MODEL ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN BERDISTRIBUSI … · model with Poisson distributed arrival and...

i

MODEL ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN

BERDISTRIBUSI POISSON DAN WAKTU PELAYANAN

BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL

(Studi Kasus: Antrian Prioritas Layanan BPJS RS Panti Rapih)

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun oleh:

Amalya Widiastuti

NIM: 123114017

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2016

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

THE QUEUEING MODEL WITH POISSON DISTRIBUTED

ARRIVAL AND EXPONENTIAL DISTRIBUTED SERVICE

TIME

(Case Study: Priority Queue of BPJS Service at

Panti Rapih Hospital)

A THESIS

Presented as a Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written by:

Amalya Widiastuti

Student ID: 123114017

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2016


iii

SKRIPSI

MODEL ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN BERDISTRIBUSI

POISSON DAN WAKTU PELAYANAN BERDISTRIBUSI

EKSPONENSIAL

(Studi Kasus : Antrian Prioritas Layanan BPJS RS Panti Rapih)

Disusun oleh:

Nama: Amalya Widiastuti

NIM: 123114017

Telah disetujui oleh:

Dosen pembimbing skripsi

Ir. Ig Aris Dwiatmoko, M.Sc. Tanggal: 17 Oktober 2016


iv

SKRIPSI

MODEL ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN BERDISTRIBUSI

POISSON DAN WAKTU PELAYANAN BERDISTRIBUSI

EKSPONENSIAL

(Studi Kasus: Antrian Prioritas BPJS RS Panti Rapih)

Disiapkan dan ditulis oleh:

Amalya Widiastuti

NIM: 123114017

Telah dipertahankan dihadapan Panita Penguji

Pada tanggal 16 November 2016

Dan dinyatakan memenuhi syarat

Susunan Panitia Penguji

Nama lengkap tanda tangan

Ketua: Sudi Mungkasi, Ph.D. .....................

Sekertaris: Y.G. Hartono, Ph.D. .....................

Anggota: Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. .....................

Yogyakarta,

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Sanata Dharma

Dekan

(Sudi Mungkasi, Ph.D.)


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

*Jangan pernah menunda sesuatu, sebab menunda adalah masalah.

Karya tulis ini ku persembahkan untuk:

Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga

skripsi ini dapat selesai,

Mama yang selalu mendoakan ku dan memberi perhatian serta kasih sayang

hingga saat ini.

Papa, Mas Thias, Mba Laila dan Dimas yang selalu mendukung serta

melindungi ku.


vi

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya, bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain kecuali yang disebutkan dalam daftar

pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 17 Oktober 2016

Amalya Widiastuti


vii

ABSTRAK

Antrian adalah suatu kondisi dengan subyek-subyek menuju suatu area

untuk dilayani dan menghadapi suatu keterlambatan yang disebabkan oleh

mekanisme pelayanan yang mengalami kesibukan. Masalah ini memerlukan model

matematika untuk memahami perilaku sistem antrian. Model antrian dengan

kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial

akan diulas dalam skripsi ini. Unsur-unsur antrian seperti model antrian, sikap

subyek terhadap antrian, waktu tunggu, serta disiplin antrian mempunyai

karakteristik yang harus dipelajari.

Dalam skripsi ini disiplin antrian yang digunakan adalah disiplin antrian

prioritas yaitu pelayanan diberikan kepada subyek yang mempunyai prioritas yang

lebih tinggi dibanding subyek yang lain. Model antrian yang diterapkan untuk

menganalisis antrian layanan BPJS Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta yang

bertujuan untuk mengevaluasi penyebab masalah antrian yang terjadi.

Kata kunci: Antrian prioritas, Pelayanan berdistribusi Eksponensial, Sistem antrian.


viii

ABSTRACT

Queueing is a condition where the subjects go to a particular area to be

served and face a lateness due to a busy-service mechanism. This problem needs a

mathematical model to understand the queueing system behavior. The queueing

model with Poisson distributed arrival and Exponential distributed service time will

be discussed in this thesis. The elements of queue, such as the queue model, the

subject behavior towards the queue, the waiting time, and the queue discipline

respectively have characteristics that need to be studied.

In this thesis the queue discipline used is priority queueing discipline, that

is, a service is given first to the subjects having higher priority than others. The

queueing model is applied to analyze the BPJS queueing service at Panti Rapih

Hospital Yogyakarta. It aims to evaluate the factors causes the queueing problem.

Keywords: Queueing priority, Exponential Distribution Time Service, Queueing

system.


ix

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Amalya Widiastuti

NIM : 123114017

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

Model Antrian Dengan Kedatangan Berdistribusi Poisson Dan Pelayanan

Berdistribusi Eksponensial

(Studi Kasus: Antrian Prioritas Layanan BPJS RS Panti Rapih)

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalihkan

ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data,

mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media

lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun

memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai

penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal 16 November 2016

Yang menyatakan

Amalya Widiastuti


x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Allah SWT atas berkat yang selalu menyertai penulis

dalam menyelesaikan skripsi ini. Skripsi ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk

memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Universitas

Sanata Dharma.

Banyak tantangan dalam proses penulisan skripsi ini, namun dengan

penyertaan Allah SWT serta dukungan dari berbagai pihak akhirnya skripsi ini

dapat diselesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing skripsi

yang telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta ilmu yang telah

diberikan sehingga terselesaikannya skripsi ini.

2. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D, selaku Ketua Program Studi

Matematika sekaligus Dosen Pembimbing Akademik Matematika 2012.

3. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dekan Fakultas

Sains dan Teknologi.

4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si.,

Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia

Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen-dosen Prodi Matematika

yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama proses

perkuliahan.

5. Kedua orang tuaku tercinta Asriyanto dan Rusmiati, kakakku Thias Bahtiar

Nugroho dan Laila Chairunisa, adikku Dimas Ali Prasojo, dan sahabatku


xi

Arum, Eni dan Adi yang selalu memberikan dukungan, doa, dan semangat

sehingga terselesaikannya skripsi ini.

6. Sahabat BSD (Rian dan Fitri), teman-teman Matematika 2012 (Ajeng,

Putri, Sila, Anggun, Noni, Manda, Happy, Dewi, Rian, Budi, Ega, Boby,

Tika, Ferny, Juli, Ilga, Oxi, dan Risma), Nawacatur, Bovis, dan Nancy

Amanda, Ensi, dan Linda yang telah membantu dalam penulisan skripsi

ini, dan memberikan keceriaan serta dukungan selama masa kuliah.

7. Rumah Sakit Panti Rapih yang telah mengizinkan penulis melakukan

penelitian pada skripsi ini.

8. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi

ini.

Semoga segala doa, perhatian, dukungan, bantuan, dan cinta yang telah diberikan

mendapatkan balasan dari Allah SWT.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan

skripsi ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran demi penelitian

selanjutnya. Harapan penulis, semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca dan

menjadi referensi belajar yang baik.

Yogyakarta, 17 Oktober 2016

Penulis,

Amalya Widiastuti


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INDONESIA ..................................... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .......................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................. iii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .............................................................. vi

ABSTRAK .......................................................................................................... vii

ABSTRACT ...................................................................................................... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI .............................. ix

KATA PENGANTAR ........................................................................................... x

DAFTAR ISI ...................................................................................................... xii

DAFTAR TABEL ............................................................................................... xv

DAFTAR GAMBAR ......................................................................................... xvi

BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 1

A. Latar Belakang ......................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ................................................................................... 3

C. Batasan Masalah ...................................................................................... 3

D. Tujuan Penulisan ..................................................................................... 4

E. Metode Penulisan .................................................................................... 4

F. Manfaat Penulisan ................................................................................... 4

G. Sistematika Penulisan .............................................................................. 5


xiii

BAB II DASAR- DASAR TEORI PELUANG DAN STATISTIKA ................... 7

A. Peluang .................................................................................................... 7

B. Nilai Harapan ......................................................................................... 17

C. Variansi .................................................................................................. 25

D. Fungsi Pembangkit Momen (FPM) ....................................................... 27

E. Distribusi Poisson .................................................................................. 29

F. Distribusi Gamma .................................................................................. 32

G. Distribusi Eksponensial ......................................................................... 39

H. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov .......................................... 40

BAB III TEORI ANTRIAN ................................................................................ 45

A. Proses Antrian ....................................................................................... 45

B. Unsur-Unsur Antrian ............................................................................. 45

C. Aturan Distribusi Eksponensial ............................................................. 51

D. Proses Poisson ....................................................................................... 53

E. Waktu Antar Kedatangan ...................................................................... 60

F. Hubungan Antara Distribusi Poisson dengan Distribusi Eksponensial.64

G. Model Antrian Poisson yang Diperumum ............................................. 65

H. Antrian Poisson Khusus ........................................................................ 70

I. Model Antrian dengan Pelayanan Tunggal Kapasitas Tak Hingga ....... 75

J. Model Antrian dengan 𝑐 Pelayanan Kapasitas Tak Hingga .................. 81

BAB IV ANALISIS ANTRIAN LAYANAN BPJS RS PANTI RAPIH

YOGYAKARTA ................................................................................................. 86


xiv

A. Sistem Antrian Pelayanan BPJS di Rumah Sakit Panti Rapih dan

Harapan Pasien ...................................................................................... 87

B. Analisis Deskriptif Data Waktu Kedatangan dan Waktu Pelayanan ..... 93

C. Analisis Sistem Antrian Layanan BPJS ................................................ 97

D. Analisis Perhitungan Performa Antrian ............................................... 107

E. Evaluasi dan Saran Untuk Sistem Antrian .......................................... 109

BAB V PENUTUP ............................................................................................ 110

A. Kesimpulan .......................................................................................... 110

B. Saran ................................................................................................... 111

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 112

LAMPIRAN ...................................................................................................... 114


xv

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Fungsi peluang banyaknya bola merah yang terambil .......................... 12

Tabel 2.2 Fungsi probabilitas bersama.................................................................. 15

Tabel 2.3 Fungsi probabilitas dari variabel acak 𝑋 ............................................... 23

Tabel 2.4 Data suatu sampel acak ......................................................................... 42

Tabel 2.5 Uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov secara manual .................... 43

Tabel 2.6 Uji Sampel tunggal Kolmogorov-Sminrov dengan SPSS..................... 44

Tabel 3.1 Hubungan antara distribusi Poisson dengan distribusi Eksponensial di

antrian .................................................................................................................... 64

Tabel 3.2 Sistem pelayanan pada Toko Grosir B&K ............................................ 68

Tabel 3.3 Hasil perhitungan performa antrian dengan software MATLAB ......... 85

Tabel 4.1 Pembagian tugas loket dalam melayani pasien ..................................... 91

Tabel 4.2 Jawaban dari pertanyaan nomor 1 oleh responden ............................... 92

Tabel 4.3 Jawaban responden mengenai waktu mengantri ................................... 92

Tabel 4.4 Informasi kedatangan dan waktu pelayanan sistem antrian .................. 94

Tabel 4.5 Statistik hasil uji distribusi kedatangan ................................................. 96

Tabel 4.6 Statistik hasil uji waktu pelayanan ........................................................ 97

Tabel 4.7 Rangkuman hasil perhitungan performa antrian BPJS .......................107


xvi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Antrian orang yang menunggu dilayani ............................................ 2

Gambar 1.2 Antrian peti kemas yang menunggu dikirim ..................................... 2

Gambar 2.1 Pemetaan 𝑋 ........................................................................................ 11

Gambar 3.1 Model antrian satu saluran satu fase ................................................. 48

Gambar 3.2 Model antrian satu saluran multi fase ............................................... 49

Gambar 3.3 Model antrian multi saluran satu fase ............................................... 50

Gambar 3.4 Model antrian multi saluran multi fase ............................................. 50

Gambar 3.5 Ilustrasi waktu tunggu ...................................................................... 61

Gambar 3.6 Diagam transisi antrian Poisson ........................................................ 66

Gambar 3.7 Skema antrian Poisson khusus ......................................................... 71

Gambar 4.1 Ilustrasi antrian layanan BPJS RS Panti Rapih ................................. 87

Gambar 4.2 Pengambilan tiket antrian layanan BPJS ........................................... 89

Gambar 4.3 Pasien yang menunggu untuk dilayani .............................................. 89

Gambar 4.4 Pasien yang sedang mendapatkan pelayanan oleh petugas di loket

(server) .................................................................................................................. 90

Gambar 4.5 Contoh tiket antrian layanan dokter dan tiket layanan BPJS ............ 90


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Antrian masih menjadi masalah yang sering ditemukan di fasilitas

pelayanan umum. Antrian adalah suatu kondisi dengan subyek-subyek menuju

suatu area untuk dilayani dan menghadapi suatu keterlambatan yang disebabkan

oleh mekanisme pelayanan yang mengalami kesibukan. Dalam hal ini terjadi waktu

tunggu yaitu waktu yang diperlukan dalam sebuah antrian. Antrian yang terbentuk

dalam pelayanan terjadi akibat kurangnya jumlah pelayanan, banyaknya

kedatangan, dan waktu tunggu yang lama. Kedatangan dan waktu pelayanan yang

berbeda-beda, setiap orang yang terlibat dalam antrian akan memiliki waktu tunggu

yang berbeda-beda. Terjadinya antrian merupakan sesuatu yang kurang baik dalam

suatu pelayanan karena membuat orang yang terlibat dalam antrian harus

menunggu untuk dilayani.

Proses antrian juga dipengaruhi oleh banyaknya pelanggan yang semakin

banyak. Dengan kata lain fenomena yang terjadi pada antrian adalah pelayanan

masih berjalan tetapi dengan tingkat pelayanan yang lebih lambat dengan

sebelumnya.


2

Berikut ini adalah contoh nyata sebuah antrian, yang ditunjukkan oleh

Gambar 1.1 dan Gambar 1.2.

Gambar 1.1 Antrian orang yang menunggu dilayani.

Gambar 1.2 Antrian peti kemas yang menunggu dikirim.

Dalam karya tulis ini akan dibahas mengenai model antrian dengan

kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial

dan juga akan dipelajari ukuran kinerja sistem dalam antrian seperti rata-rata

banyaknya subyek dalam sistem antrian, rata-rata banyaknya subyek yang

menunggu dalam antrian, waktu tunggu subyek yang dihabiskan dalam sistem, dan

waktu tunggu subyek yang dihabiskan dalam antrian.

Ukuran kinerja sistem dapat digunakan untuk menentukan banyaknya

pelayanan yang dibutuhkan agar waktu tunggu menjadi minimum. Dalam karya


3

tulis ini, penulis melakukan penelitian dari suatu layanan antrian. Obyek yang

dijadikan penelitian adalah antrian layanan BPJS di Rumah Sakit Panti rapih.

Penulis akan mengambil data secara langsung dan mengolah data serta akan

menganalisis ukuran kinerja sistem sehingga menghasilkan suatu usulan perbaikan.

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang dibicarakan pada tugas akhir ini adalah:

1. Bagaimana dasar-dasar teori antrian?

2. Bagaimana distribusi Poisson dan Eksponensial dapat dipergunakan dalam

sebuah antrian?

3. Bagaimana ukuran kinerja sistem pada model antrian dengan kedatangan yang

berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan yang berdistribusi Eksponensial?

C. Batasan Masalah

Dalam pembuatan tugas akhir ini ada beberapa hal yang dibatasi agar

permasalahan tidak meluas atau tidak sesuai dengan tujuan awal. Berikut adalah

batasan masalahnya:

1. Model yang dibahas adalah model dengan kedatangan berdistribusi Poisson

dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.

2. Model yang dibahas adalah:

a. Model antrian dengan pelayanan tunggal yaitu (𝑀 ∕ 𝑀 ∕ 1): (𝐺𝐷 ∞⁄ ∞⁄ ).

b. Model antrian dengan 𝑐 pelayanan yaitu (𝑀 ∕ 𝑀 ∕ 𝑐): (𝐺𝐷 ∞⁄ ∞⁄ ).

3. Teori yang dibahas hanya yang berkaitan langsung dengan pokok skripsi.


4

4. Data yang digunakan adalah data antrian layanan BPJS di Rumah Sakit Panti

Rapih Yogyakarta.

D. Tujuan penulisan

Penulisan ini bertujuan membahas dasar-dasar teori sebuah antrian, peranan

distribusi Eksponensial dalam sebuah antrian serta penerapannya pada masalah

antrian layanan BPJS di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta.

E. Metode Penulisan

Metode penulisan yang dipakai adalah metode studi pustaka, yaitu dengan

membaca referensi buku-buku pendukung dan jurnal yang mengenai antrian dengan

kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.

Jenis-jenis sumber pustaka yang digunakan dicantumkan dalam daftar pustaka.

F. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diperoleh dari karya tulis ini adalah:

1. Bagi penulis: memahami mengenai teori antrian dan mampu menganalisis

masalah antrian.

2. Bagi pembaca: memperdalam pengetahuan baru tentang teori antrian serta

memberikan informasi bagi pihak yang membutuhkan.


5

G. Sistematika Penulisan

BAB I : PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Metode Penulisan

F. Manfaat Penulisan

BAB II : DASAR-DASAR TEORI PELUANG DAN STATISTIKA

A. Peluang

B. Nilai Harapan atau Mean

C. Variansi

D. Fungsi Pembangkit Momen (FPM)

E. Distribusi Poisson

F. Distribusi Gamma

G. Distribusi Eksponensial

H. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov

BAB III TEORI ANTRIAN

A. Proses Antrian

B. Unsur-Unsur Antrian

C. Aturan Distribusi Eksponensial


6

D. Proses Poisson

E. Waktu Antar Kedatangan

F. Model Antrian Poisson yang Diperumum

G. Antrian Poisson Khusus

H. Model Antrian Tunggal dengan Kapasitas Tak Hingga

I. Model Antrian dengan 𝑐 Pelayanan Kapasitas Tak Hingga

BAB IV: ANALISIS ANTRIAN LAYANAN BPJS RUMAH SAKIT PANTI

RAPIH YOGYAKARTA

A. Sistem Antrian Pelayanan BPJS Rumah Sakit Panti Rapih

B. Analisis Deskriptif Data Waktu Kedatangan dan Waktu Pelayanan

C. Analisis Sistem Antrian BPJS

D. Analisis Perhitungan

E. Evaluasi dan Saran

BAB V: PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran


7

BAB II

DASAR-DASAR TEORI PELUANG DAN STATISTIKA

Dalam Bab ini akan disajikan dasar-dasar teori peluang dan statistika

sebagai landasan pembahasan skripsi ini.

A. Peluang

Definisi 2.1 Ruang Sampel

Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel

dan dinyatakan dengan simbol 𝑆.

Contoh 2.1

Percobaan pelemparan sekeping koin sebanyak dua kali dengan kedua sisinya yaitu

gambar dan angka, ruang sampel 𝑆 dari percobaan tersebut adalah

{𝐺𝐴, 𝐺𝐺, 𝐴𝐺, 𝐴𝐴}.

Simbol 𝐺 menyatakan “Gambar” pada sisi koin dan simbol 𝐴 menyatakan “Angka”

pada sisi koin.

Definisi 2.2 Kejadian

Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian dinotasikan dengan

huruf kapital, misalnya 𝐴.


8

Contoh 2.2

Percobaan pengambilan 3 buah bola yang diambil secara satu per satu tanpa

pengembalian dari kantong yang berisi 9 buah bola dengan 3 buah bola berwarna

hijau, 3 buah bola berwarna merah, dan 3 buah bola berwarna biru.

𝐴: Kejadian terambilnya bola pertama berwarna hijau.

Maka 𝐴 = {𝐻𝑀𝐵,𝐻𝐵𝑀,𝐻𝑀𝑀,𝐻𝐵𝐵,𝐻𝐻𝑀,𝐻𝐻𝐵,𝐻𝑀𝐻,𝐻𝐵𝐻,𝐻𝐻𝐻}

dengan 𝐻 menyatakan “bola berwarna hijau”, 𝑀 menyatakan “bola berwarna

merah”, dan 𝐵 menyatakan “bola berwarna biru”.

Definisi 2.3

Misalkan 𝐴 dan 𝐵 adalah adalah kejadian dari ruang sampel 𝑆, maka:

1. Gabungan dari dua kejadian dinotasikan 𝐴 ∪ 𝐵 dengan

𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 |𝑥 𝜖 𝐴 ∨ 𝑥 𝜖 𝐵}.

2. Irisan dari dua kejadian dinotasikan 𝐴 ∩ 𝐵 dengan

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 |𝑥 𝜖 𝐴 ∧ 𝑥 𝜖 𝐵}.

3. Komplemen suatu kejadian dinotasikan 𝐴𝑐 dengan

𝐴𝑐 = { 𝑥 𝜖 𝑆 | 𝑥 ∉ 𝐴}.

4. Selisih dari kejadian 𝐴 dan 𝐵 dinotasikan 𝐴\𝐵 dengan

𝐴\𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵𝑐.

5. 𝐴 dan 𝐵 adalah kejadian-kejadian yang saling asing bila 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝜙.


9

Definisi 2.4 Peluang

Diberikan ruang sampel 𝑆 dan kejadian 𝐴 dari 𝑆. Peluang dari 𝐴 dinotasikan 𝑃(𝐴)

yang memenuhi:

1. 𝑃(𝐴) ≥ 0.

2. 𝑃(𝑆) = 1.

3. Jika 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, …. adalah kejadian yang saling asing di 𝑆 maka

𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 ∪ …) =∑𝑃(𝐴𝑖)

∞

𝑖=1

.

Definisi 2.5 Peluang Suatu Kejaadian

Diberikan kejadian 𝐴 pada ruang sampel 𝑆, peluang terjadinya 𝐴 adalah

𝑃(𝐴) =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)

dengan 𝑛(𝐴) adalah banyaknya anggota 𝐴 terjadi dan 𝑛(𝑆) adalah banyaknya

anggota ruang sampel 𝑆.

Contoh 2.3

Pelemparan koin sebanyak dua kali. Berapa peluang munculnya minimal 1 sisi

“Angka”?

Ruang sampel 𝑆 pada percobaan tersebut adalah

𝑆 = {𝐴𝐺, 𝐺𝐴, 𝐴𝐴, 𝐺𝐺}

dengan 𝐴 menyatakan “Angka” pada sisi koin dan 𝐺 menyatakan “Gambar” pada

sisi koin. Jika 𝐵 adalah kejadian yang menyatakan terjadinya minimal munculnya

satu sisi “Angka” maka 𝐵 = {𝐴𝐺, 𝐺𝐴, 𝐴𝐴}. Jadi 𝑃(𝐵) =1

4+1

4+1

4=

3

4


10

Definisi 2.6 Peluang Bersyarat

Diberikan dua kejadian 𝐴 dan 𝐵 dalam ruang sampel 𝑆. Peluang kejadian 𝐵 setelah

kejadian 𝐴 terjadi dinotasikan dengan 𝑃(𝐵|𝐴),

𝑃(𝐵|𝐴) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴), 𝑃(𝐴) > 0.

Dua kejadian 𝐴 dan 𝐵 saling bebas jika 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵).

Contoh 2.4

Diberikan ruang sampel 𝑆 = {1,2,3,4,5,6} dan misalkan 𝐴 adalah kejadian

bilangan genap di 𝑆 dan 𝐵 adalah kejadian bilangan yang lebih dari 3 di 𝑆 maka

diperoleh 𝐴 = {2,4,6} , 𝐵 = {4,5,6}. Tentukanlah apakah 𝐴 dan 𝐵 saling bebas.

Jawab:

𝐴 ∩ 𝐵 = {4,6} berarti 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =2

6=

1

3,

𝑃(𝐴) =3

6=

1

2 dan 𝑃(𝐵) =

3

6=

1

2,

oleh karena 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) =1

4≠ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =

1

3 maka 𝐴 dan 𝐵 tidak saling bebas.

Definisi 2.7 Variabel Acak

Variabel acak adalah fungsi bernilai real yang nilainya ditentukan oleh setiap unsur

dalam ruang sampel.

Variabel acak dinotasikan dengan huruf kapital dan nilainya dinotasikan

dengan huruf kecil. Misalkan 𝑋 merupakan variabel acak maka nilai dari 𝑋 adalah

𝑥.


11

Contoh 2.5

Percobaan pengambilan 2 buah bola tanpa pengembalian dari kantong yang berisi

4 buah bola berwarna merah dan 3 buah bola berwarna hijau. Misalkan variabel

acak 𝑋 menyatakan banyaknya bola berwarna merah yang terambil.

Ruang sampel 𝑆 pada percobaan tersebut:

𝑆 = {𝑀𝐻,𝑀𝑀,𝐻𝑀,𝐻𝐻}

dengan 𝑀 menyatakan bola berwarna “Merah” dan 𝐻 menyatakan bola berwarna

“Hijau”.

𝑋 = banyaknya bola berwarna merah yang terambil.

Nilai numerik 0, 1, atau 2 dapat diberikan pada setiap titik sampel dimana nilai 0,

1, atau 2 merupakan besaran acak yang nilainya ditentukan dari percobaan.

𝑆 ℝ

Gambar 2.1 Pemetaan 𝑋.

Definisi 2.8 Variabel Acak Diskrit

Sebuah variabel acak dikatakan variabel acak diskrit jika himpunan dari

kemungkinan hasilnya adalah terbilang. Jika tidak memenuhi definisi di atas maka

variabel random di atas disebut variabel random kontinu.

𝑀𝐻

𝑀𝑀

𝐻𝑀

𝐻𝐻

0

1

2


12

Definisi 2.9 Fungsi Probabilitas Diskrit

Himpunan pasangan terurut (𝑥, 𝑃(𝑥)) adalah suatu fungsi probabilitas diskrit 𝑋

untuk setiap kemungkinan hasil 𝑥 yang mungkin jika:

1. 0 ≤ 𝑃(𝑥) ≤ 1 untuk setiap 𝑥 𝜖 ℝ.

2. ∑ 𝑃(𝑥) = 1𝑥 .

Contoh 2.6

Dari contoh 2.5 tentukan fungsi peluang banyaknya bola berwarna merah yang

terambil.

Jawab:

Pada gambar 2.1 nilai 𝑥 adalah bilangan-bilangan yang menyatakan banyaknya bola

berwarna merah yang terambil.

Tabel 2.1 Fungsi peluang banyaknya bola merah yang terambil.

𝑥 0 1 2

𝑃(𝑥) 1

7

4

7

2

7

𝑃(𝑋 = 0) =(40)(32)

(72)

=1

7,

𝑃(𝑋 = 1) =(41)(31)

(72)

=12

21=4

7,

𝑃(𝑋 = 2) =(42)(30)

(72)

=2

7,


13

Definisi 2.10 Fungsi Probabilitas Kontinu

Fungsi 𝑓(𝑥) adalah fungsi probabilitas (probability function) untuk variabel

random kontinu 𝑋, jika:

1. 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk setiap 𝑥 𝜖 ℝ.

2. ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 1∞

−∞.

3. 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 1) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∞

−∞.

Contoh 2.7

Andaikan suhu dalam 0C dalam sebuah percobaan adalah variabel acak kontinu 𝑋

yang mempunyai fungsi densitas:

𝑓(𝑥) = {𝑥2

30

, −1 < 𝑥 < 2

, lainnya

a. Buktikan bahwa 𝑓(𝑥) adalah fungsi probabilitas.

b. Tentukan 𝑃(0 < 𝑋 ≤ 1).

Jawab:

a. Menurut definisi 2.10 (2) jelas 𝑓(𝑥) ≥ 0,

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫𝑥2

3𝑑𝑥 =

𝑥3

9|2

−1= 1

2

−1

.∞

−∞

b. 𝑃(0 < 𝑋 ≤ 1) = ∫𝑥2

3𝑑𝑥 =

𝑥3

9|10=

1

9

1

0.


14

Definisi 2.11 Distribusi Fungsi Kumulatif

Fungsi distribusi kumulatif dari sebuah variabel random diskrit dan kontinu

didefinisikan sebagai berikut

𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) =

{

∑ 𝑝(𝑥)

∀𝑋≤𝑥

, jika 𝑋 diskrit,

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥

−∞

, jika 𝑋 kontinu.

Definisi 2.12 Fungsi Probabilitas Bersama Diskrit

Fungsi 𝑝(𝑥, 𝑦) adalah fungsi probabilitas bersama diskrit jika variabel acak 𝑋 dan

𝑌 memenuhi:

1. 𝑝(𝑥, 𝑦) ≥ 0, ∀(𝑥, 𝑦).

2. ∑ ∑ 𝑝(𝑥, 𝑦) = 1𝑦𝑥 .

Untuk setiap 𝐴 di bidang 𝑥𝑦, 𝑃[(𝑋, 𝑌) ∈ 𝐴] = ∑∑ 𝑓(𝑥, 𝑦).𝐴

Contoh 2.8

Dua buah pensil dipilih secara acak dari kotak yang berisikan 3 buah pensil

berwarna biru, 2 buah pensil berwarna merah, dan 3 buah pensil berwarna hijau.

Jika 𝑋 adalah banyaknya pensil biru yang terpilih dan 𝑌 adalah banyaknya pensil

merah yang terpilih. Tentukan fungsi probabilitas bersama untuk fungsi 𝑝(𝑥, 𝑦).

Jawab:

Nilai dari pasangan terurut (𝑥, 𝑦) yang mungkin adalah

(0,0) , (0,1) , (1,0), (1,1, ) (0,2), (2,0).


15

Misalkan (0,1) adalah kemungkinan terpilihnya pensil berwarna hijau dan pensil

berwarna merah. Banyaknya kemungkinan terpilihnya 2 pensil dari kotak tersebut

adalah (82) = 28. Banyaknya kemungkinan terpilihnya 1 pensil merah dari 2 pensil

merah di dalam kotak dan terpilihnya 1 pensil hijau dari 3 pensil hijau di kotak

adalah (21)(31) = 6. Jadi 𝑝(0,1) =

6

28=

3

14. Perhitungan yang sama dapat digunakan

untuk mencari kemungkinan-kemungkinan pada kasus yang lainnya. Secara umum

diperoleh 𝑝(𝑥, 𝑦) = (3𝑥)(

2𝑦)(

32−𝑥−𝑦)

(82) untuk setiap 𝑥 = 0,1,2 ; 𝑦 = 0,1,2 ; dan 0 ≤

𝑥 + 𝑦 ≤ 2.

Tabel 2.2 Fungsi probabilitas bersama.

Definisi 2.13 Fungsi Probabilitas Bersama Kontinu

Fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) adalah fungsi probabilitas bersama kontinu dengan variabel acak 𝑋

dan 𝑌 jika:

1. 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 , ∀(𝑥, 𝑦).

2. ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 1∞

−∞

∞

−∞.

𝑝(𝑥, 𝑦) 𝑥 Total

Baris 0 1 2

𝑦

0 3

28

9

28

3

28

15

28

1 3

14

3

14 0

3

7

2 1

28 0 0

1

28

Total Kolom 5

14

15

28

3

28 1


16

Contoh 2.9

Diberikan 𝑓(𝑥, 𝑦) sebagai berikut:

𝑓(𝑥, 𝑦) = {2

5(2𝑥 + 3𝑦),

0 ,

0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1,

Tunjukkan bahwa ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 1∞

−∞

∞

−∞.

Jawab:

Integral dari 𝑓(𝑥, 𝑦) adalah

∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦∞

−∞

∞

−∞

= ∫ ∫2

5(2𝑥 + 3𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦

1

0

1

0

= ∫ (

2𝑥2

5+6𝑥𝑦

5) |𝑥 = 1

𝑥 = 0𝑑𝑦

1

0

= ∫ (

2

5+6𝑦

5)𝑑𝑦

1

0

= (

2𝑦

5+3𝑦2

5) |1

0

=2

5+3

5

= 1.

Definisi 2.14 Variabel Acak Saling Bebas

Misalkan 𝑋 mempunyai fungsi distribusi 𝑔(𝑥), 𝑌 mempunyai fungsi distribusi ℎ(𝑦)

dan 𝑋, 𝑌 mempunyai fungsi distribusi bersama 𝑠(𝑥, 𝑦). Maka 𝑋 dan 𝑌

dikatakan saling bebas jika dan hanya jika

𝑠(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦)

lainnya.


17

untuk setiap pasangan bilangan real (𝑥, 𝑦).

Jika 𝑋 dan 𝑌 variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas bersama

𝑝(𝑥, 𝑦) dan fungsi distribusi dari masing-masing variabel 𝑋 dan 𝑌 adalah 𝑔(𝑥) dan

ℎ(𝑦) , maka 𝑋 dan 𝑌 saling bebas jika dan hanya jika

𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥) ℎ(𝑦)

untuk semua pasangan bilangan real (𝑥, 𝑦).

Jika 𝑋 dan 𝑌 variabel acak kontinu dengan fungsi densitas bersama 𝑓(𝑥, 𝑦)

dan fungsi fungsi distribusi dari masing-masing variabel 𝑋 dan 𝑌 adalah 𝑔(𝑥) dan

ℎ(𝑦), maka 𝑋 dan 𝑌 saling bebas jika dan hanya jika

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦)

untuk semua pasangan bilangan real (𝑥, 𝑦).

Contoh 2.10

Pada contoh 2.8 variabel acak 𝑋 dan 𝑌 tidak saling bebas sebab berdasarkan definisi

2.14 𝑋 dan 𝑌 saling bebas jika 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦) untuk setiap pasangan bilangan

real (𝑥, 𝑦). Pasangan bilangan real (0,0) diperoleh 𝑔(0) =5

14, ℎ(0) =

15

28, dan

𝑔(0)ℎ(0) =5

14 ×15

28=75

392≠ 𝑝(0,0) =

3

28.

B. Nilai Harapan

Definisi 2.15 Nilai Harapan atau Mean (Rata-rata)

Diberikan variabel acak 𝑋 dengan distribusi probabilitas yang diketahui. Mean atau

nilai harapan dari 𝑋 adalah:


18

𝜇 = 𝐸(𝑋) =∑𝑥 𝑝(𝑥)

𝑥

; jika 𝑋 adalah variabel acak diskrit,

𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

; jika 𝑋 adalah variabel acak kontinu.

Contoh 2.11

Diberikan 7 sampel dengan 4 sampel tergolong tidak rusak dan 3 sampel lainnya

tergolong rusak. Bila dilakukan pengambilan 3 sampel secara acak, tentukanlah

nilai harapan terpilihnya sampel yang tidak rusak dari pengambilan tersebut.

Andaikan 𝑋 variabel acak yang menunjukkan banyaknya komponen yang tidak

rusak pada sampel. Fungsi probabilitas distribusi dari 𝑋 adalah

𝑓(𝑥) =(4𝑥)( 32−𝑥

)

(73)

, 𝑥 = 0,1,2,3

sehingga diperoleh

𝑓(0) =1

35, 𝑓(1) =

12

35, 𝑓(2) =

18

35, 𝑓(3)

4

35

nilai harapan 𝑋 adalah

𝜇 = 𝐸(𝑋) = (0)1

35+ (1)

12

35+ (2)

18

35+ (3)

4

35=12

7= 1.7

jadi nilai harapan dari terpilihnya sampel yang tidak rusak dari pengambilan

tersebut adalah 1.7.

Contoh 2.12

Diberikan variabel acak 𝑋 yang mewakili masa hidup elektronik dalam jam dengan

fungsi densitas sebagai berikut:


19

𝑓(𝑥, 𝑦) = {

20000

𝑥3, 𝑥 > 100

0, lainnya

Tentukanlah nilai harapan 𝑋.

Menurut definsi nilai harapan diperoleh:

𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 20000

𝑥3𝑑𝑥 = ∫

20000

𝑥2𝑑𝑥 = 200.

∞

100

∞

100

Nilai harapan dari 𝑋 adalah 200.

Definisi 2.16 Nilai Harapan Fungsi Variabel Acak

Diberikan variabel acak 𝑋 dengan distribusi probabilitas 𝑓(𝑥) dan 𝑝(𝑥) adalah

fungsi yang bernilai real dari 𝑋. Nilai harapan 𝑔(𝑋) adalah:

𝜇𝑔(𝑋) = 𝐸[𝑔(𝑋)] =∑𝑔(𝑥)𝑝(𝑥)

𝑥

; jika 𝑋 adalah variabel acak diskrit,

𝜇𝑔(𝑋) = 𝐸[𝑔(𝑋)] = ∫ 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

; jika 𝑋 adalah variabel acak kontinu.

Lemma 2.1

Diberikan suatu konstanta tak nol 𝑏 maka 𝐸(𝑏) = 𝑏.

Bukti:

Untuk variabel acak diskrit,

𝐸(𝑏) =∑𝑏𝑝(𝑥) = 𝑏∑𝑓(𝑥) = 𝑏(1) = 𝑏.

Untuk variabel acak kontinu,

𝐸(𝑏) = ∫𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑏 ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑏. ∎

lainnya.


20

Lemma 2.2

Diberikan suatu konstanta tak nol 𝑎 maka 𝐸(𝑎𝑋) = 𝑎𝐸(𝑋).

Bukti:

Untuk variabel acak diskrit,

𝐸(𝑎𝑋) =∑𝑎𝑥 𝑝(𝑥) = 𝑎∑𝑥 𝑝(𝑥) = 𝑎 (𝑋).


𝐸(𝑎𝑥) = ∫𝑎𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎 ∫𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎 𝐸(𝑋). ∎

Teorema 2.1

Diberikan 𝑎, 𝑏 suatu konstanta, 𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏.

Bukti:

Berdasarkan Definisi 2.16 diperoleh sebagai berikut:

untuk variabel acak diskrit,

𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) =∑(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑝(𝑥)

=∑(𝑎𝑥 𝑝(𝑥) + 𝑏 𝑝(𝑥))

=∑𝑎𝑥 𝑝(𝑥) +∑𝑏 𝑝(𝑥)

= 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏.


21


𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = ∫ (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

= ∫ 𝑏𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∞

−∞

∞

−∞

= 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏. ∎

Teorema 2.2 Nilai Harapan dari Jumlahan Dua atau Lebih Fungsi Variabel

Acak

Nilai harapan dari jumlahan dua atau lebih fungsi variabel acak 𝑋 adalah

𝐸[𝑔(𝑋) + ℎ(𝑋)] = 𝐸[𝑔(𝑋)] + 𝐸[ℎ(𝑋)].

Bukti:

Menurut Definisi 2.16 diperoleh sebagai berikut:

untuk variabel acak diskit,

𝐸[𝑔(𝑋) + ℎ(𝑋)] =∑[𝑔(𝑋) + ℎ(𝑋)] 𝑝(𝑥)

=∑[𝑔(𝑋)𝑝(𝑥) + ℎ(𝑋)𝑝(𝑥)]

=∑𝑔(𝑋)𝑝(𝑥) +∑ℎ(𝑋)𝑝(𝑥)

= 𝐸[𝑔(𝑋)] + 𝐸[𝑓(𝑋)].


𝐸[𝑔(𝑋) + ℎ(𝑋)] = ∫ [𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)]𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∞

−∞


22

= ∫ 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ ℎ(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

∞

−∞

= 𝐸[𝑔(𝑥)] + 𝐸[ℎ(𝑥)]. ∎

Teorema 2.3 Nilai Harapan dari Selisih Dua atau Lebih Fungsi Variabel Acak

𝐸[𝑔(𝑋) − ℎ(𝑋)] = 𝐸[𝑔(𝑋)] − 𝐸[ℎ(𝑋)].

Bukti:

Menurut Definisi 2.16 diperoleh:

untuk variabel acak diskrit,

𝐸[𝑔(𝑋) − ℎ(𝑋)] =∑[𝑔(𝑋) − ℎ(𝑋)] 𝑝(𝑥)

=∑[𝑔(𝑋)𝑝(𝑥) − ℎ(𝑋)𝑝(𝑥)]

=∑𝑔(𝑋)𝑝(𝑥) −∑ℎ(𝑋)𝑝(𝑥)

= 𝐸[𝑔(𝑋)] − 𝐸[𝑓(𝑋)].


𝐸[𝑔(𝑋) − ℎ(𝑋)] = ∫ [𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥)]𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∞

−∞

= ∫ 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ ℎ(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

∞

−∞

= 𝐸[𝑔(𝑥)] − 𝐸[ℎ(𝑥)]. ∎


23

Contoh 2.13

Diberikan variabel acak 𝑋 dengan fungsi probabilitas sebagai berikut:

Tabel 2.3 Fungsi probabilitas dari variabel acak 𝑋.

𝑥 0 1 2 3

𝑓(𝑥) 1

3

1

2

0 1

6

Carilah nilai harapan 𝑌 = (𝑋 − 1)2.

Jawab:

Dengan menggunakan Teorema 2.1, Teorema 2.2 dan Teorema 2.3 fungsi 𝑌 =

(𝑋 − 1)2 dapat ditulis sebagai berikut:

𝐸[(𝑋 − 1)2] = 𝐸(𝑋2 − 2𝑋 + 1) = 𝐸(𝑋2) − 2𝐸(𝑋) + 𝐸(1),

𝐸(1) = 1,

𝐸(𝑋) = 0 (1

3) + 1 (

1

2) + 2(0) + 3 (

1

6) = 1,

𝐸(𝑋2) = 0 (1

3) + 1 (

1

2) + 4(0) + 9 (

1

6) = 2,

Jadi, nilai harapan 𝑌 = (𝑋 − 1)2 adalah 𝐸[(𝑋 − 1)2] = 2 − 2(1) + 1 = 1.

Teorema 2.4 Nilai Harapan dari Perkalian Dua atau Lebih Variabel Acak

Diberikan variabel acak 𝑋 dan 𝑌 yang saling bebas. Nilai harapan dari perkalian

variabel acak tersebut adalah 𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌).


24

Bukti:

Menurut Definisi 2.14 dan Definisi 2.16 untuk 𝑋, 𝑌 diskrit diperoleh,

𝐸(𝑋𝑌) =∑∑𝑥𝑦 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦)

𝑦𝑥

=∑∑𝑥 𝑔(𝑥) 𝑦 ℎ(𝑦)

𝑦𝑥

=∑𝑥 𝑔(𝑥) ∑𝑦 ℎ(𝑦)

𝑦𝑥

=∑𝑥 𝑔(𝑥) 𝐸(𝑌)

𝑥

= 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌).

Menurut Definisi 2.14 dan Definisi 2.16 untuk 𝑋, 𝑌 kontinu diperoleh,

𝐸(𝑋𝑌) = ∫ ∫ 𝑥𝑦∞

−∞

∞

−∞

𝑔(𝑥)ℎ(𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥

= ∫ 𝑥𝑔(𝑥) [∫ 𝑦 ℎ(𝑦) 𝑑𝑦∞

−∞

] 𝑑𝑥 ∞

−∞

= ∫ 𝑥 𝑔(𝑥) 𝐸(𝑌) 𝑑𝑥∞

−∞

= 𝐸(𝑌)∫ 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥∞

−∞

= 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌). ∎


25

C. Variansi

Definisi 2.17 Variansi

Diberikan variabel acak 𝑋 dengan distribusi probabilitas yang diketahui dengan

mean 𝜇. Variansi dari 𝑋 adalah:

𝜎2 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2] = ∑(𝑥 − 𝜇)2𝑝(𝑥)

𝑥

; jika 𝑋 variabel acak diskrit,

𝜎2 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2] = ∫ (𝑥 − 𝜇)2𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

; jika 𝑋 variabel acak kontinu.

Akar dari variansi adalah 𝜎 dan disebut standar deviasi dari 𝑋.

Contoh 2.14

Perhatikan Contoh 2.11. Tentukan variansi dari 𝑋.

Diketahui bahwa 𝐸(𝑋) = 1.7 dari perhitungan pada contoh 2.11 diperoleh:

𝑓(0) =1

35, 𝑓(1) =

12

35, 𝑓(2) =

18

35, 𝑓(3) =

4

35.

Variansi dari 𝑋 adalah

𝜎2 =∑(𝑥 − 1.7)23

𝑥=0

= (1 − 1.7)2 (1

35) + (1 − 1.7)2 (

12

35) + (1 − 1.7)2 (

18

35) + (1 − 1.7)2 (

4

35)

= 0.49.

Teorema 2.5

Variansi dari variabel acak 𝑋 adalah

𝜎2 = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2.


26

Bukti:

Bila 𝑋 adalah variabel acak diskrit diperoleh,

𝜎2 =∑(𝑥 − 𝜇)2𝑝(𝑥)

𝑥

=∑(𝑥2 − 2𝜇𝑥 + 𝜇2)𝑝(𝑥)

𝑥

=∑𝑥2𝑝(𝑥) − 2𝜇∑𝑥 𝑝(𝑥) + 𝜇2∑𝑝(𝑥).

𝑥𝑥𝑥

Menurut definisi nilai harapan 𝜇 = ∑ 𝑥 𝑝(𝑥)𝑥 dan menurut definisi fungsi

probabilitas diskrit yang ke (2) ∑ 𝑝(𝑥) = 1𝑥 untuk setiap fungsi probabilitas diskrit

maka diperoleh

𝜎2 =∑𝑥2 𝑝(𝑥) − 𝜇2

𝑥

= 𝐸(𝑋2) − 𝜇2.

Bila 𝑋 adalah variabel acak kontinu diperoleh

𝜎2 = ∫ (𝑥 − 𝜇)2𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

= ∫ (𝑥2 − 2𝜇𝑥 + 𝜇2)𝑓(𝑥)∞

−∞

𝑑𝑥

= ∫ 𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − 2𝜇∫ 𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝜇2𝑓(𝑥) 𝑑𝑥.∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞


27

Menurut definisi nilai harapan 𝜇 = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∞

−∞ dan menurut fungsi probabilitas

kontinu yang ke (2) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 1∞

−∞ untuk setiap fungsi probabilitas kontinu maka

diperoleh

𝜎2 = ∫ 𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝜇2𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∞

−∞

∞

−∞

= 𝐸(𝑋2) − 𝜇2. ∎

D. Fungsi Pembangkit Momen (FPM)

Fungsi pembangkit momen berguna untuk menyelesaikan masalah-masalah

komputasi dalam statistika matematis.

Definisi 2.18

Momen ke-𝑘 dari variabel acak 𝑋 adalah 𝐸(𝑋𝑘) dan dinotasikan 𝜇′𝑘.

Definisi 2.19 Fungsi Pembangkit Momen (FPM)

Fungsi pembangkit momen untuk variabel acak 𝑋 didefinisikan sebagai berikut

𝑚(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑥).

Teorema 2.6 Fungsi Pembangkit Momen dari Jumlahan Variabel Acak

Misalkan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 adalah variabel acak yang saling bebas dengan fungsi

pembangkit momen masing-masing adalah 𝑚𝑥1(𝑡),𝑚𝑥2

(𝑡),… ,𝑚𝑥𝑛(𝑡).

Jika 𝑌 = 𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛 maka 𝑚𝑌(𝑡) = 𝑚𝑥1(𝑡) × 𝑚𝑥2

(𝑡) × …×𝑚𝑥𝑛(𝑡).

Bukti:


28

Diketahui 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 adalah variabel acak yang saling bebas maka menurut

Teorema 2.4 dan Definisi 2.19 diperoleh:

𝑚𝑌(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑌)

= 𝐸(𝑒𝑡(𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋𝑛))

= 𝐸(𝑒𝑡(𝑋1) × 𝑒𝑡(𝑋2) × …× 𝑒𝑡(𝑋𝑛))

= 𝐸(𝑒𝑡(𝑋1)) × 𝐸(𝑒𝑡(𝑋2)) × …× 𝐸(𝑒𝑡(𝑋𝑛))

= 𝑚1(𝑡) × 𝑚2(𝑡) × … × 𝑚𝑛(𝑡). ∎

Teorema 2.7 Ketunggalan

Diberikan 𝑚𝑥(𝑡) dan 𝑚𝑦(𝑡) adalah fungsi pembangkit momen dari variabel

random 𝑋 dan 𝑌. Jika 𝑚𝑥(𝑡) = 𝑚𝑦(𝑡) maka 𝑋 dan 𝑌 mempunyai distribusi yang

sama.

Bukti:

(Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi)

Pada skripsi tersebut, Teorema Ketunggalan dibuktikan secara umum dengan

menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu

𝜑𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑖𝑡𝑥)

dengan 𝑖 adalah bilangan kompleks.

Perhatikan bahwa FPM adalah bentuk khusus dari fungsi karakteristik dengan

mengganti 𝑡 = −𝑖𝑡, bukti dilakukan dengan menunjukan bahwa bila 𝐹 dan 𝐺

adalah fungsi distribusi kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama yaitu

∫ 𝑒𝑖𝑡𝑥𝑑𝐹(𝑥)∞

−∞

= ∫ 𝑒𝑖𝑡𝑥𝑑𝐺(𝑥)∞

−∞

∀𝑡 ∈ ℝ


29

maka 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥) (skripsi hal 54).

Berdasarkan Teorema Ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi

pembangkit momen dengan fungsi probabilitas.

E. Distribusi Poisson

Percobaan yang menghasilkan nilai numerik dari variabel acak 𝑋 yang

menyatakan banyaknya kejadian khusus yang terjadi selama jangka waktu tertentu

disebut percobaan Poisson. Misalnya variabel acak yang menyatakan banyaknya

telepon yang masuk dalam kurun waktu 1 jam. Distribusi probabilitasnya disebut

distribusi Poisson. Distribusi Poisson merupakan distribusi probabilitas diskrit.

Definisi 2.20 Distribusi Poisson

Distribusi probabilitas untuk variabel acak Poisson 𝑋 yang menyatakan banyaknya

hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu

didefinisikan sebagai berikut:

𝑝(𝑥; 𝜆𝑡) =(𝜆𝑡)𝑥𝑒−𝜆𝑡

𝑥!, 𝑥 = 0,1,2, ….

dengan 𝜆 adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang

waktu atau daerah tertentu yang dinyatakan dan 𝑡 adalah menunjukkan selang

waktu.

Teorema 2.8 Nilai Harapan Distribusi Poisson

Nilai harapan dari variabel acak diskrit yang 𝑋 berdistribusi Poisson adalah

𝐸(𝑋) = 𝜆𝑡.


30

Bukti:

Berdasarkan Definisi 2.15 diperoleh:

𝐸(𝑋) =∑𝑥 𝑝(𝑥)

∞

𝑥=0

=∑𝑥 𝑒−𝜆𝑡(𝜆𝑡)𝑥

𝑥!

∞

𝑥=0

=∑𝑥 𝑒−𝜆𝑡𝜆𝑡(𝜆𝑡)𝑥−1

𝑥(𝑥 − 1)!

∞

𝑥=1

= 𝜆𝑡∑𝑒−𝜆𝑡(𝜆𝑡)𝑥−1

(𝑥 − 1)!

∞

𝑥=1

.

Misalkan 𝑦 = 𝑥 − 1, maka

𝐸(𝑋) = 𝜆𝑡∑𝑒−𝜆𝑡(𝜆𝑡)𝑦

𝑦!.

∞

𝑦=0

Mengingat bahwa 𝑝(𝑦) =𝑒−𝜆𝑡(𝜆𝑡)𝑦

𝑦! berdistribusi Poisson dan berdasarkan definisi

fungsi probabilitas diskrit ke- (2) ∑ 𝑝(𝑦) = 1∞𝑦=0 maka diperoleh

𝐸(𝑋) = 𝜆𝑡∑𝑒−𝜆𝑡(𝜆𝑡)𝑥−1

(𝑥 − 1)!

∞

𝑥=1

= 𝜆𝑡∑𝑒−𝜆𝑡(𝜆𝑡)𝑦

𝑦!

∞

𝑦=0

= 𝜆𝑡. ∎

Teorema 2.9 Variansi Distribusi Poisson

Variansi dari variabel acak diskrit 𝑋 berdistribusi Poisson 𝑝(𝑥; 𝜆𝑡) adalah

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜆𝑡.

Bukti:

Berdasarkan Teorema 2.5 akan dicari 𝐸(𝑋2).


31

Misalkan:

𝐸(𝑋2) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑋)

= 𝐸(𝑋2 − 𝑋) + 𝐸(𝑋)

= 𝐸[𝑋(𝑋 − 1)] + 𝐸(𝑋),

𝐸[𝑋(𝑋 − 1)] =∑𝑥(𝑥 − 1)𝑝(𝑥)

∞

𝑥=0

=∑𝑥(𝑥 − 1) 𝑒−𝜆𝑡(𝜆𝑡)𝑥

𝑥!

∞

𝑥=0

=∑𝑥(𝑥 − 1) 𝑒−𝜆𝑡(𝜆𝑡)2(𝜆𝑡)𝑥−2

𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)!

∞

𝑥=1

,

𝐸[𝑋(𝑋 − 1)] = (𝜆𝑡)2∑𝑒−𝜆𝑡(𝜆𝑡)𝑥−2

(𝑥 − 2)!

∞

𝑥=1

= (𝜆𝑡)2,

sehingga diperoleh

𝐸(𝑋2) = 𝐸[𝑋(𝑋 − 1)] + 𝐸(𝑋)

= (𝜆𝑡)2 + (𝜆𝑡),

dengan demikian

𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝜇2

= (𝜆𝑡)2 + (𝜆𝑡) − (𝜆𝑡)2

= 𝜆𝑡. ∎


32

Teorema 2.10 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Poisson

Fungsi pembangkit momen untuk variabel acak 𝑋 berdistribusi Poisson adalah

𝑒𝜆𝑡(𝑒𝑡−1)

Bukti:

Misalkan 𝜆𝑡 = 𝜃, maka

𝑚(𝑡) =∑𝜃𝑥𝑒−𝜃

𝑥!

∞

𝑥=0

𝑒𝑡𝑥

=∑𝜃𝑥𝑒𝑡𝑥−𝜃

𝑥!

∞

𝑥=0

= 𝑒−𝜃∑(𝜃𝑒𝑡)𝑥

𝑥!

∞

𝑥=0

= 𝑒𝜃𝑒𝑡𝑒−𝜃

= 𝑒𝜃(𝑒𝑡−1)

= 𝑒𝜆𝑡(𝑒𝑡−1).

∎

F. Distribusi Gamma

Distribusi Gamma merupakan distribusi probabilitas berasal dari fungsi

Gamma yang sudah dikenal luas. Distribusi Gamma merupakan distribusi kontinu.

Beberapa distribusi merupakan kejadian khusus dari distribusi Gamma. Misalnya

distribusi Eksponensial.


33

Definisi 2.21 Fungsi Gamma

Fungsi Gamma didefinisikan sebagai berikut

Γ(𝛼) = ∫ 𝑥𝛼−1 𝑒−𝑥𝑑𝑥 , 𝛼 > 0.∞

0

Teorema 2.11 Sifat-sifat Fungsi Gamma

Berikut ini adalah sifat-sifat dari fungsi Gamma:

1. Γ(𝛼) = (𝛼 − 1)Γ(𝛼 − 1) untuk setiap 𝛼 > 0.

2. Γ(1) = 1.

3. Γ(𝑛) = (𝑛 − 1) ! untuk setiap bilangan bulat positif 𝑛.

Bukti:

1. Menggunakan definisi fungsi Gamma dan pengintegralan kalkulus secara

parsial yaitu ∫𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫𝑣 𝑑𝑢, dengan memisalkan 𝑢 = 𝑥𝛼−1 maka

𝑑𝑢 = (𝛼 − 1)𝑥𝛼−2, dan 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑥 maka 𝑣 = ∫ 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒−𝑥|∞0

∞

0 sehingga

diperoleh

Γ(𝛼) = lim𝑡→∞

−𝑒−𝑥𝑥𝛼−1 |𝑡

0− ∫ −𝑒−𝑥(𝛼 − 1)𝑥𝛼−2𝑑𝑥

∞

0

= lim𝑡→∞


0+ ∫ 𝑒−𝑥(𝛼 − 1)𝑥𝛼−2𝑑𝑥

∞

0

= lim𝑡→∞


0+ (𝛼 − 1)∫ 𝑒−𝑥𝑥(𝛼−1)−1

∞

0

𝑑𝑥

= −lim𝑡→∞

(𝑡𝛼−1

𝑒𝑡) + (𝛼 − 1)Γ(𝛼 − 1)

= −lim𝑡→∞

[exp((𝛼 − 1) ln 𝑡)

𝑒𝑡] + (𝛼 − 1)Γ(𝛼 − 1)


34

= −lim𝑡→∞

[exp((𝛼 − 1) ln 𝑡 − 𝑡)] + (𝛼 − 1)Γ(𝛼 − 1)

= −lim𝑡→∞

{exp [(𝛼 − 1)𝑡 (ln 𝑡

𝑡− 1)]} + (𝛼 − 1)Γ(𝛼 − 1)

= (𝛼 − 1)Γ(𝛼 − 1).

2. Berdasarkan definisi fungsi Gamma diperoleh:

Γ(1) = ∫ 𝑥1−1𝑒−𝑥𝑑𝑥∞

0

= ∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥

∞

0

= lim

𝑡→∞−𝑒−𝑥 |

𝑡

0

= 0 − (−1)

= 1. (2.1)

3. Berdasarkan definisi fungsi Gamma diperoleh:

Γ(𝑛 − 1) = (𝑛 − 1) ∫ 𝑒−𝑥𝑥𝛼−2∞

0

𝑑𝑥

= ((𝑛 − 1) − 1)∫ 𝑒−𝑥𝑥(𝛼−1)−2

∞

0

𝑑𝑥

= (𝑛 − 2)∫ 𝑒−𝑥𝑥(𝛼−1)−2

∞

0

𝑑𝑥

= (𝑛 − 2)Γ(𝑛 − 2), (2.2)

menurut teorema sifat-sifat fungsi Gamma ke-(1) dan ke- (2) serta dari persamaan

(2.1) dan persamaan (2.2) diperoleh:


35

Γ(𝑛) = (𝑛 − 1)Γ(𝑛 − 1) (2.3)

= (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)Γ(𝑛 − 2)

= (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)Γ(𝑛 − 3)

= (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)(𝑛 − 4)Γ(𝑛 − 4)… . Γ(1)

= (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)(𝑛 − 4)Γ(𝑛 − 4)… .1

= (𝑛 − 1)!. ∎

Definisi 2.22 Distribusi Probabilitas Gamma

Variabel acak kontinu 𝑋 berdistribusi Gamma dengan parameter 𝛼 dan 𝛽 dengan

fungsi densitas sebagai berikut:

𝑓(𝑥) = {𝑥𝛼−1𝑒

− 𝑥𝛽

𝛽𝛼Γ(𝛼) , untuk 𝑥 > 0, 𝛼 > 0, 𝛽 > 0,

0 , selainnya.

Teorema 2.11 Nilai Harapan Distribusi Gamma

Nilai Harapan variabel acak kontinu 𝑋 yang berdistribusi Gamma adalah

𝐸(𝑋) = 𝛼𝛽.

Bukti:

Misalkan 𝜆 =1

𝛽 menurut nilai harapan dan definisi distribusi probabilitas Gamma

diperoleh:

misalkan 𝑢 = 𝜆𝑥 maka dan 𝑢

𝜆= 𝑥 𝑑𝑢 = 𝜆𝑑𝑥 maka persamaan (2.4) menjadi

berdasarkan definisi fungsi Gamma persamaan (2.5) menjadi

𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝜆𝛼

(𝛼 − 1)!𝑥𝛼−1𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥

∞

0

, (2.4)


36

=

1

𝜆(𝛼 − 1)!Γ(𝛼 + 1)

=

1

𝜆(𝛼 − 1)!𝛼 Γ(𝛼)

=𝛼

𝜆(𝛼 − 1)! (𝛼 − 1)!

=𝛼

𝜆

(2.6)

karena 𝜆 =1

𝛽 maka persamaan (2.6) menjadi

𝐸(𝑋) = 𝛼𝛽. ∎

Teorema 2.12 Variansi Distribusi Gamma

Variansi variabel acak kontinu 𝑋 yang berdistribusi Gamma adalah

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝛼𝛽2.

Bukti:

Berdasarkan Teorema 2.5 akan dicari 𝐸(𝑋2).

𝐸(𝑋2) = ∫ 𝑥2 (𝑥𝛼−1 𝑒

−𝑥𝛽

𝛽𝛼Γ(𝛼))

∞

0

𝑑𝑥

=1

𝛽𝛼Γ(𝛼)∫ 𝑥𝛼+1 𝑒

−𝑥𝛽

∞

0

𝑑𝑥

=1

𝛽𝛼Γ(𝛼)[𝛽𝛼+2 Γ(𝛼 + 2)]

𝐸(𝑋) = ∫ (𝑢

𝜆)

𝜆𝛼

(𝛼 − 1)!(𝑢

𝜆)𝛼−1 𝑒−𝑢

𝜆𝑑𝑢

∞

0

= ∫𝜆𝛼

𝜆1+𝛼−1+1 (𝛼 − 1)!𝑢(1+𝛼)−1𝑒−𝑢𝑑𝑢,

∞

0


37

=𝛽2(𝛼 + 1)𝛼 Γ(α)

Γ(𝛼)

= 𝛼(𝛼 + 1)𝛽2,

𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2

= 𝛼(𝛼 + 1)𝛽2 − (𝛼𝛽)2

= 𝛼2𝛽2 + 𝛼𝛽2 − 𝛼2𝛽2

= 𝛼𝛽2. ∎

Teorema 2.13 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Gamma

Fungsi pembangkit momen dari variabel acak kontinu 𝑋 berdistribusi

Gamma (𝛽, 𝛼) adalah

𝑚𝑥(𝑡) =1

(1 − 𝑡𝛽)𝛼.

Bukti:

Misalkan 𝛽 =1

𝜆, berdasarkan Definisi Nilai Harapan dan Definisi Fungsi

Pembangkit Momen diperoleh persamaan

𝑚𝑥(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑥)

= ∫ 𝑒𝑡𝑥 [

𝜆𝛼

Γ(𝛼)𝑥𝛼−1𝑒−𝑥𝜆] 𝑑𝑥

∞

0

= ∫

𝜆𝛼

Γ(𝛼)𝑥𝛼−1𝑒𝑡𝑥−𝑥𝜆

∞

0

𝑑𝑥

= ∫

𝜆𝛼

Γ(𝛼)𝑥𝛼−1𝑒

−𝜆𝑥(1−𝑡𝜆)

∞

0

𝑑𝑥 (2.7)


38

misalkan 𝑦 = 𝜆𝑥(1 −𝑡

𝜆) atau 𝑥 =

𝑦

𝜆(1−𝑡

𝜆) dengan 𝑡 < 𝜆 maka 𝑑𝑥 =

1

𝜆(1−𝑡

𝜆)𝑑𝑦

sehingga Persamaan 2.7 menjadi

𝑚𝑥(𝑡) = ∫

𝜆𝛼

Γ(𝛼)𝑦𝛼−1𝑒−𝑦

𝜆 (1 −𝑡𝜆)

(1

𝜆 (1 −𝑡𝜆))

∞

0

𝛼−1

𝑑𝑦

= ∫ (1

𝜆 (1 −𝑡𝜆))

𝛼

𝜆𝛼

Γ(𝛼)𝑦𝛼−1𝑒−𝑦 𝑑𝑦

∞

0

= ∫ (1

(1 −𝑡𝜆))

𝛼

𝑦𝛼−1𝑒−𝑦

Γ(𝛼)

∞

0

𝑑𝑦

= (1

(1 −𝑡𝜆))

𝛼

∫𝑦𝛼−1𝑒−𝑦

Γ(𝛼)𝑑𝑦,

∞

0

(2.8)

karena ∫𝑦𝛼−1𝑒−𝑦

Γ(𝛼)𝑑𝑦

∞

0 adalah fungsi probabilitas Gamma dengan 𝛽 = 1 maka

menurut Definisi Fungsi Probabilitas Kontinu ke-(2) persamaan 2.8 menjadi

𝑚𝑥(𝑡) = (1

(1 −𝑡𝜆))1

= (1

(1 −𝑡𝜆)).

=1

1 − 𝑡𝛽.

∎


39

G. Distribusi Eksponensial

Distribusi Eksponensial merupakan salah satu kejadian khusus dari distribusi

Gamma yaitu ketika 𝛼 = 1 dan 𝛽 =1

𝜆. Banyak sekali pengambilan keputusan untuk

menyelesaikan suatu masalah dengan menggunakan distribusi Eksponensial.

Misalnya waktu pelayanan pada subyek dalam sistem antrian.

Definisi 2.23 Distribusi Eksponensial

Variabel acak kontinu 𝑋 dikatakan berdistribusi Eksponensial dengan parameter 𝜆,

ditulis 𝐸𝑥𝑝 (𝑥, 𝜆) bila mempunyai fungsi densitas sebagai berikut:

𝑓(𝑥) = {𝜆𝑒−𝜆𝑥,0,

𝑥 ≥ 0

lainnya

Teorema 2.14 Nilai Harapan Distiribusi Eksponensial

Nilai harapan dari variabel acak kontinu 𝑋 berdistribusi Eksponensial adalah

𝐸(𝑋) =1

𝜆.

Bukti:

𝐸(𝑋) = 𝛼𝛽 = 1 ×1

𝜆=1

𝜆.

∎

Teorema 2.15 Variansi Distribusi Eksponensial

Variansi dari variabel acak kontinu 𝑋 berdistribusi Exponensial (𝑥; 𝜆) adalah

𝑉𝑎𝑟(𝑋) =1

𝜆2.

lainnya.


40

Bukti:

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝛼𝛽2 = 1 × (1

𝜆)2

=1

𝜆2.

∎

Teorema 2.16 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Eksponensial

Bila 𝑋~𝐸𝑥𝑝(𝑥, 𝜆) maka fungsi pembangkit momennya adalah

𝑚𝑥(𝑡) =1

(1 −𝑡𝜆) .

Bukti:

𝑚𝑥(𝑡) =1

(1 − 𝑡𝛽)𝛼=

1

1 −𝑡𝜆

.

∎

H. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov

Uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov atau sering disebut (godness of

fit) adalah uji kecocokan atau keselarasan. Uji ini ditemukan oleh matematikawan

Rusia A. N. Kolmogorov pada tahun 1933. Uji ini memusatkan perhatian pada dua

buah fungsi distribusi kumulatif yaitu distribusi kumulatif yang dihipotesiskan dan

distribusi kumulatif yang diamati. Mengingat 𝐹(𝑥) menyatakan suatu fungsi

distribusi kumulatif. Apabila ingin mengambil sampel dari distribusi kumulatif

𝐹(𝑥) yang belum diketahui, hal ini mendorong untuk memastikan apakah dapat

disimpulkan 𝐹(𝑥) = 𝐹0(𝑥) untuk semua 𝑥 dengan 𝐹0(𝑥) adalah suatu fungsi

distribusi kumulatif yang sepenuhnya ditentukan yakni distribusi kumulatif yang

dihipotesiskan. Jika 𝐹(𝑥) = 𝐹0(𝑥) sangat diharapkan ada kecocokan antara 𝐹0(𝑥)


41

dan 𝑆𝑛(𝑥), dengan 𝑆𝑛(𝑥) adalah fungsi distribusi sampel yang diamati atau fungsi

distribusi empirik.

Definisi 2.24 Distribusi Sampel atau Distribusi Empirik

Misalkan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 adalah variabel random. Fungsi distribusi empiris 𝑆𝑛(𝑥) di

definisikan sebagai berikut:

𝑆𝑛(𝑥) =

{

0

, 𝑥 < 𝑋(𝑖)

𝑖

𝑁 , 𝑋(𝑖) < 𝑥 < 𝑋(𝑖+1)

1 , 𝑋(𝑛) ≤ 𝑁

dengan 𝑥𝑖 adalah pengaruh urutan ke-𝑖 dan 𝑖 menyatakan banyaknya nilai

pengamatan dalam sampel yang kurang dari atau sama dengan 𝑥 dan 𝑁 menyatakan

banyaknya pengamatan.

Definisi 2.25 Statistik Uji Kolmogorov-Smirnov

Statistik uji Kolmogorov-Smirnov dinotasikan 𝐷 didefinisikan sebagai berikut:

𝐷 = max(𝐷+, 𝐷−).

𝐷+ = max[𝑆𝑛(𝑥) − 𝐹0(𝑥)].

𝐷− = max [𝐹0(𝑥) − 𝑆𝑛(𝑥)].

Prosedur dalam melakukan uji ini adalah sebagai berikut:

1. Tentukan hipotesis yaitu:

𝐻0: 𝐹(𝑥) = 𝐹0(𝑥)

𝐻1: 𝐹(𝑥) ≠ 𝐹0(𝑥)


42

2. Tentukan tingkat signifikasi yaitu 𝛼.

3. Hitung 𝐹0(𝑥) dan 𝑆𝑛(𝑥) yang diamati dan hitunglah 𝐹0(𝑥) − 𝑆𝑛(𝑥).

4. Tentukan wilayah kritis yaitu:

𝐻0 ditolak dan 𝐻1 diterima bila 𝐷 > 𝐷𝛼 .

5. Carilah nilai 𝐷 dan nilai 𝐷𝛼, 𝐷𝛼 diperoleh dari Lampiran 5.

6. Buatlah kesimpulan.

Untuk mempermudah pengujian, uji sampel Kolmogorov-Smirnov juga

dapat dilakukan dengan SPSS.

Contoh 2.15

Diberikan data suatu sampel acak.

Tabel 2.4 Data suatu sampel acak.

Data

8 1 3 3 2

1 4 0 5 9

Apakah data tersebut berdistribusi Poisson atau tidak?

Jawab:

1. 𝐻0: data berdistribusi Poisson.

𝐻1: data tidak berdistribusi Poisson.

2. Tingkat signifikansi (𝛼) = 0.05.


43

3. Perhitungan secara manual:

Rata-rata dari data adalah 3.6.

Tabel 2.5 Uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov secara manual.

𝑥 frek Fkum 𝐼 𝑆𝑛(𝑥𝑖) 𝐹0(𝑋) 𝑆(𝑛−1)(𝑥𝑖) 𝐷+ 𝐷−

0 1 1 1 0.1 0.027324 0 0.0726763 0.027324

1 2 3 2 0.2 0.125689 0.1 0.0743109 0.025689

2 1 4 3 0.3 0.302747 0.2 -0.002747 0.102747

3 2 6 4 0.4 0.515216 0.3 -0.115216 0.215216

4 1 7 5 0.5 0.706438 0.4 -0.206438 0.306438

5 1 8 6 0.6 0.844119 0.5 -0.244119 0.344119

8 1 9 7 0.7 0.988329 0.6 -0.288329 0.388329

9 1 10 8 0.8 0.995976 0.7 -0.195976 0.295976

max(𝐷+) = 0.0743109 dan max(𝐷−) = 0.388329.

𝐷 = max(𝐷+, 𝐷−) = 0.388329.


44

Perhitungan dengan SPSS:

Tabel 2.6 Uji Sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov dengan SPSS.

VAR00002

N 10

Poisson Parametera,,b Mean 3.6000

Most Extreme Differences Absolute .174

Positive .174

Negative -.169

Kolmogorov-Smirnov Z .551

Asymp. Sig. (2-tailed)

.922

a. Test distribution is Poisson.

b. Calculated from data.

4. Daerah penolakan 𝐻0 ditolak bila:

𝐷 > 𝐷 tabel = 0.9987 atau Asymp.Sig (2-tailed) < 𝛼.

5. Kesimpulan:

Dari perhitungan diperoleh 𝐷 = 0.388329 < 𝐷 tabel = 0.9987 dan dari SPSS

diperoleh nilai Asymp.Sig.(2-tailed) adalah = 0.922 > 𝛼 = 0.05. maka 𝐻0

diterima. Jadi dapat disimpulkan bahwa data berdistribusi Poisson.


45

BAB III

Teori Antrian

A. Proses Antrian

Antrian adalah suatu kondisi subyek-subyek menuju suatu area untuk

dilayani dan menghadapi suatu keterlambatan yang disebabkan oleh mekanisme

pelayanan yang mengalami kesibukan. Antrian sendiri timbul karena adanya

ketidakseimbangan antara banyaknya subyek yang dilayani dengan pelayanannya.

Prinsip utama dalam situasi mengantri adalah subyek yang terlibat dalam

antrian atau pelanggan (customer) dan fase atau pelayan (server). Pokok dari

analisis antrian adalah kedatangan pelanggan diwakili dengan waktu antar

kedatangan yang terjadi secara berturut-turut, untuk selanjutnya istilah waktu antar

kedatangan ditulis dengan waktu kedatangan. Pelayanan diwakili dengan waktu

pelayanan pada tiap pelanggan. Secara umum waktu antar kedatangan bersifat suatu

kemungkinan, misalnya suatu pelanggan yang datang untuk membeli tiket bioskop

atau bersifat telah ditetapkan, misalnya kedatangan pelamar pekerjaan untuk

wawancara.

B. Unsur-Unsur Antrian

Dalam sebuah antrian terdapat unsur-unsur penting yaitu:

1. Distribusi kedatangan.

Distribusi kedatangan biasanya dinyatakan dalam distribusi probabilitas

tertentu seperti distribusi Poisson, distribusi Eksponensial, atau distribusi


46

Erlang. Kedatangan pelanggan untuk masuk dalam sistem antrian terbagi

menjadi dua yaitu:

a. Kedatangan secara individu.

b. Kedatangan secara kelompok.

2. Distribusi pelayanan

Dalam distribusi pelayanan dibutuhkan pola pelayanan yaitu waktu pelayanan.

Waktu pelayanan berupa variabel acak yang distribusi probabilitasnya

diketahui. Pelayanan kepada pelanggan terbagi menjadi dua yaitu:

a. Pelayanan secara individu.

b. Pelayanan secara kelompok.

3. Perilaku pelanggan pada antrian.

Perilaku pelanggan pada sistem antrian merupakan faktor yang penting.

Perilaku pelanggan pada sistem antrian bisa mempengaruhi analisis pada

barisan antrian. Perilaku manusia dalam sistem antrian berperan sebagai

berikut:

a. Jockeying adalah suatu perilaku manusia untuk mengurangi waktu tunggu

dengan berpindah dari antrian satu ke yang lainnya.

b. Balking adalah suatu perilaku dimana seseorang masuk dalam antrian dan

menunggu hingga memperoleh pelayanan.

c. Reneging adalah suatu perilaku dimana seseorang masuk dalam antrian,

namun belum memperoleh pelayan, kemudian meninggalkan antrian

tersebut.


47

4. Peraturan pelayanan

Pelanggan pada sistem antrian dapat dilayani secara individual atau

berkelompok. Peraturan pelayanan sangat penting sebab peraturan pelayanan

meghasilkan keputusan yang digunakan untuk menyeleksi pelanggan pada

sistem antrian, siapa yang akan dilayani terlebih dahulu. Terdapat empat cara

dalam mengambil keputusan pada peraturan pelayan yaitu:

a. First in first out (FIFO)

First in first out (FIFO) bisa juga menggunakan istilah first come first

served (FCFS). Aturan pelayanan ini menerapkan pelanggan pertama yang

datang akan dilayani terlebih dahulu, misalnya pelanggan yang mengantri

untuk melakukan transaksi dengan teller di bank.

b. Last in first out (LIFO)

Last in first out (LIFO) bisa juga menggunakan istilah last come first served

(LCFS). Aturan pelayanan ini menerapkan pelanggan yang terakhir datang

akan dilayani terlebih dahulu, misalnya sistem antrian dalam elevator untuk

lantai yang sama. Pelanggan yang pertama kali keluar adalah pelanggan

yang terakhir masuk ke dalam elevator.

c. Random selection for service (RRS)

Random selection for service (RRS) bisa juga menggunakan istilah Service

in random order (SIRO). Pada peraturan pelayanan ini, setiap pelanggan

pada antrian mempunyai peluang yang sama untuk dilayani terlebih dahulu,

misalnya pada arisan. Pelayanan dalam sistem antrian dilakukan

berdasarkan undian.


48

d. Priority service (PS)

Pada peraturan pelayanan Priority service (PS) berarti prioritas pelayanan

diberikan kepada pelanggan yang mempunyai prioritas yang lebih tinggi

dibanding pelanggan yang lain, misalnya seseorang yang mempunyai

penyakit yang lebih serius akan dilayani terlebih dahulu.

5. Klasifikasi model antrian

Berdasarkan proses pelayanannya ada dua istilah yang dikenal pada struktur

antrian. Istilah saluran atau baris pada antrian menunjukkan banyaknya jalur

antrian yang tersusun secara paralel untuk memasuki sistem pelayanan

sedangkan istilah fase menunjukkan banyaknya pelayanan yang tersusun secara

seri. Saluran atau baris dapat berupa tunggal ataupun ganda begitu pula fase

dapat berupa tunggal ataupun ganda.

Model antrian yang terjadi secara umum adalah sebagai berikut:

a. Satu saluran satu fase

Satu saluran satu fase (single channel single phase) merupakan model

antrian yang memiliki satu jalur antrian dan satu pelayanan. Contoh dari

model ini adalah seseorang yang mengantri di sebuah bilik ATM.

Gambar 3.1 Model antrian satu saluran satu fase.


49

b. Satu saluran multi fase

Satu saluran multi fase (single channel multi phase) merupakan model

antrian yang memiliki satu jalur antrian dan beberapa fase pelayanan yang

disusun secara seri. Beberapa fase pada model antrian ini menujukkan

adanya dua atau lebih pelayanan yang dilakukan secara seri. Contoh dari

model ini adalah seseorang yang mengantri berobat di sebuah rumah sakit

yang harus melewati beberapa tahap yaitu, pendaftaran konsultasi dokter

pembayaran di kasir pengambilan obat di apotek rumah sakit.

Gambar 3.2 Model antrian satu saluran multi fase.

c. Multi saluran satu fase

Multi saluran satu fase (multi channel single phase) merupakan model

antrian yang mempunyai lebih dari satu jalur antrian dan hanya satu fase

pelayanan. Contoh dari model ini adalah antrian pembelian tiket bioskop,

yaitu terdapat beberapa jalur antrian dan satu fase pelayanan yaitu layanan

penjualan tiket.


50

Gambar 3.3 Model antrian multi saluran satu fase.

d. Multi saluran multi fase

Multi saluran multi fase (multi channel multi phase) adalah model antrian

yang memiliki beberapa jalur antrian dan beberapa fase pelayanan yang

disusun secara seri, berarti terdapat dua atau lebih fase pelayanan yang

dilakukan secara berurutan atau seri. Contoh dari model antrian ini adalah

produksi pewarnaan kertas yang prosesnya dimulai dari kertas dimasukkan

ke dalam mesin pewarnaan kertas dimasukkan ke dalam mesin pemotong

kertas dipilah kertas dimasukkan ke dalam mesin pengepakan.

Gambar 3.4 Model antrian multi saluran multi fase.


51

6. Ukuran sumber kedatangan

Sumber kedatangan pelanggan bisa bersifat terbatas atau tak terbatas. Sumber

yang terbatas (finite source) berati bahwa pelanggan yang datang untuk

mendapatkan pelayanan terbatas, seperti pada kerusakan pada mesin-mesin

yang menunggu servis dari montir. Sumber yang tak terbatas (infinite source)

adalah pelanggan yang terus datang tanpa henti seperti panggilan terhadap

operator telepon.

C. Aturan Distribusi Eksponensial

Kedatangan subyek atau pelanggan pada sebuah antrian bersifat acak berarti

peristiwa kedatangan pelanggan atau penyelesaian pelayanan tidak dipengaruhi

oleh panjang waktu yang telah berlalu sejak terjadinya peristiwa sebelumnya.

Waktu pelayanan dan antar kedatangan yang acak ini dijelaskan menurut

model antrian dengan distribusi Eksponensial. Pada Definisi 2.22 telah dijelaskan

fungsi peluang distribusi Eksponensial.

𝑓(𝑡) = 𝜆𝑒−𝜆𝑡, 𝑡 > 0.

Fungsi distribusi kumulatifnya adalah:

𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ 𝜆𝑒−𝜆𝑡𝑑𝑡𝑥

0

= 1 − 𝑒−𝜆𝑥.

Fakta bahwa distribusi Eksponensial bersifat acak diilustrasikan dari contoh

berikut; jika sekarang menunjukan pukul 08.20 dan waktu kedatangan paling awal

terjadi pada pukul 08.02. Kemungkinan bahwa kedatangan selanjutnya terjadi pada

pukul 08.29 merupakan sebuah fungsi dari interval waktu 08.20 hingga 08.29 dan


52

hal tersebut tidak terikat pada lama waktu yang telah berlalu ketika terjadinya

peristiwa pertama yaitu antara 08.02 hingga 08.20. Sifat distribusi Eksponensial

semacam ini disebut sifat tanpa ingatan (memoryless atau lack of memory atau

forgetfulness).

Teorema 3.1 Sifat Tanpa Ingatan Distribusi Eksponensial

Dimisalkan 𝑓(𝑥) adalah fungsi probabilitas Eksponensial dengan 𝑋 mewakili

waktu kedatangan. Jika 𝑡 adalah interval waktu kejadian pertama dan ℎ adalah

interval kejadian dari peristiwa terakhir maka sifat tanpa ingatan dari distribusi

Eksponensial adalah

𝑃(𝑋 > 𝑡 + ℎ |𝑋 > 𝑡) = 𝑃(𝑋 > ℎ),

untuk menunjukkan sifat tanpa ingatan pada distribusi Eksponensial:

𝑃(𝑋 > 𝑥) = 1 − 𝑃(𝑥 < 𝑋)

= 𝑒−𝜆𝑥,

dengan demikian,

𝑃(𝑋 > 𝑡 + ℎ |𝑋 > 𝑡) =𝑃(𝑋 > 𝑡 + ℎ ∩ 𝑋 > 𝑡)

𝑃(𝑋 > 𝑡)

=𝑃(𝑋 > 𝑡 + ℎ)

𝑃(𝑋 > 𝑡)

=𝑒−𝜆(𝑡+ℎ)

𝑒−𝜆𝑡

= 𝑃(𝑋 > ℎ). ∎


53

D. Proses Poisson

Definisi 3.1 Proses Stokastik

Proses stokastik {𝑋(𝑡), 𝑡 𝜖 𝑇} adalah himpunan semua kemungkinan nilai 𝑋(𝑡)

pada suatu ruang sampel dengan 𝑇 adalah himpunan indeks yang berkaitan dengan

waktu diskrit, 𝑇 = {0,1,2, … }.

Definisi 3.2 Proses Membilang

Proses membilang {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} haruslah memenuhi kriteria sebagai berikut:

1. 𝑁(𝑡) ≥ 0.

2. 𝑁(𝑡) adalah bilangan bulat.

3. Jika 𝑡 < 𝑠 maka 𝑁(𝑡) ≤ 𝑁(𝑠).

4. Untuk 𝑡 < 𝑠 , 𝑁(𝑠) − 𝑁 (𝑡) menyatakan kejadian yang terjadi pada interval

waktu (𝑡, 𝑠].

Proses membilang juga mempunyai sifat orderliness yaitu peluang dari dua

atau lebih kedatangan yang terjadi secara bersama-sama diabaikan.

Sifat lainnya dari proses membilang adalah tanpa memori (memorylessness)

yaitu setiap titik dalam waktu proses membilang saling bebas dengan masa lalu.

Definisi 3.3 Kenaikan Bebas

Proses membilang disebut proses dengan kenaikan bebas (independent increments)

jika banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu terpisah adalah saling

bebas. Artinya banyaknya kejadian yang terjadi pada waktu 𝑡 yaitu 𝑁(𝑡) bebas dari


54

banyaknya kejadian yang terjadi pada waktu antara 𝑡 dan 𝑡 + 𝑠 yaitu 𝑁(𝑡 + 𝑠) −

𝑁(𝑡).

Definsi 3.4 Kenaikan Stasioner

Proses membilang juga disebut proses kenaikan stasioner (stationary increments)

jika distribusi dari banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu tertentu

hanya tergantung pada panjang interval tersebut, tidak bergantung pada letak

interval tersebut. Artinya banyaknya kejadian pada interval waktu (𝑡1 + 𝑠, 𝑡2 + 𝑠]

yaitu 𝑁(𝑡2 + 𝑠) − 𝑁(𝑡1 + 𝑠) mempunyai distribusi yang sama dengan banyaknya

kejadian pada interval waktu (𝑡1, 𝑡2] yaitu 𝑁(𝑡2) − 𝑁(𝑡1) untuk semua 𝑡1 < 𝑡2 ,

𝑃(𝑁(𝑠 + 𝑡) − 𝑁(𝑠) = 𝑘) = 𝑃𝑘(𝑡).

Definisi 3.5 Proses Poisson

Proses membilang {𝑁𝑡, 𝑡 ≥ 0} adalah Proses Poisson dengan laju 𝜆 > 0 jika :

1. 𝑁0 = 0.

2. Banyaknya kejadian pada dua interval yang tidak tumpang tindih serta saling

bebas yaitu untuk setiap 𝑠 > 𝑡 > 𝑢 > 𝑣 > 0, dan variabel acak 𝑁(𝑠) − 𝑁(𝑡)

dengan variabel acak 𝑁(𝑢) − 𝑁(𝑣) adalah saling bebas.

3. Peluang ada 𝑘 kejadian dalam interval waktu 𝑡 berdistribusi Poisson dengan

mean 𝜆𝑡 untuk setiap 𝑠, 𝑡 ≥ 0 berlaku:

𝑃𝑘(𝑡) = 𝑃(𝑁(𝑡 + 𝑠) − 𝑁(𝑠) = 𝑘) =(𝜆𝑡)𝑘

𝑘!𝑒−𝜆𝑡, 𝑘 = 0,1,2,3,…


55

Definisi 3.6 Fungsi 𝒐(𝒉)

Fungsi 𝑓(ℎ) dikatakan 𝑜(ℎ) jika

limℎ→0

𝑓(ℎ)

ℎ= 0.

Contoh 3.1

Untuk interval waktu yang kecil (ℎ > 0):

𝑒−𝜆ℎ = ∑(−𝜆ℎ)𝑛

𝑛!

∞

𝑛=0

= 1 − 𝜆ℎ +(𝜆ℎ)2

2!−(𝜆ℎ)3

3!+ ⋯,

𝑒−𝜆ℎ = 1 − 𝜆ℎ + 𝑜(ℎ),

1 − 𝑒−𝜆ℎ = 𝜆ℎ + 𝑜(ℎ).

Pada persamaan 1 − 𝑒−𝜆ℎ = 𝜆ℎ + 𝑜(ℎ) menunjukkan peluang dari kejadian

interval ℎ > 0 sedangkan persamaan 𝑒−𝜆ℎ = 1 − 𝜆ℎ + 𝑜(ℎ) menunjukkan peluang

tidak ada kejadian dari interval ℎ > 0 atau dapat ditulis sebagai berikut:

𝑃(𝑁(ℎ) = 0) = 1 − 𝜆ℎ + 𝑜(ℎ). (3.1)

Definisi 3.7 Proses Poisson

Proses membilang {𝑁𝑡, 𝑡 ≥ 0} adalah Proses Poisson dengan laju 𝜆 > 0 jika:

1. 𝑁0 = 0.

2. Bersifat kenaikan stasioner.

3. 𝑃(𝑁(ℎ) = 1) = 𝜆ℎ + 𝑜(ℎ).

4. 𝑃(𝑁(ℎ) ≥ 2) = 𝑜(ℎ).


56

Untuk menyatakan peluang bahwa ada kejadian 𝑘 yang terjadi pada interval waktu

(0, 𝑡] dengan 𝑡 ≥ 0 berlaku:

𝑃𝑘(𝑡) = 𝑃(𝑁(𝑡) = 𝑘 |𝑁(0) = 0), 𝑘 = 0,1,2,3… (3.2)

Contoh 3.2

Misalkan 𝑋(𝑡) adalah banyaknya ikan yang ditangkap pada waktu [0, 𝑡]. Andaikan

ikan yang tersedia sangatlah banyak. Proses {𝑋(𝑡) ; 𝑡 ≥ 0} dapat dianggap sebagai

proses Poisson, kesempatan menangkap ikan di sungai tidak tergantung dengan

banyak ikan yang telah tertangkap. Dengan demikian pemancing yang baru saja

tiba di sungai mempunyai kesempatan yang sama untuk menangkap ikan dengan

pemancing yang sudah menunggu selama 4 jam menangkap ikan.

Teorema 3.2

Definisi 3.5 ekivalen dengan Definisi 3.7.

Bukti:

Definisi 3.5 ⇛ Definisi 3.7

1. Definisi 3.5 ke-(1) dengan Definisi 3.7 ke-(1) sangatlah jelas ekivalen.

2. Pada Definisi 3.5 ke-(2) (𝑁(𝑡 + 𝑠) − 𝑁(𝑠)) mempunyai distribusi yang sama

dengan 𝑁(𝑡). Artinya mempunyai kenaikan yang stasioner.

3. Sifat 3 Definisi 3.5:

Untuk 𝑃(𝑁(ℎ) = 1) = 𝑒−𝜆ℎ(𝜆ℎ)1

1!= 𝜆ℎ𝑒−𝜆ℎ,


57

𝑃(𝑁(ℎ) = 1) = 𝜆ℎ∑(−𝜆ℎ)𝑘

𝑘!

∞

𝑘=0

= 𝜆ℎ [1 − 𝜆ℎ +

(𝜆ℎ)2

2−(𝜆ℎ3)

3!+ ⋯ ]

= 𝜆ℎ − (𝜆ℎ)2 +

(𝜆ℎ)3

2!−(𝜆ℎ)4

3!+ ⋯

= 𝜆ℎ + [−(𝜆ℎ)2 +

(𝜆ℎ)3

2!−(𝜆ℎ)4

3!+ ⋯ ]

= 𝜆ℎ + 𝑜(ℎ).

Memenuhi sifat (3) pada Definisi 3.7.

𝑃(𝑁(ℎ) ≥ 2) = 𝑒−𝜆ℎ∑(−𝜆ℎ)𝑘

𝑘!

∞

𝑘=2

= 𝑒−𝜆ℎ [

(𝜆ℎ)2

2!−(𝜆ℎ)3

3!+(𝜆ℎ)4

4𝜆!− ⋯ ]

= 𝑒−𝜆ℎ𝜆ℎ [

1

2!−𝜆ℎ

3!+(𝜆ℎ)2

4!− ⋯ ]

= 𝜆ℎ 𝑒−𝜆ℎ∑

(−𝜆ℎ)𝑘−2

𝑘!,

∞

𝑘=2

bila mengambil nilai limitnya diperoleh:

= limℎ→0

𝜆ℎ 𝑒−𝜆ℎ ∑(−𝜆ℎ)𝑘−2

𝑘!∞𝑘=2

ℎ

= 𝑜(ℎ),

Memenuhi sifat (4) pada Definisi 3.7.

Definisi 3.7 ⇒ Definisi 3.5

1. Definisi 3.7 ke-(1) dengan Definisi 3.5 ke-(1) sangatlah jelas ekivalen.


58

2. Pada Definisi 3.4 𝑁(𝑡) tidka bergantung pada letak interval, artinya 𝑁(𝑡) saling

bebas.

3. Dari Definisi 3.7 diperoleh bentuk:

𝑃𝑘(𝑡) = 𝑃(𝑁(𝑡) = 𝑘)

𝑃0(𝑡 + ℎ) = 𝑃(𝑁(𝑡 + ℎ) = 0) Definisi 𝑃𝑘(𝑡) = 𝑃(𝑁(𝑡) = 𝑘)

= 𝑃(𝑁(𝑡) = 0 , 𝑁(𝑡 + ℎ) − 𝑁(𝑡) = 0) Definisi Kenaikan Bebas

= 𝑃(𝑁(𝑡) = 0) 𝑃(𝑁(𝑡 + ℎ) − 𝑁(𝑡) = 0)

= 𝑃0(𝑡)𝑃0(ℎ) Definisi Kenaikan Stasioner

= 𝑃0(𝑡)(1 − 𝜆ℎ + 𝑜(ℎ))

= 𝑃0(𝑡) − 𝜆ℎ𝑃0(𝑡) + 𝑜(ℎ).

Dari bentuk 𝑃0(𝑡 + ℎ) = 𝑃0(𝑡) − 𝜆ℎ𝑃0 + 𝑜(ℎ) diperoleh:

𝑃′0(𝑡) = limℎ→0

𝑃0(𝑡 + ℎ) − 𝑃0(𝑡)

ℎ

= limℎ→0

𝑃0(𝑡) − 𝜆ℎ𝑃0(𝑡) + 𝑜(ℎ) − 𝑃0(𝑡)

ℎ

= limℎ→0

−𝜆ℎ𝑃0(𝑡) + 𝑜(ℎ)

ℎ

= limℎ→0

−𝜆𝑃0(𝑡) +𝑜(ℎ)

ℎ

= −𝜆𝑃0(𝑡)

𝑃′0(𝑡)

𝑃0(𝑡) = −𝜆


59

∫𝑃′0(𝑡)

𝑃0(𝑡)𝑑𝑡 = ∫−𝜆 𝑑𝑡

ln 𝑃0(𝑡) = −𝜆𝑡 + 𝑐

𝑃0(𝑡) = 𝐾𝑒−𝜆𝑡.

Pilih 𝑃0(0) = 𝑃(𝑁(0) = 0) = 1 maka diperoleh:

𝑃0(𝑡) = 𝑒−𝜆𝑡, (3.3)

untuk 𝑘 ≥ 1

𝑃𝑘(𝑡 + ℎ) = 𝑃(𝑁(𝑡 + ℎ) = 𝑘)

= 𝑃(𝑁(𝑡) = 𝑘, 𝑁(𝑡 + ℎ) − 𝑁(𝑡) = 0)

+ 𝑃(𝑁(𝑡) = 𝑘 − 1, 𝑁(𝑡 + ℎ) − 𝑁(𝑡) = 1) + 𝑃(𝑁(𝑡)

≤ 𝑘 − 2,𝑁(𝑡 + ℎ) − 𝑁(𝑡) ≥ 2)

= 𝑃𝑘(𝑡)𝑃0(ℎ) + 𝑃𝑘−1(𝑡)𝑃1(ℎ) + 𝑜(ℎ)

= 𝑃𝑘(𝑡)(1 − 𝜆ℎ + 𝑜(ℎ)) + 𝑃𝑘−1(𝑡)(𝜆ℎ + 𝑜(ℎ)) + 𝑜(ℎ)

= (1 − 𝜆ℎ)𝑃𝑘(𝑡) + 𝑃𝑘−1(𝑡)𝜆ℎ

= 𝑃𝑘(𝑡) − 𝜆ℎ𝑃𝑘(𝑡) + 𝜆ℎ𝑃𝑘−1(𝑡),

𝑃𝑘(𝑡 + ℎ) − 𝑃𝑘(𝑡) = −𝜆ℎ𝑃𝑘(𝑡) + 𝜆ℎ𝑃𝑘−1(𝑡)

limℎ→0

𝑃𝑘(𝑡 + ℎ) − 𝑃𝑘(𝑡)

ℎ = lim

ℎ→0

−𝜆ℎ𝑃𝑘(𝑡) + 𝜆ℎ𝑃𝑘−1(𝑡)

ℎ

𝑃′𝑘(𝑡) = −𝜆𝑃𝑘(𝑡) + 𝜆𝑃𝑘−1(𝑡)

𝑃′𝑘(𝑡) + 𝜆𝑃𝑘(𝑡) = 𝜆𝑃𝑘−1

𝑒𝜆𝑡[𝑃′𝑘(𝑡) + 𝜆𝑃𝑘(𝑡)] = 𝑒𝜆𝑡𝜆𝑃𝑘−1

𝑑

𝑑𝑡(𝑒𝜆𝑡𝑃𝑘(𝑡)) = 𝜆𝑒

𝜆𝑡𝑃𝑘−1. (3.4)


60

Dari persamaan (3.4) dipilih 𝑘 = 1 sehingga diperoleh:

𝑑

𝑑𝑡(𝑒𝜆𝑡𝑃𝑘(𝑡)) = 𝜆

𝑃1(𝑡) = (𝜆𝑡+𝑐)𝑒−𝜆𝑡,

dengan syarat awal 𝑃1(0) = 0,

𝑃1(𝑡) = 𝜆𝑒−𝜆𝑡.

Untuk menunjukkan 𝑃𝑘(𝑡) =(𝜆𝑡)𝑘

𝑘!𝑒−𝜆𝑡 menggunakan induksi matematis.

Asumsikan benar untuk 𝑘 − 1 diperoleh:

𝑃𝑘−1(𝑡) =𝑒−𝜆𝑡(𝜆𝑡)𝑘−1

(𝑘 − 1)!,

dari persamaan (3.4) diperoleh:

𝑑

𝑑𝑡(𝑒𝜆𝑡𝑃𝑘(𝑡)) =

𝜆(𝜆𝑡)𝑘−1

(𝑘 − 1)!

𝑒𝜆𝑡𝑃𝑘(𝑡) =(𝜆𝑡)𝑘

𝑘!+ 𝑐

𝑃𝑘(𝑡) = ((𝜆𝑡)𝑘

𝑘!+ 𝑐) 𝑒−𝜆𝑡

karena 𝑃𝑘(0) = 𝑃(𝑁(0) = 𝑘) = 0 maka 𝑃𝑘 = 𝑒−𝜆𝑡 (𝜆𝑡)

𝑘

𝑘!. ∎

E. Waktu antar kedatangan

Berdasarkan proses membilang {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0}, 𝑁(𝑡) menyatakan banyaknya

kedatangan sampai waktu 𝑡. Kedatangan tersebut dapat terjadi dalam interval (0, 𝑡].

Andaikan 𝑡1 adalah waktu terjadinya kedatangan pertama, dalam hal ini 𝑁(𝑡1) = 1

dan 𝑁(𝑡) = 0 untuk 𝑡 < 𝑡1 lalu 𝑡2 adalah waktu terjadinya kedatangan ke-2 maka


61

𝑁(𝑡2) = 2 dan 𝑁(𝑡) = 1 untuk 𝑡1 < 𝑡2. Kedatangan selanjutnya dilanjutkan

dengan cara yang sama. Jadi 𝑡𝑘+1 − 𝑡𝑘 adalah panjang waktu diantara saat

terjadinya kedatangan ke-𝑘 + 1 setelah kedatangan ke-𝑘. Panjang selang inilah

yang disebut waktu antar kedatangan.

Definisi 3.8

Misalkan 𝑋1 menyatakan interval waktu dari kedatangan pertama. Untuk 𝑛 ≥ 1 ,

misalkan 𝑋𝑛 adalah interval waktu antara kejadian ke-(𝑛 − 1) dan kejadian ke-𝑛

maka {𝑋𝑛, 𝑛 = 0,1,2, . . . } adalah barisan waktu antar kedatangan atau waktu antar

kejadian.

Definisi 3.9 Waktu Tunggu

Waktu tunggu 𝑆𝑛 sampai waktu kedatangan ke-𝑛 adalah

𝑆𝑛 = 𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛. (3.5)

𝑆0 = 0

Gambar 3.5 Ilustrasi waktu tunggu.

Teorema 3.3 Waktu Antar Kedatangan

Waktu antar kedatangan 𝑋𝑘, 𝑘 = 1,2,3, …. dari suatu proses Poisson adalah saling

bebas dan berdistribusi Eksponensial dengan parameter 𝜆.


62

Bukti:

𝑃(𝑋1 ≤ 𝑡) = 1 − 𝑃(𝑋1 > 𝑡) = 1 − 𝑃{𝑁(𝑡) = 0} = 1 − 𝑒−𝜆𝑡.

Fungsi distribusi kumulatif dari 𝑋1 adalah 𝐹(𝑡) = 1 − 𝑒−𝜆𝑡 oleh karena fungsi

peluang 𝑓(𝑡) adalah turunan dari fungsi distribusi kumulatif 𝐹(𝑡), maka fungsi

peluang 𝑋1 dapat diperoleh dengan cara berikut:

𝑓(𝑡) =𝑑𝐹(𝑡)

𝑑𝑡

=𝑑(1 − 𝑒−𝜆𝑡)

𝑑𝑡

= 𝜆𝑒−𝜆𝑡 untuk 𝑡 ≥ 0.

Jadi 𝑋1 waktu antar kedatangan berdistribusi Eksponensial dengan parameter 𝜆.

Untuk 𝑋2diperoleh dari peluang bersyarat dari kejadian pertama saat waktu 𝑠.

𝑃(𝑋2 ≤ 𝑡 |𝑋1 = 𝑠) = 1 − 𝑃(𝑋2 > 𝑡 | 𝑋1 = 𝑠)

= 1 − 𝑃(𝑁(𝑡 + 𝑠) − 𝑁(𝑠) = 0 | 𝑋1 = 𝑠)

= 1 − 𝑃(𝑁(𝑡 + 𝑠) − 𝑁(𝑠) = 0) (Kenaikan bebas)

= 1 − 𝑃(𝑁(𝑡) = 0) (Kenaikan stasioner)

= 1 − 𝑒−𝜆𝑡

= 𝐹(𝑋2).

𝐹(𝑋2) = 𝑃(𝑋2 ≤ 𝑡 |𝑋1 = 𝑠) diatas tidak tergantung pada 𝑋1 sehinga 𝑋2

berdistribusi Eksponensial secara rekrusif dapat ditunjukkan bahwa 𝑋𝑛 saling bebas

dan berdistribusi Eksponensial. ∎


63

Menurut Definisi 3.5 dan Definisi 3.7, untuk proses Poisson 𝑁(𝑡)

berdistribusi Poisson dengan parameter 𝜆𝑡 dan berdasarkan Teorema 3.3 𝑋𝑘, 𝑘 =

1,2, … berdistibusi Eksponensial dengan parameter 𝜆 pada Persamaan 3.5 diperoleh

waktu tunggu 𝑆𝑛 dengan 𝑆0 = 0.

Teorema 3.4

Andaikan 𝑋𝑘, (𝑘 = 1,2, … . ) saling bebas dan berdistribusi Eksponensial maka

waktu tunggu 𝑆𝑛berdistribusi Gamma.

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa 𝑆𝑛 berdistribusi Gamma. Diberikan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘

berdistribusi Eksponensial dengan 𝜇 =1

𝜆. Nilai harapan dari 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘 adalah

𝐸(𝑋1) = 𝐸(𝑋2) = ⋯ = 𝐸(𝑋𝑘) =1

𝜆.

Berdasarkan Teorema 21.6, fungsi pembangkit momen dari 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘 adalah

𝑚𝑥𝑖(𝑡) =

1

(1 −𝑡𝜆).

Berdasarkan definisi waktu tunngu, 𝑆𝑛 = 𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑘 dan Teorema 2.6

diperoleh:

𝑚𝑆𝑛(𝑡) =

1

(1 −𝑡𝜆)×

1

(1 −𝑡𝜆)× …

1

(1 −𝑡𝜆) (sebanyak 𝑘 kali)

= (1

(1 −𝑡𝜆))

𝑘

(3.6)


64

Pari Persamaan (3.6) diperoleh hasil yang sama dengan fungsi pembangkit momen

distribusi Gamma pada Teorema 2.13 dengan 𝛽 =1

𝜆 dan 𝛼 = 𝑘, dan menurut

Teorema 2.7, 𝑆𝑛 berdistribusi Gamma. ∎

F. Hubungan Antara Distribusi Posisson dengan Distribusi Eksponensial

Berikut ini akan dijelaskan hubungan antara distribusi Poisson dengan distribusi

Eksponensial

Tabel 3.1 Hubungan distribusi Poisson dengan distribusi Eksponensial di antrian.

Distribusi

Eksponensial

Distribusi Poisson

Variabel acak

Waktu antar

kedatangan

berturut-turut, 𝑡.

Banyaknya kedatangan 𝑛 selama

periode waktu 𝑡.

Range 𝑡 ≥ 0 𝑛 = 0,1,2…

Fungsi probabilitas 𝑓(𝑡) = 𝜆𝑒−𝜆𝑡, 𝑡 ≥ 0 𝑃𝑛(𝑡) =(𝜆𝑡)𝑛𝑒−𝜆𝑡

𝑛!, 𝑛 = 0,1,2,

Mean 1

𝜆 satuan waktu 𝜆𝑡 kedatangan selama waktu 𝑡

Peluang kumulatif

𝑃(𝑡 ≤ 𝐴)

= 1 − 𝑒−𝜆𝐴

𝑃𝑛≤𝑁(𝑡) = 𝑃0(𝑡) + 𝑃1(𝑡) + ⋯

+ 𝑃𝑁(𝑡)

Peluang tidak ada

kedatangan selama

periode waktu 𝐴

𝑃(𝑡 > 𝐴) = 𝑒−𝜆𝐴 𝑃0(𝐴) = 𝑒−𝜆𝐴


65

Contoh 3.3

Kelahiran bayi pada suatu negara mempunyai mean 1 kelahiran setiap 12 menit.

Laju kelahiran bayi berdistribusi Eksponensial. Hitunglah:

a. Rata-rata kelahiran bayi per tahun.

b. Peluang tidak ada bayi yang lahir pada satu hari.

Jawab:

a. Kelahiran bayi per hari:

𝜆 =24 ×60

12= 120 kelahiran/hari.

Kelahiran bayi per tahun adalah:

𝜆𝑡 = 120 × 365 = 43,800 kelahiran/tahun.

b. Peluang tidak ada bayi yang lahir pada satu hari dihitung dengan distribusi

Poisson.

𝑃0(1) =(120 × 1)0 𝑒−120×1

0!= 𝑒−120 = 0.

Cara lain untuk menghitung peluang tidak ada bayi yang lahir pada satu hari

sama saja dengan menghitung peluang waktu antar kelahiran yang berturutan

lebih dari satu hari

𝑃{𝑡 > 1} = 𝑒−120 = 0.

G. Model Antrian Poisson yang Diperumum

Pengembangan model antrian dengan asumsi kedatangan berdistribusi

Poisson dan waktu antar kedatangan serta pelayanan berdistribusi Eksponensial

adalah model antrian Poisson khusus. Untuk memperumum model antrian yang


66

berdasarkan kondisi jangka panjang atau perilaku keadaan tunak (steady state) pada

antrian yaitu kondisi dengan rata-rata laju arus masuk sama dengan laju arus keluar.

Gambar 3.6: Diagram transisi antrian Poisson.

Terdapat istilah kedatangan dan keberangkatan (departure), istilah

kedatangan merepresentasikan sebagai penambahan banyaknya pelanggan pada

sistem antrian sedangkan istilah keberangkatan merepresentasikan sebagai

pengurangan banyaknya pelanggan pada sistem antrian.

Peluang 𝑝𝑛 dapat ditentukan dari diagram transisi antrian Poisson. Sistem

antrian pada status 𝑛 menyatakan banyaknya pelanggan dalam sistem antrian adalah

𝑛. Peluang terjadinya lebih dari satu kejadian yang terjadi selama interval ℎ yang

kecil dinyatakan dengan ℎ → 0 diartikan bahwa untuk setiap 𝑛 > 0, 𝑛 dapat

berubah menjadi dua kemungkinan yaitu 𝑛 − 1 ketika keberangkatan terjadi pada

laju 𝜇𝑛 atau 𝑛 + 1 ketika kedatangan terjadi pada laju 𝜆𝑛, ketika 𝑛 = 0 dapat

berubah menjadi 1 ketika terjadi kedatangan pada laju 𝜆0. Pada 𝜇0 tidak terdefinisi

karena tidak ada keberangkatan yang terjadi ketika sistem kosong.

Berikut ini adalah simbol-simbol yang digunakan dalam sistem antrian:

𝑛 = banyaknya pelanggan yang terlibat dalam sistem antrian.

𝜆𝑛 = rata-rata kedatangan dari 𝑛 pelanggan yang terlibat dalam sistem antrian.

𝜇𝑛 = rata-rata keberangkatan dari 𝑛 pelanggan yang terlibat dalam sistem antrian.


67

𝑝𝑛 = peluang kondisi keadaan tunak (steady state) dari 𝑛 pelanggan yang

terlibat dalam sistem antrian.

Model yang diperumum berasal dari 𝑝𝑛 yang merupakan fungsi dari 𝜆𝑛 dan

𝜇𝑛. Peluang ini kemudian digunakan untuk menentukan langkah-langkah sistem

kinerja seperti rata-rata panjang antrian, waktu tunggu antrian, dan rata-rata

pelayanan.

Dalam kondisi keadaan tunak (steady state) untuk 𝑛 > 0 laju arus masuk

yang diharapkan sama dengan laju arus keluar. Kondisi ketika 𝑛 dapat berubah

menjadi 𝑛 − 1 atau 𝑛 + 1 diperoleh:

Ekspektasi laju arus masuk ke keadaan 𝑛:

𝜆𝑛−1𝑃𝑛−1 + 𝜇𝑛+1𝑃𝑛+1.

Ekspektasi laju arus keluar dari keadaan 𝑛:

𝜆𝑛𝑃𝑛 + 𝜇𝑛𝑃𝑛 = (𝜆𝑛 + 𝜇𝑛)𝑃𝑛.

Ekspektasi laju arus masuk ke keadaan 𝑛 = Ekspektasi laju arus keluar dari keadaan

𝑛

𝜆𝑛−1𝑃𝑛−1 + 𝜇𝑛+1𝑃𝑛+1 = (𝜆𝑛 + 𝜇𝑛)𝑃𝑛.

Pada Gambar 3.6 kondisi ketika 𝑛 = 0 adalah:

𝜆0𝑝0 = 𝜇1𝑝1

𝑝1 = (𝜆0𝜇1) 𝑝0.

Untuk 𝑛 = 1 diperoleh:

𝜆0𝑝0 + 𝜇2𝑝2 = (𝜆1 + 𝜇1)𝑝1

substitusikan 𝑝1 = (𝜆0

𝜇1) 𝑝0 sehingga diperoleh:


68

𝑝2 = (𝜆1𝜆0𝜇2𝜇1

) 𝑝0

secara umum diperoleh bentuk:

𝑝𝑛 = (𝜆𝑛−1𝜆𝑛−2…𝜆0𝜇𝑛𝜇𝑛−1…𝜇1

) 𝑝0 , 𝑛 = 1,2, .. (3.7)

nilai 𝑝0 ditentukan dari ∑ 𝑝𝑛 = 1∞𝑛=0 .

Contoh 3.4

Toko Grosir B & K mengoperasikan 3 toko. Manager toko menggunakan jadwal

untuk menentukan banyaknya stasiun pelayanan yang beroperasi. Berikut ini adalah

banyaknya pelanggan dalam toko.

Tabel 3.2 Sistem pelayanan pada Toko Grosir B&K.

Banyaknya pelanggan dalam toko Banyaknya stasiun pelayanan yang

beroperasi

1 – 3 1

4 – 6 2

Lebih dari 6 3

Kedatangan pelanggan berdistribusi Poisson dengan rata-rata kedatangan 10

pelanggan per jam. Waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial dengan rata-rata

12 menit. Tentukanlah peluang 𝑝𝑛 pelayanan pelanggan saat kondisi steady state.


69

Jawab:

Diketahui

𝜆 = 10 pelanggan per jam, 𝑛 = 0,1, ..

oleh karena terdapat 3 stasiun layanan yang beroperasi diperoleh:

𝜇𝑛 = {

60

12= 5 , 𝑛 = 0,1,2,3

2 × 5 = 10 , 𝑛 = 4,5,6 3 × 5 = 15 , 𝑛 = 7,8, …

dengan demikian dari persamaan (3.7) diperoleh:

𝑝1 = (10

5) 𝑝0 = 2𝑝0

𝑝2 = (10

5)2

𝑝0 = 4𝑝0

𝑝3 = (10

5)3

𝑝0 = 8𝑝0

𝑝4 = (10

5)3

(10

10) 𝑝0 = 8𝑝0

𝑝5 = (10

5)3

(10

10)2

𝑝0 = 8𝑝0

𝑝6 = (10

5)3

(10

10)3

𝑝0 = 8𝑝0

𝑝𝑛≥7 = (10

5)3

(10

10)3

(10

15)𝑛−6

𝑝0 = 8(2

3)𝑛−6

𝑝0,

nilai dari 𝑝0 ditentukan dari persamaan berikut:

𝑝0 + 𝑝0(2 + 4 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8(2

3) + 8 (

2

3)2

+ 8(2

3)3

+...) = 1

𝑝0(31 + 8(1 +2

3+ (

2

3)2

+⋯)) = 1,


70

dengan deret geometri yaitu:

∑𝑥𝑖 =1

1 − 𝑥𝑖, |𝑥| < 1,

∞

𝑖=0

diperoleh:

𝑝0(31 + 8(1

1 −23

)) = 1

𝑝0 =1

55.

Oleh karena 𝑝0 sudah diketahui maka bisa ditentukanlah 𝑝𝑛 untuk 𝑛 > 0. Misalnya

berapa peluang jika hanya ada 1 stasiun pelayanan yang beroperasi? peluang

tersebut dapat dihitung sebagai peluang maksimal terdapat 3 pelanggan yang

terlibat dalam sistem antrian,

𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 = (2 + 4 + 8) (1

55) ≈ 0.25.

H. Antrian Poisson Khusus

Antrian Poisson khusus merupakan pengembangan dari model antrian

dengan asumsi kedatangan berdistribusi Poisson. Berikut ini adalah gambar yang

mengilustrasikan situasi antrian Poisson khusus dengan 𝑐 pelayan (server) atau fase

yang pararel. Seorang pelanggan mengantri untuk mendapatkan pelayanan dari

pelayan pertama yang tersedia.


71

Gambar 3.7 Skema antrian Poisson khusus.

Kedatangan pada sistem antrian adalah 𝜆 pelanggan per satuan waktu.

Semua stasiun pelayan adalah identik, berarti laju pelayanan untuk setiap stasiun

pelayan adalah 𝜇 pelanggan per satuan waktu. Banyaknya pelanggan pada sistem

terdiri dari pelanggan yang sedang dilayani dan pelanggan yang sedang mengantri

untuk dilayani.

Untuk mendeskripsikan suatu model antrian maka dibutuhkan suatu notasi

untuk meringkas suatu karakteristik yang berpengaruh. Notasi yang digunakan

adalah notasi Kendall. Berikut ini adalah format notasi Kendall:

(𝑎 𝑏⁄ 𝑐⁄ ) ∶ (𝑑 𝑒⁄ 𝑓⁄ )

keterangan:

𝑎 = Distribusi kedatangan.

𝑏 = Distribusi waktu pelayanan.

𝑐 = Banyaknya pelayan pararel, 𝑐 = 1,2,3, ….

Antrian

Sistem antrian

Waktu

pelayanan

Pelayanan

(server)

Pelayanan

(server)

Pelayanan

(server)

𝜆

𝜇

𝜇

𝜇


72

𝑑 = Peraturan pelayanan.

𝑒 = Banyaknya maksimal pelanggan yang diperbolehkan dalam sistem antrian

(pada antrian dan saat pelayanan).

𝑓 = Ukuran sumber kedatangan.

Notasi standar untuk mewakili distribusi kedatangan dan pelayanan (simbol

𝑎 dan 𝑏) adalah:

𝑀 = Kedatangan pelanggan berdistribusi Poisson atau waktu pelayanan

berdistribusi Eksponensial.

𝐷 = Waktu antar kedatangan atau pelayanan pelanggan telah ditentukan atau

terjadwal.

𝐸𝑘 = Distribusi Erlang.

𝐺𝐼 = Distribusi umum waktu antar kedatangan.

𝐺 = Distribusi umum waktu pelayanan.

Notasi peraturan pelayanan (simbol 𝑑) yaitu:

FCFS = First Come First Served.

LCFS = Last Come First Served.

SIRO = Service in Random Order.

PRI = Priority Service.

GD merupakan disiplin antrian secara umum berlaku pada sebagian besar sistem

antrian (apabila tidak ada disiplin khusus yang mengikat) yaitu pelanggan yang

pertama datang adalah pertama yang dilayani.

Untuk mengilustrasikan penggunaan dari notasi, model

(𝑀 𝐷⁄ 10⁄ ): (LCFS 20⁄ ∞)⁄ adalah model dengan distribusi kedatangan berupa


73

distribusi Poisson (atau waktu antar kedatangan Eksponensial), distribusi pelayanan

yang telah terjadwal, terdapat 10 server, peraturan pelayanan secara umum

LCFS kapasitas sistem antrian 20 pelanggan, dan ukuran sumber kedatangan tidak

terbatas.

Sebelum dijelaskan mengenai keutamaan dari antrian Poisson akan

dijelaskan bagaimana kondisi steady state dari situasi antrian Poisson yang

diperumum dari peluang 𝑝𝑛.

Simbol yang paling digunakan pada ukuran perfoma di suatu antrian adalah:

𝐿𝑠 = Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem antrian.

𝐿𝑞 = Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrian.

𝑊𝑠 = Nilai harapan waktu tunggu dalam sistem antrian.

𝑊𝑞 = Nilai harapan waktu tunggu dalam antrian.

𝑛 = Banyaknya pelanggan.

𝑐̅ = Nilai harapan server yang sibuk.

Akan ditunjukkan ukuran performa antrian yang berasal dari peluang steady

state dari 𝑛 yaitu 𝑝𝑛 sebagai berikut:

𝐿𝑠 = ∑𝑛 𝑝𝑛

∞

𝑛=0

.

𝐿𝑞 = ∑ (𝑛 − 𝑐)𝑝𝑛.

∞

𝑛=𝑐+1

Hubungan antara 𝐿𝑠 dan 𝑊𝑠 begitu juga 𝐿𝑞 dan 𝑊𝑞 dikenal sebagai Little’s Formula

yaitu:

𝐿𝑠 = 𝜆𝑒𝑓𝑓 𝑊𝑠.


74

= +

𝐿𝑞 = 𝜆𝑒𝑓𝑓 𝑊𝑞 .

Parameter 𝜆𝑒𝑓𝑓 adalah rata-rata kedatangan yang efektif pada sistem antrian atau

sama saja dengan 𝜆 ketika semua pelanggan berada dalam sistem antrian atau tidak

ada kedatangan pelanggan yang tidak terlayani. Bila pelanggan tidak dapat masuk

ke dalam sistem antrian karena kapasitas sistem antrian tidak mampu menampung

kedatangan pelanggan maka 𝜆𝑒𝑓𝑓 < 𝜆 atau dengan kata lain ada pelanggan yang

tidak bisa masuk dalam sistem antrian. Misalkan 𝜆𝑙𝑜𝑠𝑠 adalah adalah rata-rata

kedatangan pelanggan yang tak terlayani maka:

𝜆 = 𝜆𝑒𝑓𝑓 + 𝜆𝑙𝑜𝑠𝑠

Hubungan antara 𝑊𝑠 dan 𝑊𝑞dapat diketahui sebagai berikut:

`

𝑊𝑠 = 𝑊𝑞 +1

𝜇

Hubungan antara 𝐿𝑠 dan 𝐿𝑞 diperoleh dengan mengalikan kedua sisi dengan

𝜆𝑒𝑓𝑓 dan dengan Little’s formula menghasilkan:

𝐿𝑠 = 𝐿𝑞 +𝜆𝑒𝑓𝑓

𝜇.

Nilai harapan server yang sibuk yaitu 𝑐̅ adalah

𝑐̅ = 𝐿𝑠 − 𝐿𝑞 =𝜆𝑒𝑓𝑓

𝜇.

Nilai harapan

waktu tunggu

pada sistem

Nilai harapan

waktu tunggu

pada antrian

Nilai harapan

waktu

pelayaan


75

Contoh 3.5

Pada contoh 3.4 telah dihitung peluang jika hanya 1 stasiun pelayan yang

beroperasi. Hitunglah performa antrian bila hanya 1 stasiun yang beroperasi.

Jawab:

𝑝0 =1

55= 0.2,

akan dicari banyaknya pelanggan dalam sistem antrian:

𝐿𝑠 = 0𝑝0 + 1𝑝1 + 2𝑝2 + 3𝑝3

= 0 + 1(2 × 0.2) + 2(4 × 0.2) + 3(8 × 0.2)

= 2.6 pelanggan.

Banyaknya pelanggan dalam antrian:

𝐿𝑞 = 𝐿𝑠 −𝜆

𝜇= 2.6 −

10

5= 0.6 pelanggan.

Waktu tunggu pelanggan dalam sistem antrian:

𝑊𝑠 =𝐿𝑠

𝜆=

2.6

10= 0.26 jam ≈ 15.6 menit.

Waktu tunggu pelanggan dalam antrian:

𝑊𝑞 = 𝑊𝑠 −1

𝜆= 0.26 −

1

10= 0.16 jam ≈ 9.6 menit.

I. Model Antrian Dengan Pelayanan Tunggal Kapasitas Tak Hingga

Model ini mempunyai notasi Kendall yaitu (𝑀 𝑀⁄ 1⁄ ) ∶ (𝐺𝐷 ∞⁄ ∞⁄ )

dengan waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial

dan hanya terdapat satu pelayanan, peraturan pelayanan adalah umum GD

kapasitas sistem antrian tidak terbatas, dan sumber kedatangan tidak terbatas.


76

Dengan menggunakan notasi pada model antrian Poisson yang diperumum

diperoleh:

𝜆𝑛 = 𝜆

} 𝑛=0,1,2.. 𝜇𝑛 = 𝜇

Kapasitas sistem antrian tidak terbatas maka semua pelanggan yang datang dapat

masuk ke dalam sistem antrian dan tidak ada kedatangan pelanggan yang tak

terlayani maka diperoleh 𝜆𝑒𝑓𝑓 = 𝜆 dan 𝜆𝑙𝑜𝑠𝑠 = 0. Misalkan 𝜌 =𝜆

𝜇 dengan

𝜌 menyatakan kepadatan pelanggan pada stasiun pelayanan sehingga maka

Persamaan (3.7) persaman 𝑝𝑛 menjadi:

𝑝𝑛 = 𝜌𝑛𝑝0, 𝑛 = 0,1,2, … (3.8)

untuk menentukan nilai 𝑝0 dapat diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan

(3.8) sehingga diperoleh sebagai berikut:

𝑝0 + 𝑝1 + 𝑝2 +⋯+ 𝑝𝑛 = 1

𝑝0 + 𝜌1𝑝0 + 𝜌

2𝑝0 +⋯+ 𝜌𝑛𝑝0 = 1

𝑝0(1 + 𝜌 + 𝜌2 +⋯+ 𝜌𝑛) = 1.

Asumsikan 𝜌 < 1 deret geometri mempunyai jumlahan berhingga yaitu (1

1−𝜌)

sehingga diperoleh:

𝑝0 (1

1 − 𝜌) = 1

𝑝0 = 1 − 𝜌. (3.9)

Substitusikan Persamaan (3.9) ke Persamaan (3.8) sehingga diperoleh:

𝑝𝑛 = (1 − 𝜌)𝜌𝑛, 𝑛 = 1,2, … (3.10)


77

Kondisi 𝜌 < 1 atau 𝜆 < 𝜇 supaya sistem tidak melebihi batas dan steady state bisa

ditentukan. Apabila 𝜆 ≥ 𝜇 maka deret geometri tidak konvergen dan tidak steady

state sehingga peluang 𝑝𝑛 tidak dapat ditentukan. Dengan kata lain jika laju

pelayanan lebih besar dari pada laju kedatangan maka panjang antrian akan terus

bertambah dan tidak terjadi steady state.

Ukuran-ukuran dasar kinerja model (𝑀 𝑀⁄ 1⁄ ) ∶ (𝐺𝐷 ∞⁄ ∞⁄ ) adalah:

𝐿𝑠 =∑𝑛𝑝𝑛

∞

𝑛=0

=∑𝑛(1 − 𝜌)𝜌𝑛∞

𝑛=0

= (1 − 𝜌)(0 + 𝜌 + 2𝜌2 + 3𝜌3 +⋯+ 𝑛𝜌𝑛)

= (1 − 𝜌) 𝜌 (1 + 2𝜌 + 3𝜌2 +⋯+ 𝑛𝜌𝑛−1)

= (1 − 𝜌)𝜌∑𝑛

∞

𝑛=0

𝜌𝑛−1

= (1 − 𝜌)𝜌1

(1 − 𝜌)2

=𝜌

(1 − 𝜌),

karena 𝜆𝑒𝑓𝑓 = 𝜆 dengan laju kedatangan tidak terbatas maka untuk menentukan 𝑊𝑠

diperoleh sebagai berikut:

𝐿𝑠 = 𝜆𝑒𝑓𝑓𝑊𝑠

= 𝜆𝑊𝑠

𝑊𝑠 =𝐿𝑠𝜆


78

=

𝜌(1 − 𝜌)

𝜆

=𝜌

𝜆(1 − 𝜌)

=

𝜆𝜇

𝜆 (1 −𝜆𝜇)

=

𝜆𝜇

(𝜆𝜇 − 𝜆2

𝜇 )

=𝜆

𝜆𝜇 − 𝜆2

=𝜆

𝜆(𝜇 − 𝜆)

=1

𝜇 − 𝜆.

Untuk 𝑊𝑞 diperoleh sebagai berikut:


𝜇


𝜇

=1

𝜇 − 𝜆−1

𝜇

=𝜇 − (𝜇 − 𝜆)

𝜇(𝜇 − 𝜆)

=𝜆

𝜇(𝜇 − 𝜆)


79

=𝜆

𝜇(𝜇 − 𝜆)×

1𝜇1𝜇

=

𝜆𝜇

(𝜇 − 𝜆)𝜇 𝜇

=

𝜆𝜇

(1 −𝜆𝜇)𝜇

=𝜌

(1 − 𝜌)𝜇.

Untuk 𝐿𝑞 diperoleh sebagai beikut:

𝐿𝑞 = 𝜆𝑒𝑓𝑓𝑊𝑞

= 𝜆𝑊𝑞

= 𝜆𝜌

(1 − 𝜌)𝜇

=𝜆

𝜇

𝜌

(1 − 𝜌)

=

𝜌2

(1 − 𝜌).

Untuk menentukan kepadatan pelanggan diperoleh:

𝑐̅ = 𝐿𝑠 − 𝐿𝑞

=

𝜌

(1 − 𝜌)−

𝜌2

(1 − 𝜌)

=𝜌(1 − 𝜌)

(1 − 𝜌)

= 𝜌


80

Contoh 3.6

Jasa cuci mobil pada suatu tempat mampu membersihkan mobil dalam waktu 10

menit/mobil dengan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial. Kedatangan

mobil yang datang utnuk dilayani berdistribusi Poisson dengan rata-rata kedatangan

4 jam/mobil. Fasilitas ini tidak dapat menangani lebih dari satu mobil setiap saat.

Bagaimana analisis ukuran-ukuran kinerjanya?

Jawab:

Kedatangan mobil berdistribusi Poisson dengan laju kedatangan 4 jam/mobil berarti

𝜆 = 4 dan pelayanan berdistribusi Eksponensial dengan laju kedatangan 𝜇 =60

10=

6 mobil / jam karena 𝜌 =𝜆

𝜇=

4

6< 1 maka sistem yang beroperasi dibawah kondisi

steady state. Berikut ini adalah perhitungan performa antrian.

Banyaknya mobil pada sistem antrian adalah

𝐿𝑠 =𝜌

1−𝜌=

4

6

1−4

6

= 2 mobil.

Banyaknya mobil pada antrian:

𝐿𝑞 =𝜌2

1−𝜌=

(4

6)2

1−4

6

= 1.3333 mobil.

Waktu tunggu dalam sistem antrian adalah:

𝑊𝑠 =1

𝜇−𝜆=

1

6−4= 0.5 jam = 30 menit.

Waktu tunggu dalam antrian adalah:

𝑊𝑞 =𝜌

𝜇(1−𝜌)=

4

6

6(1−4

6)= 0.333 menit.


81

J. Model Antrian Dengan 𝒄 Pelayanan Kapasitas Tak Hingga

Model antrian dengan 𝑐 pelayanan kapasitas tak hingga mempunyai notasi

Kendall (𝑀 𝑀⁄ 𝑐⁄ ): (𝐺𝐷 ∞⁄ ∞⁄ ). Pada model antrian ini waktu antar kedatangan

dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial, terdapat 𝑐 pelayanan, peraturan

pelayanan adalah umum (GD) artinya peraturan tersebut dapat berupa FCFS, LCFS,

SIRO atau prosedur lainnya yang digunakan oleh pelayan untuk memutuskan

urutan pelanggan, kapasitas sistem antrian tidak terbatas, dan sumber kedatangan

tidak terbatas.

Rata-rata kedatangan pelanggan adalah 𝜆 dan rata-rata waktu pelayanan

adalah 𝜇. Kapsitas sistem antrian tidak terbatas maka semua pelanggan yang datang

dapat masuk kedalam sistem antrian dan tidak ada kedatangan pelanggan yang

terbuang maka diperolah 𝜆𝑒𝑓𝑓 = 𝜆. Oleh karena terdapat 𝑐 pelayanan yang disusun

secara pararel, hal ini mengakibatkan meningkatnya rata-rata waktu pelayanan

diperoleh:

𝜆𝑛 = 𝜆, 𝑛 ≥ 0.

𝜇𝑛 = {𝑛𝜇,𝑐𝜇,

𝑛 ≤ 𝑐

𝑛 ≥ 𝑐.

sehingga,

𝑝𝑛 =

{

𝜆𝑛

𝜇(2𝜇)(3𝜇)… (𝑛𝜇)𝑝0 =

𝜆𝑛

𝑛! 𝜇𝑛𝑝0 =

𝜌𝑛

𝑛!𝑝0, 𝑛 < 𝑐

𝜆𝑛

(∏ 𝑖𝜇𝑐𝑖=1 )(𝑐𝜇)𝑛−𝑐

𝑝0 =𝜆𝑛

𝑐! 𝑐𝑛−𝑐𝜇𝑛𝑝0 =

𝜌𝑛

𝑐! 𝑐𝑛−𝑐𝑝0, 𝑛 ≥ 𝑐.

(3.11)


82

Misalkan 𝜌 =𝜆

𝑐𝜇 dan asumsikan

𝜌

𝑐< 1. Untuk menentukan nilai 𝑝0 diperoleh

sebagai berikut:

𝑝0 = {∑𝜌𝑛

𝑛!+𝜌𝑐

𝑐!∑ (

𝜌

𝑐)𝑛−𝑐

∞

𝑛=0

𝑐−1

𝑛=0

}

−1

= {∑𝜌𝑛

𝑛!+𝜌𝑐

𝑐!(

1

1 −𝜌𝑐

)

𝑐−1

𝑛=0

}

−1

,𝜌

𝑐< 1.

Untuk 𝐿𝑞 dapat diperoleh sebagai berikut:

𝐿𝑞 =∑(𝑛 − 𝑐)𝑝𝑛

∞

𝑛=𝑐

.

Misalkan 𝑘 = 𝑛 − 𝑐,

𝐿𝑞 =∑𝑘𝑝𝑘+𝑐

∞

𝑘=0

=∑𝑘𝜌𝑘+𝑐

𝑐𝑘𝑐!

∞

𝑘=0

𝑝0

=𝜌𝑐

𝑐!𝑝0∑𝑘(

𝜌

𝑐)

∞

𝑘=0

𝑘

=𝜌𝑐

𝑐!𝑝0∑𝑘(

𝜌

𝑐)

∞

𝑘=0

𝑘−1𝜌

𝑐

=𝜌𝑐+1

𝑐! 𝑐𝑝0∑𝑘(

𝜌

𝑐)

∞

𝑘=0

𝑘−1

=𝜌𝑐+1

𝑐! 𝑐𝑝0

𝑑

𝑑 (𝜌𝑐)∑(

𝜌

𝑐)𝑘

∞

𝑘=0


83

=𝜌𝑐+1

𝑐! 𝑐𝑝0

1

(1 −𝜌𝑐)

2

=𝜌𝑐+1𝑝0

𝑐! 𝑐 (𝑐 − 𝜌𝑐 )

2

=𝜌𝑐+1𝑝0

(𝑐 − 1)! 𝑐2(𝑐 − 𝜌)2

𝑐2

=𝜌𝑐+1

(𝑐 − 1)! (𝑐 − 𝜌)2𝑝0.

Untuk menentukan 𝐿𝑠 diperoleh sebagai berikut:

𝐿𝑠 = 𝐿𝑞 +𝜆𝑒𝑓𝑓

𝑐𝜇

= 𝐿𝑞 +𝜆

𝑐𝜇

= 𝐿𝑞 + 𝜌

=𝜌𝑐+1

(𝑐 − 1)! (𝑐 − 𝜌)2𝑝0 + 𝜌.

Untuk menentukan 𝑊𝑠 dapat diperoleh sebagai berikut:

𝐿𝑠 = 𝜆𝑒𝑓𝑓𝑊𝑠

𝑊𝑠 =𝐿𝑠𝜆

=

𝜌𝑐+1

(𝑐 − 1)! (𝑐 − 𝜌)2𝑝0 + 𝜌

𝜆

=𝜌𝜌𝑐𝑝0

𝜆(𝑐 − 1)! (𝑐 − 𝜌)2+𝜌

𝜆


84

=𝜌

𝜆

𝜌𝑐𝑝0(𝑐 − 1)! (𝑐 − 𝜌)2

+𝜌

𝜆

= 𝜌𝑐𝑝0

𝜇(𝑐 − 1)! (𝑐 − 𝜌)2+1

𝜇.

𝑊𝑞 dapat diperoleh sebagai berikut:


𝜇


𝜇

=𝜌𝑐𝑝0

𝜇(𝑐 − 1)! (𝑐 − 𝜌)2+1

𝜇−1

𝜇

=𝜌𝑐𝑝0

𝜇(𝑐 − 1)! (𝑐 − 𝜌)2.

Contoh 3.7

Sebuah komunitas yang dilayani oleh dua perusahaan taksi. Masing-masing

perusahaan mempunyai 1 taksi. Keduanya mempunyai pemasaran yang sama. Laju

panggilan pesanan yang diterima pada setiap perusahaan adalah 3 panggilan per

jam sedangkan rata-rata waktu pelayanan per perjalanan adalah 12 menit. Panggilan

pesanan yang diterima berdistribusi Poisson sedangkan waktu pelayanan

berdistribusi Eksponensial. Seorang investor membeli kedua perusahaan tersebut

dan akan menggabungkan kedua perusahaan tersebut menjadi satu pelayanan.

Berikan usulan yang baik kepada investor apakah dengan menggabungkan kedua

perusahaan terebut menjadikan pelayanan menjadi optimal?


85

Jawab:

Dari sudut pandang antrian, taksi merupakan server, perjalanan taksi mengantar

penumpang adalah pelayanan. Dengan demikian diperoleh model antrian untuk

kasus tersebut adalah (𝑀 𝑀⁄ 2⁄ ): (𝐺𝐷 ∞⁄ ∞⁄ ) dengan rata-rata pelayanan per jam

adalah:

𝜇 =60

12= 5 pengantaran / jam,

dan rata-rata kedatangan yaitu panggilan pesanan yang diterima per jam adalah

𝜆 = 3 panggilan / jam.

Bila tidak dilakukan penggabungan maka model antrian untuk kasus tersebut

adalah (𝑀 𝑀⁄ 1⁄ ): (𝐺𝐷 ∞⁄ ∞⁄ ).

Perhitungan performa model antrian (𝑀 𝑀⁄ 2⁄ ): (𝐺𝐷 ∞⁄ ∞⁄ ) dilakukan dengan

software MATLAB untuk algoritma pemrograman terlampir pada Lampiran 4.

Tabel 3.3 Hasil perhitungan performa antrian dengan Software MATLAB.

𝑐 𝜆 𝜇 𝐿𝑞 𝐿𝑠 𝑊𝑞 𝑊𝑠

2 3 5 0.0001 0.2001 0.004 0.204

1 3 5 1.5000 0.9000 0.300 0.500

Hasil dari analisa menunjukkan bahwa waktu menunggu untuk melakukan

perjalanan dengan kondisi 1 taksi yang tersedia adalah 0,3 jam≈18 menit

sedangkan waktu menunggu untuk perjalanan dengan kondisi 2 taksi yang tersedia

adalah 0,004 jam ≈ 0.24 menit. Hal ini memperlihatkan terjadi penurunan waktu

tunggu pelanggan lebih dari 50% sehingga penggabungan kedua perusahaan

tersebut menjadikan pelayanan menjadi optimal.


86

BAB IV

ANALISIS ANTRIAN LAYANAN BPJS

RS PANTI RAPIH YOGYAKARTA

Pada bab ini akan dibahas suatu masalah nyata yang memiliki situasi antrian

dengan beberapa channel. Tujuan dari bab ini adalah melakukan analisis terhadap

ukuran-ukuran kinerja sistem yang selanjutnya dipergunakan untuk

meminimumkan waktu tunggu pada sistem antrian.

Badan Penyelenggara Jaminan Sosial (BPJS) berfungsi menyelenggarakan

program jaminan kesehatan kepada seluruh penduduk Indonesia. Jaminan

kesehatan menurut UU SJSN diselenggarakan secara nasional berdasarkan prinsip

asuransi sosial dan prinsip ekuitas dengan tujuan menjamin agar peserta

memperoleh manfaat pemeliharaan kesehatan dan perlindungan dalam memenuhi

kebutuhan dasar kesehatan.

Rumah Sakit sebagai sarana pelayanan kesehatan yang semula hanya

melaksanakan upaya penyembuhan dan pemulihan, kini juga meningkatkan mutu

terhadap rumah sakit itu sendiri. Peningkatan mutu rumah sakit salah satunya

adalah menerima dan menyediakan fasilitas untuk pasien peserta BPJS.

Disiplin antrian yang umum diterapkan dalam kehidupan sehari-hari adalah

FIFO (first in first out) namun dalam beberapa kejadian, disiplin antrian tersebut

tidak bisa diterapkan karena alasan kebutuhan seorang pasien yang dilayani. Salah

satu contoh yang menerapkan displin pelayanan PS (priority service) yaitu pasien

karena keadaannya lebih dahulu harus dilayani oleh dokter.


87

Gambar 4.1 Ilustrasi antrian layanan BPJS RS Panti Rapih.

Rumah Sakit yang dijadikan obyek dalam penelitian ini adalah Rumah Sakit

Panti Rapih Yogyakarta. Masalah pokok yang dihadapi rumah sakit tersebut adalah

lamanya waktu tunggu pasien peserta BPJS untuk dilayani dan padatnya antrian

pasien peserta BPJS. Hal tersebut ditinjau dari hasil kuesioner yang dibagikan

kepada 70 pasien peserta BPJS (data dilampirkan pada lampiran 3).

A. Sistem Antrian Pelayanan BPJS di Rumah Sakit Panti Rapih dan Harapan

Pasien

Informasi mengenai sistem antrian pasien peserta BPJS diperoleh dengan

cara mewawancarai salah satu petugas Rumah Sakit Panti Rapih bagian rekam

medik bernama Lintang. Pelayanan pada sistem antrian pasien peserta BPJS

dimulai pukul 07.15 WIB sedangkan pengambilan tiket antrian dimulai pukul 06.00

WIB. Sistem antrian layanan BPJS dapat dijabarkan dengan dalam skema berikut:

Antrian

Sistem antrian

Waktu

pelayanan

Pelayanan

(server)

Pelayanan

(server)

Pelayanan

(server)

𝜆

𝜇

𝜇

𝜇

Pasien datang

mengambil

tiket antrian

Pasien menunggu

untuk dilayani

Pasien sedang dilayani

pelayan (server)


88

Definisi 4.1 Waktu Kedatangan Pasien

Waktu kedatangan pasien adalah waktu ketika pasien tiba dan mengambil tiket

antrian.

Definisi 4.2 Waktu Antar Kedatangan Pasien

Waktu antar kedatangan pasien adalah selisih dari waktu kedatangan pasien dengan

waktu kedatangan pasien selanjutnya (𝑡𝑘+1 − 𝑡𝑘).

Definisi 4.3 Waktu Tunggu Pasien

Waktu tunggu pasien adalah waktu yang diperlukan pasien dimulai dari waktu

kedatangan hingga dilayani oleh petugas BPJS.

Definisi 4.4 Definisi Waktu Pelayanan

Waktu pelayanan adalah waktu yang diperlukan petugas untuk melayani seorang

pasien sejak dipanggil hingga meninggalkan loket pelayanan.

Untuk mendapatkan layanan BPJS pasien harus mengambil tiket antrian

terlebih dahulu. Berikut ini adalah gambar dari situasi yang terjadi pada antrian

layanan BPJS.


89

Gambar 4.2 Pengambilan tiket antrian layanan BPJS.

Gambar 4.3 Pasien yang menunggu untuk dilayani.


90

Gambar 4.4 Pasien yang sedang mendapatkan pelayanan oleh petugas di

loket (server).

Dalam sistem antrian terdapat 4 kategori keperluan pasien yang hendak

dilayani. Kategori nomor berkepala 1 untuk pasien yang memiliki antrian dengan

dokter yang selesai melayani pasien pada pukul 09.00. Kategori nomor berkepala 2

untuk pasien yang memiliki antrian dengan dokter yang selesai melayani pada

pukul 14.00. Kategori nomor berkepala 3 untuk pasien yang memiliki antrian

dengan dokter yang selesai melayani hingga malam hari. Kategori nomor berkepala

5 untuk pasien yang mempunyai keperluan rawat inap. Kategori nomor berkepala

4 dihilangkan karena dari pihak BPJS sendiri tidak menanggung.

Gambar 4.5 Contoh tiket antrian layanan dokter dan tiket layanan BPJS.


91

Loket pelayanan untuk melayani para pasien peserta BPJS pada rumah sakit

tersebut memiliki 4 loket yang diatur secara paralel dengan masing-masing loket

memiliki kriteria tugas yang berbeda-beda dalam melayani. Loket 1 memiliki tugas

untuk melayani pasien hemodialisa terlebih dahulu. Pasien hemodialisa tidak

termasuk dalam ke-4 kategori yang telah disebutkan di atas. Loket 2 mempunyai

tugas untuk melayani kategori 1. Loket 3 dan loket 4 mempunyai tugas untuk

melayani kategori 3 dan kategori 5. Setelah loket 1 selesai menangani pasien

hemodialisa, loket 1 memulai melayani kategori 2 dan loket 4 memulai melayani

kategori 3 dan kategori 5 secara bergantian sementara loket 3 melayani kategori 2.

Pada pukul 10.00 loket 1 dan 2 mempunyai tugas untuk melayani kategori 2

sementara loket 3 dan 4 melayani kategori 3 dan kategori 5 secara bergantian.

Berikut ini tabel pemberian tugas pada masing-masing loket.

Tabel 4.1 Pembagian tugas loket dalam melayani pasien.

Pasien kategori nomor berkepala Loket yang melayani

1 2

2 1,2,4

3 2,3,4

5 3,4

Sistem antrian layanan BPJS Rumah Sakit Panti Rapih mempunyai disiplin

antrian PR (Priority Service) artinya prioritas pasien menjadi keputusan dalam

melayani pasien. Berikut ini adalah urutan prioritas yang menjadi keputusan pihak

rumah sakit dalam melayani:

1. Pasien hemodialisa akan dilayani terlebih dahulu di loket 1.

2. Pasien kategori nomer berkepala 1 yaitu antrian pasien yang dilayani dokter

pagi pukul 07.00-09.00.


92


pagi pukul 09.00-14.00.


siang pukul 14.00-malam.

5. Pasien kategori nomer berkepala 5 yaitu antrian pasien untuk rawat inap.

6. No urut dari masing-masing kategori kebutuhan pasien.

Berikut ini adalah rangkuman hasil kuesioner yang dibagikan kepada 70

pasien atau responden (berdasarkan tabel lampiran 3).

Tabel 4.2 Jawaban dari pertanyaan no 1 oleh responden.

Mengenai pertanyaan bila antrian panjang hal apa yang dilakukan oleh responden,

36 responden menjawab akan menunggu hingga memperoleh pelayanan, 15

responden menjawab akan meninggalkan antrian dan kembali lagi stelah kira-kira

sampai giliran, dan 19 responden menjawab kadang-kadang menunggu hingga

memperoleh pelayanan.

Tabel 4.3 Jawaban responden mengenai waktu mengantri.

Pertanyaan

Responden

Sangat Padat Cukup

Padat Tidak Padat

Berdasarkan pengalaman selama ini,

antrian di BPJS R.S Panti Rapih 48 22 0

Pertanyaan Rata-rata waktu

Paling cepat mengantri 35 menit

Paling lama mengantri 90 menit

Batas toleransi maksimal mengantri 45 menit

Waktu mengantri yang diharapkan 30 menit


93

Berdasarkan hasil kuesioner yang dibagikan kepada 70 pasien (responden)

diperoleh hasil rata-rata waktu tunggu yang diharapkan pada sistem antrian layanan

BPJS adalah 30 menit. Waktu mengantri yang diharapkan selama 30 menit akan

menjadi acuan untuk mengevaluasi sistem antrian pelayanan BPJS di Rumah Sakit

Panti Rapih.

B. Analisis Deskriptif Data Waktu Kedatangan dan Waktu Pelayanan

Berikut ini adalah tabel waktu kedatangan dan waktu pelayanan pasien yang

masing-masing memiliki keperluan berdasarkan kategori keperluan pasien. Data

kedatangan pasien kategori nomor berkepala 1 disajikan dalam Tabel 4.4 dengan

penulisan “kedatangan_1” sementara untuk pelayanan pasien kategori nomor

berkepala 1 disajikan dalam Tabel 4.4 dengan penulisan “pelayanan_1”. Begitu

pula penyajian untuk kedatangan dan pelayanan pasien kategori nomor berkepala

2, 3, dan 5.


94

Tabel 4.4 Informasi kedatangan dan waktu pelayanan pada sistem antrian.

N Min Max

Rata-rata waktu

antar kedatangan

dan pelayanan

Std.

Deviation

Statistic Std. Error Statistic

kedatangan_1 27 0.07 41.33 6.84 1.78568 9.27866

pelayanan_1 27 0.16 10.46 3.7007 0.62854 3.26599

kedatangan_2 201 0.01 11.58 1.7195 0.13524 1.91738

pelayanan_2 201 0.01 10.48 1.4857 0.11505 1.63105

kedatangan_3 86 0.02 15.02 4.6279 0.40176 3.72575

pelayanan_3 86 0.02 13.52 3.5499 0.32036 2.9709

kedatangan_5 38 0.23 68.39 9.52 1.9868 12.24744

pelayanan_5 38 1.15 39.37 7.8608 1.44389 8.90073

Dari Tabel 4.4 diperoleh informasi banyaknya kedatangan pasien kategori

nomor berkepala 1 sebanyak 𝑁 =27 pasien, waktu antar kedatangan tercepat adalah

0.07 menit, waktu antar kedatangan terlama adalah 41.33 menit, dan rata-rata waktu

antar kedatangan adalah 6.84 menit dengan standar eror dan standar deviasi

berturut-turut adalah 1.78568 dan 9.27866. Banyaknya pasien kategori nomor

berkepala 1 yang dilayani adalah 27 pasien, waktu pelayanan tercepat adalah 0.16

menit, waktu pelayanan terlama adalah 10.46 menit, dan rata-rata waktu pelayanan

adalah 3.7007 menit dengan standar eror dan standar deviasi bertutur-turut adalah

0.62854 dan 3.26599. Begitu pula untuk kedatangan dan pelayanan pasien kategori

nomor berkepala 2, 3, dan 5. Pada tabel 4.3 kedatangan pasien yang paling banyak

adalah kedatangan pasien kategori nomor berkepala 2, rata-rata waktu antar


95

kedatangan dan pelayanan yang paling cepat adalah rata-rata waktu antar

kedatangan dan pelayanan pasien kategori nomor berkepala 2. Kedatangan pasien

yang paling sedikit adalah kedatangan pasien kategori nomor berkepala 1, rata-rata

waktu antar kedatangan dan pelayanan terlama adalah kategori pasien nomor

berkepala 5.

Sebelum menghitung performa-performa pada sistem antrian akan diuji

terlebih dahulu distribusi kedatangan dan distribusi pelayanan pasien kategori

nomor berkepala 1, 2, 3, dan 5.

Berikut ini adalah langkah-langkah pengujian distribusi kedatangan untuk

pasien kategori nomor berkepala 1 dengan menggunakan SPSS.

1. 𝐻0: kedatangan pasien kategori nomor berkepala 1 berdistribusi Poisson.

𝐻1: kedatangan pasien kategori nomor berkepala 1 tidak berdistribusi Poisson.


3. Daerah penolakan:

𝐻0 ditolak bila Asymp.Sig (2-tailed) < 𝛼.

Untuk langkah-langkah pengujian distribusi kedatangan pasien kategori

nomor berkepala 2, 3, dan 5 sama dengan langkah-langkah pengujian distribusi

kedatangan pasien kategori nomor berkepala 1.

Berikut ini adalah langkah-langkah pengujian distribusi pelayanan untuk

pasien kategori nomor berkepala 1 dengan menggunakan SPSS.

1. 𝐻0: pelayanan pasien kategori nomor berekepala 1 berdistribusi Eksponensial.

𝐻1: pelayanan pasien kategori nomor berekepala 1 tidak berdistribusi

Eksponensial.


96


3. Daerah penolakan:

𝐻0 ditolak bila Asymp.Sig (2-tailed) < 𝛼.

Untuk langkah-langkah pengujian distribusi pelayanan pasien kategori

nomor berkepala 2, 3, dan 5 sama dengan langkah-langkah pengujian distribusi

pelayanan pasien kategori nomor berkepala 1.

Berikut ini adalah ringkasan tabel hasil pengujian distribusi kedatangan

pasien kategori nomor berkepala 1, 2, 3, dan 5 dengan batuan software SPSS. Untuk

tabel uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov terlampir pada lampiran.

Tabel 4.5 Statistik hasil uji distribusi kedatangan.

Pasien Kategori Nomor Berkepala

1 2 3 5

Kolmogorov-

Smirnov Z 0.941 0.880 0.338 0.580

Asymp.Sig

(2-tailed)

*0.395 *0.067 *0.147 *0.202

Asymp.Sig (2-

tailed) < 𝛼

Tidak Tidak Tidak Tidak

Kesimpulan 𝐻0 diterima 𝐻0 diterima 𝐻0 diterima 𝐻0 diterima

*) nilai < 0.05.

Kesimpulan dari Tabel 4.5, pada uji distribusi kedatangan pasien kategori

nomor berkepala 1, 2, 3, dan 5 mempunyai kesimpulan bahwa 𝐻0 diterima dapat

disimpulkan bahwa kedatangan pasien kategori nomor berkepala 1, 2, 3, dan 5

berdistribusi Poisson.


97

Berikut ini adalah ringkasan tabel uji hasil pengujian distribusi pelayanan

pasien kategori nomor berkepala 1, 2, 3, dan 5 dengan bantuan software SPSS.

Tabel 4.6 Statistik hasil uji distribusi waktu pelayanan.

Pasien Kategori Nomor Berkepala

1 2 3 5

Kolmogorov-

Smirnov Z 0.899 1.304 1.142 1.071

Asymp.Sig

(2-tailed) *0.395 *0.067 *0.147 *0.202

Asymp.Sig (2-

tailed) < 𝛼 Tidak Tidak Tidak Tidak

Kesimpulan 𝐻0 diterima 𝐻0 diterima 𝐻0 diterima 𝐻0 diterima

*) nilai < 0.05

Kesimpulan dari Tabel 4.6, pada uji distribusi pelayanan pasien kategori

nomor berkepala 1, 2, 3, dan 5 mempunyai kesimpulan bahwa 𝐻0 diterima dengan

demikan dapat disimpulkan bahwa pelayanan pasien kategori nomor berkepala 1,

2, 3, dan 5 berdistribusi Eksponensial.

C. Analisis Sistem Antrian Pelayanan BPJS

Pada Subab A telah dijelaskan sistem antrian pelayanan BPJS Rumah Sakit

Panti Rapih. Berikut ini adalah analisa dan perhitungan performa antrian.

C.1 Perhitungan Perfoma Pasien Kategori Nomor Berkepala 1

Pada Tabel 4.1 terlihat pasien kategori nomor berkepala 1 dilayani 1 loket.

Dengan demikian pasien yang memiliki antrian kategori nomor berkepala 1

memiliki model antrian (𝑀 𝑀⁄ ∕ 1).


98

Pada Tabel 4.4 diketahui rata-rata waktu antar kedatangan pasien kategori

nomor berkepala 1 adalah 6.84 menit per pasien atau 𝜆= 8.77 pasien per jam.

Sedangkan untuk waktu layanan pasien kategori nomor berkepala 1 diperoleh

3.7007 menit per pasien atau 𝜇 =16.213 pasien per jam.

Selanjutnya akan dihitung analisis sistem untuk pasien kategori nomor

berkepala 1. Tingkat kesibukan loket dalam melayani pasien telah dijelaskan pada

Subab I halaman 78. Bila 𝜌 ≥ 1 berarti loket tidak dapat melayani semua pasien

atau menampung semua pasien. Namun bila 𝜌 < 1 berati loket dapat melayani

semua pasien.

Berikut ini adalah perhitungan 𝜌 dan performa antrian.

𝜆 = 8.77 dan 𝜇 = 16.213

𝜌 =𝜆

𝜇

=8.77

16.213

= 0.540,

dari perhitungan di atas dapat disimpulkan server dapat melayani semua pasien.

Selanjutnya akan dicari 𝑃0 sebagai berikut:

𝑃0 = 1 − 𝜌

= 1 − 0.540

= 0.46,

kemudian akan dicari ekspektasi waktu tunggu dalam antrian yaitu waktu yang

dihabiskan pasien dalam menunggu untuk proses dilayani.


99

𝑊𝑞 =𝜌

(1 − 𝜌)𝜇

=

0.540

(1 − 0.540) 16,213

= 0,0724.

Waktu tunggu dalam antrian adalah 0.0724 jam ≈ 4.344 menit.

Selanjutnya akan dicari ekspetasi waktu tunggu dalam sistem antrian adalah

waktu total yang dihabiskan pasien dari proses menunggu dilayani hingga proses

pelayanan selesai.

𝑊𝑠 =1

𝜇 − 𝜆

=1

16.213 − 8.77

= 0.13435.

Waktu tunggu dalam sistem antrian adalah 0.13435 jam ≈ 8.061 menit.

Kemudian akan dicari ekspektasi banyaknya pasien dalam antrian adalah

jumlah pasien yang menunggu untuk dilayani saja.

𝐿𝑞 =𝜌2

1 − 𝜌

=

0.5402

1 − 0.540.

Total pasien yang menunggu untuk dilayani adalah 0.63391 pasien ≈ 1 pasien.

Banyaknya pasien dalam sistem antrian yaitu total pasien yang berada

dalam sistem antrian adalah

𝐿𝑠 = 𝜆𝑊𝑠


100

= 8.77 (0.13435)

= 1.17824.

Total pasien dalam sistem antrian adalah 1.17824 pasien ≈ 2 pasien.

C.2 Perhitungan Perfoma Pasien Kategori Nomor Berkepala 2



memiliki model antrian (𝑀 ∕ 𝑀 ∕ 3).

Pada Tabel 4.4 diketahui rata-rata waktu kedatangan pasien kategori nomor

berkepala 2 adalah 1.7195 menit per pasien atau 𝜆 = 34.8938 pasien per jam.


1.4857 menit per pasien atau 𝜇 = 40.385 pasien per jam.

Dengan langkah yang sama dengan C.1 berikut ini perhitungan performa-

performa antrian untuk pasien kategori nomor berkepala 2 yaitu:

a. Tingkat kesibukan loket

Bila 𝜌 ≥ 1 maka server tidak dapat melayani semua pasien atau menampung semua

pasien. Namun bila 𝜌 < 1 maka server dapat melayani semua pasien

𝜆 = 34.8938 dan 𝜇 = 40.385.

𝜌 =𝜆

𝑐𝜇

=34.8938

3(40.385)


101

= 0.288,

dari perhitungan diatas dapat disimpulkan server dapat melayani pasien.

b. Berikut ini adalah perhitungan 𝑃0

𝑃0 = {∑𝜌𝑛

𝑛!+𝜌𝑐

𝑐!(

1

1 −𝜌𝑐

)

𝑐−1

𝑛=0

}

−1

= {∑0.288𝑛

𝑛!+0.8403

3!(

1

1 −0.2883

)

2

𝑛=0

}

−1

= 0.7496.

c. Ekspektasi waktu tunggu dalam antrian:

𝑊𝑞 =𝜌𝑐𝑃0

𝜇(𝑐 − 1)! (𝑐 − 𝜌)2

=

0.2883 × 0.7469

40.385(3 − 1)! (3 − 0.840)2

= 3 × 10−4.

Waktu tunggu dalam antrian adalah 3 × 10−4jam ≈ 0.018 menit.

d. Ekspektasi waktu tunggu dalam sistem antrian:

𝑊𝑠 =𝜌𝑐𝑃0

𝜇(𝑐 − 1)! (𝑐 − 𝜌)2+1

𝜇

=0.2883 × 0.7469

40.385(3 − 1)! (3 − 0.840)2+

1

40.385

= 0.024.



102

e. Ekspektasi banyaknya pasien dalam antrian:

𝐿𝑞 =𝜌𝑐+1

(𝑐 − 1)! (𝑐 − 𝜌)2𝑃0

=

0.2884

(3 − 1)! (3 − 0.288)2(0.7469)

= 3.5 × 10−4.

Banyaknya pasien dalam antrian 3.5 × 10−4 pasien ≈ 1 pasien.

f. Banyaknya pasien dalam sistem antrian yaitu total pasien yang berada dalam

sistem antrian:

𝐿𝑠 = 𝐿𝑞 + 𝜌

= 3.49319 × 10−4 + 0.288

= 0.28836.


C.3 Perhitungan Perfoma Antrian Pasien Kategori Nomor Berkepala 3



memiliki model antrian (𝑀 𝑀⁄ 3⁄ ).

Pada Tabel 4.4 diketahui rata-rata kedatangan pasien kategori nomor

berkepala 3 adalah 4.6279 menit per pasien atau 𝜆 = 12.964 pasien per jam.


3.5499 menit per pasien atau 𝜇 =16.901 pasien per jam.




103

a. Tingkat kesibukan loket

Bila 𝜌 ≥ 1 maka server tidak dapat melayani semua pasien atau menampung semua

pasien. Namun bila 𝜌 < 1 maka server dapat melayani semua pasien.

𝜆 = 12.964 dan 𝜇 = 16.901.

𝜌 =𝜆

𝑐𝜇

=12.964

3(16.901)

= 0.2556,


b. 𝑃0 diperoleh sebagaik berkut:

𝑃0 = {∑𝜌𝑛

𝑛!+𝜌𝑐

𝑐!(

1

1 −𝜌𝑐

)

𝑐−1

𝑛=0

}

−1

= {∑0.2556𝑛

𝑛!+0.25663

3!(

1

1 −0.25563

)

2

𝑛=0

}

−1

= 0.7743.

c. Ekepektasi waktu tunggu dalam antrian:


𝜇(𝑐 − 1)! (𝑐 − 𝜌)2

=

0.25563 × 0.7743

16.901(3 − 1)! (3 − 0.2556)2

= 5 × 10−4.

Waktu tunggu dalam antrian adalah 5 × 10−4jam ≈ 0.03 menit.


104

d. Ekspektasi waktu tunggu dalam sistem antrian:


𝜇(𝑐 − 1)! (𝑐 − 𝜌)2+1

𝜇

=0.25563 × 0.7742

16.901(3 − 1)! (3 − 0.2556)2+

1

16.901

= 0.05921.



𝐿𝑞 =

𝜌𝑐+1

(𝑐 − 1)! (𝑐 − 𝜌)2𝑃0

=

0.25564

(3 − 1)! (3 − 0.2556)2(0.7742)

= 2.19367 × 10−4.

Banyaknya pasien dalam antrian adalah 2.19367 × 10−4pasien ≈ 1 pasien.

f. Banyaknya pasien dalam sistem antrian:


= 2.19367 × 10−4 + 0.2556

= 0.2559.


C.4 Analisa dan Perhitungan Perfoma Pasien Kategori Nomor Berkepala 5


105



memiliki model antrian (𝑀 𝑀⁄ 2⁄ ).

Pada Tabel 4.4 diketahui rata-rata waktu kedatangan pasien kategori nomor

berkepala 5 adalah 9.52 menit per pasien atau 𝜆 = 6.302 pasien per jam. Sedangkan

untuk waktu layanan pasien kategori nomor berkepala 5 diperoleh 7.8608 menit per

pasien atau 𝜇 = 7.6323 pasien per jam.



a. Tingkat kesibukan loket.

Bila 𝜌 ≥ 1 maka server tidak dapat melayani semua pasien atau menampung

semua pasien. Namun bila 𝜌 < 1 maka server dapat melayani semua pasien

𝜆 = 6.302 dan 𝜇 = 7.6326.

𝜌 =𝜆

𝑐𝜇

=6.302

2(7.6323)

= 0.4128,


b. 𝑃0 diperoleh sebagai berikut:

𝑃0 = {∑𝜌𝑛

𝑛!+𝜌𝑐

𝑐!(

1

1 −𝜌𝑐

)

𝑐−1

𝑛=0

}

−1


106

= {∑0.4128𝑛

𝑛!+0.41282

2!(

1

1 −0.41282

)

1

𝑛=0

}

−1

= 0.6578.

c. Ekspektasi waktu tunggu dalam antrian:


𝜇(𝑐 − 1)! (𝑐 − 𝜌)2

=

0.41282 × 0.6578

7.6323(2 − 1)! (2 − 0.4128)2

= 5.829811 × 10−3.

Waktu tunggu dalam antrian adalah 5.829811 × 10−3 jam ≈ 0.3497 menit.

d. Ekspektasi waktu tunggu dalam sistem antrian adalah


𝜇(𝑐 − 1)! (𝑐 − 𝜌)2+1

𝜇

=0.41282 × 0.6578

7.6323(2 − 1)! (2 − 0.4128)2+

1

7.6323

= 0.13685.



𝐿𝑞 =𝜌𝑐+1

(𝑐 − 1)! (𝑐 − 𝜌)2𝑃0

=

0.41283

(2 − 1)! (2 − 0.4128)2(0.6578)

= 0.01836.

Banyaknya pasien yang menunggu untuk dilayani adalah 0.01836 pasien ≈ 1

pasien.


107

Banyaknya pasien dalam sistem antrian:


= 0.01836 + 0.4128

= 0.43116.

Total pasien dalam sistem antrian adalah 0.43116 pasien ≈ 1 pasien

D. Analisis Perhitungan Performa Antrian

Berikut ini adalah tabel dari perhitungan yang telah dilakukan.

Tabel 4.7 Rangkuman hasil perhitungan performa antrian BPJS.

Antrian pasien

kategori nomor

berkepala

𝑊𝑞

(menit)

𝑊𝑠

(menit)

𝐿𝑞

(pasien)

𝐿𝑠

(pasien)

1 4.344 8.061 1 2

2 0.018 1.44 1 1

3 0.03 3.5526 1 1

5 0.3497 8.211 1 1

Pada analisa di atas diperoleh waktu tunggu 𝑊𝑞 < 0.5 jam. Berarti sudah

memenuhi waktu tunggu yang diharapkan pasien yaitu 30 menit atau 0.5 jam. Fakta

ini bertentangan dengan hasil kuesioner yang diisi pasien. Rata-rata waktu

mengantri paling lama adalah 90 menit. Untuk mengetahui apa penyebab masalah

antrian yang terjadi dilakukan dengan pengamatan dan pendekatan wawancara

pasien antrian pelayanan BPJS. Berdasarkan pengamatan yang telah dilakukan

anjungan karcis antrian layanan BPJS dimulai pada pukul 06.00 WIB sedangkan


108

untuk waktu pelayanan dimulai pada pukul 07.15 WIB, oleh sebab itu pasien yang

datang lebih awal untuk mengambil karcis antrian dipastikan sudah mempunyai

waktu tunggu minimal 1 jam 15 menit. Hasil dari wawancara diperoleh bahwa

pasien tidak mengetahui bahwa sistem antrian yang berlaku pada antrian layanan

BPJS Rumah Sakit Panti Rapih adalah berdasarkan prioritas kebutuhan pasien.

Pasien berpandangan bahwa apabila pasien datang lebih awal untuk mengambil

nomor antrian akan mendapatkan pelayanan terlebih dahulu atau dengan kata lain

pasien mengasumsikan bahwa sistem antrian yang berlaku pada sistem antrian

layanan BPJS Rumah Sakit Panti Rapih adalah FIFO (first in first out). Selain itu,

pasien berpendapat bahwa sesungguhnya waktu pelayanan dikategorikan cepat,

namun waktu menunggu untuk dilayani yang lama. Sebagai contoh pasien dengan

nomor antrian 3003 datang pada pukul 5:50:01 dan dilayani pada pukul 7:26:45.

Dengan demikian pasien dengan nomor antrian 3003 harus menunggu selama

1:36:44, sedangkan pasien dengan no urut 3055 datang pada pukul 10:17:01 dan

dilayani pada pukul 10:32:08. Pasien no urut 3055 menunggu selama 0:15:07 atau

15 menit 7 detik.

Dari deskripsi di atas permasalahannya adalah perbedaan presepsi tentang

waktu tunggu pasien yang menganggap waktu tunggu adalah waktu sejak

mengambil tiket antrian hingga memperoleh pelayanan, sedangkan sistem

mengatur berdasarkan prioritas.

Bila pasien mengetahui bahwa sistem antrian yang berlaku maka

sesungguhnya pasien tak perlu mengantri tiket terlalu dini untuk menghindari

waktu tunggu yang lama akibat ketidaktahuan pasien.


109

E. Evaluasi dan Saran Untuk Sistem antrian

Berdasarkan dari segi pelayanan fasilitas penyediaan 4 loket untuk melayani

pasien antrian layanan BPJS, waktu tunggu (𝑊𝑞) sudah memenuhi harapan pasien.

Masalah waktu tunggu yang dialami pasien cukup lama pada antrian

layanan BPJS disebabkan karena ketidaktahuan pasien mengenai sistem antrian

yang berlaku. Untuk itu sebaiknya diberikan informasi bahwa sistem antrian yang

berlaku adalah sistem antrian prioritas.

Pasien yang mempunyai kebutuhan pelayanan dokter pada jam 07.00 –

09.00 atau pasien kategori nomor berkepala 1 mempunyai layanan dokter yang

selesai pukul 09.00 dianjurkan untuk mengambil nomor antrian di awal sebelum

pukul 09.00 . Sedangkan pasien dengan kategori nomor berkepala 3 mempunyai

layanan dokter yang selesai pada malam hari diajurkan untuk mengambil nomor

antrian pada pukul 10.00 – 13.00.


110

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Antrian masih menjadi masalah yang sering ditemukan di fasilitas

pelayanan umum. Antrian adalah suatu kondisi dimana subyek-subyek menuju

suatu area untuk dilayani dan menghadapi suatu keterlambatan yang disebabkan

oleh mekanisme pelayanan yang mengalami kesibukan. Antrian sendiri timbul

karena adanya ketidakseimbangan antara yang dilayani dengan pelayanannya.

Prinsip utama dalam situasi mengantri adalah subyek yang terlibat dalam

antrian atau pelanggan (customer) dan fase atau pelayanan (server). Pokok dari

analisis antrian adalah kedatangan pelanggan diwakili dengan waktu antar

kedatangan dan pelayanan diwakili dengan waktu pelayanan pada tiap pelanggan.

Kedatangan pelanggan dapat dipelajari karakteristiknya. Karakteristik

kedatangan diwakili oleh adanya distribusi probabilitas. Distribusi Poisson

mewakili kedatangan pelanggan. Waktu pelayanan dalam antrian dapat pula

dipelajari karakteristiknya. Distribusi Eksponensial mewakili waktu pelayanan

yang terjadi dalam antrian.

Disiplin antrian yang diterapkan pada antrian layanan BPJS adalah displin

prioritas. Dengan demikian dalam melayani pasien mempertimbangkan kebutuhan

yang paling mendesak atau dengan kata lain pasien yang datang lebih awal belum

tentu mendapat pelayanan terlebih dahulu. Bentuk antrian pada layanan BPJS


111

Rumah Sakit Panti Rapih adalah bentuk antrian Multi saluran satu fase dengan

model pelayanan tunggal atau (𝑀 𝑀⁄ 1⁄ ) dan model 𝑐 pelayanan atau (𝑀 𝑀⁄ 𝑐⁄ ).

Sistem antrian layanan BPJS sebenarnya sudah memenuhi harapan waktu

tunggu pasien yaitu kurang dari 30 menit, namun hal tersebut bertentangan dengan

hasil kuesioner yang diisi oleh pasien yaitu waktu mengantri paling lama adalah 90

menit. Penyebab masalah yang terjadi adalah perbedaan presepsi waktu tunggu

pasien yang menganggap bahwa waktu tunggu adalah waktu sejak mengambil tiket

antrian hingga memperoleh pelayanan, sementara sistem mengatur berdasarkan

prioritas. Bila pasien mengetahui bahwa sistem antrian yang berlaku maka

sesungguhnya pasien tak perlu mengantri tiket terlalu dini untuk menghindari

waktu tunggu yang lama akibat ketidaktahuan pasien.

B. Saran

Beberapa hal yang perlu dipertimbangkan untuk penyempurnaan antara lain:

1. Model antrian yang dibahas dalam skripsi ini hanya model antrian dengan

kapasitas sistem antrian ∞ pada masing-masing model. Oleh karena itu

disarankan untuk membahas model antrian dengan kapasitas sistem antrian

berukuran 𝑁.

2. Pada skripsi ini tidak membahas model biaya pada sebuah antrian. Model biaya

berkaitan dengan penentuan laju pelayanan optimum. Secara umum model

biaya menyeimbangkan dua biaya yang saling bertentangan yaitu biaya

menunggu dan biaya pelayanan.


112

DAFTAR PUSTAKA

Aditama, T.Y dan Wardhani, L.P. (2013). Distribusi Waktu Tunggu pada Antrian

dengan Menggunakan Disiplin Pelayanan Prioritas (Studi Kasus: Instalasi

Rawat Darurat di RSUD Dr. Soetomo Surabaya).

Institut Teknologi Sepuluh November

Agustriani, M.N. (2014). Model Antrian dengan Kedatangan Berdistribusi Poisson

dan Waktu Pelayanan Berdistribusi Erlang. Yogyakarta: Universitas

Sanata Sharma

Allen, A.O. (1990). Probability, Statistics, and Queueing Theory with Computer

Science Apllications. Second edition. New York: Academic Press, Inc.

Daniel, W.W. (1980). Statistik Nonparametrik Terapan. Jakarta : Gramedia

Freund, R. J dan Wilson, W. J. (2003). Statistical Methods. Second edition.

New York : Academic Press, Inc.`

Hamdy, A. Taha. 2007. Operation Research : An Introduction. Eight edition.

New Jersey : Pearson Education, Inc.

Julie, Hongkie. (1999). Teorema Limit Pusat dan Terapannya. Yogyakarta:

Universitas Sanata Dharma

Karlin, Samuel & Taylor, H. M. 1975. A first Course in Stocahstic Processes.

Second edition. New York: Academic Press, Inc

Mendenhall, W.,Scheaffer, R.L., dan Wackerly, D.D. 1986. Mathematical

Statistics with Applications. Third edition. United States: PWS Publisher


113

Mikosch, T. (1998). Elemntary Stochastic Calculus. Singapore: World Scientific

Publishing Co. Pte. Ltd

Osaki, Shunji. 1992. Applied Stochastic System Modelling. Heidelberg: Springer

Putranto, M. A. (1992). Analisis Sistem Antrian Model Multi Phase pada Kantor

Samsat Yogyakarta. Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta

Susilo, Frans. (2012). Landasan Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu

Walpole, R. E., Raymond H. Myres, Syaron L. Myres, & Keying Ye. (2012).

Probability & Statistics for Engineers & Scientits. Ninth edition.

Boston : Pearson Education, Inc.


114

LAMPIRAN

Lampiran 1

Berikut ini adalah lampiran tabel pengamatan antrian layanan BPJS

k No urut

Pasien

Waktu

Kedatangan

(𝑡𝑘)

Waktu

Pelayanan Loket

1 1003 5:48:59 7:20:10 2

2 1004 6:30:32 7:22:15 2

3 1007 6:57:47 7:25:55 2

4 1008 7:03:03 7:27:32 2

5 1009 7:08:25 7:30 2

6 1010 7:14 7:35:10 2

7 1011 7:17:25 7:37:56 2

8 1012 7:33:06 7:39:01 2

9 1013 7:33:59 7:40:38 2

10 1014 7:34:06 7:41:51 2

11 1015 7:47:43 7:52:04 2

12 1016 7:57:15 7:58:00 2

13 1017 7:57:32 7:58:36 2

14 1018 7:58:09 8:00:46 2

15 1019 7:59:00 8:02:24 2

16 1020 8:02:05 8:03:55 2

17 1021 8:05:01 8:06:39 2

18 1022 8:05:19 8:07:48 2

19 1023 8:16:00 8:18:15 2

20 1024 8:16:42 8:18:31 2

21 1025 8:19:02 8:20:49 2

22 1026 8:24:05 8:31:35 2

23 1027 8:26:33 8:33:39 2

24 1028 8:30:42 8:35:21 2

25 1029 8:40:53 8:44:05 2

26 1030 8:44:03 8:52:09 2

27 1031 8:45:03 8:59:09 2

28 1032 8:58:07 9:04:42 2

29 2047 5:51:44 7:51:58 4


115

30 2048 5:55:45 7:52:35 1

31 2049 5:55:46 7:52:47 2

32 2050 5:56:14 7:54:18 4

33 2051 5:57:41 7:55:03 4

34 2052 5:58:36 7:55:36 1

35 2053 5:58:53 7:56:43 1

36 2054 6:00:27 7:57:58 1

37 2055 6:01:19 7:59:00 4

38 2056 6:05:11 7:59:15 4

39 2057 6:06:06 8:00:57 1

40 2058 6:06:33 8:01:14 4

41 2059 6:09:05 8:02:25 1

42 2060 6:10:44 8:04:43 1

43 2061 6:11:03 8:07:54 1

44 2062 6:11:35 8:10:14 1

45 2063 6:16:09 8:11:17 4

46 2064 6:17:04 8:13:30 1

47 2065 6:17:14 8:13:47 4

48 2066 6:17:39 8:14:21 4

49 2067 6:18:17 8:14:43 4

50 2068 6:18:49 8:16:15 1

51 2069 6:20:23 8:17:00 2

52 2070 6:21:11 8:17:36 4

53 2071 6:21:28 8:18:39 2

54 2072 6:21:38 8:19:15 4

55 2073 6:21:59 8:19:18 4

56 2074 6:23:07 8:20:57 4

57 2075 6:24:06 8:22:59 4

58 2076 6:24:21 8:24:24 1

59 2077 6:26:39 8:25:10 4

60 2078 6:28:47 8:25:14 1

61 2079 6:29:15 8:26:22 2

62 2080 6:30:58 8:27:55 1

63 2081 6:32:36 8:30:29 4

64 2082 6:33:12 8:32:32 1

65 2083 6:33:16 8:34:19 4


116

66 2084 6:34:49 8:34:57 1

67 2085 6:37:01 8:36:31 4

68 2086 6:37:13 8:38:59 4

69 2087 6:37:19 8:39:30 1

70 2088 6:41:11 8:39:52 1

71 2089 6:42:12 8:40:52 4

72 2090 6:45:52 8:42:57 1

73 2091 6:46:17 8:44:44 4

74 2092 6:46:35 8:49:46 1

75 2093 6:53:32 8:51:34 4

76 2094 7:00:00 8:51:53 2

77 2095 7:02:03 8:52:59 1

78 2096 7:05:26 8:53:15 2

79 2097 7:06:19 8:55:11 1

80 2098 7:07:17 8:55:40 2

81 2099 7:13:35 8:55:44 4

82 2100 7:15:46 8:57:07 1

83 2101 7:17:27 9:03:10 2

84 2102 7:24:05 9:05:08 2

85 2103 7:24:47 9:06:39 1

86 2104 7:26:14 9:07:08 1

87 2105 7:28:03 9:08:43 1

88 2106 7:28:35 9:08:45 1

89 2107 7:29:38 9:09:13 4

90 2108 7:30:15 9:09:54 1

91 2109 7:34:23 9:09:59 2

92 2110 7:37:34 9:11:34 4

93 2111 7:39:03 9:12:46 1

94 2112 7:39:45 9:15:27 1

95 2113 7:41:09 9:16:35 4

96 2114 7:43:15 9:17:09 2

97 2115 7:46:04 9:17:53 4

98 2116 7:50:43 9:19:41 4

99 2117 7:51:44 9:20:42 4

100 2118 7:52:01 9:24:22 4

101 2119 7:52:30 9:24:58 2


117

102 2120 7:53:08 9:25:09 4

103 2121 7:55:55 9:27:54 3

104 2122 7:56:01 9:29:09 2

105 2123 7:58:16 9:39:57 4

106 2124 8:00:29 9:41:31 2

107 2125 8:03:11 9:42:00 4

108 2126 8:04:01 9:44:10 1

109 2127 8:04:58 9:44:24 4

110 2128 8:06:22 9:45:24 2

111 2129 8:11:06 9:46:10 1

112 2130 8:12:11 9:47:10 4

113 2131 8:12:33 9:47:23 4

114 2133 8:14:52 9:50:49 1

115 2134 8:15:23 9:52:05 4

116 2135 8:18:04 9:52:31 4

117 2136 8:18:51 9:53:28 2

118 2137 8:19:23 9:54:12 4

119 2138 8:22:57 9:54:21 1

120 2139 8:25:03 9:55:27 2

121 2140 8:27:53 9:56:34 1

122 2141 8:30:21 9:58:32 1

123 2142 8:31:11 9:58:36 2

124 2143 8:31:51 9:58:41 4

125 2144 8:32:13 9:59:31 2

126 2145 8:37:02 9:59:38 1

127 2146 8:37:16 10:00:25 4

128 2147 8:40:24 10:00:49 4

129 2148 8:44:05 10:03:14 1

130 2149 8:47:06 10:03:59 4

131 2150 8:47:07 10:04:57 1

132 2151 8:47:17 10:05:06 2

133 2152 8:48:13 10:06:03 2

134 2153 8:52:52 10:06:19 4

135 2154 8:53:25 10:08:30 1

136 2155 8:54:41 10:08:34 1

137 2156 8:56:33 10:11:11 4


118

138 2157 8:57:56 10:11:45 1

139 2158 9:00:03 10:13:49 2

140 2159 9:02:33 10:13:55 4

141 2160 9:04:21 10:15:21 1

142 2161 9:05:05 10:15:35 4

143 2162 9:05:31 10:16:41 2

144 2163 9:06:23 10:16:51 1

145 2164 9:07:22 10:17:22 2

146 2165 9:08:00 10:17:45 4

147 2166 9:09:55 10:18:54 1

148 2167 9:12:36 10:19:17 2

149 2168 9:13:29 10:21:16 1

150 2169 9:14:55 10:21:34 2

151 2170 9:16:24 10:23:09 1

152 2171 9:17:05 10:23:37 4

153 2172 9:18:27 10:24:33 1

154 2173 9:20:04 10:25:33 2

155 2174 9:24:01 10:27:01 4

156 2175 9:27:03 10:28:12 1

157 2176 9:28:12 10:30:03 1

158 2177 9:29:02 10:30:31 4

159 2178 9:34:12 10:31:11 4

160 2179 9:35:02 10:31:45 2

161 2180 9:36:47 10:34:19 1

162 2181 9:38:03 10:35:58 1

163 2182 9:41:25 10:38:17 4

164 2183 9:43:05 10:39:04 1

165 2184 9:43:35 10:40:02 4

166 2185 9:44:37 10:40:09 2

167 2186 9:44:47 10:40:32 1

168 2187 9:45:05 10:41:16 2

169 2188 9:45:50 10:42:30 1

170 2189 9:47:03 10:44:16 1

171 2190 9:48:11 10:44:44 2

172 2191 9:48:39 10:45:20 1

173 2192 9:49:51 10:46:55 2


119

174 2193 9:53:47 10:47:38 1

175 2194 9:54:17 10:50:26 2

176 2195 9:56:34 10:52:05 1

177 2196 9:57:20 10:52:06 2

178 2197 10:08:16 10:53:55 1

179 2198 10:09:47 10:55:35 1

180 2199 10:10:46 10:56:32 2

181 2200 10:12:37 10:56:47 1

182 2201 10:12:59 10:59:40 2

183 2202 10:17:23 11:06:21 1

184 2203 10:23:43 11:07:29 1

185 2204 10:26:50 11:10:11 2

186 2205 10:27:39 11:10:35 1

187 2206 10:30:42 11:11:51 2

188 2207 10:31:06 11:14:37 2

189 2208 10:31:58 11:15:41 2

190 2209 10:32:28 11:19:07 2

191 2210 10:38:02 11:19:08 3

192 2211 10:39:45 11:19:36 3

193 2212 10:40:13 11:21:28 2

194 2213 10:42:14 11:22:06 1

195 2214 10:42:42 11:22:16 2

196 2215 10:44:58 11:24:17 4

197 2216 10:48 11:28:00 2

198 2217 10:50:14 11:30:50 1

199 2218 10:53:56 11:34:12 4

200 2219 10:55:08 11:35:15 2

201 2220 10:56:55 11:37:05 4

202 2221 10:57:21 11:38:54 2

203 2222 11:04:38 11:43:47 1

204 2223 11:05:47 11:47:20 1

205 2224 11:06:18 11:50:29 1

206 2225 11:10:04 11:57:37 1

207 2226 11:12:07 11:59:42 2

208 2227 11:14:57 12:02:52 1

209 2228 11:21:21 12:05:07 1


120

210 2229 11:21:35 12:05:58 2

211 2230 11:23:19 12:09:45 2

212 2231 11:25:07 12:12:56 2

213 2232 11:29:00 12:13:57 2

214 2233 11:32:28 12:15:23 2

215 2234 11:35:06 12:18:33 2

216 2235 11:39:05 12:44:33 2

217 2236 11:41:51 12:49:46 2

218 2237 11:42:07 12:52:33 2

219 2238 11:43:23 12:59:23 2

220 2239 11:52:16 13:01:24 2

221 2240 11:54:45 13:04:25 1

222 2241 11:55:04 13:09:25 1

223 2242 11:56:02 13:11:42 1

224 2243 12:08:00 13:18:32 1

225 2244 12:08:18 13:19:55 1

226 2245 12:08:43 13:24:08 1

227 2246 12:08:51 13:27:47 1

228 2247 12:16:00 13:31:31 2

229 2248 12:16:19 13:40:21 2

230 2249 12:21:16 13:47:29 2

231 3003 5:50:01 7:26:45 3

232 3004 5:59:32 7:29:15 3

233 3005 5:59:37 7:30:02 3

234 3006 6:02:16 7:37:36 3

235 3007 6:06:51 7:40:19 3

236 3008 6:12:03 7:43:20 3

237 3009 6:27:05 7:50:21 3

238 3010 6:36:39 7:53:02 3

239 3011 6:50:43 7:57:49 3

240 3012 6:53:18 8:02:36 3

241 3013 6:55:19 8:05:40 3

242 3014 6:57:06 8:10:09 3

243 3015 7:01:09 8:14:08 3

244 3016 7:04:29 8:17:53 3

245 3017 7:09:54 8:20:59 3


121

246 3018 7:18:03 8:29:56 3

247 3019 7:20:11 8:34:01 3

248 3020 7:27:02 8:39:04 4

249 3021 7:42:00 8:46:31 3

250 3022 7:45:23 8:51:01 3

251 3023 7:50:17 8:53:13 3

252 3024 7:56:24 8:59:18 3

253 3025 7:56:31 8:59:44 3

254 3026 8:00:01 9:04:42 3

255 3027 8:09:01 9:08:14 3

256 3028 8:14:16 9:13:57 3

257 3029 8:16:02 9:16:01 3

258 3030 8:17:41 9:23:05 3

259 3031 8:19:26 9:25:48 3

260 3032 8:30:03 9:31:17 3

261 3033 8:30:24 9:42:35 3

262 3034 8:31:18 9:45:32 3

263 3035 8:35:15 9:49:03 3

264 3036 8:39:24 9:53:28 3

265 3037 8:46:15 9:55:18 3

266 3038 8:52:32 10:02:39 3

267 3039 9:04:09 10:02:59 2

268 3040 9:06:49 10:06:35 4

269 3041 9:07:01 10:12:12 4

270 3042 9:09:38 10:15:03 3

271 3043 9:13:14 10:17:47 3

272 3044 9:14:59 10:17:58 4

273 3045 9:15:13 10:19:07 3

274 3046 9:20:25 10:20:01 4

275 3047 9:33:05 10:20:03 3

276 3048 9:35:02 10:22:15 4

277 3049 9:37:31 10:24:14 4

278 3050 9:40:21 10:25:32 4

279 3051 9:50:23 10:27:48 4

280 3052 9:56:12 10:30:34 4

281 3053 9:56:24 10:31:03 3


122

282 3054 10:02:20 10:31:48 3

283 3055 10:17:01 10:32:08 3

284 3057 10:21:02 10:33:04 3

285 3058 10:21:35 10:35:54 4

286 3058 10:26:44 10:36:26 3

287 3059 10:30:18 10:37:41 3

288 3060 10:32:38 10:38:27 4

289 3061 10:32:40 10:39:06 3

290 3062 10:38:38 10:49:36 4

291 3063 10:39:57 10:50:03 3

292 3064 10:51:02 10:53:52 2

293 3065 10:55:03 11:03:34 3

294 3066 11:00:02 11:14:42 3

295 3067 11:08:37 11:18:32 3

296 3068 11:13:19 11:21:49 3

297 3069 11:15:14 11:22:19 3

298 3070 11:20:03 11:32:21 2

299 3071 11:25:00 11:35:58 2

300 3072 11:30:45 11:42:29 2

301 3073 11:41:05 11:43:53 2

302 3074 11:43:07 11:48:36 2

303 3075 11:45:44 11:54:13 2

304 3076 11:48:11 11:57:08 2

305 3077 11:50:38 12:02:03 2

306 3078 11:54:29 12:03:37 2

307 3080 11:55:08 12:10:07 2

308 3081 12:00:15 12:12:06 2

309 3082 12:02:15 12:14:38 2

310 3083 12:07:33 12:16:04 2

311 3084 12:07:54 12:18:24 4

312 3085 12:12:12 12:20:11 4

313 3086 12:18:38 12:20:41 4

314 3087 12:19:00 12:21:23 2

315 3088 12:29:28 12:35 2

316 3089 12:39:56 12:43:08 2

317 3090 12:46:01 12:50:24 3


123

318 5003 5:57:04 7:27:24 3

319 5004 6:10:16 7:31:34 4

320 5005 6:13:01 7:35:03 3

321 5006 6:22:39 7:39:02 3

322 5007 6:37:29 7:41:15 3

323 5008 6:49:05 7:48:19 3

324 5009 7:07:38 7:52:49 3

325 5010 7:29:06 7:55:31 3

326 5011 7:32:06 8:00:38 3

327 5012 7:35:32 8:03:44 3

328 5013 7:40:25 8:05:43 3

329 5014 7:42:21 8:11:45 4

330 5015 7:48:27 8:15:29 3

331 5016 7:50:02 8:19:44 3

332 5017 7:56:59 8:28:52 3

333 5018 7:59:59 8:32:12 3

334 5019 8:09:17 8:36:18 4

335 5020 8:10:23 8:42:23 4

336 5021 8:19:44 8:50:31 4

337 5022 8:25:08 8:53:30 3

338 5023 8:35:39 8:59:03 3

339 5024 8:56:00 9:03:18 3

340 5025 9:00:00 9:10:20 4

341 5026 9:25:15 9:32:34 3

342 5027 9:31:52 9:43:13 3

343 5028 9:42:28 9:46:38 4

344 5029 9:42:51 9:47:58 3

345 5030 9:43:15 9:54:03 4

346 5031 9:46:27 9:57:04 3

347 5032 9:48:13 10:01:00 3

348 5033 9:50:29 10:06:17 3

349 5034 10:03:02 10:09:33 3

350 5035 10:04:26 10:10:48 3

351 5036 10:05:28 10:14:23 3

352 5037 10:22:21 10:30:38 3

353 5038 11:31:00 11:33:59 3


124

354 5039 11:33:56 11:41:36 3

355 5040 11:58:14 12:08:17 4

356 5041 12:24:00 12:31:50 4


125

Lampiran 2

Berikut ini adalah tabel uji distribusi kedatangan

One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test

kedatangan_1 kedatangan_2 kedatangan_3 kedatangan_5

N 4 8 8 8

Poisson Parametera,,b Mean 7.0000 25.1250 10.8750 4.8750

Most Extreme Differences Absolut

e

.470 .311 .120 .205

Positive .470 .250 .120 .205

Negativ

e

-.447 -.311 -.118 -.190

Kolmogorov-Smirnov Z .941 .880 .338 .580

Asymp. Sig. (2-tailed) .339 .421 1.000 .889

a. Test distribution is Poisson.


Berikut ini adalah tabel uji distribusi pelayanan

One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test

Pelayanan_1 Pelayanan_2 Pelayanan_3 Pelayanan_5

N 27 201 86 38

Exponential parameter.a,,b Mean 3.7007 1.4857 3.5499 7.8608

Most Extreme Differences Absolute .173 .092 .123 .174

Positive .144 .092 .052 .174

Negative -.173 -.092 -.123 -.160

Kolmogorov-Smirnov Z .899 1.304 1.142 1.071

Asymp. Sig. (2-tailed) .395 .067 .147 .202

a. Test Distribution is Exponential.



126

Lampiran 3

Berikut ini adalah pertanyaan kuisioner yang dibagikan

No urut antrian BPJS.....

1. Berdasarkan pengalaman selama ini, antrian di BPJS R.S Panti Rapih.

(lingkari salah satu jawabannya)

a. Sangat Padat b. Cukup padat c. Tidak padat

2. Berdasarkan pengalaman,

a. Paling cepat saya menunggu antrian selama ………..menit

b. Paling lama saya menunggu antrian selama ………….menit

3. Bila antrian panjang (lingkari salah satu yang paling prioritas)

a. Saya akan tetap menunggu sampai giliran saya dipanggil

b. Kadang-kadang saya menunggu

c. Saya tinggalkan dulu antrian dan kembali lagi setelah kira-kira sampai

giliran

d. Saya membatalkan antrian

4. Batas maksimal kesabaran saya dalam mengantri adalah ………….menit

5. Menurut saya, lama waktu mengantri yang paling dapat diterima adalah

……menit

Terima kasih atas kerja sama Bapak/Ibu/Saudara


127

Tabel Lampiran jawaban responden (pasien) berdasarkan pertanyaan (item)

No

pasien

item 1 item 2 item 3 item 4 item 5

a b c A b a b c d

1 30 90 45 20

2 25 60 60 30

3 40 90 60 30

4 30 60 60 20

5 60 120 60 30

6 20 60 60 30

7 25 60 45 30

8 30 90 45 30

9 30 60 45 20

10 20 90 45 30

11 30 60 60 30

12 60 120 60 30

13 30 60 45 30

14 30 60 45 30

15 30 90 45 30

16 45 120 60 30

17 40 120 45 30

18 40 60 45 30

19 20 90 45 20

20 30 60 30 30

21 20 45 30 20

22 30 60 45 30

23 30 90 30 30

24 45 120 30 30

25 40 120 45 30

26 20 60 30 30

27 20 60 30 30

28 30 60 45 30

29 40 120 45 30

30 45 120 60 30

31 30 60 45 30

32 30 90 45 30

33 45 120 45 30

34 45 90 45 30

35 20 60 30 30

36 35 120 30 30


128

37 20 60 30 30

38 30 120 45 20

39 30 90 30 30

40 60 90 30 30

41 40 120 30 30

42 60 120 30 30

43 30 60 45 30

44 30 60 60 30

45 45 120 60 30

46 20 60 60 30

47 60 120 30 30

48 60 120 45 30

49 30 90 45 30

50 45 120 60 30

51 40 120 30 30

52 30 90 30 30

53 45 120 30 30

54 20 60 45 30

55 30 90 45 30

56 45 120 30 30

57 30 60 30 30

58 30 90 30 30

59 20 60 60 30

60 45 120 30 30

61 30 90 30 30

62 30 90 45 30

63 20 60 45 30

64 45 120 45 30

65 45 120 60 30

66 30 60 50 30

67 40 120 60 30

68 40 120 50 30

69 30 60 60 30

70 30 120 60 30

Rata-

rata

atau

total

48 22 34.64 89.35 36 19 15 44.28 29.14


129

Lampiran 4

Berikut ini adalah algoritma pemrograman untuk model multiserver (M: M : C)

pada contoh 3.7

%c = banyaknya server %lamda = rata-rata waktu antar kedatangan %mu = rata-rata waktu pelayanan %Po_inverse = P0 %Lq = banyaknya pasien dalam antrian %Ls = banyaknya pasein dalam sistem antrian %Wq = waktu tunggu pasien dalam antrian %Ws = waktu tunggu pasien dalam sistem antrian

clc clear

c=2; lamda=3; mu=5; rho=lamda/(c*mu)

P01=0; for i=0:c-1; P0i=rho^i/factorial(i); P01=P01+P0i; end

P02=(rho^c/(factorial(c)))*(1/(1-rho/c)); P0=P01+P02; Po_inverse=1/P0

Lq=rho^(c+1)*Po_inverse/((factorial(c-1)*(c-rho)^2)); Ls=Lq+rho; Ws=(rho^c*Po_inverse/(mu*factorial((c-1))*(c-rho)^2))+1/mu; Wq=Ws-(1/mu);

tabel=[c, lamda, mu, Lq, Ls, Wq, Ws]; disp('============================================') disp(' c lamda mu Lq Ls Wq

Ws ') disp('============================================') disp(tabel)


130

Lampiran 5


MODEL ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN BERDISTRIBUSI … · model with Poisson distributed arrival and...

Documents

Transcript of MODEL ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN BERDISTRIBUSI … · model with Poisson distributed arrival and...