Probabilita

MMoodduull DDiikkllaatt FFuunnggssiioonnaall SSttaattiissttiissii TTiinnggkkaatt AAhhllii

PPRROOBBAABBIILLIITTAA

P r o b a b i l i t a | i

Modul Diklat Fungsional Statistisi Tingkat Ahli Badan Pusat Statistik

DDAAFFTTAARR IISSII DAFTAR ISI ............................................................................................................ i

DAFTAR GAMBAR ............................................................................................. iii

Tujuan Pembelajaran ................................................................................................ v Tujuan Pembelajaran Umum.............................................................................. v Tujuan Pembelajaran Khusus ............................................................................. v

Bab I Pengantar Probabilita .................................................................................... 1 1.1 Pengertian Istilah .......................................................................................... 1 1.2 Ketentuan Umum Probabilita ....................................................................... 4 1.3 Teori Himpunan/Set .........................................................................7

Bab II Permutasi dan Kombinasi ........................................................................... 14 2.1 Prinsip Perkalian ........................................................................................ 14 2.2 Permutasi (P) .............................................................................................. 15 2.3 Kombinasi (C) ............................................................................................ 17

Bab III Probabilita Bersyarat ................................................................................. 22 3.1 Kejadian Bebas ........................................................................................... 23 3.2 Kejadian Tidak Bebas ................................................................................ 25

Bab IV Distribusi Probabilita ................................................................................. 31 4.1 Variabel Random Diskrit ........................................................................... 32 4.2 Variabel Random Kontinu ......................................................................... 34 4.3 Distribusi Kumulatif F(x) ........................................................................... 37

Bab V Distribusi Teoritis ....................................................................................... 27 5.1 Distribusi Binomial .................................................................................... 27 5.2 Distribusi Normal ....................................................................................... 30

Bab VI Nilai Harapan............................................................................................ 42 6.1 Rata-rata Peubah Acak .............................................................................. 42 6.2 Varian ......................................................................................................... 45

Soal dan Pembahasan ............................................................................................. 54 Latihan .............................................................................................................. 55 Jawaban ............................................................................................................ 59

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ 81

Lampiran 1 ....................................................................................................... ......83

P r o b a b i l i t a | iii


DDAAFFTTAARR GGAAMMBBAARR

Gambar 1. Diagram Venn Gabungan ....................................................................... 8

Gambar 2. Diagram Venn Irisan .............................................................................. 8

Gambar 3. Diagram Venn Komplemen ................................................................... 9

Gambar 4. Diagram Venn Himpunan Bagian .......................................................... 9

Gambar 5. Diagram Batang Distribusi Probabilita ................................................ 17

Gambar 6. P( a < X < b) ......................................................................................... 20

Gambar 7. Luas Kurva Normal .............................................................................. 31

Gambar 8. Luas Kurva Normal Standar ................................................................. 31

Gambar 9. Luas P(0 < Z < 1,34) ............................................................................ 32

Gambar 10.Luas P(-1,34 < Z < 1,34) ..................................................................... 33

Gambar 11.Luas P(Z > 1,34) ................................................................................. 33

Gambar 12.Luas P(1,5 < Z < 2,5) .......................................................................... 33

Gambar 13.Luas P(-1,5 < Z < 0,5) ......................................................................... 34

iv | P r o b a b i l i t a


P r o b a b i l i t a | v


TTuujjuuaann PPeemmbbeellaajjaarraann

Tujuan Pembelajaran Umum Setelah mempelajari modul ini diharapkan anda dapat menjelaskan konsep dan penghitungan probabilita secara sederhana. Materi yang akan dibahas meliputi definisi probabilita, ruang sampel, peristiwa, teori himpunan, probabilita sebagai suatu peristiwa, penghitungan probabilita kombinasi/permutasi, dan distribusi probabilita.

Tujuan Pembelajaran Khusus Setelah mempelajari modul ini diharapkan dapat memahami:

1. Definisi probabilita, ruang sampel, peristiwa, 2. Teori himpunan, 3. Distribusi Probabilita, 4. Penghitungan probabilita kombinasi/permutasi, dan 5. Distribusi Teoritis.

P r o b a b i l i t a | 1


BBaabb II PPeennggaannttaarr PPrroobbaabbiilliittaa

Dalam modul ini kita akan pelajari teori probabilita yang merupakan dasar berpikir dalam statistik inferensia.Teori probabilita termasuk dalam bidang eksakta (matematik) dan bersifat sangat teoritis. Materi ini cukup sukar, karena itu kita harus benar-benar menekuninya.

Materi ini membantu melihat dan menilai karakteristik pokok sekumpulan data serta melakukan analisis agar dapat menyerap informasi yang terkandung didalam sampel data dan mengambil kesimpulan terhadap populasi yang merupakan asal-usul sampel tersebut. Dasar logika dalam proses pengambilan kesimpulan/inferensia statistik tentang suatu populasi dengan analisis data sampel adalah teori probabilitas.

Modul ini memuat konsep dasar probabilita yang akan sangat berguna untuk mempelajari metode statistikinferensia dalam statistik lanjutan (modul-modul lanjutan).

1.1 Pengertian Istilah

Probabilita berasal dari bahasa Inggris yakni probability yang artinya probabilita/kemungkinan. Sebagai contoh, "probabilita saya dalam mendapatkan barang cacat dari suatu kotak adalahkecil"; "tidak ada probabilita untuk mendapat hadiah undian", dan sebagainya. Dalam materi ini akan diuraikan pengertian probabilita dan beberapa cara menghitung probabilita.

Probabilita adalah harapan terjadinya suatu kejadian yang dikuantitatifkan.Probabilita berhubungan dengan kesempatan atau kemungkinan.Nilainya antara 0 dan 1.Misalnya, probabilita yang rendah menunjukkan kemungkinannya kecil bahwa peristiwa itu akan terjadi. Probabilita yang besar artinya kesempatan atau kemungkinan terjadinya besar. Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 1 adalah kejadian yang pasti terjadi atau sesuatu yang telah terjadi. Sedangkan suatu kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 0 adalah kejadian yang mustahil atau tidak mungkin terjadi. Konsep probabilita berhubungan dengan pengertian bahwa terjadinya suatu peristiwa acak.

Secara definisi probabilita dibagi menjadi tiga bagian:

2 | P r o b a b i l i t a


Definisi Klasik

Probabilita dapat ditentukan sebelum percobaan dilakukan. Jika suatu percobaan mempunyai k hasil percobaan yang berbeda dan masing-masing mempunyai kemungkinan yang sama untuk terjadi maka:

Probabilita masing-masing kejadian tersebut adalah 1/k Probabilita kejadian E = P(E) = m/k dimana m adalah

hasil percobaan yang menyusun kejadian tersebut. Definisi Modern/Frekuensi Relatif

Probabilita kejadian E = P(E) = n

Limn

ne dimana ne = jumlah

kejadian E dalam percobaan. Definisi Subjektif

Probabilita yang disampaikan oleh para pakar (experts).

Dari definisi ini jelas bahwa yang dihitung probabilitanya adalah kejadian yang terjadinya secara acak atau kebetulan. Simbol untuk probabilita biasanya P, sedangkan simbol untuk kejadian adalah huruf besar lain seperti A, B, C, dsb.

Jadi P(A) berarti besarnya probabilita bahwa peristiwa A akan terjadi. Eksperimen/percobaan adalah suatu proses untuk memperoleh hasil pengamatan dari suatu fenomena. Pengertian ini umum, bisa untuk eksperimen saintifik (biologi, kimia, dsb.) atau permainan probabilita (judi dsb.). Dalam statistik yang dibahas adalah eksperimen acak dan hasilnya hasilnya tidak pasti. Contoh: Pelemparan sebuah mata uang logam untuk memperoleh muka apa yang muncul: M=Muka (gambar) atau B=Belakang (bukan gambar/angka).

Ruang Sampel adalah himpunan seluruh kemungkinanhasil dari suatu eksperimen (himpunan yang dapat beranggotakan 0 hingga tak berhingga). Simbol ruang sampel: S. Sebagaimana dalam himpunan, ruang sampel dapat beranggota tertentu (countably) atau tak terbatas (uncountably). Ruang sampel dapat memiliki outcome-outcome berharga diskret atau kontinu. Contoh: Eksperimen : melantunkan sebuah dadu. Bila yang diselidiki adalah nomor yang muncul di sebelah atas maka ruang sampelnya : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.



Ingat:hanya satu dari seluruh kemungkinan hasil dalam ruang sampel yang benar-benar terjadi dalam suatu eksperimen.

Hasil(outcome) adalah suatu hasil dari sebuah percobaan.

Kejadian/peristiwa(event) adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian dapat dibedakan menjadi 2 macam yaitu kejadian sederhana dan kejadian majemuk/komposit. Kejadian sederhana adalah kejadian yang hanya memuat satu titik contoh. Kejadian Majemuk adalah kejadian yang memuat lebih dari satu titik contoh.

Contoh: Bila diketahui ruang sampel S = {t | t 0}, disini t menyatakan usia dalam tahun suatu komponen mesin tertentu, maka kejadian A bahwa komponen akan rusak sebelum akhir tahun kelima adalah A = { t | 0 t< 5}

Titik sampel adalah elemen suatu ruang sampel.

Contoh 1: Eksperimen: Pelambungan uang logam 2 kali, S = {MM, MB, BM, BB}. Sekarang definisikan 3 peristiwa sbb.: X = peristiwa mendapatkan 1 M (gambar) --->X = {MB, BM} Y = peristiwa mendapatkan 2 M (gambar) --->Y = {MM} Z = peristiwa mendapatkan paling sedikit 1B -->Z= {BM,MB,BB} X mengandung 2 hasil yang berbeda: - MB mendapat gambar pada lambungan I dan bukan gambar atau

angka pada lambungan II. - BM mendapat bukan gambar atau angka pada lambungan I dan

gambar pada lambungan II.

Contoh 2: Percobaan/kegiatan Pertandingan sepak bola Persija vs PSIS di

Stadion Senayan pada tanggal 15 November 2010

Kemungkinan hasil Persija menang Persija kalah Seri -> Persija tidak kalah dan tidak menang

Peristiwa Persija menang

Kejadian elementer adalah kejadian yang hanya mengandung satu hasil/titik sampel. Jadi kejadian Y pada contoh pelambungan 1 mata uang logam adalah kejadian elementer. Contoh: Suatu kotak berisi 1 gundu merah (M), 1 gundu hijau (H), dan 1 gundu kuning (K). Dua gundu diambil secara acak. Ruang sampel S = { MH, MK, HK }; A = peristiwa mendapatkan 1 M dan 1 H,jadi A = { MH }.



Kejadian yang Saling Meniadakanatau terpisah Kejadian X dan Y disebut dua kejadian disebut saling meniadakan bila X dan Y tidak mungkin terjadi bersama-sama. Dengan kata lain jika X terjadi maka Y tidak dapat terjadi. Dalam pengertian himpunan, anggota X dan Y tidak ada yang sama, yaitu XY=. Contoh 1: Dalam ekperimen pelambungan satu uang logam 2 kali; X = peristiwa mendapatkan 1 M (gambar) --->X = {MB, BM}. Y = peristiwa mendapatkan 2 M --->Y = {MM}. X danY kejadian yang saling meniadakan karena bilaX terjadi maka Y tidak mungkin terjadi. Perhatian: setiap anggota ruang sampel merupakan peristiwa elementer yang saling meniadakan.

Contoh 2: Di suatu hotel memiliki program televisi yang tersedia melalui 8 saluran, lima diantaranya dari jaringan swasta, dua jaringan TVRI, dan satu dari CNN.Misalkan seorang tamu hotel menghidupkan televisi tanpa terlebih dahulu memilih saluran. Misalkan A kejadian bahwa programnya berasal dari TVRI dan B kejadian bahwa programnya dari CNN. Karena program televisi tidak mungkin berasal dari lebih dari satu jaringan maka kejadia A dan B tidak mempunyai program yang sama. Karena itu irisan AB tidak mengandung program, jadi kejadian A dan B terpisah.

Kejadian Bebas Kejadian A dikatakan bebas dari peristiwa B jika terjadinya B tidak mempengaruhi probabilita terjadinya A, dan sebaliknya.

Kejadian Tak Bebas Apabila terjadinya peristiwa A mempengaruhi probabilita terjadinya kejadian B maka A dan B disebut kejadian tak bebas.

Perhatian: Dua kejadianA dan Bbebasjika dan hanya jika P(A|B) = P(A) dan P(B|A) = P(B). Jika tidak demikian A dan Btak bebas.

1.2 Ketentuan Umum Probabilita

0



P(S) = 1 Artinya bila suatu ruang sampel S dianggap suatu kejadian, maka S pasti terjadi. Hal tersebut dikarenakanS memuat semua kemungkinan hasil dari suatu eksperimen. Misal kita lambungkan 1 uang logam 1 kali, diperoleh S={M, B}. S = kejadian mendapatkan gambar (M) atau bukan gambar (B), yaitu seluruh kemungkinan hasil.

P(A) = 1 -P(Ac) Ac adalah komplemen dari peristiwa A.

A Ac = A + A' = S

A | Ac A dan Ac peristiwa yang saling lepas. Sifat ini sangat berguna khususnya bila peristiwa A kompleks tapi Ac lebih mudah untuk dianalisis.

Jadi misalkan P(Ac) = 0,8 maka P(A) = 1 - 0,8 = 0,2.

P(A B) = P(A) + P(B) -P(A n B) Rumus ini sejalan dengan ketentuan himpunan gabungan. Sebagai

ilustrasi bila P(A) = 0,7; P(B) = 0,4; P(A B) = 0,3, maka

P(A B) = 0,7 + 0,4 - 0,3 = 0,8.

-BilaA dan B peristiwa yang saling meniadakan maka P(A B) = P(A) + P(B), karena P(A B) = 0.

-Bila 3 kejadian A, B, dan C saling meniadakan maka P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C).

Bila A dan B kejadian bebas, maka P(A B) = P(A) x P(B)

Secara umum kalau A1, A2, ..., Ak saling bebas maka

P(A1 A2 ... Ak) = P(A1)P(A2) ...P(Ak)

Contoh 1 :

A=kejadian Reni akan melahirkan bayi laki-laki,



B=kejadian Siti akan melahirkan bayi laki-laki, AB=kejadian Reni dan Siti akan melahirkan bayi laki-laki. A dan B kejadian bebas.

Jadi bila diketahui P(A) = P(B) = 0,5 maka P(AB) = P(A) x P(B) = 0,5 x 0,5 = 0,25.

Contoh 2 : Peluang seorang mahasiswa lulus matematika 2/3 dan peluangnya lulus biologi 4/9. Bila peluang lulus kedua pelajaran 1/4. Berapakah peluang mahasiswa lulus paling sedikit satu pelajaran? Penyelesaian:

Bila M menyatakan kejadian lulus matematika dan B Lulus Biologi maka

23

49

14

3136

Jadi, peluang mahasiswa lulus paling sedikit satu pelajaran adalah 31/36

Contoh 3 : Berikut adalah peluang seorang KSK dalam menyelesaikan wawancara terhadap responden pada setiap hari kerja,

Jumlah Responden 3 4 5 6 7 >8

Peluang 0.12 0.19 0.28 0.24 0.10 0.07

Berapakah peluang bahwa dia akan menyelesaikan wawancara paling sedikit 5 responden pada hari kerja berikutnya? Penyelesaian:

Misalkan E kejadian bahwa paling sedikit 5 responden yang dapat diwawancarai. Dan Ec adalah kejadian bahwa kurang dari 5 responden yang dapat diwawancarai. Maka 0.12 0.19 0.31, karena 1 . Maka 1 0.31 0.69



1.3Teori Himpunan/Set

Himpunan (set) adalah sekumpulan objek yang didefinisikan secara jelas, memenuhi kriteria tertentu. Objek dalam suatu himpunan disebut anggota/elemen dari himpunan tersebut. Nama suatu himpunan ditulis dengan huruf besar, misalnya

A = himpunan bilangan bulat antara 3 sampai 9;

B = himpunan mantri statistik se Kalimantan Tengah.

Ada 2 cara untuk menggambarkan objek apa yang dikandung suatu himpunan seperti berikut ini.

Menuliskan semua anggota himpunan di antara tanda kurung kurawal, { }. Misal A = { 1,2,3 }, suatu himpunan yang terdiri dari bilangan bulat 1,2,3.

Memakai huruf kecil sebagai simbol anggota himpunan dan diuraikan syarat/kondisinya. Jadi A = {1,2,3} dapat ditulis sebagai: A = { x | x bilangan bulat dan 1 < x < 3 }.

Himpunan Semesta, disimbolkan S, adalah himpunan yang memuat semua anggota yang memenuhi syarat yang ditetapkan. Himpunan semesta dalam teori probabilita disebut ruang sampel, yaitu memuat seluruh kemungkinan hasil dari suatu percobaan.

Himpunan Bagian adalah suatu himpunan yang memuat sebagian darianggota himpunan semesta. Dalam kaitan probabilita suatu himpunan bagian merupakan suatu kejadian dari ruang sampel.

Contoh1 :

Himpunan semesta: S = {1,2,3,4,5,6} A himpunan bagian dari S yang berisi bilangan ganjil: makaA = {1,3,5}.

Contoh 2 :

Diketahui himpunan semesta: !"!#!$"#"!%&. Jika P adalah himpunan bagian dari S yang berisi Provinsi di Jawa. Maka P adalah? Penyelesaian:

%"'", )%*%%%', +,$)%-%'%, )%*%."/%, +$0, )%*%.!1&



Himpunan Gabungan dan Irisan

Dua atau lebih himpunan dapat dikombinasikan menjadi satu himpunan baru dengan beberapa cara.

Irisan/interseksi dari A dan B, ditulis AB, adalah himpunan semua elemen yang ada di A dan juga ada di B.

Gabungan/union dari A dan B, AB, suatu himpunan yang beranggotakan elemen Aatau elemen B, termasuk elemen yang ada di A dan di B bila ada.

Komplemen dari A, ditulis Ac, adalah himpunan semua elemen yang bukan di A. Dengan kata lain anggota Ac adalah seluruh anggota himpunan semesta kecuali anggota A.

Himpunan bagian ( ), misalnya Ahimpunan bagian dari B maka dapat dilambangkan A B.

Contoh:

S = {1,2,3,4,5,6}, himpunan semesta.

A = {1,2,3,4}, B = {2,4,6}, makaAB = {2,4}, AB = {1,2,4,6}, Ac = {5,6}. Operasi irisan, gabungan, dan komplemen tersebut dapat digambarkan dalam diagram Venn seperti berikut.

a. Union/gabungan (A B)

Gambar 1. Diagram Venn Gabungan

b. Irisan (A B)

Gambar 2. Diagram Venn Irisan

S S A

B A B

S S S A

B A B

S

A B



c. KomplemenA ( Ac)

Gambar 3. Diagram Venn Komplemen

d. Himpunan bagian (A B)

Gambar 4. Diagram Venn Himpunan Bagian

Contoh 3 : Bila

.

Carilah

Penyelesaian:

S

B A



Soal Latihan 1. Tuliskan anggota tiap ruang sampel berikut:

a. Himpunan bilangan bulat antara 1 dan 50 yang habis dibagi 8 b. Himpunan . 2|24"%&

2. Dua juri dipilih dari 4 calon pada suatu perlombaan. Dengan menggunan lambang C1 C3, misalnya untuk menyatakan kejadian sederhana bahwa calon 1 dan 3 yang terpilih, tuliskan ke 6 unsur ruang sampel t?

3. Buatlah diagran Venn yang menggambarkan kemungkinan irisan dan gabungan kejadian berikut terhadap ruang sampel T yang terdiri atas semua pegawai BPS:

B: Pegawai BPS S: Pegawai BPS fungsional statistisi

P: Pegawai BPS fungsional Prakom

4. Seorang pengusaha memutuskan menanam sejumlah besar uang dalam real estate. Empat daerah Sumatera Utara, Jawa Barat, Bali, dan Lombok, dipertimbangkan untuk pembuatan hotel, motel, dan kondominium, semuanya akan terletak di pantai atau pegunungan. Buatlah diagram pohon yang menunjukkan ke 24 unsur ruang sampel.

Untuk pertanyaan no. 5-7 Bila . 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9&dan 8 0,2,4,6,8&, 1,3,5,7,9&, 9 2,3,4,5&, dan + 1,6,7&. Tuliskan anggota himpunan yang berkaitan dengan kejadian:

5. 8 9 6. C 7. . 9



Untuk pertanyaan nomor 8-10

Bila 2|0 ; 2 ; 12&, 2|1 ; 2 ; 9&, #%"< 2|0 ; 2 ; 5&, maka carilah:

8. < 9. < 10.



Penyelesaian: 1. a. 8, 16, 24, 32, 40, 48&

b. 81!-%, 8!%, 8>!-%, 8'%!%, %& 2. . 9?9@, 9?9A, 9?9B, 9@9A, 9@9B, 9A9B& 3.

4.

S

J

B

S

P

B

H

M

K

P

G P

G P

G

H

M

K

P

G P

G P

G

H

M

K

P

G P

G P

G

H

M

K

P

G P

G P

G



5. 8 9 0,2,3,4,5,6,8& 6. C = {0,1,6,7,8,9} 7. . 9= 0,1,6,7,8,9& 8. < 1,2,3,4,5,6,7,8& 9. < 2,3,4& 10. =



BBaabb IIII PPeerrmmuuttaassii ddaann KKoommbbiinnaassii

Dalam definisi probabilita, peristiwa suatu probabilita didefinisikan sebagai rasio banyaknya elemen dalam A terhadap banyaknya elemen dalam ruang sampel S, yang jika dirumuskan akan menjadi : P(A)=n(A)/n(S) Sehingga penghitungan probabilita suatu peristiwa sesungguhnya merupakan penghitungan banyaknya cara suatu peristiwa dapat terjadi dan juga banyaknya seluruh kemungkinan hasil dibagi banyaknya unit dalam ruang sampel.

2.1 Prinsip Perkalian

Apabila operasi atau proses I dapat dilakukan dengan m cara dan operasi/proses II dengan n cara, maka terdapat sebanyak m.n cara kedua operasi/proses dapat dilakukan. Secara umum juga berlaku, yaitu bila ada 3 atau lebih operasi/proses.

Contoh 1 :

Ada 2 huruf: Y , Z; dan 3 angka: 1, 2, 3. Dipilih satu huruf (2 pilihan) dan satu angka (3 pilihan). Jadi memilih satu huruf dan satu angka akan menghasilkan sebanyak 2 x 3 = 6 cara/hasil, yaitu Y1, Y2, Y3, Z1, Z2, Z3.

Contoh 2 :

Suatu perusahaan perumahan menawarkan bagi pembeli pilihan rumah gaya luar berbentuk tradisional, spanyol, kolonial, dan modern di daerah pusat kota, pantai, dan bukit. Berapa banyak pilhan seorang pembeli dapat memesan rumah?

Penyelesaian:

n=4 dan m=3,maka banyaknya pilihan adalah n x m=12 cara

Contoh 3 :

Dalam bidang Holtikultura, BPS melakukan survei terhadap produksi buah-buahan, tanaman obat, tanaman hias, dan sayuran. Jika ada 14 jenis buah-buahan, 3 jenis tanaman obat, 12 tanaman hias, dan 22 sayuran pada survei tahun 2010. Berapa banyak carakah jika harus memilih satu jenis buah-buahan, tanaman obat, tanaman hias, dan sayuran?



Penyelesaian:

Diketahui m=14,n=3,o=12,dan p=22,maka

m n o p=11088

2.2 Permutasi (P) Permutasi adalah susunan berurut dari suatu set objek. Dari sekumpulan n obyek akan disusun dalam urutan tertentu sehingga diperoleh urutan yang berbeda disebut dengan permutasi n obyek.

Banyaknya permutasi dari n objek yang berbeda adalah n! nPn = n!

Catatan: n! (baca n faktorial) = n.(n-1).(n-2). ... .2.1;

misalnya 3! = 3.2.1= 6

Contoh 1:

Dari 3 huruf (a,b,c) diperoleh permutasi sebanyak 3! = 3.2.1 = 6, yakni: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Contoh 2 :

Arya, Prima , dan Rama bersama-sama nonton di bioskop. Mereka dapat kursi yang berurutan. Dengan berapa cara mereka dapat duduk dengan tempat yang berbeda dengan cara yang berlainan?

Jawab:

a. aturan pengisian tempat. 3 x 2 x 1 = 6 cara

b. Permutasi: 3P3 = 3 . 2. 1 = 6 cara

Yaitu: APR, ARP, PRA, PAR, RAP, dan RPA.

A P R



Banyaknya permutasi jika diambil r objek dari n objek yang berbeda adalah,

nPr = n!/(n - r)! Contoh 1:

Tiga huruf (a,b,c) dipermutasikan dua-dua, didapat sebanyak 3!/(3-2)! = 6 permutasi, yakni:ab, ba, ac, ca, bc,cb.

Contoh 2:

Suatu kesebelasan sepak bola terdiri dari pemain-pemain serba bisa. Pelatih mengalami kesulitan memilih 5 orang sebagai pemain depan. Untuk itu pelatih membuat susunan yang bisa berbeda bagi pemain depan. Berapa banyak susunan pemain depan berbeda yang bisa dibuat oleh pelatih itu?

Jawab: akan diambil 5 obyek dari 11 obyek dan akan disusun dalam suatu susunan yang berbeda, maka:

!6!6.7.8.9.10.11

!)511(!11

=

= 55440 cara dalam susunan yang berbeda

Permutasi dengan ELEMEN yang sama. Perhatikan susunan berikut yang terdiri dari kata APA.

APA A1PA2 A2PA1

AAP A1A2P A2A1P

PAA PA1A2 PA2A1

Ada n obyek dengan elemen yang sama q, r, ..., maka permutasinya:

Ada 6 cara:Yaitu3P(2)

!!.!.!

),,(srq

nP srqn =



Contoh1 :

Banyak susunan huruf yang terbentuk dari kata MATEMATIKA:

Jawab: Banyaknya huruf MATEMATIKA = 10,

Banyaknya huruf M = 2

Banyaknya huruf A = 3

Banyaknya huruf T = 2

Banyaknya huruf K = 1

10 (2,3,2)10! 10.9.8.7.6.5.4.3! 151200

2!.3!.2! 2.3!.2P = = =

Contoh 2 :

Berapa banyak cara untuk menampung 7 orang dalam 3 kamar hotel, bila 1 kamar bertempat tidur 3 sedang 2 lainnya punya 2 tempat tidur?

Penyelesaian:

(_3,2,2^7)P=7!/3!2!2!=210

Susunan Melingkar (Permutasi siklis) Misalkan : ada n unsur yang berbeda, maka banyaknya Permutasi siklis dari n unsur itu adalah (n 1) !

2.3 Kombinasi (C) Beda permutasi dengan kombinasi ialah bahwa dalam kombinasi urutan objek tidak diperhatikan/tidak diperhitungkan. Jadi hasil susunan ab = ba dalam kombinasi, sedangkan dalam permutasi ab ba.

Banyaknya kombinasi bila dari n objek berbeda diambil r objek adalah

nCr=r)! -(n r!

!n

Contoh 1:

Dari 3 huruf(a,b,c) diambil 2 huruf, didapat kombinasi sebanyak



3!/[2!(3-2)!] = 3, yaitu: ab, ac, bc.

Contoh 2:

Jika 5 kartu diambil secara random dari set kartu bridge (terdiri dari 52 kartu yang dapat dibedakan) maka banyaknya kombinasi 52C5= 52!/[5!(52-5)!] = 52!/(5! 47!)

Contoh 3:

Dari 12 orang yang terdiri dari 4 wanita dan 8 pria akan dipilih 3 orang sebagai wakil. Wakil harus terdiri dari 2 wanita dan 1 pria.Berapakah banyak kemungkinan susunan wakil?

Kombinasi 2 dari 4 wanita = 4C2, sedangkan kombinasi 1 dari 8 pria = 8C1. Jadi banyak kombinasi keseluruhan, sesuai dengan prinsip perkalian,

4! 8! 4C2 x 8C1 = -----x ----- = 48

2! 2! 1! 7!

Contoh 4:

Untuk mengobati suatu penyakit X bisa dilakukan dengan cara meramu bermacam-macam bahan.Jika ada 4 jenis tanaman obat-obatan dan 3 jenis buah-buahan yang bisa diramu, carilah banyaknya obat yang bisa dibuat jika obat tersebut harus terdiri dari 2 jenis tanaman obat-obatan dan 1 jenis buah-buahan? Penyelesaian:

Banyaknya cara memilih 2 tanaman obat dari 4 adalah

9@B 4!2! 2! 6 Banyaknya cara memilih 1 buah dari 3 adalah

9?A 3!1! 2! 3

Jadi banyaknya obat yang dapat dibuat adalah 6 x 3 = 18 cara



Soal Latihan

1. Seorang pegawai dalam perjalanan dinasnya ditawari melihat 6 tempat wisata tiap hari selama 3 hari (berlainan tiap hari). Berapa carakah pegawai tersebut dapat mengatur acara wisatanya?

2. Bila suatu percobaan terdiri atas pelemparan suatu dadu dan kemudian mengambil satu huruf secara acak dari ke 26 alfabet. Ada berapa titik dalam ruang sampel?

3. Tiga nomor undian untuk hadiah pertama, kedua, dan ketiga ditarik dari 40 nomor. Cari banyaknya titik sampel di T untuk ketiga hadiah?

4. Dengan berapa carakah 6 pohon yang berlainan dapat ditanam pada suatu lingkaran?

5. Dalam berapa carakah 6 orang dapat diantrikan masuk bis?

6. Tiap mahasiswa baru harus mengambil mata kuliah fisika, kimia, dan matematika. Bila seorang mahasiswa dapat memilih satu dari 6 kuliah fisika, satu dari 4 kuliah kimia, dan satu dari 4 kuliah matematika. Berapa banyak cara dia dapat menyusun programnya?

7. Seorang hendak membangun 9 rumah dengan rancangan yang berbeda. Dengan berapa carakah dia dapat menempatkan rumah tersebut di suatu jalan bila tersedia 6 petak pada satu jalan dan 3 petak pada jalan lain?

8. Sebuah instansi pemerintah membuka lowongan pekerjaan sebagai Consultant untuk 3 orang. Jika jumlah pendaftar yang memenuhi kriteria ada 10 orang, maka ada berapa banyak cara memilih 3 dari 10 calon yang memenuhi syarat tersebut?



9. Indonesia pada tahun 2014 akan mengadakan pemilihan presiden secara langsung. Berdasarkan pada ketentuan, calon presiden harus didukung oleh DPR, dan berdasarkan pada jumlah partai di DPR yang memenuhi ketentuan minimal anggota DPR ada 8 partai, sehingga diperkirakan akan ada 8 orang yang berebut menjadi presiden dan wakil presiden. Berapa banyak susunan atau kombinasi yang berbeda dapat dihasikan dari 8 orang tersebut jika calon presiden dan wakil presiden bukan sistem paket?

10. Berapa carakah kata yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata merdeka?

11. Suatu taman akan ditanam dengan 9 pohon buah yang ditanam sejajar. Ada berapa cara menyusun 9 pohon itu, bila 3 diantaranya pohon rambutan, 4 pohon mangga, dan 2 pohon pisang?

12. Sembilan orang petugas pencacahan pergi ke gunung guna mendatangi responden dengan tiga mobil, masing-masing mobil dapat membawa 2,4, dan 5 penumpang. Berapa cara kah yang dapat dibuat untuk membawa kesembilan petugas pencacahan tersebut ke gunung?

13. Suatu kesebelasan universitas memainkan 12 pertandingan sepak bola dalam satu triwulan. Dengan berapa carakah kesebelasan itu dapat memainkannnya bila menang 7 kali, kalah 3 kali dan seri 2 kali?

14. Sebuah rumah tangga beranggotakan 8 ART, terdiri atas 3 laki-laki dan 5 perempuan. Berapa banyak cara wawancara yang bisa dilakukan, jika hanya 3 orang yang boleh diwanwacara?

15. Berapa macam carakah yang dapat diisi pada kelima tempat dalam suatu tim bola basket yang diambil dari 8 pria yang sanggup bermain pada setiap tempat?



Penyelesaian

1. 4%"E%-"E%F%% 623 18 2. " 6#%"1 26,1%-%4%"E%-"E%'!'!-%1%#%%"21

156 3. ABG 59280F%% 4. " 1! 5! 120F%% 5. 6! 720F%% 6. 9?H 2 9?B 2 9?B 96 7. 9HI 2 9AI 84284 7266 8. 9A?G 120 9. 9@J 28 10. K!@!?!?!?!?!?! 2520F%% 11. I!A!B!@! 1260F%% 12. I!@!B!L! 63F%% 13. ?@!K!A!@! 7920F%% 14.

8 7 6

=336 kemungkinan 15.

8 7 6 5 4

=6720 cara



BBaabb IIIIIIPPrroobbaabbiilliittaa BBeerrssyyaarraatt

Dalam kehidupan kita sehari-hari banyak kejadian yang saling terkait satu sama lain dan kejadian yang satu menjadi syarat untuk terjadinya kejadian yang lain. Misalnya saya mau menikah dengan kamu, asalkan kamu sungguh-sungguh dan jujur mencintai saya. Dalam probabilita, suatu kejadian A terjadi dengan syarat kejadian B lebih dulu terjadi atau akan terjadi atau diketahui terjadi dikatakan kejadian A bersyarat B yang ditulis A/B (bukan berarti A dibagi B). Notasi: P(A|B) = probabilitas bersyarat A jika B diketahui sudah/ pasti terjadi. Dalam hal ini yang dianggap sebagai ruang sampel adalah himpunan/kejadian B, bukan S (ruang sampel semula) lagi. Rumus probabilita bersyarat adalah

P(A|B) = x(AB)/x(B) = P(AB)/P(B) bila P(B) > 0 dengan x(AB) = banyaknya cara peristiwa AB terjadi, x(B) = banyaknya cara peristiwa B terjadi. Jadi probabilita kejadian irisan AB dapat dihitung dengan rumus P(A|B) = P(B). P(A|B); juga P(AB) = P(A). P(B|A) Contoh 1:

Populasi orang dewasa yang telah tamat SMA di suatu kota kecil sebagai ruang sampel. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan berikut.

Bekerja Tak Bekerja Jumlah

Lelaki 460 40 500

Wanita 140 260 400

Jumlah 600 300 900

Daerah tersebut akan dijadikan daerah pariwisata dan seseorang akan dipilih secara acak untuk mempromosikan ke seluruh negeri. Kita akan meneliti kejadian berikut: M = lelaki yang terpilih



E = orang yang terpilih dalam status bekerja. Dapat diperoleh

P(M|E)= 600460

=

3023

Misalkan n(A) menyatakan jumlah unsur dalam suatu himpunan A. Dapat ditulis

P(M|E) = )()(

EnMEn

= )(/)()(/ )(

SnEnSnMEn

= )()(

EPMEP

,

P(E M) dan P(E) diperoleh dari ruang sampel S. Untuk memeriksa hasil ini, perhatikan bahwa

P(E)= 900600

=

32 dan P(E M)=

900460

=

4523

,

Jadi, P(M|E) = 3/245/23

=

3023

Contoh2:

Dua kotak berisi gundu merah (M) dan kuning (K) sebagai berikut, misalnya :

Kotak I: 2 M & 3 K; Kotak II : 3 M & 1 K

Sekarang kita lakukan pemilihan 2 tahap:

-memilih 1 kotak secara acak , berarti P(mendapat Kotak I) = P(mendapat Kotak II) = ;

- dari kotak terpilih ambil 1 gundu secara acak.

Sebut A = mendapat kotak I, B = mendapat 1 M, berarti AB = mendapatkan 1 M dari kotak I.

P(B|A) = 2/5 -->P(A B) = P(A) x P(B|A) = x (2/5) = 1/5

3.1Kejadian Bebas Dalam pembahasan sebelumnya P(B|S) berbeda dengan P(B) yang menunjukkan bahwa terjadinya Smempengaruhi B. Akan tetapi pandang dua kejadian Adan B yang memenuhi hubungan P(A|B) =



P(A). Terjadinya Bsama sekali tidak mempengaruhi terjadinya A. Dalam terjadinya Abebas dari terjadinya B. Misalkan: A= kejadian bahwa Agung (staf BPS) akan dipromosikan, B= kejadian bahwa Budi (staf BPS) akan dipromosikan. Jelas kiranya bahwa A dan B kejadian bebas.

Contoh 1 :

Suatu kota kecil mempunyai satu mobil pemadam kebakaran dan satu ambulans untuk keadaan darurat. Peluang mobil pemadam kebakaran tiap waktu diperlukan 0.98, peluang ambulans siap waktu dipanggil 0.92. Dalam kejadian ada kecelakaan karena kebakaran gedung, cari peluang keduanya siap? Penyelesaian:

Misalkan A dan B menyatakan masing-masing kejadian mobil pemadam kebakaran dan ambulan siap. Maka

8 8 0.980.92 0.9016

Jadi, peluang mobil pemadam kebakaran dan ambulans siap jika terjadi kebakaran gedung adalah 0.9016

Contoh 2 :

Dua dadu dilemparkan dua kali. Berapa peluangnya mendapat jumlah 7 dan 11 dalam dua kali lemparan? Penyelesaian:

Misalkan A1 adalah kejadian bebas bahwa jumlah 7 muncul dalam lemparan pertama, A2adalah kejadian bebas bahwa jumlah 7 muncul dalam lemparankedua, B1 adalah kejadian bebas bahwa jumlah 11 muncul dalam lemparan pertama dan B2adalah kejadian bebas bahwa jumlah 11 muncul dalam lemparan kedua. Yang ingin dicari adalah peluang gabungan kejadian 8? @#%"? 8@ yang saling terpisah. Jadi, A1={(1,6);(6,1);(2,5);(5,2);(3,4);(4,3)} A2={(1,6);(6,1);(2,5);(5,2);(3,4);(4,3)}



B1={(5,6);(6,5)} B2={(5,6);(6,5)}

M8? @ ? 8@N 8? @ ? 8@ 8?@ ?8@

16118

118

16

154

Jadi, peluang mendapatkan jumlah 7 dan 11 dalam dua kali lemparan adalah 1/54.

3.2Kejadian Tidak Bebas Apabila terjadinya peristiwa A mempengaruhi probabilita terjadinya kejadian B maka A dan B disebut kejadian tak bebas. Misalkan: A= kejadian bahwa Diana belajar rajin. B= kejadian bahwa Diana akan mendapat nilai A. Jelas kiranya bahwa A dan B kejadian tidak bebas.

Dua kejadian A dan B tidak bebas jika dan hanya jika

Contoh 1 :

Peluang seorang mahasiswa lulus mata kuliah statistik adalah 0.40, peluang lulus mata kuliah bahasa inggris adalah 0.60, dan peluang lulus mata kuliah statistika dan bahasa inggris adalah 0.30. Jika seorang mahasiswa lulus mata kuliah statistika, berapa peluangnya mahasiswa tersebut lulus matakuliah bahasa inggris? Penyelesaian:

M|8N 8 8

P(B|A) P(B)

P(A|B) P(A)



0.300.60 0.5 Jadi, peluang seorang mahasiwa lulus matakuliah Bahasa Inggris jika dia lulus mata kuliah Statistika adalah 0.5

Contoh 2 : Berdasarkan hasil survey terhadap 100 responden yang dilakukan untuk mengetahui respon konsumen terhadap Calon Walikota A dan Calon Walikota B. Diperoleh informasi sebagai berikut: 20 pria dan 30 wanita lebih menyukai calon A sedangkan 40 pria dan 10 wanita lebih menyukai calon B.

a. Jika kita bertemu dengan seorang pria, berapakah peluang ia lebih menyukai calon B?

b. Jika kita bertemu dengan seorang yang lebih menyukai calon A, berapakah peluang bahwa dia seorang wanita?

Penyelesaian:

Responden Pria Wanita Jumlah Calon A 20 30 50

Calon B 40 10 50

Jumlah 60 40 100

a. | OPOOO BG/?GGHG/?GG

BH 2/3

jadi, peluang seseorang lebih menyukai calon B jika dia seorang laki-laki adalah 2/3

b. R|8 OSTOT AG/?GGLG/?GG 3/5

Jadi, peluang wanita lebih menyukai calon A adalah 3/5



Soal Latihan 1. Misalkan kita mempunyai kotak berisi 20 kelereng, lima diantaranya

berwarna putih. Bila dua kelereng diambil dari kotak satu demi satu secara acak (tanpa mengembalikan yang pertama ke dalam kotak), berapakah peluang kedua kelereng itu berwarna putih?

2. Peluang bahwa si Ali akan hidup 20 tahun lagi 0.7, dan peluang bahwa Ani akan hidup 20 tahun lagi 0.9. Bila kedua kejadian dianggap bebas, berapakah peluangnya bahwa keduanya tidak akan hidup 20 tahun lagi?

3. Peluang seorang dokter dengan tepat mendiagnosa sejenis penyakit tertentu adalah 0.7. Bila dokter tadi salah diagnosa, peluang si sakit meninggal 0.9. Berapakah peluangnya sang dokter salah diagnosa dan si sakit meninggal?

4. Seorang pencacah lapangan akan melakukan pencacahan di kawasan yang cukup elit. Peluang seorang responden ada di rumah pada pagi hari adalah 0.60. Peluang responden yang ada di rumah dan mau diwawancara adalah 0.45. Berapakah peluang seorang responden mau diwawancara?

5. Dari hasil survey terhadap beberapa responden di daerah X, diketahui bahwa peluang seorang isteri bekerja adalah 0.85, peluang suami bekerja adalah 0.97, dan peluang suami dan isteri sama-sama bekerja adalah 0.76. Berapakah peluangnya seorang isteri bekerja, bila diketahui suaminya bekerja?

6. Survey dilakukan untuk mengetahui hubungan antara merokok dan potensi menderita penyakit hipertensi. Survey dilakukan pada 180 orang, dengan hasil sebagai berikut:



Bukan

Perokok

Perokok

Sedang Perokok Berat

Hipertensi 21 36 30

Tidak Hipertensi

48 26 19

Bila seseorang diambil secara acak dari kelompok ini, carilah peluang bahwa orang itu:

a. Menderita hipertensi, bila diketahui dia perokok berat? b. Bukan perokok, bila diketahui dia tidak menderita hipertensi

7. Berikut adalah sampel acak 200 orang dewasa yang dikelompokkan menurut jenis kelamin dan pendidikan.

Pendidikan Pria Wanita

SD 38 45

SM 28 50

PT 22 17

Bila seseorang diambil secara acak dari kelompok ini, cari peluangnya bahwa dia seseorang a. Pria, bila diketahui pendidikannya SM? b. Yang tidak berpendidikan PT, bila diketahui dia wanita?

8. Peluang seorang remaja menonton acara musik adalah 0.8, peluang seorang remaja menonton sinetron 0.6, dan peluang seorang remaja menonton acara musik dan sinetron adalah 0.5. berapakan peluang seorang remaja menonton acara musik, jika diketahui dia menonton sinetron?

9. Berikut adalah tabel jumlah migran masuk dan migran keluar dari Kabupaten A, B, dan C.

Migran Kabupaten Jumlah

A B C



Masuk (I) Keluar (O)

30 40

50 30

40 10

120 80

Jumlah 70 80 50 200

Bila seseorang diambil secara acak dari kelompok ini, berapakah peluang bahwa dia seorang:

a. Migran keluar, bila diketahui migran tersebut berasal dari Kabupaten B?

b. Penduduk di Kabupaten C yang melakukan migrasi dari daerah lain?

10. Tabel berikut menunjukkan banyaknya balita yang sudah dan belum melakukan imunisasi DPT di Kecamatan Suka Kaya dan Suka Miskin

Status Imunisasi

Suka Kaya (K) Suka Miskin (M)

Jumlah

Sudah Belum

24

6 8

22

32 28

Jumlah 30 30 60

a. Berapakah probabilita balita yang berasal dari Kecamatan Suka Miskin sudah melakukan imunisasi DPT?

b. Berapakah probabilita balita yang sudah diimunisasi DPT berasal dari Kecamatan Suka Kaya?

Penyelesaian:

1. 8 ?BB

?I ?

?I

2. 8 0.7 0.9 8= = 0.320.1 0.03

3. 8= 8= 0.30.9 0.27

4. OTPOT G.BLG.HG 0.75

BBaabb IIVV DDiissttrriibbuussii PPrroobbaabbiilliittaa

Pada suatu ruang sampel S={(mm), (mb), (bm), (bb)} yang merupakan kumpulan semua hasil yang mungkin terjadi dari pelemparan dua uang logam tersebut, kita dapat menentukan probabilita dari nilai-nilai variabel acak X, sebab titik sampel-titik sampel S mempunyai nilai probabilita.

Pada ruang sampel S tersebut bila X menyatakan banyaknya muncul muka pada S, sebagaimana relasi tersebut, maka nilai dari A adalah X=0, X=1 dan X=2.

Nilai X=0, berkaitan dengan titik sampel (bb) dengan probabilita :

P(X=0) = P{(bb)} = Nilai X = 1, berkaitan dengan titik sampel (mb) atau (bm) dengan probabilita :

P(X=1) = P{(mb)} + P{(bm)} = + = Nilai X=2, berkaitan dengan titik sampel (mm) dengan probabilita :

P(X=2) = P{(mm)} = 1/4 Pasangan nilai-nilai variabel acak X dengan probabilita dari nilai-nilai X, yaitu P(X=x) dapat dinyatakan dalam tabel berikut :

X=x 0 1 2

P(X=x)

Bisa juga pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilita dari nilai-nilai X, yaitu P(X=x) dituliskan dengan pasangan terurut, yaitu :

{x1,P(X= x1)}, { x2,P(X= x2)}, { x3,P(X= x3)}, Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilita nilai-nilai variabel acak X, yaitu P(X=x) disebut distribusi probabilita X atau disingkat distribusi X. Distribusi X dapat dituliskan dalam bentuk tabel atau dalam bentuk pasangan berurut.

Gambar dari distribusi probabilita X untuk pelemparan dua uang logam di atas adalah sebagai berikut :



0 1 2 Gambar 5. Diagram batang distribusi probabilita

Hasil suatu percobaan statistik mungkin saja berhingga ataupun tak terhingga, sehingga kita dapat melihat definisi berikut :

4.1 Variabel Random Diskrit

Definisi :

Jika suatu ruang sampel mengandung titik sampel yang berhingga banyaknya atau suatu deretan anggota yang banyaknya sama dengan banyaknya bilangan bulat, maka ruang sampel tersebut adalah variabel random diskrit (peubah acak diskrit).

Sebagai gambaran, misalnya dalam suatu sampel dengan 25 orang pegawai ditanyakan Apakah Anda setuju dengan presiden kita sekarang yang telah dilantik? Jawaban yang mungkin ya dan tidak dan X=hanya jawaban ya. Nilai-nilai yang dapat dijalani oleh X adalah 0,1,2,3,4,,25; maka X adalah variabel random diskrit.

Definisi :

Fungsi f(x) adalah suatu fungsi probabilita atau distribusi probabilita suatu variabel acak diskrit X bila untuk setiap hasil x yang mungkin,

i. f(x) 0

ii. f(x) = 1

iii. P(X=x) = f(x)

Contoh1 :

Suatu pengiriman 8 komputer PC yang sama ke suatu toko mengandung 3 yang cacat. Bila suatu sekolah membeli 2 komputer ini secara acak, cari distribusi probabilita banyaknyayang cacat.

2/4

1/4

X

P(X=x)



Jawab:

Misalkan X peubah acak dengan nilai x kemungkinan banyaknya komputer yang cacat yang dibeli sekolah tersebut. Maka x dapat memperoleh setiap nilai 0, 1, dan 2:

f(0) = P(X=0) =aAGbaL@baJ@b

=?G@J ,

f(1) = P(X=1) =aA?baL?baJ@b

=?L@J ,

f(2) = P(X=2) =aA@baLGbaJ@b

=A

@J

Jadi distribusi probabilita X

X 0 1 2

f(x)

Contoh2 : Hasil survey mengenai ASI Eksklusif didapat bahwa dari 15 balita yang tidak mendapatkan ASI eksklusif, 10 balita rentan terkena penyakit. Bila diambil sampel sebanyak 4 balita secara acak, carilah distribusi peluang banyaknya balita yang rentan terkena penyakit? Penyelesaian:

Misalkan X peubah acak dengan nilai x kemungkinan banyaknya balita yang rentan terkena penyakit.

>0 c 0 a100 b a

54b

a154 b 1273

>1 c 1 a101 b a

53b

a154 b 20273

>2 c 2 a102 b a

52b

a154 b 90273

2810

2815

283



>3 c 3 a103 b a

51b

a154 b 120273

>4 c 4 a104 b a

50b

a154 b 42273

Jadi distribusi peluang X

X 0 1 2 3 4

f(x) 1/273 20/273 90/273 120/273 42/273

Contoh 3 : Tentukan nilai c sehingga fungsi berikut dapat merupakan distribusi peluang peubah acak diskret X:

>2 F2@ 4 untuk x = 0, 1, 2, 3 Penyelesaian:

d F2@ 4A

efG 1

4F 5F 8F 13F 1 30F 1

F 1/30

4.2 Variabel Random Kontinu

Definisi :

Jika suatu ruang sampel mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya dan sama banyaknya dengan banyak titik pada sepotong garis, maka ruang sampel tersebut disebut ruang sampel kontinu dan variabel random yang didefinisikan di atas disebut variabel random kontinu (peubah acak kontinu). Suatu peubah acak kontinu mempunyai probabilita nol pada setiap titik x. Karena itu distribusi probabilitanya tidak mungkin disajikan dalam bentuk tabel dan dapat disajikan dalam bentuk rumus yang merupakan fungsi dari nilai yang berbentuk bilangan (numerik) dari peubah kontinu X dengan lambang fungsi f(x).Jika menyangkut peubah yang kontinu, f(x) dinamakan fungsi padat probabilitaatau fungsi padat dari X.



Sebagai gambaran misalnya pencatatan tinggi badan seseorang dari suatu populasi orang-orang diatas 21 tahun,Di antara dua sembarang nilai, misalnya 163,5 dan 164,5 cm. Ataupun antara 163,99 dan 164,01, terdapat tinggi yang tak berhingga banyaknya, salah satu diantaranya ialah 164 cm. Probabilita memilih secara acak seseorang yang tingginya tepat 164 cm tidak kurang atau lebih sedikitpun juga, tentunya sangatlah kecil dan karena itu probabilita kejadian tersebut diberi nilai nol. Namun bila yang ditanya ialah probabilita memilih seseorang yang tingginya paling sedikit 163 cm tetapi tidak lebih dari 165 cm. Hal tersebut merupakan nilai suatu selang dan bukan nilai suatu titik dari peubah acak.

Definisi :

Fungsi f(x) adalah suatu fungsi padat probabilita atau distribusi probabilita suatu variabel acak kontinu X, yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan real R, bila :

1. f(x) 0 untuk semua x R

2.

=1)( dxxf

3. P(a < X < b) = b

a

dxxf )(

Suatu fungsi padat probabilita dituliskan sedemikian rupa sehingga luas daerah diantara kurva dan sumbu x yang dihitung atas semua rentangan nilai X pada fungsi f(x), seperti dituangkan dalam gambar berikut :

a b x Gambar 6. P( a < X < b)



Contoh1 :

Misalkan variabel acak X mempunyai fungsi padat probabilita :

,

3)(

2xxf = untuk 1 < x < 2

= 0, untuk x lainnya.

Hitunglah probabilita P(0 < x 1).

Jawab:

191

98

93)( 2

1

32

1

2

=+===

xdxxdxxf

Jadi 91

93)10( 10

31

0

2

===< xdxxXP

Contoh 2 : Suatu variabel acak kontinu X memiliki fungsi padat probabilita:

>2 21 221 ,"'-1 ; 2 ; 3 Hitunglah nilai probabilita P(X < 2)! Penyelesaian:

c ; 2 1 ; c ; 2

g21 221@

?#2

121 22 2@|?@ 521

Contoh 3 : Lamanya waktu seorang pencacah (dalam satuan jam) melakukan wawancara terhadap responden berbentuk peubah acak kontinu X dengan fungsi padat: 2 0 < x < 1

>2 2 21 h 2 ; 2 0 untuk x lainnya



Carilah peluang bahwa seorang pencacah melakukan wawancara antara 0.5 sampai 1 jam? Penyelesaian:

0.5 ; 2 ; 1 g 2#2?

G.L

122@|G.L? 0.375Jadi,peluang seorang pencacah melakukan wawancara antara 0.5 sampai 1 jam adalah 0.375.

4.3 Distribusi Kumulatif F(x) Jika X adalah variabel random dan P(X=x) adalah distribusi probabilita dari X, maka fungsi f(x) = P(X=x) disebut fungsi probabilita X atau fungsi frekuensi X atau fungsi padat probabilita X.

Jika variabel random X mempunyai fungsi probabilita f(x), maka fungsi distribusi kumulatifdari X yaitu F(x) dirumuskan sebagai berikut :

Rumus 1:

xX

xf ),( jika X diskrit

X

dxxf )( , jika x kontinu

Rumus 2:

Dengan memakai fungsi distribusi kumulatif F(x) kita dapat menentukan probabilita dari variabel random X pada interval a X b, yaitu :

dan

F(x) = P(X x) =

P(a X b) = F(b) F(a)

f(x) =dx

xdF )(



bila fungsi turunan ini ada.

Contoh :

Misalkan variabel acak X mempunyai fungsi padat probabilita :

untuk 1 < x < 2

= 0, untuk x lainnya.

Carilah F(x) dari fungsi padat tersebut, dan kemudian hitunglah P(0< x 1).

Jawab :

Jadi P(0< x 1) = F(1) F(0)

=@I -

?I

= ?I

,

3)(

2xxf =

91

93)()(

3

1

3

1

2 +====

xtdttdttfxF x

x x



Soal Latihan 1. Jika suatu ruang sampel mengandung titik sampel yang berhingga

banyaknya, maka ruang sampel tersebut disebut? a. Variabel random b. Variabel random kontinu c. Variabel random diskret d. Variabel acak

2. Dibawah ini merupakan syarat suatu fungsi pada probabilita disebut variabel acak kontinu, kecuali: a. >2 i 0 untuk semua x R b. j >2#2 1klk c. j >2#2 1kG d. % ; c ; 4 j >2#2mn

3. Diketahui bahwa dari 20 KSK yang mengikuti pelatihan, terdapat 3 orang perempuan. Jika diambil secara acak 2 orang KSK untuk penyematan tanda peserta pada acara pembukaan, carilah distribusi probabilita banyaknya KSK perempuan?

4. Tentukan nilai c sehingga fungsi berikut merupakan distribusi peluang peubah acak diskret X

>2 F2@ 22 2 untuk x = 0,1,2

5. Berdasarkan soal no.4, hitunglah nilai probabilita P(X=1)!

6. Suatu variabel acak kontinu X memiliki fungsi padat probabilita:

>2 21 227 ,"'-2 ; 2 ; 5 Hitunglah nilai probabilita P(3 < X



7. Suatu peubah acak kontinu X mempunya fungsi padat:

>2 12 ,"'-1 ; 2 ; 3 Hitunglah P(X 1.6)!

8. Berdasarkan soal no. 7, hitunglah 2 ; c ; 2.5

9. Proporsi responden yang bersedia diwawancarai berbentuk peubah acak kontinu X yang mempunyai fungsi padat:

>2 22 25 ,0 ; 2 ; 10"'-2%!""E% Carilah peluang bahwa lebih dari responden tapi kurang dari responden yang bersedia diwawancarai?

10. Berdasarkan soal no.9, carilah peluang bahwa lebih dari responden bersedia untuk diwawancara?

Penyelesaian:

1. C 2. C

3. >0 c 0 a?KG baA@ba@G@ b

A?IG

>1 c 1 a171 b a

31b

a202 b 51190

>2 c 2 a172 b a

30b

a202 b 136190

Jadi, distribusi peluang X adalah

x 0 1 2

f(x) 3/190 51/190 136/190



4. F2@ 22 2@efG 1 2F F 6F 1

5F 1 F 1/5

5. c 1 ?L 2@ 22 2 15 1 2 2

15

6. 3 ; c ; 4 j @?pe@K

BA #2

127 22 2@|AB 9

27

7. c h 1.6 j ?@?.H

? #2 12 2|??.H 0.3

8. 2 ; c ; 2.5 j ?@ #[email protected]

@ 12 2|@@.L

14 0.25

9. 1/4 ; c ; 1/2 j @ep@L?/@

?/B #2

15 2@ 42|?/B?/@ 1980 0.2375

10. c q 3/4 j @ep@L?

A/B #2

15 2@ 42|A/B? 0.2875



BBaabb VV DDiissttrriibbuussii TTeeoorriittiiss

Titik-titik contoh di dalam Ruang Sampel (S) dapat disajikan dalam bentuk numerik/bilangan.Dalam modul ini hanya diperkenalkan 2 distribusi, yaitu distribusi binomial dan distribusi normal yang umum dipakai dalam analisis statistik atau dalam pembahasan ilmu statistik.

5.1 Distribusi Binomial

Untuk mempermudah perumusan distribusi binomial, kita pakai percobaan pelemparan sebuah uang logam sebanyak 3 kali (n=3). Munculnya sisi muka kita sebut kejadian sukses (S) dan munculnya sisi belakang kita sebut kejadian gagal (G).Singkat kata bahwa hasil-hasil yang muncul dalam suatu percobaan statistik dapat kita bedakan dalam dua jenis yaitu kejadian sukses dan kejadian gagal (tidak sukes), dimana probabilita kejadian sukses dan probabilita kejadian gagal adalah tetap.

Suatu percobaan statistik disebut percobaan binomial, jika percobaan statistik tersebut mempunyai ciri-ciri :

1. Percobaan diulang sebanyak n kali;

2. Setiap kejadian dibedakan menjadi dua yaitu kejadian sukses dankejadian gagal (tidak sukses);

3. Probabilita kejadian sukses dan gagal adalah tetap pada tiap kalipercobaan diulang;

4. Semua hasil yang muncul saling bebas satu sama lain.

Adapun rumus fungsi distribusi binomial adalah:

f(x) = P(X=x) = p(x) = b(x,n,p) = nCx px(1 - p)n-x

dimana x= 0,1,2,,n dan q = 1-p

p dan q disebut parameter

Variabel X merupakan variabel kategorik, yang terdiri dari hanya 2 kategori, sebut sukses atau gagal.Misalnya lulus/tidak lulus, laki-laki/perempuan, rusak/baik, dan sebagainya.

nCx adalah banyaknya susunan yang berbeda untuk mendapatkan x "sukses" dan (n-x) "gagal" dari sebanyak n percobaan.

x = banyaknya sukses dalan n percobaan, jadi nilai x paling kecil 0 dan paling besar n.



p = probabilita untuk sukses dalam tiap percobaan.

Contoh 1 :

Misalkan sebuah uang logam bermuka G dan K dilambungkan 3 kali.Bila X menyatakan banyaknya G muncul, maka X dikatakan berdistribusi binomial atau p(x) nya adalah fungsi probabilita binomial.

X = banyaknya G X =0,1,2,3. Berapa P(X=2) ?

X = 2 dapat diperoleh (terjadi) dari 3 susunan : GGK, GKG, KGG Karena setiap pelambungan saling bebas maka probabilita GGK

P(GGK) = P(G) x P(G) x P(K) = () x () x () = 1/8.

P(X=2) = P(GGK) + P(GKG) + P(KGG)

= 1/8 + 1/8 + 1/8

= 3(1/8) = 3/8.

Dengan rumus binomial (n = 3, p = ), lebih mudah dihitung sebagai berikut:

P(X=2) = 3C2.()2.()(3-2) = 3/8

Contoh 2 : Peluang untuk sembuh seorang penderita Thalasemia adalah 0.4. Bila diketahui ada 15 orang yang telah mengidap penyakit tersebut, berapakah peluangnya paling sedikit 3 orang akan sembuh? Penyelesaian:

c q 3 1 c ; 3 1 9G?L 0.4G0.6?L 9??L 0.4?0.6?B 9@?L [email protected]?A& 1 0.027114 0.97289

Jadi, peluang paling sedikit 3 orang akan sembuh adalah 0.97289.

Contoh 3 : Berdasarkan data BPS tahun 2010, diketahui bahwa 90% balita pernah mendapat imunisasi DPT. Berapakah peluang bahwa dari 5 balita yang menjadi sampel, 3 balita pernah mendapat imunisasi DPT? Penyelesaian:



c 3 9GL 0.9G0.1L 9?L 0.9?0.1B 9@L [email protected] 9AL 0.9A0.1@&

0.08146 Jadi, peluang 3 balita pernah mendapat imunisasi DPT adalah sebesar 0.08146.

* Rata-rata dan Varian Binomial

Rata-rata: E(X) = = np dan

Varian: Var(X) = 2 = np(1-p)

Dari contoh1 di atas, diperoleh/diketahui nilai n = 3, p = ):

E(X) = 3 x () = 1,5

Var(X) = 3 x () x () =

Contoh 1:

Industri "DI" memproduksi suatu jenis baterai. Diketahui (berdasarkan data pabrik) bahwa probabilita sebuah baterai rusak = 0,01. Artinya 1% dari baterai yang dihasilkan rusak karena masalah teknis. Probabilita ini konstan dalam keseluruhan proses produksi. Rusak juga independen dari satu baterai ke baterai yang lain. Bila diambil secara random 4 baterai, hitunglah probabilita: a) 1 baterai rusak, b) 0 baterai rusak.

Sebut X = banyaknya baterai yang rusak -> X = 0, 1, 2, 3, 4.

Soal ini bisa diselesaikan dengan menggunakan fungsi binomial: n = 4 dan p = 0,01.

P(X = 1) = 4C1.(0,01)1.(1-0,01)4-1 = 0,0388

P(X = 0) = 4C0.(0,01)0.(1-0,01)4-0 = 0,9606

Kesimpulan

Bila X variabel acak diskrit, probabilita bahwa X=a dapat dihitung dengan memasukkan nilai X = a ke dalam fungsi probabilitanya, yaitu P(X=a) = p(a) seperti telah diuraikan.



Contoh 2:

Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan probabilita 3/4 . Hitunglah probabilita bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak. Jawab:

Misalkan tiap pengujian bebas jadi pengujian yang satu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi yang berikutnya. Jadi, p = untuk tiap empat pengujian sehingga

b(2; 4, ) =4C2arsbt ausb

t

= B!

@!@!AvBw

= @K

?@J

5.2 Distribusi Normal

Sebaran probabilita kontinyu yang paling penting di bidang statistika adalah sebaran normal, karena sebaran ini banyak digunakan dalam berbagai bidang penelitian.Grafiknya disebut kurva normal, adalah kurva yang berbentuk genta atau lonceng. Dalam kegiatan sehari-hari atau umumnya suatu percobaan terutama untuk peubah acak yang kontinyu biasanya memiliki sebaran normal atau sebaran Gauss.

DEFINISI

Bila X adalah suatu peubah acak normal dengan nilai tengah dan ragam (variance) 2, maka persamaan kurva normalnya adalah

Kurva sebaran probabilita kontinyu atau fungsi kepekatan dinyatakan sedemikian rupa sehingga luas daerah di bawah kurva yang dibatasi oleh X=x1=a dan X=x2=b sama dengan P(x1



Mencari Luas di Bawah Kurva Normal

a b Gambar 7. Luas Kurva Normal

Dengan transformasi peubah acak X menjadi peubah acak Z maka probabilita sebaran normal dapat ditentukan berdasarkan tabel Z. Transformasi yang digunakan adalah transformasi normal standar dengan rumus:

=

xZ

Selanjutnya probabilita P(a < x < b) dihitung dengan rumus :

P(a < x < b) = 2121( )

2

b bZ

a a

f z dz e dzpi

=

Luas daerah (probabilita) antara z1=a dan z2=b dicari dengan menggu-nakan tabel normal standar (tabel z) yang dapat dilihat pada lampiran.

z1=a0z2=bZ Gambar 8. Luas Kurva Normal Standar

Cara Membaca Tabel Normal Standar



Untuk membantu dalam menyelesaikan berbagai macam persoalan yang timbul, terutama yang berkaitan dengan sebaran normal telah disediakan nilai probabilita (luas daerah) di bawah kurva normal.Tabel-z dalam lampiran adalah dasar tabel untuk mencari luas yang merupakan probabilita untuk nilai Z antara 0 dan z0 (nilai z positif).

MencariP(0 < Z < 1,34)

0 1,34 Z Gambar 9. Luas P(0 < Z < 1,34)

Mencari luas daerah atau probabilita antara z = 0 sampai z = 1,34. Angka 1,34 dicari pada tabel, di mana bagian angka (1,3) dicari pada kolom z ke bawah dan (0,04) dicari pada z mendatar. Perpotongan kedua titik yaitu titik (1,3 ; 0,04) dalam tabel diperoleh angka 0.4099 yang berarti bahwa luas daerah antara z = 0 dan z = 1,34 adalah 0,4099 atau P(0 < Z < 1,34) = 0,4099.

Apabila menggunakan tabel lampiran1P(0 < Z < 1,34)=0,9099 0,5 = 0,4099

Mencari P(-1,34 < Z < 1,34)

-1,34 0 1,34



Gambar 10. Luas P(-1,34 < Z < 1,34)

Mencari probabilita z antara -1,34 dan +1,34 atau P(-1,34 1,34) dapat dicari dengan :

P(Z > 1,34) = 0,5 -P(0 < Z < 1,34)

= 0,5 - 0,4099

= 0,0901

Mencari P(1,5 < Z < 2,5)

1,5 2,5 Z Gambar 12. Luas P(1,5 < Z < 2,5)



Mencari luas/probabilita z terletak antara 1,5 dan 2,5 atau P(1,5 < z < 2,5). Luas ini juga secara langsung tidak dapat dicari pada tabel lampiran. Untuk mencari probabilita tersebut adalah sebagai berikut : P(1,5



X mempunyai distribusi normal

85,040

80083455,040

80077821 =

==

= ZZ

P(778 < X < 834) = P(Z1< Z < Z2)

= P(-0,55 < Z < 0,85)

= P(Z



Soal Latihan 1. Dalam survey tentang pengetahuan seorang ibu terhadap kesehatan

reproduksi di Desa X. Diketahui bahwa peluang seorang ibu mengetahui tentang alat kontrasepsi hanya 0.35. Bila diketahui ada 10 orang ibu yang menjadi responden, berapakah peluangnya paling sedikit 4 orang mengetahui tentang alat kontrasepsi?

2. Sebuah lembaga survey mengadakan survey mengenai setuju atau tidak nya para ibu rumah tangga dengan rencana pemerintah menaikkan harga BBM dan hasilnya ternyata 97 persen ibu rumah tangga tidak setuju dengan kenaikan harga BBM. Apabila diambil sampel secara acak 5 orang, berapakah peluang semua ibu rumah tangga menolak kenaikan harga BBM?

3. Berdasarkan data BPS tahun 2010, diketahui bahwa di Propinsi DKI Jakarta hanya 45.2 persen rumah tangga dengan status kepemilikan rumah milik sendiri. Jika diambil sampel sebanyak 10 rumah tangga, berapakah peluang kita akan memperoleh minimal 3 rumah tangga dengan status kepemilikan rumah milik sendiri?

4. Sebuah keluarga terdiri dari 10 ART, masing-masing ART diberikan kuesioner untuk diisi, jika diambil secara acak 4 kuesioner untuk dientry. Berapakah peluangnya bahwa keempat ART tersebut berjenis kelamin laki-laki, bila dalam rumah tangga tersebut terdapat 3 ART perempuan?

5. Berdasarkan data BPS tahun 2010, diketahui bahwa persentase penduduk buta huruf usia 45 tahun ke atas di Propinsi Nusa Tenggara Barat adalah 46.3 persen. Jika diambil sampel sebanyak 5 orang penduduk usai 45 tahun ke atas di Propinsi tersebut, berapa probabilita minimal 2 orang tidak buta huruf?



6. Diketahui suatu fungsi berditsribusi normal dengan c~270)

7. Dari penelitian terhadap 150 orang laki-laki berumur 40-60 tahun didapatkan rata-rata kadar kolestorol mereka 215 mg dan simpangan baku 45mg. Jika diambil sampel secara acak, berapakah peluang mendapatkan seorang yang kadar kolesterolnya: a. < 200 mg b. Antara 200-275 mg

8. Diketahui rata-rata produksi teh dalam 10 tahun terakhir adalah 123 (dalam ribuan ton) dengan simpangan baku sebesar 15 (dalam ribuan ton). Berapakah probabilita jika pada tahun ini diharapkan dapat memproduksi lebih dari 130 ribu ton?

9. Misal dikarenakan isu kenaikan BBM, harga-harga bahan pokok mengalami kenaikan, untuk cabe rawit rata-rata naik Rp. 12.000 per kilogram, dengan simpangan baku sebesar Rp. 1500. Berapakah probabilita jika kenaikan cabe rawit yang diharapkan kurang dari Rp.8.000?

10. Diketahui rata-rata jumlah tindak pidana di Propinsi Banten dalam 3 tahun terakhir adalah 1836 kejadian dengan varians sebesar 5184. Berapakah probabilita jika tahun depan diharapkan jumlah tindak pidana mengalami penurunan minimal menjadi 1700 kejadian?

Penyelesaian:

1. c i 4 1 c ; 4 1 9G?G 0.35G0.65?G 9??G 0.35?0.65I 9@?G [email protected] 9A?G 0.35A0.65K&

1 0.51383 0.48617



2. c 5 }X 9GL 0.97G0.03L[ X 9?L 0.97?0.03B[ X 9@L [email protected][ X 9AL 0.97A0.03@[ X 9BL 0.97B0.03?[ X 9LL 0.97L0.03G[~

1 3. c i 3 1 c ; 3

1 9G?G 0.452G0.548?G 9??G 0.452?0.548I 9@?G [email protected]& 1 0.09735 0.90264

4. Misal X= banyaknya ART berjenis kelamin laki-laki Y= banyaknya ART berjenis kelamin perempuan Peluang X= 7/10 Peluang Y= 3/10

c 4 9G?G 0.7G0.3?G 9??G 0.7?0.3I 9@?G [email protected] 9A?G 0.7A0.3K 9B?G 0.7B0.3H&

0.04734

5. Misal X= Penduduk tidak buta huruf P(X)= 0.537 c i 2 1 c ; 2

1 }X 9GL 0.537G0.463L[ X 9?L 0.537?0.463B[~ 1 0.1447 0.8553

6.

a. c 100 aelz{ b a@AGl@LG

?G b | 2 0.0228 b. c q 270 aelz{ ;

@KGl@LG?G b | ; 2

Dengan menggunakan Tabel Z, diperoleh

| ; 2 0.4772

7. Diketahui:

=215



45 a. c ; 200 aelz{ ;

@GGl@?LBL b

| ; 0.67 Dengan menggunakan tabel kurva normal, maka diperoleh

| ; 0.67 0.2514

b.

200 ; c ; 275 200 21545 ;2

;275 215

45 0.67 ; c ; 1.33 0.2486 0.4066 0.6552

8. c q 130 aelz{ q?AGl?@A

?L b | q 0.47 Dengan menggunakan tabel kurva normal, maka diperoleh

| q 0.47 0.3192

9. c ; 130 aelz{ ;JGGGl?@GGG

?LGG b | ; 0.8 Dengan menggunakan tabel kurva normal, maka diperoleh

| ; 0.8 0.2119

10. c ; 1700 aelz{ ;?KGGl?JAH

K@ b | ; 1.89 Dengan menggunakan tabel kurva normal, maka diperoleh

| ; 1.89 0.0294

Bab VINilai Harapan



Salah satu manfaat yang sangat penting dari nilai harapan (harapan matematik) adalah dapat dipakai untuk menentukan rata-rata/mean () dan varian (2) serta standard deviasi () dari parameter populasi.

6.1Rata-rata Peubah Acak

Apabila dua uang logam dilantunkan 16 kali dan Xmenyatakan banyaknya muncul muka tiap lantunan maka X dapat berharga 0, 1, dan 2. Misalkan percobaan itu menghasilkan tidak ada muka, satu muka, dan dua muka masing-masing sebanyak 4, 7, dan 5 kali. Maka rata-rata banyaknya muka tiap lantunan dua uang logam adalah

16)5)(2()7)(1()4)(0( ++

= 1,06

Ini adalah nilai rata-rata dan tidak perlu menyatakan suatu hasil yang mungkin muncul bagi percobaan yang telah dilakukan. Bentuk perhitungan nilai rata-rata banyaknya muncul muka di atas dapat disusun kembali menjadi:

(0)

164

+ (1)

167

+(2)

165

= 1,06

Bilangan 4/16, 7/16, dan 5/16 adalah bagian dari jumlah lantunan yang menghasilkan nol, satu, dan dua muka.Pecahan ini sama dengan frekuensi nisbi untuk nilai Xyang berbeda dalam percobaan tersebut. Penggunaan metode frekuensi nisbi untuk menghitung rata-rata banyaknya muka tiap lantunan dua uang logam yang dapat dihapkan dalam jangka panjang.Nilai rata-rata tersebut dinamakan rata-rata peubah acak Xatau rata-rata distribusi peluang X dan ditulis sebagai x atau .

Bila variabel acak X mempunyai fungsi probabilitas f(x)=P(X=x), maka harapan atau ekspektasi matematis atau harapan teoritis dari X yangditulis E(X) adalah suatu fungsi yang dirumuskan sebagai berikut :

x p(X=x), jika X diskrit.

,)( dxxXf jika X kontinu.

Sekarang akan dibicarakan beberapa sifat yang berguna untuk menyederhanakan perhitungan harapan matematik (nilai harapan). Sifat atau teotema ini akan memungkinkan kita menghitung harapan

E(x) = x f(x) =



melalui harapan lain yang telah diketahui ataupun mudah dihitung. Semua hasil ini berlaku untuk variabel acak yang diskrit maupun kontinu. Adapun sifat-sifat dari nilai harapan atau harapan matematis dari X adalah :

E(c) = c,

E(bX) = b E(X)

E(a + bX) = a + b E(X)

dimana a, b dan c adalah suatu konstanta.

Berdasarkan uraian di atas, maka dapat juga dikatakan bahwa nilai harapan sama dengan rata-rata atau rata-rata suatu variabel acak diperoleh dengan cara mengalikan tiap nilai variabel acak tersebut dengan probabilita padanannya dan kemudian menjumlahkannya jika variabelnya adalah diskrit. Bila variabelnya adalah kontinu, maka definisi nilai harapan pada dasarnya masih tetap sama yaitu dengan mengganti penjumlahan dengan integral. Misalkan 2 uang logam yang dilantunkan memiliki ruang sampel S= {MM, MB, BM, BB}. MisalnyaBMmenyatakan lantunan pertama menghasilkan belakang dan yang kedua muka. Keempat titik sampel berpeluang sama maka

P(X=0) = P(BB)= 41

,

P(X=1) = P(BM)+ P(MB)= 21

, dan

P(X=2) = P(MM)= 41

.

Peluang ini sebenarnya hanyalah frekuensi nisbi dalam jangka panjang. Jadi = E(X) = (0)

41

+ (1)

21

+ (2)

41

= 1

Contoh 1:

Pada pelemparan 3 (tiga) uang logam, tentukanlah harapanmatematis banyaknya muncul muka pada tiap pelemparan!

Jawab:

Perhatikan fungsi distribusi probabilita X, dimana X menunjukkan banyaknya muncul muka. Karena X diskrit, maka harapan matematis banyaknya muncul adalah :



= =

===

3

0

3

0)()()(

x x

xXxPxxfXE

= (0).P(X=0) + (1).P(X=1) + (2).P(X=2) +

(3).P(X=3)

= (0) (1/8) + (1) (3/8) + (2) (3/8) + (3) (1/8)

= 12 / 8

= 1,5

Jadi secara teoritis (matematis), harapan banyaknya muncul muka pada tiap kali melemparkan tiga uang logam adalah 1,5. Perhatikan bahwa E(X)=1,5 ternyata merupakan nilai tengah dari nilai-nilai data X, yaitu 0,1,2,3.

X 0 1 1,5 2 3

Contoh 2:

Misalkan X peubah acak yang menyatakan umur dalam jam sebuah bola lampu. Fungsi padat peluangnya diberikan oleh

f(X) =

0

200003x

Hitunglah harapan umur jenis bola lampu !

= E(X) = dxx

x

1003

20000

= dxx

1002

20000

= 200

Jadi, jenis bola lampu diharapkan rata-rata berumur 200 jam.

x> 100

Untuk x lainnya.



Contoh 3 : Dalam suatu permainan seseorang mendapat Rp. 500 bila dalam lemparan 3 uang logam muncul semua muka atau semua belakang, dan membayar Rp. 300 bila muncul muka satu atau dua. Berapakah harapan kemenangannya?

Penyelesaian:

. , , , , , , , & Jadi, peluang masing-masing terjadi adalah 1/8

, 18 18

14

, , , , , 68 34

Jadil, 0 500 a?Bb 300 aABb 100

Karena nilai harapan negatif, maka permainan ini memberikan kerugian sebesar Rp. 100.

Contoh 4 : Banyaknya mobil X yang masuk ke suatu tempat pencucian mobil setiap hari antara jam 13.00-14.00 mempunyai distribusi peluang sbb: x 4 5 6 7 8 9

P(X=x) 1/12 1/12 1/6 1/6 Misalkan g(X) = 2X-1 menyatakan upah, dalam ribuan rupiah, para karyawan dibayar perusahaan dalam jam tersebut. Cari harapan pendapatan karyawan pada jam tersebut? Penyelesaian:

2c 1 2c 1 2 4 112 5

112 6

14 7

14 8

16 9

16

1

2 6 56 1 1223



6.2Varian

Nilai harapan dapat dipakai untuk menghitung mean () dan varian (2) serta standard deviasi () dari parameter populasi yang dirumuskan sebagai berikut : 1. Mean populasi = E(X) 2. Varian Populasi (2) :

(x - )2 f(x), jika X diskrit

2 = E{(X-)2} = ( ) dxxfx )(2

, jika X kontinu

3. Standar deviasi () : ( ){ }2E X =

Perhatikan bahwa rumus varian2 = E{(X-)2} dapat disederhanakan menjadi rumus berikut ini, dengan memakai sifat-sifat nilai harapan, yaitu :

2 = E{(X-)2} = E(X2 2 X + 2), dimana konstanta.

= E(X2) - 2 E(X) + E()

= E(X2) - 2 . + 2

= E(X2) - 2

dimana = E(X)

Contoh 1:

Misalnya X adalah banyaknya radio yang terjual dalam seminggu dengan distribusi probabilita sebagai berikut :

Harga X 0 1 2 3 4 5 Probabilita X 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1

Hitunglah berapa nilai mean, varian dan standar deviasi?

Jawab:



Penghitungan ini dibuatkan dalam bentuk tabel dibawah ini.

Harga X 0 1 2 3 4 5 Jumlah Probab (X) 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 1 X f(X) 0 0,1 0,4 0,9 0,8 0,5 2,7 = E(X) X2 f(X) 0 0,1 0,8 2,7 3,2 2,5 9,3 = E(X2)

Maka 2 = E{(X-)2} = E(X2) - 2 = 9,3 (2,7)2 = 2,01

( ){ }2E X = = = 1,42

Contoh 2 : Misalkan peubah acak X menyatakan banyaknya kuesioner yang non respons bila diambil secara acak 3 kuesioner. Berikut distribusi peluang X

x 0 1 2 3

f(x) 0.51 0.38 0.10 0.01 Hitunglah @? Penyelesaian:

00.51 10.38 20.10 30.01 0.61 c@ 00.51 10.38 40.10 90.01 0.87 @ 0.87 0.61@ 0.4979

Contoh 3 : Konsumsi beras dalam ribuan liter di daerah A merupakan peubah acak kontinu X dengan fungsi padat peluang

>2 22 1 1 ; 2 ; 2 0, "'- 2 %!""E%

Carilan varians X nya? Penyelesaian:

c 2 g 22 1@

? #2 53

01,2



c@ 2 g 2@2 1@

?#2 176

@ 176 53

@ 118



Soal Latihan 1. Berikut adalah sifat-sifat dari nilai harapan atau harapan matematis dari X,

kecuali:

a. % 4c % 4c b. %c 4 %c 4 c. F 0 d. 4c 4c

2. Distribusi peluang X, dengan X menyatakan banyaknya rumah tangga yang tidak bersedia untuk diwawancara, seperti berikut:

x 0 1 2 3 4

f(x) 0.41 0.37 0.16 0.05 0.01 Carilah rata-rata banyaknya rumah tangga yang tidak bersedia diwawancara?

00.41 10.37 20.16 30.05 40.01 0.88

3. Seorang petugas entry, dibayar berdasarkan banyaknya kuesioner yang mereka entry. Misalkan pendapatan mereka dalam sebulan (dalam ratusan ribu rupiah) dan peluangnya sebagai berikut:

x 7 9 11 13 15 17

f(x) 1/12 1/12 1/6 1/6 Carilah harapan pendapatan petugas entry dalam sebulan?

7 112 9 1

12 11 14 13

14 15

16 17

16

12 23 4. Hitunglah varians dari soal no.3!

c@ 49 112 81 1

12 121 14 169

14 225

16

289 16 169



@ c@ 2 169 160 49 859

5. Misalkan keuntungan penjualan satu karung beras (dalam ratusan ribu rupiah) seorang petani mempunyai fungsi padat seperti berikut:

>2 21 20 ; 2 ; 10,"'-2%!""E%

Hitunglah keuntungan rata-rata per karung beras?

g221 2#2?

G

2@ 232A|G? 1/3 jadi, rata-rata keuntungan petani dalam satu karung beras adalah Rp. 33.333.

6. Carilah varians dari soal no. 5!

c@ g2@21 2#2?

G

23 2A 242B|G?

16

@ c@ @ 16

19

118

7. Misalkan X peubah acak dengan distribusi peluang sebagai berikut:

x -3 6 9

f(x) 1/6 1/3 Hitunglah nilai E(X)?

3 16 6 12 9

13 5.5



8. Hitunglah varians dari soal no 7!!

c@ 91/6 361/2 811/3 43.5 @ 43.5 5.5@ 13.25

9. Hitung nilai harapan dari g(X)=2X+3, bila X peubah acak dengan distribusi peluang

x 0 1 2 3

f(x) 1/8 1/8

2c 3 2c 3 2 0 14 1

18 2

12 3

18 3

2 1 12 3 6

10. Hitunglah varians dari soal no. 9!

M2c 3@N 4c@ 12c 9 4c@ 12c 9 4 0 14 1

18 4

12 9

18 12 1

12

9 4 3 14 18 9 40

@ M2c 3@N M2c 3N@ 40 6@ 40 36 4

11. Bila probabilita seorang montir mobil akan memperbaiki 3, 4, 5, 6, 7, atau 8 lebih mobil pada setiap hari kerja masing-masing 0,12 ; 0,19 ; 0,28 ; 0,24 ; 0,10 ; dan 0.07. Berapakah probabilita bahwa dia akan memperbaiki paling sedikit 5 mobil pada hari kerja berikutnya? Jawab:

Misalkan E kejadian bahwa paling sedikit 5 mobil yang diperbaiki. Sekarang P(E)=1-P(E), bila E kejadian bahwa kurang dari 5 mobil yang diperbaiki. Karena P(E)=0,12 + 0,19 = 0,31 maka P(E) = 1 0,31 = 0,69



12. Jika seseorang membeli sebuah lotere, maka ia dapat memenangkan hadiah pertama sebesar Rp 50.000.000,- atau hadiah kedua sebesar Rp 20.000.000,- masing-masing dengan probabilita 0,001 dan 0,003. Berapakah nilai harapan kemenangan orang tersebut.

Jawab:

Misalkan variabel X menyatakan nilai kemenangan orang itu, maka nilai X1=50.000.000 dengan probabilita P(X=x1)=0,001 dan X2=20.000.000 dengan probabilita P(X=x2)=0,003, maka nilai harapan X, yaitu :

E(X) = x1P(X=x1) + x2P(X=x2)

= 50.000.000 (0,001) + 20.000.000 (0,003)

= 110.000

Jadi, nilai harapan orang tersebut akan memenangkan lotere adalah Rp 110.000.000,-

13. Diketahui variabel random X mempunyai distribusi probabilita sebagai berikut :

X 8 12 16 20 24

P(X) 1/12 1/6 1/8 3/8

Tentukanlah :

a. Mean X;

b. Standar deviasi X

c. E{(2X 3)2} ! Jawab :

a. Mean dari X adalah :

17,178324

8120

6116

12112

418)()( =++++==== xXPxxE

x

b. ( ) 673368324

8120

6116

12112

418 2222222 ,)()()()()(x)P(XxXE

x

=++++===

Varians 2 = E(X2) - 2 = 336,67 (17,17)2 = 41,86

Standar deviasi = 47,686,41 =



c. E{(2X 3)2 = 4E(X2) 12 E(X) + 9 = 4(336,67) 12 (17,17) + 9

= 1.149,64

14. Seorang penjual mengatakan bahwa 25% dari seluruh barang dagangannya rusak akibat truk yang membawa barang itu mengalami kerusakan. Jika seseorang membeli barang dagangan itu sebanyak 10 buah, tentukanlah :

a. probabilita orang itu akan mendapat 5 barang yang cacat.

b.Rata dan simpangan baku barang yang cacat.

Jawab:

Diketahui n=10; p=0,25 dan q=1-p=0,75

Misalkan X menyatakan barang yang cacat. Formula distribusi binomial adalah :

P(X=x) = 10Cx (0,25)x (0,75)10-x , untuk x=0,1,,,10

a. Probabilita orang itu mendapat 5 barang yang cacat adalah :

P(X=5) = 10C5 (0,25)5 (0,75)10-5 = 0,0584

b. Rata-rata adalah = np = 10 (0,25) = 2,5

Simpangan baku adalah

= 37,1)75,0)(25,0(10 ==npq

15. Tiga orang petani: Pak Herman, Parman dan Eki menitipkan pecinya di pagi hari pada seoarng anak. Sore harinya si anak mengembalikan peci tersebut secara acak pada ketiga petani. Bila Pak Herman, Parman dan Eki, dala urutan itu menerima peco dari si anak maka tuliskanlah titik sampel untuk semua urutan yang mungkin mendapatkan peci tersebut dan kemudian cari nilai x dari variabel random X yang menyatakan jumlah urutan yang sesuai.

Jawab:

Bila H, P dan E menyatakan masing-masing peci yang dibagikan berturut-turut pada Pak Herman, Parman dan Eki maka jumlah urutan pembagian peci yang mungkin dan urutan yang sesuai adalah :



Kejadian yang mugkin Nilai x HPE HEP PHE PEH EHP EPH

3 1 1 0 0 1

16. Dari pengiriman sebanyak 1.000 rim kertas koran dengan berat 60 gram diketahui bahwa rata-rata tiap rimnya berisi 450 lembar dengan standar deviasi 10 lembar. Jika distribusi jumlah kertas per rim tersebut berdistribusi normal, berapa persen dari rim kertas itu yang berisi 455 lembar atau lebih ?

Jawab:

Diketahui = 450 dan standar deviasi = 10

Misalkan X = jumlah kertas per rim X berdistribusi normal

5,010

45045510

450=

=

=

=

XXZ

maka P(X 455) = P(Z 0,5)

= P(Z > 0) P(0 < Z < 0,5)

= 0,5 0,1915 = 0,3085

= 30,86%

0 0,5

Jadi, banyaknya rim kertas yang berisi455 lembar atau lebih adalah sebanyak 30,85% atau 30,85% x 1000 rim = 309 rim



17. Ditentukan distribusi normal baku, carilah luas di bawah kurva yang terletak:

a. Di sebelah kanan z=1,84

0 1,84 z

b. Antara z= -1,97 dan z=0,86

-1,97 0 0,86 z

Jawab:

a. Luas pada gambar a di sebelah kanan z=1,84 adalah 1- P(z < 1,84)= 1-0,9671 = 0,0329

b. Luas pada gambar b antara z=-1,97 dan z=0,86 sama dengan P(0



Jadi, P(45 < X < 62) =P(-0,5 < Z



LatihanKomprehensif

1. Berapa banyak bilangan genap yang terdiri atas tiga angka dapat dibuat dari angka 1, 2, 5, 6, dan 9 bila tiap angka tersebut hanya boleh digunakan sekali?

2. Sebuah plat nomor terdiri atas 1 huruf diikuti 2 angka. Khusus huruf o dan i tidak boleh dipakai.

a. Hitunglah banyaknya plat nomor yang bisa dibentuk.

b. Seperti pada pertanyaan a hanya angka pertama tidak boleh angka 0 (nol)

3. Sebuah uang logam bermata dua yakni: G (Garuda) dan K (Komodo). Bila mata uang tersebut dilambungkan 3 kali,

a. Tuliskan set (S) yang berisi semua kemungkinan hasil.

b. B adalah set yang anggotanya 2G dan 1K. Tuliskan himpunan B

c. C adalah hasil ketiga pelambungan sama semua. Tuliskan C.

4. Ada 5 orang yang mau duduk, tapi kursi yang tersedia hanya 3. Berapa banyak susunan pengisian kursi ?

5. Ada 5 lowongan jabatan di suatu kantor, tapi yang potensial sebanyak 9 orang. Berapa banyak kemungkinan komposisi pengisian jabatan tersebut ?

6. Satu set kartu bridge berisi 52 buah yang semuanya dapat dibedakan dan terbagi atas 26 merah dan 26 hitam. Bila dicabut 4 kartu, berapa banyak komposisi mendapat 1 merah dan 3 hitam?

7. Sebuah kotak berisi 5 kelereng, 2 putih dan 3 merah. Diambil secara acak 2 kelereng.

a. Berapakah probabilita mendapatkan 2 putih.

b. Berapakah probabilita mendapatka 1 putih dan 1 merah.

8. Sebuah kotak berisi 6 kelereng merah, 4 k

Probabilita

Documents

Transcript of Probabilita