Modul 1 Fungsi
-
Upload
syifa-aulia-syifa -
Category
Documents
-
view
280 -
download
0
Transcript of Modul 1 Fungsi
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
1/25
MODUL PERKULIAHAN
Matematika
Fungsi
Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh
Fakultas Teknik Teknik Sipil
1
MK90016 Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.D
Abstract Kompetensi
Dalam kehidupan sehari-hari andasering menjumpai hubungansesuatu dengan yang lainnya.Hubungan tersebut ada yang dapatdinyatakan dalam notasi matematikayang disebut dengan fungsi. Dalammodul ini akan dipelajari erbagai halyang berhubungan dengan fungsiyaitu : Konsep fungsi, operasi padafungsi, fungsi komposisi dan fungsiinvers, macam-macam fungsi dangrafiknya.
Agar Mahasiswa dapat: mengertiapa yang dimaksud dengan fungsi,dapat menggambar sebuah fungsipada sistim koordinat Cartesian,mengenal macam-macam fungsi,mengenal apa yang dimaksuddengan: fungsi komposisi, fungsiinvers, fungsi periodik, fungsiterbatas dan fungsi monoton, dapatmenentukan komposisi fungsi, dandapat menentukan invers sebuah
fungsi.
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
2/25
2015
2Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
1
2
4
5
1
2
3
5
A B
Gb. 1. Contoh diagram panah
Konsep Fungsi
Relasi antara dua himpunan
Jika A dan B dua himpunan yang tidak kosong, maka didefinisikan:
BdanA),(BA yxyx , A B disebut hasil kali cartesian antara himpunan
A dan B. Jika R (A B), maka R disebut relasi dari himpunan A ke himpunan B.
Relasidapat diartikan sebagaiaturan yang mengawankan dua himpunan.
Ada beberapa cara menyatakan relasi, yaitu:
a. diagram panah
b. himpunan pasangan berurutan
c. grafik kartesius
Contoh:
Diketahui himpunan A { 1, 2, 4, 5} dan B { 1, 2, 3, 5}, nyatakan relasi dari A ke B
dengan dua lebihnya dari !
Penyelesaian:
a. diagram panah c. Grafik kartesius
b. himpunan pasangan berurutan{(1,1), (4,2), (5,3)}
Pemetaan atau fungsi
Pemetaan atau fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang
menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota pada B.
Pemetaan seperti ini biasa dinotasikan dengan
f: x y atau y f(x)
dibaca f memetakanx key
5
4
3
2
1
Gb. 2. Contoh grafik kartesius
A
B
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
3/25
2015
3Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
y dinamakan peta atau bayangan dari x oleh fungsi f. Himpunan semua
peta/bayangan dari fungsi disebut daerah hasil (range).
Jadi untuk suatu fungsi diperlukan syarat:
a. Himpunan A sebagai daerah asal atau daerah definisi (domain).
b. Himpunan B sebagai daerah kawan (kodomain).
c. Himpunan R sebagai daerah hasil (range)
d. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B yang memetakan setiap anggota A
dengan tepat satu anggota pada B, atau dengan kata lain setiap anggota A
dipasangkan habis tetapi tidak boleh ada satu anggota A yang punya
asangan lebih dari atau kurang dari satu.
Domain fungsi f biasanya dilambangkan dengan Df sedangkan range fungsi f
biasanya dilambangkan dengan Rf.
Contoh:
1) Diantara diagram panah berikut yang merupakan fungsi (pemetaan) dari A ke B
adalah
a . c.
b. d.
Penyelesaian:
b adalah jawabnya, sebab setiap anggota A dipasangkan habis dan punyakawan tunggal
Gb. 3. Diagram panah
A B
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
4/25
2015
4Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
a bukan fungsi sebab ada anggota A yang tidak punya kawan c bukan
fungsi sebab ada anggota A yang punya kawan lebih dari satu
d bukan fungsi sebab ada anggota A yang tidak punya kawan dan ada anggota A
yang punya kawan lebih dari satu.
2) Diketahui suatu fungsi yang memetakan A {1, 8, 27} ke B {1, 2, 3, 4} dengan
sifat pangkat tiga dari
a) Buatlah diagram panahnya
b) Tentukan domain, kodomain dan range fungsi tersebut.
Penyelesaian:
a)
b) Domain fungsi (Df) adalah A {1, 8, 27}
Kodomain fungsi adalah B {1, 2, 3, 4}
Range fungsi (Rf) adalah R {1, 2, 3}
Diagram panah di bawah ini menunjukkan kejadian khusus dari pemetaan yang
disebut korespondensi satusatu.
Gb. 4. Diagram panah
Gb. 5. Korespondensi satu-satu
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
5/25
2015
5Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
Korespondensi satusatu adalah pemetaan yang menghubungkan setiap anggota A
dengan tepat satu anggota pada B dan menghubungkan setiap anggota B dengan
tepat satu anggota pada A.
Jika suatu fungsi f mempunyai daerah asal dan daerah kawan yang sama,misalkan D maka sering dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi
tidak dinyatakan maka yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan riil (
).
Untuk fungsifungsi pada kita kenal beberapa fungsi khusus antara lain: fungsi
linier dan fungsi kuadrat.
Operasi Fungsi
Seperti halnya dua bilangan a dan b dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuahbilangan a + b, demikian juga halnya dua buah fungsi baru f dan g, walaupun fungsi
bukanlah suatu bilangan. Operasi jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi pada dua buah
fungsi didefinisikan sebagai berikut.
Misalkan f dan g terdefinisi pada himpunan D, maka :
1. (f + g) (x) = f(x) + g(x), untuk setiap x D.
2. (f - g) (x) = f(x) - g(x), untuk setiap x D.
3. (f . g) (x) = f(x) . g(x), untuk setiap x D.
4. (k . f) (x) = k. f(x), untuk setiap x D dan k adalah konstanta.
5. )(
)(
xg
xfx
g
f
, untuk setiap x D dan g(x) 0.
Jika domain f adalah Dfdan domain g adalah Dgmaka domain untuk operasi fungsi f dan g
diatas adalah DfDg.
Contoh :
Jika f(x) =x
x
1
1 dan g(x) =x
x1 , dengan masing-masing domain : Df= {x | x -1} dan Dg
= {x | x 0}, maka dapat ditentukan operasi fungsi berikut :
1. (f + g) (x) = f(x) + g(x) =x
x
1
1+
x
x1=
)1(
12 2
xx
xx
, dengan Df + g= R{-1, 0}
2. (f - g) (x) = f(x) - g(x) =x
x
1
1-
x
x1=
)1(
1
xx
x
, dengan Dfg= R{-1, 0}
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
6/25
2015
6Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
A B
C
x f(x)
f g
g(f(x))
g f
3. (f . g) (x) = f(x) . g(x) =
x
x
1
1
x
x1=
)1(
1 2
xx
x
, dengan Df . g= R{ -1, 0}
4. )()(
xg
xfxg
f
=
x
x
x
x
1
1
1
= x
x
1 , dengan Df / g= R{-1}
5. (5. f) (x) = 5 . f(x) = 5
x
x
1
1=
x
x
1
55, dengan D5.f= R{-1}.
Fungsi Komposisi
Jika diketahui dua fungsi f : A B dan g : B C maka fungsi komposisi g f: A C
ditentukan oleh rumus (g f)(x) g(f(x)),xA.
Catatan: g fdibaca g komposisi f .
Contoh:
Diketahui f(x) x+ 3 dan g(x) 5x, tentukan:
1. (f g)(x) dan (f g)(10)
2. (g f)(x) dan (g f)(10)
Penyelesaian:
1. (f g)(x) f(g(x)) f(5x) 5x+ 3
(f g)(10) 5.10 + 3 50 + 3 53
2. (g f)(x) g(f(x)) g(x+ 3) 5(x+ 3) 5x+ 15
(g f)(10) 5.10 + 15 50 + 15 65
Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa gf fg , jadi komposisi fungsi tidak
bersifat komutatif.
Catatan:
Syarat fungsi fdan gdapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi f gadalah Df
Rg.
Gb. 6. fungsi komposisi
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
7/25
2015
7Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
Artinya irisan antara domain fungsi fatau Df dan range fungsi g atau Rg tidak kosong.
Komposisi dua fungsi atau lebih
Misalkan f, g dan h adalah fungsi maka fungsi-fungsi tersebut dapat tersusun
menjadi fungsi komposisi:
a. (f g)(x) = f(g(x))
b. (f gh)(x) = f(g(h(x)))
Contoh:
Diketahui f(x) 4x8 dan g(x) 3x2dan h(x) 2x.
Tentukan
1) (f g)(x)
2) (f
f)(x)3) (f g h)(x)
Penyelesaian:
1) (f g)(x) f(g(x)) f(3x2) 4(3x2) 8 12x28
2) (f f)(x) f(f(x)) f(4x8) 4(4x8) 8 16x40
3) (f gh)(x) f(g(h(x)))
f(g(2x))
f(3(2x)2)
f(12x2)
4(12x2) 8
48x28
Sifat-sifat komposisi fungsi
a. Operasi komposisi fungsi pada umumnya tidak bersifat komutatif f g g f
b. Operasi komposisi fungsi pada umumnya bersifat assosiatif
f (g h) = (f g) h
c. Dalam operasi komposisi fungsi terdapat fungsi identitas, yaitu I(x) x, sehingga
berlaku: I f f I f
Contoh:
Pada contoh sebelumnya diketahui f(x) 4x8, g(x) 3x2dan h(x) 2x. Tunjukkan
bahwa:
1) (f g)(x) (g f) (x)
2) (f (g h))(x) = ((f g) h)(x)
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
8/25
2015
8Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
3) (I f)(x)(f I)(x)f(x)
Penyelesaian:
1) (f g)(x) f(g(x)) f(3x2) 4(3x2) 8 12x28
(g f)(x) g(f(x))
g(4x8)
3(4x8)2
3(16x264x+ 64)
48x2192x+ 192
jadi (f g)(x) (g f) (x)
2) f(x) 4x8, g(x) 3x2dan h(x) 2x
menentukan (f (g h))(x) menentukan ((f g) h)(x)
(g h)(x) g(h(x)) (f g)(x) f(g(x))
g(2x) f(3x2)
3(2x)2 4(3x2) 8
12x2 12x28
(f (gh))(x) f)(gh)(x)) ((f g) h)(x) (f g)(h(x))
f(12x2) (f g)(2x)
4(12x2) 8 12(2x)28
48x28 48x28
Jadi terbukti bahwa (f (g h))(x) = ((f g) h)(x)
3) I(x) xdan f(x) 4x8
(I f)(x) I(f(x)) I(4x8) 4x8 f(x)
(f I)(x) f(I(x)) f(x)
Jadi terbukti bahwa (I f)(x)(f I)(x)f(x)
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
9/25
2015
9Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
A B
Gb. 7. invers fungsi
Menentukan fungsi fjika fungsi gdan f gdiketahui
Contoh:
Tentukan f(x) jika g(x) 3x+ 2 dan (f g)(x) 18x2+ 39x+ 22
Penyelesaian:
(f g)(x) 18x2+ 39x+ 22
f(g(x)) 18x2+ 39x+ 22
f(3x+ 2) 18x2+ 39x+ 22
f(3x+ 2) 2(3x+ 2)224x8 + 39x+ 22
f(3x+ 2) 2(3x+ 2)2+ 15x+14
f(3x+ 2) 2(3x+ 2)2+ 5(3x+ 2) +4
jadi f(x) 2x2+ 5x+ 4
Dengan cara sama dapat pula ditentukan fungsi gjika fungsi fdan f g diketahui.
Contoh:
Tentukan g(x) jika diketahui f(x) 3xdan (f g)(x) 12x+ 24
Penyelesaian:
(f g)(x) 12x+ 24
f(g(x)) 12x+ 24
3 g(x) 12x+ 24
g(x) 4x+ 8
jadi g(x) 4x+ 8
Catatan: dalam penyelesaian tersebut terkadang sulit untuk dikerjakan, namun
dengan pengertian fungsi invers (balikan) akan memudahkan untuk menyelesaikan
soal tersebut.
Fungsi invers
1. Pengertian invers suatu fungsi
Perhatikan Gambar 7 berikut
f 1(y) x
f(x)
y
f
f 1
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
10/25
2015
10Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
Pada gambar di atas fungsi f :AB dengan BydanA),(),( xxfyyxf ,
relasi g: BA dengan BdanA),(),( yxygxxyg maka g adalah invers
dari fungsifdan ditulis f1. Jika relasi f1merupakan fungsi maka f1disebut fungsi
invers, jika relasi f1bukan merupakan fungsi maka f1disebut invers dari f saja.
Jika fungsi g f1 ada maka fdan gdisebut fungsifungsi invers, g adalah invers
dari f dan f adalah invers dari g. Sehingga dapat dinyatakan dengan:
yxfxyf )()(1 .
Contoh:
Pada fungsifungsi dalam himpunan pasangan berurutan berikut ini, nyatakan
inversnya dan apakah merupakan fungsi invers.
a. f = {(2,4), (3,6), (5,10)}
b. g = {(2,4), (1,1), (1,1), (2,4)}
c. h = {(1,1), (3,3), (1,1), (3,3)}
Penyelesaian:
a. f 1= {(4,2), (6,3), (10,5)}, merupakan fungsi invers
b. g 1= {(4, 2), (1, 1), (1,1), (4, 2)}, merupakan invers dari fungsi g tetapi bukan
merupakan fungsi invers.
c. h 1= {(1, 1), (1,1), (2, 4), (2, 4)}, merupakan fungsi invers
Catatan: syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers adalah jika fungsi tersebut
merupakan korespondensi satu
satu.
2. Menentukan fungsi invers
Langkah
langkah untuk menentukan fungsi invers dari fungsi y f(x) adalah:
a. Tentukan terlebih dulu fungsixdari ysehingga didapatxf(y)
b. Setelah didapatx f(y) selanjutnya tukarkan 2 variabel tersebut menjadi y f
1(x)
c. Kemudian tunjukkan bahwa (f f1)(x)(f1 f)(x)I(x) x
Contoh:
Tentukan fungsi invers dari y= 2x+ 10
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
11/25
2015
11Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
A B
xy
f
Gb. 8. Invers fungsi komposisi
f 1z
C
g
g f
(g f)1
g 1
Penyelesaian:
y2x+ 10 2xy10
2
10
y
x xf(y)
jadi f1(x) 2
10x 5
2
1x
(f f1)(x) f )f1(x)) 1052
12
x x
(f1 f)(x) f1(f(x)) 510)2(2
1x x
Karena (f
f
1
)(x)
(f
1
f)(x)
I(x)xmaka fungsi invers dari y= 2x+ 10 adalah f
1(x) 52
1x
Catatan: grafik fungsi fakan simetris dengan fungsi f 1 dengan sumbu simetrinya
adalah garis yx.
Fungsi invers dari fungsi komposisi
Jika fungsi f : A B, g : B C dan (g f): A C maka (g f) memetakan
setiapx A oleh fungsi fdilanjutkan oleh fungsi gke z C, atau dapat ditulis:
f(x) = y dan g(y) = z (g f)(x) g(f(x)) = z
Misalkan f -1 dan g -1 berturut-turut invers dari fungsi f dan g maka (g f) -1
memetakkan setiap z C oleh fungsi g1 dilanjutkan oleh fungsi f1 ke x A
sehingga dapat dinyatakan dengan (f-1 g1). Atau dapat ditulis:
g1(z) = y danf1(y) =x (f-1 g1)(z) f1(g1(z)) =x
Jadi (g f)
1= f-1 g
1
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
12/25
2015
12Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
Jika f1, g1dan h1berturutturut masingmasing adalah fungsi invers dari
fungsifungsi f, g dan hmaka berlaku hubungan:
d. (f g) 1(x) (g 1 f 1)(x)
e. (f g h) 1(x) (h1 g 1 f 1)(x)
f. ((f g) g 1)(x) (g 1 (g f))(x) = f(x)
g. (f 1(x)) 1 f(x)
Ada 2 cara dalam menentukan rumus invers fungsi dari fungsi komposisi, yaitu:
a. Menentukan dulu rumus fungsi komposisi, kemudian menentukan
inversnya.
Contoh:
Diketahui fx7 dan g4x+ 1,tentukan (f g)1(x)
Penyelesaian:
(f g)(x) f(g(x)) f(4x+ 1) 4x+ 1 7 4x6
Misalkan y4x6
4xy+ 6
4
6yx
Jadi (f g)1(x)
4
6x
b. Menentukan dulu inversnya masing
masing fungsi, kemudian
dikomposisikan
Contoh: (dari contoh sebelumnya)
Diketahui f(x) x7 dan g(x)4x+ 1,tentukan (f g)1(x) Penyelesaian:
f(x) x7 misalkan yx7
xy+ 7 sehingga f1(x) x+ 7
g(x) 4x+ 1 misalkan y4x+ 1
4xy1
4
1y
x sehingga g1(x) 4
1x
(f g)1(x) (g1 f1)(x)
g1(f1(x))
g1(x+ 7)
4
1)7( x=
4
6x
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
13/25
2015
13Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
Macam-macam Fungsi dan Grafiknya
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Fungsi y = f(x) dikatakan fungsi genap, jika f(- x) = f(x), untuk setiap x Df.
Dan fungsi y = f(x) dikatakan ganjil, jika f(- x) = - f(x), dalam hal ini daerah asal f sekaligus
memuat x danx.
Sifat-sifat fungsi genap dan fungsi ganjil adalah :
1. Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y
2. Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik (0, 0) atau titik asal.
Secara geometris sifat tersebut dapat dilihat pada Gambar 9 berikut.
y y
y = f(x) f(-x)= - f(x)
x
x
(a). Grafik fungsi genap (b). Grafik fungsi ganjil
Gambar. 9.
Contoh :
1. Fungsi f(x) = x2adalah fungsi genap, karena f(-x) = (-x)2= x2= f(x), x R
2. Fungsi f(x) = sin x adalah fungsi ganjil, karena f(-x) = sin (-x) = - sin x = - f(x), untuk
setiap x R.
3. Fungsi f(x) = x3x2adalah fungsi yang tidak genap dan tidak ganjil, karena terdapat x
Dfsehingga f(-x) = (-x)3(-x)2= -x3x2- f(x).
4. Fungsi f(x) = 0 adalah fungsi genap dan fungsi ganjil, karena f(-x) = 0 = f(x) dan f(-x) = 0
= - f(x), untuk setiap x Df
5. Fungsi f(x) = - x tidak dapat dikatakan sebagai fungsi genap maupun fungsi ganjil
Karena daerah asalnya tidak memuat x atau x secara bersamaan (bukan himpunan
simetri).
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
14/25
2015
14Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
Fungsi Konstanta
Bentuk fungsi konstanta adalah f(x) = k, k adalah konstanta, Df= R dan Rf= {k}.
Grafik fungsinya diperlihatkan pada Gambar 10.
y
f(x) = k
x
Gambar. 10
Fungsi Identitas
Bentuk fungsi identitas adalah f(x) = x, Df= R dan Rf= R.
Grafik fungsinya diperlihatkan pada Gambar 11.
y
f(x) = x
x
Gambar 11.
Fungsi Linier
Fungsi linier mempunyai persamaan yax+ b, a,bdan a0. Grafik fungsi linier
berupa garis lurus. Untuk menggambar grafik fungsi linier ada dua cara, yaitu: dengan
tabel dan dengan menentukan titik potong pada sumbu x dan sumbu y.
Contoh:
Gambarlah grafik fungsi y 2x+ 2
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
15/25
2015
15Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
Penyelesaian
1. Dengan tabel
x 1 0 1
y 2x+ 2 0 2 4
2. Dengan titik potong sumbu x dan sumbu y
Persamaan garis y 2x+ 2
Titik potong grafik dengan sumbu x:
syarat y0 0 2x+ 2
2x2
x1
sehingga titik potong grafik dengan sumbu x adalah ( 1,0)
Titik potong grafik dengan sumbu y:
syaratx0 y2 . 0 + 2 2
sehingga titik potong grafik dengan sumbu y adalah ( 0,2)
Kedua titik potong tersebut digambar dalam bidang kartesius kemudian dihubungkan
sehingga tampak membentuk garis lurus (gambar 13).
Dari tabel diperoleh titiktitik berupa
pasangan koordinat, kita gambar titik
tersebut dalam bidang kartesius
kemudian dihubungkan sehingga
tampak membentuk garis lurus.
(Gbr. 12)
0 1 2 3 4
1
1
X
Y
Gb. 12. grafik fungsi linier
2
3
4 y 2x+ 2
0 1 2 3 4
4
3
2
1
X
Y
Gbr. 13. Grafik fungsi linier
y 2x+ 2
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
16/25
2015
16Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
Gradien
Persamaan garis biasa juga ditulis ymx+ c, dengan m,c. Dalam hal ini mdan
cadalah konstanta, dengan mmelambangkan gradien (koefisien arah) garis lurus.
Gradien adalah konstanta yang menunjukkan tingkat kemiringan garis. Dilihat dari
gambar 14. maka mdapat dicari sebagai berikut:
Pada Gambar. 14, misalkan adalah sudut antara garis horisontal (sejajar sumbux)
dan grafik fungsi linier dengan arah putaran berlawanan arah
dengan arah putaran jarum jam, maka gradien dapat pula didefinisikan dengan
tan
x
ym .
Sebagai catatan bahwa
a) Jika m0 maka grafik sejajar dengan sumbu x dan ini sering disebut sebagai
fungsi konstan.
b) Jika m0 maka grafik condong ke kanan atas (090)
c) Jika m0 maka grafik condong ke kanan bawah (90180)
Menentukan persamaan garis melalui satu titik dan bergradien m
Misalkan garis ymx+ cmelalui titik P(x1,y1), setelah titik (x1,y1) disubstitusikan ke
persamaan garis tersebut diperoleh:
12
12
12
12
xx
xfxf
xx
yy
x
ym
m= tan
X
Y
Gb. 14. Gradien
x1 x2
y2
y1
y
x
O
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
17/25
2015
17Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
y y1m (xx1)
ymx + c
y1mx1+ c
y y1m (xx1)
Jadi rumus persamaan garis melalui titik P(x1,y1) dan bergradien madalah
Contoh:
Tentukan persamaan garis yang melalui P(3,9) dan bergradien 6.
Penyelesaian:
Titik P(3,9) dan gradien m 6 disubstitusikan ke persamaan diatas
y y1m(xx1)
y 9 6(x3)
y6x18 +9
y6x9
Jadi persamaan garisnya adalah y6x9.
Menentukan persamaan garis melalui dua titik
Persamaan garis melalui dua titik A(x1,y1) danB(x2,y2) dapat dicari dengan langkah
sebagai berikut:
persamaan garis melalui titikA(x1,y1) dan dengan memisalkan gradiennya madalah
y y1m (xx1) . (i)
karena garis ini juga melalui titik B(x2,y2), maka y2 y1 m (x2 x1), sehingga
diperoleh gradien
12
12
xx
yym
. (ii)
persamaan (ii) disubstitusikan ke (i) diperoleh
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
Jadi persamaan garis melalui dua titikA(x1,y1) danB(x2,y2) adalah
Contoh:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (1,6) dan (3,8).
Penyelesaian:
Kedua titik (1,6) dan (3,8) disubstitusikan ke persamaan garis melalui dua titik.
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
18/25
2015
18Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
13
1
68
6
xy
2
1
2
6
xy
y6 x1
yx+ 5
Jadi persamaan garisnya adalah yx+ 5
Menentukan titik potong antara dua garis
Misalkan dua garis g1 dan g2 saling berpotongan di titik P(x,y), maka nilai x dan y
harus memenuhi kedua persamaan garis tersebut. Titik potong dua garis dapat dicari
dengan metode substitusi atau eliminasi.
Contoh:
Tentukan titik potong dari dua garis g1: y3x+ 2 dan g2:yx+ 8
Penyelesaian:
Soal di atas dapat diselesaikan dengan 2 metode
a. Metode substitusi
Nilai ypada persamaan g2diganti dengan nilai ypersamaan g1
yx+ 8
3x+ 2 x+ 8
2x6
x3
x3 dimasukkan ke persamaan g2diperoleh
yx+ 8 3 + 8 11
jadi titik potong g1: y3x+ 2 dan g2:yx+ 8 adalah (3,11)
b. Metode eliminasiMetode eliminasi dilakukan dengan menyamakan koefisien salah satu variabel
untuk menghilangkan salah satu variabel lainnya. Karena kedua persamaan
tersebut memiliki koefisien variabel y yang sama maka langsung dieliminasikan
y3x+ 2 x3 dimasukkan ke persamaan g2
yx + 8 yx+ 8 3 + 8 11
0 2x6
2x6 x3
jadi titik potong g1: y3x+ 2 dan g2:yx+ 8 adalah (3,11)
+
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
19/25
2015
19Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
Catatan:
a. Garis g1 yang bergradien m1dikatakan sejajar dengan g2 yang bergradien m2
jika memenuhi m1m2
Contoh:
Apakah garis y5x+ 12 sejajar dengan y5x8
Penyelesaian:
Karena m1m25 maka kedua garis tersebut sejajar.
b. Garis g1 yang bergradien m1dikatakan tegak lurusdengan g2yang bergradien
m2 jika memenuhi m1. m21
Contoh:
Apakah garis 2y6x+ 12 dan 9y3x+ 8 saling tegak lurus?
Penyelesaian:g1: 2y6x+ 12 y3x+ 6 m13
g2: 9y3x+ 8 y9
8
3
1 x m2
3
1
m1. m23 .
3
11 sehingga kedua garis saling tegak lurus.
Fungsi Kuadrat
Bentuk umum fungsi kuadrat adalah yax2+ bx+ c dengan a,b,c dan a 0.
Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola maka sering juga disebut fungsi parabola.
Jika a0 , parabola terbuka ke atas sehingga mempunyai titik balik minimum (gambar
15.a)
Jika a 0 , parabola terbuka ke bawah sehingga mempunyai titik balik maksimum
(gambar 15.b)
Langkahlangkah menggambar grafik fungsi kuadrat yax2+ bx+ c :
1. Menentukan pembuat nol fungsi y0 atau f(x) 0
Gb. 15. a. grafik parabola
Y
X
P(x,y)
O
Gb. 15. b. grafik parabola
Y
X
P(x,y)
O
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
20/25
2015
20Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
Pembuat nol fungsi dari persamaan kuadrat yax2+ bx+ cdiperoleh jika ax2+ bx
+ c0. Sehingga diperoleh nilaixyang memenuhi ax2+ bx+ c0.
2. Menentukan sumbu simetria
bx
2
3. Menentukan titik puncak P (x,y) dengana
bx
2
dan
ay
4
D
Dengan nilai diskriminan D b24ac.
Jika ditinjau dari nilai adan D maka sketsa grafik parabola sebagai berikut:
a < 0, D > 0 a < 0, D 0 a < 0, D < 0
a > 0, D > 0 a > 0, D 0 a > 0, D < 0
Catatan:
persamaan kuadrat ax2+ bx+ c0 dapat dicari akarakarnya dengan:
Pemfaktoran
Kuadrat sempurna
Rumus abc:x12a
acbb
2
42
Contoh:
Gambarlah sketsa grafik fungsi yx26x+ 8
Penyelesaian:
a. Menentukan pembuat nol fungsi
Dengan pemfaktoran diperoleh
x26x+ 8 0
(x 2) (x 4) 0
x2 ataux4
Definit positif
Definit negatif
X2X1
X2X1
X1X2
X1X2
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
21/25
2015
21Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
X
Gb. 16. contoh grafik parabola
Y
1 31
0
b. Menentukan sumbu simetri
32
6
1.2
)6(
2
a
bx
c. Menentukan titik puncak P (x,y)Karena x sudah dicari maka tinggal mencari nilai y dengan substitusi x 3 ke
fungsi y diperoleh
y 326(3) + 8
9 18 +8 1
Jadi puncaknya adalah titik (3,1).Sehingga sketsa grafiknya adalah
Fungsi Trigonometri
1. Trigonometri dengan perbandingan sudut segitiga siku-siku
Diketahui segitiga ABC, dengan sudut BAC = , sisi tegak (proyektor) = BC, sisi datar
(proyeksi) = AB dan sisi miring (proyektum) = AC.
C
Proyektor Proyektum
B Proyeksi A
Gambar 17.
Berdasarkan segitiga siku-siku tersebut, maka trigonometri didefinisikan sebagai :
ACpanjang
BCpanjang
proyektum
proyektorsin , sin = sinus
ACpanjang
ABpanjang
proyektum
proyeksi
cos , cos = cosinus
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
22/25
2015
22Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
ABpanjang
BCpanjang
proyeksi
proyektortan , tan = tangent
Perhatikan lingkaran satuan pada Gambar 18. dengan persamaan x2+ y2= 1, berpusat di
titik asal dan bejari-jari satu. Nyatakan koordinat (1, 0) dengan A dan t sebarang bilangan
positif, maka terdapat tepat satu titik B(x, y) sehingga panjang busur AB adalah t.
y
B(x, y)
t
A(1, 0) x
Gambar 18.
Karena keliling lingkaran adalah 2, sehingga jika t > 2di perlukan lebih dari satu putaran
penuh untuk menelusuri t, jika t = 0 maka A = B, jika t < 0 maka kita juga akan memperoleh
satu titik unik B(x, y) sehingga muncul definisi sinus dan kosinus.
2. Sinus dan kosinus
Andaikan t menentukan titik B(x, y) pada Gambar 18., maka
sin t = y dan cos t = x.
Dari dua rumusan tersebut diperoleh empat rumus fungsi trigonometri lainnya yaitu :
tan t =t
tSin
cos cotan t =
t
t
t sin
cos
tan
1
sec t =tcos
1 cosec t =
tsin
1
3. Sifat-sifat dasar sinus dan kosinus
Pada fungsi sinus dan kosinus berlaku sifat-sifat sebagai berikut :
1. -1 sin t 1 dan -1 cos t 1
2. sin (t + 2) = sin t dan cos (t + 2) = cos t
3. sin (- t) = - sin t dan cos (- t) = cos t
4. sin
t
2
= cos t dan cos
t
2
= sin t
5. sin2t + cos2t = 1
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
23/25
2015
23Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
Sifat-sifat dasar sinus dan kosinus memberikan sifat-sifat fungsi trigonometri lainnya, yaitu :
1. tan (- t) = - tan t
2. 1 + tan2t = sec2t dan 1 + cotan2t = cosec2t
Adapun grafik fungsi trigonometri diperlihatkan pada Gambar 19. berikut :
y y
x x
(a).Grafik fungsi sinus (b). Grafik fungsi kosinus
y
x
(c). Grafik fungsi tangen
Gambar 19.
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
24/25
2015
24Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id
SOAL-SOAL LATIHAN
I. Tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi yang diberikan berikut :
1. f(x) = x
2. h(x) = x1
3. g(x) =x
1
4. s(x) =x
x
1
2
5. t(x) = xx 22
II. Tentukan hasil operasi f + g, fg, f . g, f / g, dan g / f beserta domain dari fungsi yang
diberikan berikut ini.
1. f(x) =x
x
1
1dan g(x) =
x
x1
2. f(x) = x dan g(x) = 1x
3. f(x) = x dan g(x) = 1x
4. f(x) =2
1
xdan g(x) =
1
1
x
5. f(x) = 1x dan g(x) = 29 x .
III. Tentukan fog dan gof dari fungsi-fungsi:
1. f(x) = 4xx2dan g(x) = x
2. f(x) =x
1dan g(x) = x
3. f(x) = 1x2dan g(x) = 1 + 2x
4. f(x) = x1 dan g(x) = x1
5. f(x) =x
x
1
2dan g(x) = 1- x2.
V. Tentukan invers fungsi-fungsi berikut & gambarkan grafik f(x) dan f-1(x) !
1. f(x) = 3x2
2. f(x) = -3(x+5)
-
7/26/2019 Modul 1 Fungsi
25/25
3. f(x) = 4x3
4. f(x) = (7x)5
5. f(x) =4x
4x
6. f(x) =8x
3x2
3
3
VI. Gambarkan grafik fungsi berikut.
1. f(x) = 22 x
2. f(x) =1
2 x
x
VII. Tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya jika :
1. sin = 3/5 ; /2 < <
2. cos = -4/5 ; < < 3/2
3. tan = - 2 ;3/2 < < 2
4. cot = 4/ 6 ; < < 3/2
5. sec = -6 ; /2 < <
6. csc = 5/4 ; 0 < < /2
Daftar Pustaka :
1. Frank. Ayres J.R.,Kalkulus Diferensial dan Integral, Erlangga, Jakarta, 2004.2. Purcell,Edwin J., Kalkulus jilid I, Erlangga, Jakarta, 20033. Stroud, K.A.,Matematika Teknik, Jilid I, Erlangga, jakarta, 20034. Yusuf Yahya, D.Suryadi H.S., Agus Sumin, Matematika dasar Untuk Perguruan
Tinggi, Ghalia Indonesia, 2004