Matematika sudah ada jauh sebelum perindustrian ada!

Sumber: Koran Sindo

Matematika,Budaya, dan Teknologi

Hendra Gunawan

Seminar Matematika

Universitas Islam Negeri Bandung

4 November 2019

PENDAHULUAN: APA ITU MATEMATIKA

Sumber gambar: xkcd.comHendra Gunawan (2019)4/11/2019 3

Seperti halnya ilmu alam, matematika jugaberurusan dengan fakta-fakta yang diterimasebagai kebenaran (truth).

Bedanya, matematikawan tidak menerimakebenaran itu melalui eksperimen di laboratorium atau pengamatan terhadapobjek yang dikajinya --- yang secara umummemang belum tentu ada secara fisis ---

tetapi melalui suatu pembuktian yang bertumpu pada logika matematika sertasejumlah aksioma yang ditetapkan dan dalilyang telah dibuktikan sebelumnya.4/11/2019 Hendra Gunawan (2019) 4

Dalam buku Experiencing Mathematics, Reuben Hersh 'mendefinisikan' matematikasebagai ilmu yang terdiri atas fakta-faktayang diterima kebenaran-nya,

tetapi objek yang dipelajarinya bukanmerupakan sesuatu yang dapat dipegang, dilihat, atau empiris.

Objek yang dipelajarinya merupakangagasan atau konsep, yang ada dan dapatdibayangkan oleh pikiran manusia.

4/11/2019 Hendra Gunawan (2019) 5

A mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns. If his patterns are more permanent than theirs, it is because they are made with ideas.G.H. Hardy (1877-1947)

BERMULA DARI BILANGAN

Sumber gambar: www.britannica.comHendra Gunawan (2019)4/11/2019 7

BILANGAN IRASIONAL √2 DAN Π

Sumber gambar: cartoonsmix.comHendra Gunawan (2019)4/11/2019 8

√2 sebagai Pecahan Berlanjut

Sumber gambar: warosu.orgHendra Gunawan (2019)4/11/2019 9

Π dan Luas Lingkaran

33

r

Hendra Gunawan (2019)4/11/2019 10

Aproksimasi Archimedes

Hendra Gunawan (2019)4/11/2019 11

WARISAN BUDAYA MATEMATIKA

Sumber gambar: cartoonstock.com

Bilangan rasional

Bilangan real

Bilangan genap

Bilangan ganjil

Bilangan genap

Turunan

Integral

Fungsi

Ruang vektor

Sudut antaradua subruang

Subruang

Deret

Limit

Barisan

Newton & Leibniz

Hendra Gunawan (2019)4/11/2019 12

DEFINISI & IMPLIKASINYA (1)

Dalam matematika, definisi merupakan bagianpenting, yang menjadi pijakan dalam pernalaranyang dilakukan oleh matematikawan.

Dalam kalimat "tidak ada bilangan rasional r yang memenuhi persamaan r2 = 2," terdapatsetidaknya dua kata atau frasa yang merupakandefinisi matematika, yaitu bilangan rasional danpersamaan.

Selain itu ada lambang kuadrat pada persamaanr2 = 2.

Hendra Gunawan (2019)4/11/2019 13

DEFINISI & IMPLIKASINYA (2)

Definisi dalam matematika merupakankesepakatan tentang arti suatu kata, frasa, ataulambang.

Tanpa memahami arti kata atau frasa sertalambang tersebut, kalimat di atas hanya akanmenjadi kalimat asing yang tak jelas maknanya.

Hendra Gunawan (2019)4/11/2019 14

DEFINISI & IMPLIKASINYA (3)

Definisi tidak dibuat sembarangan oleh matematikawan. Sebuah definisi diusulkan karena ia muncul berulang-kali.

Sebagai contoh, ketika berurusan dengan bilangan bulat, ada bilangan yang habis dibagi dua dan yang tidak habisdibagi dua. Supaya tidak menulis frasa “bilangan yang habis dibagi dua” dan “bilangan yang tidak habis dibagidua” berulang-kali, matematikawan mendefinisikanbilangan genap dan bilangan ganjil.

Demikian pula halnya dengan bilangan yang merupakanrasio atau hasil bagi antara dua bilangan bulat, denganpembagi tidak sama dengan nol, yang kemudian dinamaisebagai bilangan rasional.

Hendra Gunawan (2019)4/11/2019 15

SUDUT ANTARA DUA SUBRUANG

𝑢𝑊⊥

𝑣𝑊⊥

W

U

V

Bagaimana mendefinisikannya?

Hendra Gunawan (2019)4/11/2019 16

StatistikaMachine LearningArtificial Intelligence

4/11/2019 Hendra Gunawan (2019) 17

Big DataData Science

Seberapa Mirip Aktivitas Mereka?

Di sini, terdapat dua himpunan vektor, 𝑈 ∶= {(4,3,2,1), (3,4,2,1)}dan 𝑉 ∶= {(4,3,1,2), (2,4,2,2)}. Bila kita dapat menghitung sudutantara subruang yang direntang oleh 𝑈 dan subruang yang direntang oleh 𝑉, maka kita mempunyai suatu ukuran kemiripanaktivitas mereka.

Hendra Gunawan (2019)4/11/2019 18

Sudut Antara Garis dan Bidang

• Rumus sudut 𝜃 antara 𝑈 ∶= span{𝑢} dan 𝑉adalah

cos2𝜃 =𝑢, 𝑢𝑉

2

∥ 𝑢 ∥2∥ 𝑢𝑉 ∥2

dengan 𝑢𝑉 vektor proyeksi (ortogonal) dari 𝑢pada 𝑉, dan ∥ ⋅ ∥ ∶= ∙ , ∙ 1/2 menyatakan norm pada 𝑋.

u

uV

θ

• Dengan menuliskan 𝑢 = 𝑢𝑉 + 𝑢𝑉⊥, dengan 𝑢𝑉

⊥ vektor komplemen ortogonal dari 𝑢 pada 𝑉, rumus di atas menjadi

cos2𝜃 =∥ 𝑢𝑉 ∥2

∥ 𝑢 ∥2

yang memperlihatkan bahwa nilai cos 𝜃 sama dengan rasio antara panjang vektor proyeksi 𝑢 pada 𝑉 dan panjang vektor 𝑢.

Hendra Gunawan (2019)4/11/2019 19

Sudut antara Dua Bidang• Misalkan

𝑈 ∶= span 𝑢,𝑤2, … , 𝑤𝑝 ,

𝑉 ∶= span{𝑣,𝑤2, … , 𝑤𝑝}, dan

𝑊 ∶= 𝑈 ∩ 𝑉 = span{𝑤2, … , 𝑤𝑝}, dengan 𝑝 ≥ 2.

• Menggunakan sifat determinan, dapat diperiksa bahwa nilai cos 𝜃 sama dengan rasio antara volume paralelpipedium (berdimensi 𝑝) yang direntang oleh vektor-vektor proyeksi 𝑢,𝑤2, … , 𝑤𝑝 pada 𝑉 dan volume

paralelpipedium yang direntang oleh vektor-vektor 𝑢,𝑤2, … , 𝑤𝑝.

Rumus sudut 𝜃 antara 𝑈 dan 𝑉 adalah

cos2𝜃 =𝑢𝑊⊥ , 𝑣𝑊

⊥ 2

∥ 𝑢𝑊⊥ ∥2∥ 𝑣𝑊

⊥ ∥2

dengan 𝑢𝑊⊥ dan 𝑣𝑊

⊥ vektor komplemen ortogonal dari 𝑢 dan 𝑣 pada 𝑊.

Hendra Gunawan (2019)4/11/2019 20

Rumus Sudut Antara Dua Subruang

U

V

cos 𝜃 :=൯𝑉(𝑢1|𝑉, … , 𝑢𝑝|𝑉

൯𝑉(𝑢1, … , 𝑢𝑝

• 𝑈 ∶= span{𝑢1, … , 𝑢𝑝} dan 𝑉 ∶= span{𝑣1, … , 𝑣𝑞}, dengan 𝑝 ≤ 𝑞.

• 𝑢𝑖|𝑉 menyatakan vektor proyeksi dari 𝑢𝑖 pada 𝑉.

• 𝑉(𝑢1, … , 𝑢𝑝) menyatakan volume paralelpipedium berdimensi 𝑝

yang direntang oleh vektor-vektor 𝑢1, … , 𝑢𝑝.Hendra Gunawan (2019)4/11/2019 21

Rumus Sudut Antara Dua Subruang

U

V

cos 𝜃 =det 𝑢𝑖 , 𝑣𝑗 𝑖,𝑗

det 𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 𝑖,𝑗det 𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 𝑖,𝑗

Hendra Gunawan (2019)4/11/2019 22

Proposisi: Keajekan Rumus

Rasio di ruas kanan merupakan suatu bilangan di interval [0,1]yang tak tergantung pada basis yang dipilih untuk 𝑈 dan 𝑉.

cos 𝜃 =det 𝑢𝑖 , 𝑣𝑗 𝑖,𝑗

det 𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 𝑖,𝑗det 𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 𝑖,𝑗

Hendra Gunawan (2019)4/11/2019 23

Godfrey H. Hardy (1877-1947)“Matematika yang indah itu tidak harus berguna.”

Hendra Gunawan (2019)4/11/2019 24

PENUTUP

4 NOVEMBER 2019

Anda mungkin bertanya: apa aplikasi dari konsepsudut antara dua subruang?

Mengamati sejarah, tak sedikit penemuanmatematika yang aplikasinya diketahui puluhanbahkan ratusan tahun kemudian (oleh orang lain, tentunya).

Contoh pertama adalah aljabar Boole yang dikembangkan oleh George Boole pada 1847. Aplikasi pertamanya dalam rangkaian saklar listrikdisadari oleh Charles S. Peirce pada tahun 1886.

fromreadingtable.com

PENUTUP

4 NOVEMBER 2019

Contoh kedua adalah masalah matematika murni“Sum of Squares” yang dikemukakan oleh David Hilbert pada tahun 1900: apakah setiap polinom taknegatif dapat dinyatakan sebagai jumlah daribeberapa fungsi rasional kuadrat, misalnya

5𝑥2 + 24𝑥 + 29 = 𝑥 + 2 2 + 2𝑥 + 5 2.

Masalah ini baru terjawab pada tahun 1927 olehEmil Artin, dan baru pada tahun 2017 yang laluditemukan aplikasinya dalam teknologi drone dankendaraan tanpa pengemudi, oleh Amir Ali Ahmadi dan Anirudha Majumdar.

PENUTUP

4 NOVEMBER 2019

Contoh ketigaadalah Rumus

Wallis untukbilangan Pi yang ditemukan pada

tahun 1655; baru-baru ini diketahuiaplikasinya dalam

fisika kuantum.

Aplikasi Sudut antara DuaSubruang dalam Bidang Biokimia

• David, C.C. & Jacobs, D.J. “Characterizing protein motions from structure.” Journal of Molecular Graphics and Modelling (2011).

• David, C.C. & Jacobs, D.J. “Principal component analysis: A method for determining the essential dynamics of proteins.” Methods in Molecular Biology (2014).

Hendra Gunawan (2019)4/11/2019 28

Aplikasi Sudut antara DuaSubruang dalam Bidang Fisika

• Bosetti, H., dkk. “Time-reversal symmetry and covariant Lyapunov vectors for simple particle models in and out of thermal equilibrium.” Physical Review E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics (2010).

• Chella, F., dkk. “Calibration of a multichannel MEG system based on the Signal Space Separation method.” Physics in Medicine and Biology (2012).

Hendra Gunawan (2019)4/11/2019 29

Aplikasi Sudut antara Dua Subruangdalam Bidang Grafika Komputer• Cao, W.M., dkk. “Content-based image retrieval using high-

dimensional information geometry.” Science China Information Sciences (2014).

• Kaveh, A. Optimal Analysis of Structures by Concepts of Symmetry and Regularity. Springer-Verlag, Wien (2013).

• Kaveh, A. & Fazli, H. “Approximate eigensolution of locally modified regular structures using a substructuring technique.” Computers and Structures (2011).

• Liwicki, S., dkk. “Euler principal component analysis.” International Journal of Computer Vision (2013).

• Liwicki, S., dkk. “Online kernel slow feature analysis for temporal video segmentation and tracking.” IEEE Transactions on Image Processing (2015).

• Peikert, R. & Sadlo, F. “Height ridge computation and filtering for visualization.” IEEE Pacific Visualisation Symposium 2008, PacificVis - Proceedings (2008).

Hendra Gunawan (2019)4/11/2019 30

Aplikasi Sudut antara DuaSubruang dalam Bidang Optimisasi

• Haesen, S., dkk. “On the extrinsic principal directions of Riemannian submanifolds.” Note di Matematica (2009).

• Pustylnik, E., dkk. “Convergence of infinite products of nonexpansive operators in Hilbert space.” Journal of Nonlinear and Convex Analysis (2010).

Hendra Gunawan (2019)4/11/2019 31

Aplikasi Sudut antara Dua Subruangdalam Bidang Vehicular Technology

• Nam, S., dkk. “A PF scheduling with low complexity for downlink multi-user MIMO systems.” IEEE Vehicular Technology Conference (2013).

• Nam, S., dkk. “A user selection algorithm using angle between subspaces for downlink MU-MIMO systems.” IEEE Transactions on Communications (2014).

• Yi, X. & Au, E.K.S. “User scheduling for heterogeneous multiuser MIMO systems: A subspace viewpoint.” IEEE Transactions on Vehicular Technology (2011).

Hendra Gunawan (2019)4/11/2019 32

PENUTUP

Sumber gambar: www.math.ualberta.ca

“… karenatanpainvestasi di hulu, apayang dapatdiperoleh di hilir?”

Hendra Gunawan (2019)4/11/2019 33

Hendra Gunawan (2019)4/11/2019 34

Mampir dong ke https://bermatematika.net