3

OPERASI LIMIT, KEKONTINUAN, TURUNAN DAN INTEGRAL DALAM MAPLELAPORAN PRAKTIKUM MATEMATIKA DASAR

OlehBerta Yuda Sisilia Putri

NIM 131810301051Laboratorium Matematika Dasar

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Jember

2013

BAB 1. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Limit fungsi di suatu titik dan tak hingga merupakan dasar dari materi kalkulus. Turunan dan Integral, yang merupakan materi dari kalkulus dibangun dari konsep limit. Limit sendiri merupakan suatu pendekatan matematika dimana bilangan yang didekati itu sendiri tidak termasuk ke dalamnya.

Secara tidak langsung karena limit merupakan dasar dari kalkulus, maka mengetahui konsep dasar limit akan sangat berpengaruh dalam pemahaman kalkulus. Apabila penguasaan akan limit bagus, makan konsep kalkulus seperti turunan dan integral akan mudah untuk dikerjakan yang juga akan di lakukan dalam praktikum kali ini.

Berkaitan dengan software Maple yang digunakan, praktikum ini dilakukan agar mahasiswa mengerti cara menerapkan dan menulis limit fungsi matematika,turunan juga integral dalam Maple untuk membantu perhitungan.1.2 Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah dalam praktikum kali ini, yaitu :a. Bagaimana penulisan limit dan kekontinuan dalam Maple?b. Bagaimana penulisan turunan (differensial) dan integral dalam Maple ?

c. Bagaimana penyelesaian limit dan kekontiuan dalam Maple ?

d. Bagaimana penyelesaian turunan dan integral dalam Maple ?

1.3 Tujuan

Adapun tujuan dalam praktikum kali ini, yaitu :a. Mengetahui penulisan limit dan kekontinuan dalam Maple.b. Mengetahui penulisan turunan dan integral dalam Maple.c. Mengetahui penyelesaian limit dan kekontinuan dalam Maple.d. Mengetahui penyelesaian turunan dan integral dalam Maple.BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA

Suatu fungsi f mempunyai limit L ketika x mendekati satu titik a. Hal tersebut dituliskan suatu fungsi f mempunyai limit L ketika x mendekati satu nilai tertentu c, ditulis dengan notasi = L memiliki arti untuk setiap x yang cukup dekat dengan a tetapi x tidak sama dengan a, nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L. Nilai limit fungsi tersebut adalah harga yang didekati fungsi jika variable fungsi tersebut mendekati bilangan a. Proses pendekatan ini bisa dari kiri (disebut limit kiri) dan bisa dari kanan (disebut limit kanan). Suatu fungsi akan dikatakan memiliki limit apabila limit kiri dan limit kanannya sama (Heri, 2005).

Limit memiliki teorema sendiri. Teorema limit yakni :a. Limit suatu fungsi konstanta nilainya sama dengan konstanta itu.b. Limit suatu fungsi identitas sama dengan nilai pendekatan peubahnyac. Limit jumlah beberapa fungsi sama dengan jumlah masing-masing limit fungsi. Limit selisih beberapa fungsi sama dengan selisih masing-masing limit fungsi.d. Limit hasil kali konstanta dengan suatu fungsi sama dengan hasil kali konstanta dengan limit fungsi itu.e. Limit hasil kali beberapa fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limit fungsi.f. Limit hasil bagi beberapa fungsi sama dengan hasil bagi masing-masing limitnya dengan catatan limit penyebut tak boleh sama dengan nol.g. Limit fungsi pangkat n sama dengan pangkat n dari limit fungsi itu.h. Limit akar pangkat n dari suatu fungsi sama dengan akar pangkat n dari limit fungsi itu (Widyanto, 2009).Sifat-sifat kekontinuan fungsi di suatu interval

Jika fungsi F kontinu pada [a,b], maka f terbatas pada [a,b]

Torema Nilai antara (TNA)

Jika fungsi f kontinu pada [a,b] dan k terletak antara f(a) dan f(b), maka terdapat ce[a,b] sedemikian sehingga f(c)=k.

Akibat TNA

Jika f kontinu pada [a,b] dan f(a).f(b) Limit(f(x),x=a);

> Limit(5*x^2-3*x,x=2);

Jika ingin menampilkan hasil limit maka menggunakan rumus limit menggunakan l awalan kecil di depan, seperti :> limit(5*x^2-3*x,x=2);

Nilai limit fungsi tersebut adalah harga yang didekati fungsi jika variable fungsi tersebut mendekati bilangan a. Proses pendekatan ini bisa dari kiri (disebut limit kiri) dan bisa dari kanan (disebut limit kanan). Dalam penulisan limit kiri serta limit kanan pada maple, hanya menambahi bagian belakang dengan left jika kiri maupun right jika kanan, seperti :> Limit(5*x^2-3*x,x=2,left);

> Limit(5*x^2-3*x,x=2,right);

Tanda positif menunjukkan pendekatan limit dari kanan (limit kanan) dan tanda negatif menunjukkan pendekatan limit dari kiri (limit kiri). Untuk mengetahui hasil seperti di atas maka menggunakan rumus limit dengan huruf kecil semua, suatu fungsi akan dikatakan memiliki limit apabila limit kiri dan limit kanannya sama, seperti :

> limit(5*x^2-3*x,x=2,left);

> limit(5*x^2-3*x,x=2,right);

Untuk Kekontinuan, fungsi dikatakan kontinu di setiap titik jika grafik fungsi tersebut berkesinambungan / tidak terputus.Jika grafik fungsi terputus di x = a maka fungsi tersebut dikatakan diskontinu di x = a. Untuk membuktikan kekontinuan suatu fungsi dalam maple maka menggunakan rumus iscont dalam akhir sebelum kurung ditulis pada titik berapa yang di uji kekontinuannya, seperti :> iscont(5*x^2-3*x,x=0..2);

> iscont(5*x^2-3*x,x=0..2,'closed');

> iscont(5*x^2-3*x,x=0..2,'open');

> iscont(2*x^2-5/(x-2),x=0..2,'closed');

Hasilnya true berarti fungsi itu kontinue terhadap titik tersebut, sedangkan jika hasilnya false berarti fungsi tersebut tidak kontinue (diskontinue) pada titik tersebut. Penambahan kata closed dan open setelah titik uji sebelum kurung dimaksudkan menguji kekontinuan pada interval tertutup dan terbuka, dimana dalam penulisan suatu grafik biasanya berwarna bulat penuh untuk interval tertutup dan bulat saja untuk interval terbuka.

Rumus selanjutnya adalah tentang turunan. Turunan ( diferensial ) merupakan pengembangan konsep dari limit yang sudah dibahas sebelumnya. Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval terbuka yang memuat c. Turunan fungsi f di titik c, ditulis dengan f . Penulisan diferensial atau turunan pada maple menggunakan rumus Diff sama seperti limit, jika ingin menuliskan saja fungsinya maka menggunakan awalan huruf besar dan jika ingin menampilkan hasil turunan tersebut maka menggunakan awalan huruf kecil yaitu diff , seperti :> Diff(3*x^2+6*x*y-y^2,x);

> diff(3*x^2+6*x*y-y^2,x);

Jika ingin diturunkan terhadap x maka sebelum penutup kurung dituliskan x dengan pemisah tanda koma setelah fungsi, jika ingin di turunkan terhadap y maka ditulis y. Untuk penurunan satu kali dapat dilakukan seperti di atas, namun jika ingin melakukan penurunan sebanyak beberapa kali maka menggunakan tanda $ dibelakang x sebelum kurung, seperti :> Diff(3*x^2+2*x-8,x$2);

> diff(3*x^2+2*x-8,x$2);

Contoh di atas merupakan penurunan fungsi sebanyak 2 kali penurunan.

Integral dibagi menjadi dua yaitu integral tentu dan integral tak tentu. Integral tak tentu untuk fungsi f yang terdefinisi pada selang terbuka I, dapat ditentukan suatu fungsi F yang memenuhi F=f. Fungsi F seperti ini disebut anti turunan (integral) dari f. Sedangkan integral tentu digunakan untuk menentukan luas daerah, volume benda, panjang busur serta luas permukaan benda putar, yang pada dasarnya sudah dibatasi grafik fungsi f, garis x=a, garis x=b dan sumbu x dengan f(x) 0, x [a,b]. Untuk penulisan integral dalam maple sama seperti yang lain yaitu menggunakan awalan huruf besar dan jika ingin menampilkan hasil maka menggunakan awalan huruf kecil, seperti :> Int(2*x^3-5*x,x);

> int(2*x^3-5*x,x);

> Int(2*x^3-5*x,x=1..5);

> int(2*x^3-5*x,x=1..5);

Untuk integral tak tentu maka x tidak diberi batasan sedangkan untuk integral tentu maka x diberi batasan seperti contoh di atas. Jika ingin meng-integralkan sebanyak beberapa kali maka penulisan batas antara integral satu dengan lainnya dipisahkan tanda koma, seperti :

> Int(2*x^3-5*x,x=0..1,x=1..2);

> int(2*x^3-5*x,x=0..1,x=1..2);

BAB 5. PENUTUP5.1 Kesimpulan

Adapun kesimpulan yang dapat diambil dari praktikum kali ini, yaitu :

a. Fungsi yang digunakan dalam praktikum kali ini yaitu fungsi limit, kekontinuan, turunan serta integral.b. Beberapa rumus dalam penyelesaian soal dalam maple, limit untuk menyelesaikan limit, iscont untuk kekontinuan, diff untuk turunan dan int untuk integral. Hanya untuk rumus dengan awalan huruf besar untuk menuliskan fungsi sedangkan awalan huruf kecil untuk menyelesaikan fungsi.5.2 Saran

Untuk memasukkan beberapa rumus dalam maple perlu pemahaman rumus dalam penggunaanya. Bagi praktikan selanjutnya diharapkan supaya lebih teliti dalam memakai beberapa rumus, karena kurang ketelitian dalam rumus bisa menyebabkan error maupun hasil yang tidak valid.

DAFTAR PUSTAKAHeri, Robertus. 2005. Buku Ajar Kalkulus I. Semarang : Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Diponegoro Semarang.Purcell, Edwin J. 1987. Kalkulus dengan Geometri Analitik. New York : Prentice-Hall. Inc.Widyanto, Ardy. 2009. Limit Matematika. http://matematikalc.angelfire.com/limit.htm [16 November 2013].LAMPIRANNama : Berta Yuda Sisilia Putri

NIM : 131810301051

Jurusan : KimiaSoal

1) a. b. pada x=0..3

c. 2)

b.

Jawaban

1.

> f(x):=sqrt(sqrt(x*sqrt(x^2-1))/sqrt(2*x^3+1));

A)> Limit(f(x),x=(1/4)*b);

> limit(f(x),x=(1/4)*b);

B)

> iscont(f(x),x=0..3);

C)

> Diff(f(x),x$3);

> diff(f(x),x$3);

2.

> f(A):=(7*x^4*y^3+5*x^2*y^2+3*y^4)/(2*x^4*y^4);

A)> Int(f(A),y=2..4);

> int(f(A),y=2..4);

B)

> Diff(f(A),y$2,x$3);

> diff(f(A),y$2,x$3);

3.

> f(A):=3*x^2/sqrt(2*x^3+1);

> Int(f(A),x=2..3,y=1..2,z=2..4);

> int(f(A),x=2..3,y=1..2,z=2..4);