MA1201 MATEMATIKA 2A · 13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3...
Transcript of MA1201 MATEMATIKA 2A · 13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3...
MA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2019/2020
8 April 2020
Kuliah yang Lalu
13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang
13.2 Integral Berulang
13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah BukanPersegi Panjang
13.4 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Polar
13.5 Penggunaan Integral Lipat Dua
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 2
Soal 1
Tentukan volume bendapejal yang terletak diOktan I dan dibatasi olehparaboloida z = x2 + y2, tabung x2 + y2 = 4, danbidang-bidang koordinat.
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 3
Soal 2
Hitung apabila S
adalah daerah cincin ygdibatasi oleh lingkaranx2 + y2 = 1 dan x2 + y2 = 4.
Soal 1 dan 2 lebih mudahdikerjakan dlm koordinatpolar!
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 4
S
dAx2
1 20
Kuliah Hari Ini
13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang
13.2 Integral Berulang
13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah BukanPersegi Panjang
13.4 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Polar
13.5 Penggunaan Integral Lipat Dua
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 5
10.5 Sistem Koordinat Polar
Sistem Koordinat Polar
Sistem koordinat polar terdiri darisumbu polar (berupa setengah garis, yang berimpit dengan sumbu-x positifpada bidang R2) dan titik asal O.
Setiap titik P pada bidang kemudiandinyatakan dengan jaraknya dari O, sebutlah r, dan besar sudut θ yang dibentuk oleh ruas garis OP dansumbu polar (dihitung berlawananarah dengan arah jarum jam).4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 6
P
O
θ
r
P = P(r,θ)
Hubungan Koordinat Polar danKoordinat Cartesius
Jika P = P(r,θ), maka P dapat dinyatakan dalamkoordinat Cartesius sebagai P = P(x,y) dengan
x = r cos θ dan y = r sin θ.
Sebaliknya, jika P = P(x,y), maka P dapat dinyata-kan dalam koordinat polar P = P(r,θ) dengan
r2 = x2 + y2 dan tan θ = y/x,
dengan penafsiran nilai θ yg tepat untuk x = 0.
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 7
Persamaan Kurva dalam KoordinatPolar
Persamaan lingkaran yang ber-pusat di O dan berjari-jari R dapatdinyatakan secara sederhana dalamkoordinat polar sebagai
r = R, 0 ≤ θ ≤ 2π.
Persamaan setengah garis y = x, dengan x > 0, dapat dinyatakandalam koordinat polar sebagai
θ = π/4, r > 0. 4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 8
R
π/4
Latihan
1. Gambar kurva r = sin 4θ.
2. Buktikan bahwa persamaan r = 8 cos θ me-rupakan persamaan lingkaran yang berpusat dititik (4,0) dan berjari-jari 4. (Petunjuk. Kalikankedua ruas dengan r.) Gambar lingkaran tsb pd bidang.
3/5/2014 (c) Hendra Gunawan 9
Soal
Gambarlah (pada bidang) daerah yang terletak
(i) di dalam lingkaran r = 4 dan juga di dalamlingkaran r = 8 cos θ.
(ii) di dalam lingkaran r = 4 dan di luar lingkaranr = 8 cos θ.
(iii)di luar lingkaran r = 4 dan di dalam lingkaranr = 8 cos θ.
3/5/2014 (c) Hendra Gunawan 10
13.4 INTEGRAL LIPAT DUA DALAMKOORDINAT POLAR
MA1201 MATEMATIKA 2A
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 11
Menghitung integral lipat dua dalamkoordinat polar
Elemen Luas dalam Koordinat Polar
Bila dalam koordinatCartesius elemen luas∆A sama dengan ∆x.∆y, maka dalam koordinatpolar
∆A = r.∆r.∆θ.
Dari mana datangnyarumus ini? Lihatgambar di samping.
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 12
Integral Lipat Duadalam Koordinat PolarDengan substitusi x = r cos θ dan y = r sin θ, integral lipat dua yang semula dinyatakandalam koordinat Cartesius sekarang dinyatakandalam koordinat polar sebagai:
Catatan: Dalam koordinat polar, daerah sepertisetengah lingkaran atau cincin setara dengan“persegi panjang”.4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 13
SS
rdrdrrfdAyxf )sin,cos(),(
Daerah dalam Koordinat PolarDaerah cakram lingkaran
S = {(x,y) | x2 + y2 ≤ R2}
dapat dinyatakan sebagai
S = {(r,θ)|0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π}.
Daerah segitiga yang dibatasioleh sumbu-x, garis y = x, dangaris x = 1, merupakan daerahr-sederhana, dengan
0 ≤ r ≤ sec θ, 0 ≤ θ ≤ π/4.4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 14
R
θ = 0
r =
sec
θ
Contoh 1
Tentukan volume bendapejal yang terletak diOktan I dan dibatasi olehparaboloida z = x2 + y2, tabung x2 + y2 = 4, danbidang-bidang koordinat.
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 15
Jawab: V
244
)(
2/
0
2
0
2/
0
4
2/
0
2
0
222
ddr
rdrdrdAyxS
Contoh 2
Hitung I = apabila
S adalah daerah cincin ygdibatasi oleh lingkaranx2 + y2 = 1 dan x2 + y2 = 4.
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 16
S
dAx2
1 20
Jawab: I =
= …
2
0
2
1
22 .cos rdrdr
Soal 1
Hitung I = bila S adalah daerah
segitiga yang dibatasi oleh sumbu-x, garis y = x, dan garis x = 1.
Jawab: I = …
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 17
S
dAyx 22
1
Soal 2
Tentukan volume bendapejal yang dibatasi olehparaboloida z = x2 + y2, tabung x2 + y2 = 2y, danbidang-XOY.
Jawab: V = …
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 18
Soal 3
Tentukan volume bendapejal yang dibatasi olehparaboloida z = x2 + y2
dan setengah bola bagianatas x2 + y2 + z2 = 6 (z > 0).
Jawab: V = …
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 19
Soal 4
Buktikan bahwa
Jawab:
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 20
0 0
222.
4)1(
1 dydx
yx
13.5 PENGGUNAAN INTEGRAL LIPATMA1201 MATEMATIKA 2A
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 21
Menentukan massa dan pusat massa lamina dengan menggunakan integral lipat dua
Ingat: Distribusi Massa pada Bidang
Misal kita mempunyaisebuah lamina (kepingdatar) dengan rapat massaδ konstan, yang menempatidaerah pada bidang yang dibatasi oleh garis x = a danx = b serta kurva y = f(x) dany = g(x) dengan f(x) ≥ g(x)pada [a, b].
11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 22
∆m ≈ δ[f(x) – g(x)].∆x
∆My ≈ δx[f(x) – g(x)].∆x
∆Mx ≈ ½δ[f(x)2 – g(x)2].∆x
●
y=f(x)
y=g(x)
Momen dan Pusat Massa Lamina
Dari taksiran irisan tadi, kita peroleh
Massa:
Momen thd sb-y:
Momen thd sb-x:
Pusat massa:11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 23
.*;*
)]()([2
)]()([
)]()([
22
m
My
m
Mx
dxxgxfM
dxxgxfxM
dxxgxfm
xy
b
a
x
b
a
y
b
a
Massa dan Pusat Massa Lamina dengan Rapat Massa δ(x,y)
Massa:
Momen
thd Sb-x:
Momen
thd Sb-y:
Pusat Massa:
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 24
x
y
dm=δ(x,y)dA
.*;*
),(
),(
),(
m
My
m
Mx
dAyxyM
dAyxxM
dAyxm
xy
S
x
S
y
S
Catatan. Bila rapat massanya konstan = δ, maka rumus ini sama dgn rumus sebelumnya.
Contoh/Latihan 1
Tentukan massadan pusat massalamina yang dibatasi olehkurva y = x2 dangaris y = 1, dengan rapatmassa di setiaptitik δ(x,y) = y.
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 25
Jawab:
.7
5
5/4
7/4*;0*
.7
4
.0
.5
4
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
yx
dydxyM
xydydxM
ydydxm
x
x
x
y
x
Contoh/Latihan 2
Tentukan massa dan pusat massa lamina ber-bentuk seperempat cakram lingkaran berjari-jari1 di Kuadran I, dgn rapat massa δ(x,y) = x2 + y2.
Jawab:
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 26
Soal
Tentukan massa danpusat massa lamina yang dibatasi olehkardioid r = 1 + sin θ, dengan rapat massakonstan. [Gambarterlebih dahulukardioid tsb!]
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 27