Modul mtsm2103 : MAJOR MATEMATIK

MTSM2103 Pendekatan dan Pedagogi Matematik 1

TAJUK 1 PENDIDIKAN MATEMATIK DAN PERKEMBANGAN KURIKULUM MATEMATIK DI MALAYSIA

A. Sinopsis

Kursus ini memberi pendedahan kepada para pelajar untuk menghayati sejarah

dan peranan ahli matematik sejak daripada zaman dahulu. Ia membolehkan para

pelajar mendalami makna, peranan dan nilai dalam matematik terutamanya

dalam pengajaran dan pembelajaran Matematik serta peranan guru Matematik.

Pelajar akan meneliti perkembangan Kurikulum Matematik di Malaysia dan juga

mengkaji Kurikulum Matematik KBSM. Disamping itu, kursus ini bertujuan untuk

menambahkan pengetahuan sekali gus meningkatkan profesionalisme keguruan.

B. Hasil Pembelajaran

• Menerangkan peranan yang dimainkan oleh Matematik, ahli matematik

dan guru matematik .

• Mengintegrasi dan menimbulkan minat dan nilai dalam pendidikan

Matematik .

• Menjelaskan pengertian dan peranan Matematik.

• Memupuk minat dan nilai dalam pendidikan Matematik

• Menghuraikan perkembangan kurikulum Matematik

C. Kerangka Konsep

Pendidikan Matematik dan Perkembangan Kurikulum Matematikdi Malaysia

1.1 Pengertian dan peranan matematik

1.2 Nilai-nilai dalam Pendidikan Matematik

1.3 Sejarah perkembangan matematik

1.4 Sejarah perkembangan Kurikulum Matematik di Malaysia


1.5 Matematik KBSM

1.1 Pengertian Matematik dan Peranan Matematik

Matematik adalah alat yang penting dalam kehidupan seharian manusia sejagat.

Abad ke 21 ini, kita perlu memastikan semua pelajar mempunyai peluang untuk

membina kebolehan dan kecekapan matematik, berupaya untuk

mengembangkan pembelajaran, mempunyai peluang sama rata untuk belajar,

membentuk asas bagi pendidikan sepanjang hayat dan menjadi warga negara

berpengetahuan yang berupaya memahami isu dalam masyarakat berteknologi

tinggi (Nik Azis, 2008)

Matematik telah dinamakan sebagai ‘permaisuri bagi sains’ oleh Gauss (1777-

1855), seorang ahli matematik yang terkenal pada zaman dahulu. Ramai orang

menganggap Matematik adalah suatu subjek yang dikaitkan dengan nombor dan

pengiraan sahaja. Sebenarnya, Matematik mengandungi makna yang lebih

dalam dan memainkan peranan yang besar dalam kehidupan kita. Sebagai

seorang guru Matematik, anda perlu menganggap dan menghargai matematik

sebagai subjek yang kaya dengan idea dan kreativiti.

Pendidikan Matematik

Pengertian Matematik dan Peranan Matematik

Sejarah Matematik dan Peranan Ahli Matematik

Sifat dan Nilai dalam Matematik


1.1.1 Pengertian Matematik

APA ITU MATEMATIK ? Ini adalah satu soalan yang penting dan memerlukan

jawapan yang jitu dan terperinci. Matematik dapat didefinisikan dalam pelbagai

cara.

Berikut adalah beberapa pengertian bagi matematik :

“Matematik adalah pengkajian tentang corak/pola.”

“Matematik adalah pengkajian tentang perhubungan / perkaitan.”

“Matematik adalah suatu bahasa”

“Matematik adalah suatu kajian seni”

“Matematik adalah berkaitan dengan aritmetik, algebra, trigonometri, kalkulus

dan sebagainya.”

“Matematik adalah satu cara berfikir.”

“Matematik adalah alat / rekreasi dalam kehidupan harian.”

Apakah yang dimaksudkan dengan perkara-perkara di atas ? Dengan

penerangan terperinci di bawah, diharapkan anda, sebagai guru matematik,

dapat memahami dengan lebih mendalam tentang pengertian Matematik.

Matematik adalah pengkajian tentang corak/pola

Pola / Corak adalah suatu perkara yang berulang. Perhubungan adalah suatu

yang ada kaitan disebabkan sesuatu perkara. Kedua-dua perkara ini penting

untuk memberi kita keyakinan dalam menentukan / menjangkakan perkara

seterusnya yang akan berlaku / muncul. Kajian pola bukan sahaja didapati

dalam bidang matematik, tetapi juga dalam bidang Seni, Muzik, tekstil dan

sebagainya.


Perhatikan contoh berikut :

Contoh 1 :

12 = 1

112 = 121

1112 = 12 321

1 1112 = 1 234 321

Tanpa menggunakan kalkulator, apakah nilai bagi 11 111 2 ?

Contoh 2 :

Nombor 37 adalah satu nombor ajaib dan boleh menghasilkan hasildarab yang menarik sekiranya didarab dengan gandaan 3

3 x 37 = 111

6 x 37 = 222

9 x 37 = 333

Berdasarkan pola di atas, berapakah hasildarab 37 dengan 21 ?

Matematik adalah pengkajian tentang perhubungan / perkaitan

Contoh :

Perhatikan fungsi kuadratik berikut :

Jika 235)( 2 −+= xxxf berapakah nilai f jika x = 2 ?

Apakah hubungan antara x dan f ?

Sesetengah perhubungan pembolehubah/anu boleh juga ditunjukkan dalam

bentuk jadual atau graf. Cuba anda berikan dua contoh lain yang

menunjukkan perhubungan antara pembolehubah.


“Matematik adalah suatu bahasa”

Satu daripada keistimewaan-keistimewaan yang terdapat dalam matematik

ialah matematik mempunyai bahasa atau simbol beserta operasinya sendiri.

Bahasa Matematik yang dicipta oleh pakar-pakar matematik dari zaman ke

zaman telah menjadi lambang dan hukum yang universal sehingga ke hari ini.

Simbol dan ungkapan Matematik yang dicipta, memudahkan kefahaman dan

proses pemikiran manusia, menjadikan operasi Matematik lebih ringkas,

cepat dan tepat. Di dalam bahasa matematik, tatabahasa terdiri daripada

hukum-hukum, teorem-teorem dan rumus-rumus matematik yang

menghubungkan simbol-simbolnya.

Contoh :

Laju, atuv +=

“Matematik adalah suatu kajian seni”

Terdapat unsur-unsur matematik dalam pelbagai bentuk seni. Antaranya ialah

:

• Seni muzik

• Seni bina

• Seni lukis

• Seni budaya.

Matematik adalah berkaitan dengan aritmetik, algebra, trigonometri,

kalkulus dan sebagainya.

Sebahagian besar daripada pandangan umum, juga di kalangan pelajar

Matematik, melihat matematik sebagai suatu perkara yang berkaitan

pengiraan. Terdapat pelbagai teknik atau kaedah dalam matematik bagi


mendapatkan penyelesaian kepada pelbagai masalah. Pengiraan adalah

akar umbi kepada Matematik.

Matematik adalah satu cara berfikir

Berfikir secara matematik adalah satu cara berfikir yang menggunakan

konsep, kemahiran dan kaedah matematik dalam menyelesaikan masalah

yang timbul. Terdapat ramai orang yang apabila menghadapi sesuatu

masalah, akan berusaha untuk mendalami dan menganalisis keadaan atau

punca masalah sebelum menggunakan kaedah-kaedah tertentu untuk

menanganinya. Ada yang menggunakan rajah atau jadual untuk mengumpul

maklumat dan ada juga yang menggunakan analogi untuk mencari punca

masalah. Berfikir secara logik merupakan perkara yang penting dalam

matematik.

Menerusi Logik, kita maksudkan dua kaedah menaakul iaitu penaakulan

secara Induktif dan Penaakulan secara Deduktif.

Penaakulan secara Deduktif bermula dengan sesuatu perkara yang umum

membawa kepada sesuatu keputusan yang lebih terperinci. Sebagai contoh, kita

mungkin memikirkan sesuatu teori kepada sesuatu perkara. Kemudian kita mula

mendalami perkara tersebut dengan membuat hipotesis yang dapat dijalankan

ujian terhadapnya. Seterusnya kita terus membuat pengumpulan data. Akhirnya,

kita menjalankan ujian terhadap data dengan tujuan mengesahkan hipotesis

yang ada. Dengan cara sedemikian, suatu pengesahan terhadap teori asal kita

dapat dilaksanakan, samada ianya benar atau sebaliknya.

TeoriTeori

HipotesisHipotesis

PemerhatianPemerhatian

PengesahanPengesahan


Penaakulan secara Induktif sebaliknya bergerak daripada pemerhatian yang teliti

kepada teori atau generalisasi. Dalam penaakulan ini, kita bermula dengan

mencari corak atau pola, menetapkan hipotesis yang mungkin, dan kemudian

berakhir dengan membuat rumusan atau kesimpulan / teori.

Dengan cara penaakulan di atas, kita mengaktifkan minda kita agar lebih

berfungsi dengan baik sebagaimana kita menggalakkan aktiviti ‘hands-on’

kepada para pelajar.

Matematik adalah alat / rekreasi dalam kehidupan harian.

Matematik bukan hanya digunakan oleh ahli Matematik, tetapi juga oleh

semua orang. Kita menggunakan asas matematik dalam kehidupan seharian.

Ini meliputi aktiviti atau bidang pekerjaan seperti pertukaran wang, membaca

carta, mengira diskaun, mengukur jarak, masa dan sebagainya. Kita juga

mengaplikasikan pengetahuan matematik untuk menyelesaikan masalah

praktikal mahu pun masalah berbentuk abstrak. Sewajarnyalah, kita

menghargai ilmu, kemahiran dan konsep yang telah kita pelajari di sekolah

dahulu.

PemerhatianPemerhatian

Corak / PolaCorak / Pola

HipotesisHipotesis

TeoriTeori


1.1.2 Peranan matematik

Kehidupan kita berkait rapat dengan matematik. Segala aktiviti yang kita lakukan

seperti pergi bercuti, membeli makanan, merancang kerja-kerja seharian dan

sebagainya memerlukan kemahiran matematik asas.

Matematik melatih akal kita supaya berfikir secara rasional dan logik.

Pengetahuan dalam matematik sesungguhnya memainkan peranan yang sangat

besar dalam kehidupan kita. Sebagai contoh, kita tidak akan berupaya

menyelaras perbelanjaan atau kewangan kita secara sistematik tanpa

pengetahuan matematik..

Matematik juga meningkatkan keupayaan dan tahap kebijaksanaan kita dalam

menangani soalan berbentuk Penyelesaian Masalah. Seseorang yang telah

diberi latihan yang mantap dalam matematik, mampu melaksanakan kerja-kerja

yang kompleks dengan berkesan.. Sejarah membuktikan bahawa ahli matematik

telah berjaya membaca / menyelesaikan kerumitan dalam kod rahsia semasa

Perang Dunia Kedua.

Selain itu, matematik juga memainkan peranan yang penting dalam

perkembangan informasi dan teknologi komunikasi (ICT). Sebagai contoh,

penciptaan sistem nombor binari menyumbang kepada prosedur pengiraan

dalam komputer. Kemajuan dalam matematik juga memberi sumbangan yang

besar kepada kemajuan dalam sains.

Kemajuan dalam bidang matematik juga dilihat sangat penting dalam

mempastikan tercapainya Wawasan 2020. Cabaran yang keenam dalam

Wawasan 2020 iaitu “the building of a progressive scientific society with creative

and far-sighted abilities”, telah memberi impak yang besar, bukan sahaja kepada

perkembangan silibus matematik yang baru, tetapi juga terhadap peranan guru-

guru matematik pada masa hadapan. (Mok, 2005).


1.2.3 Peranan Guru Matematik

Guru-guru Matematik berhadapan dengan cabaran yang besar dalam

melaksanakan huraian sukatan pelajaran Matematik serta cadangan-cadangan

baharu yang perlu dilaksanakan. Peranan yang baharu bagi guru-guru

diperlukan bagi merealisasikan kurikulum matematik yang baharu.

Para guru dikehendaki menyediakan suasana pembelajaran yang kondusif

kepada para pelajar. Susunan kerusi-meja yang sesuai dapat membangkitkan

semangat perbincangan, pemikiran dan eksplorasi yang baik dalam kalangan

pelajar. Guru seolah-olah memberitahu mereka bahawa pembelajaran adalah

penting, dan belajar matematik adalah penting. Yang paling penting, guru

menyediakan suatu medan bagi pelajar-pelajar merasa selamat untuk berkongsi

idea, juga belajar menghargai pendapat-pendapat orang lain.

Guru juga perlu menyediakan latihan atau tugasan dengan melibatkan semua

pelajar. Guru perlu memikirkan dan menyediakan tugasan yang membuatkan

pelajar-pelajar menggunakan intelektual dan pemikiran yang mencapah untuk

memahami atau menjawab sesuatu masalah, terutama yang berkaitan dengan

kehidupan seharian.

Guru juga seharusnya mengenalpasti bagaimana para pelajar berhubung antara

satu sama lain, Soalan-soalan seperti “ Bagaimana guru berinteraksi dengan

pelajar semasa aktiviti P&P berjalan “, “Apa bentuk soalan untuk

membangkitkan pelajar berfikir dengan lebih jauh” , “ Apa bentuk komunikasi

yang dapat membantu pelajar mendapatkan kefahaman yang mendalam

tentang Matematik ”, seharusnya ada dalam diri para guru.

Anda boleh melayari internet seperti alamat di bawah untuk mendapatkan

kefahaman tentang kegunaan matematik dalam kehidupan seharian.

http://www.learner.org/interactives/dailymath/http://www.articlesbase.com/k-12-education-articles/mathematics-in-daily-life-390556.html

http://www.articlesbase.com/k-12-education-articles/mathematics-in-daily-life-390556.html

http://www.articlesbase.com/k-12-education-articles/mathematics-in-daily-life-390556.html

http://www.learner.org/interactives/dailymath/


Guru sewajarnya membuat analisis tentang pengajaran dan pembelajaran yang

berlaku dalam bilik darjah. Guru perlu menyoal “ Apa yang dapat dan tidak

dapat dilaksanakan hari ini ? ” Apa pembetulan yang patut diambil “,Guru tidak

perlu membetulkan kesilapan pelajar secara terus atau segera, tetapi guru

boleh merancang cara bagaimana menolong pelajar yang berkenaan mendapat

semula ilmu yang tertinggal.

Akhirnya, guru disaran supaya memastikan pelajar merasai perhubungan antara

Geometri, Kalkulus, Trigonometri, Algebra dan Statistik. Begitu juga dengan

perkaitan antara Matematik dan sains, pengajian sosial, pendidikan jasmani dan

seni. Guru juga membantu pelajar memahami perkaitan antara matematik dan

perkara-perkara di luar persekitaran sekolah.

Dengan peranan-peranan yang dibincangkan di atas, guru-guru sewajarnya

dapat menghasilkan pelajar-pelajar yang bermotivasi tinggi dalam matematik

dan berkeupayaan untuk mengaplikasikan kemahiran matematik dalam dunia

sebenar.

(i) Bincang dengan rakan-rakan sekelas anda tentang pengertian matematik dan peranan matematik dalam kehidupan seharian?

(ii) Apa peranan anda sebagai guru matematik yang berkesan?


TAJUK 1.2 NILAI-NILAI DALAM PENDIDIKAN MATEMATIK

1.2.1 Nilai Matematik

Nilai adalah peraturan untuk kita membuat keputusan tentang benar dan salah,

harus dan tidak boleh, baik dan buruk. Nilai juga memberitahu kita bahawa

sesuatu perkara itu adalah penting atau tidak. Ada tiga kategori dalam

pendidikan matematik iaitu nilai-nilai pendidikan umum, nilai-nilai pendidikan

matematik dan nilai-nilai matematik.

1.2.2 Nilai-nilai Pendidikan Umum

Nilai-nilai ini diterapkan oleh guru-guru di sekolah bertujuan membentuk peribadi

seseorang. Berikut merupakan empat jenis nilai-nilai umum beserta contoh,

berdasarkan peringkat hirarki nya :

• Nilai asas adalah iman dan takwa.

• Nilai-nilai sampingan adalah kepercayaan, kebenaran, bijaksana, adil,

telus dan bersyukur.

• Nilai-nilai asas seperti setia, bertanggung jawab, kerjasama dan

berpengetahuan seperti setia, bertanggung jawab, kerjasama dan

berpengetahuan.

• Nilai-nilai tambahan adalah kewarganegaraan, kreatif, berdedikasi,

berkeyakinan diri dan lain-lain.

1.2.3 Nilai-nilai Pendidikan Matematik

Nilai dalam pendidikan matematik adalah nilai-nilai afektif yang mendalam

dibangunkan melalui subjek matematik. Menurut Nik Azis (2008), belajar

matematik menumpukan pada nilai-nilai pendidikan matematik sebagai berikut:


a) Nilai yang berkaitan dengan tujuan pembelajaran, di mana tujuan

pembelajaran matematik adalah untuk apresiasi, aplikasi atau teori

matematik.

b) Nilai yang berkaitan dengan kemampuan pelajar di mana matematik

adalah sesuai untuk individu tertentu atau untuk semua.

c) Nilai yang berkaitan dengan kaedah penyelesaian masalah di mana

pelajar memahami, mengetahui dan melakukan operasi rutin atau mencari

dan melaksanakan operasi yang sesuai, membuat refleksi dan

komunikasi.

d) Nilai yang berkaitan dengan tingkat pemahaman di mana pelajar

menggunakan peraturan, operasi, dan prinsip-prinsip rumus matematik

atau mengetahui bagaimana menggunakan algoritma dan mengapa ia

digunakan.

e) Nilai-nilai yang berkaitan dengan pendekatan pembelajaran matematik di

mana melibatkan proses deduktif, menghafal dan belajar secara pasif

atau matematik adalah pembangunan pengetahuan melalui pembelajaran

induktif, konstruktif dan aktif.

1.2.4 Nilai-nilai Matematik

Nilai matematik merujuk kepada nilai yang berkaitan dengan pengetahuan

matematik. Nilai-nilai ini meliputi ciri-ciri, sumber bahan, kebenaran dan

penggunaan pengetahuan matematik yang dibawakan dalam konteks yang

berbeza.

Alam Bishop mengenalpasti tiga pasang pelengkap untuk nilai matematik.

Ianya adalah rasionalisme & empirisme, kawalan & kemajuan, keterbukaan &

misteri.


Berikut adalah penjelasan nilai-nilai dalam matematik:

1. Rasionalisme

Menilai rasionalisme bererti menekankan hujah, penaakulan, analisis logik dan

penjelasan. Ia melibatkan teori, situasi hipotetis dan abstrak, dan dengan

demikian membawa kepada pemikiran universal.

Nilai ini ditunjukkan oleh:

guru mengembangkan kemahiran pelajar dalam hujah dan penaakulan

logik

pengajaran tentang bukti dan membuktikan

menggalakkan perbincangan dan perdebatan

pelajar mencari penjelasan untuk data percubaan

kontra hipotesis alternatif

2 Empiricisme

Menilai empirisisme bererti mencari objektif, konkrit, dan melaksanakan idea-

idea dalam matematik dan sains.. Ia merangsang kepada pemikiran beranalogi,

mencari simbol, dan penggunaan data. Hal ini juga menggalakkan materialisme

dan kesungguhan.


guru mengembangkan kemahiran praktikal pelajar

mengajar tentang aplikasi dan menggunakan idea

pelajar dan guru membuat simbol, model, rajah dan lain-lain.

pelajar mengumpul data eksperimen


menguji idea terhadap data

3. Kawalan

Menilai kawalan bererti menekankan kekuatan pengetahuan matematik dan

sains melalui penguasaan peraturan, fakta, prosedur dan kriteria yang telah

ditetapkan. Hal ini juga menggalakkan keselamatan dalam pengetahuan, dan

kemampuan untuk meramal.

Nilai yang ditunjukkan adalah :

guru mengembangkan kemahiran pelajar dalam latihtubi dan rutin

mengajar tentang ketepatan matematik dan sains

pelajar mempraktikkan kemahiran dan prosedur

guru menunjukkan bagaimana idea-idea matematik dan sains dapat

menjelaskan dan meramalkan kejadian

4 Kemajuan

Menilai kemajuan bererti menekankan cara-cara idea-idea matematik dan sains

berkembang, melalui teori alternatif, pembangunan kaedah baru dan

mempersoalkan idea-idea yang ada. Hal ini juga menggalakkan nilai-nilai

kebebasan individu dan kreativiti.


guru mengembangkan imaginasi kreatif pelajar

mengajar tentang perkembangan pengetahuan sains dan matematik

mendorong penjelasan alternatif


5 Keterbukaan

Menilai keterbukaan bermaksud demokrasi pengetahuan, melalui demonstrasi,

bukti dan penjelasan individu. Pengesahan hipotesis, artikulasi yang jelas dan

pemikiran kritis juga signifikan.

Nilai yang ditunjukkan adalah :

guru mengembangkan kemampuan pelajar mengartikulasikan idea-idea

mereka

mengajar kriteria pembuktian dan pengesahan

menggalakkan perbincangan dan perdebatan

menggalakkan kebebasan berekspresi

kontra pendapat antara pelajar dan guru

percubaan / eksperimen yang boleh diulangi

6 Misteri

Menilai misteri bererti menekankan keajaiban, daya tarikan, dan mistik dari idea-

idea sains dan matematik. Ini menggalakkan kita berfikir tentang asal-usul dan

sifat pengetahuan.


guru mengembangkan imaginasi pelajar

mengajar tentang sifat pengetahuan objektif

merangsang sikap ingin tahu dan kagum dengan idea-idea yang signifikan

mendorong pelajar untuk membaca bahan-bahan sains fiksyen

pelajar merasa terkejut terhadap hasil penemuan tak terduga

meneroka teka-teki matematik


Tugasan

Jawab semua soalan berikut

1. Matematik adalah satu cabang ilmu dengan pelbagai makna.

Nyatakan dan jelaskan tiga daripada makna-makna matematik tersebut.

2. Apakah maksud penyelesaian masalah dalam konteks proses

pengajaran dan pembelajaran ?

3. Jelaskan tiga matlamat pembelajaran penyelesaian masalah dalam

matematik.

4. Nyatakan kepentingan matematik kepada

(a) anda sebagai individu(b) masyarakat anda(c) negara anda.

5. Senaraikan beberapa sumbangan tokoh-tokoh matematik Yunani, Eropah,

Timur Tengah dan India beserta tahun yang terlibat.


TAJUK 1.3 SEJARAH PERKEMBANGAN MATEMATIK

Sejarah perkembangan matematik boleh dibahagikan kepada 4 peringkat :

1. Peringkat Pertama ( sebelum 400 SM )

- Bermula dari masa manusia menggunakan tanda atau simbol untuk

membilang hingga tokoh-tokoh matematik Yunani menemui sistem

teori matematik yang pertama.

2. Peringkat Kedua ( 400 SM – 1700 TM )

- Merupakan perkembangan aritmetik, geometri, algebra dan

trigonometri ke tahap yang mantap, menjadi satu sistem yang

sempurna.

3. Peringkat Ketiga ( 1700 TM – 1900 TM )

- Peringkat perkembangan matematik tradisi ke peringkat perubahan

dan penemuan. Pada tahap ini, banyak bidang, teori dan hukum baru

ditemui dan didemonstrasikan oleh tokoh-tokoh matematik khasnya

dari negara-negara barat. Antara bidang matematik yang baru ditemui

ialah geometri koordinat, kalkulus dan rumus-rumus kalkulus.

4. Peringkat Keempat ( 1900 TM - kini )

- Dikenali sebagai peringkat moden, merupakan peringkat

perkembangan matematik daripada konkrit kepada abstrak. Dalam

tempoh ini, teori-teori baru ditemui oleh tokoh-tokoh matematik untuk

digunakan dalam bidang sains teknologi, ekonomi dan sosiologi. Di

antaranya adalah kebarangkalian, teori set, teori nombor, penaakulan

mantik dan logik.


Dalam pada itu, sejarah matematik juga boleh dilihat dalam 6 peringkat kronologi

seperti di bawah :

• Babylonian, Egyptian and Native American Periods (3000 BC - 601

BC)

Matematik pada masa ini sangat praktikal dan digunakan semasa pembinaan,

pengukuran, mencatat rekod dan penciptaan kalendar. Sistem pernomboran

mereka mempunyai nilai tempat dengan asas 60. Mereka tidak mempunyai

simbol 0 tetapi boleh mewakili pecahan, kuasa dua, punca kuasa dua dan punca

kuasa tiga.. Asas 60 ini membawa kepada pembahagian bulatan kepada 360

bahagian yang sama besar yang kini dikenali sebagai darjah (degree). Setiap

darjah kemudiannya dibahagi kepada 60 bahagian iaitu minit. Seorang ahli

astronomi Greek, Ptolemy menggunakan sistem ini untuk menghasilkan minit,

saat dan sukatan darjah yang digunakan sekarang.

Orang-orang Mesir merekacipta cara mereka sendiri untuk menulis, dikenali

hieroglyphics (tulisan mesir purba kala) dan sistem pernomboran ini berbentuk

gambar-gambar. Mereka mengukur menggunakan kaedah yang unik iaitu

meregangkan tali. Unit asas yang digunakan oeh orang-orang Mesir untuk

mengukur panjang adalah ‘kubit’, di mana jaraknya adalah dari siku seseorang

sehingga kepada hujung jari hantu. Mereka mempunyai rumus bagi luas bulatan

dan isipadu bagi kubus, kotak, silinder dan sebagainya. Mereka mengetahui

bahawa tahun solar adalah lebih kurang 3654

1 hari.

• Greek, Roman and Chinese Periods (600 BC - 499 AD)

Tamadun Greek memberi kesan besar kepada sejarah Matematik. Mereka

mempunyai sistem pernomboran sendiri. Mereka mempunyai pecahan dan

beberapa nombor bukan nisbah ( irrational numbers ), terutamanya π.

Sumbangan besar orang-orang Greek adalah Euclid’s Elements and Apollonius’


Conic Sections. Salah seorang daripada tiga ahli matematik yang hebat

sepanjang zaman adalah Archimedes (287-212 B.C.) Beliau merekacipta

beberapa alat dan senjata ketenteraan. Diberitakan bahawa Archimedes berjaya

mencipta cara untuk menguji penurunan nilai bagi ketulan emas.

Walaupun kaum Roman menguasai dunia, namun sumbangan mereka terhadap

matematik tidak banyak. Sumbangan mereka hanyalah nombor Roman dan

pecahan adalah berdasarkan sistem duodecimal (asas 12). Mutu kalendar

dipertingkatkan dan mereka menetapkan idea-idea tentang tahun lompat setiap

empat tahun.

• Hindu and Arabian Period (AD 500 - 1199)

Tamadun Hindu sebenarnya bermula pada 2000 BC tetapi mengikut rekod

matematik ianya daripada 800 BC sehingga AD 200. Pada abad ketiga, simbol

Brahmi iaitu 1, 2, 3, ..., 9 adalah signifikan sebab bagi setiap nombor, ada simbol

tersendiri.Tiada nombor sifar atau tanda kedudukan pada masa itu, tetapi

menjelang AD 600 orang-orang Hindu menggunakan simbol-simbol Brahmi

bersama tanda kedudukan (positional notation). Mereka mempunyai

pengetahuan yang baik dalam algebra. Mereka mengetahui bahawa persamaan

kuadratik mempunyai dua penyelesaian / jawaban dan mereka juga pandai

menganggar nilai π.

Salah seorang berbangsa Arab, Omar Khayyam banyak menggunakan nombor

bukan nisbah dan ini bertentangan dengan pendapat orang-orang Greek

berkenaan nombor. Perkataan Algebra diilhamkan oleh orang-orang Arab di

dalam buku yang ditulis oleh seorang angkasawan yang bernama Mohammed

ibn Musa al Khwarizmi. Buku itu berjudul “Al-jabr w’al muqabala”. Al Khwarizmi

berjaya menyelesaikan persamaan kuadratik dan beliau mengetahui bahawa

terdapat dua nilai / jawaban kepada persamaan tersebut. Dalam pada itu, beliau

juga menerangkan jawaban dalam bentuk geometri.


• Transition Period (1200 – 1599)

Matematik pada Zaman Pertengahan adalah dalam keadaan 'transitional’ di

antara tamadun awal dengan zaman Renaissance. Pada awal 1400an ‘the

Black Death’ membunuh lebih daripada 70% daripada penduduk Eropah.

Jangkamasa antara 1400 and 1600 dikenali sebagai Renaissance, telah

menukar pemikiran penduduk Eropah kepada pemikiran berteraskan

Matematik. Edisi bercetak yang pertama berkenaan “Euclid’s Elements”

dalam bahasa Latin diterbitkan pada tahun 1482. Perkembangan terhebat

pada masa itu adalah penemuan teori astronomi oleh Nicolaus Copernicus

dan Johannes Kepler. Walaubagaimanapun, tiada penemuan baru yang

signifikan berlaku pada masa ini.

• Century of Enlightenment (1600 – 1699)

Perkembangan bijak pandai, dalam teknologi dan pengetahuan berlaku pada

masa ini. Antara sumbangan yang hebat adalah seperti

Segitiga Pascal (Blaise Pascal),

Logik (Gottfried Leibniz),

Penaakulan Deduktif ( Galileo Galilei),

Alat Mengira (Johan Napier),

Simbol “ ÷” (John Wallis),

Penggunaan titik perpuluhan (Kepler and Napier),

Nombor Perdana (Fermat),

Huruf-huruf untuk Angkubah / Anu (Rene Descartes),


Teori Kebarangkalian permulaan (Blaise Pascal) dan

Bahagian / Rentasan Konik (Rene Descartes).

• Early Modern Period (1700 – 1899)

Tempoh ini menandakan permulaan kepada matematik moden. Terdapat

experimentasi dan formulasi idea berlaku pada masa ini. Sejarah menunjukkan

bahawa matematik yang kita pelajari semasa di sekolah menengah adalah

dihasilkan pada masa ini. Di antara topik-topik yang terlibat adalah :

• Boolean algebra (George Boole),

• Formal Logic (Bertrand Russel),

• Principia Mathematica (Alfred North Whitehead),

• logical proof (Charles Dodgson),

• probability, calculus and complex numbers (Abraham de Moivre),

• number theory (Leonhard Euler),

• connection between probability and π (Compte de Buffon),

• calculus and number theory ( Lagrange),

• non-Euclidean Geometry ( Johann Lambert ) dan sistem Metrik

direkacipta.

• Modern Period (1900 – sekarang )

Tempoh masa ini merangkumi semua penemuan pada abad yang lalu. Diantara

penemuan matematik adalah

• Twenty-Three famous problems (Hilbert),


• Analytic Number Theory (Hardy and Ramanujan),

• General theory of relativity (Einstein),

• Algebra (Emmy Noether),

• Godel’s Theorem, komputer elektronik yang pertama

• Game Theory (John von Neumann),

• Continuum Hypothesis (Cohen),

• Development of BASIC ( John Kemeny, Thomas Kurtz), personal

computer Apple II, dan sebagainya.


TAJUK 1.4 SEJARAH PERKEMBANGAN KURIKULUM MATEMATIK

TAMBAHAN DI MALAYSIA

1.4.1 Sinopsis

Kursus ini bertujuan untuk memperkenalkan anda tentang perubahan kurikulum

matematik di sekolah. Ianya akan meninjau sejarah dan perubahan kurikulum di

Malaysia sekitar tahun 1950 sehingga tahun 2013.

1.4.2 Hasil Pembelajaran

1. Mengenalpasti pelbagai isu yang mempengaruhi perubahan kurikulum.

2. Memperihalkan tempoh perkembangan utama kurikulum Matematik di Malaysia

3. Memperakui bahawa kurikulum Matematik sentiasa berubah dan boleh

mengenalpasti isu-isu semasa yang akan mempengaruhi perkembangan

kurikulum masa depan.

1.4.3 Kerangka Konsep

Perkembangan Kurikulum Matematik

Perkembangan Kurikulum Matematik

di Malaysia

Pengaruh Perubahan Kurikulum Matematik (Negara Luar) terhadap Kurikulum Matematik

di Malaysia

Dasar dan Program Kemajuan Matematik


1.4.4 Perkembangan Kurikulum Matematik di Malaysia

Cuba anda renungkan soalan berikut :

Pendidikan matematik awalan di Malaysia mementingkan kemahiran mengira mudah di

sekolah rendah. Pendekatan yang serupa juga diguna pakai di sekolah menengah.

Aritmetik, geometri dan algebra diajar secara terpisah-pisah tanpa sebarang usaha ke

arah kesepaduan. Perbincangan berikut memperihalkan beberapa jawatankuasa utama

yang telah menentukan hala tuju kurikulum matematik di Malaysia.

◙◙ Laporan Razak (1956)

Kurikulum pendidikan matematik yang rasmi hanya diguna pakai bermula 1956 selepas

cadangan Penyata Razak supaya semua sekolah kerajaan berbuat sedemikian. Walau

bagaimanapun, terdapat hanya sedikit perubahan tajuk pada kurikulum yang rasmi itu.

Perubahan besar hanya berlaku selepas pelaksanaan Projek Khas pada 1970.

◙◙ Laporan Projek Khas (1970)

Projek Khas Kementerian Pelajaran Malaysia bermula pada 1968 diterajui oleh En.Abu

Hassan Ali. Objektif projek ini ialah untuk memperbaiki mutu pendidikan matematik dan

sains supaya selaras dengan perkembangan matematik moden di negara-negara maju.

Yayasan Asia membiayai projek ini. Beberapa ahli American Peace Corps dilantik

sebagai penasihat projek. Bahan-bahan pengajaran-pembelajaran direka cipta oleh

pensyarah dan guru yang telah dilatih di luar negara.

◙◙ Program Matematik Moden (1970)

Program Matematik Moden diperkenalkan ke sekolah rendah dan menengah pada awal

tahun 70an. Tujuan utama program ini ialah memperkenalkan tajuk-tajuk moden di

ketika itu seperti teori set, statistik dan vektor yang dipermudahkan. Selain itu,

pendekatan tradisi digantikan dengan kaedah semasa.

Apakah faktor yang mempengaruhi reformasi kurikulum matematik di

Malaysia pada tempoh lima dekad kebelakangan ini?


Sukatan Matematik Moden dirancang oleh Panitia Kurikulum Matematik yang

ditubuhkan pada 1969. Sukatan berkenaan dirancang berdasarkan kajian terhadap

kurikulum British School Mathematics Project (SMP) dan Scottish Mathematics Group

(SMG).

Satu pertiga daripada Sukatan Matematik Moden mengandungi topik-topik baru seperti

sistem pernomboran, pemetaan, transformasi geometri, matriks dan statistik. Strategi

pengajaran-pembelajaran berpusatkan murid dan bahan manipulasi terus digalakkan.

Kurikulum ini bertujuan untuk menyediakan peluang yang sama bagi semua murid untuk

memperoleh pengetahuan, kemahiran, sikap, peraturan serta amalan sosial masyarakat

yang baik.

◙◙ Sukatan Matematik (Sekolah Menengah)

Matematik ialah mata pelajaran elektif di peringkat sekolah menengah. Mata pelajaran

ini diajar adalah bertujuan untuk meningkatkan keterampilan matematik pelajar supaya

mereka mempunyai persediaan yang mencukupi untuk melanjutkan pelajaran di

pelbagai kerjaya dalam bidang sains dan teknologi (Abdul Shukor, 2000).

Pengubahsuaian dan perubahan yang berlaku dalam perkembangan kurikulum

pendidikan matematik bukan hanya bertujuan untuk menambahbaik dan menyelesaikan

kelemahan yang terdapat dalam kurikulum terdahulu malahan merupakan tuntutan

untuk merealisasikan objektif dan aspirasi seperti yang digariskan dalam Falsafah

Pendidikan Kebangsaan dan Wawasan 2020.

Sukatan Pelajaran Matematik telah digubal dengan mengambil kira kandungan mata

pelajaran matematik. Beberapa cabang matematik yang lain juga diperkenalkan dalam

kurikulum ini selaras dengan perkembangan baharu dalam pendidikan matematik

(Sukatan Pelajaran Matematik, 2000). Dalam proses pengajaran dan pembelajaran

Matematik, penegasan diberikan kepada heuristik penyelesaian masalah. Dengan ini,

pelajar-pelajar dapat menggunakan matematik apabila menghadapi situasi yang baharu.

Selain itu, pembelajaran Matematik menekankan pemahaman konsep dan penguasaan

kemahiran yang berkaitan. Kemahiran berkomunikasi secara matematik juga


dititikberatkan semasa pembelajaran Matematik. Penekanan kepada komunikasi dalam

matematik dapat mengembangkan keterampilan murid mentaksir sesuatu perkara ke

dalam model matematik dan sebaliknya.

Penggunaan teknologi sangat digalakkan dalam proses pengajaran dan pembelajaran

Matematik, seperti penggunaan kalkulator. Penggunaan perisian teknologi yang sesuai

juga dapat membantu pelajar-pelajar memvisualisasikan konsep matematik dengan

lebih berkesan. Selain itu, penggunaan perisian juga dapat membantu murid

memodelkan masalah yang mereka terokai dengan lebih berkesan, seperti penggunaan

perisian Geometer Sketchpad dan perisian Geogebra.

Pada bulan Januari 2003, Program Pengajaran dan Pembelajaran Sains dan Matematik

dalam Bahasa Inggeris (PPSMI) telah mula dilaksanakan untuk pelajar Tingakatan 1, 4

dan enam rendah. Dengan penguasaan Bahasa Inggeris yang baik, perubahan ini

bertujuan supaya pelajar dapat mengakses maklumat untuk tujuan pembelajaran

dengan mudah, seiring dengan perkembangan teknologi maklumat.

Penilaian adalah sebahagian daripada pengajaran dan pembelajaran yang dijalankan

secara berterusan dalam usaha mengenal pasti kekuatan dan kelemahan pelajar.

Disamping itu, penilaian berterusan dapat memberi maklumat kepada pelajar tentang

kemajuan mereka. Penilaian dalam Matematik perlu merangkumi aspek seperti

kefahaman konsep, penguasaan kemahiran dan soalan bukan rutin yang memerlukan

penggunaan heuristik penyelesaian masalah.

Kerja Projek adalah digalakkan dalam pembelajaran Matematik untuk memberi peluang

kepada pelajar menggunakan pengetahuan dan kemahiran yang telah dipelajari dalam

situasi sebenar atau mencabar. Kerja projek merangkumi penerokaan sesuatu masalah

matematik yang dijalankan oleh pelajar dan ianya dapat memberi manfaat kepada

pelajar seperti merangsang minda pelajar, menjadikan pembelajaran Matematik lebih

bermakna , membolehkan pelajar mengaplikasikan konsep dan kemahiran matematik

yang telah dipelajari dan meningkatkan kemahiran berkomunikasi (Sukatan Pelajaran

Matematik, 2000).


Selain daripada perkembangan kurikulum Matematik seperti yang telah dibincangkan,

ada beberapa projek lain yang telah dijalankan untuk meningkatkan kualiti pengajaran

matematik di sekolah. Di antaranya ialah Projek Imbuhan (Compensatory Project),

Projek InSPIRE (the Integrated System of Programmed Instruction for Rural

Environment) dan projek Sekolah Bestari.

◙◙ Projek Sekolah Bestari di Malaysia

Salah satu daripada tujuh flagship dalam Projek Koridor Raya Multimedia (Multimedia

Super Corridor) ialah penubuhan Sekolah Bestari di Malaysia. Pada bulan Julai 1997,

Tun Dr Mahathir Mohamad, Perdana Menteri ketika itu telah melancarkan dokumen

flagship Sekolah Bestari di Malaysia disamping dokumen berkaitan flagship- flagship

lain. Syarikat Swasta dari dalam atau luar negara dijemput untuk mengemukakan kertas

cadangan bagi menjayakan flagship- flagship ini

Sekolah Bestari Malaysia merupakan satu institusi pendidikan yang telah direkabentuk

semula secara menyeluruh dari segi pengajaran –pembelajaran dan pengurusan

sekolah dengan matlamat membantu pelajar menghadapi cabaran Zaman Maklumat.

Tumpuan utama dalam projek Sekolah Bestari ini ialah pelaksanaan proses pengajaran

–pembelajarannya. Ini ada kaitannya dengan kurikulum, pedagogi, pentaksiran, dan

juga bahan-bahan P&P. Kesemua elemen ini dititikberatkan supaya pelajar dapat

belajar dengan lebih berkesan dan cekap. Kaedah pembelajaran Sekolah Bestari

menggalakkan pelajar mengamalkan pembelajaran akses kendiri , terarah kendiri dan

mengikut kadar pembelajaran sendiri. Selain itu, Sekolah Bestari juga memberi

tumpuan kepada aplikasi dalam proses pengajaran dan pembelajaran matematik.

Pakej courseware yang lengkap mengikut sukatan matematik bagi Sekolah Bestari di

peringkat rendah dan menengah telah disiapkan dan sedia digunakan. Projek rintis

Sekolah Bestari di Malaysia bermula dalam tahun 1998. Dua buah sekolah rendah dan

dua buah sekolah menengah telah dipilih dalam projek ini manakala pelaksanaannya

hanya bagi empat subjek utama iaitu Bahasa Melayu, Bahasa Inggeris, Matematik dan

Sains. Projek rintis ini berakhir pada bulan Disember 2002. Bahagian Teknologi

Pendidikan, Kementerian Pelajaran Malaysia dipertanggungjawabkan untuk memantau

penggunaan courseware ini di semua Sekolah Bestari.


Selain daripada pengaruh- pengaruh seperti yang telah disebut di atas, National Council

of Teachers of Mathematics(NCTM-1989) juga mempengaruhi pembentukan kurikulum

matematik di Malaysia sejak tahun 1990 melalui dokumen Curriculum and Evaluation

Standards for School Mathematics yang telah dikeluarkan oleh NCTM.

◙◙ National Council of Teachers of Mathematic (NCTM)

NCTM telah bermula pada tahun 1920 dengan tujuan menambah baik proses

pengajaran dan pembelajaran matematik. NCTM memainkan peranan yang penting

untuk memastikan setiap pelajar mendapat pendidikan matematik yang sempurna dan

menyediakan peluang perkembangan profesional yang berterusan untuk setiap guru

matematik.

Misi National Council of Teachers of Mathematics ialah menunjukkan visi dan memberi

kepimpinan yang perlu supaya pelajar mendapat pendidikan matematik yang berkualiti

tinggi (sekolah rendah, sekolah menengah, kolej dan universiti). NCTM ialah satu

pertubuhan non- profit peringkat dunia yang terbesar dengan ahli seramai lebih daripada

100,000 orang dan mempunyai lebih daripada 250 associates di Amerika Syarikat dan

Kanada.

Pada bulan April 2000, NCTM telah megeluarkan dokumen berjudul Principles and

Standards for School Mathematics, iaitu satu garispanduan untuk kecemerlangan dalam

pendidikan matematik pre-K – 12 yang boleh dicapai sekiranya semua pelajar dapat

melibatkan diri dalam aktiviti matematik yang mencabar. Dokumen Principles and

Standards menyediakan visi untuk semua guru dan pelajar iaitu untuk meningkatkan

mutu pendidikan matematik akan datang.

Ada empat komponen utama dalam dokumen Pinciples and Standards for School

Mathematics ini. Pertama, prinsipal- prinsipal tersebut adalah perspektif asas yang perlu

dirujuk oleh pendidik dalam membuat keputusan yang melibatkan pendidikan matematik

di sekolah. Prinsipal- prinsipal ini merangkumi isu- isu seperti keadilan, kurikulum, P&P,

pentaksiran dan teknologi.

Kedua, standard NCTM ini mengetengahkan satu set matlamat yang komprehensif

untuk dicapai dalam pengajaran matematik. Lima standard pertama berkait dengan isi


kandungan matematik seperti nombor dan operasi, algebra, geometri, ukuran, analisis

data dan kebarangkalian. Lima standard kedua pula melibatkan proses penyelesaian

masalah, penaakulan dan bukti, perkaitan, komunikasi dan perwakilan. Standard-

standard ini adalah kemahiran asas dan pengetahuan yang perlu dikuasai oleh pelajar

untuk berjaya dalam abad ke 21 ini.

Ketiga, NCTM membina dan mengedar pelbagai bahan sumber untuk membantu

pengajaran guru. Satu siri buku yang mengandungi 30 Navigations volumes dicetak

supaya guru- guru dapat mempraktikkan kandungan dokumen Principles and

Standards for School Mathematics di dalam kelas mereka. Kandungan dokumen

Principles and Standards juga dapat dipraktikkan mengikut panduan yang disediakan

secara online di laman web NCTM melalui E-Standards and Illuminations. The

Illuminations dibangunkan untuk menerangkan dengan lebih lanjut mengenai standards

NCTM dan menyediakan rancangan mengajar untuk guru dan aktiviti pembelajaran

untuk pelajar. Ia juga menyediakan standard-based kandungan internet content untuk

guru- guru K – 12.

Keempat, NCTM menyediakan ruang dan peluang untuk peningkatan profesionalisme

guru melalui persidangan/seminar kepimpinan, tahunan atau regional. Persatuan ini

juga bertindak sebagai penyelaras kepada beberapa persidangan regional dan

mesyuarat tahunan. Selain itu, Akademi Untuk Perkembangan Profesional telah

ditubuhkan pada tahun 2000 dan menyediakan pakej latihan selama dua atau lima hari

untuk guru matematik.

Reflections ialah satu elemen penting dalam NCTM untuk perkembangan

profesionalisme guru matematik. Dalam laman web Reflections ini dimasukkan video

secara online supaya guru boleh membuat analisis dan perbincangan untuk

menambahbaik kemahiran pengajaran mereka. Selain dari itu guru juga boleh

mengambil bahagian dalam kritik untuk lesson-study, video kerja pelajar dalam kelas,

tugasan dan seterusnya membuat analisa profesional mengenai perbincangan guru.

Kurikulum Bersepadu Sekolah Menengah (KBSM)


Berasaskan Falsafah Pendidikan Negara, perakuan-perakuan Jawatan kuasa Kabinet

dan keperluan masa depan negara , Kementerian Pendidikan telah menggubal semula

kurikulum peringkat menengah, iaitu Kurikulum Bersepadu Sekolah Menengah (KBSM).

KBSM mula dilaksanakan sepenuhnya pada tahun 1989 di Tingkatan Satu, seterusnya

KBSM dilaksanakan secara berperingkat-peringkat hingga ke Tingkatan Lima.

Matlamat KBSM

Matlamat pendidikan menengah adalah untuk memperkembangkan potensi individu

secara menyelutuh, seimbang dan bersepadu meliputi aspek-aspek intelek, rohani,

emosi dan jasmani bagi melahirkan insan yang seimbang, harmonis dan berakhlak

mulia.

Objektif KBSM

Bagi mencapai matlamat tersebut, pendidikan di peringkat menengah bertujuan untuk

membolehkan pelajar:

i) mempertingkatkan kecekapan berbahasa untuk berkomunikasi dengan

berkesan;

ii) mempertingkatkan dan meluaskan penguasaan dan penggunaan Bahasa

Melayu sebagai bahasa rasmi, bahasa kebangsaan dan bahasa ilmu ke

arah mencapai perpaduan negara;

iii) mengembangkan dan meningkatkan lagi daya intelek serta pemikiran

yang rasional, kritis dan kreatif;

iv) memperoleh ilmu pengetahuan dan menguasai kemahiran serta

mengamalkannya dalam kehidupan seharian;

v) berkeupayaan untuk memperkembangkan dan mengubahsuai

kemahiran-kemahiran selaras dengan perkembangan baharu dalam

bidang ilmu pengetahuan dan teknologi;

vi) memiliki ketrampilan untuk kegunaan dan manfaat diri serta masyarakat;

vii) memiliki keyakinan yang kukuh dan daya tahan untuk menghadapi

cabaran-cabaran hidup;

viii) memahami, menginsafi dan menghayati sejarah serta latar belakang

sosiobudaya negara;


ix) menyedari tentang kepentingan kesihatan diri dan sentiasa berusaha

untuk memeliharaya;

x) peka, prihatin dan menghargai alam serta nilai-nilai estetika;

xi) memiliki dan menghayati nilai-nilai murni;

xii) menggemari dan mencintai ilmu pengetahuan dan sentiasa berusaha

untuk menembahkan dan mengembangkannya; dan

xiii) memiliki kesedaran, tanggungjawab yang tinggi dan kesediaan berbakti

kepada agama, bangsa dan negara.

Prinsip-prinsip KBSM

Penekanan-penekanan dalam KBSM

Pada umumnya, KBSM menekankan kepada beberapa perkara seperti berikut:

i) Kurikulum iaitu

Ilmu dan kemahiran

nilai-nilai murni

bahasa

ii) Kokurikulum dan

PRINSIP KBSMPRINSIP KBSM

Kesinambungan pendidikan rendah dengan pendidikan menengah

Pendidikan umum untuk semua pelajar

Penggunaan disiplin ilmu yang ada

Kesepaduan antara unsur-unsur intelek, rohani, emosi dan jasmani

Penekanan nilai-nilai murni

Peningkatan penggunaan Bahasa Melayu

Pendidikan seumur hidup


iii) Budaya sekolah

Pelaksanaan dan Pengurusan KBSM

KBSM dilaksanakan secara berperingkat-peringkat mulai tahun 1988 dengan empat

program bahasa. Pelaksanaan penuh KBSM di Tingkatan 1 dan Kelas Peralihan

dilaksanakan pada tahun 1989. Pada tahun 1993, pe;laksanaan KBSM meliputi semua

tingkatan iaitu dari Tingkatan 1 dan Kelas Peralihan hingga ke Tingkatan V.

Bincang perkara-perkara utama dalam pembentukan budaya sekolah


TAJUK 1.5 MATEMATIK KBSM

1.5.1 Sinopsis

Kursus ini bertujuan untuk memperkenalkan kurikulum matematik di sekolah menengah

iaitu Kurikulum Bersepadu Sekolah Menengah (KBSM).

1.5.2 Hasil Pembelajaran

4. Mengenalpasti matlamat, objektif serta penekanan pengajaran pembelajaran

Matematik KBSM.

5. Membanding dan beza antara kurikulum matematik

1.5.3 Kerangka Konsep

KBSM (1989)

Kurikulum Matematik


Fikrah menurut Kamus Dewan Edisi Keempat (2005) membawa pengertian yang

sama dengan daya berfikir dan pemikiran. Dalam konteks pendidikan Matematik, fikrah

Matematik merujuk kepada kualiti murid yang dihasratkan untuk dilahirkan melalui

sistem pendidikan matematik kebangsaan. Murid yang berfikrah matematik ini

merupakan murid yang berkeupayaan melakukan matematik dan memahami idea

matematik, serta mengaplikasikan secara bertanggungjawab pengetahuan dan

kemahiran Matematik dalam kehidupan harian berlandaskan sikap dan nilai matematik.

BIDANG PEMBELAJARAN

Kandungan matematik dirangkumkan mengikut lima bidang pembelajaran iaitu:

• komponen geometri

• komponen algebra

• komponen kalkulus

• komponen trigonometri

• komponan statistik

KEMAHIRAN

Kemahiran dalam Matematik yang harus dikembangkan dan dipupuk dalam kalangan

pelajar meliputi kemahiran :

1. Kemahiran Matematik

Kemahiran Matematik merujuk kepada keupayaan seperti berikut:

• Menggunakan laras bahasa Matematik yang betul dan

mengaplikasikan penaakulan mantik.

• Menyatakan idea Matematik secara jitu.


• Membuat, menguji dan membuktikan konjektur.

• Mengekstrak makna dari suatu penulisan Matematik.

• Menggunakan Matematik untuk memperihalkan dunia fizikal.

2. Kemahiran Menganalisis

Kemahiran menganalisis merujuk kepada keupayaan seperti berikut:

• Berfikir secara jelas.

• Memberi perhatian dan penelitian kepada setiap aspek.

• Memanipulasi idea yang tepat, jitu dan terperinci.

• Memahami penaakulan yang kompleks.

• Mengkonstruk dan mempertahan hujah yang logik.

• Mendebatkan hujahan yang tidak munasabah.

3. Kemahiran Menyelesaikan Masalah

Kemahiran menyelesaikan masalah merujuk kepada keupayaan seperti berikut:

• Membentuk permasalahan secara tepat dan mengenal pasti isu utama

permasalahan.

• Menyampaikan suatu penyelesaian secara jelas dan mengeksplisitkan andaian

yang dibuat. Menyelesaikan masalah sukar dengan cara menganalisa masalah

yang lebih kecil dan khusus.

• Bersifat terbuka dan menggunakan pendekatan yang berbeza untuk

menyelesaikan masalah yang sama.

• Menyelesaikan masalah dengan yakin walaupun penyelesaian tidak ketara.

• Meminta bantuan sekiranya memerlukan.

4. Kemahiran Membuat Penyelidikan

Kemahiran membuat penyelidikan merujuk kepada keupayaan seperti berikut:

• Merujuk nota, buku teks dan bahan sumber yang lain.

• Mengakses buku di perpustakaan.

• Menggunakan pengkalan data.

• Mendapatkan maklumat dari pelbagai individu.

• Berfikir.

5. Kemahiran Berkomunikasi

Kemahiran berkomunikasi merujuk kepada keupayaan seperti berikut:


• Mendengar secara berkesan.

• Menulis idea matematik secara tepat dan jelas.

• Menulis esei dan pelaporan.

• Membuat pembentangan.

6. Kemahiran Menggunakan Teknologi

Kemahiran menggunakan teknologi merujuk kepada keupayaan mengguna dan

mengendali alat matematik seperti kalkulator, komputer, perisian pendidikan,

laman web di Internet dan pakej pembelajaran untuk:

• Membentuk dan memahami konsep matematik dengan lebih mendalam.

• Membuat, menguji dan membuktikan konjektur.

• Meneroka idea matematik.

• Menyelesaikan masalah.

PENEKANAN DALAM PENGAJARAN DAN PEMBELAJARAN

Berkomunikasi

Komunikasi tentang idea matematik dapat membantu murid menjelaskan dan

memperkukuhkan pemahaman Matematik. Perkongsian pemahaman matematik secara

penulisan dan lisan dengan rakan sekelas, guru dan ibu bapa, pelajar akan dapat

meningkatkan keyakinan diri dan memudahkan guru memantau perkembangan

kemahiran matematik mereka.

Komunikasi memainkan peranan yang penting dalam memastikan pembelajaran

matematik yang bermakna. Melalui komunikasi, idea matematik dapat diluahkan dan

difahami dengan lebih baik. Komunikasi secara matematik, sama ada secara lisan,

penulisan atau menggunakan simbol dan perwakilan visual (dengan menggunakan

carta, graf, gambar rajah dan lain-lain), dapat membantu murid memahami dan

mengaplikasikan matematik dengan lebih efektif.

Berkomunikasi sesama sendiri atau dengan rakan sebaya, ibu bapa, orang

dewasa dan guru dapat membantu pelajar menggambarkan, menjelaskan dan

memperkukuhkan idea dan pemahaman matematik mereka. Bagi memastikan

berlakunya proses penjanaan, perkongsian dan peningkatan pemahaman, pelajar perlu

diberi peluang untuk membahaskan idea matematik mereka secara analitis dan


sistematik. Komunikasi yang melibatkan pelbagai perspektif dan sudut pendapat dapat

membantu murid meningkatkan pemahaman matematik dengan lebih baik.

Aspek yang penting dalam komunikasi berkesan dalam Matematik adalah

keupayaan untuk memberikan penerangan dengan efektif, dan memahami dan

mengaplikasi notasi matematik dengan betul. Pelajar perlu menggunakan laras bahasa

dan simbol matematik dengan betul bagi memastikan sesuatu idea matematik dapat

dijelaskan dengan tepat. Komunikasi secara Matematik juga melibatkan penggunaan

pelbagai media seperti carta, graf, manipulatif, kalkulator, komputer dan lain-lain. Pelajar

seharusnya dapat menggunakan media yang berbeza tersebut bagi menjelaskan idea

matematik dan menyelesaikan sesuatu masalah matematik.

Komunikasi berkesan memerlukan persekitaran yang sentiasa peka terhadap

keperluan pelajar untuk berasa selesa semasa bercakap, bertanya soalan, menjawab

soalan dan menghuraikan pernyataan kepada rakan sekelas dan juga guru. Pelajar

perlu diberi peluang untuk berkomunikasi secara aktif dalam pelbagai suasana,

contohnya berkomunikasi semasa melakukan aktiviti secara berpasangan, berkumpulan

atau memberi penerangan kepada seluruh kelas.

Penilaian terhadap keupayaan pelajar untuk berkomunikasi secara matematik

dengan berkesan perlu menunjukkan bukti bahawa pelajar dapat menjana, menjelaskan

dan berkongsi idea matematik melalui pelbagai bentuk komunikasi dalam pelbagai

persekitaran. Pelajar yang sentiasa diberi peluang dan galakan untuk bercakap,

membaca, menulis dan mendengar semasa pengajaran dan pembelajaran matematik,

akan dapat berkomunikasi untuk mempelajari matematik dan belajar untuk

berkomunikasi secara matematik.

Menaakul

Penaakulan merupakan asas penting untuk memahami matematik dengan lebih

berkesan dan menjadikan pengertian tentang matematik lebih bermakna.

Perkembangan penaakulan Matematik berkait rapat dengan perkembangan intelek dan

komunikasi pelajar. Penaakulan berupaya mengembangkan bukan sahaja kapasiti

pemikiran logikal malah turut meningkatkan kapasiti pemikiran kritis yang juga

merupakan asas kepada pemahaman matematik secara mendalam dan bermakna. Bagi

mencapai objektif ini, murid harus dilatih dan dibimbing untuk membuat konjektur,

membuktikan konjektur, memberi penerangan logikal, menganalisa, membuat

pertimbangan, menilai dan memberi justifikasi terhadap semua aktiviti matematik. Selain


itu, guru perlu menyediakan ruang dan peluang untuk perbincangan matematik yang

bukan sahaja engaging tetapi membolehkan setiap pelajar terlibat dengan baik.

Penaakulan boleh dilakukan secara induktif melalui aktiviti matematik yang

melibatkan pengenalpastian pola dan membuat kesimpulan berdasarkan pola tersebut.

Elemen penaakulan dalam pengajaran dan pembelajaran mengelakkan pelajar dari

menganggap matematik sebagai hanya satu set prosedur atau algoritma yang perlu

diikuti bagi mendapatkan penyelesaian, tanpa memahami konsep matematik yang

sebenarnya. Penaakulan bukan saja mengubah paradigma pelajar dari sekadar belajar

kepada berfikir, malah memberi pengupayaan intelektual apabila murid dibimbing dan

dilatih untuk membuat konjektur, membuktikan konjektur, memberikan penerangan

logikal, menganalisa, menilai dan memberi justifikasi terhadap semua aktiviti matematik.

Latihan sedemikian membentuk murid yang yakin dengan diri sendiri dan tabah selaras

dengan hasrat untuk membentuk pemikir matematik yang berkeupayaan tinggi.

Membuat Kaitan

Dalam melaksanakan kurikulum matematik, peluang untuk membuat kaitan perlu

diwujudkan supaya pelajar dapat mengaitkan pengetahuan konseptual dan prosedural

serta dapat mengaitkan topik-topik dalam matematik khususnya dan Matematik dengan

bidang lain secara amnya. Ini akan meningkatkan kefahaman pelajar dalam Matematik

dan menjadikan Matematik lebih jelas, bermakna dan menarik bagi mereka. Kurikulum

Matematik umumnya terdiri daripada beberapa bidang diskrit seperti penghitungan,

geometri, algebra, pengukuran dan penyelesaian masalah. Tanpa membuat kaitan

antara bidang-bidang ini, pelajar akan belajar dan mengingati terlalu banyak konsep dan

kemahiran secara berasingan. Sebaliknya, dengan mengenali bagaimana konsep atau

kemahiran dalam bidang yang berbeza berhubung kait antara satu sama lain, matematik

akan dilihat dan dipelajari sebagai satu disiplin ilmu yang menyeluruh serta lebih mudah

difahami. Apabila idea matematik ini dikaitkan pula dengan pengalaman seharian di

dalam dan di luar sekolah, murid akan lebih menyedari kegunaan, kepentingan,

kekuatan dan keindahan matematik. Selain itu murid berpeluang menggunakan

Matematik secara kontekstual dalam bidang ilmu yang lain dan dalam kehidupan

seharian mereka. Model matematik digunakan untuk menerangkan situasi kehidupan

sebenar secara matematik. Pelajar akan mendapati kaedah ini boleh digunakan untuk

mencari penyelesaian sesuatu masalah atau untuk meramal kemungkinan sesuatu

situasi berdasarkan model matematik tersebut.


Menyelesaikan Masalah

Penyelesaian masalah merupakan fokus utama dalam pengajaran dan pembelajaran

matematik. Justeru, pengajaran dan pembelajaran perlu melibatkan kemahiran

penyelesaian masalah secara komprehensif dan merentasi keseluruhan kurikulum.

Perkembangan kemahiran penyelesaian masalah perlu diberi penekanan sewajarnya

supaya murid dapat menyelesaikan pelbagai masalah secara berkesan. Kemahiran ini

melibatkan langkah-langkah seperti berikut:

• Memahami dan mentafsirkan masalah.

• Merancang strategi penyelesaian.

• Melaksanakan strategi.

• Menyemak semula penyelesaian.

Kepelbagaian penggunaan strategi umum dalam penyelesaian masalah, termasuk

langkah-langkah penyelesaiannya harus diperluaskan lagi penggunaannya dalam mata

pelajaran ini. Dalam menjalankan aktiviti pembelajaran untuk membina kemahiran

penyelesaian masalah ini, perkenalkan masalah yang berasaskan aktiviti manusia.

Melalui aktiviti ini pelajar dapat menggunakan pengetahuan dalam matematik apabila

berdepan dengan situasi yang baharu dan dapat memperkukuhkan diri apabila

berdepan dengan pelbagai situasi harian yang lebih mencabar. Antara strategi-strategi

penyelesaian masalah yang boleh dipertimbangkan:

1. Mencuba kes lebih mudah

2. Cuba jaya

3. Melukis gambar rajah

4. Mengenal pasti pola

5. Membuat jadual/carta atau senarai secara bersistem

6. Membuat simulasi

7. Mengguna analogi

8. Bekerja ke belakang

9. Menaakul secara mantik

10. Mengguna algebra


Membuat Perwakilan

Matematik sering digunakan untuk mewakili dunia di mana kita hidup. Oleh yang

sedemikian, mesti wujud keserupaan antara aspek-aspek dunia yang diwakili dan

aspek-aspek dunia yang mewakili. Hubungan abstrak antara dua dunia ini boleh

digambarkan seperti berikut:

Perwakilan boleh dianggap sebagai fasilitator yang membolehkan perkaitan

antara dunia sebenar dan dunia matematik. Formula, jadual, graf, persamaan dan

sebagainya, semua merupakan objek matematik yang digunakan untuk mewakili

pelbagai gagasan dan

hubungan dunia sebenar.

Perwakilan boleh didefinisikan sebagai ‘Sebarang tatarajah huruf, imej atau

objek konkrit yang boleh melambangkan atau mewakilkan sesuatu yang lain’. Sistem

perwakilan secara semula jadi terbahagi kepada dalaman dan luaran. Sistem perwakilan

dalaman adalah yang wujud di dalam fikiran seseorang individu manakala sistem

perwakilan luaran adalah yang mudah dikongsi dengan dan dilihat oleh orang lain.

Perwakilan dalaman terdiri daripada gagasan yang membantu dalam menggambarkan

proses manusia mempelajari dan menyelesaikan masalah dalam matematik, dan

perwakilan luaran terdiri daripada perkara seperti rajah, bahasa rasmi, dan notasi

lambang. Guna pelbagai perwakilan untuk menunjukkan satu konsep yang sama

membantu bukan sahaja mengembangkan pemahaman konsep yang lebih baik tetapi

juga mengukuhkan kebolehan seseorang menyelesaikan masalah.

Perwakilan adalah perlu bagi pemahaman konsep dan hubungan matematik

pelajar. Perwakilan membenarkan pelajar mengkomunikasikan pendekatan, perdebatan

dan pemahaman matematik kepada diri mereka sendiri dan kepada orang lain.


Perwakilan membenarkan pelajar untuk mengenal hubungan antara konsep yang

berkaitan dan mengaplikasikan matematik kepada masalah yang realistik.

Perwakilan adalah satu komponen yang penting dalam perkembangan

pemahaman secara matematik dan pemikiran kuantitatif. Tanpa perwakilan, matematik

secara keseluruhannya adalah abstrak, sebahagian besarnya adalah falsafah, dan

barangkali tidak dapat didekati oleh sebahagian besar daripada populasi. Dengan

perwakilan, gagasan matematik boleh dibentuk model, hubungan penting boleh

dihuraikan, dan pemahaman dirangsang melalui satu pembinaan dan urutan teliti bagi

pengalaman dan pemerhatian yang sesuai.

SIKAP DAN NILAI

Penyerapan nilai dan sikap dalam kurikulum matematik bertujuan melahirkan insan yang

berketerampilan dan memiliki akhlak yang mulia. Selain itu, penghayatan sikap dan nilai

dapat membentuk generasi muda yang berhemah tinggi dan berkeperibadian luhur.

Pemahaman dan kesedaran tentang sikap dan nilai dalam masyarakat Malaysia harus

dipupuk secara langsung atau tidak secara langsung selaras dengan nilai-nilai sejagat.

Nilai dan sikap terbentuk melalui pengalaman pembelajaran yang disediakan

oleh guru. Pembentukan ini seharusnya melibatkan unsur kepercayaan, minat,

penghargaan, keyakinan, kecekapan dan ketabahan. Pembentukan nilai dan sikap juga

meliputi aspek peribadi, interaksi, prosedural dan intrinsik.

Dalam matematik, sikap dan nilai perlu diterapkan melalui konteks yang sesuai.

Sikap dalam matematik merujuk kepada aspek afektif dalam pembelajaran Matematik

yang merangkumi antara lain:

• Tanggapan positif terhadap matematik dan kebergunaan matematik.

• Minat dan keseronokan mempelajari matematik.

• Penghargaan terhadap keindahan dan keupayaan matematik.

• Keyakinan menggunakan dan mengaplikasikan matematik.

• Cekal dan tabah dalam menyelesaikan masalah berkaitan matematik.

Nilai peribadi merujuk kepada nilai yang berkait dengan pembentukan sahsiah dan

keperibadian individu seperti jujur, sistematik, bertekad, tekun dan cekal, kreatif,

berkeyakinan, teliti, pengurus masa yang baik, berdikari, boleh dipercayai, cekap,

bertanggungjawab, sabar dan berdedikasi.


Nilai interaksi berkait dengan pembentukan tingkah laku baik dalam konteks bilik

darjah. Nilai ini merujuk kepada nilai yang ditekankan dalam interaksi semasa aktiviti

Matematik seperti penghargaan terhadap matematik, kerja berpasukan, perbincangan

dan perkongsian idea, toleransi, adil, fikiran terbuka, dan hormat menghormati.

Nilai prosedural berkait dengan aktiviti spesifik dalam matematik seperti menaakul,

membuat perwakilan, menyelesai masalah, berkomunikasi, membuat kaitan, dan

mengguna teknologi.

Nilai intrinsik berkait dengan pembentukan kandungan Matematik dan disiplinnya

seperti nilai epistemologi, nilai pembudayaan dan nilai sejarah.

TEKNOLOGI MAKLUMAT DAN KOMUNIKASI (TMK)

Ledakan kemajuan pelbagai teknologi di dalam kehidupan masa kini dan akan datang

menjadikan elemen ini penting dalam pengajaran dan pembelajaran di dalam bilik

darjah. Pendedahan penggunaan TMK dalam pengajaran dan pembelajaran Matematik

boleh dijaya diaplikasi kepada:

• Belajar mengenai TMK. Murid diajar tentang pengetahuan dan kemahiran TMK

dalam mengendalikan perkakasan dan perisian.

• Belajar melalui TMK. Penggunaan TMK untuk mengakses maklumat dan ilmu

pengetahuan menggunakan media seperti CD-Rom, DVD-Rom, Internet dan lain lain

lagi.

• Belajar dengan TMK. Guru dan murid menggunakan TMK sebagai alat mengajar

dan belajar.

• Pengajaran dan pembelajaran TMK boleh dijadikan sebagai akses untuk menjadi

pembelajaran tersebut lebih menarik dan menyeronok. Murid boleh didedahkan

dengan pelbagai maklumat komunikasi yang terkini dan penggunaan secara afektif

akan menghasilkan pengajaran dan pembelajaran yang berkualiti.

PENILAIAN

Penilaian adalah sebahagian daripada proses pengajaran dan pembelajaran. Ia perlu

dirancang dengan baik dan dijalankan berterusan sebagai sebahagian aktiviti bilik

darjah. Dengan berfokuskan kepada aktiviti matematik yang pelbagai, kekuatan dan


kelemahan murid boleh dinilai. Kaedah penilaian yang berbeza boleh dijalankan dengan

menggunakan pelbagai teknik penilaian termasuk kerja lisan dan bertulis dan juga tunjuk

cara. Ia boleh dijalankan dalam bentuk temuduga, soalan terbuka, pemerhatian dan

kajian. Berdasarkan kepada keputusan, guru dapat memperbetulkan salah tanggapan

dan kelemahan murid dan dalam masa yang sama memperbaiki kemahiran mengajar

mereka. Guru boleh mengambil langkah yang berkesan dalam menjalankan aktiviti

pemulihan dan pengayaan untuk meningkatkan keupayaan murid.

PENDEKATAN DALAM PENGAJARAN DAN PEMBELAJARAN

Tanggapan tentang bagaimana matematik dipelajari mempengaruhi bagaimana konsep

matematik diajar. Walau apa tanggapan guru, hakikatnya konsep matematik adalah

abstrak. Oleh itu, penggunaan sumber untuk membantu murid membentuk konsep

matematik adalah sesuatu yang amat perlu. Guru perlu menggunakan objek sebenar

atau objek konkrit dalam pengajaran untuk memberikan pengalaman, membantu murid

membina idea-idea yang abstrak, merekacipta, membina keyakinan diri, menggalakkan

sifat berdikari dan memupuk sikap bekerjasama.

Bahan pengajaran dan pembelajaran yang digunakan perlu mengandungi

elemen diagnostik kendiri supaya murid dapat mengenal pasti sejauh mana mereka

memahami konsep dan menguasai kemahiran yang dipelajari.

Bagi membantu murid membentuk sikap positif terhadap matematik dan sahsiah

yang baik, nilai-nilai intrinsik matematik seperti kejituan, keyakinan dan pemikiran

sistematik perlu diterapkan dalam proses pengajaran dan pembelajaran. Di samping itu,

nilai-nilai murni boleh diterapkan dalam konteks yang sesuai secara bersahaja tetapi

terancang. Misalnya, pembelajaran secara kumpulan boleh membantu murid menerap

kemahiran sosial, memupuk semangat kerjasama dan membina keyakinan diri terhadap

matematik. Elemen patriotik juga harus disemai melalui proses pengajaran dan

pembelajaran topik tertentu di bilik darjah.

Penerapan unsur sejarah yang ringkas berkaitan aspek matematik diberi

penekanan sewajarnya dalam kurikulum sebagai usaha untuk mewujudkan murid yang

menghargai dan menghayati keindahan matematik. Unsur sejarah seperti riwayat hidup

dan peristiwa tertentu tentang ahli matematik terkenal atau sejarah ringkas tentang

sesuatu konsep dan simbol dapat merangsang lagi minat murid dan memberi

kefahaman yang lebih baik terhadap matematik.


Kepelbagaian pendekatan pengajaran dan pembelajaran seperti pengajaran

secara langsung, pembelajaran secara penemuan, penyiasatan, penemuan terbimbing

atau kaedah lain perlu dilaksanakan. Pendekatan yang dipilih perlu mempertimbangkan

perkara-perkara berikut:

• Pembelajaran berpusatkan murid yang menarik

• Tahap kebolehan dan gaya pembelajaran murid

• Penggunaan bahan bantu mengajar yang berkaitan, sesuai dan berkesan, dan

• Penilaian formatif untuk menentukan keberkesanan pengajaran dan

pembelajaran

Pemilihan sesuatu pendekatan yang bersesuaian akan merangsangkan lagi suasana

pengajaran dan pembelajaran di dalam mahu pun di luar bilik darjah. Antara cadangan

pendekatan yang sesuai adalah:

• Pembelajaran koperatif

• Pembelajaran kontekstual

• Pembelajaran masteri

• Konstruktivisme

• Inkuiri-penemuan; dan

• Pembelajaran masa depan.

Tugasan

Jawab semua soalan berikut

1. Jelaskan pendekatan pengajaran pembelajaran kurikulum matematik dalam

Kurikulum Standard Sekolah Rendah. Huraikan kelebihan mengikut pendekatan

tersebut.

2. Banding dan beza antara pendekatan pengajaran pembelajaran kurikulum

matematik Kurikulum Standard Sekolah Rendah dan Kurikulum Bersepadu

Sekolah Rendah.

3. Huraikan perubahan dari aspek kandungan kurikulum matematik dalam

Kurikulum Bersepadu Sekolah Rendah dan Kurikulum Standard Sekolah

Rendah.


4. Jelaskan bagaimana matlamat dan objektif kurikulum matematik dalam

Kurikulum Bersepadu Sekolah Rendah dan Menengah berkait dengan falsafah

pendidikan kebangsaan.

5. Huraikan bagaimana merangsangkan komunikasi dalam matematik.

TAJUK 2 TEORI PEMBELAJARAN DAN PENDEKATAN DALAM PENGAJARAN DAN PEMBELAJARAN MATEMATIK

2.01 Sinopsis

Kursus ini memberi pendedahan kepada para pelajar untuk menghayati teori

pembelajaran dan pendekatan dalam pengajaran dan pembelajaran (PdP)

matematik. Di samping itu, kursus ini bertujuan untuk menambahkan

pengetahuan sekali gus meningkatkan profesionalisme keguruan.

2.02 Hasil Pembelajaran

Di akhir modul ini, pelajar akan dapat:

• Menjelaskan teori – teori pembelajaran dan pendekatan dalam PdP

Matematik

2.03 Kerangka Konsep

TEORI PEMBELAJARAN DAN PENDEKATAN DALAM PENGAJARAN DAN PEMBELAJARAN MATEMATIK

TEORI-TEORI PEMBELAJARANPENDEKATAN DALAM PENGAJARAN DAN PEMBELAJARAN MATEMATIK


TAJUK 2.1TEORI-TEORI PEMBELAJARAN

2.1.1 Sinposis

Kursus ini memberi pendedahan kepada para pelajar untuk menghayati teori

pembelajaran matematik. Di samping itu, kursus ini bertujuan untuk

menambahkan pengetahuan sekali gus meningkatkan profesionalisme keguruan.

2.1.2 Hasil pembelaajran

Di akhir modul ini, pelajar akan dapat:

• menjelaskan prinsip-prinsip teori pembelajaran sosial, pelaziman klasikal dan pelaziman operan

• membezakan antara teori pembelajaran sosial, pelaziman klasikal dan pelaziman operan

• mengaplikasi prinsip-prinsip teori pembelajaran sosial, pelaziman klasikal dan pelaziman operan

• membincangkan pendekatan dalam PdP matematik

2.1.3 Kerangka konsep

TEORI-TEORI PEMBELAJARAN

KonstruktivismeTeori Pemprosesan Maklumat

BehaviorismePerspektif Bersepadu Sejagat (PBS)


Konstruktivisme

Pengertian:

Apakah Konstruktivis?

- Konstruktivis adalah satu pendekatan pengajaran berdasarkan

kepada penyelidikan tentang bagaimana manusia belajar.

Kebanyakan penyelidik berpendapat setiap individu membina

pengetahuan dan bukannya hanya menerima pengetahuan daripada

orang lain.

(McBrien & Brandt, 1997)

- Murid membina pengetahuan mereka dengan menguji idea dan

pendekatan berdasarkan pengetahuan dan pengalaman sedia ada,

mengaplikasikannya kepada situasi baru dan mengintegrasikan

pengetahuan baru yang diperolehi dengan binaan intelektual yang

sedia wujud.

(Briner,M., 1999)

− Teori konstruktivisme menyatakan bahawa murid membina makna

tentang dunia dengan mensistesis pengalaman baru kepada apa yang

mereka telah fahami sebelum ini. Mereka membentuk peraturan

melalui refleksi tentang interaksi mereka dengan objek dan idea.

Apabila mereka bertemu dengan objek, idea atau perkaitan yang tidak

bermakna kepada mereka, maka mereka akan sama ada

menginterpretasi apa yang mereka lihat supaya secocok dengan

peraturan yang mereka telah bentuk atau mereka akan menyesuaikan

peraturan mereka agar dapat menerangkan maklumat baru ini dengan

lebih baik (Brooks & Brooks,1993).


- Dalam teori konstruktivisme, penekanan diberikan kepada murid

lebih daripada guru. Ini adalah kerana muridlah yang berinteraksi

dengan bahan dan peristiwa dan memperoleh kefahaman tentang

bahan dan peristiwa tersebut. Justeru, murid membina sendiri konsep

dan membuat penyelesaian kepada masalah. Autonomi dan inisiatif

murid hendaklah diterima dan digalakkan (Sushkin, N., 1999).

- Konstruktivisme adalah tidak lebih daripada satu komitmen terhadap

pandangan bahawa manusia membina pengetahuan sendiri. Ini

bermakna bahawa sesuatu pengetahuan yang dipunyai oleh

seseorang individu adalah hasil daripada aktiviti yang dilakukan oleh

individu tersebut, dan bukan sesuatu maklumat atau pengajaran yang

diterima secara pasif daripada luar. Pengetahuan tidak boleh

dipindahkan daripada pemikiran seseorang individu kepada pemikiran

individu yang lain. Sebaliknya , setiap insan membentuk pengetahuan

sendiri dengan menggunakan pengalamannya secara terpilih ( Nik

Azis Nik Pa, 1999).

Berdasarkan pandangan-pandangan di atas maka pengertian pembelajaran secara konstruktivisme bolehlah dirumuskan sebagai yang berikut:

KONSTRUKTIVISMEKonstruktivisme adalah satu fahaman bahawa pelajar membina sendiri pengetahuan atau konsep secara aktif berdasarkan pengetahuan dan pengalaman sedia ada. Dalam proses ini, pelajar akan menyesuaikan pengetahuan yang diterima dengan pengetahuan sedia ada untuk membina pengetahuan baru.


Implikasi daripada pengertian Konstruktivis

• pengajaran dan pembelajaran akan berpusatkan pelajar

• pengetahuan yang dipunyai oleh pelajar adalah hasil daripada aktiviti yang dilakukan oleh pelajar tersebut dan bukan pengajaran yang diterima secara pasif

• guru akan mengenal pasti pengetahuan sedia ada murid dan merancang kaedah pengajarannya dengan sifat asas pengetahuan tersebut

• guru berperanan sebagai pereka bentuk bahan pengajaran yang menyediakan peluang kepada pelajar untuk membina pengetahuan baru

• guru berperanan sebagai fasilitator yang membantu pelajar membina pengetahuan dan menyelesaikan masalah

Guru dan bilik darjah Konstruktivis

Ciri-ciri Pembelajaran secara konstruktivis

• menggalakkan soalan atau idea yang dimulakan oleh pelajar dan

menggunakannya sebagai panduan merancang pengajaran

• menggalakkan pelajar bertanya dan berdailog

• menganggap pembelajaran sebagai satu proses yang sama

penting dengan hasil pembelajarannyamenyokong pembelajaran

secara koperatif

• menggalakkan dan menerima daya usaha dan autonomi pelajar

memberi peluang kepada pelajar untuk membina pengetahuan

baru dengan memahaminya melalui penglibatan pelajar dengan

situasi dunia yang sebenar

• menggalakkan proses inkuiri pelajar melalui kajian dan eksperimen

• mengambil kira dapatan kajian tentang bagaimana pelajar belajar

sesuatu idea


• mengambil kira kepercayaan dan sikap yang dibawa oleh pelajar-

pelajar.

Latihan

1. Apakah yang anda faham tentang Konstruktivis?

2. Bagaimana anda melaksanakan pengajaran dan pembelajaran dalam

bilik darjah secara konstruktif?

3. Lakarkan satu rajah, gambaran Pengertian Konstruktivisme?

4. Apakah kelebihan pembelajaran secara Konstruktivis?

Teori Pemprosesan Maklumat

Menurut Gagne, pembelajaran adalah sebagai satu cara pemprosesan maklumat

yang bermula daripada yang mudah kepada yang sukar. Pembelajaran pada

aras tinggi bersandar kepada pembelajaran pada aras rendah.

Dalam teori ini, Gagne telah mengenal pasti 8 jenis pembelajaran iaitu:

• pembelajaran isyarat

• pembelajaran jenis ini adalah merupakan yang paling mudah di

mana ianya adalah perubahan tingkah laku yang disebabkan oleh

pengaruh kebiasaan. pembelajaran jenis banyak menggunakan

akal fikiran

• pembelajaran rangsangan gerakbalas

• pembelajaran jenis ini bergantung kepada proses peneguhan.

Setiap tingkahlaku yang diingati mesti diberikan pujian dan

ganjaran

• rangkaian

• merupakan satu siri tingkah laku yang berkaitan antara satu sama

lain untuk melengkapi satu tugasan yang dijalankan

• pertalian berbahasa


• merupakan suatu rangkaian berbahasa yang berlaku apabila

pelajar menghubungkaitkan perkara yang dilihat dengan nama

objek secara menyebutnya.

• pembelajaran diskriminasi

• berlaku apabila pelajar dapat memilih gerak balas yang sesuai

untuk bertindak balas bagi menghasilkan sesuatu

• pembelajaran konsep

• berlaku apabila pelajar dapat membuat diskriminasi antara satu

konsep dengan satu konsep yang lain.

• pembelejaran hukum

• pembelajaran yang kompleks kerana ia melibatkan rangkaian dan

pertalian berbahasa

• penyelesaian masalah

• pembelajaran jenis dianggap sebagai pembelajaran peringkat tinggi

dan kompleks. Ianya melibatkan pemilihan dan set-set urutan petua

yang unik.

Implikasi kepada PdP

• menggunakan bahan konkrit ketika mengajar

• mengajar sesuatu kemahiran mengikut urutan

• membimbing pelajar membezakan ciri-ciri yang penting

TEORI PEMBELAJARAN BEHAVIORIS

Pendekatan Behavioris memberi tumpuan kepada tingkahlaku yang boleh

diperhatikan(secara nyata atau tidak nyata) dan pengaruhnya terhadap

perubahan tersebut. Teori ini diwakili dengan perkataan Rangsangan-

Gerak balas (R-G). Perkaitan antara Rangsangan, Organisma dan

Gerakbalas boleh diringkaskan seperti di bawah.


Rajah 3.1: Kesan rangsangan kepada organisma dan gerakbalas yang diperhatikan

Beberapa tanggapan ahli-ahli behavioris termasuklah :-

i. Sebahagian besar daripada tingkah laku manusia dipengaruhi oleh

rangsangan(R) dari persekitaran,

ii. Pembelajaran ialah hasil dari kejadian yang boleh diperhatikan

iii. Pembelajaran melibatkan perubahan tingkah laku

iv. Pembelajaran akan berlaku apabila rangsangan dan tindak balas

berlaku dalam masa yang dekat

v. Proses mental diabaikan dalam bilik darjah behavioris

vi. Prinsip pembelajaran adalah sama merentas semua spesis.

Antara contoh teori pembelajaran behavioris yang boleh diperhatikan ialah

i. loceng yang berbunyi di sekolah untuk menandakan pertukaran

waktu, rehatatau balik.

ii. cara murid mengumpul buku latihan selepas dilatih oleh guru

iii. individu yang fobia selepas mengalami kejadian yang menakutkan

iv. sitcom televisyen yang menyebabkan penonton ketawa walaupun

tidak lucu.

Teori Bahaviorisme terbahagi kepada dua iaitu teori pelaziman dan teori

pelaziman operan thorndike.

Rangsangan(R)

Rangsangan(R) OrganismaOrganisma

Gerakbalas(G)

Gerakbalas(G)


Konsep-konsep penting dalam teori pelaziman ditunjukkan dalam gambar rajah

dibawah:

Teori Pelaziman Operan (Operant Conditioning):

Teori ini merupakan satu bentuk pembelajaran yang melibatkan satu siri

perkaitan antara rangsangan dan gerakbalas. Perkaitan ini boleh diperkuatkan

atau diperlemahkan melalui peneguhan atau dendaan. Teori ini telah

diperkenalkan oleh B.F. Skinner.

IMPLIKASI TEORI PEMBELAJARAN BEHAVIORIS TERHADAP PENGAJARAN DAN PEMBELAJARAN MATEMATIK

1. Guru hendaklah menetapkan matlamat yang spesifik. Ini bermakna,

• Matlamat akhir proses pembelajaran hendaklah dinyatakan

dengan jelas

• Pastikan matlamat yang dinyatakan adalah realistik dan boleh

dicapai

2. Guru perlu menetapkan objektif bagi setiap langkah pengajaran


• Objektif hendaklah khusus

3. Buat analisis tugasan

• Pastikan tugasan yang diberi sesuai dengan kemampuan murid

• Pecahkan tugasan kepada bahagian-bahagian kecil supaya

mudah difahami

4. Sediakan langkah pengajaran secara berperingkat

• Susunan langkah haruslah secara progresif, contohnya dari

mudah kepada sukar.

5. Aplikasi teknik peneguhan yang sesuai

• Peneguhan berterusan diberikan pada peringkat pembentukan

tingkahlaku

• Peneguhan berkala selepas tingkah laku dikuasai

6. Aplikasi Hukum Kesediaan

• Kaitkan pembelajaran baharu dengan pengetahuan sedia ada

• Sediakan situasi yang merangsangkan

• Cungkilkan rasa ingin tahu/ motivasi murid

7. Aplikasi Hukum Latihan

• Banyakkan pengulangan dan latih tubi

• Sediakan bahan yang banyak dan pelbagai

8. Aplikasi Hukum Kesan dan Akibat

• Adakan aktiviti pengukuhan

• Pilih dan aplikasi peneguhan yang sesuai

9. Sediakan amalan bilik darjah yang sesuai

• Amalan rutin belajar

• Amalan rutin keceriaan

• Peraturan bilik darjah yang mesra dan positif

• Pembelajaran koperatif dan kolaboratif

Kesimpulan


Prinsip-prinsip pembelajaran yang dikemukakan oleh ahli psikologi

Behaviorisme adalah praktikal dan berkesan sekiranya guru menggunakan

dengan merancangnya terlebih dahulu terutama prinsip peneguhan positif dan

negatif yang dikemukakan oleh Skinner. Tetapi guru mesti merancang bentuk

peneguhan positif yang sesuai. Ini termasuklah apakah aktiviti sesuai yang

hendak diberi peneguhan positif.


TAJUK 2.2Pendekatan dalam pengajaran dan pembelajaran

Matematik

A Sinopsis

Kurikulum Bersepadu Sekolah Menengah (KBSM) mempunyai matlamat memperkembangkan fungsi murid secara menyeluruh dan bersepadu bagi mewujudkan insan yang seimbang dan harmonis dari segi intelek, rohani, emosi dan jasmani supaya mereka dapat menjalani kehidupan seharian mereka dengan berkesan dan penuh tanggungjawab. Untuk mencapai matlamat ini, di antara lain, guru perlu mempunyai kemahiran memilih kaedah pengajaran dan pembelajaran dengan bijaksana supaya kaedah yang dipilih itu sesuai dengan murid-murid yang pelbagai kebolehan dan minat.

Ilmu pengetahuan murid tidak semuanya berasal daripada maklumat deria yang wujud secara bebas dalam persekitaran yang diserap ke dalam fikiran murid melalui pengalaman pancaindera, atau kewujudan pengetahuan sejadi dalam mental, tetapi ilmu pengetahuan itu diperolehi dengan cara membina sendiri oleh setiap murid melalui pengalaman, renungan dan pengabstrakan.

B HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir pembelajaran ini pelajar dapat : o mengenalpasti pendekatan dalam pengajaran dan pembelajaran o mengupas teori pengajaran dan pembelajaran o menghuraikan ciri-ciri pengajaran dan pembelajaran


C Kerangka Konsep

D Pengenalan

Pengajaran dan pembelajaran (PdP) merupakan dua istilah penting dalam pendidikan matematik.

Sumber:Effandi, Norazah dan Sabri (2007)

Sebagai seorang guru matematik, guru perlu menyediakan suasana bilik darjah yang kondusif untuk PdP. Sehubungan itu, guru perlu mempunyai pengetahuan

Pendekatan dalam pengajaran dan pembelajaran Matematik

Pembelajaran koperatif

Pembelajaran berasaskan masalah

Pembelajaran secara kontekstual

Pembelajaran masteri

Konstruktivisme

Injuiri Penemuan

Penerokaan

Pengajaran ialah satu pendekatan sistematik yang perlu dilakukan oleh guru dalam proses perkembangan ilmu pengetahuan melalui pengkaedahan yang sesuai bagi mewujudkan pembelajaran berkesan. Pembelajaran pula boleh dikaitkan dengan proses kegiatan belajar di dalam bilik darjah.


tentang pengajaran matematik yang berkesan bagi membolehkan pelajar-pelajar mendapat kefahaman mendalam tentang apa yang mereka belajar. Guru matematik yang berjaya harus mampu mengatasi dan menyelesaikan masalah PdP dalam bilik darjah dengan bijaksana (Nik Azis, dalam Effandi et al., 2007).

Pembelajaran Koperatif

Pembelajaran koperatif bukanlah satu pendekatan pengajaran yang baharu. Walau bagaimanapun, pendekatan ini masih menjadi pilihan kepada pendidik kerana keberkesanannya telah terbukti sama ada dari segi kognitif mahupun dari segi afektif (Noraini,2007).

Pengertian :Apakah Pembelajaran Koperatif

- Pembelajaran koperatif adalah melibatkan pengajaran yang mengumpulkan pelajar dalam kumpulan kecil supaya mereka bekerjasama bagi memaksimumkan pembelajaran (Noraini, 2007)

- Pembelajaran koperatif boleh dilaksanakan dalam kumpulan bertiga hingga berlima atau berenam.

- Ahli-ahli dalam kumpulan adalah heterogeneus dari segi keupayaan, bangsa, jantina dan lain-lain (Slavin, dalam Noraini,2007)

- Kesediaan pelajar berada dalam kumpulan adalah sangat penting supaya mereka dapat bekerja sebagai satu pasukan

- Johnson dan Johnson(1999) telah menyarakan lima unsur utama yang perlu dititikberatkan dalam pendekatan ini iaitu persandaran positif, tanggungjawab individu, interaksi promotif, kemahiran sosial dan penilaian kumpulan.

Dalam kumpulan , huraikan maksud kelima-lima unsur ini.

Peranan guru

Pembelajaran koperatif tidak akan berjaya tanpa peranan aktif guru. Dalam pendekatan ini, guru mestilah :

- memastikan bahawa kumpulan yang dibentuk mampu berfungsi dengan berkesan

- mengurus tugasan pelajar dan memberi arahan mengenai apa yang perlu dibuat dan tidak patut dibuat.

- berperanan sebagai pengantara dengan bertanya soalan dan memandu kepada matlamat yang ingin dicapai

- memantau kumpulan perbincangan dengan cara pemerhatian, memberi maklum balas dan membuat teguran.

Huraikan kelebihan dan kelemahan pembelajaran koperatif dalam konteks topik-topik dalam Matematik.


- memberi galakan dan dorongan supaya pembelajaran matematik menjadi satu pembelajaran yang menyeronokkan.

Model Koperatif

Student Teams – Achievement Division (STAD)Team – Games – Tournament (TGT)Team Accelerated Instruction (TAIJigsawExchange – of – knowledgeCollege Mathematics Cooperative Learning Model (CMCL)

PEMBELAJARAN BERASASKAN MASALAH

Pembelajaran Berasaskan Masalah (PBL) adalah suatu pendekatan pembelajaran yang melibatkan masalah sebenar.

“PBL tidak menampilkan kurikulum baharu tetapi sebenarnya kurikulum yang sama melalui kaedah pengajaran yang berlainan."

Fincham et al. (1997)

PBL menyediakan struktur untuk penerokaan yang membantu murid menghayati pembelajaran dan meningkatkan pemahaman.

Sejarah PBL

PBL mula digunakan di awal 1960an. Ianya telah digunakan di sebuah sekolah perubatan untuk menghasilkan doktor yang berupaya menguruskan masalah kesihatan para pesakit dengan cekap dan berperikemanusiaan

Kini PBL digunakan di sekolah-sekolah untuk meningkatkan pencapaian murid. Murid harus punya kemahiran berfikir, dibimbing membuat penyelidikan mudah dan menyelesaikan masalah. PBL memerlukan murid mendemonstrasikan pemahaman sesuatu bahan atau subjek, bukan sekadar mengulang maklumat sahaja.


Kelebihan PBL

PBL membolehkan murid memainkan peranan yang aktif melalui proses menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kehidupan dan mengikuti peraturan yang memerlukan mereka mencari maklumat, berfikir, menyelesaikan masalah dan akhirnya membuat penyampaian. Pelajar akan belajar secara kendiri dan menggunakan maklumat dan ilmu yang mereka perolehi.

Mengapa gunakan PBL?

• Sesuai untuk semua murid dengan bimbingan guru.

• Murid dengan pelbagai kebolehan boleh menggunakan bakat mereka

secara berkumpulan untuk menghasilkan penyelesaian.

• Membenarkan murid merancang aktiviti dan memberi mereka

tanggungjawab yang lebih. Guru membimbing mereka cara mencabar diri

mereka sendiri dan belajar secara kendiri.

• Sesuai untuk semua murid dengan bimbingan guru.

• Murid dengan pelbagai kebolehan boleh menggunakan bakat mereka

secara berkumpulan untuk menghasilkan penyelesaian.

• Membenarkan murid merancang aktiviti dan memberi mereka

tanggungjawab yang lebih. Guru membimbing mereka cara mencabar diri

mereka sendiri dan belajar secara kendiri.

• Kemahiran Abad ke-21 (literasi sivik, kesedaran global, silang budaya, pemikiran kritikal, maklumat dan komunikasi).

• Hasil pendidikan yang diingini

– Pelajar yakin diri

– Pelajar belajar secara kendiri

– Penyumbang aktif

– Rakyat yang prihatin.

Contoh Kenyataan Masalah 1


• Membina pengguna bahasa yang cekap dan boleh berkomunikasi dengan efektif menggunakan bahasa dalam konteks kehidupan sebenar dan mengaplikasikannya dalam komunikasi interpersonal, mendengar dan membaca untuk memahami, dan melakukan penyampaian dalam bentuk lisan dan penulisan.

• Menggalakkan murid terlibat dalam pembelajaran secara aktif.

• PBL membantu meningkatkan mutu pendidikan.

• Dengan strategi PBL, guru menetapkan standard dan kelakonan yang lebih baik.

• PBL memerlukan murid lebih berfikir dan berusaha berbanding tugasan yang memerlukan hafalan sahaja.

Peranan Guru

Guru memainkan peranan yang berbeza daripada pembelajaran tradisional.

Melalui PBL, guru menentukan kandungan pengetahuan dan kemahiran yang harus murid bina semasa menyelesaikan masalah.

Guru membimbing murid melalui proses menjawab soalan PBL. Guru tidak perlu memberi jawapan untuk semua perkara. Guru memainkan peranan sebagai pemandu atau pemudah cara.

Guru tentukan suasana pembelajaran, membantu murid membuat kaitan dengan masalah, membina struktur tugasan, membincangkan masalah, mengulang perbincangan, memudahcarakan penghasilan cara menyelesaikan masalah dan menggalakkan penilaian kendiri.

Guru juga berperanan sebagai penilai.

Guru memantau keberkesanan penyelesaian masalah, mutu kerja murid dan kejayaan guru membina dan memudahcarakan proses penyelesaian masalah.

Pelajar Tingkatan 4 Melur mendapati pembelajaran matematik kurang menarik. Bantulah rakan kamu untuk menyediakan satu permainan matematik yang dapat menarik minat pelajar untuk mempelajari matematik.


Tugasan anda:

Anda dikehendaki membantu rakan anda merancang dan membina satu permainan matematik yang menarik.

Dalam cadangan anda, sertakan alasan-alasan mengapa anda memilih permainan tersebut

Pastikan pelajar-pelajar lain terlibat dalam permainan matematik yang dibina.

PEMBELAJARAN SECARA KONTEKSTUAL

Pembelajaran kontekstual ialah kaedah pembelajaran yang menggabungkan isikandungan dengan pengalaman harian individu, masyarakat dan alam pekerjaan.Kaedah ini menyediakan pembelajaran secara konkrit yang melibatkan aktiviti hands-on dan minds-on.

TEORI PEMBELAJARAN SECARA KONTEKSTUAL

Pengetahuan sedia ada

Pengetahuan baharu

Pembelajaran hanya berlaku apabila murid dapat memproses maklumat atau pengetahuan baru dengan cara yang bermakna dalam rangka minda mereka.


KUMPULAN SASARAN MURID YANG MANAKAH BOLEH MENDAPAT MANFAAT YANG LEBIH DARIPADA PEMBELAJARAN SECARA KONTEKSTUAL?

Psikologi

Fizikal

Sosial

Budaya Konteks yang pelbagai

Pembelajaran akan menjadi lebih berkesan jika maklumat disampaikan dalam konteks yang pelbagai dan bermakna kepada murid.

Penekanan perlu diberi kepada kepelbagaian persekitaranpembelajaran untuk menghasilkan pembelajaran yang berkesan.

Kepelbagaian Persekitaran Pembelajaran

Kepelbagaian Persekitaran Pembelajaran

Bilik darjah

Makmal

Tempat kerja

Kehidupan harian

Jenis murid Kumpulan sederhanaKumpulan sederhana


Mengikut teori pembelajaran kontekstual, pembelajaran hanya akan berlaku apabila murid dapat memproses maklumat atau pengetahuan baru dengan cara yang bermakna kepada mereka. Minda seseorang akan cuba mencari makna dalam konteks dengan membuat hubung kait yang bermakna dan relevan dengan persekitarannya. Teori Pembelajaran Kontekstual menumpukan kepada kepelbagaian aspek persekitaran pembelajaran sama ada di bilik darjah, makmal, tempat kerja atau kehidupan harian. Teori ini menggalakkan pendidik memilih atau mewujudkan persekitaran pembelajaran yang merangkumi pelbagai pengalaman sama ada dalam konteks sosial, budaya, fizikal atau psikologi untuk mendapatkan hasil pembelajaran yang dihasratkan.

Pendekatan kontekstual merupakan suatu kaedah pengajaran dan pembelajaran yang mencabar, berkesan dan menyeronokkan, seterusnya dapat menyumbang ke arah pemeringkatan penguasaan kemahiran danprestasi murid.

MENGAPAKAH PENDEKATAN

KONTEKSTUAL PERLU DALAM PENGAJARAN

DAN PEMBELAJARAN ?

Individu mengekalkanmaklumat dengan lebih

berkesan melalui pengalaman sendiri

Individu memiliki pelbagai jenis kecerdasan.

Pembelajarankontekstual mengambil

kira pelbagai gayapembelajaran.

Ciri murid

Lokasi

cenderung kepada aplikasi konsepterdorong melalui aktiviti hands-ontidak yakin mempelajari matematik dan sains secara abstrak

cenderung kepada aplikasi konsepterdorong melalui aktiviti hands-ontidak yakin mempelajari matematik dan sains secara abstrak

sekolah-sekolah menengah teknik dan vokasionalsekolah-sekolah menengah harian

sekolah-sekolah menengah teknik dan vokasionalsekolah-sekolah menengah harian

RUMUSANRUMUSAN


Pembelajaran secara Kontekstual dapat membina keyakinan diri kerana murid dapat memahami perhubungan antara teori dan amalan. Pembelajaran secara Kontekstual juga membina pendekatan kerja kumpulan untuk menyelesaikan sesuatu masalah. Sekolah dapat memainkan peranan sebagai penghubung antara akademik dan alam pekerjaan dan dengan itu mendapat sokongan dan dokongan industri. Pendekatan Kontekstual dapat membina asas kukuh tenaga kerja mahir masa depan untuk menguatkan kedudukan negara di peringkat dunia.

Dalam proses pembelajaran secara kontekstual, objektif pembelajaran dapat dicapai melalui pelbagai bentuk. Antara bentuk yang diutarakan adalah menghubung kait, mengalami, mengaplikasi, bekerjasama dan memindahkan. Setiap bentuk yang dibincangkan harus mengaitkan pembelajaran dengan pengalaman dan persekitaran. Murid yang melalui kaedah pembelajaran secara kontekstual berupaya mengaitkan apa yang dipelajari dan mengaplikasikannya kepada situasi lain.

Dalam pendekatan kontekstual, pengajaran dan pembelajaran perlu melalui proses motivasi, pemahaman, aplikasi serta imbasan kembali dan penilaian. Kebolehan melakukan (hands-on) dan berfikir (minds-on) merupakan asas pendekatan kontekstual. Paduan kedua-duanya akan mendorong naluri ingin tahu murid dan menjadikan pembelajaran suatu aktiviti bermakna kepada mereka.

Terdapat beberapa perbezaan yang ketara antara pembelajaran secara kontekstual dengan pembelajaran secara tradisional. Pembelajaran secara kontekstual memberi penumpuan kepada murid. Objektif pembelajaran dapat dicapai dengan lebih cepat dan berkesan berbandingdengan kaedah tradisional.

Pembelajaran kontekstual yang efektif memerlukan gabung jalin atau interaksi di antara kurikulum, kaedah pengajaran, situasi dan masa. Penglibatan masyarakat dan industri dalam merancang strategi untuk menjayakan wawasan bersama dengan pihak sekolah sangat penting. Oleh itu sekolah, industri dan masyarakat perlu bersedia menerima perubahan dalam menjayakan pengajaran dan pembelajaran secara kontekstual.

Tugasan Anda

1. Dengan menggunakan pendekatan pembelajaran kontekstual, tulis satu rancangan pelajaran harian bagi mana-mana topik dalam matematik tingkatan 4 atau tingkatan 5. Rancangan pelajaran harian ini hendaklah mengambil kira jenis murid sederhana.

Senaraikan perbezaan antara pembelajaran tradisional dan pembelajaran kontekstual.

Pembelajaran Masteri… merupakan satu pendekatan pengajarandan pembelajaran yang berfokuskanpenguasaan murid dalam sesuatu perkarayang diajar.

[Bloom, 1968]

… berasaskan kepada falsafah bahawasemua atau hampir semua murid bolehmenguasai sesuatu pengetahuan ataukemahiran dengan baik dan penuh keyakinansekiranya keadaan yang sesuai dan masayang mencukupi disediakan untuk murid itumenguasai pembelajarannya.

[Bloom, 1968]

… ialah satu set idea dan amalan pengajaransecara individu yang dapat membantu muriduntuk belajar secara konsisten … idea danamalan ini menghasilkan pengajaran yangsistematik, membantu murid apabilamenghadapi masalah pembelajaran,memperuntukkan masa yang mencukupiuntuk murid mencapai masteri denganberpandukan kriteria masteri yang jelas.

[Anderson & Block, 1975]


Sumber: Pembelajaran Secara Kontekstual http://web.moe.gov.my/bpk/bsk/bpanduan/kontekstual.pdf

PEMBELAJARAN MASTERI

http://search.mywebsearch.com/mywebsearch/redirect.jhtml?action=pick&qs=&pr=GG&searchfor=pembelajaran+kontekstual&cb=Y6&pg=GGmain&p2=%5EY6%5Exdm007%5EYY%5Emy&qid=e126b19597fb4a4faf4c3ed6b505dec1&n=77DE8857&ss=sub&pn=1&st=hp&ptb=A43ACCE4-8170-462E-BBD8-B1A9AA0BF131&tpr=hpsb&si=CJjRuoiotLcCFSY44godxmsA8w&redirect=mPWsrdz9heamc8iHEhldETVBmFeT2q0TIW2JZd6RuOVPRZClnobafhd%2Bvq1zmPA%2FSCeLkmcz2hMH90NYUxCRJ1ClIFXUIEnKuRipISnHdR0%3D&ord=0&ct=AR&


Berdasarkan pendapat di atas Pembelajaran Masteri boleh dirumuskan sebagai :

Mengapa Pembelajaran Masteri?

Pembelajaran Masteri wajar dilaksanakan dalam pengajaran dan pembelajaran kerana guru perlu menyedari bahawa:

i. Murid mempunyai kebolehan dan keperluan yang berbeza.

ii. Murid memerlukan pendekatan pengajaran dan pembelajaran yang sesuai dan berkesan.

iii. Murid mesti menguasai pengetahuan, kemahiran dan sikap yang diajarkan.

Prinsip asas dalam Pembelajaran Masteri ialah:

i. Murid normal boleh mempelajari apa yang diajarkan oleh guru.

ii. Pembelajaran dipecahkan kepada beberapa unit kecil supaya mudah dikuasai.

iii. Murid memerlukan masa yang mencukupi untuk menguasai sesuatu hasil pembelajaran yang ditentukan.

iv. Arahan pengajaran dan pembelajaran bagi setiap unit pembelajaran mestilah jelas.

Ciri-ciri Pembelajaran Masteri adalah seperti yang berikut:

i. Hasil pembelajaran perlu ditentukan.

ii. Hasil pembelajaran disusun mengikut hierarki atau unit pembelajaran.

iii. Aktiviti pengajaran dan pembelajaran hendaklah bermakna, berkesan, menarik dan menyeronokkan.

Suatu pendekatan pengajaran dan pembelajaran bagi memastikan semua murid menguasai hasil pembelajaran yang dihasratkan dalam suatu unit pembelajaran sebelum berpindah ke unit pembelajaran seterusnya. Pendekatan ini memerlukan peruntukan masa yang mencukupi dan proses pengajaran dan pembelajaran yang berkualit .

Unit Pembelajaran 1


iv. Penilaian berasaskan Ujian Rujukan Kriteria (URK).

v. Bahan pengajaran dan pembelajaran yang berkesan.

vi. Murid perlu menguasai 80% aras masteri yang ditetapkan setiap unit pembelajaran sebelum berpindah ke unit pembelajaran yang baru.

vii. Aktiviti pemulihan dilaksanakan untuk murid yang belum menguasai aras masteri.

viii. Aktiviti pengayaan dilaksanakan untuk murid yang telah mencapai aras masteri.

Dalam Pembelajaran Masteri terdapat beberapa langkah yang perlu dilaksanakan. Langkah tersebut digambarkan melalui model berikut:

Ya Tidak

Ya Teruskan

Model Pembelajaran Masteri

Penentuan Hasil Pembelajaran

Pengajaran & Pembelajaran

Penilaian

Sudahkah murid menguasai

Tindakan Susulan Aktiviti

Pemulihan

Tindakan Susulan Aktiviti

Pengayaan

Unit Pembelajaran 2

PENDEKATAN PENGAJARAN KONSTRUKTIVISME


Sumber : Pembelajaran Masteri http://web.moe.gov.my/bpk/bsk/bpanduan/masteri.pdf

Beri huraian maksud hasil pembelajaran dan bagaimanakah sesuatu Hasil Pembelajaran dinyatakan?

http://search.mywebsearch.com/mywebsearch/redirect.jhtml?action=pick&qs=&pr=GG&searchfor=pembelajaran+masteri&cb=Y6&pg=GGmain&p2=%5EY6%5Exdm007%5EYY%5Emy&qid=283e61db83a94825aaa1c37c05e8356c&n=77DE8857&ss=sub&pn=1&st=hp&ptb=A43ACCE4-8170-462E-BBD8-B1A9AA0BF131&tpr=hpsb&si=CJjRuoiotLcCFSY44godxmsA8w&redirect=mPWsrdz9heamc8iHEhldETVBmFeT2q0TIW2JZd6RuOVPRZClnobafhd%2Bvq1zmPA%2FieLfmJJlGioj2rDBBD7mcQ%3D%3D&ord=0&ct=AR&


CONTOH PEMBELAJARAN SECARA KONSTRUKTIVIS

Matematik

Objektif : Membuat generalisasi tentang bilangan segi empat dalam sesuatu grid

Peringkat : Menengah Rendah

Aktiviti

i. Merujuk kepada Rajah (a) tentukan berapakah segi empat sama terkandung dalam rajah itu.Terangkan bagaimana anda mendapat jawapan anda.

ii. Cuba tentukan berapakah segi empat sama yang terdapat dalam Rajah (b) ? Rajah (c)?

iii. Bagaimanakah pula dengan bentuk grid 5x5 dan grid 10x10 iv. Apakah pola untuk bilangan segi empat sama yang terkandung

dalam sesuatu rajah?

v. Cadangkan petua yang menentukan bilangan segi empat sama dalam sesuatu rajah. Bagaimanakah anda akan menguji kebenaran petua yang anda cadangkan itu?

Rajah a

Rajah b

Rajah c


Panduan Guru

Untuk i hingga iii murid berbincang sesama mereka untuk mengira bilangan segi empat sama yang terkandung dalam setiap rajah.Guru memberi bimbingan yang sesuai apabila diminta oleh murid.

Apabila sampai kepada kes grid 10x10 ada murid mungkin masih menggunakan strategi membilang manakala mereka yang menggunakan pola telah menggunakan strategi mengira iaitu:

Petak 1x1= 10²Petak 2x2 = 9²Petak 3x3 = 8²• • • • • • Petak 10x10 = 1 = 1²

Jumlah segi empat sama = 100 + 81 + 64 + 49 + …......+ 4 + 1 = 385

Daripada kes yang mereka terokai murid cadangkan petua bahawa bilangan segi empat sama nxn = jumlah nombor kuasa dua daripada 1 hingga n².

Peranan guru di sini ialah untuk membimbing murid merekod penerokaan dalam bentuk sistematik supaya mereka nampak pola itu.

Untuk menguji kebenaran petua itu murid boleh cuba mengaplikasikannya kepada kes yang mereka telah kaji pada awalnya.

Bagi mereka yang buntu guru boleh mencadangkan mereka uji petua itu dengan kes yang mereka sudah ketahui jawapannya.

Latihan1. Bagaimanakah anda memperkenalkan topik pendaraban kepada murid?

2. Rancang satu aktiviti pembelajaran secara konstruktivis bagi topiki. pendaraban sebagai penambahan berulangii. pendaraban sebagai susunan segi empat


2. 2. 2 Kerangka Konsep

2.2.4 Perbandingan Objektivisme Dengan Konstruktivisme

Paradigma pendidikan masa kini adalah kebanyakannya merupakan paradigma objektivisme. Paradigma ini gagal menyelesaikan banyak masalah dalam pendidikan. Perbezaan antara objektivisme dengan konstruktivisme adalah sangat nyata. Objektivisme berdasarkan tanggapan bahawa wujud pengetahuan di luar persepsi manusia. Menurut pandangan ini, fungsi sains ialah untuk memastikan pengetahuan disampaikan secara objektif. Proses pembelajaran dalam paradigma ini hanyalah untuk menyalarkan pengetahuan dari pendidik kepada murid. Pengetahuan sains dari perspektif konsruktivisme adalah penjelasan paling sesuai untuk menghuraikan fenomena yang diperhatikan. Ahli objektivisme berpendapat bahawa kata pemutus tentang apa yang perlu diajar dan siapa yang patut mengajar adalah dibuat oleh `pakar' yang semestinya mengetahui segala-galanya. Ini menyebabkan ramai murid tidak dapat melihat


keperluan belajar sebagaimana yang dilihat oleh pihak `pakar'. Model autoritarian ini menjadikan guru sebagai sumber pengetahuan dan menjadikan guru sangat penting dalam bilik darjah. Murid dan juga orang awam beranggapan guru mempunyai segala jawapan bagi semua masalah. Sistem ini gagal melahirkan murid yang produktif dan berpengetahuan luas.

Dari pandangan ahli konstruktivisme, setiap orang murid mempunyai peranan dalam menentukan apa yang akan mereka pelajari. penekanan diberi kepada menyediakan murdi dengan peluang untuk membentuk kemahiran dan pengetahan di mana mereka menghubungkaitkan pengalaman lampau mereka dengan kegunaan masa depen. murid bukan hanya dibekalkan dengan fakta-fakta sahaja, sebaliknya penekanan diberi kepada proses berfikir dan kemahiran berkomunikasi. Selepas satu sesi perbincangan murid bersama-sama menetnukan perkara penting yang harus dipelajari dan tujuan mempelajarinya. Dalam proses ini murid akan mengalami prosedur yang digunakan oleh seorang saiantis seperti menyelesaikan masalah dan memeriksa hasil yang diperolehi

Melalui penggunaan paradigma konstruktivisme, guru perlu mengubah peranannya dalam bilik sains. Guru mungkin akan berperanan sebagai pelajar atau penyelidik. Dengan cara ini, guru akan lebih memahami bagaimana murid membina konsep atau pengetahuan. Justeru itu guru akan memperolehi kemahiran untuk membina dan mengubahsuai kefahaman serta berkomunikasi dengan orang lain. Guru akan memahami bahawa proses pembinaan dan pengubahsuaian konsep merupakan satu proses berterusan dalam kehidupan. Dalam paradigma konstruktivisme, murid menganggap peranan guru sebagai salah satu sumber pengetahuan dan bukan sebagai seorang yang tahu segla-galanya. Mereka menganggap pengetahuan sebagai sesuatu yang boleh disesuaikan dan boleh berubah. Mereka juga sedar bahawa mereka bertanggungjawab terhadap diri sendiri untuk menggunakan pelbagai cara bagi memproses makluamt dan menyelesaikan masalah. Dalam erti kata lain, guru adalah berperanan sebagai seorang fasilitator dan pembimbing. Hubungan guru dengan murid boleh diumpamakan sebagai hubungan di antara bidan dengan ibu yang melahirkan anak. Guru bertanggung jawab membimbing dan membantu murid mempelajari sesuatu pelajaran dengan bermakna. Guru tidak boleh belajar untuk murid. Murid yang membina fahaman sendiri. Kebanyakan teknik penilaian sekarang adalah berdasarkan paradigma objektivisme. Dalam pengujian yang dijalankan, murid akan diuji sama ada dia dapat memberikan jawapan yang dikehendaki oleh penggubal soalan. Mereka juga dianggap mempunyai tafsiran yang sama dengan penggubal soalan tentang apa yang dikehendaki dalam soalan. Oleh yang demikan, soalan-soalan ujian tidak sebenarnya menguji kefahaman dan pengetahuan murid, tetapi hanya menguji kemahiran murid untuk membekalkan jawapan yang dikehendaki oleh penggubal soalan sahaja.

Menurut teori konstruktivisme, penilaian harus merangkumi cara menyelesaikan masalah dengan munasabah dan pengetahuan. Antara teknik-teknik penilaian yang sedemikian ialah peta konsep, rajah Venn, portfolio, ujian prestasi dan ujian


berpasukan. Pandangan ahli konstruktivisme terhadap disiplin di dalam kelas adalah berbeza dengan ahli objektivisme. Ahli konstruktivisme menganggap peranan guru adalah sebagai pengurus kelas dan boleh menangani hal-hal disiplin murid dengan sempurna. murid diterima sebagi individu yang mempunyai ciri-ciri perlakuan yang berbeza di mana setiap individu itu diangap penting dalam proses pembelajaran dan perlu diberi perhatian yang wajar. Mereka diberikan peluang untuk membuat keputusan sendiri tentang perkara-perkara yang akan mereka pelajari. Melalui proses ini, mereka akan lebih prihatin, bertanggungjawab dan melibatkan diri dalam aktiviti pembelajaran mereka.

Sebaliknya ahli objektivisme berpendapat bahawa guru harus berperanan sebagai pengawal disiplin kelas. Murid tidak ada pilihan kecuali menurut peraturan dan undang-undang yang ditetapkan. Mereka yang ingkar akan didenda. Pengajaran dan pembelajaran yang berasaskan konstruktivisme memberi peluang kepada guru untuk memilih kaedah pengajaran dan pembelajaran yang sesuai dan menentukan sendiri masa yang diperlukan untuk memperolehi sesuatu konsep atau pengetahuan. Di samping itu, guru dapat membuat penilaian kendiri dan menilai kefahaman orang lain supaya kefahamannya tentang sesuatu bidang pengetahuan dapat ditingkatkan lagi.

2.2.5 Perbandingan Objektivisme Dengan Konstruktivisme Dalam Pendidikan

Objektivisme Konstruktivisme

Tanggapan Utama

Pengetahuan wujud bebas dari persekitaran dalaman dan luaran pelajar

Pengetahuan bukan objektif, apa yang kita benar-benar tahu dan faham hanyalah persepsi kit. Ia ditentukan oleh kita semua. Pengetahuan tidak mempunyai struktur mutlak

Kesan

Guru menolong murid membina pengetahuan dan rangka konteks di mana ia wujud. Mereka mengguna analogi, contoh dan pelbagai kaedah mengingat. Mereka tanya soalan untuk membantu murid

Guru menolong murid membina kefahaman baru dan menolong murid merakamkannya ke dalam struktur kognitif sedia ada. Mereka melakukannya dengan menolong murid membentuk analogi, contoh dan kaedah mengingat murid sendiri, dan guru menolong murid membentuk soalan yang perlu ditanya bagi membimbing mereka ke arah kefahaman yang lebih tinggi

Respons Guru

"ada perkara yang anda hendak tahu dan saya akan ajar kepada anda apa yang

"Ada perkara yang anda hendak tahu dan saya akan tolong anda mengetahui bagaimana anda boleh


saya tahu""Saya ajari ini, mereka belajar ini""Pelajar ini sungguh bijak, mereka belajar apa saja yang saya ajarkan"

belajar mengenainya""Saya ajar ini, mereka belajar itu""Pelajar ini sungguh bijak, mereka belajar perkara yang saya tidak pernah rancang untuk ajar mereka"

INKUIRI PENEMUAN

Pembelajaran berasaskan inkuiri diperkenalkan pada tahun 1960-an sebagai tindak balas kepada bentuk pengajaran tradisional, di mana murid-murid dikehendaki menghafal maklumat daripada bahan pengajaran. Falsafah pembelajaran berasaskan inkuiri adalah berlatar belakangkan teori pembelajaran konstruktivis seperti idea Piaget, Dewey, Vygotsky, dan Freire yang boleh dianggap sebagai konstruktivis.

Pembelajaran inkuiri menekankan idea pembelajaran konstruktivis dimana pengetahuan adalah dibina daripada pengalaman dan proses terutamanya yang berdasarkan pengalaman sosial. Pembelajaran ini berlaku dengan baik dalam situasi kumpulan. Kemajuan dan hasil pembelajaran biasanya dinilai daripada segi sejauh mana murid-murid dapat mengembangkan kemahiran eksperimen, analisis dan bagaimana mereka bekerja dalam kumpulan.

Pembelajaran berasaskan inkuiri merangkumi pelbagai pendekatan untuk pengajaran dan pembelajaran, termasuk:• Kerja lapangan• Kajian kes• Siasatan• Projek Individu dan kumpulan • Projek-projek Penyelidikan

Proses pembelajaran melalui kaedah inkuiri penemuan ditunjukkan dalam gambar rajah berikut:

Mengenal pasti masalahMengenal pasti masalah

Merancang strategi penyelesaianMerancang strategi penyelesaian

Mengumpul maklumat yang berkaitanMengumpul maklumat yang berkaitan

Mengkaji dan menganalisa maklumat yang dikumpulMengkaji dan menganalisa maklumat yang dikumpul

Membuat generalisasi atau rumusanMembuat generalisasi atau rumusan


Dalam aktiviti pengajaran dan pembelajaran, terdapat dua jenis teknik inkuiri iaitu ‘inkuiri terbimbing’ dan ‘inkuiri terbuka’. Inkuiri terbimbing memerlukan guru membimbing pelajar menjalankan segala proses kajian. Inkuiri jenis ini sesuai dilaksanakan pada peringkat sekolah rendah dan menengah. Dalam inkuiri terbuka, pelajar tidak diberi sebarang bimbingan. Segala proses kajian dijalankan oleh pelajar sendiri. Oleh itu, ianya sesuai dilaksanakan pada peringkat pengajian yang lebih tinggi seperti di universiti. Kesimpulannya, model inkuiri ini amat berguna bagi mendapatkan maklumat dan pengetahuan baharu dalam pelbagai bidang khususnya dalam bidang pendidikan.

Huraikan apakah yang dimaksudkan dengan kaedah inkuiri-penemuan dalam pengajaran matematik (Matematik) di sekolah menengah?

Dalam PdP Matematik banyak konsep, hukum, rumus dan teorem matematik boleh dipelajari dengan menggunakan kaedah inkuiri-penemuan. Terangkan bagaimanakah pelajar boleh menemui luas segitiga dengan menggunakan kaedah ini?


Contoh Pengajaran dan Pembelajaran dalam Matematik – Pendekatan Inkuiri Penemuan

Topik : Mencari nilai maksimum dan nilai minimum fungsi kuadratik.

Langkah-langkah pembelajaran :

1. Pelajar-pelajar diminta melukis graf bagi fungsi kuadratik , 432 ++= xxy

di atas kertas graf saiz A4.2. Pelajar-pelajar diminta mengisi maklumat-maklumat bagi nilai-nilai

koordinat titik x dan titik y dalam jadual berikut:

Titik x Nilai y

3. Pelajar-pelajar diminta mengkaji dan menganalisa maklumat-maklumat yang telah dikumpulkan dalam jadual.

4. Melalui perbincangan dan perbandingan nilai-nilai x da y , akhirnya pelajar-pelajar akan menemui nilai-nilai maksimum atau minimum sesuatu fungsi kuadratik. Seterusnya, melalui penerokaan ini juga pelajar-pelajar akan dapat menentukan rumus bagi mencari nilai maksimum atau minimum sesuatu fungsi kuadratik iaitu :

Jika kita membuat kajian tentang aktiviti pembelajaran ikuiri-penemuan ini, kita dapati bahawa proses pembelajaran ini juga melibatkan beberapa kaedah pembelajaran matematik yang lain seperti penerokaan.

cbxaxymakaa

bx ++=−= 2 ,

2


PENEROKAAN

Keupayaan seseorang guru membentuk suasana pembelajaran yang berkesan

akan menggalakkan pelajar-pelajar meneroka, menyiasat, membuat hipotesis

dan membuat kesimpulan dalam perkembangan sesuatu pelajaran.

Guru juga perlu sedar bahawa tugasan pelajar yang ,elibatkan proses

penerokaan akan dapat membantu pelajar-pelajar mempelajari konsep ,

kemahiran, pengetahuan baharu serta dapat membentuk sikap yang positif

dalam kalangan pelajar itu sendiri.

Beberapa kemahiran dan strategi yang perlu dikuasai oleh pelajar-pelajar

sebelum melaksanakan aktiviti penerokaan dalam matematik adalah :

(i) Pemilihan topik

• kenalpasti topik yang sesuai

• perkembangkan topik

• pelaksanaan terhadap topik yang difokus

• memastikan topik yang dipilih sesuai untuk aktiviti penerokaan

(ii) komunikasi

• dapat menyatakan idea dengan jelas

• mengenalpasti matlamat idea dengan jelas

• fokus kepada matlamat dan elakkan perkara yang tidak relevan

• menstrukturkan idea dengan baik dan secara logikal

• menggunakan graf, jadual atau gambar rajah dimana perlu dan sesuai

• mengedit penerokaan supaya mudah diikuti

• citing rujukan dimana perlu

(iii) Persembahan secara matematik


• menggunakan bahasa matematik dan perwakilan

• memberikan definisi kepada terma-terma dalam matematik

• memilih alat matematik yang sesuai (e.g. – ICT)

• menyatakan dapatan dengan tepat

(iv) Penglibatan secara personal

• dapat bekerja secara kendiri

• menanya soalan, membuat konjektur dan penyiasatan idea matematik

• membuat penyelidikan dan membaca berkaitan bidang yang diterokai

• membina model matematik untuk situasi sebenar

• mempertimbangkan sejarah dan perspektif global

• meneroka bidang matematik yang masih belum dikenali

(v) refleksi

• membincangkan implikasi dapatan

• mempertimbangkan signifikan penerokaan

• melihat limitasi dan / atau extension

• membuat perkaitan dengan bidang lain bagi matematik.

Sebelum membuat penerokaan, pelajar-pelajar perlu :

- kriteria

- idea, jurnal, buku catatan

- mencari idea di mana-mana

- membiasakan diri dengan Geogebra, Excel, GSP dll.

3.1 Definisi dan jenis masalah

3.1.1 Masalah rutin

3.1.2 Masalah bukan rutin

3.2 Model Penyelesaian Masalah Polya untuk matematik

3.3 Aplikasi model Polya dalam pengajaran dan pembelajaran matematik

3.4 Strategi-strategi penyelesaian masalah

3.5 Aplikasi strategi-strategi penyelesaian masalah dalam pengajaran dan

pembelajaran matematik


TAJUK 3 PENYELESAIAN MASALAH DALAM MATEMATIK

SINOPSIS

HASIL PEMBELAJARAN

Penyelesaian masalah merupakan elemen utama dalam kurikulum matematik kini.

Menguasai kemahiran penyelesaian masalah adalah penting kerana ia merupakan

proses dimana pengetahuan, kemahiran dan pemahaman sedia ada digunakan untuk

menyelesaikan masalah dalam situasi dan konteks baharu. Tajuk ini membincangkan

tentang penyelesaian masalah, Model Penyelesaian Masalah Polya serta pelbagai

strategi penyelesaian masalah dan aplikasinya dalam pengajaran dan pembelajaran

matematik.

Di akhir topik ini, pelajar dapat :

Mentakrif dan membezakan masalah rutin dan masalah bukan rutin

Menjelaskan Model Penyelesaian Masalah Polya

Menguasai pelbagai strategi penyelesaian masalah

Mengaplikasi strategi penyelesaian masalah dalam pengajaran dan

pembelajaran


3.1 DEFINISI DAN JENIS MASALAH

Sebelum membincangkan tentang penyelesaian masalah perlu dibuat penjelasan

tentang maksud ‘masalah’ itu sendiri. Kerapkali istilah ‘latihan’ dan ‘masalah’ dianggap

membawa pengertian yang sama. Semasa menyelesaikan latihan, kita menggunakan

prosedur rutin untuk mendapatkan jawapan. Manakala untuk menyelesaikan masalah

kita perlu berfikir sejenak dan mencari jalan serta memeikirkan langkah-langkah tertentu

yang mungkin tidak pernah dicuba sebelum itu, untuk mendapatkan penyelesaian.

Keperluan terhadap satu pemikiran kreatif dari pihak penyelesai masalah itulah yang

membezakan antara latihan dengan penyelesaian masalah. Bagi seorang kanak-kanak,

mencari penyelesaian kepada soalan 4 + 2 mungkin menjadi satu masalah tetapi tidak

bagi seorang dewasa kerana penyelesaian 4 + 2 adalah satu fakta. Begitu juga bagi

kanak-kanak dalam tahun 1, soalan ‘Bagaimana kamu membahagikan sama banyak 90

batang pensil kepada 15 orang?’ merupakan satu masalah sedangkan orang dewasa

melihatnya sebagai satu latihan rutin, “ cari 90 .’ Latihan membantu kita mempelajari

konsep, ciri-ciri atau prosedur yang boleh digunakan semasa menyelesaikan masalah.

Secara umum, masalah boleh diklasifikasikan sebagai masalah rutin dan masalah

bukan rutin.

3.1.1 MASALAH RUTIN

Masalah rutin ialah jenis masalah matematik yang memerlukan penyelesaian secara

mekanikal iaitu pengiraan yang melibatkan empat operasi dalam matematik iaitu

penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian. Masalah rutin juga ialah

aplikasi secara langsung rumus atau prinsip matematik. Secara umumnya masalah rutin

ini ialah jenis penyelesaian masalah dalam matematik yang paling mudah atau asas

yang bertujuan hanya untuk memudahkan pelajar menguasai konsep algoritma.

Masalah dapat diselesaikan dengan kaedah yang biasa murid gunakan dengan

mereplikasikan kaedah yang dipelajari sebelumnya secara langkah demi langkah.

Penyelesaian masalah rutin menekankan penggunaan satu set p[rosedur yang diketahui

atau yang ditetapkan(algoritma) untuk menyelesaikan masalah.

Contoh masalah rutin:


Berapakah luas segi empat tepat yang berukuran 5 cm dengan 6 cm?

3.1.2 MASALAH BUKAN RUTIN

Masalah bukan rutin pula ialah penyelesaian masalah yang unik di mana murid perlu

mangaplikasikan kemahiran dan konsep atau prinsip dalam matematik yang telah

dipelajari dan dikuasai. Kaedah penyelesaian masalah bukan rutin dalam matematik

tidak boleh dihafal atau dicongak, tidak seperti mana menjawab soalan yang berbentuk

pengiraan. Proses penyelesaian masalah ini memerlukan analisis dan penaakulan

matematik yang melibatkan satu set aktiviti yang sistematik di mana ianya mempunyai

perancangan yang logik termasuk strategi yang hendak digunakan serta pemilihan

kaedah yang sesuai untuk melaksanakannya. Banyak masalah rutin boleh diselesaikan

dengan lebih daripada satu cara, dan mungkin mempunyai lebih daripada satu

penyelesaian.

Contoh masalah bukan rutin:

Dengan menggunakan dawai sepanjang 44 cm bina bentuk yang mempunyai luas yang

maksimum.

3.2 MODEL PENYELESAIAN MASALAH POLYA UNTUK MATEMATIK

Menurut Krulik dan Rudnick (1989), penyelesaian masalah adalah satu proses yang

kompleks dan sukar dipelajari. Ianya mengandungi satu siri tugasan dan proses

pemikiran yang berkait rapat untuk membentuk satu set corak pemikiran heuristik. Ianya

merupakan satu keadaan dimana pelajar mesti melaluinya untuk menyelesaikan

masalah dalam matematik. Heuristik adalah suatu langkah-langkah umum yang

memandu pemecah masalah dalam menemukan solusi masalah. Heuristik tidak

menjamin solusi yang tepat, tetapi hanya memandu dalam menemukan solusi dan tidak

menuntut langkah berurutan. Heuristik ialah satu kaedah umum yang mana dapat

diapliksikan kepada semua jenis masalah.

Dalam setiap fasa penyelesaian masalah, beberapa soalan ditanya atau cadangan

untuk membantu para pelajar memahami masalah serta mendapat penyelesaian

tentang masalah tersebut. Salah satu pendekatan pengajaran ialah pendekatan

berpusatkan masalah (problem-centered approach). Pendekatan ini dipercayai dapat

menerokai idea – idea penting dalam matematik serta memperkembangkan kuasa


matematik iaitu keupayaan untuk membuat matematik dan mempunyai celik akal dalam

pembelajaran matematik. Ianya juga dapat mengelakkan penekanan daripada

melakukan aktiviti matematik kepada memikirkan hubungan

3.3 Aplikasi model Polya dalam pengajaran dan pembelajaran matematik

Terdapat beberapa model penyelesaian masalah yang sering digunakan dalam

pendidikan matematik seperti Model Lester (1975), Model Mayer (1983), Model Polya

(1973) dan Model Schoenfeld (1985). Kurikulum Bersepadu Sekolah Menengah (KBSM)

menggunakan Model Polya sebagai model utamanya. Menurut Model Polya terdapat

empat fasa penyelesaian masalah matematik iaitu:

• memahami masalah

• merancang strategi

• melaksanakan rancangan

• menyemak jawapan

Rajah 1: Model penyelesaian masalah Polya

MODEL PENYELESAIAN MASALAH POLYA

3.3.1 Memahami masalah

Ramai murid tidak dapat menyelesaikan masalah karena mereka tidak faham masalah

yang mereka perlu selesaikan. Langkah pertama penyelesaian masalah ialah

Merancang strategi

Memahami masalah

Melaksanakan rancangan

Menyemak jawapan


memahami masalah. Murid seharusnya diajukan dengan masalah, diberikan peluang

berbincang tentangnya, memutuskan maklumat apa yang penting dan adakah istilah

yang tidak lazim digunakan. Galakkan murid:

• membaca soalan lebih dari sekali,

• berbincang dengan murid lain tentang kehendak soalan agar kefahaman

mereka adalah sama

• membuat visualisasi tentang masalah

Bagi membantu murid memahami masalah guru boleh mengutarakan beberapa

soalan seperti berikut:

• Adakah anda faham semua perkataan yang digunakan dalam pernyataan

masalah tersebut? Jika tidak, cari maksudnya dahulu sebelum anda

meneruskan penyelesaian

• Bolehkah anda menyatakan semula masalah tersebut dengan ayat anda

sendiri?

• Apakah yang dikehendaki oleh soalan itu?

• Apakah yang anda perlu cari atau tunjukkan?

• Apakah maklumat yang anda dapat daripada pernyataan masalah tersebut?

• Apakah yang anda tidak diketahui?

• Apakah maklumat yang tiada atau tidak diperlukan?

3.3.2 Merancang Strategi

Setelah murid faham masalah dan mengenalpasti maklumat yang diberikan baharulah

mereka boleh merancang strategi penyelesaian. Guru haruslah membimbing murid

mencari perkaiatan antara maklumat yang diberi dengan apa yang tidak diketahui.


Soalan-soalan berikut boleh dijadikan panduan ketika merancang strategi penyelesaian

masalah:

• Apakah perhubungan antara data dengan perkara yang tidak diketahui?

• Adakah masalah ini sama atau mirip dengan masalah yang pernah anda

selesaikan sebelum ini?

• Apakah strategi yang boleh anda gunakan?

• Adakah anda telah mengambil kira semua syarat atau data yang diberi?

Beberapa kaedah boleh digunakan untuk menyelesaikan sesuatu masalah. Guru perlu

menyarankan bahawa satu masalah kadangkala boleh diselesaikan menggunakan

berbagai strategi. Kemampuan mencari pelbagai cara menyelesaikan satu masalah

adalah lebih bermakna daripada mengunakan kaedah yang sama untuk menyelesaikan

beberapa masalah yang berbeza.

3.3.3 Melaksanakan strategi

Berikut adalah panduan yang boleh digunakan dalam melaksanakan strategi

penyelesaian masalah:

• Laksanakan strategi yang telah dipilih dan selesaikan masalahtersebut.

• Semak setiap langkah yang telah dilaksanakan.

• Pastikan langkah-langkah yang dipilih adalah tepat.

3.3.4 Menyemak Semula

Langkah ini sering diabaikan dalam penyelesaian masalah. Sebagaiguru matematik ,

anda perlu sentiasa mengingatkan murid supaya menyemakjawapan mereka. Gunakan

panduan berikut ketika melaksanakanlangkah ini:

• Baca semula soalan.

• Adakah anda menjawab soalan yang dikemukakan?


• Adakah jawapan anda betul?

• Adalah jawapan anda munasabah?

3.4 Strategi-strategi penyelesaian masalah

Sebagai seorang guru matematik, anda perlu mengajar murid anda cara untuk

menyelesaikan masalah matematik. Penggunaan model penyelesaian masalah Polya

merupakan langkah pertama menyelesaikan masalah masalah dengan baik. Pada

langkah 2 model ini, anda harus mengetahui pelbagai strategi penyelesaikan masalah.

Berikut ialah beberapa strategi yang boleh digunakan.

3.4.1 Teka dan uji

Meneka jawapan biasanya tidak digalakkan dalam kalangan murid. Namun dalam

penyelesaian masalah, penekaan ilmiah adalah digalakkan. Penyelesai masalah perlu

membuat satu tekaan yang munasabah dan kemudiannya menyemak jawapan

berdasarkan syarat dalam masalah dan membuat penambahbaikan terhadap

tekaannya. Proses diulangi sehingga jawapan diperolehi.

Contoh:

Pak Ali ingin memagar kandang lembunya menggunakan 96 meter pagar baharu

sebagai tambahan kepada pagar yang sedia ada. Pagar sedia ada dijadikan sebagi satu

sisi kandang berbentuk segi empat. Apakah ukuran kandang yang mempunyai luas

maksima apabila seluruh pagar siap dipasang?

pagar sedia ada

lebar

panjang

Buat tekaan dan isi nilai dalam jadual sehingga luas maksima diperolehi

panjang(m) lebar(m) Luas(m2)


30 36 108025 46 115020 56 112023 50 115024 48 1152

Maka luas maksima diperolehi apabila lebar ialah 24 m dan panjang 48 m.

pagar sedia ada

24 m 24 m

48 m

3.4.2 Penggunaan gambarajah

Kita biasa mendengar kata pepatah Inggeris, “ A picture is worth a thousand words”.

Begitu juga dalam menyelesaikan masalah matematik. Lukisan rajah boleh memberikan

kita gambaran yang lebih jelas untuk mengaitkan maklumat yang diberi dengan

penyelesaian masalah.

Contoh:

Adriana mengunci jamnya pada pukul 7.30 pagi. Pada pukul 1.30 tengahari dia

mendapati jamnya lambat 4 minit daripada waktu sebenar. Ramalkan berapa minit jam

Adriana ketinggalan dari waktu sebenar pada pukul 7.30 pagi keesokan harinya.

Penyelesaian:

Memandangkan kita tidak boleh menggunakan sistem perpuluhan untuk menyelesaikan

masalah, maka penggunaan lukisan adalah wajar untuk kita mentafsir maklumat yang

ada.

1152 m2

Cari dua integer positif yang mempunyai beza 5 dan jumlah punca

kuasa duanya juga ialah 5.


Dengan melihat muka jam yang mewakilkan 7.30 pagi dan 1.30 tengahari, kita dapat

menentukan bahawa 6 jam telah berlalu dari pukul 7.30 pagi hingga 1.30 tengahari.

Dengan menggunakan nisbah 4 minit ketinggalan bagi setiap 6 jam, kita dapat

meramalkan bahawa 16 minit akan ketinggalan bagi tempoh 24 jam. Kita juga boleh

terus melukis pada muka jam, dengan mengira kelewatan 4 minit bagi setiap pergerakan

6 jam, dan memperoleh

kelewatan sebanyak 16 minit bagi pergerakan 24 jam.

3.4.3 Mengenal pasti pola

Salah satu keindahan matematik ialah logik dan keteraturan yang dimilikinya. Logik ini

juga boleh dilihat secara fizikal sebagai satu pola, atau siri pola. Strategi mengenal pasti

pola dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah sekiranya masalah itu mempunyai

pola tertentu.

Contoh:

Cari hasil tambah 20 nombor ganjil yang pertama.

Penyelesaian:

Soalan ini hanya melibatkan penambahan mudah namun ianya memakan masa.

Nombor ganjil yang ke 20 ialah 39. Dengan kata lain kita perlu mencari jumlah 1 + 3 + 5

+ 7 + ....... + 35 + 37 + 39. Mungkin ada murid yang cuba menyelesaikannya seperti

yang dibuat oleh Gauss yang menambah nombor secara berpasangan (1 + 39) , (3 +

37) +( 5 + 35) + ... dan mengira kesemua jumlah ulangan 40 itu.

Cuba lihat kaedah yang berikut pula :

Pada pukul 5.00, sebuah jam dinding berbunyi lima kali selama 5 saat.

Berapa lamakah jam yang sama, pada kadar yang sama, akan

berbunyi 10 kali pada pukul 10.00?


Nombor yang ditambah Bilangan Jumlah1 1 11+ 3 2 41 + 3 + 5 3 91 + 3 + 5 + 7 4 161 + 3 + 5 + 7 + 9 5 251 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 6 36

Setelah meneliti jadual di atas kita dapat melihat bahawa jumlah n nombor ganjil yang

pertama ialah n2. Maka jawapan kepada masalah yang diberi ialah 202 = 400.

Mengesan pola (sekiranya ada) jelas dapat membantu menyelesaikan masalah yang

pada mulanya kelihatan rumit.

3.4.4 Bina jadual

Satu strategi yang kerap digunakan bersama strategi mencari pola ialah membina

jadual. Data dalam bentuk jadual memudahkan pengecaman pola dan pengenalpastian

maklumat yang ketinggalan.

Contoh:

Terdapat hanya dua segi empat tepat yang bersisi nombor bulat dan mempunyai luas

dan perimeter yang sama. Apakah kedua-dua segi empat tersebut?

Penyelesaian:

Sebelum memulakan penyelesaian, maklumat tentang luas dan perimeter perlu

diketahui.

luas = panjang x lebar atau L = p x ℓ

perimeter = 2(panjang) x 2(lebar) atau p = 2p + 2 ℓ

Dengan membina jadual, kita boleh memulakan pencarian menggunakan ukuran

nombor bulat yang paling kecil.

panjang lebar perimeter luas1 1 4 12 1 6 23 1 8 34 1 10 4


Daripada jadual di atas kita boleh perhatikan bahawa nilai perimeter dan nilai luas

semakin menjauh. Maka carian dengan lebar 1 diketepikan dan pencarian baharu

dengan lebar 2 dimulakan.

panjang lebar perimeter luas2 2 8 43 2 10 64 2 12 85 2 14 10

Sekarang boleh diperhatikan bahawa nilai perimeter berubah dengan tambahan 2 unit

dan nilai luas berubah dengan tambahan 4 unit. Maka sekali lagi carian lain dibuat.

panjang lebar perimeter luas3 3 12 94 3 14 125 3 16 156 3 18 187 3 20 218 3 22 249 3 24 27

Satu penyelesaian dengan lebar = 6 dan panjang = 3 ditemui. Pola perimeter-luas

menunjukkan carian seterusnya dengan lebar 3 tidak akan berhasil.

panjang lebar perimeter luas4 4 12 16

Cubaan seterusnya dengan lebar 4 memberikan satu lagi penyelesaian. Maka segi

empat tepat yang bersisi nombor bulat dan mempunyai perimeter dan luas yang sama

ialah 6 kali 3 dan 4 kali 4.

3.4.5 Bekerja dari belakang

Kadang-kadang anda berhadapan dengan soalan yang menyatakan keadaan akhir

sesuatu proses dan anda diminta mencari keadaan awalnya. Ada juga ketikanya

semasa mencari penyelesaian, adalah lebih mudah bagi anda melaksanakan

penyelesaian menggunakan hasil akhir dan bekerja secara sonsgang ke arah langkah

awal. Dalam kedua-dua situasi ini bekerja dari belakang merupakan strategi yang amat

berkesan untuk digunakan.


Contoh:

Bekas air A dan bekas air B mengandungi air yang tidak diketahui kapasitinya. Bekas A

mengandungi lebih air daripada bekas B. Tuang air dari bekas A ke dalam bekas B

sebanyak air yang sedia ada dalam bekas B. Kemudian tuang air dari bekas B ke dalam

bekas A sebanyak baki air yang tinggal di dalamnya. Akhir sekali tuang air dari bekas A

ke dalam bekas B sebanyak air yang B ada. Sekarang kedua-dua bekas mengandungi

64 liter air. Berapakah kapasiti air di dalam kedua-dua bekas pada mulanya?

Penyelesaian:

Tentu anda kebingungan sekarang. Perhatikan masalah ini mengandungi satu siri

perbuatan yang hasil akhirnya diketahui. Maka kita mula dengan langkah akhir dan

bekerja secara songsang untuk mendapatkan penyelesaian.

A B

Keadaan akhir

Pernyataan masalah Songsangan perbuatanAkhir sekali tuang air dari

bekas A ke dalam bekas B

sebanyak air yang B ada

Tuang air dari bekas B ke

dalam bekas A sebanyak

setengah kapasiti air yang ada

dalam B

Kemudian tuang air dari

bekas B ke dalam bekas A

sebanyak baki air yang

tinggal di dalamnya

Tuang air dari bekas A ke

bekas B sebanyak setengah

air yang terkandung dalam A

Tuang air dari bekas A ke

dalam bekas B sebanyak air

yang sedia ada dalam bekas

B

Tuang air dari bekas B ke

dalam bekas A

sebanyaksetengah kapasiti air

di dalam bekas B

64ℓ64ℓ

96ℓ32ℓ

48ℓ80ℓ

88ℓ40ℓ


Kapasiti awal air dalam

bekas

Maka bekas A mengandungi 88 ℓ air dan bekas B mengandungi 40 ℓ air pada mulanya.

Sekiranya anda tidak percaya dengan penyelesaian tersebut, anda boleh melaksanakan

proses penuangan dengan menggunakan nilai awal dan melaksanakan semua langkah

penuangan air untuk mendapatkan nilai 64 ℓ !

3.4.6 Mengenal pasti subgol

Mengenalpasti subgol ialah satu strategi penyelesaian masalah di mana, masalah

diselesaikan langkah demi langkah sehingga penyelesaian diperolehi.

Contoh:

Dalam satu permainan, dua kanak-kanak akan menang dan seorang kalah. Kanak-kanak yang kalah perlu menggandakan skor setiap pemenang dengan menolak skor yang dimilikinya.Permainan berlangsung sebanyak tiga kali, dengan dua kemenangan dan satu kekalahan setiap kali. Diakhir permainan setiap kanak-kanak mempunyai skor 40. Berapakah skor setiap kanak-kanak pada mulanya?


Katakan 3 pekerja boleh menanam 10 pokok dalam 20 minit. Jika semua pekerja

bekerja pada kadar yang sama, berapa banyak pokok yang boleh ditanam oleh 14

pekerja dalam masa 90 minit?

Penyelesaian:

Masalah boleh diselesaikan dalam beberapa langkah.

• Jika 3 pekerja boleh menanam 10 pokok dalam masa 20 minit, maka kadar

penanaman pokok bagi ketiga-tiga pekerja ialah 10 ÷ 20. Oleh itu, kadar

penanaman pokok seorang pekerja ialah (10 ÷ 20) atau .

• Katakan x ialah bilangan pokok yang boleh ditanam oleh 14 pekerja dalam masa

90 minit, Maka kadar penanaman pokok bagi 14 pekerja ialah dan kadar

penanaman pokok bagi seorang pekerja ialah .

• Memandangkan kadar penanaman bagi seorang pekerja adalah sama bagi

setiap belah persamaan,

Maka x = 210. Dengan kata lain, 14 pekerja boleh menanam 210 batang pokok dalam

masa 90 minit.

Isikan kesemua petak dalam grid dengan nombor-nombor 5 hingga 13 sedemikian hingga jumlah nombor bagi setiap lajur, baris dan pepenjuru adalah sama.


3.4.7 Melakonkan

Kerapkali halangan utama dalam penyelesaian masalah ialah membayangkan senario

yang berlaku dan kaitannya dengan masalah. Untuk mengatasi keadaan ini,

melakonkan proses dalam masalah boleh membantu menyelesaikan masalah.

Contoh:

Ali membeli anak kambing berharga RM600, menjualnya kepada Chin dengan harga

RM700, membelinya semula pada harga RM800 dan menjualnya semula dengan harga

RM900. Berapakah keuntungan atau kerugian yang dialami Ali itu dalam urusan jual beli

tersebut?

Penyelesaian:

Katakan Ali mempunyai modal RM1000 dan Chin RM600

Ali Chin

Mula RM1000 RM600 + Ali beli pada harga RM600

RM400 + RM1200Ali jual dengan harga

RM700 RM1100 RM500 + Ali beli pada harga RM800

RM300+ RM1300Ali jual dengan harga

RM900 RM1200 RM400 +

Ali bermula dengan RM1000 tanpa kambing. Akhirnya dia memiliki RM1200 tanpa

kambing juga. Maka keuntungan Ali ialah RM1200 – RM 1000 = RM200.

3.4.10 Kaedah analogi

Dalam sebuah bilik terdapat 10 orang. Jika setiap orang berjabat tangan dengan semua orang lain yang ada di dalam bilik itu, berapakah bilangan jabatan tangan yang berlaku?


Kadang kala kita perlu menukar soalan yang diberi kepada bentuk yang lebih mudah

untuk diselesaikan.

Contoh:

Jika xPy = , apakah nilai x – y?

Sekali pandang, bilangan faktorial yang banyak itu sudah cukup untuk membunuh

semangat murid untuk menyelesaikannya. Namun dengan mempertimbangkan satu

masalah analogi yang lebih mudah, katakan 7P3 = , kita dapat perhatikan bahawa

hanya penyebut dalam soalan itu yang mempunyai peranan dalam menentukan nilai x –

y. Maka kita hanya perlu menilaikan (3!)! = 720 untuk mendapatkan jawapan. Penelitian

masalah analogi yang lebih mudah memberikan kita petunjuk kepada penyelesaian, iaitu

pengangka dalam sebutan tiada peranan dalam penyelesaian masalah itu.

3.5 Aplikasi strategi-strategi penyelesaian masalah dalam pengajaran dan

pembelajaran matematik

Semasa mencari penyelesaian masalah, lebih daripada satu strategi boleh digunakan.

Contoh-contoh yang berikut menyarankan strategi-strategi yang boleh digunakan untuk

menyelesaikan masalah yang diberi. Cuba selesaikan masalah diberi menggunakan

cara anda sendiri sebelum melihat jawapan. Buat perbandingan antara kaedah yang

anda guna dengan dengan strategi yang disarankan.

.

Diberi bahawa jumlah sudut semua pentagram adalah pemalar, tentukan jumlah sudut itu


3.5.1 Thor dan Ghor

Jana dan Iliya sedang bermain permainan komputer. Permainan melibatkan

pengagihan siling emas antara dua gergasi, Thor dan Ghor. Bermula dengan dua siling

emas, Jana mendapati ada tiga cara siling itu dapat diagihkan.

Thor Ghor

Thor Ghor

ThorGhorMasalah:

Peringkat seterusnya dalam permainan ini adalah untuk mengagihkan 4 siling emas.

Berapakah bilangan cara agihan ini dapat dibuat? Bagaimana untuk mengagihkan 10

siling emas?

Matlamat: Melibatkan murid dalam strategi penyelesaian masalah:

a. melukis rajah

b. teka dan uji

Guru boleh mulakan kelas dengan bertanya soalan mudah seperti “ jumlah dua nombor

ialah 6. Apakah nombor-nombor tersebut? Ada berapa jawapan yang berlainan?”.

Seterusnya guru memperkenalkan masalah dan meminta murid berbincang secara

berpasangan atau dalam kumpulan. Selepas itu guru boleh melihat perkembangan

kemajuan pelajar dan memberi bimbingan jika perlu. Seterusnya murid boleh

melaksanakan strategi penyelesaian, guru membantu murid secara individu. Dalam sesi

perbincangan kelas guru boleh membuat perbincangan tentang strategi-strategi

penyelesaian yang telah digunakan dan kesesuaiannya. Murid juga perlu digalakkan

menerangkan penyelesaian mereka serta memberi cadangan penambahbaikan.

Penyelesaian:

Bagi 4 siling

ThorGhorThorG

hor


Thor 0 1 2 3 4Ghor 4 3 2 1 0Bilangan cara agihan ialah 5.

Bagi 10 siling

Thor 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Ghor 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Bilangan cara agihan ialah 11.

3.5.2 Pentas hadiah

Dalam satu temasya sukan, pemenang akan berdiri di atas pentas kotak untuk

mengambil hadiah. Bagi tiga pemenang empat buah kotak diperlukan.

Sekiranya bilangan pemenang ialah 5, bilangan kotak perlu ditambah.

Masalah:

Berapakah bilangan kotak yang diperlukan?

Sekiranya bilangan pemenang ialah 7, berapakah pula bilangan kotak yang perlu ada?

Bagaimana pula jika pemenangnya ada 13?

Matlamat:

Melibatkan murid dalam strategi penyelesaian masalah:

• membuat model


• mencari pola

Guru boleh memulakan kelas dengan meminta murid mencari nombor yang ganjil dari

set nombor 9, 10 dan11. Terdapat lebih daripada satu jawapan yang mungkin. Galakkan

murid menerangkan jawapan mereka. Langkah seterusnya ialah membaca masalah

bersama-sama murid. Minta murid menyatakan masalah dalam perkataan mereka

sendiri. Guru menjelaskan masalah dan memberi peluang kepada murid untuk

merumus strategi mereka sendiri untuk menyelesaikan masalah. Setelah kira-kira 10

minit, bincangkan perkembangan dan strategi-strategi yang murid gunakan. Perhatikan

sama ada murid berupaya menyelesaikan masalah sendiri atau mereka memerlukan

penerangan lanjut. Dalam perbincangan rumusan galakkan murid menerangkan

penyelesaian mereka. Sekiranya berjumpa dengan soalan yang serupa, strategi apakah

yang akan mereka gunakan? Apakah yang perlu ditambah baik lagi?

Penyelesaian:9, 16,49

3.5.3 Guruh siPahlawan Naga

Kelas Tingkatan 5 di sebuah sekolah sedang mencipta satu permaian komputer, Guruh

siPahlawan Naga. Dalam permainan tersebut, Guruh perlu meyeberangi beberapa

batang sungai dengan melompat dari tebing ke batu-batu loncatan. Guruh hanya boleh

melompat ke batu pertama atau kedua sahaja bagi setiap loncatan. Satu cara

menyeberangi sungai yang ada dua batu loncatan ditunjukkan di bawah.

Dalah rajah di atas Guruh menyeberangi sungai dengan satu loncatan dekat(D) dan

satu loncatan jauh(J), diringkaskan sebagai D+J.

Murid akan mendapati bahawa terdapat beberapa cara untuk menyeberangi sungai.

Masalah:


a. Secara berpasangan atau berkumpulan, cari cara-cara lain untuk menyeberangi

sungai itu.

b. Senaraikan kesemua cara menyeberangi sungai dengan menggunakan simbol D

dan J.

c. Sungai seterusnya yang perlu Guruh seberangi mempunyai 3 batu loncatan.

Sekali lagi, Guruh boleh melompat dekat ke batu berhampiran atau melompat

jauh dengan melangkau satu batu untuk sampai ke tebing yang satu lagi.

Gunakan pembilang untuk mencari cara-cara berbeza untuk menyeberangi

sungai.

Contohnya:

Dalam contoh di atas lompatannya ialah D, D, J.

d. Senaraikan kesemua cara berbeza untuk menyeberangi sungai dengan 3 batu

loncatan.

e. Salin dan lengkapkan jadual berikut:

Bilangan batu loncatan 0 1 2 3 4Bilangan cara untuk

menyeberang1

f. Bincang dengan rakan atau kumpulan tentang kaedah terbaik mencari bilangan

cara berbeza untuk menyeberangi sungai dengan 8 batu loncatan.

g. Terangkan satu peraturan yang membolehkan anda mencari bilangan cara

berbeza untuk menyeberangi sungai yang mempunyai 10 batu loncatan.

Matlamat:



a. senarai tersusun/ jadual

b. mencari pola

c. melakonkan

Perkembangan:

• Baca masalah bersama-sama murid

• Minta murid menghuraikan masalah dalam perkataan mereka sendiri

• Pastikan murid faham maksud lompatan dekat(D) dan lompatan jauh(J)

• Murid boleh melakonkan sebahagian masalah untuk kefahaman yang lebih

mendalam.

• Guru memberi pencerahan masalah dan biarkan murid merumus sendiri strategi

penyelesaian masalah mereka.

• Murid mencuba penyelesaian, guru membantu murid yang ketinggalan.

• Galakkan murid bekerja dengan sistematik dan mencatat keputusan secara

teratur semasa mencari penyelesaian.

• Murid membentangkan penyelesaian .

Penyelesaian:

a. Bagi 2 batu loncatan:DDD, DJ,JD

b. Bagi 3 batu loncatan: DDDD,DDJ,DJD,JDD,JJ

c.

Bilangan batu loncatan 0 1 2 3 4Bilangan cara untuk

menyeberang1 2 3 5 8


e. Satu cara untuk mencari bilangan lompatan ialah dengan melengkapkan jadual.

Ada 55 cara untuk menyeberangi sungai dengan 8 batu loncatan.

f. Sebenarnya ini adalah jujukan Fibonacci. Penyelesaian boleh diperolehi dengan

menambah bilangan nombor terdahulu sehingga bilangan batu loncatan dicapai.

1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13…

Jumlah loncatan bagi 10 batu loncatan ialah 144.

3.5.4 APA JAWAPANNYA

Timah memberikan alamat emailnya kepada beberapa orang kawannya. Timah dan

kawan-kawannya tadi memberitahu alamat email itu kepada seorang yang lain. Semua

orang yang tahu alamat tersebut memberitahu kepada dua orang lagi. Jumlah kesemua

orang yang tahu alamat tersebut ialah 30 orang. Berapa orangkah yang Timah beritahu

alamatnya pada awalnya?

Matlamat:

Melibatkan murid dalam strategi penyelesaian masalah bekerja dari belakang:

Permulaan:

Guru memberi beberapa pernyataan masalah yang pendek dan ringkas. Murid

menggunakan berbagai strategi penyelesaian masalah.

.

Perkembangan:

• Baca masalah bersama-sama murid.

• Minta murid terangkan masalah dalam ayat mereka sendiri.

• Guru memberi pencerahan masalah dan membiarkan murid merumus strategi

penyelesaian masalah mereka sendiri.

• Guru ikuti perkembangan murid dan melihat strategi yang mereka gunakan.

• Guru beri bimbingan/ buat perbincangan lanjut jika perlu.

• Galakkan murid bekerja secara sistematik dan merekod keputusan secara

teratur.


• Perbincangan penutup memberi tupuan kepada strategi penyelesaian masalah

yang sesuai.

• Galakkan murid menerangkan penyelesaian.

• Sekiranya murid diajukan soalan yang serupa, apakah mereka akan

menggunakan strategi yang sama?

Penyelesaian:

Akhirnya 30 orang yang tahu alamat email Timah. Katakan bilangan orang yang tahu

alamat ialah x. Bilangan orang yang akhirnya diberitahu ialah x + 2x.

maka x + 2x= 30, x = 10

2(Timah+bilangan kawan yang diberitahu pada awalnya) =10 ,

Timah + bilangan kawan awalnya = 5

bilangan kawan awalnya = 4 orang

Timah memberitahu 4 orang rakan pada mulanya.

3.5.5 Pasukan Sorak Sekolah

Pasukan sorak sekolah menggunakan warna merah, biru dan hijau bagi pakaian

seragamnya. Pakaian seragamnya ialah topi, baju-T dan seluar panjang. Hanya satu

warna dibenarkan bagi satu pakaian. Berikut ialah dua cara berbeza bagi gabungan

pakaian yang mungkin.

atau

Masalah:

Apakah gabungan-gabungan warna yang mungkin bagi pakaian seragam pasukan

sorak itu?

Matlamat:


TOPI HIJAU

BAJU-T MERAH

SELUAR BIRU

TOPI MERAH

BAJU-T BIRU

SELUAR HIJAU


• melakonkan

• mencari pola

Permulaan :

Guru memberi soalan mudah:

Perkembangan:

• Baca masalah bersama murid.

• Minta murid huraikan masalah dalam perkataan mereka sendiri.

• Guru jelaskan masalah dan beri peluang murid merancang strategi penyelesaian

masalah mereka sendiri.

• Murid boleh melakonkan masalah menggunakan pakaian yang berbeza warna

bagi membantu kefahaman yang lebih mendalam.

• Selepas memberi masa lebih kurang 10 minit bagi murid mencuba penyelesaian,

guru boleh kumpulkan murid-murid untuk melihat perkembangan kemajuan

mereka dan strategi yang mereka guna. Lihat sama ada murid sudah berupaya

memulakan proses penyelesaian masalah atau mereka memerlukan bimbingan

lanjut. Galakkan murid mencatat keputusan dengan sistematik dan teratur.

Penyelesaian:

MHB,MBH,BHM,BMH,HMB,HBM.

Cuba masalah-masalah berikut.

1. Abu sangat meminati motorsikal dan limosin. Dia tahu motorsikal mempunyai

2buah tayar manakala limosin ada 6 buah tayar. Semasa melihat keluar

jendela, Abu ternampak sebilangan motorsikal dan limosin. Jumlah tayar yang

Jawapannya ialah 14. Tulis seberapa banyak hasil tambah yang mungkin dari

jawapan ini.


dihitungnya ialah 18 buah. Berapakah bilangan motorsikal dan limosin yang Abu

nampak? Bolehkah anda cari lebih daripada satu jawapan?

2. Ayesha, Borhan, Karimah dan Daud perlu duduk sebaris dalam sebuah dewan.

Gunakan petunjuk berikut untuk menentukan kedudukan mereka.

a. Ayesha tidak sukakan Borhan.

b. Kedua-dua kanak-kanak lelaki mahu duduk bersama-sama.

c. Karimah juga tidak sukakan Borhan.

d. Daud duduk di antara kanak-kanak lelaki dan kanak-kanak perempuan.

e. Ayesha duduk di kerusi paling kiri.

3. Isikan kedudukan kanak-kanak berempat itu dalam rajah berikut.

Tempat duduk

Penyelesaian:

Ayesha, Karimah, Daud, Borhan.

Rujukan Asas:

1. Problem Solving. A Basic Mathematics Goal. Inservice Education. Ohio

Department of Education, Columbus.

2. Polya, George. How To Solve It, 2nd Edition. Princeton, New Jersey: Princeton

University Press, 1957.

3. Stephen Watters, Pauline Logan. 5 – 14 Mathematics problem Solving support

pack ‘ I Can Solve Problems


TAJUK 5 : GEOMETRI KOORDINAT

SINOPSIS

Bahagian ini membincangkan tentang geometri koordinat yang meliputi persamaan

garis lurus, jarak antara dua titik, luas poligon dan persamaan lokus. Anda akan

ditunjukkan bagaimana menentukan persamaan garis lurus diberi syarat-syarat tertentu

serta bagaimana mencari jarak antara dua titik. Penerbitan rumus dan pengiraan luas

poligon turut dibincangkan. Di akhir tajuk anda akan ditunjukkan bagaimana

membentuk persamaan lokus.

5.1 Persamaan garis lurus

(i) diberi kecerunan dan satu titik

(ii) diberi dua titik

(iii) pintasan-x dan pintasan-y

5.1.2 Jarak antara dua titik

5.1.3 Luas poligon

(i) Luas segi tiga

(ii) Luas sisi empat

5.1.4 Persamaan lokus(i) Lokus bagi satu titik yang jaraknya tetap dari satu titik pegun (ii) Lokus bagi satu titik yang nisbah jaraknya dari dua titik pegun adalah malar

5.2 Penyelesaian masalah melibatkan geometri koordinat. 5.3 Miskonsepsi dalam pembelajaran geometri koordinatPola kesilapan (error pattern)Cara-cara membetulkan miskonsepsi

5.4 Merancang dan melaksanakan pengajaran mikro dan makro.

5.5 Refleksi terhadap pengajaran mikro dan makro


HASIL PEMBELAJARAN

TAJUK 5 GEOMETRI KORDINAT

Di akhir topik ini, pelajar dapat:

Menulis persamaan garis lurus apabila diberi:

kecerunan dan satu titik

dua titik

pintasan-x dan pintasan-y

Mencari jarak antara dua titik

Menerbitkan rumus dan mengira luas poligon

Membentuk persamaan lokus


5.1 Persamaan garis lurus

Dalam matematik, nombor boleh digunakan untuk menggambarkan dengan tepat

kedudukan sesuatu titik atau koordinat. Rene Descartes (1596-1650) telah

menggunakan algebra untuk menyelesaikan masalah geometri yang dikenali sebagai

geometri Cartesian atau geometri analitik. Marilah kita mempelajari geometri koordinat


untuk memahami apa yang Descartes cuba sampaikan dalam kata-kata hikmatnya, ‘I

think, therefore I am’.

Sebelum anda meneruskan pengajaran tajuk ini anda perlu mamastikan murid-murid

telah menguasai tajuk garis lurus yang telah dipelajari dalam tingkatan 3. Galakkan

penggunaan perisian seperti Geometer’s Sketchpad dan GeoGebra kerana ia dapat

membantu murid mamahami tajuk ini dengan lebih baik lagi.

Rajah 1 : Garis lurus y = 2x

Rajah 1 di atas menunjukkan nilai koordinat-y bagi setiap titik pada garis lurus adalah

dua kali nilai koordinat-x. Perkaitan antara koordinat-y dengan koordinat-x bagi setiap

titik dapat ditulis sebagai y = 2x. Persamaan y = 2x ini dikenali sebagai persamaan garis

lurus. Persamaan garis lurus boleh dicari dengan beberapa cara bergantung kepada

maklumat yang diberi.

(i) Persamaan garis lurus apabila diberi kecerunan dan satu titik

Katakan (x,y) ialah sebarang titik pada garis lurus yang berkecerunan m dan melalui titik

(x1,y1).


Rajah 2: Garis lurus dengan kecerunan m dan melalui titik (x1,y1)

Dari takrif kecerunan,

1

1

xx

yym

−−=

penyusunan semula memberikan )( 11 xxmyy −=−

Maka, persamaan garis lurus yang mempunyai kecerunan m dan melalui titik (x1,y1)

ditulis sebagai

Contoh:

Cari persamaan garis lurus yang mempunyai kecerunan 3 dan melalui titik (4,1).

Penyelesaian:

)4(31 −=− xy

123 −= xy

atau y – 3x + 12 = 0.

)( 11 xxmyy −=−

Cari persamaan garis lurus yang mempunyai (a) kecerunan -2 dan melalui titik (-1,5)(b) kecerunan 3 dan melalui titik (6,7)


(ii) Persamaan garis lurus apabila diberi dua titik

Katakan P(x,y) ialah sebarang titik pada garis lurus yang melalui titik-titik A(x1,y1) dan

B(x2,y2).

Rajah 3: Garis lurus yang melalui titik-titik A(x1,y1) dan B(x2,y2)

Kecerunan AP1

1

x- x

y-y= dan kecerunan AB12

12

-xx

-yy= . Oleh kerana A, B dan P terletak

pada garis lurus yang sama, maka kecerunan AP = kecerunan AB

1

1

x -x

y-y

12

12

-xx

-yy=

Oleh itu persamaan garis lurus yang melalui titik-titik A(x1,y1) dan B(x2,y2) ialah

Contoh

Tulis persamaan garis lurus yang melalui titik-titik (2,-2) dan ( 3, 1).

Penyelesaian

Memasukkan nilai kordinat- koordinat dalam persamaan am,

2

2

x -

)y-(-2- 3

(-2)-1=

1

1

x -x

y-y

12

12

-xx

-yy=


83 −= xy

persamaan garis lurus yang melalui titik-titik (2,-2) dan ( 3, 1) ialah y – 3x – 8.

(iii) Persamaan garis lurus apabila diberi pintasan-x dan pintasan-y

Katakan (x,y) ialah sebarang titik pada garis lurus yang mempunyai pintasan-x, a dan

pintasan-y, b.

Rajah 4:Garis lurus dengan pintasan-x, a dan pintasan-y, b

Kecerunan garis lurus diberi oleh a

bm −=

Dengan memasukkan nilai kecerunan dan (a,0) dalam persamaan

)( 11 xxmyy −=−

kita dapat a)(xa

b0y −−=−

Cari persamaan garis lulrus yang melalui pasangan titik berikut:(a) (2,-3), (0,4) (b) (-2,-4), (1,5)


bx a

by +−=

penyusunan semula memberikan byxa

b =+

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan b,

kita perolehi 1b

y

a

x =+

maka persamaan garis lurus yang mempunyai pintasan-x, a dan pintasan-y, b ialah

Contoh

Cari persamaan garis lurus yang melalui titik-titik (3,0) dan (0, -4).

Penyelesaian

Persamaan garis lurus yang melalui titik-titik (3,0) dan (0,- 4) ialah

143

=−

+ yx

14

y

3

x =−

5.1.2 Jarak antara dua titik

Semasa mengajar , guru hendaklah mengaitkan istilah matematik dengan istilah yang

biasa murid gunakan dalam kehidupan hariannya. Ini dapat membantu meningkatkan

kefahaman murid. Murid telah mempunyai pengalaman mengukur panjang objek

semasa di sekolah rendah lagi. Berbekalkan pengalaman murid tentang panjang, guru

boleh mengaitkannya dengan jarak. Jarak boleh dimaksudkan sebagai ukuran jauh satu

1b

y

a

x =+

Cari persamaan garis lurus yang melalui (0,3), (0,-4).


tempat ke tempat yang lain. Bahagian ini akan dimulakan dengan memperkenalkan

rumus jarak antara dua titik. Jarak antara dua titik ( )11 , yxP = dan ( )22 , yxQ = yang

ditandakan dengan d boleh dihitung menggunakan rumus ( ) ( ) 2

12

2

12 yyxxd −+−= .

Rumus ini diterbitkan menggunakan Theorem Pythagoras yang mengaitkan panjang

segmen garis dengan koordinat-koordinatnya.

Rajah 5:Jarak antara dua titik A dan B

Katakan A dan B dua titik pada satah Cartesian. Jarak mencancang dari B ke C ialah y2-

y1 dan jarak mengufuk dari A ke C ialah x2-x1. Menggunakan Theorem Pythagoras,

jarak dari A ke B boleh cari.

AB2 = AC2+ CB2

AB = 212

212

22 )()( yyxxCBAC −+−=+

Sekiranya diberi dua titik, anda boleh mencari jarak antara dua titik ini dengan membina

satu segi tiga bersudut tepat dan mencari panjang hipotenusnya. Hipotenus ini

merupakan segmen garis yang menyambung kedua-dua titik yang hendak dicari

jaraknya. Maka panjang hipotenus ialah jarak antara dua titik tersebut. Setelah murid

menguasai konsep ini, rumus jarak boleh digunakan secara langsung.

Contoh

Cari jarak antara titik A(-5,-2) dengan B(6,7).


Penyelesaian

Jarak antara A dan B, 2 22 1 2 1( ) ( )d x x y y= − + −

213

81132

)2(7())5(6( 22

=

+=

−−+−−=

Ingatan!!

Kadangkala anda diberi soalan yang tidak menyatakan secara eksplisit pengiraan

jarak. Lakaran kerap kali dapat membantu anda memahami apa yang dikehendaki oleh

soalan.

Sebuah segi tiga mempunyai bucu-bucu )6,4(−A , )2,1(−B dan )1,3( −C . Tunjukkan

bahawa ABC ialah segitiga sama kaki.

5.1.3 LUAS POLIGON

Luas satu poligon dapat ditentukan dengan melukis poligon tersebut pada satah

Cartesian dan menghitung luas bentuk geometri yang terlibat.

(i) Luas segi tiga

yB(x2,y2)y2

A(-2,1), B((1,2) dan C(0,5) membentuk sebuah segitiga. Cari perimeter segitiga ABC.


Rajah 6: Luas segi tiga

Luas ∆ABC = Luas trapezium BAPQ + Luas trapezium BQRC - Luas CAPR

= ( ) ( ) ))((2

1)(

2

1)(

2

1133123231221 xxyyxxyyxxyy −+−−++−+

=

( )133311312232233312221121 xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy2

1 +−+−−+−+−+−

= ( )133132231221 xyxyxyxyxyxy2

1 +−+−−

= ( )231231231231 xyxyxyyxyxyx2

1 −−−++

Rumus ini boleh disusun dan ditulis dalam bentuk yang lebih mudah seperti berikut:

Langkah 1:

Tulis koordinat bucu-bucu mengikut susunan dan ulang bucu pertama

di lajur hujung. Tutup koordinat-kordinat dengan dua garis mencancang

x1 x2 x3 x1

y1 y2 y3 y1

Langkah 2:

Darabkan unsur-unsur secara pepenjuru dan

tuliskannya sebagai hasil tambah

x1 y2 + x2 y3 + x3 y1

x1 x2 x3 x1

y1 y2 y3 y1

Langkah 3:

x

A(x1,y1)

C(x3,y3)y3

y1

P Q Rx2-x1 x3-x2

x3-x1


Darabkan unsur-unsur secara pepenjuru pada arah

bertentangan dan tuliskannya sebagai hasil tambah negatif

-y1x2 - y2x3 - y3x1

x1 x2 x3 x1

y1 y2 y3 y1

Langkah 4:

Tambahkan hasil daripada langkah 2 dan langkah 3 dan darabkan dengan .2

1

Maka kita perolehi,

Luas segi tiga = 2

1 x1 x2 x3 x1

y1 y2 y3 y1

=2

1( x1 y2 +x2 y3 +x3 y1 -y1x2 -y2x3 -y3x1)

Contoh

Cari luas ∆PQR dengan bucu-bucu P(-3,3),Q(1,4) and R(0,2).

Penyelesaian:

Luas ∆PQR = 2

1

-3 1 0 -3

3 4 2 3

= 2

1[(-3)(4)+(1)(2)+(0)(3)-(1)(3)-(0)(4)-(-3)(2)]


= 3.5 unit2

(ii) Luas sisi empat

Kaedah mencari luas segi tiga di atas boleh dikembangkan untuk mencari luas sebuah

sisi empat. Malahan luas sebarang poligon boleh dicari menggunakan kaedah yang

serupa.

Bagi sisi empat dengan bucu-bucu (x1 , y1), (x2 , y2) , (x3 , y3) dan (x4 , y4) , luasnya ialah

Luas sisi empat = 2

1 x1 x2 x3 x4 x1

y1 y2 y3 y4 y1

=2

1( x1 y2+x2 y3 +x3 y1 + x4y1-y1x2 -y2x3 -y3 x4 –y4x1)

Ingat!!!

Bucu-bucu hendaklah ditulis secara berturutan mengikut arah jam atau lawan arah jam.

Contoh

Cari luas sisi empat dengan bucu-bucu Q(3,5), R(2,-1), S(-3,2) dan T(4,0)

Penyelesaian

1. Lakarkan sisi empat untuk menentukan kedudukan bucu-bucu.

2. Tulis kordinat bucu-bucu mengikut arah jam.


luas PQRS = 2

1 -2 2 3 1 -2

2 4 1 0 2

= 2

1[(-2)(4)+(2)(1)+(3)(0)+(1)(2)-(2)(2)-(4)(3)-(1)(1)-(0)(-2)]

= 2

1[-8+2+0+2-4-12-1-0]

= 10.5 unit2

5.1.4 Persamaan lokus

Lokus bagi satu titik yang bergerak ialah lintasan atau jejak yang dilalui oleh titik itu

mengikut syarat yang ditetapkan. Misalnya, apabila sebuah kipas siling berputar lokus

bagi satu titik di hujung bilah kipas itu ialah satu bulatan.

(i) Lokus bagi satu titik yang jaraknya tetap dari satu titik pegun

Persamaan lokus bagi satu titik yang bergerak dengan jarak yang tetap dari satu titik

pegun dapat dijana dengan menggunakan rumus jarak di antara dua titik.

Contoh

Tentukan persamaan lokus bagi satu titik B yang bergerak dari titik A(3,2) dengan jarak

di antara kedua-duanya sentiasa 5 unit.

Penyelesaian

Katakan B ialah titik (x , y).

Jarak di antara A dan B =

maka

1. Cari luas poligon dengan bucu-bucu berikut:(a) (1,1), (1,4), (-2,2)(b) ((-3,0), (-4,2), ((-2,5), (1,2)

2. Tunjukkan bahawa titik A((-5.0), B(-1,2), C(1,3) dan (5,5) adalah segaris


Persamaan lokus bagi P ialah .

(ii) Lokus bagi satu titik yang nisbah jaraknya dari dua titik pegun adalah

malar

Persamaan lokus bagi satu titik yang nisbah jaraknya dari dua titik pegun sentiasa

malar dapat dijana dengan menggunakan rumus jarak di antara dua titik dan perkaitan

antara nisbah jaraknya.

Contoh

Cari persamaan lokus M yang bergerak supaya nisbah jaraknya dari titik P(1,2) dan

Q(3,-1) ialah 2:1.

Penyelesaian

Katakan koordinat titik M ialah (x,y). Diberi nisbah jarak M(x,y) dari P(1,2) dan Q(3,-1)

ialah 2:1.

iaitu PM =2MQ

Maka persamaan lokus M ialah .

Diberi titik P(1,3) dan Q(-2,2). Satu titik W bergerak supaya jaraknya dari titik P adalah setengah kali ganda jaraknya dari titik Q. Tentukan sama ada lokus W bersilang dengan paksi-x.


5.5 Pengajaran Mikro Dan Makro.

Pengajaran mikro dan makro merupakan satu kaedah dalam latihan

mengajar kepada calon guru bukan dalam kelas sebenar.

5.5.1 PENGAJARAN MIKRO

Objektif utama pengajaran mikro adalah untuk menyediakan bakal guru

dengan suasana pengajaran dalam bilik darjah. Sesi pengajaran mikro

dijalankan dalam kumpulan murid yang kecil 4 hingga 5 orang. Masa

pengajaran mikro adalah antara 10-15 minit. Kemahiran penyampaian

pula difokuskan kepada satu aspek sahaja seperti set induksi, satu

langkah aktiviti pengembangan atau penutup.

Selepas sesi pengajaran mikro, bakal guru perlu membuat refleksi

terhadap pengajaran mereka. Refleksi ini bertujuan menambah baik

pengajaran mereka dari semua aspek perancangan dan perlaksanaan

pengajaran dan pembelajaran.

5.5.2 PENGAJARAN MAKRO

Pengajaran makro mempunyai objektif yang sama dengan pengajaran

mikro, tetapi dalam situasi berbeza. Pengajaran makro merupakan sesi

pengajaran sebenar tetapi dikalangan rakan sebaya dan bukan dalam

suasana bilik darjah sebenar. Pengajaran mikro melibat bilangan murid

yang ramai dan masa mengikut kelas sebenar.

Aktiviti 1.4.4

Kumpulkan maklumat tentang kepentingan pengajaran mikro dan makro.

Dengan menggunakan pengurusan grafik yang sesuai, banding beza

pengajaran mikro dan makro.


RUJUKAN

Bahagian Pembangunan Kurikulum, Kementerian Pelajaran Malaysia. (2011).

Kurikulum Bersepadu Sekolah Menengah. Spesifikasi Kurikulum. Matematik

Tingkatan 1. Putrajaya: Curiculum Development Centre.

Bahagian Pembangunan Kurikulum, Kementerian Pelajaran Malaysia. (2012).

Kurikulum Standard Sekolah Rendah. Matematik Tahun 3. Putrajaya:

Kementerian Pelajaran Malaysia.

Bahagian Pembangunan Kurikulum, Kementerian Pelajaran Malaysia. Draf (tiada

bertarikh). Kurikulum Bersepadu Sekolah Rendah. Spesifikasi Kurikulum.

Matematik Tahun 4.


David Boud & Grahame Feletti (2008), The Challenge of Problem-Based Learning. Routledge.

Effandi Zakaria, Norazah Mohd Nordin, Sabri Ahmad (2007). Trend Pengajaran Dan Pembelajaran Matematik. Utusan Publications &Distributors Sdn.Bhd. Kajang, Selangor.

Gokil,Prashant(2013).Exploration in Mathematics. prezi.com/mprrapguklib/mathematical-exploration. extraxt on 28/3/2014: 11.41 a.m.

Linda Torp & Sara Sage (1998). Problems as possibilities: Problem-Based Learning for K-12 Education, ASCD.

Noraini Idris (2001). Pedagogi Dalam Pendidikan Matematik. Utusan Publications &Distributors Sdn.Bhd. Kajang, Selangor.

Noraini Idris & Shuki Osman (2009). Pengajaran dan Pembelajaran :Teori dan Praktis. McGraw Hill Education, Kuala Lumpur.

Oon-Seng Tan (2003). Problem-based Learning Innovation.

Oon-Seng Tan (2007). Problem-based learning in e-learning breakthroughs, Thomson Learning.

Robert Delisle (1997). How to use problem-based learning in the classroom, ASCD.

Robin Fogarty (1998). Problem-based learning: A collection of Articles. Skylight Training and Publishing Inc.

Wee Keng Neo (2004). Jump Start Authentic Problem-Based Learning. Prentice Hall

Wong Teck Sing, Moy Wah Goon, Jamilah Osman (2001). Matematik Tingkatan

4. Penerbitan Bangi Sdn. Bhd. 2001


------------------------------------------------------------------------------------------------------------Peringatan : Simpan bahan nota dan bahan bercetak di dalam portfolio anda.

SELAMAT BELAJAR

Modul mtsm2103 : MAJOR MATEMATIK

Education

Transcript of Modul mtsm2103 : MAJOR MATEMATIK