Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Babak Penyisihan

DINAMIKA XV“Mathematics Is The Beginning of Technological Advancement”

Presented by

PANITIA PELAKSANADIES NATALIS JURUSAN MATEMATIKA XV (DINAMIKA XV)

HIMPUNAN MAHASISWA JURUSAN MATEMATIKA (HIMATIKA)FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

Jl. Prof. Dr. Soemantri Brojonegoro No.1 Gedung UKM FMIPA Unila Gedong Meneng Raja Basa, Bandar Lampung 35145

E-mail : [email protected]

PEMBAHASAN BABAK PENYISIHAN

OLIMPIADE MATEMATIKA BABAK PENYISIHAN

2014

1. F=(4+3 ) (42+32 ) (44+34 ) (48+38 ) ( 416+316 ) (432+332) maka

(4−3 ) F=( 4−3 ) (4+3 ) ( 42+32) ( 44+34 ) ( 48+38 ) (416+316 ) ( 432+332 ) ¿ ( 42−32 ) ( 42+32) ( 44+34 ) ( 48+38 ) ( 416+316) ( 432+332 ) ¿ ( 44−34 ) ( 44+34 ) ( 48+38 ) (416+316 ) ( 432+332 )

¿ ( 48−38 ) (48+38 ) ( 416+316 ) (432+332)

¿ ( 416−316) ( 416+316 ) ( 432+332 )

¿ ( 432−332 ) (432+332)

¿ ( 464−364 )

Oleh karena itu x-y = 64-64=0

2. Perhatikan gambar di bawah ini

Karena D adalah titik tengah BC dan ABC siku-siku di A maka diperoleh

AD=BD=CD=52

. Selain itu Luas ∆ ABD=Luas ∆ ADC=12

Luas ∆ ABC=3

Ingat pula bahwa

BA

D

C


Presented by



UNIVERSITAS LAMPUNG



r= Luas∆ ABD12

Keliling ∆ ABD

dan

s= Luas∆ ADC12

Keliling ∆ ADC

Maka

1r+

1s=

12

(3+4+5+5 )

3=

176

3. Misalkan angka-angka pada dadu I adalah 1,2, 3, 4, 5, 6 dan angka-angka pada dadu II adalah 1 ,2, 3 , 4 ,5 , 6. Pada proses ini bisa kita anggap kita memasangkan angka pada dadu I terlebih dahulu setelah itu dadu II dipasangkan dengan 6 angka sisanya. Oleh

karena itu banyaknya pasangan dadu yang bisa dibentuk adalah C612=924. Sedangkan

jumlah 7 bisa diperoleh jika angka yang ada dibagian atas adalah (1 , 6),(2 , 5),(3 , 4 )(4 ,3)(5 ,2)(6 ,1). Kita selidiki untuk kasus (1 , 6) atau (6 , 1). Sedangkan untuk dua kasus lainnya identik dengan kasus ini.

Perhatikan kemungkinan distribusi angka-angka 1,6 , 1 ,6 yang bisa menghasilkan jumlah 7 adalah sebagai berikut :

Dadu I memiliki salah satu dari angka-angka 1,6 , 1 ,6Banyaknya kemungkinan pasangan dadu yang bisa dibentuk adalah

C14 .C5

8=224. Sedangkan untuk masing-masing kemungkinan peluang muncul jumlah

7 adalah 2

36. Jadi untuk kasus ini total peluang muncul jumlah 7 yaitu

224924

.2

36= 4

297.

Dadu I memiliki dua angka dari dari angka-angka 1,6 , 1 ,6

- Jika dua angka tersebut adalah (1 , 6 ) , (1 , 6 ) , (1 ,6 ) atau(1, 6) maka banyaknya

kemungkinan pasangan dadu yang bisa dibentuk adalah 4. C48=280. sedangkan


Presented by



UNIVERSITAS LAMPUNG



untuk masing-masing kemungkinan peluang muncul jumlah 7 yaitu 2

36. Jadi

untuk kasus ini total peluang muncul jumlah 7 yaitu 280294

.2

36= 5

297- Jika dua angka tersebut adalah (1 ,1) atau (6 , 6) maka banyaknya kemungkinan

pasangan dadu yang bisa dibentuk adalah 2.C48=140. sedangkan untuk masing-

masing kemungkinan peluang muncul jumlah 7 yaitu 4

36. Jadi untuk kasus ini

total peluang muncul jumlah 7 yaitu 140294

.4

36= 5

297 Dadu I memiliki tiga angka dari angka-angka 1,6 , 1 ,6

Banyaknya kemungkinan pasangan dadu yang bisa dibentuk adalah C34 .C3

8=224.

Sedangkan untuk masing-masing kemungkinan peluang muncul jumlah 7 adalah 2

36.

Jadi untuk kasus ini total peluang muncul jumlah 7 yaitu 224294

.2

36= 4

297

Oleh karena itu peluang muncul jumlah 7 yang diperoleh dari pasangan (1 , 6) atau

(6 , 1) adalah 4

297+ 5

297+ 5

297+ 4

297= 18

297. Jadi total peluang muncul jumlah 7 adalah

3.18

297= 54

297

4. Karena n < 20 maka nilai-nilai yang mungkin x2=0,1,4,9,16 sedangkan nilai-nilai yang

mungkin dari y2=0,1,4. apabila disajikan dalam tabel maka

x2 0 0 0 1 1 1 4 4 4 9 9 16 16y2 0 1 4 0 1 4 0 1 4 0 1 0 1N 0 3 12 1 4 13 4 7 16 9 12 16 19

Nilai-nilai n yang mungkin adalah 0, 1, 3, 4, 9, 12, 13, 16 dan 19

5. Dari identitas tan2 x= 2 tan x

1− tan2 x


Presented by



UNIVERSITAS LAMPUNG



diperoleh

1−tan2 x=2 tan xtan 2x

sehingga

(1−tan2 x

22011 )(1−tan2 x

22010 )….(1−tan2 x

2 )=22011 √3 tan

x

22011

2. tanx

22011

tanx

22010

.

2. tanx

22010

tanx

22009

……2. tan

x2

tan x=22011√3 tan

x22011

22011. tanx

22011

tan x=22011 √3 tan

x22011

tan x=13

√3

Oleh karena itu sin x=12

dan cos x=12

√3. Sehingga sin 2 x=2 sin x cos x=12√3

6. Jika keempat peserta ini sudah bertanding sebanyak satu kali, maka banyaknya pertandingan yang dilakukan adalah 3+2+1 = 6 pertandingan.Oleh karena itu, total pertandingan pada turnamen itu adalah 6 x 4 = 24 pertandingan.Total nilai tertinggi yang diperoleh adalah 24 x 3 = 72. Karena total nilai keempat peserta adalah 22 + 19+ 14 + 12 = 67 < 72, maka turnamen ini mempunyai pertandingan yang berakhir seri.Misalkan x = banyaknya pertandingan berakhiran menang

y = banyaknya pertandingan berakhiran seri. Karena total nilai suatu pertandingan yang berakhir seri sama dengan 2, maka diperoleh sistem persamaan berikut :x + y =243x + 2y = 67Dengan mengeliminasi veriabel x, maka y = (3 x 24) – 67 = 72 – 67 = 5Jadi, banyaknya pertandingan berakhir seri adalah 5 pertandingan.

7. Buatlah garis bantu CX yang tegak lurus dengan BD, seperti gambar berikut

AB

C

45

D

15X


Presented by



UNIVERSITAS LAMPUNG



Karena ∠ ADB=120o maka ∠XDC=(180−120 )o=60o sehingga ∠DCX=30o.

Hal ini berakibat CD = 2DX.Diketahui CD=2AD maka segitiga ADX adalah segitiga sama kaki. Lebih lanjut,

∠DAX=∠DXA=(180−120 )o

2=30o

Perhatikan bahwa ACX juga sama kaki (∠DCX=∠DAX=30o ¿.

Karena ∠DAX=30o maka ∠XAB=15o, sehingga segitiga ABX sama kaki (AX=BX).Diperoleh bahwa AX = BX = CX oleh karena itu BCX adalah segitiga siku- siku sama kaki. Jadi ∠XCB=45o yang berakibat

∠ ACB=∠DCX+∠XCB=30o+45o=75o

8. Ada tiga kemungkinan dalam soal tersebut yakni : Untuk x≠−1 dan y ≠−1. Maka sistem persamaan menjadi

x= y−1y=x−1

Sistem persamaan ini tidak mempunyai solusi. Untuk x=−1. Maka sistem persamaan menjadi

− y−1= y2−1 , atau0= y ( y+1)

Solusi dari sistem persamaan yang dimaksud adalah {(-1,-1),(-1,0)} Untuk y=−1. maka sistem persamaan menjadi

−x−1=x2−1, atau

0=x (x+1)

Solusi dari sistem persamaan yang dimaksud adalah {(-1,-1),(0,1)}

Jadi semua pasangan bilangan bulat (x,y) yang memenuhi sistem persamaan :

x ( y+1 )= y2−1

y ( x+1 )=x2−1Adalah {(-1,-1),(0,-1),(-1,0)}.

9. Misalkan barisan kelompok bilangan U 1 , (U 2 ,U 3 ) , (U 4 ,U 5 , U 6 ) ,…Tulis barisan kelompok bilangan tersebut sebagaiV 1=U 1 ;V 2=(U 2 , U 3 ) ;V 3=( U 4 , U 5 ,U 6 ); ……

Perhatikan pola barisan kelompok bilangan tersebut


Presented by



UNIVERSITAS LAMPUNG



V 1 diakhiri dengan U 1 ,

V 2 diakhiri dengan U 3 ,

V 3 diakhiri dengan U 6 ,…

V n diakhiri dengan U (1 /2 )n ( n+1 )…

Oleh karena itu, V 29 diakhiri dengan U 435 . Karena pada kelompok ke-29 terdapat 29

suku maka suku tengah kelompok ke-29 adalah U 435−14=U 421 . Padahal, U 421=2.421=842.

Jadi suku tengah kelompok ke-29 adalah 842

10. Perhatikan gambar berikut :

Karena AD garis bagi ∠ ABC diperoleh

ABBC

= ADCD

↔BCCD

= ABAD

Selain itu karena BC = BD + AD dan BD = BE maka AD =AC. Ingat juga bahwa AB = AC sehingga diperoleh AB . CE = AC . AD yang equivalen dengan

ABAD

= ACCE

Sehingga

BCCD

= ACCE

CB2 α

α

α

D

E

A


Presented by



UNIVERSITAS LAMPUNG



Dengan kata lain ∆ CED sebangun dengan ∆ ABC. Jadi ∆ CED sama kaki dengan CE = DE. Karena ∠CDE=∠DCE=2 α maka ∠CDE=180o−4 α. Perhatikan pula pada

∆ BDE , besar ∠BED=180o−α2

. Karena ∠BED+∠CED=180o maka diperoleh

180o−α2

+180o−4 α=180o

180o−α2

=4 α

8 α=180−α

α=20o

Jadi, ∠CAB=∠CED=180o−4 α=100o

11. Misalkan susunan duduk semula adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Selanjutnya kita bagi menjadi dua kelompok yaitu kelompok I = 1, 2, 3, 4, 5 dan kelompok II= 6, 7, 8, 9, 10. Banyaknya cara kelompok I duduk kembali pada kursinya ada 8 cara yaitu :12345, 21345,12435, 21435, 12354, 21354, 13245, 13254. Demikian pula banyaknya cara kelompok II duduk kembali pada kursi ada 8 cara (kedua kelompok pada dasarnya sama hanya beda nomor saja). Jadi, jika kelompok i dan kelompok II saling lepas maka banyaknya cara kedua kelompok tersebut susuk kembali pada kursinya ada 8 x 8 = 64 cara.Perhatikan jika kelompok I dan kelompok II tidak saling lepas.Dalam hal ini satu-satunya terjadi overlaping jika dan hanya jika siswa yang duduk pada posisi 5 dan 6 saling bergantian. Oleh karena itu diperoleh kelompok I yang baru yaitu 1, 2, 3, 4, 6 dan kelompok II yang baru yaitu 5, 7, 8, 9, 10. Selanjutnya mudah dilihat bahwa banyaknya cara kelompok I yang baru duduk kembali pada kursinya ada 5 cara yaitu 12346, 21346, 12436, 21436, 13246. Demikian pula banyaknya cara kelompok II yang baru duduk kembali pada kursinya juga ada 5 cara. Sehingga jika kelompok I dan kelompok II tidak saling lepas maka banyaknya cara kedua kelompok tersebut duduk kembali pada kursinya ada 5 x 5 = 25 cara.Jadi total banyaknya cara semua siswa tersebut duduk kembali pada baris tadi ada sebanyak 64 + 25 cara = 89 cara.

12. Misalkan kedua akar persamaan tersebut adalah a dan b dan a < b. Kita peroleha+b=2013 dan ab=kKarena a+b ganjil maka salah satu dari a atau b adalah ganjil dan satunya genap. Tetapi karena a, b prima berakibat a = 2 sehingga b = 2011. Oleh karena itu k = ab = 2. 2011 = 4022.


Presented by



UNIVERSITAS LAMPUNG



13. Perhatikan deskriminan dari f ( x )=a x2+bx−c adalah D=b2−4a (a+b ) . Selanjutnya

diperoleh D= (a+c )2. Agar diperoleh nilai D yang tidak kurang dari 13 maka haruslah

a+c tidak kurang dari 4. ... (*)Perhatikan bilangan-bilangan aditif berikut :101 202 303 404 505 606 707 808112 213 314 415 516 617 718 819123 224 325 426 527 628 729 -134 235 336 437 538 639 - -145 246 347 448 549 - - - 156 257 358 459 - - - -167 268 369 - - - - -178 279 - - - - - -189 - - - - - - 909Dari bilangan-bilangan aditif di atas, yang memenuhi pernyataan (*) ada sebanyak 43.

14. Untuk halaman 1 sampai 9, menggunakan 9 angka. Untuk halaman 10 sampai dengan 99, menggunakan 90 x 2 = 180 angka.Untuk menuliskan sampai halaman 1 sampai dengan 99,membutuhkan 180 +9 =189 angka. Sisa angka yang belum digunakan = 852-189 = 663.Hal ini berarti banyaknya halaman yang menggunakan 663 angka.Mulai halaman 100, setiap penulisan halaman membutuhkan 3 angka. Karena 663:3=221,maka 663 angka digunakan untuk penulisan 221 halaman. Banyaknya halaman yang menggunakan 852 angka adalah 99 + 221 =320 halaman. Jadi halaman terakhir buku matematika adalah 320.

15. Perhatikan gambar berikut

42o

O

A

D

C

B


Presented by



UNIVERSITAS LAMPUNG



Kita ketahui bahwa ∠COD=∠ODA = ∠OAD = 42o Tetapi karena ∆ COD adalah segitiga samakaki maka diperoleh ∠OCD=138o

2=69o

16. Sebuah bilangan akan habis dibagi 3 apabila penjumlahan angka-angkanya habis dibagi 3. Ada 4 angka/digit yang habis dibagi 3 dan masing-masing ada 3 angka/digit yang bersisa 1 atau 2 jika dibagi 3. Misalkan bilangan palindrom tersebut adalah abcba. Penjumlahan angka = 2(a + b) + c. Karena angka pertama tidak boleh 0 maka banyaknya cara memilih digit a ≡ 0 (mod 3) hanya ada 3 kemungkinan. Jika c ≡ 0 (mod 3)

Maka 2(a + b) ≡ 0 (mod 3) sehingga a + b ≡ 0 (mod 3) Tiga kemungkinan pasangan (a, b) adalah a ≡ 0 (mod 3) dan b ≡ 0 (mod 3), a ≡ 1 (mod 3) dan b ≡ 2 (mod 3) atau a ≡ 2 (mod 3) dan b ≡ 1 (mod 3) Banyaknya cara memilih digit c adalah 4. Maka banyaknya cara memilih bilangan palindrom jika c ≡ 0 (mod 3) = 4 (3 4 + 3⋅ ⋅ 3 + 3 3) ⋅ ⋅

Maka banyaknya cara memilih bilangan palindrom jika c ≡ 0 (mod 3) = 120.

Jika c ≡ 1 (mod 3) Maka 2(a + b) ≡ 2 (mod 3) sehingga a + b ≡ 1 (mod 3) Tiga kemungkinan pasangan (a, b) adalah a ≡ 0 (mod 3) dan b ≡ 1 (mod 3), a ≡ 1 (mod 3) dan b ≡ 0 (mod 3) atau a ≡ 2 (mod 3) dan b ≡ 2 (mod 3) Banyaknya cara memilih digit c adalah 3. Maka banyaknya cara memilih bilangan palindrom jika c ≡ 1 (mod 3) = 3 (3 3 + 3⋅ ⋅ 4 + 3 3) ⋅ ⋅

Maka banyaknya cara memilih bilangan palindrom jika c ≡ 1 (mod 3) = 90.

Jika c ≡ 2 (mod 3) Maka 2(a + b) ≡ 1 (mod 3) sehingga a + b ≡ 2 (mod 3) Tiga kemungkinan pasangan (a, b) adalah a ≡ 0 (mod 3) dan b ≡ 2 (mod 3), a ≡ 1 (mod 3) dan b ≡ 1 (mod 3) atau a ≡ 2 (mod 3) dan b ≡ 0 (mod 3) Banyaknya cara memilih digit c adalah 3. Maka banyaknya cara memilih bilangan palindrom jika c ≡ 2 (mod 3) = 3 (3 3 + 3⋅ ⋅ 3 + 3 4) ⋅ ⋅

Maka banyaknya cara memilih bilangan palindrom jika c ≡ 2 (mod 3) = 90. Banyaknya bilangan palindrom yang memenuhi adalah 120 + 90 + 90 = 300. ∴ Banyaknya bilangan palindrom 5-angka yang habis dibagi 3 adalah 300.

17. Perhatikan bahwa 6552=23×33× 7× 13. Oleh karena itu, f (6552 )=f (23 ×33 ×7× 13 )


Presented by



UNIVERSITAS LAMPUNG



¿ f (23) × f (33 ) × f (7)× f (13) ¿4 ×3×2×2 ¿48

18. Langkah pertama : kelompokan semua kaleng ke dalam 2 kelompok, masing-masing kelompok terdiri dari 500 kaleng. Lalu timbang kedua kelompok kaleng tersebut, lalu ambil kelompok kaleng yang lebih ringan beratnya.

Langkah kedua : kelompokkan semua kaleng yang lebih ringan beratnya ke dalam 2 kelompok, masing-masing kelompok terdiri dari 250 kaleng. Lalu timbang kedua kelompok kaleng tersebut, lalu ambil kelompok kaleng yang lebih ringan beratnya.

Langkah ketiga : kelompokan semua kaleng yang lebih ringan beratnya ke dalam 2 kelompok,masing-masing kelompok terdiri dari 125 kaleng. Lalu timbang kedua kelompok kaleng tersebut,lalu ambil kelompok kaleng yang lebih ringan beratnya.

Langkah keempat : ambil satu kaleng dari kelompok kaleng yang lebih ringan beratnya, lalu kelompokan semua kaleng yang lebih ringan beratnya ke daam 2 kelompok, masing-masing kelompok terdiri dari 62 kaleng. Lalu timbang kedua kelompok kaleng tersebut,lalu ambil kelompok kaleng yang lebih ringan beratnya.

Langkah kelima : kelompokan semua kaleng yang lebih ringan beratnya ke dalam 2 kelompok,masing-masing kelompok terdiri dari 31 kaleng. Lalu timbang kedua kelompok kaleng tersebut,lalu ambil kelompok kaleng yang lebih ringan beratnya

Langkah keenam : ambil satu kaleng dari kelompok kaleng yang lebih ringan beratnya, lalu kelompokan semua kaleng yang lebih ringan beratnya ke dalam 2 kelompok, masing-masing kelompok terdiri dari 15 kaleng. Lalu timbang kedua kelompok kaleng tersebut,lalu ambil kelompok kaleng yang lebih ringan beratnya

Langkah ketujuh : ambil satu kaleng dari kelompok kaleng yang lebih ringan beratnya, lalu kelompokan semua kaleng yang lebih ringan beratnya ke dalam 2 kelompok, masing-masing kelompok terdiri dari 7 kaleng. Lalu timbang kedua kelompok kaleng tersebut,lalu ambil kelompok kaleng yang lebih ringan beratnya

Langkah kedelapan : ambil satu kaleng dari kelompok kaleng yang lebih ringan beratnya, lalu kelompokan semua kaleng yang lebih ringan beratnya ke dalam 2 kelompok, masing-masing kelompok terdiri dari 3 kaleng. Lalu timbang kedua kelompok kaleng tersebut,lalu ambil kelompok kaleng yang lebih ringan beratnya


Presented by



UNIVERSITAS LAMPUNG



Langkah terakhir timbang masing-masing kaleng dari kelompok kaleng yang lebih ringan beratnya. Kaleng yang lebih ringan adalah kaleng yang palsu.Jadi , minimal Pak Rudi menimbang sebanyak 19 kali.

19. limx →1

(1−x2007)+( x2007−1 ) x8

(1−x2008)+ ( x2008−1 ) x= lim

x →1

(1−x2007) (1−x8 )(1−x2008) (1−x )

¿ limx →1 ( (1−x2007 )

(1−x ):

(1−x2008)(1−x8 ) )

¿ limx →1 ( 1+x+x2+…+x2006

1+x8+ x16+…+ x2000 )=2007251

20. Perhatikan gambar dibawah ini

Jelas bahwa AC= 25 cm. Dan karena ∆ CDH ∆ ACD diperoleh

CDAC

=CHCD

↔2025

=CH20

↔ CH=16

Sehingga AH = 9 cm. Dan berdasarkan teorema Stewart diperoleh

BH 2+CH . AH= BC2 . AH+ A B2 .CHAC

BH 2+16.9=152 .9+202 .1625

BH 2+144=81+256

BH 2=193

sehingga panjang HB adalah √193 cm

H

D C

BA

Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Babak Penyisihan

Education

Transcript of Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Babak Penyisihan