Kumpulan Simetri Finit (Terhingga)& Tujuh Pola Frieze& Tujuh Pola Frieze

Kumpulan Kitaran & Dwihedron(The Cyclic & Dihedral Groups)

KULIAH MINGGU 5_18 JUN 2011

MENGENALI KONSEP KUMPULAN

• Simetri putaran bagi segiempat sama.empat sama.(Rujuk Groves, 2006, p. 85)

EXERCISE 4.6

o R0 R90 R180 R270

R0

CUBA ANDA LENGKAPKAN JADUAL INIR90

R180

R270

CUBA ANDA LENGKAPKAN JADUAL INISECARA BERPASANGAN

ADAKAH INI JAWAPAN ANDA?

O R0 R90 R180 R270

R0 R0 R90 R180 R270

R90 R90 R180 R270 R0

R180 R180 R270 R0 R90

R270 R270 R0 R90 R180

UNSUR IDENTITI

O R0 R90 R180 R270

R0 R0 R90 R180 R270

R90 R90 R180 R270 R0

1. R0 adalah unsur identiti kerana unsur laintidak mengalami perubahan (R0 o R90 = R90)

R180 R180 R270 R0 R90

R270 R270 R0 R90 R180

SIFAT KALIS TUKAR TERTIB

O R0 R90 R180 R270

R0 R0 R90 R180 R270

R90 R90 R180 R270 R0

2. Operasi ‘o’ bersifat kalis tukar tertib (commutative)ie R90 o R180 = R180 o R90 = R270

R180 R180 R270 R0 R90

R270 R270 R0 R90 R180

UNSUR SONGSANGAN

O R0 R90 R180 R270

R0 R0 R90 R180 R270

R90 R90 R180 R270 R0

3. Setiap unsur mempunyai songsangan.(Apakah unsur songsang bagi setiap unsur dalam jadual?)

R180 R180 R270 R0 R90

R270 R270 R0 R90 R180

AKSIOM KUMPULAN

• An axiom is anymathematical statementthat serves as a startingpoint from which otherstatements are logicallyderived.

• Suatu set G bersamasuatu operasi ‘o’ditakrifkan sebagai suatukumpulan jika– Set G dengan operasi ‘o’

adalah set tertutup– Operasi ‘o’ bersifat kalis– Operasi ‘o’ bersifat kalis

sekutuan(A o B) o C = A o (B o C)

– Terdapat unsur identiti , I,dalam set G di manaA o I = I o A = A

– Setiap unsur dalam set Gmempunyai unsursongsangan dalam set GA o A-1 = A-1 o A = I

AXIOM TERTUTUP(CLOSURE)

O R0 R90 R180 R270

R0 R0 R90 R180 R270

R90 R90 R180 R270 R0

Adakah set G = {R0, R90, R180, R270} tertutup denganoperasi ‘o’ [diikuti dengan]?

R180 R180 R270 R0 R90

R270 R270 R0 R90 R180

KALIS SEKUTUAN (ASSOCIATIVITY)

O R0 R90 R180 R270

R0 R0 R90 R180 R270

R90 R90 R180 R270 R0

Adakah set G = {R0, R90, R180, R270} mempunyai sifatkalis sekutuan?

R180 R180 R270 R0 R90

R270 R270 R0 R90 R180

UNSUR IDENTITI (IDENTITY)

O R0 R90 R180 R270

R0 R0 R90 R180 R270

R90 R90 R180 R270 R0

Adakah set G = {R0, R90, R180, R270} mempunyaiunsur identiti?

R180 R180 R270 R0 R90

R270 R270 R0 R90 R180

AXIOM SONGSANGAN (INVERSE)

O R0 R90 R180 R270

R0 R0 R90 R180 R270

R90 R90 R180 R270 R0

Adakah unsur songsangan bagi setiap unsurG = {R0, R90, R180, R270} juga berada dalam set G?

R180 R180 R270 R0 R90

R270 R270 R0 R90 R180

KESIMPULAN• G={R0, R90, R180, R270}

bersama operasi“diikuti dengan”merupakan suatukumpulan kerana ia

• Kumpulan tersebutdinamakan KumpulanSimetri PutaranSegiempat Sama(Group of Rotationalkumpulan kerana ia

mematuhi keempat-empat aksiomkumpulan

(Group of RotationalSymmetries of theSquare)

KUMPULAN SIMETRISEGITIGA SAMA SISISEGITIGA SAMA SISI

Kumpulan Simetri Segitiga Sama Sisi

Segitiga sama sisi sebelum pergerakan atauselepas pergerakan yang tidak mengubah

kedudukan (cth putaran 360 darjah).

Putaran 120o Ikut Arah Jam

Kedudukan segitiga setelah diputarkan120 darjah ikut arah jam.

(Perhatikan kedudukan A, B and C)

Putaran 240o Ikut Arah Jam

Kedudukan segitiga setelah diputarkan240 darjah ikut arah jam.

(Perhatikan kedudukan A, B and C)

Pantulan: Paksi melalui Bucu A

REVERSESIDE

Kedudukan segitiga setelah dipantulkanpada paksi melalui bucu A.

(Perhatikan kedudukan baru A, B and C)

SIDE

Pantulan: Paksi melalui Bucu B

REVERSESIDE

Kedudukan segitiga setelah dipantulkanpada paksi melalui bucu B.

(Perhatikan kedudukan baru A, B and C)

SIDE

Pantulan: Paksi melalui Bucu C

REVERSESIDE

Kedudukan segitiga setelah dipantulkanpada paksi melalui bucu C.

(Perhatikan kedudukan baru A, B and C)

SIDE

Kumpulan Simetri Bagi Segitiga

Segitiga sama sisimempunyai enamsimetri• Tiga simetri putaran

– R

• Tiga simetri garisan– Pantulan pada paksi

melalui bucu A (MT)– Pantulan pada paksi– R0

– R120

– R240

– Pantulan pada paksimelalui bucu B (ML)

– Pantulan pada paksimelalui bucu C (MR)

6 Kedudukan Berbeza

REVERSE REVERSE REVERSE

6 Kedudukan Berbeza

REVERSE

R120 MT

Dapatkah anda kenalpasti satu simetri yang mempunyaikesan yang sama dengan R120 diikuti dengan MT?

R120 o MT = MR

Cuba Lengkapkan Jadual Ini

o R0 R120 R240 MT ML MR

R0 ? ? ? ? ? ?

R120 ? ? ? ? ? ?

R240 ? ? ? ? ? ?

MT ? ? ? ? ? ?

ML ? ? ? ? ? ?

MR ? ? ? ? ? ?

Mulakan Dengan Simetri Putaran

o R0 R120 R240 MT ML MR

R0 ? ? ?

R120 ? ? ?

R240 ? ? ?

MT

ML

MR

Consider only the Rotations

o R0 R120 R240 MT ML MR

R0 R0 R120 R240

R120 R120 R240 R0

R240 R240 R0 R120

MT

ML

MR

Teruskan ….

o R0 R120 R240 MT ML MR

R0 R0 R120 R240 ? ? ?

R120 R120 R240 R0 ? ? ?

R240 R240 R0 R120 ? ? ?

MT ? ? ? ? ? ?

ML ? ? ? ? ? ?

MR ? ? ? ? ? ?

Kumpulan Simetri Penuh(The Full Symmetry Group)

o R0 R120 R240 MT ML MR

R0 R0 R120 R240 MT ML MR

R120 R120 R240 R0 MR MT ML

R240 R240 R0 R120 ML MR MT

MT MT ML MR R0 R120 R240

ML ML MR MT R240 R0 R120

MR MR MT ML R120 R240 R0

AKSIOM KUMPULAN

• Kumpulan ini adalahtertutup. Setiap hasil bagiA o B G

• Sifat kalis sekutuandimaerkan oleh kumpulan

• Terdapat unsur identiti(Apakah unsur identiti?)

• Setiap unsur mempunyaisongsangannya?– Songsangan R0?

dimaerkan oleh kumpulanini (Cuba buktikan)

– Songsangan R ?– Songsangan R120?– Songsangan R240?– Songsangan MT?– Songsangan MR?– Songsangan ML?

Simetri Putaran: Sub-kumpulandaripada Kumpulan Simetri

o R0 R120 R240 MT ML MR

R0 R0 R120 R240 MT ML MR

R120 R120 R240 R0 MR MT ML

R240 R240 R0 R120 ML MR MT

MT MT ML MR R0 R120 R240

ML ML MR MT R240 R0 R120

MR MR MT ML R120 R240 R0

Kumpulan Kitaran (Cyclic Groups)

Suatu kumpulan bersifat kitaran (cyclic)jika seluruh kumpulan dapat dijanakanoleh salah satu unsur / ahli dalamkumpulan tersebutkumpulan tersebut

The Cyclic Group of Order 3, C3

o R0 R120 R240 R120 = R120

R0 R0 R120 R240 (R120)2 = R120 o R120 = R240

R120 R120 R240 R0 (R120)3 = R360 = R0

R240 R240 R0 R120 R120 = penjana kumpulan

Oleh kerana sub-kumpulan ini mempunyai 3ahli {R0, R120, R240}, ia dinamakan KumpulanKitaran Tertib 3, C3

Kumpulan Dwihedron, Dn(The Dihedral Group, Dn)

• Kumpulan Simetri Penuh poligon sekatayang mempunyai n sisi mengandungi 2nunsur

• Terdapat n simetri putaran dan n simetri• Terdapat n simetri putaran dan n simetripantulan

• Kumpulan simetri ini dikenali sebagaiKumpulan Dwihedron, Dn

Kumpulan Dwihedron, D3(The Dihedral Group, D3)

• Segiempat sama sisi adalah poligonsekata yang mempunyai 3 sisi

• Oleh itu, kumpulan simetrinya terdiridaripada 6 (2x3) unsur, iaitu

• Oleh itu, kumpulan simetrinya terdiridaripada 6 (2x3) unsur, iaitu– 3 simetri putaran &– 3 simetri pantulan

• Kumpulan simetri tersebut dikenalisebagai Kumpulan Dwihedron, D3

Menjana Kumpulan Dwihedron, Dn

• Kumpulan Dwihedron, Dn boleh dijanakandengan menggunakan– satu putaran dan satu pantulan (rujuk contoh

Kumpulan D )Kumpulan D3)– dua pantulan pada paksi pantulan yang

bersebelahan (adjacent mirrors)– Sudut antara dua paksi pantulan ialah 360/2n

• Contoh menjana Kumpulan D9 bolehdilihat pada muka surat 94