Momento de inercia de una esfera de radio R y masa M respecto al centro de gravedad y

respecto a un eje diametral

El volumen de la esfera es 3

34 RV π= y su masa 3

34 RM ρπ= .

El momento de inercia respecto al centro de gravedad se puede calcular como la suma de los

momentos de inercia respecto a tres planos perpendiculares entre sí que se corten en él (planos

diametrales) y una vez calculados éstos, por aplicación de las propiedades de los momentos

de inercia, se calculan los momentos de inercia respecto a los diámetros.

También se puede calcular el momento de inercia respecto al centro de gravedad, y una vez

conocido éste, se calculan los momentos de inercia respecto a planos y ejes, por aplicación de

las propiedades.

1º Método. Cálculo del momento de inercia respecto a los planos diametrales (plano que

divide a la esfera en dos partes iguales, planos XGY, YGZ y XGZ). El momento de inercia de

la esfera respecto a un plano diametral es ∫∫∫=V

plano dmzI 2

Se considera un elemento diferencial de

volumen, que es un cilindro de radio r (0≤r≤

R), altura dz, situado a una distancia z (-R≤z≤

R) del plano XGY y cuya masa es

dzrdm 2ρπ=

Si se elige el elemento diferencial muy cerca

del plano, z es pequeño y sin embargo el radio

del cilindro es grande; por el contrario si se

elige elemento diferencial lejos del plano, z es

grande y el radio del cilindro pequeño. Independientemente de la posición elegida se verifica

la relación 222 zrR += RRRR

RVplano

zzRdzzRzdzrzdzrzdmzI0

532

0

222

0

22222

532)(22 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−==== ∫∫∫∫∫∫

−

ρπρπρπρπ

5534

15)35(2

2235 MRRRRI plano =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−=

πρπ

X

Y

dr

z

r

Z

R

1

Debido a la simetría, los momentos de inercia respecto a los tres planos son iguales, y su

suma es el momento de inercia respecto al centro de gravedad 5

3MRIG = y éste es la

semisuma de los momentos de inercia respecto a los 3 ejes diametrales, de donde

52MRIeje =

2º Método. Cálculo del momento de inercia respecto al centro de gravedad G

El momento de inercia respecto al centro de gravedad es ∫∫∫=V

G dmrI 2 .

Consideramos un elemento diferencial de volumen, situado a una distancia r (0≤r≤ R) de G,

cuya masa es drrdVdm 24πρρ == , por lo que el momento de inercia respecto al centro de

gravedad es

2235

0

4222

53

53

34

5444 MRRRRdrrdrrrdmrI

R

VVG =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===== ∫∫∫∫∫∫∫

πρπρπρπρ

El momento de inercia respecto al

centro de gravedad de es la suma

de los momentos de inercia

respecto a tres planos

perpendiculares entre sí que se

corten en él, en este caso XGY,

YGZ y XGZ, y debido a la

simetría éstos son iguales, por

tanto

planoYGZXGZXGYG IIIIMRI 353 2 =++== , de donde 2

51 MRI plano =

Por otro lado el momento de inercia respecto a un punto, G por ejemplo, es la semisuma de

los momentos de inercia respecto a tres ejes perpendiculares entre sí que se corte en él. En el

caso de la esfera, los tres ejes perpendiculares que se cortan en G son los diámetros, y debido

a la simetría los momentos de inercia respecto a ellos son iguales, por tanto

( ) diametroGZGYGXG IIIIMRI23

21

53 2 =++== por lo que 2

52 MRI diametro =

X

G Y

Z

r