Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don TasmanRING (GELANGGANG) & SUBRING

Definisi:Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner “+” dan “.” (R,+,.) dinamakan ring jika:a) (R,+) grup komutatifb) (R,.) merupakan semigrupc) Distributif kiri dan kanan:

a.(b+c)=a.b + a.c dan (a+b).c=a.c + b.c, x,y,z R.

Beberapa Definisi: Suatu ring (R,+,.) disebut ring komutatif jika operasi “.”

bersifat komutatif Suatu ring (R,+,.) disebut ring dengan unsur kesatuan jika

(R,.) merupakan suatu monoid. Jadi 1R sedemikian sehingga 1.a=a.1=a, aR.

Contoh-contoh:Untuk contoh-contoh berikut, periksalah ring/bukan. Bila merupakan ring, tentukan komutatif/tidak dan cari unsur kesatuannya. (Z,+,x), (Q,+,x), (R,+,x), (C,+,x), (Q+, x, +). Himpunan bilangan genap bulat dengan operasi

penjumlahan dan perkalian. Himpunan bilangan riil berbentuk m+n2 di mana m dan n

adalah bilangan rasional dengan operasi jumlah dan kali. J(i) = kumpulan bilangan bulat Gaussian adalah bilangan

kompleks a+ib, di mana a dan b bilangan bulat dengan operasi jumlah dan kali.

Himpunan matriks bujur sangkar 2 x 2 bilangan riil dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks.

Himpunan matriks berbentuk dengan a dan b bilangan

riil dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Himpunan bilangan residu modulo lima {0,1,2,3,4} adalah

ring komutatif di bawah operasi penjumlahan dan perkalian

Pertemuan 21

1

Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasmankelas residu (mod 5). Bagaimana dengan himpunan dan operasi serupa modulo 6 dan 8?

Himpunan matriks bilangan riil dengan operasi

penjumlahan dan perkalian matriks.

Himpunan matriks bilangan bulat dengan operasi

penjumlahan dan perkalian matriks. Himpunan matriks 2x2 bilangan bulat, dengan penjumlahan

dan perkalian matriks.

Definisi Ring R dikatakan ring tanpa pembagi nol jika tidak ada

produk dua elemen tak-nol yang menghasilkan nol. Atau dengan perkataan lain: “jika a.b=0 maka a=0 atau b=0, atau a=b=0”; atau: “jika a0 dan b0, maka a.b0”.

Ring R dikatakan ring dengan pembagi nol jika ada produk dua elemen tak-nol yang menghasilkan nol.

Contoh-contoh:Bagaimana dengan contoh-contoh ring sebelum ini? Periksalah satu per satu.

Sifat-sifat:Dalam sebuah ring berlaku:a) 0.x=x.0=0 dan -(-x) = x untuk setiap xR (-x artinya invers

aditif dari x)b) a.(-b) = (-a).b = -a.b untuk setiap a,bRc) (-a).(-b)=a.b untuk setiap a,bRd) a.(b-c)=a.b-a.c dan (b-c).a=b.a-c.a untuk setiap a,b,cR Suatu ring adalah ring tanpa pembagi nol jika dan hanya

jika memenuhi hukum pencoretan terbatas kiri dan kanan.

Karakteristik RingDefinisi:

Pertemuan 21

2

Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don TasmanMisalkan R ring. Jika untuk setiap aR ada bilangan bulat positif terkecil n, sedemikian sehingga n.a=0 (0=unsur kesatuan aditif), maka dikatakan ring R mempunyai karakteristik n. Jika tidak ada n yang demikian, dikatakan ring R mempunyai karakteristik nol atau tak berhingga.Contoh-contoh: B={0,1,2,3,4,5,6} dengan penjumlahan dan perkalian modulo

7 merupakan ring. Ring B mempunyai karakteristik 7. Himpunan Z, Q, dan R masing-masing dengan operasi

penjumlahan dan perkalian, merupakan ring yang mempunyai karakteristik nol atau tak berhingga.

SubringDefinisi:

Misalkan R ring. Suatu subset S tak kosong dari R dikatakan subring dari R jika S tertutup di bawah (+) dan (.) di R dan S sendiri merupakan ring dengan kedua operasi tersebut.

R sendiri dan {0} selalu merupakan subring dari R (subring tak sejati). Subring-subring R lainnya disebut subring sejati.

Jika S adalah subring dari ring R, maka S adalah subgrup aditif dari grup R. Syarat perlu dan cukup agar sebuah subset tak kosong S

dari ring R merupakan subring dari R adalah:(1) Untuk setiap a,bS berlaku (a-b)S(2) Untuk setiap a,bS berlaku a.bS.

Irisan dua subring adalah subring.

Contoh-contoh: (Z,+,.) merupakan ring. S={2x / xZ} adalah subset tak

kosong dari Z. Perhatikan bahwa (S,+,.) merupakan ring, sehingga S merupakan subring dari Z.

(Z,+,.) merupakan ring. C={0,1,2,3,...} adalah subset tak kosong dari Z. Perhatikan bahwa (N,+,.) bukan subring dari Z.

Pertemuan 21

3

Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don TasmanHOMOMORFISMA RING

Beberapa Definisi: Misalkan (R,+,.) dan (R’,,) merupakan ring-ring.

Pemetaan f:RR’ disebut homomorfisma dari R ke R’ jika memenuhi sifat-sifat:f(a+b) = f(a) f(b)f(a.b) = f(a) f(b).

Jika f:RR’ di atas merupakan pemetaan 1-1 dan onto, maka f disebut isomorfisma; R dikatakan isomorfik dengan R’, dan ditulis R R’.

Peta homomorf elemen identitas aditif = 0 di R adalah elemen identitas aditif = 0’ di R’. Peta homomorf unsur kesatuan multiplikatif = 1 di R adalah unsur kesatuan multiplikatif = 1’ di R’.

Jika f homomorf, maka f(-x)= -f(x). Peta homomorf dari R merupakan subring dari R’.

Contoh-contoh: (Z,+,.) dan (2Z,+,.) merupakan ring. Pemetaan f:Z2Z yang

didefinisikan oleh: f(x)=2x bukan isomorfisma. Periksalah. R={m+n2 / m,n bilangan bulat} dengan operasi “+” dan “.”

merupakan ring. Buat pemetaan f:RR yang didefinisikan oleh: f(a + b2) = a - b2. Pemetaan ini jelas 1-1, onto, dan homomorfisma, sehingga merupakan isomorfisma dari R pada dirinya sendiri. Dengan kata lain: f adalah automorfisma.

Misalkan R={a,b,c,d} dengan operasi + dan . merupakan ring. R’={p,q,r,s} dengan operasi dan juga merupakan ring. Perhatikan tabel-tabel berikut.

+ a b c d . a b c da a b c d a a a a ab b a d c b a b c dc c d a b c a c d bd d c b a d a d b c

Pertemuan 21

4

Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman

p q r s p q r sp r s p q p s p r qq s r q p q p q r sr p q r s r r r r rs q p s r s q s r p

Pemetaan f:RR’ didefinisikan oleh: f(a)=r, f(b)=q, f(c)=s, f(d)=p. Periksalah bahwa f suatu isomorfisma (buktikan dulu satu-satu dan onto, lalu buktikan homomorfisma).

Definisi:Jika f adalah homomorfisma dari R ke R’, maka kernel f, atau K(f), adalah himpunan elemen-elemen aR, sedemikian, sehingga f(a)=0’ (0’=elemen nol pada R’).

Pertemuan 21

5