1.0 Kegunaan Matematik dalam Paradoks Zeno

1.1 Pengenalan tentang Paradoks Zeno

Paradoks bermaksud sesuatu penyataan yang kelihatan benar / logik tetapi

sebenarnya bercanggah (tidak logik). Ia dipelopori of Zeno of Elea, seorang ahli

falsafah Greek.

Beliau percaya bahawa sesuatu entiti boleh dibahagikan dan tidak berubah

dalam realiti. Berikut merupakan empat paradoks yang dikemukakan oleh beliau

untuk mencabar tanggapan yang berkaitan dengan ruang dan masa.

Jenis-jenis paradoks:

1.2 Paradoks Archilles dan Kura-kura (495 – 435 SM)

Paradok Zeno tentang Archiles dan kura-kura ini merupakan paradok

yang terkenal di antara paradok Zeno yang lain.

Pada masa itu terdapat orang yang ingin membantahkan paradok

Zeno ini kerana mereka berpendapat bahawa pendapat Zeno ini

adalah salah. Namun mereka tidak dapat menemukan perbantahan

melalui logikal mereka hingga akhirnya mereka harus menerima

paradok Zeno ini meskipun tidak menerimanya.

Achilles, seorang pelumba yang cepat dan terkenal ingin bertanding dengan

kura-kura. Achilles dapat berlari 10 m/detik, sedangkan kura-kura hanya

1 m/detik. Panjang lintasan adalah 100 m. Disebabkan Achilles jauh lebih

cepat daripada kura-kura, jadi syarat perlawanan adalah membiarkan kura-

kura 10 meter di depannya pada waktu mula. Jadi, siapa yang akan menang

dalam pertandingan berlari ini? 

Masing-masing mulai berlari, dengan kura-kura 10 m di depan.

Langkah 1 1:

Achilles telah sampai ke titik tempat kura-kura mula berlari. Tetapi saat itu, kura-

kura telah berada di depan Achilles. Achilles lari lagi sampai ke titik tempat kura-

kura sampai di poin sebelum ini. Kura-kura kini berada    m di depannya.

10 m0 100 m

Langkah 2:

0 100 m m

Achilles lari lagi dan sampai di titik tempat kura-kura sampai di poin sebelum ini.

Kura-kura kini berada    m di depan Achilles.

Langkah 3:

0 100 m m m

Hal ini berlangsung terus untuk beberapa saat, tetapi setiap kali Achilles berjaya

mencapai titik tempat kura-kura sampai, kura-kura telah berada sedikit lebih

depan dari Achilles. Oleh itu, bagaimana pun Achilles berusaha, Achilles hanya

mampu memperkecil jarak  kali setiap saat tanpa dapat mendahului kura-kura.

Jadi, kura-kura menang dalam pertandingan ini.

Untuk dapat melentasi kura-kura di depan, maka Achilles harus

menempuh jarak 10m terlebih dahulu (tempat kura-kura mula). Pada

saat yang bersamaan kura-kura telah merangkak maju sejauh . Saat

Achilles menempuh jarak , kura-kura telah bergerak maju .

Berikutnya saat Achilles menempuh jarak , kura-kura telah bergerak

maju sejauh . Begitu seterusnya proses ini berulang-ulang sampai tak

terhingga sehingga disimpulkan bahawa Achilles tidak mungkin melentasi

kura-kura.

Kalau dituliskan maka jarak yang ditempuh oleh Achilles adalah,

Berdasarkan paradok ini, Achilles tidak akan dapat mengalahkan kura-kura yang

bergerak terlebih dahulu. Zeno ingin membuktikan bahawa ruang dan waktu

adalah berterusan. Jika ada pergerakan, pergerakan itu adalah seragam.

1 + + + + …

Tanda titik-titik ini menunjukkan bahawa pola tersebut berulang-ulang

untuk setiap bentuk selalu diikuti oleh bentuk .

1.2.1 Aplikasi Paradok Zeno - Achilles dan Kura-kura dalam

Matematik

i. Kalkulus

Paradok Achilles dan kura yang diketengahkan oleh Zeno dapat

dijadikan landasan pemikiran untuk memahami konsep tentang limit

fungsi dalam kalkulus.

Konsep limit dapat difahami melalui suatu luasan berbentuk persegi

yang sisinya 1 cm. Hasil penjumlahan dari + + + + + … adalah

mendekati 1. Contohnya adalah seperti berikut :

Perhatikan fungsi f(x) = , x ≠ 0 yang domainnya semua bilangan real

yang tidak nol. Jika kita cari nilai fungsi di x = 0, akan diperoleh f(0) =

yang bernilai tak terdefinisi. Namun, nilai fungsi untuk titik-titik yang

berada dekat dengan 0 dapat dicari sebagaimana contoh di bawah ini :

Jadi, dikatakan bahawa f(x) mendekati tak hingga sebagai suatu limit, ditulis

dengan = ∞

ii. Janjang Bilangan

Konsep tentang janjang bilangan telah dikenal sejak abad ke-5 sebelum

Masihi oleh Zeno.

Daripada paradox yang mengisahkan Achilles berlumba dengan kura-

kura tadi, jarak yang ditempuh oleh Achilles adalah

1 + + + + …

Bentuk perjumlahan ini dalam matematik dikenal sebagai janjang

bilangan.

Misalnya menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka barisan itu

disebut barisan geometri jika : selalu tetap untuk setiap n dan

dinamakan sebagai nisbah dan dilambangkan dengan r.

Waktu-waktu yang diperlukan Achilles untuk melentasi kura-kura akan

membentuk Janjang Geometri (Geometri Progression) tak berhingga

seperti :

Walau bagaimanapun, jumlah jarah tak terhad merupakan satu jumlah

jarak yang terhad. Buktinya adalah seperti berikut :

a = 1 m nisbah, r = 0.1 k = ∞

Menggunakan janjang geometri untuk mencari jarak yang tidak terhad,

1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + ….

=

=

=

= r

Contoh :

1, 3, 9, 27, ….

r = = = = 3

Jadi, kura-kura akan dilentasi oleh Achilles hanya dalam waktu .

Justeru, jumlah jarak tidak terhad (yang dikatakan oleh Zeno)

sebenarnya adalah merupakan satu jumlah jarak yang terhad.

1.3 Paradoks Anak Panah (arrow paradox)

Paradox Asal : Satu anak panah yang dalam penerbangan mempunyai

kedudukan yang pegun pada masa yang "instant". Jadi bagaimana gerakan

arrow yang dilihat?

"An arrow in flight has an instantaneous position at a given instant of time. At that

instant, however, it is indistinguishable from a motionless arrow in the same

position, so how is the motion of the arrow perceived?"

Penyusunan semula Paradox :

Apabila anak panah adalah di tempat yang sebesar saiz sendiri, ia adalah

berehat.

Apabila sebuah anak panah dilemparkan dari busurnya ianya sebenarnya

tidak bergerak

melainkan setiap saat berhenti.

Disetiap tempat anak panah itu berada, sebenarnya anak panah itu

sedang berhenti

dan diam disitu.

Jadi, panah yang sedang terbang itu sebenarnya tidak bergerak

melainkan dalam keadaan diam. Ia hanya kelihatan sahaja bergerak.

When the arrow is in a place just its own size, it’s at rest.

At every moment of its flight, the arrow is in a place just its own size.

Therefore, at every moment of its flight, the arrow is at rest.

Pernyataan: Pergerakan adalah mustahil.

Bukti: Semua objek berada dalam keadaan rehat dan tidak bergerak.

Contoh:

Biar I menjadi selang masa, di mana anak panah terbang dalam gerakan.

(1) Semua yang berada dalam keadaan rehat apabila ia menduduki ruang yang

sama dengan dirinya sendiri. (premis)

(2) Pada tiap-tiap t "instant" yang terkandung dalam I, anak panah menduduki

ruang yang sama dengan sendiri (premis tersirat)

(3) Pada tiap-tiap t s"instant" egera yang terkandung dalam I, anak panah berada

dalam keadaan rehat di t. (Dari (1) dan (2))

(4) Anak panah adalah sentiasa dalam "instant" ' (premis)

Oleh itu,

(5) Anak panah adalah tidak bergerak dalam I. (From (3) dan (4))

"Therefore, if it cannot move in a single instant it cannot move in any instant,

making any motion impossible."

Kelemahan: Paradox ini mengasingkan masa kepada selang masa. Realitinya,

paradox ini mengabaikan kesinambungan masa.

1.3.1 Penggunaan Paradoks Zeno dalam Mekanik Kuantum

Kuantum mekanik (QM – juga dikenali sebagai fizik kuantum atau teori

kuantum) adalah satu cabang fizik yang berkaitan dengan fenomena

fizikal pada skala mikroskopik.

Melalui paradox anak panah serta eksperimen-eksperimen, ahli fizik telah

membuat kesimpulan seperti berikut:

o Dalam sistem fizikal, keadaan fizikal bagi sesuatu benda akan

sentiasa berubah dari masa ke masa, tetapi, kalau pengukuran

dibuat secara berterusan, benda tersebut akan berada dalam

keadaan rehat. (bilangan pengukuran mestilah cukup kerap)

o Fenomena ini dipanggil sebagai “Kesan Kuantum Zeno”.