MATRIKS EINSTEINKelompok 2

1. Clara sinta saragih2. Rita deby

3. Intan sahyati4. Erni simbolon

5. Marnala A manurung6. ANDY IMANUEL MAHA

7. GORDON SILALAHI8. Nila Yosefa

@copyright by Naniek - 2007 2

OPERASI DASAR ATAS MATRIKS

• Operasi Perkalian Skalar• Operasi Penjumlahan• Operasi Pengurangan• Operasi Perkalian

@copyright by Naniek - 2007 3

PERKALIAN DENGAN SKALAR

K = 2

6321

A

k A

6321

2 =

12642

@copyright by Naniek - 2007 4

PENJUMLAHAN MATRIKS

A + B 1 2

6 3

2 4

6 3 A = B =

+ = 3 6

+ = 6 12

@copyright by Naniek - 2007 5

PENGURANGAN MATRIKS

A - B 1 2

6 3

2 4

6 3 A = B =

- = -1 -2

- = 00

@copyright by Naniek - 2007 6

PERKALIAN MATRIKS

CBAkxmkxnnxm

• A=(aij) dengan i=1,2,3,…,m dan j=1,2,3,…,n• B=(bjk) dengan j=1,2,3,…,n dan k=1,2,3,…,pMaka :

A x B = (aij) x (bjk)

@copyright by Naniek - 2007 7

PERKALIAN MATRIKS

1 3

5 0

0

1 2 A

B

2

4

1

2 1 0

= =

A x B =

-4

4

x + x + x = 9

1 3

5 0

2

4

1 3

5 0

2

4

0

1 2

1

2 1 0

-4

4

x + x + x = 16

x + x + x = 3

1 2 3

0 4 5

x x xx x xx x x

++++

++ =

==

13814

1

4

0

-4

2

1

1 2 3

0 4 5

0

1

2

0

1

2

Penjumlahan Konvensi Einstein

Secara umum penulisan vektor dalam hal basis vektor satuan sebagai berikut

Namun dalam penjumlahan konvensi eistein dapat kita tulis

dimana komponen-komponennya yaitu (Ax, Ay, Az) yang ditulis ulang sebagai dan vektor basis menjadi

kAyAiAA zyxˆˆˆ

332211 ˆˆˆ eAeAeAA

321 ,, AAAkyi ˆ,ˆ,ˆ 321 ˆ,ˆ,ˆ eee

Misalnya dalam 2 dimensi akan ditulis

Sedangkan untuk menulis 5 dimensi akan ditulis

332211 ˆˆˆ eAeAeAA

5544332211 ˆˆˆˆˆ eAeAeAeAeAA

Namun jika komponennya lebih banyak akan sedikit susah kita menuliskannya. Misalnya untuk 10 dimensi kita harus menuliskan 10 komponen. Maka lebih mudah jika kita tulis sebagai berikut

di mana N adalah jumlah dimensi. Perhatikan dalam formula ini bahwa indeks i terjadi dua kali dalam ekspresi . Einstein melihat ini selalu terjadi dan sehingga setiap kali indeks diulang dua kali dia hanya hanya menuliskan seperti di atas

N

i iieAA ˆ

Jadi penjumlahan konvensi Einstein adalah didefinisikan secara umum sebagai berikut

N

i iiii yxyx

Contoh

1. Tuliskan lah dalam bentuk 2 dimensi Penyelesaian

iiBA

2211

2

1

BABA

BABAi iiii

Persamaan bergandeng dan matriks

Perhatikan 2 persamaan simultan berikut ini

yang memiliki solusi x = 1 dan y = 1. Sebuah cara yang berbeda menulis persamaan ini dalam bentuk matriks, yaitu sebagai berikut :

0

211

11yxyx

yx

Perhatikan bagaimana dua matriks di sisi paling kiri bisa dikalikan bersama. Aturan perkalian mungkin lebih jelas jika kita tulis

Jika kita memiliki 3 persamaan simultan

dycxbyax

yx

dcba

4224

zxzyxzyx

Dapat kita tulis

Jadi notasi matriks adalah sebuah cara menuliskan persamaan simultan. Di sisi paling kiri persamaan di atas. kita memiliki matriks persegi dengan mengalikan matriks kolom. Persamaan itu juga dapat ditulis sebagai

424

02102111111

zyzzyxzyx

zyx

BXA

kkXAB

XAXABdan

XAXABatau

BB

XAXAXAXA

XX

AAAA

11

2221212

2121111

2

1

222221

112111

2

1

2221

1211

Dapat di singkat dalam bentuk

Yaitucarasingkat untuk menulisbentukperkalianmatriks. catatanjika xkmemiliki 1 indeksdanvektor. Dengandemikianvektordapatditulisx = xi + yjatauhanyaIniadalahcarapenulisanMatriks vektor

Kadang-kadang kita ingin mengalikan dua matriks persegi bersama-sama. Aturanuntuk melakukan hal ini adalah

Jadimisalnya, C11 = A11B11 + A12 B22 and C21 = A21B11 + A22B21 yang dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut

= Yang merupakanrumusperkalianmatriksuntukmatrikspersegi.

(𝐴11 𝐴12

𝐴21 𝐴22)(𝐵11 𝐵12

𝐵21 𝐵22)=( 𝐴11𝐵11 𝐴12 𝐵12

𝐴21𝐵21 𝐴22 𝐵22)=(𝐶11 𝐶12

𝐶21 𝐶22)

Determinan Matriks

Jika suatu matriks adalah matriks bujur sangkar maka mempunyai nilai determinannya

Determinan matriks A di dinotasikan dengan | A |

Cara menghitung determinan tergantung ordo matriks tersebut

Determinan matriks ordo 2 x 2

A =

det.A = |A| = a11a22 - a21a12

a11 a12

a11 a12

Determinan matriks ordo 3 x 3

A = a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Determinan matrik A ( 3 x 3 ) dihitung menggunakan metode SARRUS:

| A | = a11 a22a33 + a12 a23a31 + a13 a21a32

- a31 a22a13 - a32 a23a11 - a33 a21a12

Matriksidentitas [ I] adalahuntukmatriks orde 2 X 2atauuntukmatriksorde 3 x3dansebagainya. I adalah sifat sebenarnya dari identitas, yaitu

IB BI B

Dimana B adalah sebuah matriks

Menentukan matrik invers

Menggunakan metode Adjoin:

A- 1 = Adjoin A

Det. A

Det. A 0

Adjoin A adalah transpose dari matrik kofaktor-kofaktor dari matrik A

Adjoin A =

A11

A12

.

.A1n

... An1

An2

.

.Ann...

Ai j adalah kofaktor dari elemen ai j dimana :Ai j = ( - 1 )i+ j | Mi j |

Mi j adalah submatrik dari A yang diperoleh dengan jalan menghilangkan baris ke – i dan kolom ke – j pada A

Sifat-sifat matrik invers

( A B ) – 1 = B – 1 A – 1

( k A ) – 1 = 1/k A – 1

(A – 1) – 1 = A

Invers sebenarnya dihitung dengan menggunakan objek yang disebut kofaktor [3]. Pertimbangkan matrik tersebut

𝐴=(𝐴11 𝐴12 𝐴13

𝐴21 𝐴22 𝐴23

𝐴31 𝐴32 𝐴33) Kofaktordarielemenmatriksu

ntukcontohdidefinisikansebagai:

𝑐𝑜𝑓 (𝐴¿¿21)≡¿¿

Cara untukmendapatkanelemenmatriks yang munculdalamdeterminaninihanyadenganmengalikanbarisdankolom di manabagiandalammatriks A danunsur-unsur yang tersisamasukkekofaktor.