ht

tp

:/

/m

at

em

at

ri

ck

.b

lo

gs

po

t.c

om

1. Bentuk umum fungsi kuadrat : f ( x )=ax2

+ bx + c, a ≠ 0

2. Grafik fungsi kuadrat berupa parabola

3. Grafik fungsi kuadrat ditinjau dari tanda ( nilai ) a dan D

( dengan D = b2

– 4.a.c )

Untuk a > 0/ a positif ( grafik selalu terbuka ke atas ) ada

3 jenis :`

Untuk a < 0 ( grafik terbuka ke bawah )

4. Unsur – unsur grafik fungsi kuadrat :

Menentukan unsur – unsur grafik fungsi kuadrat jika diketahui

persamaan grafiknya ( y = a x2

+ b x + c ) atau diketahui

gambarnya:

Untuk menentukan titik potong dengan sumbu X :

Cari saja dua bilangan x1 dan x2 yang memenuhi

x1 + x2 =a

b

maka titik potong dg sumbu X-nya adalah (x1 , 0 ) dan

( x2 , 0 )

Untuk menentukan persamaan sumbu simetri :

Gunakan rumus x = a

b

2 atau

x = 2

21 xx

Untuk menentukan titik potong dengan sumbu Y :

Lihat saja c nya pada persamaan tersebut.

Sebab titik potong dengan sumbu Y adalah ( 0, c )

Contoh : y = 3 x2

+ 5x + 1 ; maka titik potong dengan

sumbu Y- nya adalah ( 0,1 )

Jika y = -2 x2

+3x – 4; maka titik potong dengan

sumbu Y-nya adalah ( 0, -4 )

Titik puncak/ titik balik bb yx ,

a

bxb

2 atau dapat di cari dengan xb =

2

21 xx

a

Dyb

4 atau subtitusikan xb ke persamaan, sehingga

menjadi cbxaxy bbb 2

Dan ingat acbD 42 ( diskriminan )

1. Koordinat titik ekstrem kurva dengan persamaan

y = x2 – 4x +9 adalah….

a. ( -2 , 21)

b. ( -2 , 9 )

c. ( 0 , 9)

d. ( 2 , 9 )

e. ( 2 , 5 )

Penyelesaian :

Jelas a = 1, b= -4, c = 9

Titik ekstrim = titik balik = titik puncak

22

4

1.2

)4(

2

a

bxb

598492.4294 22 bbb xxy

X

a>0

D>0 a>0

D=0

a>0

D<0

Grafik terbuka ke atas dan memotong sumbu X di

dua titik berbeda

Grafik terbuka ke atas dan

menyinggung sumbu X

Grafik terbuka ke atas dan

tidak memotong

ataupun menyinggung

sumbu X

X X

Jadi a>0 membuat grafik terbuka ke atas, dan D menentukan

keadaan grafik memotong atau menyinggung atau tidak sama

sekali terhadap sumbu X

X

Y Titik puncak / titik

balik ( pada grafik di samping berupa titik

balik maksimum )

Titik potong dg Sumbu X, di titik

tersebut y = 0

Garis / Sumbu simetri( di tengah antara dua titik potong dg sumbu X )

Titik potong dengan sumbu Y, di titik

tersebut x = 0

ht

tp

:/

/m

at

em

at

ri

ck

.b

lo

gs

po

t.c

om

( jadi untuk mencari yb dengan cara menggantikan x

dengan xb pada persamaan yang diketahui )

Jadi titik ekstrimnya : ( 2, 5 ) ( E )

2. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 3x2

+ 7x – 6

dengan sumbu X adalah ....

a.

0,

3

2dan 0,3 d. 0,3 dan

0,

2

3

b.

0,

3

2dan 0,3 e.

2

3,0 dan 3,0

c.

0,

2

3dan 0,3

Penyelesaian :

( i ). Titik potong dengan sumbu X, jelas y-nya / yang dibelakang

harus 0, jadi pilihan E jelas salah.

( ii ). Kemudian cari dua bilangan di posisi x yang jumlahnya =

a

b =

3

7 , maka jawabannya ( A ) sebab

3

7

3

92)3(

3

2

1. Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang

persamaannya y = (x – 6)(x + 2) adalah ....( UN 2010 )

a. (–2, 0)

b. (–1, –7)

c. (1, –15)

d. (2, –16)

e. (3, –24)

2. Koordinat titik potong kurva y = x2 – 2x – 8 dengan sumbu X

adalah ….

a. (-4 , 0) dan ( -2 , 0)

b. (-4 , 0) dan ( 2 , 0)

c. (-2 , 0) dan (4 , 0)

d. (2 , 0) dan ( 4 , 0)

e. (2 , 0) dan (8 , 0)

3. Koordinat titik puncak dari grafik y = x2

– 6x + 5 adalah ....

a. (6, 5) d. ( – 3,32)

b. (3, – 4) e. ( – 6,5)

c. (3, – 14)

4. Nilai minimum fungsi kuadrat f( x ) = 2x2

– 2x + 6 adalah ....

a. 2

11 b.

2

9 c.

2

7 d.

2

5 e.

2

1

5. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat

23 2 xxy dengan sumbu X dan sumbu Y adalah … .(

UN 2010 )

a. (-1,0),

0,

3

2 , dan (0,2)

b.

0,

3

2 , (1,0), dan (0, -2)

c.

0,

3

2 , (1,0), dan

3

2,0

d.

0,

3

2 , (-1,0), dan (0, -1)

e.

0,

2

3 , (1,0), dan (0, 3)

6. Persamaan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat

y = 5x2

-20x + 1 adalah ....( UN 2011 )

a. x = 4

b. x = 2

c. x = -2

d. x = -3

e. x = -4

ht

tp

:/

/m

at

em

at

ri

ck

.b

lo

gs

po

t.c

om

2 1

y =f(x)

6

Ini artinya titik

potong dg sumbu

Y; yaitu ( 0,6 )

a. y = x2 – 3x + 2

b. y = x2 + 3x + 2

c. y = 3x2 + 9x + 6

d. y = 3x2 – 9x + 6

e. y = -3x2 + 9x + 6

X

Y

Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

1. Jika diketahui titik – titk potong dengan sumbu X ( ( x1 , 0 )

dan ( x2 , 0 ) diketahui )

Persamaannya : )).(( 21 xxxxay

Cara singkatnya : y = x2 – ( x1 + x2 ) x + x1 .x2 , kemudian

disesuaikan ( lihat contoh )

2. Jika diketahui koordinat titik puncak / titik balik (( xb , yb )

diketahui )

Persamaannya : bb yxxay 2)(

1. Persamaan grafik fungsi di bawah ini adalah ….

= -3x2 + 9x + 6

Penyelesaian :

Jelas x1 = 1 dan x2 = 2 dan memotong sumbu Y di titik ( 0, 6 )

Cara Biasa :

Y = a ( x – 1 ) . ( x – 2 )

Y = a ( x2

-3x + 2 )

Grafik memotong sumbu Y di titk ( 0, 6 ),

Artinya untuk x = 0, y = 6, maka : 6 = a ( 02

– 3.0 + 2 )

6 = a.2

2a = 6

a = 3

Jadi Persamann fungsinya adalah :

Y = 3. ( x2

-3x + 2 )

Y = 3 x2

-9x + 6 ( pilihan D )

Cara singkat :

susun saja bentuk y = x2 – ( x1 + x2 ) x + x1 .x2

y = x2 – 3 x + 2 ( berarti a=1, b=-3, c=2 )

kemudian lihat bahwa grafik memotong sumbu y di ( 0,6 ),

maka c harus 6, padahal :

pada y = x2 – 3 x + 2, c = 2 sehingga agar 2 jadi 6 kalikan saja

dengan 3. maka hasilnya :

y = 3. (x2 – 3 x + 2)

y = 3x2 – 9 x + 6 ( jawaban D ).

2. Persamaan grafik fungsi kuadrat mempunyai titik ekstrim

(–1, 4) dan melalui titik (0, 3) adalah ....( UN 2010 )

a. y = –x2 + 2x – 3

b. y = –x2 + 2x + 3

c. y = –x2 – 2x + 3

d. y = –x2 – 2x – 5

e. y = –x2 – 2x + 5

Penyelesaian :

Jelas xb = -1, yb = 4, dan grafik melalui titik ( 0,3 )

Cara Biasa

4)1(2 xay

412 xay

Grafik melalui ( 0,3 ) berarti untuk x = 0, y = 3 , maka :

3 = a ( 0 +1 )2

+ 4

3 = a .1 + 4

3 = a + 4

Maka a = -1, sehingga persamaannya : y = -1.(x+1)2

+4

Y = -1.(x2

+2x+1)+4

Y = -x2

-2x-1+4

Y = -x2

-2x +3 ( C )

Cara singkat :

Jelas bahwa grafik melalui titik ( 0,3 ) ini tidak lain titik potong

dengan sumbu Y, berarti c=3, sehingga pilihan yang mungkin

adalah B dan C.

Jelas xb = -1, padahal xb = 2

21 xx ,

x1 + x2 = 2 xb = 2.(-1)=-2

dan kita punya bahwa x1 + x2 = a

b , maka antara pilihan B dan

C pilih saja yang nilai a

b = -2.

Jadi jawabannya C.

Kesimpulan dari cara singkat adalah : pilih saja pilihan yang

memenuhi a

b = 2xb.

1. Persamaan grafik fungsi kuadrat dibawah ini adalah ....

a. y = –2x2 + 4x + 3

b. y = –2x2 + 2x + 3

c. y = –x2 – 2x + 3

d. y = –x2 + 2x – 3

e. y = –x2 + 2x + 3

3

ht

tp

:/

/m

at

em

at

ri

ck

.b

lo

gs

po

t.c

om

-8

2. Persamaan grafik fungsi di bawah ini adalah ….

(0,-3)

3. Persamaan grafik di bawah ini adalah ….

4. Persamaan grafik fungsi di bawah ini adalah …

–2 4

5. Persamaan grafik fungsi pada gambar di bawah ini adalah

....

( petunjuk : grafik menyinggung sumbu X, berarti x1 = x2 =2

atau pakai titik puncak )

6. Persamaan grafik fungsi kuadarat yang memotong sumbu X

di titik (1,0) dan (3,0) serta melalui titik ( -1,-16)adalah … .

a. 682 2 xxy

b. 2142 xxy

c. 542 xxy

d. 682 2 xxy

e. 1042 2 xxy ( UN 2011 )

Akar-Akar Persamaan Kuadrat

1. Bentuk umum Persamaan kuadrat :

Rcbaacbxax ,,,0,02

2. Menentukan akar akar persamaan kuadrat

Cara Biasa : - Faktorisasi

0)).((1

02

naxmaxa

cbxax

- Melengkapkan kuadrat sempurna

- Rumus abc

a

acbbx

2

42

2,1

Cara Singkat : ( jika memungkinkan )

Pakai saja rumus jumlah dan hasil kali akar – akar

persamaan kuadrat

a

bxx 21

a

cxx 21

Dengan maksud : cari saja dua bilangan ( 1x dan 2x )

yang memenuhi rumus jumlah dan hasil kali tersebut.

Catatan : biasanya cukup dicari/ dipilih saja dua bilangan

( 1x dan 2x ) yang memenuhi a

bxx 21 .

3. Jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat

Jika 1x dan 2x akar – akar persamaan kuadrat

,02 cbxax maka berlaku :

a

bxx 21

a

cxx 21

4. Persamaan yang sering digunakan terkait jumlah dan hasil

kali akar – akar persamaan kuadrat :

21

2

21

2

2

2

1 .2 xxxxxx

a

c

a

b.2

2

a

c

a

b.2

2

2

-1 3

x

y

o (1,-2)

a. y = x2 +3

b. y = x2 -3

c. y = -x2 +3

d. y = x2 - 2x -3

e. y = -x2 + 2x -3

9

5

Y = f(x)

2 X

Y a. y = -x2 + 4x + 5

b. y = -x2 - 4x + 5

c. y = -2x2 + x + 5

d. y = -2x2

- x + 5

e. 2

2

1xy + x +5

a. y = –x2 + 2x – 8

b. y = –x2 + 2x + 8

c. y = –x2 – 2x + 8

d. y = –x2 – 2x – 8

e. y = –x2 + x + 8

a. 222

1 2 xxy

b. 222

1 2 xxy

c. 222

1 2 xxy

d. 222

1 2 xxy

e. 222

1 2 xxy

dengan m + n = b; dan m.n = a.c

2

2

Y

X

ht

tp

:/

/m

at

em

at

ri

ck

.b

lo

gs

po

t.c

om

c

b

a

ca

b

xx

xx

xx

xx

xx

21

21

21

12

21 ..

11

21

21

2

21

21

2

2

2

1

21

2211

1

2

2

1

.

..2)(

..

..

xx

xxxx

xx

xx

xx

xxxx

x

x

x

x

Catatan : akar persamaan kuadrat tidak selalu dinyatakan

dalam 1x dan 2x , kadang dinyatakan dalam α dan β, p dan

q, dsb.

5. Menyusun Persamaan Kuadrat ( PK )

Kasus 1 :

Jika diketahui akar – akarnya ( x1 dan x2 )

Maka Cara penyelesaiannya :

Cara I : pakai pola 0)).(( 21 xxxx

Cara II : pakai pola 0.)( 2121

2 xxxxxx

Kasus 2 :

Jika akar – akar persamaan kuadrat yang akan disusun

berhubungan dengan akar – akar persamaan kuadrat yang

lain

Maka Cara penyelesaiannya :

Dengan mengubah bentuk dari akar – akar tersebut agar

dapat disubtitusi ke persamaan kuadrat yang lain

Secara lengkapnya perhatikan uraian berikut :

Jika Diketahui persamaan kuadrat ax2

+ bx + c =0, memiliki

akar – akar α dan β, maka :

( i ). Untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang

memiliki akar – akar k dan k ,Caranya :

Ganti saja x pada ax2

+ bx + c =0 dengan k

x , sehingga

diperoleh PK baru :

0).()( 2 cbakx

kx dan seterusnya...

( kali masuk jadi bagi )

( ii ). Untuk menyusun PK baru yang akar – akarnya k

dan

k

, Caranya :

Ganti saja x pada ax2

+ bx + c =0 dengan kx , sehingga

diperoleh PK baru :

a( kx )2

+b.kx + c = 0 , dan seterusnya ...

( bagi masuk jadi kali )

( iii ). Untuk menyusun PK baru yang akar- akarnya k dan

k , Caranya :

Ganti saja x pada ax2

+ bx + c =0 dengan kx ,

sehingga diperoleh PK baru :

a(x – k)2

+ b.(x - k) + c = 0, dan seterusnya ...

( + masuk jadi - )

( iv ). Untuk menyusun PK baru yang akar- akarnya

k dan k , Caranya :

Ganti saja x pada ax2

+ bx + c =0 dengan kx ,

sehingga diperoleh PK baru :

a(x + k)2

+ b.(x + k) + c = 0, dan seterusnya ...

( - masuk jadi + )

Catatan : cara ini dipakai untuk kasus PK baru yang

bentuk akar- akarnya simetris ( x1 dan x2 serupa ),dan

tidak berlaku untuk akar – akar yang bentuknya tidak

simetris ( misalkan akan disusun PK baru yang akar –

akarnya k

dan k )

1. Akar – akar persamaan kuadrat 5x2 – 6x - 8 = 0 adalah ....

a. 54 dan -2

b. 54 dan -2

c. 54 dan 2

d. -54 dan 2

e. 51 dan 2

Penyelesaian :

Cara Singkat :

Jelas : Nilai 5

6

5

)6(

a

b , maka pilih saja pada pilihan

tersebut yang jika dijumlahkan nilainya 5

6 .

Sehingga jawabannya D, karena -54 + 2 =

5

6

5

104

2. Persamaan kuadrat 4x2 + 3x + 6 = 0 mempunyai akar –

akar dan . Nilai 2 +

2 = ....

a. 4

35 d.

4

12

b. 16

72 e.

4

33

c. 16

52

Penyelesaian :

Jelas 2 +

2 = ( α + β )

2 – 2.αβ

= 4

6.2

4

32

= 316

9

= 16

72

16

39

16

489

( jawaban : B )

3. Akar – akar persamaan kuadrat x2 – 3x + 1 = 0 adalah α

dan β . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 3α

dan 3β adalah ....

ht

tp

:/

/m

at

em

at

ri

ck

.b

lo

gs

po

t.c

om

a.

b.

c.

d.

e.

x2 + 3x + 3 =0

x2 - 3x + 3 =0

x2 + 3x - 3 =0

x2 - 9x + 3 =0

x2 - 9x + 9 =0

Penyelesaian :

Ganti saja x pada persamaan x2 – 3x + 1 = 0 dengan

3

x, maka

Persamaan kuadratnya adalah :

013

.33

2

xx

019

2

xx

( x 9 )

0992 xx ( E )

1. Akar – akar persamaan kuadrat 2x2 – 9x + 7 = 0 adalah ....

a. 1 dan 7

b. 2

1 dan 7

c. 1 dan 2

13

d. -1 dan -2

13

e. -1 dan -7

2. Akar-akar persamaan kuadrat x2 –3x + 2 = 0 adalah A dan B,

dengan A > B. Nilai A + 2B adalah ....

a. –5 d. 4

b. –4 e. 5

c. –1

3. Akar-akar dari 2x2 – 3x – 9 = 0 adalah x1 dan x2.

Nilai dari x12

+ x22

= ....

a. 4

111 d.

4

36

b. 4

36 e.

4

111

c. 4

12

4. Akar – akar persamaan kuadrat 3 x2

– 4 x + 2 = 0 adalah α

dan β. Nilai dari ( α + β )2

- 2αβ = ....

a. 9

10 d.

3

1

b. 1 e. 0

c. 9

4

5. Diketahui akar- akar persamaan kuadrat 2x2

– 7x – 6 = 0

adalah x1 dan x2. Nilai

21

11

xx adalah ….( UN 2010 )

a. -3

b. 6

7

c. 14

3

d. 7

4

e. 7

6

6. Persamaan kuadrat 3x2 – x + 2 = 0 mempunyai akar – akar

dan . Nilai ( + )2 + 2 = ....

a. 3

1 d.

9

13

b. 9

5 e. 2

c. 9

7

7. Persamaan kuadrat 2x2 + 3x + 6 = 0 mempunyai akar –

akar dan . Nilai 2 +

2 = ....

a. 4

35

b. 4

33

c. 4

32

d. 4

13

e. 4

33

8. Akar-akar persamaan kuadrat 0242 xx adalah

dan . Nilai dari

22 =….

a. –4

b. –2

c. –1

d. 4

e. 5

9. Persamaan kuadrat x2 - 3x – 2 = 0 mempunyai akar-akar x1

dan x2. Nilai dari x12 x2+ x1.x2

2 = ....

a. 5

7 d.

4

21

ht

tp

:/

/m

at

em

at

ri

ck

.b

lo

gs

po

t.c

om

b. 4

11 e. 6.

c. 3

10. Akar – akar persamaan kuadrat x2 – 3x + 1 = 0adalah

x1dan x2 . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 2x1

dan 2x2 adalah ....

a.

b.

c.

d.

e.

x2 + 3x + 3 =0

x2 - 3x + 3 =0

x2 + 3x - 3 =0

x2 + 6x + 4 =0

x2 - 6x + 4 =0

11. Akar – akar persamaan kuadrat 2x2 + x + 6 = 0 adalah

dan . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya

33

dan adalah ....

a.

b.

c.

d.

e.

6x2 + x + 2 =0

6x2 + x + 3 =0

18x2 - 3x + 6 =0

18x2 + 2x - 6 =0

18x2 + 2x + 6 =0

12. Akar – akar persamaan kuadrat x2 – 3x + 1 = 0 adalah

x1dan x2 . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 3x1

dan 3x2 adalah ....

a.

b.

c.

d.

e.

x2 + 3x + 3 =0

x2 - 3x + 3 =0

x2 + 3x - 3 =0

x2 - 9x + 3 =0

x2 - 9x + 9 =0

13. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan 3x2 - x + 9 = 0,

maka nilai

1

2

2

1

x

x

x

x = ….( UN 2011 )

a. 27

53

b. 27

3

c. 27

1

d. 27

3

e. 27

54

14. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 - 13x – 7 = 0 adalah x1 dan

x2. Jika x2 > x1, maka nilai 2x1 + 3x2 = ….( UN 2011 )

a. -12,5

b. -7,5

c. 12,5

d. 20

e. 22