1

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Dalam pengolahan data dikenal beberapa istilah seperti, statistika dan

peluang. Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan,

mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data.

Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah 'statistika'

berasal dari bahasa Inggris ‘statistics’.

Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu

alam (misalnya astronomi dan biologi) maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi

dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan industri. Statistika juga

digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan. Misalnya saja, sensus

penduduk yang merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal. Aplikasi

statistika lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau polling

(misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta jajak cepat (perhitungan cepat

hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan

dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan.

Peluang atau kebolehjadian atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah cara

untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan

berlaku atau telah terjadi. Konsep ini telah dirumuskan dengan lebih ketat dalam

matematika, dan kemudian digunakan secara lebih luas dalam tidak hanya dalam

matematika atau statistika, tapi juga keuangan, sains dan filsafat.

2

B. RUMUSAN MASALAH

Adapun rumusan masalah dari makalah ini, antara lain sebagai berikut.

1. Bagaimana membuktikan rumus permutasi dan kombinasi dan cara

menyelesaikan soal-soal tersebut?

2. Bagaimana rumus peluang dari suatu kejadian dan cara penyelesain soal

tersebut?

3. Bagaimana cara menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram?

4. Bagaimana menghitung mean, median, modus dan simpangan baku pada

data tunggal dan data berkelompok?

C. TUJUAN

Adapun tujuan dari makalah ini adalah untuk mengetahui rumus permutasi

dan kombinasi serta cara penyelesaian soalnya, untuk mengetahui rumus peluang

suatu kejadian serta cara penyelesaian soalnya, untuk mengetahui cara menyajikan

data dalam bentuk tabel dan diagram, dan untuk mengetahui cara menghitung mean,

median, modus, dan simpangan baku pada data tunggal dan data berkelompok.

3

BAB II

PEMBAHASAN

A. PERMUTASI DAN KOMBINASI

1) Permutasi

Permutasi dari sekumpulan unsur adalah penyusunan unsur-unsur itu dengan

memperhatikan urutannya.

Banyaknya permutasi dari n unsur dengan setiap pengambilan r unsur ditulis

dengan notasi n P r , P n r , P (n,r) , n P r.

Rumus permutasi :

P (n,r) = ___n!___ (n – r)!

Keterangan :

n = banyaknya unsur r = jumlah susunan unsur berurut

Contoh :

1. Disediakan 4 huruf yaitu A, B, C, dan D. Dari 4 huruf tersebut akan disusun

huruf secara permutasi yang terdiri atas :

a. 2 huruf

b. 3 huruf

Jawab :

a. Terdiri atas 2 huruf

n = 4 r = 2

4

P (4,2) = ___4!___ = _4 × 3 × 2!_ = 12(4 – 2)! 2!

Pembuktian

AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC = 12

b. Terdiri atas 3 huruf

n = 4 r = 3

P (4,3) = ___4!___ = _4 × 3 × 2 × 1!_ = 24(4 – 3)! 1!

Pembuktian

ABC, ABD, ACB, ACD, ADB, ADC, BAC, BAD, BCA, BCD, BDA,

BDC, CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB, DAB, DAC, DBA, DBC,

DCA, DCB = 24

2. Pada pemilihan pelajar teladan akan dipilih pelajar teladan 1, 2, dan 3. Ada

berapa cara pemilihan pelajar teladan tersebut, jika ada 6 calon.

Jawab :

n = 6 r = 3

6P3 = ___6!___ = _6 × 5 × 4 × 3!_ = 120 cara(6 – 3)! 3!

Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama

Jika P menyatakan banyaknya n unsur dengan terdapat p unsur yang sama, q

unsur yang sama, r unsur yang sama, maka rumusnya :

P = ____n!____ p! q! r! ... (p + q + r + ... < n)

Contoh :

5

1. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata :

a. BIOLOGI

b. STATISTIK

Jawab :

a. BIOLOGI

n = 7 huruf O = 2 huruf I = 2

P = __7!__ = _7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2!_ = 1.260 2! 2! 2! (2 × 1)

b. STATISTIK

n = 9 huruf S = 2 huruf T = 3 huruf I = 2

P = ___9!___ = _9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3!_ = _60480_ = 15.120 2! 3! 2! 3! (2 × 1) (2 × 1) 4

2. Berapa banyak susunan huruf pada kata BELAJAR dengan syarat sebuah

huruf vokal selalu berada diantara 2 huruf konsonan.

Jawab :

Huruf konsonan : B, L, J, dan R

n = 4 r = 4 karena semua huruf konsonan digunakan.

Pk = ___4!___ = 4 × 3 × 2 × 1 = 24(4 – 4)!

Huruf vokal : E dan A

n = 3 huruf A = 2

Pv = _3!_ = _3 × 2!_ = 32! 2!

P = Pk × Pv = 24 × 3 = 72

6

Permutasi Siklik

Permutasi siklik adalah susunan unsur-unsur yang membentuk lingkaran

dengan memperhatikan urutannya. Banyaknya permutasi siklik dari n unsur adalah

P = (n – 1)!

Contoh :

1. Ada 5 orang siswa mengelilingi meja bundar. Berapa banyak susunan duduk

yang berbeda dari 5 orang itu.

Jawab :

n = 5

P = (5 – 1)! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

2. Ada 8 orang mengelilingi api unggun. Berapa banyak cara orang itu

mengelilingi api unggun jika 2 orang duduk berdampingan.

Jawab :

n = 7 n ≠ 8 karena ada 2 orang yang duduk bersama, yang lainnya tidak.

Jadi, hanya membentuk 7 susunan putaran.

P = (7 – 1)! 2!= 6! 2!

= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) (2 × 1)

= 720 × 2

= 1.440

2) Kombinasi

Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah penyusunan unsur-unsur

tanpa memperhatikan urutannya.

7

Kombinasi dari n unsur berbeda dengan setiap pengambilan r unsur ditulis

dengan notasi n C r , n C r , C n r , C (n,r)

Rumus Kombinasi :

n C r = ____n!____ (n – r)! r!

Keterangan :

n = banyaknya unsur r = jumlah susunan unsur tak berurut

Contoh :

1. Berapa banyak cara memilih pemain bulu tangkis ganda putra dari 7 pemain

inti putra.

Jawab :7C2 = ____7!____

(7 – 2)! 2!

= _7 × 6 × 5!_ 5! 2!

= _7 × 6_ = _42_ 2 × 1 2

= 21

2. Dari 6 anak putra dan 7 anak putri akan ditunjuk 2 anak putra dan 4 anak

putri. 1 putra dan 2 putri sudah pasti ditunjuk. Berapa cara dapat memilih

sisanya.

Jawab :

Sisa anak putra 5 orang, sisa putra yang akan ditunjuk 1 orang.

Sisa anak putri 5 orang, sisa putri yang akan ditunjuk 2 orang.5C1 × 5C2 = ___5!___ × ____5!____

(5 – 1)! 1! (5 – 2)! 2!

8

= _5 × 4!_ × _5 × 4 × 3!_ 4! 1 3! (2 × 1)

= 5 × 20 = 5 × 10 2

= 50

B. PELUANG SUATU KEJADIAN

Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

Ruang sampel (ruang contoh) adalah himpunan semua hasil mungkin terjadi

dari satu kejadian.

Contoh :

1. Sebuah dadu dilemparkan satu kali. Tentukan ruang sampel dan kejadian

munculnya bilangan ganjil.

Jawab :

Ruang sampel S = {1,2,3,4,5,6}

Kejadian bilangan ganjil A = {1,3,5}

Peluang suatu kejadian yang diinginkan adalah perbandingan banyaknya titik

sampel kejadian yang diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sampel

kejadian tersebut. Misalkan A adalah suatu kejadian yang diinginkan, maka nilai

peluang kejadian A dinyatakan dengan :

P (A) = _n (A)_ n (S)

Keterangan :

P (A) = Peluang kejadian A

n (A) = Banyaknya kejadian A

n (S) = Banyaknya sampel

9

Contoh :

1. Dua buah uang logam dilemparkan secara bersamaan sebanyak satu kali.

Tentukan :

a. Peluang munculnya satu angka, satu gambar.

b. Peluang muncul dua gambar.

Jawab :

Uang 1

Uang 2

A G

A A A G A

G A G G G

n (S) = {AA,AG,GA,GG} = 4

a. Peluang muncul satu angka, satu gambar

A = {AG,GA} n (A) = 2

P (A) = _n (A)_ = _2_ = 1 n (S) 4 2

b. Peluang muncul dua gambar

B = {GG} n (B) = 1

P (B) = _n (B)_ = 1 n (S) 4

2. Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilemparkan secara bersamaan.

Tentukan peluang munculnya bilangan ganjil dan gambar.

Jawab :

Dadu

Uang

1 2 3 4 5 6

A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,A

G 1,G 2,G 3,G 4,G 5,G 6,G

10

n (S) = 12

n (A) = {(1,G),(3,G),(5,G)} = 3

Peluang munculnya bilangan ganjil

P (A) = _n (A)_ = _3_ = 1 n (S) 12 4

C. PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK TABEL DAN DIAGRAM

1) Penyajian Data dalam Bentuk Tabel

a. Tabel Frekuensi Data Tunggal

Penyajian data tunggal dalam bentuk tabel dinamakan distribusi frekuensi data

tunggal. Pada tabel frekuensi data tunggal , tiap-tiap baris pada nilai atau data hanya

memuat satu nilai atau data. Tabel dibagi menjadi 3 kolom. Kolom pertama adalah

datanya. Kolom kedua adalah turus, yaitu cara mencacah data menggunakan simbol

“I” setiap menemukan data yang bersesuaian dengan data yang diperoleh. Kolom

ketiga adalah frekuensi, yaitu jumlah turus atau simbol pada data tertentu.

Contoh :

1. Pada sensus penduduk suatu desa didapat data jumlah anak yang dimiliki oleh

tiap keluarga sebagai berikut.

1 4 3 4 5 4 3 6 1 2

2 3 2 4 1 6 5 3 4 3

4 4 5 4 4 4 6 5 4 4

2 4 3 3 2 4 2 3 4 1

Buatlah tabel frekuensi data tunggalnya.

Jawab :

11

Jumlah Anak Turus Frekuensi

1

2

3

4

5

6

IIII

IIII I

IIII III

IIII IIII IIII

IIII

III

4

6

8

15

4

3

Jumlah 40

b. Tabel Frekuensi Data Berkelompok

Penyajian data berkelompok dalam bentuk tabel dinamakan distribusi

frekuensi data berkelompok. Pada tabel frekuensi data berkelompok, terdapat

beberapa istilah-istilah antara lain sebagai berikut. Pertama, kelas interval adalah

pengelompokan beberapa nilai atau data. Kedua, banyak kelas interval adalah

banyaknya pengelompokan dari seluruh data atau nilai yang ada. Ketiga, panjang

interval adalah banyaknya data pada suatu kelas interval.

Contoh :

1. Nilai ulangan Matematika siswa kelas IX suatu SMP adalah sebagai berikut.

44 54 85 92 73 99 91 96 74

75 70 57 83 49 57 52 64 73

82 90 70 89 91 67 52 64 73

82 59 65 79 82 89 53 50

Jawab :

a. Menentukan banyaknya kelas interval

menggunakan aturan Sturgess, k = 1 + 3,3 log n

n = banyaknya data

12

k = 1 + 3,3 log 36

= 1 + 3,3 ( 1,57 )

= 1 + 5,181

= 6,181

= 6

b. Menentukan panjang interval

i = _R_ R = Range atau Jangkauan k = data terbesar – data terkecil

= _99 – 44_ k = banyaknya kelas interval 6

= _55_ 6

= 9,17

= 10

c. Menetapkan batas bawah kelas

Misal batas bawah = 41, maka penyajian tabel kebenarannya :

Interval Turus Frekuensi

41 – 50

51 – 60

61 – 70

71 – 80

81 – 90

91 – 100

III

IIII II

IIII I

IIII I

IIII III

IIII

3

7

6

6

8

5

Jumlah 35

Catatan :

Dalam penyajian data bentuk tabel, kita bisa tidak menggunakan kolom turus. Agar

kita lebih mudah mengetahui jumlah data kita bisa mengurutkan data terlebih

dahulu.

13

2) Penyajian Data dalam Bentuk Diagram

Data juga dapat disajikan dalam bentuk diagram, seperti : diagram batang,

diagram garis, diagram lingkaran (umumnya untuk data tunggal), histogram, dan

poligon (umumnya untuk data berkelompok).

a. Diagram Batang

Diagram batang adalah cara menyajikan data dalam bentuk batang-batang.

Tiap batang lebarnya sama, sedangkan tinggi batang menyatakan frekuensi dari data

yang bersangkutan.

Untuk membuat diagram batang diperlukan sumbu mendatar dan sumbu tegak

yang berpotongan tegak lurus. Sumbu mendatar (horizontal) menunjukkan jenis

kategorinya, sedangkan sumbu tegak (vertikal) menunjukkan frekuensinya. Skala

sumbu mendatar tidak harus sama dengan skala sumbu tegak. Letak batang yang satu

dengan yang lain dibuat terpisah.

Contoh :

1. Dari hasil wawancara terhadap 48 siswa tentang cara mereka sampai di

sekolah, diperoleh data sebagai berikut.

Kendaraan Frekuensi

Bus kota

Angkutan kota

Mobil

Sepeda

Jalan kaki

12

15

6

10

5

Buatlah diagram batang dari data tersebut.

Jawab :

14

Bus kota Angkutan kota

Mobil Sepeda Jalan kaki02468

10121416

Diagram Batang

Kendaraan

Frekuensi

b. Diagram Garis

Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh dari

waktu ke waktu secara teratur dalam interval waktu tertentu. Diagram garis

digunakan untuk mengetahui pertumbuhan atau perkembangan suatu hal secara

kontinu.

Contoh :

1. Berikut adalah tabel nilai rata-rata Ujian Nasional (UN) suatu sekolah selama

tujuh tahun terakhir.

Tahun Nilai Rata-Rata

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

6,6

6,8

7,0

7,5

6,4

6,8

7,0

15

Gambarlah diagram garis dari data tersebut.

Jawab :

Tahun 2002

Tahun 2003

Tahun 2004

Tahun 2005

Tahun 2006

Tahun 2007

Tahun 2008

5.8

6.0

6.2

6.4

6.6

6.8

7.0

7.2

7.4

7.6

Diagram Garis

Tahun

Nilai

c. Diagram Lingkaran

Penyajian data juga dapat dilakukan dengan menggunakan lingkaran. Daerah

lingkaran menggambarkan keseluruhan data. Data disajikan dengan menggunakan

juring atau sektor, di mana besar sudut pusat juring sesuai dengan perbandingan

setiap data terhadap keseluruhan data.

Contoh :

1. Dalam suatu kelas terdapat 60 siswa. Tiap siswa wajib memilih satu jenis

kegiatan ekstrakurikuler. Adapun datanya adalah 15 siswa memilih basket, 17

siswa memilih voli, 24 siswa memilih PMR, dan 4 siswa memilih Pramuka.

Buatlah diagram lingkaran dri pemilihan ekstrakurikuler siswa tersebut.

Jawab :

Sebelum membuat diagram lingkaran, kita mencari sudut pusat untuk tiap

juring terlebih dahulu.

16

Jenis

Ekstrakurikuler

Frekuens

i

Persentase Besar Sudut

Pusat

Basket

Voli

PMR

Pramuka

15

17

24

4

15 × 100 % = 25 %60

17 × 100 % = 28,3 %60

24 × 100 % = 40 %60

4 × 100 % = 6,7 %60

15 × 360 S = 90 S60

17 × 360 S = 102 S60

24 × 360 S = 144 S60

4 × 360 S = 24 S60

Basket25%

Voli28%

PMR40%

Pramuka7%

Diagram Lingkaran

d. Histogram

Histogram adalah diagram dengan menggunakan persegi panjang-persegi

panjang. Bentuk histogram sama dengan diagram batang, hanya batangnya

berdekatan atau berimpit. Pada histogram, setiap persegi panjang menunjukkan kelas

17

tertentu, lebar persegi panjang menunjukkan panjang kelas, dan tinggi persegi

panjang menunjukkan frekuensi.

e. Poligon

Poligon adalah diagram dengan menggunakan perbandingan dalam bentuk

tinggi batang yang titik tengah pada ujung-ujung batang tersebut dihubungkan dengan

garis lurus.

Contoh :

1. Buatlah histogram dan poligon dari tabel berikut.

Nilai Frekuensi

50 – 54

55 – 59

60 – 64

65 – 69

70 – 74

75 – 79

80 - 84

2

7

8

14

10

6

3

Jawab :

Untuk membuat histogram, tentukan tepi bawah kelas dan tepi atas kelas.

tepi bawah = nilai terendah – 0,5 tepi atas = nilai tertinggi + 0,5

Nilai Frekuensi Tepi kelas

50 – 54

55 – 59

60 – 64

65 – 69

70 – 74

2

7

8

14

10

49,5 – 54,5

54,5 – 59,5

59,5 – 64,5

64,5 – 69,5

69,5 – 74,5

18

75 – 79

80 - 84

6

3

74,5 – 79,5

79,5 – 84,5

0-49,5 49,5-54,5 54,5-59,5 59,5-64,5 64,5-69,5 69,5-74,5 74,5-79,5 79,5-84,50

2

4

6

8

10

12

14

16Histogram

Nilai

Frekue

nsi

0-49,5 49,5-54,5 54,5-59,5 59,5-64,5 64,5-69,5 69,5-74,5 74,5-79,5 79,5-84,50

2

4

6

8

10

12

14

16Poligon

Nilai

Frekue

nsi

19

D. MEAN, MEDIAN, DAN MODUS

1) Mean (Rataan Hitung)

Mean adalah jumlah seluruh data dibagi banyaknya data. Mean biasanya

dilambangkan dengan x̅� .

a. Mean Data Tunggal

Mean data tunggal dirumuskan sebagai berikut.

Mean = x̅� = _Jumlah data_ = _x̅1 + x̅2 + x̅3 + ... + x̅n_ Banyak data n

Atau untuk data tunggal yang tersaji dalam bentuk tabel atau diagram dengan rumus :

x̅� = _Ʃ x̅i fi_ Ʃ fi

Contoh :

1. Nilai rapor Budi pada suatu semester adalah sebagai berikut : 7, 8, 7, 6, 6, 7,

5, 8, 5, 7. Dari data tersebut, carilah meannya.

Jawab :

Urutan data : 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8

Mean = _5 + 5 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8_ 10

= _66_ 10

= 6,6

2. Tentukan mean dari data berikut.

Nilai (x̅i) 6 7 8 9

Frekuensi (fi) 10 10 15 5

20

Jawab :

Mean = _Ʃ x̅i fi_ Ʃ fi

= _(6 × 10) + (7 × 10) + (8 × 15) + (9 × 5)_10 + 10 + 15 + 5

= _60 + 70 + 120 + 45_ 40

= _295_ 40

= 7, 375

= 7, 38

b. Mean Data Berkelompok

Mean data berkelompok dirumuskan sebagai berikut.

Mean = x̅� = _Ʃ x̅i fi_ Ʃ fi

dengan : x̅i = nilai tengah kelas ke-i fi = frekuensi kelas ke-i

Contoh :

1. Carilah rataan hitung dari data dibawah ini.

Data fi

40 – 44

45 – 49

50 – 54

55 – 59

60 – 64

65 – 69

4

2

6

3

3

2

Jawab :

21

Data fi x̅i fi . x̅i

40 – 44

45 – 49

50 – 54

55 – 59

60 – 64

65 – 69

4

2

6

3

3

2

42

47

52

57

62

67

168

94

312

171

186

134

Ʃ fi = 20 Ʃ fi.x̅i = 1065

Mean = _Ʃ fi x̅i_ Ʃ fi

= _1065_ 20

= 53, 25

2) Median (Nilai Tengah)

Median adalah nilai yang terletak di tengah dari data yang terurut. Jika banyak

data ganjil, median adalah nilai paling tengah dari data yang terurut. Jika banyak data

genap, median adalah mean dari dua bilangan yang di tengah setelah data diurutkan.

a. Median Data Tunggal

Median data tunggal dirumuskan sebagai berikut.

Untuk data ganjil : Me = X n + 1/2

Untuk data genap : Me = _X n / 2 + X ( n / 2 + 1)_ 2

Contoh :

1. Nilai rapor Budi pada suatu semester adalah sebagai berikut : 7, 8, 7, 6, 6, 7,

5, 8, 5, 7. Dari data tersebut, carilah mediannya.

22

Jawab :

Urutan data : 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8

Jumlah data = 10 (genap)

Me = _X n / 2 + X ( n / 2 + 1)_ 2

= _X5 + X6_2

= _7 + 7_ = 14 2 2

= 7

2. Tentukan median dari data berikut.

Nilai (x̅i) 6 7 8 9

Frekuensi (fi) 10 10 15 5

Jawab :

Jumlah data = 40 (genap)

Me = _X n / 2 + X ( n / 2 + 1)_ 2

= _X20 + X21_2

= _7 + 8_ = 15 2 2

= 7, 5

b. Median Data Berkelompok

Median data berkelompok dirumuskan sebagai berikut.

Me = Lo + ( ½ n – Ʃ fk ) i fo

dengan : Lo = Tepi bawah dari kelas yang mengandung median

23

Ʃ fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas yang memuat median

fo = Frekuensi kelas yang memuat median

i = Panjang interval

n = Banyaknya data

Contoh :

1. Carilah median dari data dibawah ini.

Data fi

40 – 44

45 – 49

50 – 54

55 – 59

60 – 64

65 – 69

4

2

6

3

3

2

Jawab :

Kelas = 50 – 54 n = 20 Lo = 50 – 0,5 = 49,5

Ʃ fk = 4 + 2 = 6 fo = 6 i = 5

Me = Lo + ( ½ n – Ʃ fk ) i fo

= 49,5 + ( ½ (20) – 6 ) 56

= 49,5 + ( 10 – 6 ) 5 6

= 49,5 + (4/6) 5

= 49,5 + 3,33

= 52,83

24

3) Modus

Modus adalah data yang paling sering muncul atau frekuensinya paling tinggi.

a. Modus Data Tunggal

Modus data tunggal dirumuskan sebagai berikut.

Modus = Data yang paling sering muncul

Contoh :

1. Nilai rapor Budi pada suatu semester adalah sebagai berikut : 7, 8, 7, 6, 6, 7,

5, 8, 5, 7. Dari data tersebut, carilah modusnya.

Jawab :

Urutan data : 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8

Data yang paling sering muncul adalah 7. Jadi,

Modus = 7

2. Tentukan modus dari data berikut.

Nilai (x̅i) 6 7 8 9

Frekuensi (fi) 10 10 15 5

Jawab :

Data yang paling sering muncul adalah 8. Jadi,

Modus = 8

b. Modus Data Berkelompok

Modus data berkelompok dirumuskan sebagai berikut.

Mo = Lo + ( ___d1___ ) i d1 + d2

dengan : Lo = Tepi bawah dari kelas yang mengandung modus

d1 = Frekuensi kelas modus – Frekuensi sebelum kelas modus

25

d2 = Frekuensi kelas modus – Frekuensi setelah kelas modus

i = Panjang interval

Contoh :

1. Carilah modus dari data dibawah ini.

Data fi

40 – 44

45 – 49

50 – 54

55 – 59

60 – 64

65 – 69

4

2

6

3

3

2

Jawab :

Kelas = 50 – 54 Lo = 50 – 0,5 = 49,5 i = 5

d1 = 6 – 2 = 4 d2 = 6 – 3 = 3

Mo = Lo + ( ___d1___ ) i d1 + d2

= 49,5 + ( ___4___ ) 5 4 + 3

= 49,5 + ( 4/7 ) 5

= 49,5 + 2,86

= 52,36

26

E. SIMPANGAN BAKU

Simpangan baku adalah akar kuadrat dari ragam. Simpangan baku merupakan

bilangan yang tidak bernilai negatif dan memiliki satuan yang sama dengan data.

Misalnya jika suatu data diukur dalam satuan meter, maka simpangan baku juga

diukur dalam satuan meter.

Secara umum, simpangan baku dirumuskan sebagai berikut.

S = R atau S = S2

dengan : S = Simpangan baku R = Ragam

1) Simpangan Baku Data Tunggal

Ragam data tunggal dirumuskan sebagai berikut.

R = S2 = _Ʃ ( x̅i - x̅� ) 2 _ n

Jadi, rumus simpangan baku data tunggal adalah sebagai berikut.

S = R = _Ʃ ( x̅i - x̅� ) 2 _ n

atau S = R = _Ʃ fi ( x̅i - x̅� ) 2 _ (data tabel) n

Contoh :

1. Diketahui data sebagai berikut : 2, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 9, 10. Dari data tersebut,

carilah simpangan bakunya.

Jawab :

n = 10x̅� = _2 + 2 + 4 + 5 + 6 + 7 + 9 + 9 + 10_ = 54 = 6

9 9

R = _Ʃ ( x̅i - x̅� ) 2 _ n

=_[(2-6) 2 +(2-6) 2 +(4-6) 2 +(5-6) 2 +(6-6) 2 +(7-6) 2 +(9-6) 2 +(9-6) 2 +(10-6) 2 ]_

27

9

= _(16 + 16 + 4 + 1 + 0 + 1 + 9 + 9 + 16_9

= 72 9

= 8

S = R = 8 = 2 2

2. Tentukan simpangan baku dari data berikut.

Nilai (x̅i) 9 10 11 12 13

Frekuensi (fi) 5 6 9 6 4

Jawab :

n = 30x̅� = _(9 × 5) + (10 × 6) + (11 × 9) + (12 × 6) + (13 × 4)_

30

= _45 + 60 + 99 + 72 + 52_ 30

= 328 30

= 10,93

x̅i fi x̅i - x̅� (x̅i - x̅� )2 fi (x̅i - x̅� )

2

9

10

11

12

13

5

6

9

6

4

1,93

0,93

0,07

1,07

2,07

3,7249

0,8649

0,0049

1,0049

4,0049

18,6245

5,1894

0,0441

6,0294

16,0196

30 45,907

R = _ Ʃ fi ( x̅i - x̅� ) 2 _

28

n

= _45,907_ 30

= 1,5302

S = R = 1,5302 = 1,237 = 1,24

2) Simpangan Baku Data Berkelompok

Ragam data berkelompok dirumuskan sebagai berikut.

R = S2 = _Ʃ fi ( x̅i - x̅� ) 2 _ n

Jadi, rumus simpangan baku data tunggal adalah sebagai berikut.

S = R = _Ʃ fi ( x̅i - x̅� ) 2 _ n

Contoh :

1. Diketahui data sebagai berikut.

Panjang (cm) fi

100 – 109

110 – 119

120 – 129

130 – 139

140 – 149

150 – 159

2

6

10

12

7

3

Carilah simpangan bakunya.

Jawab :

Panjang (cm) fi x̅i fi . x̅i

100 – 109

110 – 119

120 – 129

2

6

10

104,5

114,5

124,5

209

687

1245

29

130 – 139

140 – 149

150 – 159

12

7

3

134,5

144,5

154,5

1614

1011,5

463,5

Jumlah 40 5230

x̅� = _Ʃ fi x̅i_ Ʃ fi

= 5230 40

= 130,75

Panjang

(cm)

fi x̅i x̅i - x̅� (x̅i - x̅� )2 fi (x̅i - x̅� )

2

100 – 109

110 – 119

120 – 129

130 – 139

140 – 149

150 – 159

2

6

10

12

7

3

104,5

114,5

124,5

134,5

144,5

154,5

26,25

16,25

6,25

3,75

13,75

23,75

689,0625

264,0625

39,0625

14,0625

189,0625

564,0625

1378,125

1584, 375

390,625

168,75

1323,4375

1692,1875

Jumlah 40 6537,5

R = _Ʃ fi ( x̅i - x̅� ) 2 _ n

= _6537,5_ 40

= 163,4375

= 163,44

S = R = 163,44 = 12,78

30

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Permutasi dari sekumpulan unsur adalah penyusunan unsur-unsur itu dengan

memperhatikan urutannya, sedangkan kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah

penyusunan unsur-unsur tanpa memperhatikan urutannya.

Rumus permutasi : P (n,r) = ___n!___ (n – r)!

Rumus Kombinasi : n C r = ____n!____ (n – r)! r!

Peluang suatu kejadian yang diinginkan adalah perbandingan banyaknya titik

sampel kejadian yang diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sampel

kejadian tersebut.

Rumus peluang : P (A) = _n (A)_ n (S)

Penyajian data dalam bentuk tabel dan diagram dilakukan untuk

mempermudah dalam menyelesaikan suatu pengolahan data. Karena penyajian dalam

bentuk tabel dan diagaram akan lebih menarik, cantik dan mudah dipahami.

Adapun rumus mencari mean, median, modus dan simpangan baku untuk :

Data tunggal :

Mean = _Jumlah data_ = _x̅1 + x̅2 + x̅3 + ... + x̅n_ Banyak data n

Median

untuk data ganjil : Me = X n + 1/2

31

untuk data genap : Me = _X n / 2 + X ( n / 2 + 1)_2

Modus = Data yang paling sering muncul

Simpangan Baku

S = R = _Ʃ ( x̅i - x̅� ) 2 _ n

Data Berkelompok :

Mean = _Ʃ x̅i fi_ Ʃ fi

Median = Lo + ( ½ n – Ʃ fk ) i fo

Modus = Lo + ( ___d1___ ) i d1 + d2

Simpangan Baku

S = R = _Ʃ fi ( x̅i - x̅� ) 2 _n

B. SARAN

Dalam menyelesaikan soal pengolahan data akan lebih mudah, jika data

tersebut disajikan terlebih dahulu dalam bentuk tabel ataupun diagram. Kemudian

soal pengolahan data tersebut diselesaikan.

32

DAFTAR PUSTAKA

Salamah, Umi. 2009. Berlogika dengan Matematika 3 untuk Kelas IX SMP dan MTs.Solo : Tiga Serangkai.

Sitorus, Ronald. 2004. Bimbingan Pemantapan Matematika. Bandung : YramaWidya.

Sumber lain :

http://statistikaterapan.wordpress.com

http://kambing.ui.ac.id

http://duniatik.blogspot.com

http://www.gudangmateri.com