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Momento de inercia de una esfera de radio R y masa M respecto al centro de gravedad y
respecto a un eje diametral
El volumen de la esfera es 3
34 RV π= y su masa 3
34 RM ρπ= .
El momento de inercia respecto al centro de gravedad se puede calcular como la suma de los
momentos de inercia respecto a tres planos perpendiculares entre sí que se corten en él (planos
diametrales) y una vez calculados éstos, por aplicación de las propiedades de los momentos
de inercia, se calculan los momentos de inercia respecto a los diámetros.
También se puede calcular el momento de inercia respecto al centro de gravedad, y una vez
conocido éste, se calculan los momentos de inercia respecto a planos y ejes, por aplicación de
las propiedades.
1º Método. Cálculo del momento de inercia respecto a los planos diametrales (plano que
divide a la esfera en dos partes iguales, planos XGY, YGZ y XGZ). El momento de inercia de
la esfera respecto a un plano diametral es ∫∫∫=V
plano dmzI 2
Se considera un elemento diferencial de
volumen, que es un cilindro de radio r (0≤r≤
R), altura dz, situado a una distancia z (-R≤z≤
R) del plano XGY y cuya masa es
dzrdm 2ρπ=
Si se elige el elemento diferencial muy cerca
del plano, z es pequeño y sin embargo el radio
del cilindro es grande; por el contrario si se
elige elemento diferencial lejos del plano, z es
grande y el radio del cilindro pequeño. Independientemente de la posición elegida se verifica
la relación 222 zrR += RRRR
RVplano
zzRdzzRzdzrzdzrzdmzI0
532
0
222
0
22222
532)(22 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−==== ∫∫∫∫∫∫
−
ρπρπρπρπ
5534
15)35(2
2235 MRRRRI plano =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−=
πρπ
X
Y
dr
z
r
Z
R
1
Debido a la simetría, los momentos de inercia respecto a los tres planos son iguales, y su
suma es el momento de inercia respecto al centro de gravedad 5
3MRIG = y éste es la
semisuma de los momentos de inercia respecto a los 3 ejes diametrales, de donde
52MRIeje =
2º Método. Cálculo del momento de inercia respecto al centro de gravedad G
El momento de inercia respecto al centro de gravedad es ∫∫∫=V
G dmrI 2 .
Consideramos un elemento diferencial de volumen, situado a una distancia r (0≤r≤ R) de G,
cuya masa es drrdVdm 24πρρ == , por lo que el momento de inercia respecto al centro de
gravedad es
2235
0
4222
53
53
34
5444 MRRRRdrrdrrrdmrI
R
VVG =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛===== ∫∫∫∫∫∫∫
πρπρπρπρ
El momento de inercia respecto al
centro de gravedad de es la suma
de los momentos de inercia
respecto a tres planos
perpendiculares entre sí que se
corten en él, en este caso XGY,
YGZ y XGZ, y debido a la
simetría éstos son iguales, por
tanto
planoYGZXGZXGYG IIIIMRI 353 2 =++== , de donde 2
51 MRI plano =
Por otro lado el momento de inercia respecto a un punto, G por ejemplo, es la semisuma de
los momentos de inercia respecto a tres ejes perpendiculares entre sí que se corte en él. En el
caso de la esfera, los tres ejes perpendiculares que se cortan en G son los diámetros, y debido
a la simetría los momentos de inercia respecto a ellos son iguales, por tanto
( ) diametroGZGYGXG IIIIMRI23
21
53 2 =++== por lo que 2
52 MRI diametro =
X
G Y
Z
r