Mohammad Fal Sadikin

Purcell, Varberg, Rigdon, “Kalkulus”, Erlangga, 2004.Dumairy, “Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi”, Penerbit BPFE Yogyakarta, 1996.

Himpunan : kumpulan objek yang didefinisikan dengan jelasContoh:◦ Himpunan Mahasiswa Pencinta Alam◦ Himpunan Tumbuhan Tropis◦ Himpunan Asdos◦ Himpunan Bilangan Bulat◦ Himpunan Bilangan Prima

P ∈ A berarti bahwa obyek p adalah merupakan anggota (atau unsur, atau elemen) dari himpunan A.Jika setiap anggota dari himpunan A juga merupakan anggota dari himpuan lain B, dengan perkataan lain P ∈ A juga P ∈ B, maka A disebut himpunan bagian (subset) dari B.◦ Notasi : A ⊂ B berarti bahwa A merupakan

himpunan bagian dari B

A = B berarti bahwa himpunan A sama dengan himpunan B, yakni jika dan hanya A ⊂ B serta B ⊂ APernyataan ingkaran atau bantahan terhadap p ∈ A, A ⊂ B dan A = B masing-masing dituliskan dengan notasi P ∉ A, A ⊄ B dan A ≠ B, dengan demikian,notasi :P ∉ A artinya obyek P bukan merupakan anggota dari himpunan AA ⊄ B artinya A bukan merupakan himpunan bagian dari BA ≠ B artinya himpunan A tidak sama dengan himpunan B.

◦ Dengan mendaftar seluruh anggotanya di antara kurung kurawal buka dan tutup (tabular form)

A = {1,2,3,4,5}◦ Dengan menyatakan sifat anggotanya

A = himpunan bilangan asli yang lebih kecil daripada 6◦ Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan

A = {x|x adalah bil. Asli yang lebih kecil dari 6}A = {x; 0 < x < 6}A = {x; 1 ≤ x ≤ 5}

Soal : Nyatakan himpunan berikut dalam bentuk notasi pembentuk himpunan

3. D adalah bilangan ganjil kurang dari 20

1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x ∈ A}

1. B adalah bilangan Asli yang lebih dari 3 dan kurang atau sama dengan 15

2. C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama dengan

-5 tetapi kurang dari 10

Jawaban :

2. C = { x | -5 ≤ x < 10 , x ∈ B }3. D = { x | x < 20 , x ∈ L }

Contoh soal : Nyatakan soal di atas dengan cara mendaftar anggotanya

Jawaban:

= { 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 }

= { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

= { 2, 3, 5, 7,11, 13, 17, 19 }

1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x ∈ A}

2. C = { x | -5 ≤ x < 10 , x ∈ B }

3. D = { x | x < 20 , x ∈ P }

Diagram VennLangkah-langkah menggambar diagram venn

1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan

2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama

3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah

4. Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi anggota bersama tadi

5. Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan6. Selanjutanya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam

lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu7. Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana

segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkap

Contoh:Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }

A = { 1,2,3,4,5,6 } B = { 2,4,6,8,10 } C = { 3,6,9,12 }Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas

Jawab:

6

3

2 4

15

8 10

9

12

A

B

C

S

7

111314

6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A,B,C

3 dan 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan C

2,4, 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan B

0

Himpunan kosong◦ Himpunan yang tidak memiliki anggota,

dilambangkan dengan { } atau ΦHimpunan berhingga dan tak berhinggaKesamaan himpunan◦ Himpunan A sama dengan himpunan B bila seluruh

elemen himpunan A ada dalam himpunan B dan seluruh elemen himpunan B ada dalam himpunan A

2A atau P(A) “power set dari A”2A = {B | B ⊆ A} (mengandung semua

himpunan bagian dari A)

Contoh: (1) A = {x, y, z}

2A = {∅, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}

(2) A = ∅2A = {∅}

Catatan : |A| = 0, |2A| = 1

Jika suatu himpunan memiliki n buah anggota yang berlainan, n∈N, kita menyebut S sebagai himpunan berhingga dengan kardinalitas n.Contoh:A = {Mercedes, BMW, Porsche}, |A| = 3

B = {1, {2, 3}, {4, 5}, 6} |B| = 4

C = Φ |C| = 0

D = { x ε N | x ≤ 7000 } |D| = 7001

E = { x ε N | x ≥ 7000 } E tak berhingga!

• Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan Bjika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunantersebut sama.

• Notasi : A ~ B ↔ ⏐A⏐ = ⏐B⏐

Contoh 10. Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab ⏐A⏐ = ⏐B⏐ = 4

Gabungan (union) dari himpunan A dan himpunan B, adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek milik A atau obyek-obyek milik BA U B = {x, x ∈ A atau x ∈ B}

Irisan (intersection) dari himpunan A dan B, adalah himpunan yang beranggotakan baik obyek milik A maupun obyek milik B.A ∩ B = {x, x ∈ A dan x ∈ B}

Jika A ∩ B = ∅, maka A ∩ B disebut disjoint

Selisih dari himpunan A dan himpunan B, dituliskan dengan notasi A – B, adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek milik A dan bukan obyek milik BA – B = AB = {x, x ∈ A tetapi x ∉ B}

Pelengkap (complement) dari sebuah himpunan A, dituliskan dengan notasi A adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek yang tidak dimiliki oleh A; dengan perkataan lain, A adalah sama dengan selisih antara himpunan universal U dan himpunan AA = {x; x ∈ U tetapi x ∉ A} = U – A

32

5. Beda Setangkup (Symmetric Difference) • Notasi: A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A)

Contoh 19. Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A ⊕ B = { 3, 4, 5, 6 }

33

Contoh 20. Misalkan U = himpunan mahasiswa P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80 Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80

Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilaiUAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80. (i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P ∩ Q (ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P ⊕ Q (iii) “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P ∪ Q)

34

TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: (a) A ⊕ B = B ⊕ A (hukum komutatif) (b) (A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C ) (hukum asosiatif)