Modul Komputasi Fix (2)
Transcript of Modul Komputasi Fix (2)
MODUL PRAKTIKUM
KOMPUTASI TEKNIK KIMIA
Asisten :
Lino Meris Rahmanto
Renata Permatasari
Faizal Rakhmatullah
Arfian Hafid
Kepala Laboratorium :
Prof. Dr. Ir. Soeprapto, DEA.
LABORATORIUM KOMPUTASI
PROGRAM STUDI D3 TEKNIK KIMIA
FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
MODUL PRAKTIKUM KOMPUTASI TEKNIK KIMIA
1. MODUL 1 (Penyelesaian Persamaan β Persamaan Non Linear 1)
a. Metode Bisection
b. Metode Interpolasi Linear
c. Metode Secant
2. MODUL 2 (Penyelesaian Persamaan β Persamaan Non Linear 2)
a. Metode Newton Rhapson
b. Metode Succesive Aproximation
3. Modul 3 (Penyelesaian Persamaan Aljabar Linear)
a. Metode Eliminasi Gauss
b. Metode Yacobi
4. Modul 4 (Penyelesaian Persamaan Integral)
a. Metode Trapezoidal
b. Metode Simpson 1/3
c. Metode Simpson 3/8
5. Modul 5 (Penyelesaian Persamaan Differensial)
a. Metode Euler
b. Metode Runge Kutta
6. Modul 6 (Ordinary Differential Equation)
a. ODE 45
b. ODE 23
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
I. METODE BISECTION
I.1. Dasar Teori
Metode Bisection adalah salah satu metode numeric yang digunakan untuk
menyelesaikan suatu persamaan non linear F(x)=0 yang pada umunya tidak dapat
diselesaikan secara analitik. Metode ini sifatnya iterative dan dimulai dari dua harga
pendekatan awal, selanjutnya diperoleh sederetan har x0, x1, x2 β¦ xn. yang diharapkan
konvergen pada satu harga x yaitu penyelesaian F(x)=0. Proses menggunakan metode ini
dapat ditunjukkan pada gambar berikut.
Seperti yang ditunjukkan gambar awalnya diambil dua harga awal x1 dan x2 yang
kemudian dihitung harga fungsi pada dua harga awal tersebut. Apabila fungsi tandanya
berubah di x1 dan x2 maka ada satu akar yang letaknya diantara kedua nilai tersebut.
Kemudian operasi dilanjutkan dengan membagi dua interval x1 dan x2 untuk menentukkan
interval yang makin kecil.
I.2. Algoritma
1. Pilih harga x1 dan x2 sedemikian sehingga F(x1) dan F(x2) berlawanan tanda.
2. Tentukan harga x3 dengan rumus π₯3 =π₯1+π₯2
2
3. Bila Β½ abs(x1 β x2) β€ toleransi, maka harga x3 ialah yang dicari
Bila belum, maka lanjut ke tahap 4
4. Bila F(x3) berlawanan tanda dengan F(x1), maka tentukan x2=x3
5. Bila F(x3) berlawanan tanda dengan F(x2), maka tentukan x1=x3
Kembali ke tahap 2
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Series1
(x1,F1)
(x3,F3)
(x2,F2)
(x5,F5)
(x4,F4)
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
I.3. Flowchart Bisection
START
x1, x2, tol
f1 = f(x1) ; f2 = f(x2)
f1 * f2 >= 0
x1, x2,
tol\\\\
f1 = f(x1) ; f2 = f(x2)
e = 1
ite = 0
x3 = (x1 + x2)/2
f3 = f(x3)
ite = ite+1
r = abs((x1-x2)/2)
f1 * f3 < 0
x2 = x3
f2 = f3
x1 = x3
f1 = f3
e >= tol
disp x3, tol, e, ite
END
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
II. METODE INTERPOLASI LINEAR
II.1. Dasar Teori
Metode Interpolasi Linear adalah salah satu metode numeric yang digunakan untuk
menyelesaikan suatu persamaan non linear F(x)=0 yang pada umunya tidak dapat
diselesaikan secara analitik. Metode ini sifatnya iterative dan dimulai dari dua harga
pendekatan awal, selanjutnya diperoleh sederetan har x0, x1, x2 β¦ xn. yang diharapkan
konvergen pada satu harga x yaitu penyelesaian F(x)=0. Proses menggunakan metode ini
dapat ditunjukkan pada gambar berikut.
Jika dibandingkan dengan mtode bisection yang mudah dan memiliki analisis
kesalahan yang sederhana, metode ini lebih efisien untuk sebagaian besar fungsi β fungsi,
kecepatan konvergensi dapat ditingkatkan. metode interpolasi linear disebut juga metode
regula falsi. missal dianggap bahwa fungsi F(x) linear pada interval (x1,x2) dimana F(x1) dan
F(x2) memiliki tanda yang berlawanan. proses menggunakan metode ini dapat ditunjukkan
sebagai berikut.
Dari gambar diatas dapat ditunjukkan bahwa
π₯2 β π₯3
π₯2 β π₯1=
πΉ(π₯2)
π π₯2 β πΉ(π₯1)
atau
π₯3 = π₯2 βπΉ π₯2
πΉ π₯2 β πΉ π₯1 Γ π₯2 β π₯1
Kemudian dihitung F(x3) dan diadakan lagi interpolasi linear diantara harga-harga pada
mana F(x) berubah tanda dan menghasilkan harga baru untuk x3. Prosedur ini diulang lagi
hingga akan diperoleh harga akar yang dikehendaki.
II.2. Algoritma
1. Pilih harga x1 dan x2 sedemikian sehingga F(x1) dan F(x2) berlawanan tanda.
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Series1
(x1,F1)
(x2,F2)
(x3,F3)
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
2. Tentukan harga x3 dengan rumus
π₯3 = π₯2 βπΉ π₯2
πΉ π₯2 β πΉ π₯1 Γ π₯2 β π₯1
3. Bila abs (F(x3)) β€ toleransi, maka harga x3 ialah yang dicari
Bila belum, maka lanjut ke tahap 4
4. Bila F(x3) berlawanan tanda dengan F(x1), maka tentukan x2=x3
Bila F(x3) berlawanan tanda dengan F(x2), maka tentukan x1=x3
Kembali ke tahap 2
II.3. Flowchart Interpolasi Linear
START
x1, x2, tol
f1 = f(x1) ; f2 = f(x2)
f1 * f2 >= 0
x1,x2
f1 = f(x1) ; f2 = f(x2)
e = 1
ite = 0
x3 = x2 β (f2*(x2-x1)/(f2-f1))
f3 = f(x3)
ite = ite+1
r = abs(f3)
e >= tol
A
A
B
f1 * f3 < 0
x2 = x3
f2 = f3
x1 = x3
f1 = f3
disp x3, tol, e, ite
END
B
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
III. METODE SECANT
III.1. Dasar Teori
Metode Interpolasi Linear adalah salah satu metode numeric yang digunakan untuk
menyelesaikan suatu persamaan non linear F(x)=0 yang pada umunya tidak dapat
diselesaikan secara analitik. Metode ini sifatnya iterative dan dimulai dari dua harga
pendekatan awal, selanjutnya diperoleh sederetan har x0, x1, x2 β¦ xn. yang diharapkan
konvergen pada satu harga x yaitu penyelesaian F(x)=0. Proses menggunakan metode ini
dapat ditunjukkan pada gambar berikut.
Metode secant juga merupakan salah satu cara untuk memperbaiki metode
interpolasi linear. dalam hal ini F(x) tak perlu memiliki harga yang tandanya berlawanan
pada dua harga x namun dipilih dua harga yang dekat dengan harga sebenarnya (hal ini
ditunjukkan oleh besarnya fungsi pada baerbagai titik), dan diadakan interpolasi dan
ekstrakpolasi dari titik β titik ini biasanya harga β harga terdekat dengan akar adalah dua
harga terakhir yang dihitung. hal ini membuat interval yang ditinjau menjadi lebih pendek
sehingga F(x) dapat disajikan oleh garis lurus yang melalui kedua titik tersebut menjadi
semakin valid. Prosesnya dapat ditunjukkan gambar berikut :
III.2. Algoritma
1. Pilih harga x1 dan x2
2. Tentukan harga x3 dengan rumus
π₯3 = π₯2 βπΉ π₯2
πΉ π₯2 β πΉ π₯1 Γ π₯2 β π₯1
3. Bila abs (F(x3)) β€ toleransi, maka harga x3 ialah yang dicari
Bila belum, maka lanjut ke tahap 4
4. Jika IF(x1)I > IF(x2)I, maka x1=x2 dan x2=x3. jika tidak x1=x1 dan x2=x3 kembali ke
tahap 2.
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Series1
(x1,F1)
(x2,F2)
(x3,F3)
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
III.3. Flowchart Secant
START
x1, x2, tol
f1 = f(x1) ; f2 = f(x2)
e = 1
ite = 0
x3 = x2 β (f2*(x2-x1)/(f2-f1))
f3 = f(x3)
ite = ite+1
r = abs (f3)
x1 = x2
f1 = f2
x2 = x3
f2 = f3
e >= tol
disp x3, tol, e, ite
END
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
IV. METODE NEWTON RHAPSON
IV. 1. Dasar Teori
Dalam metode Newton Rhapson, F(x) didekati dengan garis singgungnya pada titik
(xn, F(xn)) dan xn+1 adalh absis dari titik potong garis singgung dengan sumbu x.
Jadi untuk menentukkan Xn+1 digunakan persamaan :
F(xn) + (Xn+1 β Xn). Fβ(xn) = 0
atau
ππ + 1 = ππ βπΉ(π₯π)
πΉβ² π₯π
= Xn β Hn
Iterasi dihentikan bila (Xn+1-Xn)/Xn menjadi lebih kecil dari kesalahan terbesar yang
diperbolehkan.
IV.2. Algoritma
1. Tentukan nilai awal x0
2. Hitung F(x0) kemudian cek konvergensi f(x0)
3. Tentukan fungsi Fβ(x0), kemudian hitung Fβ(x0)
4. Bila e β₯ Toleransi, maka tentukan x1 dengan rumus
ππ + 1 = ππ βπΉ(π₯π)
πΉβ² π₯π
5. Kemudian tentukan x0=x1,
Kembali ke tahap 2
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
IV.3. Flowchart Newton Rhapson
V. METODE SUCCESIVE APPROXIMATION
V.1. Dasar Teori
Bentuk lain dari metode penentuan akar persamaan adalah dengan memulai suatu
perkiraan harga dari akar persamaan. Mulai x0 (perkiraan awal), x1, x2, .... xk, akhirnya
konvergen pada , yaitu xk yang cukup dekat pada sesuai dengan tingkat kecermatan
yang diinginkan. (metode iterasi tunggal).
Dalam hal ini fungsi f(x) ditulis sbb :
f (x) = x β g (x) = 0, sehingga = g ( ) ............... (1)
kemudian
xk+1 = g (xk), k = 0, 1, 2, ....... (2)
START
x0, tol
e = 1
ite = 0
f0 = f(x0)
df0 = df(x0)
x1 = x0-(f0/df0)
f1 = f(x1)
e = abs ((x1-x0)/x0)
ite = ite+1
xo=x1
e >= tol
disp x1, tol, e, ite
END
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
maka ada bebeapa cara untuk menuliskan persamaan tersebut, sebagai contoh,
F(x) = x2 β 2x β 3 = 0
dapat ditulis dalam bentuk,
π₯ = 2π₯ + 3
atau bisa ditulis dalam bentuk,
π₯ =3
π₯ β 2
atau,
π₯ =π₯2 β 3
2
jelas bahwa x yang memenuhi persamaan diatas adalah x=3 dan x=-1. sebagai pendekatan
mula dipilih x0, maka pendekatan selanjutnya diambil;
π₯1 = π(π₯0)
π₯2 = π(π₯1)
π₯3 = π(π₯3)
pendekatan ke β n atau yang disebut iterasi ke-n adalah :
π₯π = π(π₯π β 1)
dan hal yan perlu diperhatikan disini adalah xn akan memberikan jawaban yang konvergen
bila n bertambah. Proses iterasi ini dapat digambarkan secara geometric seperti pada grafik
dibawah ini
Konvergen monoton
Konvergen Oscilasi
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
Divergen monoton
Divergen oscilasi
V.2. Algoritma
1. Tentukan x0, toleransi, dan jumlah iterasi maksimum
2. Hitung xbaru = g (x0)
3. Jika nilai (xbaru β x0) < toleransi tuliskan xbaru sebagai hasil perhitungan, jika tidak
lanjutkan kelangkah berikutnya.
4. Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum akhiri program
5. X0 = xbaru dan kembali kelangkah (2)
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
V.3. Flowchart Succesive Approximation
VI. METODE ELIMINASI GAUSS
VI.1. Dasar Teori
Metode ini adalah salah satu cara yang paling lama dan banyak digunakan dalam
penyelesaian sistem persamaan linier. Prosedurnya ialah mengurangi sistem persamaan ke
dalam bentuk segitiga sedemikian hingga salah satu dari persamaan tersebut hanya
mengandung satu bilangan tak diketahui dan setiap persamaan berikutnya hanya terdiri dari
satu tambahan bilangan tak diketahui baru. Dalam hitungan secara manual, bentuk segitiga
diselesaikan dengan penambahan dan pengurangan dari beberapa persamaan setelah
persamaan tersebut dikalikan dengan suatu faktor atau (konstan).
Pada metode ini variabel x1, x2, β¦ xn dieliminasi secara bertahap, sehingga diperoleh
hanya satu persamaan dalam xn kemudian disubstitusikan kembali untuk mencari xn-1, xn-
2,β¦x1. Untuk menggambarkan metode ini, dapat dituliskan sistem persamaan berikut :
a11. x1 + a12 x2 + a13 x3 = c1
a21. x1 + a22 x2 + a23 x3 = c2
a31. x1 + a32 x2 + a33 x3 = c3
START
x0, tol
e = 1
ite = 0
x1 = g(x1)
e = abs ((x1-x0)/x0)
ite = ite+1
xo=x1
e >= tol
disp x1, tol, e, ite
END
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
Pada tahap pertama, baris kedua dikurangkan dengan baris kesatu π21
π11 dan baris ketiga
dikurangkan dengan baris kesatu π31
π11 maka diperoleh :
a11. x1 + a12 x2 + a13 x3 = c1
0 π₯1 + π22 β π12 π21
π11 π₯2 + π23 β
π13 π21
π11 π₯3 = π2 β
π1 π21
π11
0 π₯1 + π32 β π12 π31
π11 π₯2 + π33 β
π13 π31
π11 π₯3 = π3 β
π1 π31
π11
atau
a11. x1 + a12 x2 + a13 x3 = c1
0. x1 + a22(1) x2 + a23
(1) x3 = c2(1)
0. x1 + a32(1). x2 + a33
(1) x3 = c3(1)
Terlihat bahwa pada tahap pertama, variabel x1 dieliminasi dari persamaan ke-2
sampai akhir pada tahap ke-2, baris ke-3 dari persamaan (2) dikurangkan dengan baris ke-2
π32
(1)
π22(1) , maka :
a11. x1 + a12 x2 + a13 x3 = c1
0. x1 + a22(1) x2 + a23
(1) x3 = c2(1)
0. x1 + 0. x2 + a33(1) x3 = c3
(1)
Pada persamaan terakhir ini, persamaan ke-3 hanya mengandung x3, maka x3 dapat
ditentukan. x2 dapat diperoleh dari persamaan ke-2 dan x1 dari persamaan pertama. Pada
persamaan-persamaan diatas, a11, a22(1), a33
(1) tidak boleh sama dengan nol, sehingga perlu
diadakan pertukaran baris.
VI.2. Algoritma
1. Menghilangkan x1 dari persamaan ke-2 :
a11. x1 + a12 x2 + β¦..a1n xn = c1
a22(1). x2 + β¦β¦.β¦..a2n
(1) xn = c2(1)
a32(1). x3 + β¦β¦.β¦..a3n
(1) xn = c3(1)
an2(1). x2 + β¦β¦.β¦..ann
(1) xn = cn(1)
2. Menghilangkan x2 dari persamaan ke-3 dst sampai tahap n-1, diperoleh persamaan :
a11. x1 + a12 x2 + β¦..a1n xn = c1
a22(1). x2 + β¦β¦.β¦..a2n
(1) xn = c2(1)
a33(2). x3 + β¦β¦.β¦..a3n
(1) xn = c3(2)
a44(3). x4 + β¦β¦.β¦..a4n
(1) xn = c4(3)
ann(n-1). xn = cn
(n-1)
3. Harga x diperoleh dari persamaan terakhir dari persamaan diatas, sedangkan harga xn-
1,..x1 diperoleh dari substitusi kembali :
xn = cn-1 / ann(n-1)
xn-1 = ( cn-1(n-2) β an-1
(n-2). n xn ) / an-1(n-2)
xj = ( cj(j-1) β Ξ£ aji
(j-1) xj ) / ajj(j-1)
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
VI.3. Flowchart Eliminasi Gauss
START
Input n
a = matriks ;
c = jawaban ;
tic
r = 1:n-1
b = r
p = r + 1 : n
abs (a(p,r)) > abs (a(b,r))
b = p
k = 1 : n
temp = a(r, k)
a(r,k) = a(b,k)
a(b,k) = temp
temp = c(r,1)
c(r,1) = c(b,1)
c(b,1) = temp
i = r + 1 : n
const = a (i,r) / a (r,r)
j = 1 : n
a (i,j) = a ( i, j) β a (r , j) * const
c (i,1) = c ( i, 1) β c (r , 1) * const
a ; c
x(n) = c (n,1) / a (n,n)
z = 1 : n-1
A
A
i = n β z
jum = 0
y = i + 1 : n
jum = jum + a(i,y) * x(y)
x(i) = ( c (i,1) β jum) / a (i,i)
h = 1 : n
x(h)
toc
END
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
VII. METODE YACOBI
VII.1. Dasar Teori
Metode Yacobi merupakan metode tak langsung. Prosedur penyelesaian persamaan β
persamaan aljabar linier dengan metode yacobi dapat diuraikan sebagai berikut : baris β
baris persamaan linier diatur kembali sehingga elemen β elemen diagonal diusahakan
mempunyai harga yang relatif lebih besar dibanding elemen pada baris yang sama.
VII.2. Algoritma
1. Dimulai dengan pendekatan awal x(1), menghitung masing β masing komponen untuk i
= 1, 2, β¦ n dengan persamaan :
π₯ππ = πΆπ
πππ
πππ
πππ
π
π=1
π₯π(πβ1)
dimana, xik adalah harga xi pada pendekatan ke k..
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = c1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = c2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = c3
2. Pendekatan awal : x1(1), x2
(1), x3(1)
x1(2) =
πΆ1
π11β
π12
π11 π₯2
(1)β
π13
π11 π₯3
(1), π11 β 0
x2(2) =
πΆ2
π22β
π21
π22 π₯1
(1)β
π23
π22 π₯3
(1), π22 β 0
x3(2) =
πΆ3
π33β
π31
π33 π₯1
(1)β
π33
π33 π₯2
(1), π33 β 0
3. Pendekatan ke β k
x1(k) =
πΆ1
π11β
π12
π11 π₯2
(πβ1)β
π13
π11 π₯3
(πβ1)
x2(k) =
πΆ2
π22β
π21
π22 π₯1
πβ1 β
π23
π22 π₯3
πβ1
x3(k) =
πΆ3
π33β
π31
π33 π₯1
(πβ1)β
π32
π33 π₯2
(πβ1)
4. Iterasi dihentikan bila harga x1(k) mendekati harga x1
(k-1), yaitu bila :
π₯π
π β π₯ππβ1
π₯ππβ1 β€ π ; π = 1,2, β¦ π
5. Dimana, Ξ΅ adalah batas β batas kesalahan maksimum yang diijinkan. Metode ini
konvergen bila πππ πππ ππ=1 , i = 1,2,β¦.n
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
VII.3. Flowchart Yacobi
START
Input n ; tol
a = [ ] ; c = [ ]
i=1:n
Input x(i)
tic
anew=zeros(n,n)
cnew=zeros(n,1)
i=1:n
p=2 ; l=1 ; z=1
z~=0
abs(a(i,p))>abs(a(i,l))
l = p
p==n
z=0
p=p+1;
z=1;
j = 1 : n
anew ( l, j) = a (i,j)
cnew ( l, 1) = c (i,1)
A
A
a=anew ; c=cnew
Disp (βmatriks a setelah tukar barisβ)
a
Disp (βmatriks c setelah tukar barisβ)
e=1 ; ite=0
Max (e) > tol
Ite = ite + 1
i=1:n
Jum = 0
j =1:n
j~=i
jum = jum + a ( i , j ) * x( j )
xnew (i) = ( c (i,1) ) β jum / a ( i,i)
i=1:n
e(i) = abs((xnew(i) - x(i)) / x(i))
x(i) = xnew (i)
i=1:n
disp ( x (i))
Disp (ite) ; disp (e)
tic
END
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
VIII. METODE TRAPEZOIDAL
VIII.1. Dasar Teori
Metode trapezoidal merupakan metode pendekatan integral numerik dengan
persamaan polinomial order satu. Dalam metode ini kurve lengkung dari fungsi f (x)
digantikan oleh garis lurus. Seperti pada Gambar 7.3, luasan bidang di bawah fungsi f (x)
antara nilai x = a dan nilai x = b didekati oleh luas satu trapesium yang terbentuk oleh garis
lurus yang menghubungkan f (a) dan f (b) dan sumbu-x serta antara x = a dan x = b.
Pendekatan dilakukan dengan satu pias (trapesium). Menurut rumus geometri, luas
trapesium adalah lebar kali tinggi rerata, yang berbentuk:
2
)()()(
bfafabI
Pada Gambar 7.3, penggunaan garis lurus untuk mendekati garis lengkung menyebabkan
terjadinya kesalahan sebesar luasan yang tidak diarsir.
Besarnya kesalahan yang terjadi dapat diperkirakan dari persamaan berikut:
))((''12
1abfE
dengan adalah titik yang terletak di dalam interval a dan b.
Persamaan diatas menunjukkan bahwa apabila fungsi yang diintegralkan adalah linier, maka
metode trapesium akan memberikan nilai eksak karena turunan kedua dari fungsi linier
adalah nol. Sebaliknya untuk fungsi dengan derajat dua atau lebih, penggunaan metode
trapesium akan memberikan kesalahan.
Gambar 7.3. Metode trapesium
Dalam hal ini range integrasi dibagi-bagi dalam beberapa bagian, yang tiap
bagiannya harga integrasinya dihitung dengan rumus Newton Cotes menggunakan polinom
derahat satu.
π΅π = π π₯ ππ₯ =(π π₯π + π π₯π + 1 π
2
π₯π+1
π₯π
, ππππ βΆ
π π₯ ππ₯ πππ π πππππ‘π’ππ π ππππππ ππππππ’π‘ βΆ
π
π
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
π π₯ ππ₯ = π΅π = π
2
π
π=1
π
π=1
π
π
ππ + ππ + 1
=π
2(π1 + 2π2 + 2π3 + 2π4 + 2π5 + β¦ . . ππ + 1)
VIII.2. Algoritma
1. Masukkan jumlah data (n) serta batas atas dan batas bawah
2. Menghitung nilai h= x(n) β x(3) / (n-1)
3. Masukkan nilai f(x) untuk masing β masing harga x
VIII.3. Flowchart Trapezoidal
intg = (h/2)*jum
emax = (x(i) β x(n))*h^2*y(n)/12
emin = (x(i)-x(n))*h^2*y(1)/12
eseb = (xanalitik β intg)
eabs = abs((xanalitik β intg)/xanalitik)
disp intg;eseb;emax;emin;eabs
END
A
N
D
START
x(1) ; x(n) ; n ; xanalitik
h=(x(n)-x(1))/(n-1)
i=2:n-1
x(i) = x(i-1)+h
i=1 : n
y(i)
jum=0
i = 1:n-1
jum = jum + y(i) + y(i+1)
A
N
D
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
IX. METODE SIMPSON 1/3
IX.1. Dasar Teori
Di samping menggunakan rumus trapesium dengan interval yang lebih kecil, cara lain
untuk mendapatkan perkiraan yang lebih teliti adalah menggunakan polinomial order lebih
tinggi untuk menghubungkan titik-titik data. Misalnya, apabila terdapat satu titik tambahan
di antara f (a) dan f (b), maka ketiga titik dapat dihubungkan dengan fungsi parabola
(Gambar 7.5a). Apabila terdapat dua titik tambahan dengan jarak yang sama antara f (a) dan
f (b), maka keempat titik tersebut dapat dihubungkan dengan polinomial order tiga (Gambar
7.5b). Rumus yang dihasilkan oleh integral di bawah polinomial tersebut dikenal dengan
metode (aturan) Simpson.
Gambar 7.5. Aturan Simpson
Aturan Simpson 1/3
Dalam hal ini range dibagi-bagi dalam beberapa bagian yang tiap bagiannya, harga
integrasinya dihitung dengan rumus Newton _Cotes menggunakan Polinom derajat
kedua.
π΅π = π π₯ ππ₯ =π
3
π₯π+2
π₯π
(ππ + 4ππ+1 + ππ+2
dengan kesalahan local error :
Local Error=β1
90π5πππ£(π)
harga π π₯ ππ₯π
π bisa dihitung sebagai berikut :
π π₯ ππ₯ = π΅π =π
3
π2
π=1
π
π
(π1 + 4π2 + 2π3 + 4π4 + 2π5 + β― . +ππ+1
dengan kesalahan global error :
πΊπππππ πππππ = β(πβπ)
180π4πππ£(π)
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
IX.2. Algoritma
1. Masukkan jumlah data (n) serta batas bawah dan atas
2. Menghitung nilai h
h = x(n) β x (1)
n β 1
3. Masukkan nilai f(x) untuk masing β masing harga
4. Menghitung harga iterasi pada tiap bagian dengan rumus newton cotes
5. Menjumlahkan semua harga integrasi tiap β tiap bagian
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
IX.3. Flowchart Simpson 1/3
START
tidk dapat diselesaikan
h=(x(n)-x(1))/(n-1)
x(i) = x(i-1)+h
intg = (h/2)*jum
emax = (x(i) β x(n))*h^2*y(n)/180
emin = (x(i) - x(n))*h^2*y(1)/180
eseb = (xanalitik β intg)
eabs = abs((xanalitik β intg)/xanalitik) mod (n,2) ==0
n;
n;
x(1) ; x(n) : xanalitik
i = 2:n-1
i =1:n
y(i)
jum=0
jum = jum+ y(i) + 4*y(i+1) + y(i+2)
A
N
D
A
N
D
disp intg;eseb;emax;emin;eabs
END
i=1:2:n-2
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
X. METODE SIMPSON 3/8
X.1. Dasar Teori
Dalam hal ini range dibagi-bagi dalam beberapa bagian yang tiap bagiannya, harga
integrasinya dihitung dengan rumus Newton _Cotes menggunakan Polinom derajat
kedua.
π΅π = π π₯ ππ₯ =3π
8
π₯π+3
π₯π
(ππ + 3ππ+1 + 3ππ+2 + ππ+3
dengan kesalahan local error :
Local Error=β3
80π5πππ£(π)
harga π π₯ ππ₯π
π bisa dihitung sebagai berikut :
π π₯ ππ₯ = π΅π =3π
8
π3
π=1
π
π
(π1 + 3π2 + 3π3 + 2π4 + 3π5 + 3π6 + 2π7 β¦ . +ππ+1
dengan kesalahan global error :
πΊπππππ πππππ = β(πβπ)
180π4πππ£(π)
Metode Simpson 1/3 biasanya lebih disukai karena mencapai ketelitian order tiga
dan hanya memerlukan tiga titik, dibandingkan metode Simpson 3/8 yang
membutuhkan empat titik. Dalam pemakaian banyak pias, metode Simpson 1/3 hanya
berlaku untuk jumlah pias genap. Apabila dikehendaki jumlah pias ganjil, maka dapat
digunakan metode trapesium. Tetapi metode ini tidak begitu baik karena adanya
kesalahan yang cukup besar. Untuk itu kedua metode dapat digabung, yaitu sejumlah
genap pias digunakan metode Simpson 1/3 sedang 3 pias sisanya digunakan metode
Simpson 3/8.
X.2. Algoritma
1. Masukkan jumlah data (n) serta batas bawah dan atas
2. Menghitung nilai h
h = x(n) β x (1)
n β 1
3. Masukkan nilai f(x) untuk masing β masing harga
4. Menghitung harga iterasi pada tiap bagian dengan rumus newton cotes
5. Menjumlahkan semua harga integrasi tiap β tiap bagian
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
X.3. Flowchart Simpson 3/8
START
tidk dapat diselesaikan
h=(x(n)-x(1))/(n-1)
x(i) = x(i-1)+h
mod (n-1,3)~=0
n; x(1) ; x(n)
x(n);
i = 2:n-1
i =1:n
y(i)
jum=0
i=1:3:n-3
jum = jum+ y(i) + 3*y(i+1) + 3*y(i+2)+y(i+3)
A
N
D
intg = (2*h/8)*jum
emax = (x(i) β x(n))*h^4*y(n)/80
emin = (x(i) - x(n))*h^4*y(1)/80
eseb = (xanalitik β intg)
eabs = abs((xanalitik β intg)/xanalitik)
A
N
D
disp intg;eseb;emax;emin;eabs
END
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
XI. METODE EULER
XI.1. Dasar Teori
Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana. Di
banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling kurang teliti. Namun demikian
metode ini perlu dipelajari mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya
sehingga memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih teliti.
Metode euler atau disebut juga metode orde pertama karena persamaannya kita
hanya mengambil sampai suku orde pertama saja.
Misalnya diberikan PDB orde satu,
π¦ , = dy/dx = f(x,y) dan nilai awal y(x0) = x0
Misalkan
yr = y(xr)
adalah hampiran nilai di xr yang dihitung dengan metode euler. Dalam hal ini
xr = x0 + rh, r = 1, 2, 3,β¦n
metode euler diturungkan dengan cara menguraikan y(xr+1) di sekitar xr ke dalam deret
taylor:
y(xr+1)=y(xr)+
1
1!
r rx x
yβ(xr)+
2
1
2!
r rx x yβ(xr)+β¦ (1)
bila persamaan di atas dipotng samapai suku orde tiga, peroleh
y(xr+1) = y(xr) +
1
1!
r rx x
yβ(xr) +
2
1
2!
r rx x yβ(t), xr<t<xr+1 (2)
berdasarkan persamanan bentuk baku PDB orde orde satu maka
yβ(xr ) = f(xr, yr)
dan
xr+1 β xr = h
maka persamaan 2 dapat ditulis menjadi
y(xr+1) βy(xr)+hf(xr,yr)+2
2
hyβ(t) (3)
dua suku pertama persamaan di atas yaitu :
y(xr+1) = y(xr) + hf(xr, yr) ; r = 0, 1, 2,β¦,n (4)
atau dapat ditulis
yr+1 = yr + hfr
yang merupakan metode Euler.
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
XI.2. Algoritma
1. Menuliskan persamaan differensial dan harga awal
2. Menentukan interval atau nilai h antara nilai batas awal dari nilai yang dicari
3. Menghitung nilai dari Yβn
4. Menghitung nilai (h . Yβn)
5. Hitung nilai Yn baru dengan rumus (h . Yβn) + Yn lama
6. Lanjutkan iterasi sampai pada batas yg diinginkan
XI.3. Flowchart Euler
i = 1:n
START
t(1) ; c1(1) ; c2(1) ; tn ; h
n β ((tn-t(1)/h)+1
t(n) = tn
dc1(i) = 0.03*c2(i) β 0.08*c1(i)
dc2(i) = 0.03*c1(i) β 0.08*c2(i)
c1(i+1)=c1(i) + h*dc1(i)
c2(i+1)=c2(i) + h*dc2(i)
disp c1 ; c2
END
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
XII. METODE RUNGE KUTTA
XII.1. Dasar Teori
Pada metode Euler memberikan hasil yang kurang teliti maka untuk mendapatkan
hasil yang lebih teliti perlu diperhitungkan suku yang lebih banyak dari deret Taylor atau
dengan menggunakan interval x yang kecil. Kedua cara tersebut tidak menguntungkan.
Penghitungan suku yang lebih banyak memerlukan turunan yang lebih tinggi dari fungsi nilai
y (x), sedang penggunaan x yang kecil menyebabkan waktu hitungan lebih panjang.
Metode Runge-Kutta memberikan hasil ketelitian yang lebih besar dan tidak
memerlukan turunan dari fungsi, bentuk umum dari metode Runge-Kutta adalah:
xxyxyy Ξ)Ξ,,(Ξ¦ iii1i (8.19)
dengan (xi, yi, x) adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan rerata pada
interval.
Fungsi pertambahan dapat ditulis dalam bentuk umum:
nn2211 ...Ξ¦ kakaka (8.20)
dengan a adalah konstanta dan k adalah:
k1 = f (xi, yi) (8.21a)
k2 = f (xi + p1x, yi + q11 k1x) (8.21b)
k3 = f (xi + p2x, yi + q21 k1x + q22 k2x) (8.21c)
kn = f (xi + pn β 1x, yi + qn β 1, 1 k1x + qn β 1, 2 k2x + + qn β 1, n β 1 kn β 1x) (8.21d)
Persamaan tersebut menunjukkan bahwa nilai k mempunyai hubungan berurutan.
Nilai k1 muncul dalam persamaan untuk menghitung k2, yang juga muncul dalam persamaan
untuk menghitung k3, dan seterusnya. Hubungan yang berurutan ini membuat metode
Runge-Kutta adalah efisien dalam hitungan.
Ada beberapa tipe metode Runge-Kutta yang tergantung pada nilai n yang digunakan.
Untuk n = 1, yang disebut Runge-Kutta order satu, persamaan (8.20) menjadi:
),(Ξ¦ ii111 yxfaka
Untuk a1 = 1 maka persamaan (8.19) menjadi:
xyxfyy Ξ),( iii1i
yang sama dengan metode Euler.
XII. Algoritma
1. Tentukan soal yang akan di kerjakan. 2. Masukkan kedalam rumus yang telah ditentukan dalam hal ini gunakan rumus
metode runge-kutta orde 4. 3. Memasukkan nilai x0,xn,h,dan nilai y 4. Lalu telah diolah dalam program. 5. Cetak program
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
XII. Flowchart Runge Kutta
i = 1:n-1
START
t(1) ; c1(1) ; c2(1) ; tn ; h
n β ((tn-t(1)/h)+1
t(n) = tn
k1=h*(0.03*(2(1)-0.08*c1(i))
k2=h*(0.03*c2(i)-0.08*(c1(i)+0.5*k1))
k3=h*(0.03*c2(i)-0.08*(c1(i)+k3))
c1=h*(0.08*C1(i)-0.08*C2(i));
c2=h*(0.08*C1(i)-0.08*(C2(i)+0.5*c1));
c3=h*(0.08*C1(i)-0.08*(C2(i)+0.5*c2));
c4=h*(0.08*C1(i)-0.08*(C2(i)+c3));
C1(i+1)=C1(i)+((k1+2*k2+2*k3+k4)/6);
C2(i+1)=C2(i)+((c1+2*c2+2*c3+c4)/6);
disp c1 ; c2
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
XIII. METODE ODE 23
XIII.1. Dasar Teori
ODE 23 (Ordinary Differentials Equation 23) merupakan metode yang digunakan untuk
menyelesaikan persamaan differensial sederhana. Dimana, ODE 23 ialah fungsi solusi
numeric dari persamaan differensial tsb atau menstimulasi sistem dinamik yang kompleks.
ODE 23 umumnya digunakan untuk menyelesaikan persoalan dengan tingkat kesulitan
sedang atau persoalan dengan toleransi yang cukup tinggi. ODE 23 tidak dapat melakukan
ekstrapolasi lokal. ODE 23 mengintegrasikan sistem persamaan differensial biasa dengan
menggunakan urutan kedua dan ketiga dari rumus Runge-Kutta.
XIII.2. Algoritma
1. Tuliskan persamaan ke dalam bentuk sistem persamaan orde 1
2. Aplikasikan ODE 23 terhadap sistem no.1
3. Gambarkan hasil yang diperoleh
XIII.3. Flowchart ODE 23
Start
Function dy = yp (t,y)
Dy = zeros (3,1)
dy = persamaan turunan
End
Start
x span = [0 500]
yo = [0 1 1]
[x,y] = ode23 (@yp, xspan, yo)
Plot (x, y, βbβ)
[x y]
x label ( βxβ )
y label ( βyβ )
legend (ββ¦β,ββ¦β,ββ¦β)
title (ββ¦β)
End
Modul Praktikum Komputasi Teknik Kimia
Laboratorium Komputasi D3 Teknik Kimia FTI-ITS
XIV. METODE ODE 45
XIV.1. Dasar Teori
Penyelesaian ODE 45 menggunakan langkah-langkah metode Runge Kutta orde tinggi
(ke-4 sampai ke-5). Aturan ODE 45 untuk orde 1 dan orde 2 pada persamaan differensial
pada dasarnya sama, hanya penulisannya pada m-file yang berbeda. ODE 45 didasarkan
pada metode Runge-Kutta (45). Metode ini adalah step solver. Dalam komputasi, y (tn)
diperlukan hanya hasil dari proses yang terbaik (tn + 1). Pada umumnya, ODE 45 adalah
metode yang paling bagus untuk diaplikasikan.
XIV.2. Algoritma
1. Persamaan orde 1 : yβ = f (t,y)
y (to) = yo
2. Membuat m-file untuk f (tiy)
3. * tiy + = ODE45 (βyeβ, * to, tf +; yo)
yo adalah nilai awal dari y pada t(o)
[ to, tf ] adalah nilai awal dan terminal dari t
4. Menampilkan hasil : [ t y ]
Plot grafik : plot ( t, y )
XIV.3. Flowchart ODE 45
Start
Function dy = yp (t,y)
Dy = zeros (3,1)
dy = persamaan turunan
End
Start
x span = [0 500]
yo = [0 1 1]
[x,y] = ode45 (@yp, xspan, yo)
plot (x, y, βbβ)
[x y]
x label ( βxβ )
y label ( βyβ )
legend (ββ¦β,ββ¦β,ββ¦β)
title (ββ¦β)
End