1

Kuliah Ke-1316.7 Integral Lipat Tiga16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat Bola

Tujuan Instruksional :Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa akandapat menentukan integral lipat tiga, baik dalamkoordinat siku-siku, dalam koordinat silinder dandalam koordinat bola.

Prasyarat: Prasyarat yang diperlukan adalahpengetahuan tentang integral lipat dua padadaerah umum dan pada koordinat polar.

2

Integral Lipat TigaUntuk fungsi tiga variabel.Analog dengan integral lipat dua, integral lipat tiga padadaerah

Jika fungsi f kontinu pada daerah B, maka

Teorema Fubini juga berlaku.

{ }szrdycbxazyxB ≤≤≤≤≤≤= ,,|),,(

∫∫∫ ∫ ∫ ∫=B

b

a

d

c

s

r

dzdydxzyxfdvzyxf ),,(),,(

3

Hitung:

Jawab:

4

Seperti halnya integral lipat dua, integral lipat tiga dapat jugaberlaku pada daerah umum E.

1. Jenis I { }

.),,(),,(

Jadi),(),(,),(|),,(

),(

),(

21

2

1

∫∫ ∫∫∫∫ ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

≤≤∈=

D

yxu

yxuE

dAdzzyxfdVzyxf

yxuzyxuDyxzyxE

Daerah D dapat berupa (Ingat integral lipat dua):1). Segiempat, D = {(x,y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}.2). Daerah jenis I, D = {(x,y) | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}.3). Daerah jenis II, D = {(x,y) | c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}.

5

{ }),(),(,),(|),,( 21 yxuzyxuDyxzyxE ≤≤∈=

6

Contoh: Hitung

dimana E adalah daerah di bawahbidang padakuadran pertama

7

8

9

2. Jenis II{ }

I. jenis di seperti (3)dan (2) (1), berupadapat ),(),(,),(|),,( 21

DzxuyzxuDzxzyxE ≤≤∈=

10

Contoh: Hitung

dimana E adalah benda pejal yang dibatasi oleh

dan bidang y = 8

11

12

13

{ }

I. Jenis di seperti (3)dan (2) (1), berupadapat ),(),(,),(|),,(

III Jenis 3.

21

DzyuxzyuDzyzyxE ≤≤∈=

14

Contoh: Hitung volume daerah yang terletak di belakang

bidang dan di depan bidang yz yang

dibatasi oleh dan

15

16

16.8 Integral Lipat Tiga dalam Koordinat Silinder danKoordinat Bola.

Koordinat SilinderDalam koordinat silinder, titik P(x,y,z) dikonversi ke titik P(r,θ,z).

P(r, θ, z)

θ

z

r z y

x

17

{ }

{ }

∫ ∫ ∫∫∫∫

∫∫ ∫∫∫∫

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

≤≤≤≤=

≤≤∈=

β

α

θ

θ

θθ

θθ

θ

θ

θθθ

θθβθαθ

)(

)(

)sin,cos(

)sin,cos(

(

(

21

21

2

1

2

1

2

1

),sin,cos(V)(

:berikut sebagaisilinder koordinat kesiku -sikukoordinat dari dikonversi

),,(V),,(

)()(,|),( olehpolar koordinat dalamdiberikan dengan

),(),(,),(|),,(dan padakontinu Misal

h

h

rru

rruE

D

h

hE

rdzdrdzrrfdx,y,zf

dAdzzyxfdzyxf

hrhrDD

yxuzyxuDyxzyxEEf

18

Contoh: Hitung dimana E adalah daerah di

bawah bidang dan di atas bidang xy

serta di antara silinder dan

Jawab:

19

20

Contoh: Konversi integral berikut ke koordinat silindris

Jawab:

21

Koordinat Bola

Perhatikan∆ OPP’ :z = ρ cos φr = ρ sin φ

P’’

O

z

φ ρ

x

P(x, y, z) = P(ρ , θ, φ)

θ

z

r z y

x y P’(x, y, 0)

22{ }γϕδβθαρϕθρπϕρ

ϕθρ

ρ

θϕϕρθ

θϕρϕρθ

ρ

≤≤≤≤≤≤=≤≤≥

∆+=++=

∆+=

===

===

∆

,,|),,(.0,0

OP.dengan positif -sumbu antarasudut : OP'.dengan -sumbu antarasudut :

P. ke asalk jarak titi :

)'P'OP' ( ; OPP' ;

cossin maka ,sin karena ; sin

cossin maka ,sin karena ; cos

:'P'OP' Perhatikan

222

bola jari-jari dengan BolaPersamaan

222

222

baE

zx

yxrzyxzr

rrry

rrx

44 344 21

φ

23

Dalam Koordinat Polar :

Dalam Koordinat Bola (Keterangan pada halaman 489)

Jadi, konversi dari koordinat siku-siku ke koordinat bola

drdrd A θ=

{

ϕθρϕρ

θϕρϕρρ

dddds

kiiijk

sinV

)sin)((V

2Ala Luastinggi

=

∆∆∆=∆444 3444 21

∫∫∫ ∫ ∫ ∫=E

b

a

dddfdzyxfγ

δ

β

α

ϕθρϕρϕρθϕρθϕρ sin)cos,sinsin,cossin(V),,( 2

24

Contoh: Hitung

dimana E adalah setengah bola

bagian atas

Jawab:

25

26

Contoh: konversi integral berikut ke koordinat bola

Jawab:

27

28

29

Tugas 1.

{ }

.VHitunglah

0.dan ,1 dibatasiyang pertamaoktan padadaerah adalah Misalkan

20,30,21|),,( dengan

V12 Hitung

E

22

32

∫∫∫

∫∫∫

===+

≤≤≤≤≤≤−=

zd

xxyzyE

zyxzyxE

dzxyE

Tugas 2.

Tugas 3. Gunakan integral lipat tiga untuk mencari volume benda pejal yang dibatasi silinder x2 + y2 = 9 danbidang z = 1 dan x + z = 5.

30

.2 bidangbawah didan -bidang atas di ,4dan 1silinder

-silinder diantara terletak yang pejal bendaadalah dengan ,V Hitung

.1 paraboloidbawah di terletak yang

pertamaoktan di pejal bendaadalah dengan ,V)( Hitung

.V Hitung

4.dan -5 bidangbidang antara didan 16silinder dalam terletak Misalkan

2222

22

23

22

22

+==+=+

−−=

+

+

==−=+

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

xzxyyxyx

Eyd

yxz

Edxyx

dyx

zzyxE

E

E

E

Tugas 4.

Tugas 5.

Tugas 6.

31

Tugas 7.

Gunakan koordinat bola untuk menghitung

E terletak di antara bola-bola x2 + y2 + z2 = 1 dan x2 + y2 + z2 = 4 di oktan pertama.

∫∫∫E

Vzd

sekian

Materi pertemuan 14 : 16.9 Penggantian Variabel