Mencari Persamaan Tangen dan Persamaan Normal bagi suatu Lengkung

Soalan 3 dalam modul adalah lanjutan daripada nota yang ada dalam modul. Oleh itu perlu baca nota itu barulah tahu apa maksud c itu.

Makna c dalam modul itu ialah nilai x yang terletak di atas lengkung yang diberikan. Oleh itu, jika c = 6, bereri nilai x ialah 6, dan perlulah kita cari nilai y daripada persamaan yang diberi. Selepas kita mencari kecerunan, iaitu dy/dx, nilai c ini perlu digantikan ke dalam dy/dx tersebut untuk mendapatkan kecerunanannya. Akhirnya kita perlu gunakan rumus yang terdapat dalam matematik tingkatan 4 untuk mendapatkan persamaan, berdasarkan nilai x dan y yang kita sudah dapat tadi. Katakan nilai x dan y tadi ialah (c, d), di mana x = c dan y = d, maka persamaan tangen ialah

y – d =

dydx (x – c).

Tangen merupakan satu garis lurus yang menyentuh suatu titik yang terletak di atas lengkung, dan normal merupakan satu garis lurus yang berserenjang dengan tangen itu.

tangen

lengkung

normal

Satu contoh soalan (bukan soalan dalam modul):

Cari persamaan tangen dan persamaan normal bagi 2y = 3 – x2 , pada titik c = 1.

Maksud soalan ini sebenarnya ialah:

Cari persamaan tangen dan persamaan normal bagi 2y = 3 – x2 pada titik di mana x = 1.

Langkah-langkah penyelesaiannya:

Susunkan: y =

32 -

12 x

2

Kerbezakan: dydx

=0−(2)( 12)x

2−1

= - x.

Cari kecerunan pada titik di mana x = 1 dengan menggantikan x dengan 1:

dydx

=−1.

Cari nilai y apabila x = 1: y =

32 -

12 x

2

=

32 -

12（1）2

=

32 -

12 =

22 = 1.

Oleh itu, titik itu ialah (1, 1).

Persamaan tangen menjadi: y – d =

dydx (x – c).

Gantikan nilai c, d dan dy/dx sahaja, tinggalkan y dan x:

y – 1 = - (1)(x – 1).

Maka persamaan tangen ialah: y – 1 = - (x – 1)

y – 1 = - x + 1

y = - x + 1 + 1

y = - x + 2

Jika tulis dalam bentuk seperti berikut pun boleh: x + y = 2.

Untuk mencar persamaan normal, tukarkan kecerunan normal dengan tukar tanda dan terbalikkan pecahan. Maka, dy/dx = 1

Gunakan rumus yang sama juga untuk mencari persamaan normal, cuma tukarkan nilai dy/dxnya.

Iaitu: y – 1 = (+1) (x – 1)

y – 1 = x – 1

y = x

Satu contoh lagi:

Cari persamaan tangen dan persamaan normal bagi lengkung 9x2 – 4y2 = 108 pada c = 4.

Ini bermakna cari persamaan tangen dan persamaan normal bagi lengkung 9x2 – 4y2 = 108 pada titik di mana x = 4.

Jawapan:

Gantikan x = 4 untuk mencari nilai y: 9(4)2 – 4y2 = 108

9(16) – 4y2 = 108

144 – 4y2 = 108

144 – 108 = 4y2

36 = 4y2

y2 = 36/4 = 9

y = 3

Kerbezakan setiap sebutan dalam persamaan itu: 2(9)x – 2(4)

dydx = 0

(Bagi sebutan yang ada x, kuasa x didarab dengan nombor depannya dan kuasa x itu ditolak 1; Bagi sebutan yang ada y, kuasa y didarab dengan nombor di depan y, kemudian kuasa y ditolak 1 dan tulis dy/dx di belakangnya).

Ringkaskan: 18x -8y

dydx = 0.

Susunkan: 18x = 8y

dydx

dydx =

18 x8 =

9 x4 y

Pada x = 4 dan y =3,

dydx =

9（4）4 (3 ) = 3

Maka persamaan tangen ialah y – d =

dydx (x – c)

y – 3 = 3(x – 4)

y – 3 = 3x – 12

y = 3x – 9

Bagi persamaan normal, cari kecerunan normal terlebih dahulu: dy/dx = -

13

Oleh itu, persamaan normal ialah: y – 3 = -

13 (x – 4)

3(Y – 3) = - (x – 4)

3y – 9 = - x + 4

X + 3y = 13