BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan

yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan

mengubahnya kedalam bahasa atau persamaan matematika maka persoalan

tersebut dapat diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali

memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita

mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya.

Bahkan dinegara maju sering ditemukan model ekonomi yang harus

memecahkan suatu sistem persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel

yang nilainya harus ditentukan.

Matriks, pada dasarnya merupakan suatu alat atau instrumen yang

cukup ampuh untuk memecahkan persoalan tersebut. Dengan menggunakan

matriks memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa yang mencakup

hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. Pada awalnya matrik

ditemukan dalam sebuah studi yang dilakukan oleh seorang ilmuan yang

berasal dari Inggris yang bernama Arthur Cayley (1821-1895) yang mana

studi yang dilakukan untuk meneliti persamaan linier dan transformasi linear,

awal dari semua ini matrik dianggap sebagai sebuah permainan karena matrik

dapat diaplikasikan, sedangkan pada tahun 1925 matrik digunakan sebagai

kuantum dan pada perkembangannya matrik digunakan dalam berbagai

bidang.

B. Tujuan

Tujuan penyusunan makalah ini selain untuk memenuhi tugas

matakuliah matematika adalah untuk dapat menggunakan konsep matriks,

vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah. Pun untuk mengatahui

operasi hitungan matrik dan penggunaannya dalam bidang radiologi.

C. Batasan Masalah

Karena banyaknya perhitungan matematika yang digunakan dalam

bidang radiologi maka penulis hanya akan membahas mengenai matrik.

D. Rumusan Masalah

Rumusan masalah makalah ini adalah :

1. Dasar teori perhitungan matrik.

2. Penerapan matrik pada bidang radiografi.

E. Metode Penulisan

Dalam penyusunan makalah ini penulis menggunakan metode

penelitian studi pustaka.

F. Sistematika Penulisan

Dalam penyusunan makalah ini sistematika penulisan secara garis

besar adalah :

BAB I merupakan pendahuluan yang berisi tentang latar belakang,

tujuan, batasan masalah, rumusan masalah, metode penelitian dan

sistematika penulisan.

BAB II berisi pembahasan tentang dasar teori matrik dalam

BAB III berisi kesimpulan dan saran.

G. Manfaat Penulisan

1. Dapat mengetahui operasi matematika mengenai matrik.

2. Dapat menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam

pemecahan masalah

3. Dapat mengetahui penerapan perhitungan logaritma dalam bidang

radiologi.

BAB II

PEMBELAJARAN

A. PENGERTIAN MATRIKS

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk baris

dan kolom. Bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom disebut elemen

matriks. Nama matriks ditulis dengan menggunakan huruf kapital. Banyaknya

baris dan kolom matriks disebut ordo matriks.

Bentuk umum :

A =

[a1. 1 a1 .2 a1. 3 . .. a1. n

a2. 1 a2 .2 a2. 3 . .. a2. n

a3 . 1 a3 . 2 a3. 3 . .. a3. n

: : : . .. :am . 1 am . 2 am .3 . .. am . n

]a1. 1= elemen matriks pada baris 1, kolom 1

a1. 2= elemen matriks pada baris 1, kolom 2

a1. 3= elemen matriks pada baris 1, kolom 3

.

.

.

am . n= elemen matriks pada baris m, kolom n

Contoh :

B = [ 2 5 −4−1 6 7 ]

Ordo matriks B adalah B2 x 3

a1. 3= - 4

a2. 2= 6

B. JENIS-JENIS MATRIKS

1. Matriks baris

adalah matriks yang hanya memiliki satu baris

Contoh : A = [ 2 3 0 7 ]

2. Matriks kolom

adalah matriks yang hanya memiliki satu kolom

Contoh : C = [ 2−107

]3. Matriks persegi

adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.

Contoh : A = [2 0 5 31 8 6 45 9 0 67 −3 −5 10

]Diagonal samping Diagonal utama

4. Matriks Identitas

adalah matriks persegi yang elemen-elemen pada diagonal utamanya 1,

sedangkan semua elemen yang lainnya nol.

Contoh :

A = [1 00 1 ]

B = [1 0 00 1 00 0 1 ]

5. Matriks segitiga atas

adalah matriks persegi yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya nol.

Contoh :

A = [2 3 −10 1 40 0 5 ]

6. Matriks segitga bawah

adalah matriks persegi yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya nol.

Contoh :

B = [2 0 09 1 03 2 5 ]

7. Matriks nol

adalah matriks yang semua elemennya nol.

Contoh :

C = [0 0 00 0 0 ]

C. TRANSPOSE MATRIKS

Transpose matriks adalah perubahan bentuk matriks dimana elemen

pada baris menjadi elemen pada kolom atau sebaliknya.

Contoh :

A = [ 2 4 1−3 5 0 ]

At = AT = A = [2 −34 51 0 ]

D. KESAMAAN MATRIKS

Dua matriks dikatakan sama jika, keduanya mempunyai ordo yang

sama dan elemen-elemen yang seletak juga sama.

Contoh 1 :

A = B

[2 −35 4 ]

= [63

9−3

5 4 ]

Contoh 2 : Tentukan nilai a dan b dari kesamaan matriks berikut

a.[3a −42b −5 ]=[−12 −4

9 −5 ]3a = -12

a = -12/3

a = -4

2b = 9

b = 9/2

b = 4,5

b.

[−1 6 a−14 a+5 3 ]=[−1 3 b+2

2a 3 ]4a + 5 = 2a

4a – 2a = -5

2a = -5

a = -5/2

6a – 1 = 3b + 2

6(-5/2) – 1 = 3b + 2

-15 – 1 = 3b + 2

-16 = 3b + 2

3b = 18

b = 6

E. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS

1. PENJUMLAHAN MATRIKS

Dua matriks dapat dijumlahkan, jika keduanya berordo sama, dengan

cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak. Penjumlahan matriks hanya

dapat dilakukan terhadap matriks-matriks yang mempunyai ukuran (orde)

yang sama. Jika A=(aij ) dan B=(bij ) adalah matriks-matriks berukuran sama,

maka A+B adalah suatu matriks C=(cij ) dimana (cij ) = (aij ) +(bij ) atau [A]+[B]

= [C] mempunyai ukuran yang sama dan elemennya (cij ) = (aij ) +(bij ).

Contoh :

1. [ 2 4−3 5 ]+[1 −4

5 6 ]=[3 02 11 ]

2. A= B= C= maka

A+B = + = =

A+C = +

A+C tidak terdefinisi (tidak dapat dicari hasilnya) karena matriks A

dan B mempunyai ukuran yang tidak sama.

3 14 2

0 21 3

3 14 2

0 21 3

3+0 1+24+1 2+3

3 35 5

1 0 21 0 5

3 14 2

1 0 21 0 5

2. PENGURANGAN MATRIKS

Dua matriks dapat dikurangkan, jika keduanya beorodo sama, dengan

cara mengurangkan elemen-elemen yang seletak. Sama seperti pada

penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada

matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berlainan

maka matriks hasil tidak terdefinisikan.

Contoh :

1.[ 2 7 4−3 −6 −5 ]−[−1 3 5

2 4 −7 ]=[ 3 4 −1−5 −10 2 ]

2.

A= B= maka

A-B = - = =

F. PERKALIAN MATRIKS

1. PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL

Suatu matriks dikalikan dengan bilangan real k, maka setiap elemen

matriks tersebut dikalikan dengan k.

Contoh :

2[−3 5

4 6 ]=[−6 108 12 ]

3 44 5

0 23 4

3 44 5

0 23 4

3-0 4-24-3 5-4

3 21 1

2. PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR

Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(aij ) maka matriks kA=(kaij )

yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen

matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di

depan atau dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (cij ) = (kaij ).

Contoh :

A= maka 2A=

Pada perkalian skalar berlaku hukum distributif dimana k(A+B)=kA+kB.

Contoh :

A= B= dengan k=2, maka

K(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B

2(A+B) = 2 + = 2 =

2A+2B = 2 + 2 =

1 2 3 0 -1 5

2* 1 2*2 2* 32* 0 2*-1 2*5

0 12 -1

3 41 1

0 12 -1

3 41 1

3 53 0

6 106 0

0 12 -1

3 41 1

6 106 0

3. PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS

Beberapa hal yang perlu diperhatikan :

1. Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif.

2. Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama

matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.

3. Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian

A*B adalah suatu matriks C=(cij ) berukuran mxn dimana

cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ………………….+ aipbpj

Contoh : 1) A= dan B= maka

A x B= * = =

2) A= dan B= maka

A x B = =

3 2 13

1

0

3 2 1

3

1

0(3*3) + (2*1) + (1*0) 11

3 2 1

1 2 1

3

1

0

(3*3) + (2*1) + (1*0)

(1*3) + (2*1) + (1*0)

11

5

Beberapa Hukum Perkalian Matriks :

1. Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC

2. Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C

3. Tidak Komutatif, A*B B*A

4. Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan

(i) A=0 dan B=0

(ii) A=0 atau B=0

(iii) A0 dan B0

5. Bila A*B = A*C, belum tentu B = C

4. PERKALIAN DUA MATRIKS

Dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks sebelah kiri

sama dengan banyaknya matriks sebelah kanan.

Am x n . Bp x q = Cm x q

n = p

Contoh :

1.

[2 −33 4 ] .[−1 0

1 5 ]=[2 .(−1)+(−3 ). 1 2.0+(−3) .53 .(−1)+4 .1 3 .0+4 .5 ]=[−2+(−3 ) 0+(−15 )

(−3)+4 0+20 ]

= [−5 −15

1 20 ]

2.[1 54 0 ] .[23 ]=[1 .2+5 . 3

4 .2+0. 3]=[2+158+0 ]=[17

8 ]

3.[2 31 1 ]. [0 −1 2

1 −3 3 ]=[0+3 −2−9 4+90+1 −1−3 2+3 ]=[3 −11 13

1 −4 5 ]

4.[123 ] . [ 2 4 ]=[2 4

4 86 12 ]

G. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS ORDO 2X2

Jika matriks A = [a bc d ]

, determinan dari matriks A dinotasikan det A atau

A = ad - bc

Invers matriks A dinyatakan dengan notasi A-1 =

1ad−bc [ d −b

−c a ] Jika ad – bc = 0, maka matriks tidak mempunyai invers disebut matriks

singular.

Jika ad – bc ¿ 0, maka matriks mempunyai invers disebut matriks non

singular.

Contoh :

Diketahui A = [2 51 3 ]

, Tentukan determinan dan invers matriks A.

Det A = ad – bc

= 2.3 – 5.1

= 6 – 5

= 1

A-1 =

1ad−bc [ d −b

−c a ]

A-1 =

11 [ 3 −5

−1 2 ]=

[ 3 −5−1 2 ]

H. PERSAMAAN MATRIKS

1. A.X = B

A-1.A.X = A-1.B

I.X = A-1.B

X = A-1.B

Jadi jika A.X = B, maka X = A-1.B

2. X.A = B

X.A.A-1 = B.A-1

X.I = B.A-1

X = B.A-1

Jadi jika X.A = B, maka X = B.A-1

Contoh : Tentukan matriks X nya

1.[3 11 2 ]. X=[5 −15

0 10 ]

X=[3 11 2 ]−1

.[5 −150 10 ]

= 1

6−1 [ 2 −1−1 3 ] .[5 −15

0 10 ]

=1

5 [10 −40−5 45 ]

=[ 2 −8

−1 9 ]

2.X .[1 2

1 4 ]=[ 6 −4−2 4 ]

X=[ 6 −4

−2 4 ] .[1 21 4 ]−1

X=[ 6 −4

−2 4 ] . 14−2 [ 4 −2

−1 1 ]

X=1

2.[ 6 −4−2 4 ] .[ 4 −2

−1 1 ]

X=1

2.[28 −16−12 8 ]

X=[14 −8

−6 4 ]

I. PEMAKAIAN INVERS MATRIKS

Invers matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Contoh :

Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan matriks

x + 7y = 13

2x + 5y = 8

Jawab :

[1 72 5 ] .[xy ]=[13

8 ]

[ x

y ]=[1 72 5 ]−1

.[138 ]

[ x

y ]= 15−14 [ 5 −7

−2 1 ] .[138 ]

[ x

y ]= 1−9 [ 9

−18]

[ x

y ]=[−12 ]

jadi x = -1, dan y = 2

J. APLIKASI MATRIKS DI BIDANG RADIOLOGI

1. MATRIKS DALAM COMPUTERIZED TOMOGRAPHY

SCANNER (CT SCAN)

Pemindai CT-scan atau CT-scanner (computerized tomography scanner)

mesin sinar-x khusus yang mengirimkan berbagai berkas pencintraan secara

bersamaan dari sudut yang berbeda. Berkas-berkas sinar-X melewati tubuh dan

kekuatannya diukur dengan algoritma khusus untuk pencitraan. Dalam

matematika, matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk

persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang

terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. CT

scanner menggunakan ukuran acuan/matriks lebih tinggi bersamaan dengan

algoritma belokan terpilih untuk meningkatkan tampilan resolusi (display).

Rekonstruksi matriks adalah deretan baris dan kolom dari picture element

(pixel) dalam proses perekonstruksian gambar. Rekonstruksi matriks ini

merupakan salah satu struktur elemen dalam memori komputer yang berfungsi

untuk merekonstruksi gambar. Pada umumnya matriks yang digunakan berukuran

512x512 yaitu 512 baris dan 512 kolom. Rekonstruksi matriks berpengaruh

terhadap resolusi gambar. Semakin tinggi matriks yang dipakai maka semakin

tinggi detail gambar yang dihasilkan. CT scanner boleh menggunakan ukuran

acuan/matriks rekonstruksi 512 X 512 dengan ukuran pilihan pixel antara 0.06

dan 1 mm. Ketika gambaran ini ditampilkan, pada gambar ukuran acuan/matriks

1024X1024 memudahkan perbedaan menyangkut detail anatomis dan lebih tajam

membuat garis demarkasi struktur anatomic dengan kontras tinggi. Scanner yang

lain boleh menggunakan suatu ukuran acuan/matriks rekonstruksi 1024 X 1024

dan suatu resolusi tampilan tinggi (1024X1280) untuk memberi suatu resolusi 20

lp/cm.

BAB III

KESIMPULAN

Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut

elemen), disusun dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan

kolom-kolom. Ordo atau ukuran dari suatu matriks adalah banyak baris dan

kolom dari suatu matriks. Susunan horizontal disebut dengan baris. Susunan

vertikal disebut kolom. Matriks memiliki banyak jenis, diantaranya matriks

baris, matriks kolom, matriks persegi, matriks identitas, matriks segitiga atas,

matriks segitiga bawah, dan matriks nol. Matriks juga mempunyai peran dalam

bidang radiologi, salah satu contoh adalah aplikasinya dalam CT Scan.

DAFTAR PUSTAKA

Pemerintah Kota Semarang, 2006. Matematika Program Ilmu Pengetahuan Sosial,

Semarang :

H. Sunardi, Slamet Waluyo, Sutrisno, H. Subagya, 2005. Matematika IPS, Penerbit

Bumi Aksara, Jakarta.

Wilson Simangunsong, 2005. Matematika Dasar, Penerbit Erlangga, Jakarta.