dikonversi ke titik P(r,θ,z).
P(r, θ, z)
θ
z
r z y
x
![Page 17: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/17.jpg)
17
{ }
{ }
∫ ∫ ∫∫∫∫
∫∫ ∫∫∫∫
=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
≤≤≤≤=
≤≤∈=
β
α
θ
θ
θθ
θθ
θ
θ
θθθ
θθβθαθ
)(
)(
)sin,cos(
)sin,cos(
(
(
21
21
2
1
2
1
2
1
),sin,cos(V)(
:berikut sebagaisilinder koordinat kesiku -sikukoordinat dari dikonversi
),,(V),,(
)()(,|),( olehpolar koordinat dalamdiberikan dengan
),(),(,),(|),,(dan padakontinu Misal
h
h
rru
rruE
D
h
hE
rdzdrdzrrfdx,y,zf
dAdzzyxfdzyxf
hrhrDD
yxuzyxuDyxzyxEEf
![Page 18: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Contoh: Hitung dimana E adalah daerah di
bawah bidang dan di atas bidang xy
serta di antara silinder dan
Jawab:
![Page 19: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/19.jpg)
19
![Page 20: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Contoh: Konversi integral berikut ke koordinat silindris
Jawab:
![Page 21: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Koordinat Bola
Perhatikan∆ OPP’ :z = ρ cos φr = ρ sin φ
P’’
O
z
φ ρ
x
P(x, y, z) = P(ρ , θ, φ)
θ
z
r z y
x y P’(x, y, 0)
![Page 22: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/22.jpg)
22{ }γϕδβθαρϕθρπϕρ
ϕθρ
ρ
θϕϕρθ
θϕρϕρθ
ρ
≤≤≤≤≤≤=≤≤≥
∆+=++=
∆+=
===
===
∆
,,|),,(.0,0
OP.dengan positif -sumbu antarasudut : OP'.dengan -sumbu antarasudut :
P. ke asalk jarak titi :
)'P'OP' ( ; OPP' ;
cossin maka ,sin karena ; sin
cossin maka ,sin karena ; cos
:'P'OP' Perhatikan
222
bola jari-jari dengan BolaPersamaan
222
222
baE
zx
yxrzyxzr
rrry
rrx
44 344 21
φ
![Page 23: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Dalam Koordinat Polar :
Dalam Koordinat Bola (Keterangan pada halaman 489)
Jadi, konversi dari koordinat siku-siku ke koordinat bola
drdrd A θ=
{
ϕθρϕρ
θϕρϕρρ
dddds
kiiijk
sinV
)sin)((V
2Ala Luastinggi
=
∆∆∆=∆444 3444 21
∫∫∫ ∫ ∫ ∫=E
b
a
dddfdzyxfγ
δ
β
α
ϕθρϕρϕρθϕρθϕρ sin)cos,sinsin,cossin(V),,( 2
![Page 24: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Contoh: Hitung
dimana E adalah setengah bola
bagian atas
Jawab:
![Page 25: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/25.jpg)
25
![Page 26: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Contoh: konversi integral berikut ke koordinat bola
Jawab:
![Page 27: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/27.jpg)
27
![Page 28: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/28.jpg)
28
![Page 29: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Tugas 1.
{ }
.VHitunglah
0.dan ,1 dibatasiyang pertamaoktan padadaerah adalah Misalkan
20,30,21|),,( dengan
V12 Hitung
E
22
32
∫∫∫
∫∫∫
===+
≤≤≤≤≤≤−=
zd
xxyzyE
zyxzyxE
dzxyE
Tugas 2.
Tugas 3. Gunakan integral lipat tiga untuk mencari volume benda pejal yang dibatasi silinder x2 + y2 = 9 danbidang z = 1 dan x + z = 5.
![Page 30: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/30.jpg)
30
.2 bidangbawah didan -bidang atas di ,4dan 1silinder
-silinder diantara terletak yang pejal bendaadalah dengan ,V Hitung
.1 paraboloidbawah di terletak yang
pertamaoktan di pejal bendaadalah dengan ,V)( Hitung
.V Hitung
4.dan -5 bidangbidang antara didan 16silinder dalam terletak Misalkan
2222
22
23
22
22
+==+=+
−−=
+
+
==−=+
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
xzxyyxyx
Eyd
yxz
Edxyx
dyx
zzyxE
E
E
E
Tugas 4.
Tugas 5.
Tugas 6.
![Page 31: Kuliah Ke-7 Integral Lipat Tiga - Gunadarmaiffatul.staff.gunadarma.ac.id/.../83047/integral+lipat+3.pdf · 1 Kuliah Ke-13 16.7 Integral Lipat Tiga 16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052303/60995247a111565c0b251f69/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Tugas 7.
Gunakan koordinat bola untuk menghitung
E terletak di antara bola-bola x2 + y2 + z2 = 1 dan x2 + y2 + z2 = 4 di oktan pertama.
∫∫∫E
Vzd
sekian
Materi pertemuan 14 : 16.9 Penggantian Variabel