PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA...
Transcript of PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA...
PEMBAHASAN
EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL
DENGAN TEOREMA TAYLOR
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S. Si)
Program Studi Matematika
Disusun oleh :
Sihwanto
NIM : 003114045
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2007
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini
tidak memuat karya atau bagian dari karya orang lain, kecuali yang telah
disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, Maret 2007
Penulis
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
HALAMAN PERSEMBAHAN
Skripsi ini ku persembahkan kepada: Kedua orang tuaku
Almamaterku dan
wiwin
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Skripsi ini membahas tentang penggunaan Teorema Taylor dalam penyelidikan nilai ekstrem untuk fungsi dari satu dan dua variabel. Jika fungsi satu variabel
mempunyai turunan pertama sampai dengan turunan ke – n yang bernilai nol di titik c, dan kontinu di c dengan maka terdapat
bilangan dengan sehingga
)(xf)()1( xf n+ 0)()1( ≠+ cf n
θ 10 << θ )()!1(
)()( 1(1
θhcfnhcfhcf n
n
++
=−+ ++
.
Apabila n gasal maka: a. mencapai maksimum di c jika )(xf 0)()1( <+ cf n
b. mencapai minimum di c jika )(xf 0)()1( >+ cf n
Apabila n genap maka tidak terjadi ekstrem di c. Untuk fungsi dua variabel jika semua turunan parsialnya mulai order pertama sampai dengan order ke – n bernilai nol di titik (a,b), maka
),( yxf
),(),(),( 1 θkbθhaRbafkbhaf n ++=−++ + untuk suatu bilangan θ dengan 10 << θ dan
),()!1(
1),(1
1 yxfy
kx
hn
yxRn
n
+
+ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+= .
Secara teoritis ada atau tidak adanya nilai ekstrem di titik (a,b) dapat diperiksa apabila untuk nilai-nilai h dan k cukup kecil dan tanda dari
),(1 θkbθhaRn +++ tetap atau tidak tetap. Dalam praktek tidak mudah untuk mengadakan penyelidikan pada keadaan ),(1 θkbθhaRn +++ untuk . 1>n Dalam skripsi ini hanya dibahas untuk keadaan 1=n , yaitu untuk:
[ ] ),(2!2
1),( 222 θkbθhafkhkffhθkbθhaR yyxyxx ++++=++
dengan tidak semuanya bernilai nol di titik (a,b). Dalam hal ini tanda dari ditentukan oleh tanda dari , karena pada pembahasan ini diasumsikan bahwa kontinu di titik (a,b).
yyxyxx fff dan,),(2 θkbθhaR ++ ),(2 baR
),(2 yxRJika , maka : ),(),(),(),( 2 bafbafbafbaH xyyyxx −=
i. Jika dan terjadi minimum di (a,b) 0),( >baH 0),( >baf xx
ii. Jika dan 0),( >baH 0),( <baf xx terjadi maksimum di (a,b) iii. Jika 0),( <baH tidak terjadi ekstrem di (a,b) iv. Jika 0),( =baH belum ada keputusan, mungkin terjadi atau
mungkin tidak terjadi ekstrem di (a,b). Dalam skripsi ini dibahas penyelidikan apakah ada ekstrem atau tidak untuk kasus
dengan menggunakan contoh-contoh soal. 0),( =baH
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
This thesis study concerning usage of Theorem of Taylor in investigation of value of extreme for function from one and two variabe. If function one variable
have first derivative up to nth derivative the valuableness zero at point of c, and continuous at c with , hence there are number with
so that
)(xf)()1( xf n+ 0)()1( ≠+ cf n θ
10 << θ )()!1(
)()( 1(1
θhcfnhcfhcf n
n
++
=−+ ++
.
If n is odd then: a. achieve maximum at c if . )(xf 0)()1( <+ cf n
b. achieve minimum at c if . )(xf 0)()1( >+ cf n
if n is even then hasn’t extreme at c. )(xf For function with two variable , if all of the partial derivatives begin to first order up to nth order the valuableness zero at point of (a,b), then
),( yxf
),(),(),( 1 θkbθhaRbafkbhaf n ++=−++ + for a number θ with and 10 << θ
),()!1(
1),(1
1 yxfy
kx
hn
yxRn
n
+
+ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+=
Theoretically there is or inexistence extreme value at point of (a,b) can be checked if for values of h and k small enough and sign from
),(1 θkbθhaRn +++ remain to or erratic. In practice do not easy to perform a to investigation in the situation ),(1 θkbθhaRn +++ to . 1>n In this thesis only studied for situation 1=n , that is to
[ ] ),(2!2
1),( 222 θkbθhafkhkffhθkbθhaR yyxyxx ++++=++
with not all valuable zero at point of (a,b). In this case sign from determined by sign from , because at this solution is
assumed that continuous at point of (a,b).
yyxyxx fff and,),(2 θkbθhaR ++ ),(2 baR
If , then: ),(),(),(),( 2 bafbafbafbaH xyyyxx −=
i. If and , has minimum at point of (a,b) 0),( >baH 0),( >baf xx ),( yxfii. If and 0),( >baH 0),( <baf xx , has maximum at point of (a,b) ),( yxf
iii. If , hasn’t extreme at point of (a,b) 0),( <baH ),( yxfiv. If there is no decision, happened possible or might not
happened extreme at point of (a,b). 0),( =baH
In this thesis is studied by investigation what is there extreme or not to case by using problem of examples. 0),( =baH
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadiran Tuhan Yang Maha Esa karena atas limpahan rahmat
dan karunia-Nya penulis dapat kembali ke bangku kuliah untuk menyelesaikan
tugas akhir ini, meskipun harus menempuh perjalanan yang cukup panjang.
Untuk itu penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak
yang telah membantu dan memberi dukungan materiil maupun spiritual selama
masa perkuliahan serta penyusunan skripsi ini. Oleh karena itu penulis ingin
mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Drs. A. Tutoyo, M. Sc selaku dosen pembimbing yang dengan
sangat sabar membimbing, memberi motivasi serta saran dalam
penyusunan tugas akhir ini.
2. Bapak Y.G. Hartono, S. Si, M. Sc, selaku ketua program studi
Matematika.
3. Bapak Ir. Aris Dwiatmoko, M. Sc dan Ibu M.V. Any Herawati, M. Si yang
telah memberikan semangat dan saran dalam penyusunan tugas akhir ini.
4. Bapak dan ibu dosen FMIPA yang telah memberikan begitu banyak ilmu
dan pengalaman yang sangat berguna sebagai bekal penulis dalam
menyongsong masa depan.
5. Seluruh staf karyawan sekretariat FMIPA, bu Warni, pak Tukijo yang
telah membantu penulis dalam pelayanan administrasi perkuliahan.
6. Bapak Ngadul Wiyardi beserta ibu selaku orang tua atas doa, kasih sayang,
pendidikan, sarana maupun prasarana yang telah diberikan selama ini.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7. Winarti Harjo Wiyono, SE (Wiwin) atas kasih sayang , cinta serta doa.
8. Sahabat-sahabat yang selalu bersama melewati masa perkulihan: Fery,
Heru’su timbul’, Ayuk adikku, Lina, Bunga, Tatik, Vincent, Wiwid, Lissa,
Mira, Tika, Dewi, Wahyu, Feliks, Willy, Pras, Toni, Sunarto, Prihanto,
Andi, Susiantoro.
9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh
karena itu penulis membuka diri untuk menerima kritik serta saran yang
bermanfaat bagi kesempurnaan skripsi ini. Dan akhirnya penulis berharap semoga
skripsi ini memberikan manfaat dan berguna bagi semua pihak.
Yogyakarta, Maret 2007
Penulis
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL .........................................................................................
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ...............................................
HALAMAN PENGESAHAN ...........................................................................
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ...........................................................
HALAMAN PERSEMBAHAN .......................................................................
ABSTRAK ........................................................................................................
ABSTRACT ......................................................................................................
KATA PENGANTAR ......................................................................................
DAFTAR ISI .....................................................................................................
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................
A. Latar Belakang .................................................................................
B. Rumusan Masalah ............................................................................
C. Pembatasan Masalah ........................................................................
D. Manfaat Penulisan ............................................................................
E. Tujuan Penulisan ..............................................................................
F. Metode Penulisan .............................................................................
G. Sistematika Penulisan ......................................................................
BAB II EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL ..
A. Maksimum dan Minimum Fungsi dengan Satu Variabel ................
B. Maksimum dan Minimum Fungsi dengan Dua Variabel .................
i
ii
iii
iv
v
vi
vii
viii
x
xii
1
1
4
4
4
5
5
5
7
7
26
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III TEOREMA TAYLOR ........................................................................
A. Deret Pangkat ..................................................................................
B. Deret Taylor ....................................................................................
C. Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Satu Variabel .....................
D. Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Dua Variabel ......................
BABIV PENGGUNAAN TEOREMA TAYLOR UNTUK MENENTUKAN
EKSTREM SUATU FUNGSI .............................................................
A. Penyelesaian Ekstrem Fungsi untuk Kasus 0)( =′′ cf ....................
B. Penyelesaian Ekstrem Fungsi untuk Kasus 0),( =baH ..................
BAB V PENUTUP ...........................................................................................
DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................
52
52
60
62
65
70
70
73
78
80
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 .........................................................................................
Gambar 2.2 .........................................................................................
Gambar 2.3 .........................................................................................
Gambar 2.4 .........................................................................................
Gambar 2.5 .........................................................................................
Gambar 2.6 .........................................................................................
Gambar 2.7 .........................................................................................
Gambar 2.8 .........................................................................................
Gambar 2.9 ...........................................................................................
Gambar 2.10 .........................................................................................
Gambar 2.11 .........................................................................................
Gambar 2.12 .........................................................................................
Gambar 2.13 .........................................................................................
9
10
10
11
13
14
15
16
27
33
35
48
51
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
Salah satu penggunaan derivatif yang menarik dan berguna adalah
menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi. Banyak problema
dalam teknik, sains, geometri dan ekonomi menuntut untuk memenuhi syarat-
syarat perlu dan cukup supaya suatu fungsi itu mencapai nilai maksimum atau
minimum. Selain menentukan daerah dimana fungsi itu mencapai nilai maksimum
atau minimum juga untuk menentukan dimana suatu fungsi cekung ke atas atau
ke bawah, penentuan titik belok, penentuan asimtot dan sebagainya.
Grafik sebuah fungsi yang digambar dengan ketelitian yang tinggi dapat
memberikan banyak informasi mengenai kelakuan fungsi tersebut. Tetapi untuk
mendapatkan gambar grafik yang cukup tepat adalah sebuah pekerjaan yang
membosankan.
Di dalam penulisan ini akan dibahas tentang maksimum dan minimum
fungsi satu variabel dan dua variabel yang merupakan pendalaman tentang
maksimum dan minimum fungsi yang sudah diperoleh dibangku sekolah
menengah maupun didalam bangku kuliah. Jadi bukan merupakan hal yang baru
lagi.
Nilai maksimum dan minimum dibagi menjadi dua yaitu nilai maksimum
atau minimum mutlak dan nilai maksimum atau minimum relatif. Fungsi f disebut
mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu selang, jika terdapat bilangan c pada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
selang tersebut demikian sehingga berlaku f (c) f (x) untuk setiap x pada selang.
Sedangkan fungsi f disebut mencapai minimum mutlak pada suatu selang, jika
terdapat bilangan c pada selang tersebut demikian sehingga berlaku f (c) f (x)
untuk setiap x pada selang.
≥
≤
Fungsi f disebut mencapai nilai maksimum relatif di x = c, jika ada selang
terbuka yang memuat c, pada selang terbuka ini f terdefinisikan dan memenuhi
untuk semua x pada selang terbuka. Sedangkan fungsi f disebut
mencapai minimum relatif di x = c, jika ada selang terbuka yang memuat c
pada selang terbuka ini f terdefinisikan dan memenuhi
)()( xfcf ≥
)()( xfcf ≤ untuk semua
x pada selang terbuka.
Suatu fungsi yang mencapai maksimum atau minimum (mutlak/relatif)
disebut mencapai ekstrem (mutlak/relatif). Dalam penulisan ini yang menjadi
pokok permasalahan yang akan dibahas adalah syarat-syarat apa saja yang harus
dipenuhi agar suatu fungsi dapat mencapai maksimum atau minimum.
1. Syarat perlu dan cukup ekstremum fungsi dengan satu variabel
Jika )(xf ′ ada dalam maka syarat perlu adanya nilai ekstrem pada
titik
),( ba
cx = di mana c dalam interval adalah ),( ba 0)( =′ cf . Sedangkan syarat
cukup adanya nilai ekstrem pada titik cx = adalah 0)( ≠′′ cf . Kemudian didapat
bahwa
1. Jika maka mempunyai nilai minimum di c 0)( >′′ cf )(xf
2. Jika maka mempunyai nilai maksimum di c. 0)( <′′ cf )(xf
Jika fungsi dapat diturunkan dua kali dalam suatu interval yang
memuat titik x = c dan didapat
)(xf
0)( =′′ cf maka uji turunan kedua tidak dapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
digunakan untuk menyimpulkan kejadian tersebut. Sebagai contoh, diberikan
fungsi f (x) = x 3 . Didapat turunan pertama dan keduanya berturut – turut adalah
dan . Satu-satunya bilangan kritis adalah titik nol,sehingga
diperoleh
23)( xxf =′ xxf 6)( =′′
0)0( =′′f . Jadi uji turunan kedua tidak dapat digunakan untuk
menyimpulkan soal tersebut. Oleh karena itu perlu dicari cara lain untuk
menyelesaikan masalah tersebut, yaitu dengan menggunakan bantuan Teorema
Taylor untuk fungsi dengan satu variabel .
2. Syarat perlu dan cukup ekstremum fungsi dengan dua variabel
Jika suatu fungsi beserta turunan parsial pertamanya kontinu
dalam cakram terbuka maka syarat perlu suatu fungsi adanya nilai
ekstrem pada titik adalah
),( yxf
));,(( 0 ryxB o
),(),( 00 yxyx = 0),( 00 =yxf x dan . Titik
disebut titik kritis.
0),( 00 =yxf y
),( 00 yx
Jika fungsi dapat diturunkan dua kali dalam himpunan tersebut dan
turunan parsial tingkat kedua kontinu dalam cakram terbuka , maka
syarat cukup adanya nilai ekstrim pada titik
),( yxf
));,(( 0 ryxB o
),(),( 00 yxyx = adalah
),(),(),(),( 002
000000 yxfyxfyxfyxH xyyyxx −=
Kemudian didapat bahwa
1. Jika dan terjadi minimum di (a,b) 0),( 00 >yxH 0),( 00 >yxf xx
2. Jika dan 0),( 00 >yxH 0),( 00 <yxf xx terjadi maksimum di (a,b)
3. Jika 0),( 00 <yxH tidak terjadi ekstrem di (a,b)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
Selanjutnya timbul masalah jika fungsi dapat diturunkan dua kali dalam
suatu himpunan dan turunan parsial tingkat kedua kontinu dalam cakram terbuka
dan didapat nilai
),( yxf
));,(( 0 ryxB o 0),( 00 =yxH maka uji turunan kedua tidak dapat
digunakan untuk menyimpulkan kejadian tersebut. Oleh karena itu perlu dicari
cara lain untuk menyelesaikan masalah tersebut, yaitu dengan menggunakan
bantuan Teorema Taylor untuk fungsi dengan dua variabel.
B. RUMUSAN MASALAH
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah:
1. Bagaimana Teorema Taylor digunakan untuk menjelaskan pemecahan
masalah ekstrem suatu fungsi dengan satu variabel maupun dua variabel,
yaitu dalam kasus 0)( =′′ cf dan
? 0),(),(),(),( 002
000000 =−= yxfyxfyxfyxH xyyyxx
C. PEMBATASAN MASALAH
Dalam penulisan ini pembahasan masalah hanya dibatasi tentang
pembahasan masalah ekstremum fungsi dengan satu variabel dan dua variabel
dengan menggunakan Teorema Taylor.
D. MANFAAT PENULISAN
Manfaat yang diharapkan yaitu agar kita dapat menyelesaikan masalah
ekstrem fungsi dengan satu variabel dan dua variabel dengan menggunakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
bantuan turunan tingkat tinggi dan bantuan teorema Taylor, apabila dengan uji
turunan kedua tidak bisa menarik suatu kesimpulan
E. TUJUAN PENULISAN
Tujuan dari penulisan ini agar kita dapat menyelesaikan permasalahan
seputar maksimum dan minimum suatu fungsi dengan satu variabel maupun dua
variabel, misalnya :
1. Dapat mengetahui syarat apa saja yang harus dipenuhi agar suatu fungsi
mencapai maksimum atau minimum.
2. Dapat menggunakan teorema Taylor dalam membahas masalah maksimum
atau minimum jika syarat-syarat suatu fungsi untuk mencapai maksimum
atau minimum tidak dipenuhi.
F. METODE PENULISAN
Dalam penulisan ini dilakukan dengan metode pustaka yaitu dengan
menelaah buku-buku pustaka sebagai acuan untuk membuktikan teorema-teorema
mengenai masalah Ekstremum dengan menggunakan Teorema Taylor, sehingga
dalam penulisan ini tidak ditemukan hal-hal yang baru.
G. SISTEMATIKA PEMBAHASAN
Sebagai gambaran tentang hal apa saja yang dibahas dalam penulisan ini,
berikut adalah sistematika pembahasan yang ada dalam skripsi ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB I Pendahuluan
Bab ini berisi tentang gambaran umum tentang skripsi ini yang terdiri dari
latar belakang masalah, rumusan masalah, pembatasan masalah, manfaat
penulisan, tujuan penulisan dan metode penulisan.
Bab II Ekstrem Fungsi Satu Variabel dan Dua Variabel
Bab ini berisi pembahasan tentang ekstremum fungsi satu variabel dan dua
variabel beserta sifat-sifatnya.
Bab III Teorema Taylor
Bab ini berisi tentang deret pangkat, deret Taylor serta Teorema Taylor
untuk fungsi dengan satu variabel dan fungsi dengan dua variabel.
Bab IV Penggunaan Teorema Taylor untuk Menentukan Ekstrem suatu
Fungsi
Bab ini berisi tentang penyelesaian masalah ekstremum fungsi satu
variabel di mana 0)( =′′ cf dan ekstremum fungsi dua variabel dimana
. Untuk mempermudah
pemahaman dalam bab ini disertai dengan contoh soal dan penyelesaiannya.
0),(),(),(),( 002
000000 =−= yxfyxfyxfyxH xyyyxx
Bab V Penutup
Bab ini berisi tentang kesimpulan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
EKSTREM FUNGSI
SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL
Ada dua hal mendasar yang muncul ketika berbicara tentang nilai
maksimum atau minimum suatu fungsi f. Pertama, apakah fungsi f mempunyai
nilai maksimum atau minimum. Kedua, jika fungsi f mempunyai nilai maksimum
atau minimum, di titik-titik di mana f mencapai nilai maksimum atau minimum
dan berapa nilai maksimum atau minimumnya.
Dalam bab ini akan ditentukan titik tertinggi dan titik terendah dari grafik
suatu fungsi.
A. Maksimum dan Minimum suatu Fungsi dengan Satu Variabel
Definisi maksimum dan minimum suatu fungsi dengan satu variabel
diberikan sebagai berikut.
Definisi 2.1
Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada titik cx = jika untuk sebarang 0>ε yang
diberikan akan dapat ditentukan 0>δ sedemikian hingga jika δ<− cx maka
ε<− )()( cfxf .
Definisi 2. 2
Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada interval terbuka jika f kontinu di
setiap titik pada interval tersebut.
),( ba
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Definisi 2.3
Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada interval tertutup [ ]ba, jika f kontinu di
setiap titik dari dan jika ),( ba )()(lim afxfax
=+→
dan )()(lim bfxfbx
=−→
atau disebut
kekontinuan kanan di titik a dan kekontinuan kiri di titik b.
Definisi 2.4
Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum relatif di c jika terdapat interval
sedemikian hingga untuk setiap x dalam interval
. Jika hubungan berlaku untuk setiap x dalam domain
f, maka f disebut mempunyai nilai maksimum mutlak di c.
),( δcδc +− )()( xfcf ≥
),( δcδc +− )()( xfcf ≥
Definisi 2.5
Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum relatif di c jika terdapat interval
sedemikian hingga ),( δcδc +− )()( xfcf ≤ untuk setiap x dalam interval
. Jika hubungan ),( δcδc +− )()( xfcf ≤ berlaku untuk setiap x dalam domain f,
maka f disebut mempunyai nilai minimum mutlak di c.
Bila fungsi f mempunyai maksimum atau minimum relatif di c, maka
dikatakan bahwa fungsi f mempunyai ekstrem relatif di c dan bila fungsi f
mempunyai maksimum atau minimum mutlak di c, maka dikatakan bahwa fungsi
f mempunyai ekstrem mutlak di c. Untuk lebih jelasnya perhatikan grafik di bawah
ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
a bc1 c2 c3 c4 x
y
y = f (x)
maks multak
maks relatif
min multak
min relatif
f (c1)
f (c3)
f (c2)
f (c4)
Gambar 2.1 Nilai-nilai maksimum dan minimum serta jenisnya dari suatu fungsi f (x) dalam interval [a, b]
Dari grafik di atas tampak bahwa:
• nilai maksimum mutlak dicapai pada x = c1
• nilai maksimum relatif dicapai pada x = c3 dan x = b
• nilai minimum mutlak dicapai pada x = c4
• nilai minimum relatif dicapai pada x = c2 dan x = a
Contoh 2.1
Tinjau fungsi f yang didefinisikan oleh . Sket dari grafik
fungsi ini ditunjukkan pada Gambar 2.2. Karena , maka
. Akan tetapi
3)1()( −= xxf
2)1(3)( −=′ xxf
0)1( =′f 0)( <xf , jika 1<x dan , jika . Jadi f tidak
mempunyai ekstrem relatif di titik satu.
0)( >xf 1>x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
y
x
1
Gambar 2.2 Grafik fungsi 3)1()( −= xxf
Contoh 2.2
Misalkan diketahui fungsi xxf 2)( = . Keterangan dari grafik f pada
selang [1, 4) diberikan pada Gambar 2.3. Fungsi f mempunyai nilai minimum
mutlak sebesar 2 pada [1, 4) tetapi tidak mempunyai nilai maksimum mutlak pada
interval [1, 4) karena untuk setiap )4,1[∈x selalu ada nilai x yang memberikan
nilai yang lebih besar. )(xf
1 4
2
8
y
x
Gambar 2.3 Grafik fungsi xxf 2)( =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Contoh 2.3
Diberikan fungsi . Sket dari grafik f pada selang (-3, 2]
diperlihatkan pada Gambar 2.4. Fungsi f mempunyai nilai maksimum mutlak
sebesar 0 pada selang (-3, 2]. Fungsi f tidak mempunyai nilai minimum mutlak
pada selang (-3, 2] karena untuk setiap
2)( xxf −=
]2,3(−∈x selalu ada nilai x yang
memberikan nilai yang lebih kecil. )(xf
-3 2
-4
-9
x
y
Gambar 2.4 Grafik fungsi 2)( xxf −=
Bagaimana dapat ditentukan di mana terjadinya ekstrem relatif suatu
fungsi f ? Ekstrem relatif dapat dipandang sebagai titik peralihan yang
memisahkan daerah di mana grafik fungsi itu naik menjadi turun atau sebaliknya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Teorema berikut dapat digunakan untuk melokalisir kemungkinan nilai-
nilai c yang memberikan ekstrem relatif.
Teorema 2.1
Jika fungsi f kontinu pada interval [ ]ba, dan terdeferensial pada interval
maka:
),( ba
1. fungsi f naik pada interval [ ]ba, jika 0)( >′ xf untuk semua titik dalam
interval . ),( ba
2. fungsi f turun pada interval [ ]ba, jika 0)( <′ xf untuk semua titik dalam
interval . ),( ba
Ekstrem relatif dari suatu fungsi f terjadi pada titik-titik di mana fungsi f
berturunan (pada titik-titik di mana garis singgung pada grafik adalah horisontal).
Definisi 2.6
Titik kritis suatu fungsi f adalah nilai x di dalam domain di mana atau
f tidak berturunan. Jika c adalah suatu titik di mana
0)( =′ xf
0)( =′ cf , maka c disebut
titik stasioner.
Dinamakan titik stasioner karena pada titik ini grafik fungsi f mendatar atau
horisontal atau gais singgungnya mendatar.
Ekstrem relatif dapat terjadi pada titik kritis. Pertama, jika fungsi f
mempunyai turunan pertama di titik ekstremnya, misal titik c, maka garis
singgung di titik tersebut adalah mendatar atau 0)( =′ cf . Namun titik stasioner
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
ini tidak selalu menjadi titik ekstrem, sebagai contoh fungsi . Dalam
kasus ini , tetapi (0,0) bukan titik kritis dari grafik fungsi ,
seperti diperlihatkan dalam gambar di bawah ini.
3)( xxf =
0)( =′ cf 3)( xxf =
Gambar 2.5 Grafik fungsi 3)( xxf =
Keadaan di mana atau f tidak berturunan belum menjamin terjadinya
ekstrem suatu fungsi. Untuk diperlukan suatu teorema yang menyatakan syarat
perlu adanya ekstrem suatu fungsi.
0)( =′ xf
Teorema 2.2
Jika fungsi f mempunyai ekstrem pada c, maka 0)( =′ cf atau f tidak berturunan.
Bukti:
Pada kasus ini terdapat dua kemungkinan, yaitu f berturunan pada c atau f tak
berturunan.
Pertama, jika f tak berturunan , maka c adalah titik kritis untuk f .
Kedua, jika f berturunan pada c, maka harus diperlihatkan bahwa . 0)( =′ cf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
a. Jika adalah maksimum relatif dari f, maka terdapat interval
sedemikian sehingga jika c + h dalam interval
dengan
)(cf
],[ δcδc +−
],[ δcδc +− hcc +≠ maka )()( cfhcf <+ .
i. Jika maka 0>h 0)()(<
−+h
cfhcf
ii. Jika maka 0<h 0)()(>
−+h
cfhcf
c c + h c + h δ−c δ+c x
y f(c)
h > 0 h < 0
Gambar 2.6
Jika berturunan pada x = c , maka ada dan )(xf )(cf ′
)()()( cfcfcf ′=′=′ −+ , yaitu:
0)()(lim0
≤−+
=′+→
+ hcfhcff
h dan 0)()(lim
0≥
−+=′
−→− h
cfhcffh
Karena dan 0≥′−f 0≤′+f , maka 0)( =′ cf .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
b. Jika adalah minimum relatif dari f, maka terdapat interval
sedemikian sehingga jika c + h dalam interval
dengan
)(cf
],[ δcδc +−
],[ δcδc +− hcc +≠ maka )()( cfhcf >+ .
i. Jika maka 0>h 0)()(>
−+h
cfhcf
ii. Jika 0<h maka 0)()(<
−+h
cfhcf
Jika berturunan pada x = c , maka ada dan )(xf )(cf ′
)()()( cfcfcf ′=′=′ −+ , yaitu:
0)()(lim0
≥−+
=′+→
+ hcfhcff
h dan 0)()(lim
0≤
−+=′
−→− h
cfhcffh
Karena dan 0≤′−f 0≥′+f , maka 0)( =′ cf . ■
c c + h c + h δ−c δ+c x
y
f(c)
h > 0 h < 0
Gambar 2.7
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Sifat suatu titik kritis sering ditentukan dengan naik turunnya kurva di
sekitar titik kritis.
Teorema 2.3 Teorema Nilai Rata-rata
Jika fungsi f kontinu pada interval [a,b] dan terdeferensial pada titik (a,b) maka
terdapat titik c di dalam interval (a,b) sedemikian sehingga ab
afbfcf−−
=′ )()()( .
Bukti:
Misal diberikan fungsi dan seperti gambar di bawah ini. )(xf )(xg
x
y
f(b)
f(a)
a b
y = f(x)
s(x)
x
y = g(x)
Gambar 2.8
Pembuktian berdasarkan pada analisis fungsi )()()( xgxfxs −= . Andaikan
adala persamaan tali busur yang menghubungkan titik ke
. Karena garis ini mempunyai kemiringan
)(xgy = ))(,( afa
))(,( bfbab
afbf−− )()( dan melalui
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
))(,( afa , maka bentuk kemiringan untuk persamaannya adalah
)()()()()( axab
afbfafxg −−−
=− atau )()()()()( afaxab
afbfxg +−−−
= .
Kemudian ini menghasilkan rumus untuk , yaitu: )(xs
)()()()()()()()( axab
afbfafxfxgxfxs −−−
−−=−=
Tampak bahwa 0)()( == bsas .
Untuk setiap fungsi yang kontinu pada interval [a,b] dan terdeferensial pada
interval (a,b) dan
)(xs
0)()( == bsas maka fungsi terdapat titik c di dalam
interval (a,b) sedemikan sehingga
)(xs
0)()()()( =−−
−′=′ab
afbfcfcs .
Jadi terbukti bahwa ab
afbfcf−−
=′ )()()( . ■
Teorema 2.4 Teorema Uji Turunan Pertama untuk Nilai Ekstrem Relatif
Andaikan fungsi f kontinu dan terdeferensial pada interval terbuka yang
memuat titik kritis c, maka:
),( ba
1. adalah nilai maksimum relatif, jika )(cf 0)( >′ xf untuk semua x di dalam
interval dan ),( ca 0)( <′ xf untuk semua x di dalam interval ),( bc
2. adalah nilai minimum relatif, jika )(cf 0)( <′ xf untuk semua x di dalam
interval dan untuk semua x di dalam interval ),( ca 0)( >′ xf ),( bc
3. bukan nilai ekstrem relatif jika)(cf )(xf ′ bertanda sama pada kedua pihak
c.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Bukti:
a) Akan dibuktikan bahwa f mempunyai maksimum relatif pada c dengan
memperlihatkan bahwa untuk semua x di dalam (a, b) )()( xfcf ≥
• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (a, c). Karena f kontinu
pada c dan berturunan pada interval (a, c) maka teorema nilai rata-rata
dipenuhi pada interval [x, c].
Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (x, c) sedemikian sehingga
)()()(ξ′=
−− f
xcxfcf atau )()()()( ξ′−=− fxcxfcf
0>− xc karena xc > dan 0)( >ξ′f karena f ′positif dimana-mana
pada interval (a, c).
Jadi atau dan dipenuhi untuk semua x di
dalam interval (a, c).
0)()( >− xfcf )()( xfcf >
• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (c, b). Karena f kontinu
pada c dan berturunan pada interval (c, b) maka teorema nilai rata-rata
dipenuhi pada interval [c, x].
Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (c, x) sedemikian sehingga
)()()(ξ′=
−− f
cxcfxf atau )()()()( ξ′−=− fcxcfxf
0>− cx karena cx > dan 0)( <ξ′f karena f ′negatif dimana-mana
pada interval (c, b).
Jadi 0)()( <− cfxf atau )()( cfxf < dan dipenuhi untuk semua x di dalam
interval (c, b).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Jadi berlaku untuk setiap x di dalam interval (a, b). )()( cfxf <
b) Akan dibuktikan bahwa f mempunyai minimum relatif pada c dengan
memperlihatkan bahwa untuk semua x di dalam (a, b) )()( xfcf ≥
• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (a, c). Karena f kontinu
pada c dan berturunan pada interval (a, c) maka teorema nilai rata-rata
dipenuhi pada interval [x, c].
Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (x, c) sedemikian sehingga
)()()(ξ′=
−− f
xcxfcf atau )()()()( ξ′−=− fxcxfcf
0>− xc karena xc > dan 0)( <ξ′f karena f ′negatif dimana-mana
pada interval (a, c).
Jadi 0)()( <− xfcf atau )()( xfcf < dan dipenuhi untuk semua x di
dalam interval (a, c).
• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (c, b). Karena f kontinu
pada c dan berturunan pada interval (c, b) maka teorema nilai rata-rata
dipenuhi pada interval [c, x].
Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (c, x) sedemikian sehingga
)()()(ξ′=
−− f
cxcfxf atau )()()()( ξ′−=− fcxcfxf
0>− cx karena cx > dan 0)( >ξ′f karena f ′ positif dimana-mana
pada interval (c, b).
Jadi 0)()( >− cfxf atau dan dipenuhi untuk semua x di dalam
interval (c, b).
)()( cfxf >
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Jadi berlaku untuk setiap x di dalam interval (a, b). )()( cfxf >
c) Untuk membuktikan bagian ini akan ditinjau dalam dua kemungkinan, yaitu:
i. Jika untuk semua x dalam (a, c) dan 0)( <′ xf 0)( <′ xf untuk semua x
dalam (c, b), maka bukan merupakan nilai ekstrem. )(cf
• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (a, c). Karena f
kontinu pada c dan berturunan pada interval (a, c) maka teorema
nilai rata-rata dipenuhi pada interval [x, c].
Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (x, c) sedemikian
sehingga
)()()(ξ′=
−− f
xcxfcf atau )()()()( ξ′−=− fxcxfcf
0>− xc karena xc > dan 0)( <ξ′f karena negatif di mana-
mana pada interval (a, c).
f ′
Jadi 0)()( <− xfcf atau )()( xfcf < dan dipenuhi untuk semua x
di dalam interval (a, c).
• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (c, b). Karena f
kontinu pada c dan berturunan pada interval (c, b) maka Teorema
Nilai Rata-rata dipenuhi pada interval [c, x].
Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (c, x) sedemikian
sehingga
)()()(ξ′=
−− f
cxcfxf atau )()()()( ξ′−=− fcxcfxf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
0>− cx karena cx > dan 0)( <ξ′f karena f ′ negatif di mana-
mana pada interval (c, b).
Jadi 0)()( <− cfxf atau )()( cfxf < dan dipenuhi untuk semua x
di dalam interval (c, b).
Karena untuk setiap x di dalam interval (a, c). dan
untuk setiap x di dalam interval (c, b), maka bukan
merupakan nilai ekstrem relatif.
)()( xfcf <
)()( cfxf < )(cf
ii. Jika untuk semua x dalam (a, c) dan 0)( >′ xf 0)( >′ xf untuk semua x
dalam (c, b), maka bukan merupakan nilai ekstrem. )(cf
• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (a, c). Karena f
kontinu pada c dan berturunan pada interval (a, c) maka teorema
nilai rata-rata dipenuhi pada interval [x, c].
Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (x, c) sedemikian
sehingga
)()()(ξ′=
−− f
xcxfcf atau )()()()( ξ′−=− fxcxfcf
0>− xc karena xc > dan 0)( >ξ′f karena f ′ positif di mana-
mana pada interval (a, c).
Jadi atau dan dipenuhi untuk semua x
di dalam interval (a, c).
0)()( >− xfcf )()( xfcf >
• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval . Karena f
kontinu pada c dan berturunan pada interval (c, b) maka Teorema
Nilai Rata-rata dipenuhi pada interval [c, x].
),( bc
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (c, x) sedemikian
sehingga
)()()(ξ′=
−− f
cxcfxf atau )()()()( ξ′−=− fcxcfxf
0>− cx karena cx > dan 0)( >ξ′f karena f ′ positif di mana-
mana pada interval (c, b).
Jadi atau dan dipenuhi untuk semua x
di dalam interval (c, b).
0)()( >− cfxf )()( cfxf >
Karena untuk setiap x di dalam interval dan
untuk setiap x di dalam interval , maka bukan
merupakan nilai ekstrem relatif. ■
)()( xfcf > ),( ca
)()( cfxf > ),( bc )(cf
Teorema 2.5 Teorema Uji Turunan Kedua
Andaikan f berturunan dua kali pada titik stasioner c, maka :
a. Jika , maka f mempunyai minimum relatif pada titik c. 0)( >′′ cf
b. Jika , maka f mempunyai maksimum relatif pada titik c. 0)( <′′ cf
Bukti :
Dengan menggunakan definisi turunan dapat dituliskan :
( ) ( ) ( ) cxcfcx
cfxf ii
cx≠=
−−
→,lim '' (2.1)
a). Menurut hipotesis sehingga dapat memilih 0)('' >cf 0>ε dalam definisi
limit. Sehingga berdasarkan kesimpulan dari (2.1) ada 0>δ sedemikian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
hingga ε<−−− )()()( ''
''
cfcx
cfxf bilamana <− cx δ , cx ≠ atau
εε +<−−
<− )()()()( ''''
'' cfcx
cfxfcf ,bilamana x dalam interval
( ) .,, cxcc ≠+− δδ
Untuk membuktikan bahwa f memiliki minimum relatif pada c akan
diperlihatkan / ditunjukkan bahwa :
- untuk semua x dalam ,0)(' >xf ( )δ+cc, .
- untuk semua x dalam ,0)(' <xf ( )cc ,δ− .
Ini menyusul dari uji turunan pertama bahwa f memiliki minimum relatif
pada c.
Apabila ε > 0 yang dipilih kurang dari maka )('' cfcx
cfxf−− )()( ''
terletak antara dua bilangan positif, yang artinya :
0)()( ''
>−−
cxcfxf bilamana ( ) .,, cxcc ≠+− δδ
Selanjutnya dapat ditulis :
0)()( '' >− cfxf atau untuk semua x dalam ( ))()( '' cfxf > δ+cc, dan
atau untuk semua x dalam ( )0)()( '' <− cfxf )()( '' cfxf < cc ,δ− .
Menurut hipotesis, c merupakan titik stasioner dari f , jadi . 0)(' =cf
Ini berarti :
- untuk semua x dalam 0)(' >xf ( )δ+cc, .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
- untuk semua x dalam 0)(' <xf ( )cc ,δ− .
b). Menurut hipotesis sehingga dapat memilih 0)('' <cf 0>ε dalam definisi
limit. Sehingga berdasarkan kesimpulan dari (2.1) ada 0>δ sedemikian
hingga ε<+−− )()()( ''
''
cfcx
cfxf bilamana <− cx δ , cx ≠ atau
εε +−<−−
<−− )()()()( ''''
'' cfcx
cfxfcf ,bilamana x dalam interval
( ) .,, cxcc ≠+− δδ
Untuk membuktikan bahwa f memiliki minimum relatif pada c akan
diperlihatkan / ditunjukkan bahwa :
- untuk semua x dalam ,0)(' >xf ( )δ+cc, .
- untuk semua x dalam ,0)(' <xf ( )cc ,δ− .
Karena ε yang dipilih merupakan bilangan positif yang sangat kecil maka
cf '
xcxf
−− )()(' terletak antara dua bilangan negatif, yang artinya :
0)()( ''
>−−
cxcfxf bilamana ( ) .,, cxcc ≠+− δδ
Selanjutnya dapat ditulis :
- atau untuk semua x dalam0)()( '' <− cfxf )()\( '' cfxf < ( )δ+cc, .
- atau untuk semua x dalam ( )0)()( '' >− cfxf )()( '' cfxf > cc ,δ− .
Menurut hipotesis, c merupakan titik stasioner dari f , jadi . 0)(' =cf
Ini berarti :
- 0 untuk semua x dalam )(' <xf ( )δ+cc, .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
- 0 untuk semua x dalam )(' >xf ( )cc ,δ− . ■
Contoh 2.4
Periksa nilai ekstrem untuk untuk setiap x dalam ℜ ! 56)( 2 +−= xxxf
Penyelesaian :
Titik kritis fungsi didapat dengan menyelesaikan maka
untuk x = 3. Titik kritis fungsi di atas adalah
)3(262)(' −=−= xxxf
0)(' =xf 3=x
2)('' =xf maka .02)3('' >=f
Jadi f mempunyai nilai minimum relatif dengan nilai minimum relatif adalah
4)3( −=f
Contoh 2.5
Untuk ,4331)( 23 +−−= xxxxf gunakan uji turunan kedua untuk mengenali
ekstrem relatif fungsi tersebut!
Penyelesaian :
Titik kritis fungsi didapat dengan menyelesaikan
)3)(1(32)( 2' −+=−−= xxxxxf maka untuk x = -1 dan x = 3. 0)(' =xf
22)('' −= xxf . Karena dan maka 04)1('' <−=−f 04)3('' >=f
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
f ( -1) adalah nilai maksimum relatif dan f (3) adalah nilai minimum relatif.
B. Maksimum dan Minimum Fungsi dengan Dua Variabel
Dalam subbab sebelumnya telah dibahas tentang salah satu penggunaan
turunan fungsi dengan satu variabel dalam menentukan nilai maksimum dan
minimum suatu fungsi. Dalam subbab ini, akan dibahas tentang perluasan untuk
fungsi dengan dua variabel.
Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dengan dua variabel
didefinisikan dengan cara yang sama seperti pada fungsi dengan satu variabel.
Pada fungsi dengan dua variabel peranan interval terbuka digantikan dengan
cakram terbuka dan peranan interval tertutup digantikan dengan cakram tertutup.
Definisi nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dengan dua variabel
diberikan sebagai berikut:
Definisi 2. 7
Misalkan adalah fungsi dengan dua variabel yang terdefinisi pada
suatu daerah di bidang yang memuat titik . Jika terdapat suatu cakram
terbuka sedemikian sehingga yang terletak pada
cakram terbuka yang berpusat di titik dengan jari-jari r, maka fungsi f
dikatakan mencapai maksimum relatif di titik dengan nilai maksimum
.
),( yxfz =
),( ba
));,(( rbaB ),(),( yxfbaf ≥
),( ba
),( ba
),( baf
Jika hubungan berlaku untuk setiap titik yang terletak
dalam daerah definisi fungsi
),(),( yxfbaf ≥ ),( yx
),( yxfz = , maka fungsi f dikatakan mencapai
maksimum mutlak di titik dengan nilai maksimum . ),( ba ),( baf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Definisi 2. 8
Misalkan ),( yxfz = adalah fungsi dengan dua variabel yang terdefinisi pada
suatu daerah di bidang yang memuat titik . Jika terdapat suatu cakram
terbuka sedemikian sehingga
),( ba
));,(( rbaB ),(),( yxfbaf ≤ yang terletak pada
cakram terbuka yang berpusat di titik dengan jari-jari r, maka fungsi f
dikatakan mencapai minumum relatif di titik dengan nilai minimum
.
),( ba
),( ba
),( baf
Jika hubungan berlaku untuk setiap titik yang terletak
dalam daerah definisi fungsi
),(),( yxfbaf ≤ ),( yx
),( yxfz = , maka fungsi f dikatakan mencapai
minimum mutlak di titik dengan nilai minimum . ),( ba ),( baf
Kedua definisi di atas dapat diperlihatkan dalam ilustrasi di bawah ini.
Gambar 2. 9 Nilai-nilai ekstrem dari fungsi dengan duavariabel
),( yxfz =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Dari grafik tampak bahwa fungsi ),( yxfz = terdefinisi di dalam
domainnya yaitu bidang persegi tertutup pada bidang –xy yang titik-titiknya
memenuhi ketaksamaan 10 ≤≤ x , 10 ≤≤ y . Fungsi ),( yxfz = mempunyai
maksimum relatif di titik B dan minimum relatif di titik A dan titik C. Fungsi
juga mempunyai minimum mutlak di titik A dan maksimum mutlak di
titik D.
),( yxfz =
Jika f mempunyai nilai maksimum relatif atau minimum relatif di titik
maka dikatakan bahwa f mempunyai ekstrem relatif di titik dan jika
mempunyai nilai maksimum mutlak atau minimum mutlak di titik maka
dikatakan bahwa f mempunyai ekstrem mutlak di titik .
),( ba ),( ba
),( ba
),( ba
Teorema 2.6
Misal terdefinisi pada semua titik pada cakram terbuka
dan f mencapai mempunyai nilai ekstrem relatif pada titik serta
turunan parsial tingkat pertama dari f ada pada titik , maka
),( yxfz =
));,(( rbaB ),( ba
),( ba 0),( =baf x
dan 0),( =baf y .
Bukti:
Akan dibuktikan dalam dua kasus, yaitu jika adalah nilai maksimum
relatif dan adalah nilai minimum relatif.
),( baf
),( baf
i. Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai maksimum relatif pada
dan ada, maka ),( ba ),( baf x 0),( =baf x .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Jika adalah fungsi dengan dua variabel maka turunan parsial f
terhadap x pada titik adalah
),( yxf ),( yx
),( bah
bafbhafbafhx
),(),(lim),(0
−+=
→
Karena f mempunyai nilai maksimum relatif di maka dengan memakai
Definisi 2.7 didapat
),( ba
0),(),( ≤−+ bafbhaf .
Ini berlaku bilamana h cukup kecil sedemikian sehingga ada di
dalam .
),( bha +
));,(( δbaB
Jika , maka +→ 0h 0>h 0),(),(≤
−+h
bafbhaf
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
0),(),(lim),(0
≤−+
=→ h
bafbhafbafhx
Jika , maka −→ 0h 0<h 0),(),(≥
−+h
bafbhaf
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
0),(),(lim),(0
≥−+
=→ h
bafbhafbafhx
Karena dan 0),( ≥baf x 0),( ≤baf x maka 0),( =baf x .
Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai maksimum relatif pada
dan ada, maka ),( ba ),( baf y 0),( =baf y .
Jika adalah fungsi dengan dua variabel maka turunan parsial f
terhadap y pada titik adalah
),( yxf ),( yx
),( bak
bafkbafbafky
),(),(lim),(0
−+=
→
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Karena f mempunyai nilai maksimum relatif di maka dengan memakai
Definisi 2.7 didapat
),( ba
0),(),( ≤−+ bafkbaf .
Ini berlaku bilamana k cukup kecil sedemikian sehingga ada di
dalam .
),( kba +
));,(( δbaB
Jika , maka +→ 0k 0>k 0),(),(≤
−+k
bafkbaf
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
0),(),(lim),(0
≤−+
=→ k
bafkbafbafky
Jika , maka −→ 0k 0<k 0),(),(≥
−+k
bafkbaf
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
0),(),(lim),(0
≥−+
=→ k
bafkbafbafky
Karena dan 0),( ≥baf y 0),( ≤baf y maka 0),( =baf y .
ii. Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai minimum relatif pada
dan ada, maka
),( ba
),( baf x 0),( =baf x .
Jika adalah fungsi dengan dua variabel maka turunan parsial f
terhadap x pada titik adalah
),( yxf ),( yx
),( bah
bafbhafbafhx
),(),(lim),(0
−+=
→
Karena f mempunyai nilai minimum relatif di maka dengan memakai
Definisi 2.8 didapat
),( ba
0),(),( ≥−+ bafbhaf .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Ini berlaku bilamana h cukup kecil sedemikian sehingga ada di
dalam .
),( bha +
));,(( δbaB
Jika , maka +→ 0h 0>h 0),(),(≥
−+h
bafbhaf
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
0),(),(lim),(0
≥−+
=→ h
bafbhafbafhx
Jika , maka −→ 0h 0<h 0),(),(≤
−+h
bafbhaf
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
0),(),(lim),(0
≤−+
=→ h
bafbhafbafhx
Karena dan 0),( ≥baf x 0),( ≤baf x maka 0),( =baf x .
Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai minimum relatif pada
dan ada, maka
),( ba
),( baf y 0),( =baf y .
Jika adalah fungsi dengan dua variabel maka turunan parsial f
terhadap y pada titik adalah
),( yxf ),( yx
),( bak
bafkbafbafky
),(),(lim),(0
−+=
→
Karena f mempunyai nilai maksimum relatif di maka dengan memakai
Definisi 2.8 didapat
),( ba
0),(),( ≥−+ bafkbaf .
Ini berlaku bilamana k cukup kecil sedemikian sehingga ada di
dalam .
),( kba +
));,(( δbaB
Jika , maka +→ 0k 0>k 0),(),(≥
−+k
bafkbaf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
0),(),(lim),(0
≥−+
=→ k
bafkbafbafky
Jika , maka −→ 0k 0<k 0),(),(≤
−+k
bafkbaf
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
0),(),(lim),(0
≤−+
=→ k
bafkbafbafky
Karena dan 0),( ≥baf y 0),( ≤baf y maka 0),( =baf y .
■
Definisi 2.9.
Titik disebut titik kritis dari fungsi f, jika berlaku dan
.
),( ba 0),( =baf x
0),( =baf y
Teorema 2.6 mengatakan bahwa syarat perlu agar suatu fungsi dengan dua
variabel mencapai nilai ekstrem relatif di suatu titik, di mana turunan parsialnya
ada di titik tersebut, adalah bahwa titik tersebut merupakan titik kritis dari
. Namun hal ini belum menjamin terjadinya nilai ekstrem relatif
apabila turunan parsialnya di suatu titik sama dengan nol. Keadaan ini terjadi
pada suatu titik yang disebut dengan titik pelana (saddle point), yaitu titik kritis di
mana fungsi tidak mempunyai nilai ekstrem. Hal ini ditunjukkan pada
contoh 2.6
),( yxfz =
),( yxfz =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Contoh 2.6
Diketahui fungsi f yang didefinisikan oleh persamaan
22 246),( yxyxyxf −−−=
Tentukan apakah f mencapai nilai ekstrem!
Penyelesaian:
Karena f dan turunan parsial pertamanya terdefinisi di semua titik , maka
Teorema 2. 6 dapat digunakan. Dengan penurunan parsial didapat:
),( yx
xyxf x 26),( −= dan yyxf y 44),( −−=
Dari persamaan-persamaan 026),( =−= xyxf x dan 044),( =−−= yyxf y
didapat x = 3 dan y = -1 sebagai titik kritis fungsi.
Grafik persamaan tampak pada gambar 2.10
yaitu berupa paraboloida dengan titik puncak (3, -1, 11) dan terbuka ke bawah.
22 246),( yxyxyxfz −−−==
Dapat disimpulkan bahwa:
)1,3(),( −< fyxf untuk semua )1,3(),( −≠yx
Menurut Definisi 2.7, maka 11)1,3( =−f merupakan nilai maksimum mutlak f.
Gambar 2.10. Grafik fungsi dengan 22 246),( yxyxyxf −−−= )11,1,3( − sebagai titik puncaknya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Contoh 2.7
Tentukan nilai ekstrem relatif dari fungsi ! yxyyxyxf 72)( 22 −−+=
Penyelesaian:
Karena f dan turunan parsial pertamanya terdefinisi di semua titik , maka
Teorema 2.6 dapat digunakan. Dengan penurunan parsial didapat:
),( yx
yxyxf x −= 4),( dan 72),( −−= xyyxf y
Kemudian dengan menyelesaikan
04),( =−= yxyxf x
072),( =−−= xyyxf y
didapat x = 1 dan y = 4 sebagai titik stasionernya.
Sekarang akan dibandingkan nilai f pada (1, 4) dengan nilai f pada . )4,1( kh ++
14284162)4,1( −=−−+=f
)4)(1()4()1(2)4,1( 22 khkhkhf ++−+++=++
khkkhkkhh 72844816242 22 −−−−−−+++++=
142 22 −−+= hkkh
( ) 221222 22)4,1()4,1( khkhhkkhfkhf +−=−+=−++
( ) 02 2892
41 >+−= kkh untuk semua h, k di dalam ℜ .
Jadi f mempunyai minimum relatif pada titik (1, 4) dengan nilai minimum
relatifnya -14.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Contoh 2.8
Selidiki apakah fungsi mempunyai nilai ekstrem relatif! 22),( yxyxf −=
Penyelesaian:
Karena f dan turunan parsial pertamanya terdefinisi di semua titik , maka
Teorema 2.6 dapat digunakan. Dengan penurunan parsial didapat:
),( yx
xyxf x 2),( =
yyxf y 2),( −=
Titik kritis diperoleh dengan menyelesaikan persamaan dan
. Kemudian diperoleh titik (0,0) sebagai titik kritisnya.
02),( == xyxf x
02),( =−= yyxf y
Pada bidang , bernilai positif, dan pada bidang ,
bernilai negatif. Jadi titik (0,0) bukan merupakan nilai ekstrem dari
0=y 2),( xyxf = 0=x
2),( yyxf −=
22),( yxyxf −= . Hal ini ditunjukkan pada grafik di bawah ini.
Gambar 2.11 Grafik fungsi 22),( yxyxf −= dengan titik (0,0) sebagai titik pelananya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Seperti halnya pada fungsi dengan satu variabel bahwa syarat
belum cukup menjamin bahwa f mempunyai ekstrem pada c. Demikian
pula halnya bahwa syarat
0)( =′ cf
0),( =yxf x dan 0),( =yxf y belum cukup menjamin
bahwa fungsi dengan dua variabel mempunyai ekstrem pada titik . Untuk itu
diperlukan syarat cukup yang menjamin bahwa fungsi dengan dua variabel
mempunyai ekstrem pada titik .
),( ba
),( ba
Teorema 2.7
Misalkan f adalah fungsi dengan dua variabel dengan turunan-turunan parsial
tingkat dua yang kontinu pada cakram terbuka dan
. Misalkan .
));,(( rbaB
0),(),( == bafbaf yx ),(),().,(),( 2 bafbafbafbaH xyyyxx −=
Maka berlaku:
1. f mencapai nilai minimum relatif di titik jika dan
),( ba 0),( >baH
0),( >baf xx
2. f mencapai nilai maksimum relatif di titik jika dan
),( ba 0),( >baH
0),( <baf xx
3. f tidak mempunyai nilai ekstrem relatif di titik jika ),( ba 0),( <baH
4. jika , f belum dapat disimpulkan apakah mempunyai nilai
ekstrem atau tidak.
0),( =baH
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Bukti:
1. Misalkan . ),(),().,(),( 2 yxfyxfyxfyxφ xyyyxx −=
Diketahui dan , akan dibuktikan bahwa
adalah nilai minimum relatif.
0),( >baφ 0),( >baf xx ),( baf
Karena , dan adalah fungsi-fungsi yang kontinu pada cakram
terbuka , maka juga kontinu di . Akibatnya
terdapat cakram terbuka
xxf yyf xyf
));,(( rbaB ),( yxφ ));,(( rbaB
));,(( rbaB ′′ , dengan rr ≤′ , sedemikian
sehingga dan untuk setiap di cakram
terbuka .
0),( >yxφ 0),( >yxf xx ),( yx
));,(( rbaB ′′
Misalkan h dan k adalah konstanta-konstanta yang tidak keduanya nol,
sedemikian sehingga titik ),( kbha ++ di ));,(( rbaB ′′ . Maka dua
persamaan berikut :
htax += dan ktby += , 10 ≤≤ t
mendefinisikan semua titik pada segmen garis yang menghubungkan titik
dan . Misal F adalah fungsi dengan satu variabel yang
didefinisikan oleh:
),( ba ),( kbha ++
),()( ktbhtaftF ++= (2.2)
Dengan rumus Maclaurin untuk fungsi F dengan satu variabel didapat:
2
!2)()0()0()( tFtFFtF ξ′′
+′+= (2.3)
dengan t<ξ<0
untuk t = 1 pada persamaan (2.3) berlaku:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
)()0()0()1( 21 ξ′′+′+= FFFF (2.4)
dengan 10 <ξ<
Karena dan ),()0( bafF = ),()1( kbhafF ++= maka dengan persamaan
(2.3) didapat:
)()0(),(),( 21 ξ′′+′+=++ FFbafkbhaf (2.5)
dengan 10 <ξ<
Untuk mendapatkan )(tF ′ dan )(ξ′′F digunakan aturan rantai pada
persamaan (2.2), maka didapat:
),(),()( ktbhtakfktbhtahftF yx +++++=′ (2.6)
Jika fungsi f dengan dua variabel dalam x dan y terdefinisi pada cakram
terbuka dan , , dan terdefinisi di B serta ,
kontinu B, maka diperoleh:
));,(( rbaB xxf yyf xyf yxf xyf
yxf
),(),( yxfyxf yxxy = untuk setiap titik di . ),( yx 1B
Jadi berlaku:
yyxyxx fkhkffhtF 22 2)( +=′′ (2.7)
di mana setiap turunan parsial di ruas kanan persamaan (2.6) dihitung di
titik . Dengan memasukkan t = 0 pada persamaan (2.5) dan
pada persamaan (2.6) didapat:
),( ktbhta ++
ξ=t
0),(),()0( =+=′ bakfbahfF yx (2.8)
dan
yyxyxx fkhkffhF 22 2)( ++=ξ′′ (2.9)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
di mana setiap turunan parsial kedua persamaan (2.9) dihitung di titik
dengan ),( ktbhta ++ 10 <ξ< .
Dengan memasukkan persamaan (2.8) dan (2.9) ke dalam persamaan (2.5)
akan diperoleh:
)2(),(),( 2221
yyxyxx fkhkffhbafkbhaf ++=−++ (2.10)
bentuk-bentuk di dalam tanda kurung pada persamaan (2.9) dapat ditulis
sebagai:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=++
xx
yy
xx
xy
xx
xy
xx
xyxxyyxyxx f
fk
ff
kff
kff
hkhffkhkffh 222
222 22
sehingga persamaan (2.10) dapat ditulis:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=−++ 2
2
22
2),(),( k
ffff
ff
hf
bafkbhafxx
xyyyxx
xx
xyxx (2.11)
Karena dihitung di titik 2xyyyxx fff − ),( ktbhta ++ , maka nilainya sama
dengan 0),( >ξ+ξ+φ kbha . Jadi akan diperleh bentuk di dalam kurung
pada persamaan (2.10) akan bertanda positif. Selain itu karena
0),( >ξ+ξ+ kbhaf xx , maka dari persamaan (2.11) didapat bahwa
bertanda positif. ),(),( bafkbhaf −++
Terbukti bahwa ),(),( bafkbhaf >++ untuk setiap
pada . Kemudian dengan memakai Definisi 2.8
akan diperoleh bahwa merupakan nilai minimum relatif dari f.
),(),( bakbha ≠++ 1B
),( baf
2. Diketahui dan 0),( >baφ 0),( <baf xx , akan dibuktikan bahwa
adalah nilai maksimum relatif. Langkah-langkah pembuktian merupakan
),( baf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
analogi dari langkah pembuktian pada kasus pertama. Karena
),( ξ+ξ+ kbha di dalam , maka ));,(( rbaB 0),( <ξ+ξ+ kbhaf xx dan
dari persamaan (10) didapat bahwa ),(),( bafkbhaf −++ bertanda
negatif.
Jadi terbukti bahwa ),(),( bafkbhaf <++ untuk setiap
pada . Kemudian dengan memakai Definisi 2.7
akan diperoleh bahwa merupakan nilai maksimum relatif dari f.
),(),( bakbha ≠++ 1B
),( baf
3. Diketahui 0),(),().,(),( 2 <−= bafbafbafbaH xyyyxx
Dari persamaan (2.9) andaikan bahwa
yyxyxx fkhkffhF 22 2 ++= (2.12)
Atau dapat ditulis sebagai
( ) 0,21 222 ≠++= xxxxyyxxxyxxxx
fffkfhkffhf
F
( ) ( )[ 0,1 222 ≠−++= xxxyyyxxxyxxxx
ffffkkfhff
F ] (2.13)
Tanda dari F bergantung pada nilai h dan k.
Misalkan
• diambil k = 0, maka dan F akan mempunyai tanda yang
sama dengan .
xxfhF 2=
xxf
• diambil xy
xx
fhf
k−
= ,maka xxxxxx
ff
Hkf
HkF 2
22
== ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
02
2
<xxfHk , untuk nilai
xy
xx
fhf
k−
= dan F mempunyai tanda yang
berlawanan dengan . xxf
Dari dua contoh diatas, dapat disimpulkan bahwa titik kritisnya merupakan
titik pelana karena F tidak memberikan tanda yang sama untuk setiap
yang diberikan. ),( kh
Jadi bukan merupakan nilai ekstrem. ),( baf
4. Untuk akan diselesaikan
dengan deret Taylor yang akan dibahas pada bab selanjutnya. ■
0),(),().,(),( 2 =−= bafbafbafbaH xyyyxx
Berikut merupakan langkah-langkah untuk menentukan nilai ekstrem
fungsi dengan dua variabel:
1. Menentukan dan ),( yxf x ),( yxf y
2. Menentukan nilai-nilai x dan y di mana 0),( =yxf x dan 0),( =yxf y
untuk mendapatkan nilai kritisnya.
3. Menentukan , , dan ),( yxf xx ),( yxf xy ),( yxf yy
4. Menentukan dan pada
titik kritis.
),(),().,(),( 2 bafbafbafbaH xyyyxx −= ),( yxf xx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Contoh 2.9
Diketahui fungsi f yang didefinisikan oleh:
yxyxyxf 22),( 224 −−+=
Tentukan nilai ekstrem relatif dari f !
Penyelesaian:
Tururan parsial pertama fungsi f adalah:
xxyxf x 28),( 3 −=
22),( −= yyxf y
Dari persamaan didapat 028),( 3 =−= xxyxf x 21−=x , 0=x dan 2
1=x
Dari persamaan 022),( =−−= yyxf y didapat 1=y
Diperoleh titik-titik kritis fungsi f yaitu )1,0(),1,( 21− dan )1,( 2
1 .
Kemudian menentukan turunan parsial kedua dari f, yaitu;
224),( 2 −= xyxf xx
2),( =yxf yy
0),( =yxf xy
kemudian dihitung:
04)1,( 21 >=−xxf
0802.4)1,()1,()1,()1,( 212
21
21
21 >=−=−−−−=− xyyyxx fffH .
Karena 0)1,( 21 >−H , maka menurut Teorema 2.7 f mencapai minimum relatif di
titik )1,( 21− .
02)1,0( <−=xxf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
0402).2()1,0()1,0()1,0()1,0( 2 <−=−−=−= xyyyxx fffH
Karena , maka menurut Teorema 2.7 f tidak mencapai minimum
relatif di titik .
0)1,0( <H
)1,0(
04)1,( 21 >=xxf
0802.4)1,()1,()1,()1,( 212
21
21
21 >=−=−= xyyyxx fffH
Karena 0)1,( 21 >H , maka menurut Teorema 2.7 f mencapai minimum relatif di
titik )1,( 21 .
Jadi dapat disimpulkan bahwa f mencapai nilai minimum relatif di titik )1,( 21−
dan titik )1,( 21 dengan nilai minimum relatif adalah 8
9− .
Contoh 2.10
Tentukan nilai ekstrem relatif untuk fungsi yang didefinisikan sebagai berikut:
12),( 22 +−+= xyxyxf
Penyelesaian:
Turunan parsial pertama dari fungsi di atas adalah
22),( −= xyxf x
yyxf y 2),( =
dengan menyelesaikan 0),( =yxf x dan 0),( =yxf y , maka akan didapat x = 1
dan y = 0.
Kemudian turunan parsial kedua adalah
02),( >=yxf xx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
2),( =yxf yy
0),( =yxf xy
pada titik (1,0) dipunyai . Karena dan ,
maka dengan menggunakan Teorema 2.7 mempunyai nilai minimum
relatif dengan nilai minimum relatif sama dengan nol.
0402.2 2 >=−=H 0),( >yxf xx 0>H
),( yxf
Contoh 2.11
Tentukan nilai maksimum dan minimum relatif dari fungsi
20123),( 33 +−−+= yxyxyxf
Penyelesaian :
Turunan parsial pertama dari fungsi di atas adalah
33),( 3 −= xyxf x
123),( 2 −= yyxf y
0),( =yxf x untuk 1±=x
0),( =yxf y untuk 2±=y
Selanjutnya didapat empat titik kritis dari , yaitu: ),( yxf
(1,2), (-1,2), (1,-2) dan (-1,-2)
Kemudian turunan parsial kedua adalah
xyxf xx 6),( =
yyxf yy 6),( =
0),( =yxf xy
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Kemudian,
Pada titik (1,2)
06),( >=yxf xx dan , yang berarti bahwa titik (1,2)
merupakan titik minimum relatif dari .
0720)2(6).1(6 2 >=−=H
),( yxf
Pada titik (-1,2)
06),( <−=yxf xx dan , yang berarti bahwa
tidak mempunyai nilai ekstrem pada titik (-1,2).
0720)2(6).1(6 2 <−=−−=H
),( yxf
Pada titik (1,-2)
06),( >=yxf xx dan yang berarti bahwa
tidak mempunyai nilai ekstrem pada titik (1,-2).
0720)2(6).1(6 2 <−=−−=H
),( yxf
Pada titik (-1,-2)
06),( <−=yxf xx dan yang berarti bahwa titik 0720)2(6).1(6 2 >=−−−=H
(-1,-2) merupakan titik maksimum relatif dari . ),( yxf
Pada fungsi dengan satu variabel, biasanya fungsi yang ingin dicari nilai
maksimum atau minimum terdefinisi pada interval tertutup [a,b] sehingga fungsi
tersebut terdefinisi pada himpunan terbatas ℜ . Kemudian terdapat suatu teorema
yang menjamin tentang adanya nilai ekstrem mutlak suatu fungsi dengan satu
variabel yang kontinu pada interval tertutup [a,b].
Seperti halnya pada fungsi dengan satu variabel, teorema berikut, yang
sangat sukar dibuktikan namun secara intuisi jelas, akan membantu dalam
menentukan nilai ekstrem mutlak suatu fungsi dengan dua variabel.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Teorema 2.8 Teorema Nilai Ekstrem
Jika fungsi f kontinu pada suatu himpunan tertutup dan terbatas pada , maka f
mempunyai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada titik-titik di dalam
.
ℜ
ℜ
Jika fungsi kontinu pada suatu himpunan tertutup dan terbatas ),( yxf ℜ ,
maka teorema di atas menjamin adanya nilai maksimum dan minimum mutlak
fungsi pada . Ekstrem mutlak ini dapat terjadi pada batas ℜ atau
dalam pedalaman , namun jika ekstrem mutlak yang terjadi pada titik
pedalaman, maka hal itu terjadi pada suatu titik kritis.
),( yxf ℜ
1ℜ
Teorema 2.9
Jika fungsi mempunyai ekstrem mutlak pada suatu titik di pedalaman
domainnya, maka ekstrem itu terjadi pada suatu titik kritis.
),( yxf
Bukti:
Jika fungsi mempunyai ekstrem mutlak pada titik dalam pedalaman
domain f, maka merupakan nilai terbesar atau terkecil dalam pedalaman
dmain f. Dengan demikian, ini dapat berarti bahwa nilai terbesar atau terkecil dari
f berada di sekitar titik . Atau dengan kata lain terdapat suatu kitaran yang
berpusat di titik yang menjadikan adalah suatu nilai terbesar atau
terkecil dalam kitaran tersebut. Jadi mempunyai ekstrem relatif. Jika
turunan-turunan parsial ada pada titik , maka dan
),( yxf ),( ba
),( baf
),( ba
),( ba ),( baf
),( yxf
),( yxf ),( ba 0),( =yxf x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
0),( =yxf y . Menurut Teorema 2.8 maka titik merupakan titik kritis dari
. ■
),( ba
),( yxf
Berikut merupakan langkah-langkah untuk menentukan nilai ekstrem
mutlak dari fungsi yang kontinu pada himpunan terbatas : ),( yxf ℜ
1. Menentukan titik-titik kritis dari yang terletak di dalam . ),( yxf ℜ
2. Menentukan semua titik perbatasan.
3. Menghitung nilai pada titik-titik perbatasan dan titik-titik kritis,
nilai terbesar akan menjadi nilai maksimum mutlak dan nilai terkcil akan
menjadi nilai minimum mutlak.
),( yxf
Contoh 2.12
Tentukan nilai maksimum dan minimum mutlak fungsi yang didefinisikan oleh
7363),( +−−= yxxyyxf
Pada daerah segitiga tertutup ℜ dengan koordinat-koordinat (0,0), (3,0) dan (0,5)
Penyelesaian:
Daerah ℜ tampak pada gambar di bawah ini
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
x
y
(0,0) (3,0)
(0,5)
Gambar 2. 12 Domain fungsi 7363),( +−−= yxxyyxf
Turunan parsial pertama 7363),( +−−= yxxyyxf
63),( −= yyxf x
33),( −= xyxf y
Titik kritis diperoleh dengan menyelesaikan persamaan dan 063),( =−= yyxf x
033),( =−= xyxf y kemudian didapat x = 1 dan y = 2.
Kemudian ditentukan lokasi titik-titik pada batas ℜ di mana ekstrem mutlak
terjadi. Batas-batas ℜ terdari dari tiga buah ruas garis, yaitu:
Ruas garis di antara titik (0,0) dan titik (3,0)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Pada ruas garis ini dipunyai y = 0 dan dapat diubah menjadi fungsi
dengan satu variabel dalam x, yaitu
),( yxf
76)0,()( +−== xxfxu dengan . 30 ≤≤ x
Fungsi 76)( +−= xxu tidak mempunyai titik kritis karena 06)( ≠−=′ xu untuk
semua x.
Jadi nilai ekstrem 76)( +−= xxu terjadi pada titik-titik ujung ruas garis di antara
titik (0,0) dan titik (3,0).
Ruas garis di antara titik (0,0) dan titik (0,5)
Pada ruas garis ini dipunyai x = 0 dan dapat diubah menjadi fungsi
dengan satu variabel dalam y, yaitu
),( yxf
73),0()( +−== yyfyv dengan . 50 ≤≤ y
Fungsi 73)( +−= yyv tidak mempunyai titik kritis karena 03)( ≠−=′ xv untuk
semua y.
Jadi nilai ekstrem 73)( +−= yyv terjadi pada titik-titik ujung ruas garis di antara
titik (0,0) dan titik (0,5).
Ruas garis di antara titik (3,0) dan titik (0,5)
Persamaan garis yang melalui titik (3,0) dan titik (0,5) adalah 535 +−= xy
dengan 30 ≤≤ x . Kemudian fungsi diubah menjadi fungsi dengan satu
variabel dalam x, yaitu:
),( yxf
( ) ( ) ( ) 7536535,)( 35
35
35 ++−−−+−=+−= xxxxxxfxw
8145 2 −+−= xx , dengan 30 ≤≤ x
Kemudian turunan pertama dari adalah )(xw
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
1410)( +−=′ xxw
Persamaan 01410)( =+−=′ xxw akan menghasilkan sebuah titik kritis yaitu
57=x . Nilai ekstrem terjadi pada titik kritis )(xw 5
7=x atau titik-titik ujung,
yaitu x = 0 dan x = 3.
Dengan memasukan 57=x ke dalam persamaan 53
5 +−= xy , maka akan di dapat
38=y . Titik ( )3
857 , merupakan titik kritis dari 53
5 +−= xy .
Kemudian mendaftar semua nilai pada titik kritis dan pada titik-titik batas
di mana ekstrem mutlak terjadi.
),( yxf
),( yx ),( yxf
(0,0)
(3,0)
(0.5)
( )38
57 ,
(1,2)
7
-11
-8
89
1
Dari tabel tampak bahwa nilai maksimum mutlak adalah 7 dan terjadi pada titik
(0,0) dan nilai minimum mtlak adalah -11 dan terjadi pada titik (3,0). Gambar
berikut merupakan daerah domain 7363),( +−−= yxxyyxf dan nilai kritisnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
x
y
(0,0) (3,0)
(0,5)
(1,2)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
38,
57
Gambar 2. 13 Domain fungsi 7363),( +−−= yxxyyxf beserta nilai kritisnya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
TEOREMA TAYLOR
Salah satu awal penerapan kalkulus adalah perhitungan nilai- nilai fungsi
seperti sin x, ln x, dan e .Ide ini muncul untuk mendekati fungsi yang diketahui
dengan suatu polinomial sedemikian rupa sehingga kesalahan dalam menentukan
hasilnya cukup kecil atau masih dalam suatu batas toleransi tertentu.
x
A. Deret Pangkat
Di dalam perkuliahan sudah dikenal dan dipelajari deret dengan suku –
suku konstan. Dalam penulisan ini akan diperhatikan sebuah deret yang suku –
sukunya berkaitan dengan variabel. Deret seperti ini merupakan dasar penting
dalam banyak cabang matematika.
Jika merupakan konstanta – konstanta dan x adalah suatu
variabel maka deret :
,....,,, 3210 aaaa
∑∞
=
+++++=0
2210
n
nn
nn xaxaxaaxa LL (3.1)
disebut deret pangkat dalam x.
Andaikan akan bermaksud mendekati fungsi f dengan polinomial
=)(xρ nn xaxaxaxaa +++++ L3
32
210 (3.2)
pada suatu interval yang berpusat di 0=x . Karena )(xρ memiliki )1( +n
koefisien, maka merupakan syarat pada polinom ini. Dianggap bahwa n )1( +n
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
turunan yang pertama dari f ada di 0=x dan dipilih )1( +n syarat sebagai
berikut :
)0()0(,),0()0(),0()0(),0()0( )(""' nn' ρfρfρfρf ==== L (3.3)
Persyaratan ini menuntut bahwa nilai )(xρ dan n turunan pertamanya
bersesuaian dengan nilai serta n turunan pertamanya di . Diharapkan
bahwa dan
)(xf 0=x
)(xf )(xρ hasilnya akan cukup dekat dalam suatu interval yang
berpusat di 0=x .
Karena diketahui =)(xρ nn xaxaxaxaa +++++ L3
32
210
maka . 12321
' 32)( −++++= nn xnaxaxaax Lρ
Sehingga jika diteruskan diperoleh :
, 232
" )1(2.32)( −−+++= nn xannxaax Lρ
,)2)(1(2.3)( 33
"' −−−++= nn xannnax Lρ
M
. nnn anannnx !)2)(1()()( =−−= Lρ
pada diperoleh 0=x
,)0( 0a=ρ
,
,
)0( 1' a=ρ
2)0( 2" a=ρ
,2.3)0( 3"' a=ρ
M
.!)0()(n
n an=ρ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Jadi menurut persamaan (3.3) didapat
.!)0(,,!3)0(,!2)0(,)0(,)0( )(3
'''2
"1
'0 n
n anfafafafaf ===== L
Sehingga diperoleh
),0(0 fa =
),0('1 fa =
!2
)0("
2fa = ,
,!3
)0('''3
fa =
M
.!
)0()(
nfa
n
n=
Jika nilai – nilai tersebut disubtitusikan ke persamaan (3.2), maka akan diperoleh
suatu polinom Maclaurin untuk fungsi f.
Definisi 3.1
Jika fungsi f berturunan n kali 0=x , maka polinomial Maclaurin ke-n untuk f
didefinisikan sebagai
=)(xnρn
n
xn
fxfxfxff!
)0(!3
)0(!2
)0()0()0()(
3"'
2"
' +++++ L (3.4)
Polinom tersebut bersifat bahwa nilainya dan nilai – nilai n turunan pertamanya
bersesuaian dengan nilai f (x) dan n turunan pertamanya pada . 0=x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Contoh 3.1
Tentukan polinomial Maclaurin untuk ! xe
Penyelesaian:
Andaikan = , maka )(xf xe
xn exfxfxfxf ===== )()()()( )('""' L dan
.1)0()0()0()0()0( )("'"' ====== nfffff L
Jadi didapat polinomial Maclaurin ke-n untuk adalah xe
.!
1!3
1!2
11)( 32 nn x
nxxxx +++++= Lρ
Contoh 3.2
Tentukan polinom Maclaurin untuk sin x !
Penyelesaian:
Andaikan maka , xxf sin)( = xxf cos)(' = .cos)(''',sin)(" xxfxxf −=−=
Sehingga . 1)0(,0)0(,1)0(',0)0( "'" −==== ffff
Karena , maka pola 0,1,0,-1 akan berulang – ulang jika
berturut – turut menurunkan lagi di
)(sin)()4( xfxxf ==
0=x . Oleh karena itu akan diperoleh
polinomial Maclaurin untuk sin x adalah
xxx =+= 0)(1ρ ,
,00)(2 xxx =++=ρ
,!3!3
00)(33
3xxxxx −=−++=ρ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
,!3
0!3
00)(33
4xxxxx −=+−++=ρ
,!5!3!5
0!3
00)(5353
5xxxxxxx +−=++−++=ρ
,!5!3
0!5
0!3
00)(5353
6xxxxxxx +−=+++−++=ρ
M
Jadi polinomial Maclaurin ke-n untuk sin x adalah
)!12()1(
!7!5!3)()(
12753
2212 +−++−+−==
+
++ nxxxxxxx
nn
nn Lρρ .
Jika berminat pada pendekatan polinom untuk pada suatu interval
dengan pusat
)(xf
ax = , maka idenya adalah memilih polinomial )(xρ pada
ax = sehingga nilai – nilai )(xρ dan n turunan pertamanya bersesuaian dengan
nilai – nilai dan n turunan pertamanya pada )(xf ax = . Perhitungan paling
sederhana bila pendekatan polinomial dinyatakan dalam bentuk :
(3.5) nn axcaxcaxcaxccxρ )()()()()( 3
32
210 −++−+−+−+= L
,)()(3)(2)( 12321
' −−++−+−+= nn axncaxcaxccx Lρ
,)()1()(2.32)( 232
" −−−++−+= nn axcnnaxccx Lρ
,)()2)(1(2.3)( 33
''' −−−−++= nn axcnnncx Lρ
M
.!)2)(1()()(nn
n cncnnnx =−−= Lρ
untuk ax = diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
0)( ca =ρ ,
,
,
)( 1' ca =ρ
!22)( 22'' cca ==ρ
,!32.3)( 33''' cca ==ρ
M
.!)3)(2)(1()()(nn
n cncnnnna =−−−= Lρ
Jadi, bila diinginkan nilai dari )(xρ dan n turunan pertamanya bersesuaian
dengan nilai – nilai dan n turunan pertamanya pada )(xf ax = , akan diperoleh :
),(0 afc =
),('1 afc =
,!2
)(''2
afc =
!3
)('''3
afc = ,
M
.!
)()(
nafc
n
n =
Selanjutnya jika nilai – nilai tersebut disubtitusikan ke persamaan (3.5) akan
diperoleh polinomial yang disebut polinomial Taylor ke – n untuk f di sekitar
ax = .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Definisi 3.2
Jika fungsi f berturunan n kali pada ax = , maka polinomial Taylor ke – n
disekitar ax = didefinisikan sebagai :
L+−+−+−+= 3'"
2"
' )(!3
)()(!2
)())(()()( axafaxafaxafafxρn
nn
axn
af )(!
)()(
−+ (3.6)
Contoh 3.3
Tentukan Polinom Taylor )(4 xρ untuk disekitar xe 1=x .
Penyelesaian:
Andaikan diperoleh xexf =)( xexfxfxfxf ==== )()()()( )4("'"'
dan . efffff ===== )1()1()1()1()1( )4("'"'
Jadi polinomial Taylor ke – 4 untuk disekitar xe 1=x adalah
4)4(
3"'
2"
'4 )1(
!4)1()1(
!3)1()1(
!2)1()1)(1()1()( −+−+−+−+= xfxfxfxffxρ
4324 )1(
!4)1(
!3)1(
!2)1()( −+−+−+−+= xexexexeexρ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−+−+−+= 432
4 )1(!4
1)1(!3
1)1(!2
1)1(1)( xxxxexρ .
Contoh 3.4
Tentukan polinomial Taylor )(4 xρ untuk sin x disekitar .2π
=x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Penyelesaian:
Andaikan maka diperoleh xxf sin)( =
.sin)(,cos)(,sin)(,cos)( )4("'"' xxfxxfxxfxxf =−=−== dan
.12
,02
,12
,02
)4("'"' =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ππππ ffff
Jadi polinomial Taylor ke -4 untuk sin x disekitar 2π
=x adalah
3"'
2"'
4 22!31
22!21
222)( ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
πππππππρ xfxfxffx
4
)4(
22!41
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
ππ xf
=42
2!41
2!211 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
ππ xx .
Kadang – kadang dalam mempermudah penyajian untuk menyatakan
rumus definisi polinomial Taylor dengan menggunakan notasi sigma. Untuk
melakukan hal ini digunakan notasi untuk menyatakan turunan tingkat k
dari f pada
)()( af k
ax = dan membuat penyajian tambahan bahwa menyatakan
Hal ini akan memungkinkan untuk menulis polinomial dalam bentuk :
)()0( af
).(af
nn
kkn
k
axn
afaxafaxafafaxk
af )(!
)()(!2
)())(()()(!
)( )(2
"'
)(
0
−++−+−+=−∑=
L
Karena nilai dari f dan n turunan pertamanya bersesuaian dengan nilai
polinomial Taylor dan n turunan pertama pada ax = akan menjadi lebih baik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
dalam mendekati , sekurang – kurangnya dalam suatu interval yang
berpusat di
)(xf
ax = .
B. Deret Taylor
Sebelum memulai pembahasan Teorema Taylor untuk fungsi dengan satu
dan dua variabel terlebih dahulu diberikan definisi tentang deret Taylor.
Definisi 3.3
Jika fungsi f berturunan pada semua tingkat pada ax = , maka didefinisikan
deret Taylor untuk f disekitar ax = adalah
L+−+−+=−∑=
2"
')(
0
)(!2
)())(()()(!
)( axafaxafafaxk
af kkn
k
L+−+ nn
axn
af )(!
)()(
(3.7)
Definisi 3.4
Jika fungsi f berturunan pada semua tingkat pada 0=x , maka didefinisikan
deret Taylor untuk f disekitar 0=x adalah
LL ++++++=∑=
nn
kkn
k
xn
fxfxfxffxk
f!
)0(!3
)0(!2
)0()0()0(!
)0( )(3
"'2
"'
)(
0
(3.8)
Contoh 3.5
Polinom Maclaurin ke – n untuk adalah xe
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
.!
1!3
1!2
11!
32
0
nkn
k
xn
xxxkx
+++++=∑=
L
Jadi deret Maclaurin ke – n untuk adalah xe
.!
1!3
1!2
11!
32
0
LL ++++++=∑=
nkn
k
xn
xxxkx
Contoh 3.6
Tentukan deret Taylor di sekitar 1=x untuk x
x 1=
Penyelesaian:
Andaikan x
xf 1)( = sehingga
5)4(
4"'
3"' 2.3.4)(,2.3)(,2)(,1)(
xxf
xxf
xxf
xxf =−==−= ,
!4)1(,!3)1(,!2)1(,1)1( )4("'"' =−==−= ffff
Subtitusikan kedalam (3.7) dengan 1=a akan diperoleh hasil :
L+−−−+−−=−−∑∞
=
32
1
)1()1()1(1)1()1( xxxx kk
k
Selanjutnya akan dianalisa kesalahan hasil bila suatu fungsi f didekati
dengan polinomial Taylor atau Maclaurin. Jika suatu fungsi f didekati oleh
polinomial Taylor ke – n yaitu nρ , maka kesalahan pada suatu titik x adalah
selisih ).()( xxf nρ− Selisih ini biasanya disebut sisa ke – n dan ditulis dengan
).()()( xxfxR nn ρ−=
C. Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Satu Variabel
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Berikut diberikan Teorema Taylor untuk fungsi dengan satu variabel.
Teorema 3.1 Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Satu Variabel
Jika fungsi berturunan n + 1 kali pada setiap titik dalam suatu interval
yang memuat titik a dan
)(xf
nn
n axn
afaxafaxafafx )(!
)()(!2
)())(()()()(
2"
' −++−+−+= Lρ
adalah polinomial Taylor ke – n untuk f disekitar .ax =
Maka untuk setiap x dalam interval, ada sekurang – kurangnya satu titik c antara
a dan x sedemikian hingga
1)1(
)()!1(
)()()()( ++
−+
=−= nn
nn axn
cfxxfxR ρ . (3.9)
Bukti :
Menurut hipotesis, f berturunan n + 1 kali pada setiap titik dalam interval yang
memuat titik a . Pilih suatu titik b dalam interval ini dan kita anggap
Andaikan
.ab >
)(xnρ adalah polinomial Taylor ke – n untuk f di sekitar ax = dan
didefinisikan
)()()( xxfxH nρ−= (3.10)
(3.11) 1)()( +−= naxxG
Karena f ( x ) dan )(xnρ bernilai sama dan n turunan pertama juga sama di ax = ,
maka
(3.12) 0)()()()( )("' ===== aHaHaHaH nL
1)()( +−= naxxG
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
(3.13) naxnxG )(1)(' −+=
(3.14) 0)()()()( )("' ===== aGaGaGaG nL
)(xG dan n turunan pertamanya tak nol bila ax ≠ .
Secara langsung dapat diperiksa bahwa fungsi H dan G memenuhi hipotesis dari
teorema Perluasan Nilai Tengah pada interval [ ]ba, , sehingga ada titik dalam
interval sedemikian sehingga
1c
( ba, )
)()(
)()()()(
1'
1'
cGcH
aGbGaHbH
=−− (3.15)
atau dari (3.12) dan (3.14) didapat
)()(
)()(
1'
1'
cGcH
bGbH
= (3.16)
Jika digunakan Teorema Perluasan Nilai Tengah untuk 'H dan atas
interval , maka dapat diturunkan bahwa ada suatu titik dengan
sedemikian hingga
'G
[ 1,ca ] 2c
bcca <<< 12
)()(
)()()()(
2
2
1
1
cGcH
aGcGaHcH
′′′′
=′−′′−′
atau dari (3.12) dan (3.14) didapat
)()(
)()(
2
2
1
1
cGcH
cGcH
′′′′
=′′
yang bila dikombinasikan dengan (3.16) akan menghasilkan
)()(
)()(
2
2
cGcH
bGbH
′′′′
=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Sekarang jelaslah bahwa bila diteruskan dengan cara ini dan dengan
menggunakan Teorema Perluasan Nilai Tengah dengan menurunkan berturut –
turut H dan G, akhirnya diperoleh hubungan dalam bentuk
)()(
)()(
1)1(
1)1(
++
++
=n
nn
n
cGcH
bGbH
(3.17)
di mana . bca n << +1
Akan tetapi adalah polinomial berderajat n sehingga turunan tingkat
adalah nol .
)(xρn
)1( +n
Jadi dari (3.10) didapat
. (3.18) )()( 1)1(
1)1(
++
++ = n
nn
n cfcH
Juga dari (3.11) , turunan tingkat )1( +n dari G(x) adalah konstan
sehingga )!1( +n
(3.19) )!1()( 1)1( +=+
+ ncG nn
Dengan subtitusi (3.18) dan (3.19) ke dalam (3.17) diperoleh
)!1(
)()()( 1
)1(
+= +
+
ncf
bGbH n
n
.
Dengan memisalkan dan dengan menggunakan (3.10) dan (3.11)
berlakulah bahwa
1+= ncc
1)1(
)()!1(
)()()( ++
−+
=− nn
n abn
cfbρbf
Dan ini adalah tepat (3.9) dalam Teorema Taylor dengan pengecualian bahwa
variabel disini bukan x . Jadi untuk menyelesaikannya perlu mengganti b dengan
x.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
1)1(
)()!1(
)()()()( ++
−+
=ρ−= nn
nn axn
cfxxfxR
Jika (3.9) ditulis kembali sebagai )()()( xRxxf nn += ρ maka didapat hasil
berikut yang disebut rumus Taylor dengan sisa :
nn
axn
afaxafaxafafxf )(!
)()(!2
)())(()()()(
2"
' −++−+−+= L
1)1(
)()!1(
)( ++
−+
+ nn
axn
cf (3.20)
dimana c diantara a dan x .
D. Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Dua Variabel
Teorema Taylor untuk fungsi dengan dua variabel merupakan perluasan
dari Teorema Taylor untuk fungsi dengan satu variabel.
Teorema 3.2 Teorema Taylor untuk fungsi dengan dua variabel
Jika f(x,y) adalah fungsi dengan dua variabel yang mempunyai turunan parsial
hingga pangkat ke- (n + 1) yang kontinu pada suatu kitaran yang berpusat pada
titik ( a,b) dan Polinomial Taylor ke-n untuk f disekitar titik (a,b) adalah :
⎜⎝⎛ +
∂∂
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
−+∂∂
−+= 22)(
!21),()()(),(),(
xaxbafbyaxbafyx
yxnρ
⎜⎝⎛ +
∂∂
−+⎟⎟⎠
⎞∂∂
−+∂∂∂
−−x
axn
bafy
byyx
byax )(!
1...),()())((2 2
22
),,()( bafy
byn
⎟⎟⎠
⎞∂∂
−
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
maka untuk setiap (x.y) dalam kitaran, ada sekurang – kurangnya satu titik
sedemikian hingga )( 1,1 ba
).,()()(),(),(),( 11
1
bafy
byx
axyxyxfyxRn
nn ⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞∂∂
−+∂∂
−=−=+
ρ
Bukti :
Diketahui f(x,y) adalah fungsi dengan dua variabel x dan y yang terdefinisi
Pada himpunan tertutup dan terbatas dan turunan parsial kontinu dalam
suatu kitaran yang berpusat pada titik ( a,b).
)1( +nf
Jika variabel t dikenalkan dengan bantuan relasi
ktbyhtax +=+= ,
dimana h dan k adalah konstanta, akan dihasilkan fungsi dari variabel tunggal t
yaitu ),(),()( ktbhtafyxftF ++==
Dengan bantuan definisi turunan parsial diperoleh
dtdyyxf
dtdxyxftF yx ),(),()(' +=
= ).,(),( yxkfyxhf yx +
⎢⎣
⎡⎢⎣
⎡⎥⎦⎤++⎥⎦
⎤+=dtdy
dtdyyxf
dtdxyxf
dtdx
dtdyyxf
dtdxyxftF yyxyyyxx ),(),(),(),()(''
] [ ][ kyxkfyxhfhyxkfyxhf yyxyyxxx ),(),(),(),( +++=
= ),(),(),(),( 22 yxfkyxhkfyxhkfyxfh yyxyyxxx +++
= . ),(),(2),( 22 yxfkyxhkfyxfh yyyxxx ++
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤++=
dtdx
dtydyxf
dtdy
dtdxyxf
dtxdyxftF yyxxyxxxx 2
2
2
2"' ),(),(2),()( +
⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤++=
dtdy
dtydyxf
dtdy
dtdxyxf
dtxdyxf yyyxyyxxy 2
2
2
2
),(),(2),(
= ][ +++ hyxfkyxhkfyxfh yyxxyxxxx ),(),(2),( 22
][ kyxfkyxhkfyxfh yyyxyyxxy ),(),(2),( 22 ++
= +++ ),(),(2),( 223 yxhfkyxkfhyxfh yyxxyxxxx
),(),(2),( 322 yxfkyxfhkyxkfh yyyxyyxxy ++
= ).,(),(3),(3),( 3223 yxfkyxfhkyxkfhyxfh yyyxyyxxyxxx +++
. . .
Turunan fungsi di atas dapat ditulis dalam bentuk lain yaitu :
,),()('yfk
xfhyxf
yk
xhtF
∂∂
+∂∂
≡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=
,2),()(" 2
22
2
2
22
2
yfk
yxfhk
xfhyxf
yk
xhtF
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
≡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=
,33),()( 3
33
2
32
2
32
3
33
3"'
yfk
yxfhk
yxfkh
xfhyxf
yk
xhtF
∂∂
+∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
≡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=
. . .
),,()()( yxfy
kx
htFn
n⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=
,11
111
1 n
nn
n
nnn
nn
nnn
n
nn
yfk
yxfhkC
yxfkhC
xfh
∂∂
+∂∂∂
++∂∂
∂+
∂∂
≡−
−−−
− L
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
),()(1
)1( yxfy
kx
htFn
n+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=
.1
11
11
1
11
11
11
+
++
++
++
+
++
∂∂
+∂∂∂
++∂∂
∂+
∂∂
≡ n
nn
n
nnn
n
nnn
n
nn
yfk
yxhkC
yxfkhC
xfh L
Dapat digunakan rumus Maclaurin untuk fungsi F(t) dan menghasilkan
1)1()(
3"'
2"
'
)!1()(
!)0(
!3)0(
!2)0()0()0()( +
+
+++++++= n
nn
n
tn
tFtn
FtFtFtFFtF θL
(3.21)
dimana .10 <<θ
Ambil t = 1, maka diperoleh :
)!1()(
!)0(
!3)0(
!2)0()0()0()1(
)1()("'"'
+θ
++++++=+
nF
nFFFFFF
nn
L (3.22)
tetapi ).,()1( kbhafF ++=
Jika t = 1 maka ax = dan by = sehingga diperoleh
),()0( bafF =
),()0(' bafy
kx
hF ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=
),(),(2),()0( 22"' bafkbahkfbafhF yyxyxx ++=
).,(),(22
2
22
2
2
22 baf
yk
xhbaf
yk
yxhk
xh ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂∂
+∂∂
=
),,(),(3),(3),()0( 3223"' bafkbafhkbakfhbafhF yyyxyyxxyxxx +++=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
),,(
),(33
3
3
33
2
32
2
32
3
33
bafy
kx
h
bafy
kyx
hkyx
khx
h
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
=
M
).,()(1
)1( kbhafy
kx
hFn
n θθθ ++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=+
+
Dari (3.22) diperoleh
⎟⎟⎠
⎞∂∂
+∂∂∂
+⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+=++ 2
22
2
2
22 2
!21),(),(),(
yk
yxhk
xhbaf
yk
xhbafkbhaf
),()!1(
1),(!
11
kbhafy
kx
hn
bafy
kx
hn
nn
θθ ++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+++
L
(3.23)
dimana .10 <<θ
Persamaan (3.23) merupakan fungsi ),(),(),( yxRyxyxf nn += ρ di sekitar titik
(a,b) dengan mengganti hax += , kby += dan haa θ+=1 , kbb θ+=1 di
mana ),( kbha θθ ++ dalam suatu kitaran yang berpusat pada titik (a,b) dan
.10 <<θ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
PENGGUNAAN TEOREMA TAYLOR
UNTUK MENENTUKAN EKSTREM SUATU FUNGSI
A. Penyelesaian Ekstrem Fungsi untuk Kasus 0)( =′′ cf
Misalkan adalah fungsi satu variabel yang mempunyai turunan
pertama sampai dengan turunan ke – n yang bernilai nol di titik kritis c, dan
kontinu di c dengan , maka dapat diuraikan menjadi
deret Taylor dengan sisa di sekitar titik
)(xf
)()1( xf n+ 0)()1( ≠+ cf n )(xf
cx = , yaitu :
)()!1(
)()( 1(1
θhcfnhcfhcf n
n
++
=−+ ++
untuk suatu biangan θ dengan 10 << θ . Berdasarkan sifat kekontinuan, maka
tanda sama dengan tanda . )()1( θhcf n ++ )()1( cf n+
Apabilai n gasal maka:
a. mencapai maksimum di c jika )(xf 0)()1( <+ cf n
b. mencapai minimum di c jika )(xf 0)()1( >+ cf n
Apabilai n genap maka tidak terjadi ekstrem di c.
Contoh 4.1
Periksa apakah fungsi mempunyai nilai ekstrem atau tidak. 32)( xxf =
Penyelesaian:
Turunan-turunan fungsi di titik kritis 32)( xxf = 0=x adalah:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
26)( xxf =′
0)0( =′f
xxf 12)( =′′
0)0( =′′f
Karena , maka selanjutnya memeriksa turunan ketiga dari fungsi
di titik kritis
0)0( =′′f
32)( xxf = 0=x , dan didapat
12)( =′′′ xf
012)0( ≠=′′′f
Kemudian digunakan rumus Taylor dengan sisa di sekitar , yaitu: )(3 xR 0=x
)0()!12(
)0()0( )12(12
θhfhfhf ++
=−+ ++
atau )(!3
)0()(3
θhfhfhf ′′′=− di mana
di dalam interval . θh )( δ,δ−
Karena n genap dan maka tanda dari 0)()( =cf n )(!3
)0()(3
θhfhfhf ′′′=−
berubah, yaitu:
• Jika maka untuk setiap 0<h hx = di dalam interval berlaku )0( δ,−
0)0()( <− fhf .
• Jika maka untuk setiap 0>h hx = di dalam interval berlaku )0( ,δ
0)0()( >− fhf .
Karena tanda dari )(!3
)0()(3
θhfhfhf ′′′=− berubah-ubah, maka bukan
merupakan nilai ekstrem. Jadi fungsi tidak memiliki nilai ekstrem.
)0(f
32)( xxf =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Contoh 4.2
Periksa apakah fungsi mempunyai nilai ekstrem atau tidak. 4)( xxf =
Penyelesaian:
Turunan-turunan fungsi di titik kritis 4)( xxf = 0=x adalah:
34)( xxf =′
0)0( =′f
212)( xxf =′′
0)0( =′′f
xxf 24)( =′′′
0)0( =′′′f
24)()4( =xf
024)0()4( ≠=f
Karena diperoleh 0)0()()( =′′′=′′=′ fcfcf dan , maka digunakan
rumus Taylor dengan sisa di sekitar
0)0()4( ≠f
)(4 xR 0=x , yaitu:
)0()!13(
)0()0( )13(13
θhfhfhf ++
=−+ ++
)(!4
)0()( )4(4
θhfhfhf =− di mana di dalam interval θh ),( δδ− .
Tanda dari akan sama dengan tanda dari . Karena
, maka untuk setiap
)0()( fhf − )()4( θhf
0)()4( >θhf hx = di dalam interval berlaku
. Jadi fungsi memiliki nilai ekstrem minimum.
),( δδ−
0)0()( >− fhf 4)( xxf =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
B. Penyelesaian Ekstrem Fungsi untuk Kasus 0),( =baH
Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang bagaimana menentukan nilai
maksimum atau minimum dari fungsi dengan menggunakan uji turunan
kedua. Namun apabila nilai , maka belum
dapat disimpulkan tentang nilai ekstrem fungsi .
),( yxf
0),(),().,( 2 =−= bafbafbafH xxyyxx
),( yxf
Untuk fungsi dua variabel jika semua turunan parsialnya mulai
order pertama sampai dengan order ke – n bernilai nol di titik (a,b), maka
),( yxf
),(),(),( 1 θkbθhaRbafkbhaf n ++=−++ +
untuk suatu bilangan θ dengan 10 << θ dan
),()!1(
1),(1
1 yxfy
kx
hn
yxRn
n
+
+ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+= .
Secara teoritis ada atau tidak adanya nilai ekstrem di titik (a,b) dapat diperiksa
apabila untuk nilai-nilai h dan k cukup kecil dan tanda dari
),(1 θkbθhaRn +++ tetap atau tidak tetap. Dalam praktek tidak mudah untuk
mengadakan penyelidikan pada keadaan ),(1 θkbθhaRn +++ untuk . 1>n
Dalam skripsi ini hanya dibahas untuk keadaan 1=n , yaitu untuk:
[ ] ),(2!2
1),( 222 θkbθhafkhkffhθkbθhaR yyxyxx ++++=++
dengan tidak semuanya bernilai nol di titik (a,b). Dalam hal ini
tanda dari ditentukan oleh tanda dari , karena pada
pembahasan ini diasumsikan bahwa kontinu di titik (a,b).
yyxyxx fff dan,
),(2 θkbθhaR ++ ),(2 baR
),(2 yxR
Jika , maka : ),(),(),(),( 2 bafbafbafbaH xyyyxx −=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
i. Jika dan terjadi minimum di (a,b) 0),( >baH 0),( >baf xx
ii. Jika dan 0),( >baH 0),( <baf xx terjadi maksimum di (a,b)
iii. Jika 0),( <baH tidak terjadi ekstrem di (a,b)
iv. Jika 0),( =baH belum ada keputusan, mungkin terjadi atau
mungkin tidak terjadi ekstrem di (a,b).
Contoh 4.3
Tunjukkan bahwa fungsi mempunyai nilai minimum pada
titik (0,0) di mana .
4224),( yyxxyxf +−=
02 =− xyyyxx fff
Penyelesaian :
Langkah pertama, mencari titik stasioner dari fungsi .
Titik stasioner fungsi di atas didapat dengan menyelesaikan persamaan-persamaan
dan dan diperoleh titik
(0,0) sebagai titik stasionernya. Kemudian turunan-turunan parsial dari fungsi
di titik stasioner (0,0) adalah :
4224),( yyxxyxf +−=
024),( 23 =−= xyxyxf x 042),( 32 =+−= yyxyxf y
4224),( yyxxyxf +−=
23 24),( xyxyxf x −= , 0)0,0( =xf
32 42),( yyxyxf y +−= , 0)0,0( =yf
22 212),( yxyxf xx −= , 0)0,0( =xxf
22 122),( yxyxf yy +−= , 0)0,0( =yyf
xyyxf xy 4),( −= , 0)0,0( =xyf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
Kemudian digunakan turunan ketiga dan rumus Taylor dengan sisa suku ketiga
untuk menentukan jenis ekstrem fungsi , yaitu : 4224),( yyxxyxf +−=
xyxf xxx 24),( =
yyxf yyy 24),( =
yyxf xxy 4),( −=
xyxf xyy 4),( −=
32
22
2
22 )0,0(2
!21)0,0()0,0(),( Rf
yk
yxhk
xhf
yk
xhfkhf +⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂∂
+∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
=−
di mana
10,),(3361
3
33
2
32
2
32
3
33
3 <<⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
= θθkθhfy
kyx
hkyx
khx
hR
),(3361)0,0(),( 3
33
2
32
2
32
3
33 θkθhf
yk
yxhk
yxkh
xhfkhf ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
=−
( ))24()4(3)4(3)24(61 3223 θkkθhhkθkkhθhh +−+−+=
)24121224(61 422224 θkkθhkθhθh +−−=
222224 )(4 khkhhθ +−=
0)(4 222224 >+− khkhhθ , untuk setiap (h, k) di dalam kitaran titik (0,0).
Ini berarti bahwa bernilai positif untuk setiap (h, k) di dalam
kitaran titik (0,0). Jadi mempunyai nilai minimum pada titik (0,0) dengan
nilai minimumnya adalah nol.
)0,0(),( fkhf −
),( yxf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Contoh 4.4
Tunjukkan bahwa fungsi tidak mempunyai nilai ekstrem pada
(0,0) di mana .
44),( yxyxf −=
0. 2 =− xyyyxx fff
Penyelesaian:
Seperti langkah pada contoh sebelumnya, titik stasioner fungsi
diperoleh dengan menyelesaikan persamaan-persamaan dan
dan diperoleh titik (0,0) sebagai titik stasionernya. Kemudian
turunan-turunan parsial fungsi pada titik stasioner (0,0) adalah:
44),( yxyxf −=
04),( 3 == xyxf x
04),( 3 =−= yyxf y
44),( yxyxf −=
34),( xyxf x = , 0)0,0( =xf
34),( yyxf y −= , 0)0,0( =yf
212),( xyxf xx = , 0)0,0( =xxf
212),( yyxf yy −= , 0)0,0( =yyf
0),( =yxf xy , 0)0,0( =xyf
dan akan diperoleh . Kemudian digunakan turunan parsial ketiga
dan rumus Taylor dengan sisa suku ketiga untuk menentukan ada tidaknya nilai
ekstrem dari fungsi , yaitu:
0. 2 =− xyyyxx fff
44),( yxyxf −=
xyxf xxx 24),( =
0),( =yxf xxy
0),( =yxf xyy
yyxf yyy 24),( −=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
32
22
2
2
22 )0,0(2
21)0,0()0,0(),( Rf
yk
yxhk
xhf
yk
xhfkhf +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=−
di mana
10,),(3361
3
33
2
32
2
32
3
33
3 <<⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
= θθkθhfy
kyx
hkyx
khx
hR
),(3361)0,0(),( 3
33
2
32
2
32
3
33 θkθhf
yk
yxhk
yxkh
xhfkhf ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
=−
( ))24()0(3)0(3)24(61 3223 θkkhkkhθhh −+++=
( ) ( ) ( )( )22224444 44242461 khkhθkhθθkθh +−=−=−=
Nilai akan lebih besar atau lebih kecil dari tergantung dari h dan k
yang diberikan. Karena memberikan tanda yang berbeda untuk setiap yang
diberikan, maka bukan merupakan nilai ekstrem dan titik stasioner (0,0)
bukan merupakan titik ekstrem.
),( khf )0,0(f
),( kh
)0,0(f
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V
PENUTUP
Teorema Taylor dapat digunakan dalam penyelidikan nilai ekstrem untuk
fungsi dari satu dan dua variabel. Jika fungsi satu variabel mempunyai turunan
pertama sampai dengan turunan ke – n yang bernilai nol di titik c, dan
kontinu di c dengan maka dapat diuraikan menjadi deret Taylor
dengan sisa di sekitar titik
)(xf
)()1( xf n+
0)()1( ≠+ cf n )(xf
cx = , yaitu:
)()!1(
)()( 1(1
θhcfnhcfhcf n
n
++
=−+ ++
untuk suatu bilangan θ dengan 10 << θ .
Berdasarkan sifat kekontinuan, maka tanda akan sama dengan tanda
.
)(1( θhcf n ++
)(1( cf n+
Apabilai n gasal maka:
a. mencapai maksimum di c jika )(xf 0)()1( <+ cf n
b. mencapai minimum di c jika )(xf 0)()1( >+ cf n
Apabilai n genap maka tidak terjadi ekstrem di c.
Untuk fungsi dua variabel jika semua turunan parsialnya mulai order
pertama sampai dengan order ke – n bernilai nol di titik (a,b), maka
),( yxf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
),(),(),( 1 θkbθhaRbafkbhaf n ++=−++ +
untuk suatu bilangan θ dengan 10 << θ dan
),()!1(
1),(1
1 yxfy
kx
hn
yxRn
n
+
+ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+= .
Secara teoritis ada atau tidak adanya nilai ekstrem di titik (a,b) dapat diperiksa
apabila untuk nilai-nilai h dan k cukup kecil dan tanda dari ),(1 θkbθhaRn +++
tetap atau tidak tetap. Dalam praktek tidak mudah untuk mengadakan penyelidikan
pada keadaan ),(1 θkbθhaRn +++ untuk . 1>n
Dalam skripsi ini hanya dibahas untuk keadaan 1=n , yaitu untuk:
[ ] ),(2!2
1),( 222 θkbθhafkhkffhθkbθhaR yyxyxx ++++=++
dengan tidak semuanya bernilai nol di titik (a,b). Dalam hal ini tanda
dari ditentukan oleh tanda dari , karena pada pembahasan
ini diasumsikan bahwa kontinu di titik (a,b).
yyxyxx fff dan,
),(2 θkbθhaR ++ ),(2 baR
),(2 yxR
Jika , maka : ),(),(),(),( 2 bafbafbafbaH xyyyxx −=
i. Jika dan terjadi minimum di (a,b) 0),( >baH 0),( >baf xx
ii. Jika dan 0),( >baH 0),( <baf xx terjadi maksimum di (a,b)
iii. Jika 0),( <baH tidak terjadi ekstrem di (a,b)
iv. Jika 0),( =baH belum ada keputusan, mungkin terjadi atau mungkin
tidak terjadi ekstrem di (a,b).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
DAFTAR PUSTAKA
N. Piskunov. 1969. Differential and Integral Calculus. Moscow : Mir Publishers. Dale Varberg, Edwin J. Purcell. 1997. Calculus. Mexico : Prentice Hall. Martono, K. 1987. Kalkulus. Bandung : Alva Gracia. Louis Lithold. 1986. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik. Jakarta : P.T. Bina Aksara. Tutoyo, A, M.Sc, Kalkulus I, II dan IV (disadur dari Calculus with Analytic
Geometri, Howard Anton). Yogyakarta : Universitas Sanata Dharma.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI