Sesion-1(tema2)

8/19/2019 Sesion-1(tema2)

1/30

Universidad Católica Andrés Bello – Postgrado de Ingeniería Estructural.

SESIÓN I SESIÓN I

TEMA II TEMA II

1


2/30


Coordenadas GeneralizadasCoordenadas Generalizadas: o!enclatura.: o!enclatura.

Cada coordenada generalizada est" asociada a unCada coordenada generalizada est" asociada a undes#laza!iento seg$n la dirección de esa coordenada.des#laza!iento seg$n la dirección de esa coordenada.

Estos des#laza!iento se denotar"n con la letraEstos des#laza!iento se denotar"n con la letra %%& ' se& ' seordenar"n en (or!a de un vector colu!naordenar"n en (or!a de un vector colu!na

)


3/30


*e #uede elegir !"s de un siste!a de coordenadas*e #uede elegir !"s de un siste!a de coordenadas

Este segundo siste!aEste se

gundo siste!a de coordenadas #uede serde coordenadas #uede serta!+ién generalizada ó de#endiente.ta!+ién generalizada ó de#endiente.

Por tanto&Por tanto& los des#laza!ientos en estas coordenadaslos des

#laza!ientos en estas coordenadas&&di(erentesdi(erentes a las #ri!eras&a las #ri!eras& tendr"n otros valorestendr"n otros valores..

se puede establecer una relación entre losse puede establecer una relación entre losdos conjuntos de valores.dos conjuntos de valores.

Sin embargo,Sin embargo,

,


4/30


*i en el #ri!er siste!a*i en el

#ri!er siste!a las coordenadas son generalizadas 'las coordenadas son generalizadas '

se deno!inan los des#laza!ientos co!ose deno!inan los des#laza!ientos co!o %%ii && en el segundoen el se

gundo #ara distinguirlas reci+ir"n otro no!+re.#ara distinguirlas reci+ir"n otro no!+re.

*i el*i el segundo siste!ase

gundo siste!a es dees de coordenadas de#endientescoordenadas de

#endientes loslosdes#laza!ientos de deno!inar"n co!odes#laza!ientos de deno!inar"n co!o r r ii

-

Pero& si son ta!+iénPero& si son ta!+ién inde#endientesinde

#endientes generalizadas / segeneralizadas / sedeno!inar"n co!odeno!inar"n co!o %0%0ii


5/30


*egundo siste!a

Coordenadas Generalizadas.

Pri!er siste!a


E2e!#loE2e!#lo

3+sérvese %ue tienen igual n$!ero de des#laza!ientos3+sérvese %ue tienen igual n$!ero de des#laza!ientos

En los dos casos los desplazamientos son independientes. En los dos casos los desplazamientos son independientes.

Caso 1/Cas

o 1/


6/30


*egundo siste!a

Coordenadas 4e#endientes

5

E2e!#loE2e!#lo

Pri!er siste!a


3+sérvese %ue el caso de#endiente tiene !"s3+sérvese %ue el caso de#endiente tiene !"sdes#laza!ientos 6/ %ue en el segundo caso 5/des#laza!ientos 6/ %ue en el segundo caso 5/

En el segundo caso los desplazamientos no son En el segundo caso los desplazamientos no son

independientes.independientes.

Caso )/Cas

o )/


7/30


7elaciones entre los des#laza!ientos de dos7elaciones entre los des#laza!ientos de dossiste!as de coordenadas.siste!as de coordenadas.

8Có!o 9allar los des#laza!ientos ri en8Có!o 9allar los des#laza!ientos ri en(unción de los des#laza!ientos %i(unción de los des#laza!ientos %i

*u#óngase el caso de un siste!a de coordenadas generalizado ' otro de#endiente

6


8/30


Para ello se su#one un des#laza!iento en una dirección de %i&Para ello se su#one un des#laza!iento en una dirección de %i&de !anera %ue los otros des#laza!ientosde !anera %ue los otros des#laza!ientos %2%2 se !antenganse !antenganiguales a cero.iguales a cero.

E2e!#lo:E2e!#lo: 84es#laza!iento seg$n %1

;;;; *e #uede desco!#oner seg$n %)


9/30


El des#laza!iento en la 2unta a la %ue #ertenece %El des#laza!iento en la 2unta a la %ue #ertenece %11&&de+e asignarse en la dirección adecuada #ara %ue solode+e asignarse en la dirección adecuada #ara %ue solo

#ueda desco!#onerse seg$n %#ueda desco!#onerse seg$n %11& siendo los otros& siendo los otrosdes#laza!ientos iguales a cero.des#laza!ientos iguales a cero.

=a dirección di+u2ada=a dirección di+u 2ada no #uedeno #uede

desco!#onerse so+re %desco!#onerse so+re %))& ni& nita!#oco so+re %ta!#oco so+re %,,.. Esta es laEsta es ladirección correctadirección correcta %ue de+e tener%ue de+e tenerel des#laza!iento a#licado.el des#laza!iento a#licado.

El des#laza!iento asignado %El des#laza!iento asignado %11?cos?cosθ)) sesedesco!#one seg$n %desco!#one seg$n %11 ' se o+tiene el valor' se o+tiene el valorre%uerido %re%uerido %11//

@


10/30


4esco!#osición de %4esco!#osición de %1?1?coscosθ en el siste!a r en el siste!a r

r 1 %10cos α ?cos θ 1)

*iste!a % *iste!a r

4e sco ! #o s ic ió n se

g $ n r 1

1

4es#laza!iento en la dirección 9orizontal igual a %4es#laza!iento en la dirección 9orizontal igual a %11?cos?cosθ


11/30


4esco!#osición seg$n r)4esco!#osición seg$n r)

r) %10cos β ?cos θ 2)

4esco!#osición seg$n r4esco!#osición seg$n r3

4esco!#osición seg$n r4esco!#osición seg$n r4

r, %10cos γ ?cos θ 3)

r- -/

11


12/30


A9ora se asigna un des#laza!iento en una direcciónA9ora se asigna un des#laza!iento en una direccióntal %ue solo #ueda desco!#onerse seg$n %tal %ue solo #ueda desco!#onerse seg$n %)) & al !is!o& al !is!o

tie!#o %ue %tie!#o %ue %11& %& %,, etc. sean iguales a cero. etc. sean iguales a cero.

*e re#ite el #rocedi!iento #ara encontrar las*e re#ite el #rocedi!iento #ara encontrar lasco!#onentes en el siste!a r .co!#onentes en el siste!a r .

3+servar %ue no se #uededesco!#oner seg$n %1 niseg$n %,/

1)


13/30


4esco!#osición seg$n4esco!#osición seg$n rr11

r 1 %)0cos @ – α θ/?cos θ (5)

4esco!#osición seg$n4esco!#osición seg$n rr2

r ) %)0cos @DβD θ/?cos θ (6)

1,

ó é í


14/30


r, %)0cos @ – γ θ/?cos θ6/

4esco!#osición seg$n4esco!#osición seg$n rr4 r- >/

A9ora se asigna un des#laza!iento seg$n %A9ora se asigna un des#laza!iento seg$n %,, dede!anera %ue %!anera %ue %11& %& %)) etc sean iguales a cero.etc sean iguales a cero.

Para este caso %Para este caso %11& %& %))& %& %--& %& % etc son cero. etc son cero.

4esco!#osición seg$n4esco!#osición seg$n rr31-

U i id d C óli A d é B ll P d d I i í E l

1


15/30


*e re#ite con cada des#laza!iento %*e re#ite con cada des#laza!iento %ii ' se deter!inan las' se deter!inan lasco!#onentes seg$nco!#onentes seg$n rri.i.

=os des#laza!ientos ri (inales son:=os des#laza!ientos ri (inales son:*e su!an %*e su!an %11 de todos los casos& los %de todos los casos& los %)) de todos los casos etc.de todos los casos etc.

r1 %10cos α ?cos θ 1/ + %)0cos @αD θ/?cos θ /

r) %10cos β ?cos θ )/ + %)0cos @DβD θ/?cos θ 5/

r, %10cos γ ?cos θ ,/ + %)0cos @ – γ θ/?cos θ 6/

r- %-

. . . . . . . . . . . . así sucesiva!ente así sucesiva!ente

1

U i id d C tóli A d é B ll P t d d I i í E t t l 15


16/30


Estas ecuaciones se #ueden arreglar de esta !anera:Estas ecuaciones se #ueden arreglar de esta !anera:r1

r)

r,

r-

r

r5

r6

=

coscosα

??coscos

θ

coscos 90+α−θ) /

90+α−θ) / coscosθ 0 0 0 0

0 0 0 0

coscosβ

??coscos

θ

coscos 90−β−θ) /

90−β−θ) / coscosθ 0 0 0 0

0 0 0 0

coscosγ

??coscos

θ

coscos 90−γ+θ) /

90−γ+θ) / coscosθ 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 1 0 0

0

0

... .... ... .. ........ ...

... .... ... .. ........ ...

........

.......

... ... ...... ...

... ... ...... ...

*

%1

%)

%,

%-

%

%5

Fue #uede e#resarse co!o:Fue #uede e#resarse co!o:

3+sérvese3+sérvese

%ue H%ue H

11 re#resenta los des#laza!ientos %ire#resenta los des#laza!ientos %i

anterior!ente calculados&cuando su valor en la dirección ianterior!ente calculados&cuando su valor en la dirección icuando los de!"s seg$n la dirección 2 son cero/es la unidad.cuando los de!"s seg$n la dirección 2 son cero/es la unidad.

des#laza!ientos ele!entales/des#laza!ientos ele!entales/Igual #rocedi!iento se sigue con %0iIgual #rocedi!iento se sigue con %0i

15

si e t e si e t e s e i s

s e i s

U i id d C tóli A d é B ll P t d d I i í E t t l

16


17/30


En General #uede decirse :En General #uede decirse :

Para 9allar los des#laza!ientos rPara 9allar los des#laza!ientos rii ó %0ó %0ii a #artir de lasa #artir de las

coordenadas generalizadas& se #uede 9acer lacoordenadas generalizadas& se #uede 9acer latrans(or!ación co!o sigue:trans(or!ación co!o sigue:

se cu!#le ta!+ién: se cu!#le ta!+ién:

*i a!+os siste!as son coordenadas generalizadas:

*i un siste!a es de#endiente:

HH11 &H&H !atriz de!atriz detrans(or!acióntrans(or!ación

o son iguales 6 ' 5/

55 55

55

66

o es cuadradao es cuadrada

16

Uni ersidad Católica Andrés Bello Postgrado de Ingeniería Estr ct ral 1>


18/30


SISTEMA DE CARGASSISTEMA DE CARGAS4es#ués de leer las lecturas asignadas & res#onda:4es#ués de leer las lecturas asignadas & res#onda:

11.D8Fué ti#o de (uerzas acciones/ #ueden a#licarse so+re una estructura.

)).D8Có!o se re#resentan las uerzas

,,.D8A %ué se lla!an (uerzas inde#endientes

--.D8Fué son (uerzas restringidas.D8A %ué se lla!a !aterial lineal

55.D8Cu"ndo una estructura tiene co!#orta!iento lineal

66.D8En %ué consiste el #rinci#io de su#er#osición8Cu"ndo se #uede

a#licar

1>

Universidad Católica Andrés Bello Postgrado de Ingeniería Estructural

1@


19/30


SISTEMA DE CARGASSISTEMA DE CARGAS

(Fuerzas exteriores aplicadas a la estructura)(Fuerzas exteriores aplicadas a la estructura)

*e van a considerar solo las*e van a considerar solo las cargas actuantescargas actuantes en laen la!is!a dirección!is!a dirección %ue los des#laza!ientos%ue los des#laza!ientos %%..

%%

des#laza!ientos inde#endientes/des#laza!ientos inde#endientes/

FF (uerzas inde#endientes/(uerzas inde#endientes/

*iste!a Generalizado FD%*iste!a Generalizado FD%

1@

Universidad Católica Andrés Bello Postgrado de Ingeniería Estructural )


20/30


SISTEMA DE COORDENADAS GO!AESSISTEMA DE COORDENADAS GO!AES

*i en un siste!a generalizado los des#laza!ientos ' las*i en un siste!a generalizado los des#laza!ientos ' las(uerzas a#licadas tienen la !is!a dirección co!o el(uerzas a#licadas tienen la !is!a dirección co!o elcaso anterior/ se 9a+la entonces de *iste!a decaso anterior/ se 9a+la entonces de *iste!a deCoordenadas Glo+ales. se indican así:Coordenadas Glo+ales. se indican así:

)

Universidad Católica Andrés Bello Postgrado de Ingeniería Estructural )1


21/30

Universidad Católica Andrés Bello – Postgrado de Ingeniería Estructural. )1

8Fué ocurre cuando las (uerzas actuantes8Fué ocurre cuando las (uerzas actuantes nono

se encuentranse encuentran a#licadas en las Juntasa#licadas en las Juntas seg$nseg$nlas coordenadas glo+ales del siste!a las coordenadas glo+ales del siste!a

Por e2e!#lo

4e+er"n4e+er"ntrans(or!arse entrans(or!arse encargas a#licadas encargas a#licadas enlas 2untas. 8Có!olas 2untas. 8Có!o

Universidad Católica Andrés Bello – Postgrado de Ingeniería Estructural ))


22/30

Universidad Católica Andrés Bello – Postgrado de Ingeniería Estructural. ))

Para ello recorde!os las Ki#ótesis %ue se 9acen :

11.D El !aterialEl !aterial cu!#le con la le' de KooLecu!#le con la le' de KooLe: las: lascargas ' las de(or!aciones #roducidas soncargas ' las de(or!aciones #roducidas son#ro#orcionales.#ro#orcionales.

)).D =as=as de(or!aciones son #e%ueMasde(or!aciones son #e%ueMas en co!#araciónen co!#aracióncon las di!ensiones de los !ie!+ros& #or lo tanto loscon las di!ensiones de los !ie!+ros& #or lo tanto los

des#laza!ientos son in(initési!os & #udiéndosedes#laza!ientos son in(initési!os & #udiéndosea#licar ela#licar el #rinci#io de su#er#osición#rinci#io de su#er#osición..

Universidad Católica Andrés Bello – Postgrado de Ingeniería Estructural ),


23/30

Universidad Católica Andrés Bello Postgrado de Ingeniería Estructural. ),

*e cu!#le entonces #or su#er#osición:*e cu!#le entonces #or su#er#osición:

=a estructura real se #uede sustituir #or dos estructuras %ue al=a estructura real se #uede sustituir #or dos estructuras %ue alsu#er#onerlas de eacta!ente igual a la #ri!era.su#er#onerlas de eacta!ente igual a la #ri!era.

Universidad Católica Andrés Bello – Postgrado de Ingeniería Estructural. )-


24/30

Universidad Católica Andrés Bello Postgrado de Ingeniería Estructural.

o #uede rotar&o #uede rotar&ni des#lazarseni des#lazarse

=a estructura real=a estructura real i!#edida de des#lazarsei!#edida de des#lazarse

=a estructura real=a estructura real sólo con cargas ensólo con cargas enlos nodos& iguales a las reacciones de lalos nodos& iguales a las reacciones de la

anterior con signo contrario.anterior con signo contrario.

)-

Universidad Católica Andrés Bello – Postgrado de Ingeniería Estructural. )


25/30

Universidad Católica Andrés Bello Postgrado de Ingeniería Estructural. )

Al #ri!er caso se le lla!aAl #ri!er caso se le lla!a

*I*HENA P7INA7I3*I*HENA P7INA7I3

Al *EGU43 caso se le lla!aAl *EGU43 caso se le lla!a *I*HENA C3NP=ENEHA7I3*I*HENA C3NP=ENEHA7I3

4esco!#oner a la estructura en estas dos #artes se le4esco!#oner a la estructura en estas dos #artes se lella!alla!a *OHE*I* 4E= *I*HENA E*H7UCHU7A=*OHE*I* 4E= *I*HENA E*H7UCHU7A=



26/30

Universidad Católica Andrés Bello Postgrado de Ingeniería Estructural. )5

El *iste!a real:El *iste!a real:

de(or!ada ' reacciones/de(or!ada ' reacciones/

El *iste!a #ri!arioEl *iste!a #ri!ario::


El *iste!a co!#le!entario:El *iste!a co!#le!entario:




27/30

g g )6

El siste!a #ri!arioEl siste!a #ri!ario es !u' ("cil de resolver #or los !étodoses !u' ("cil de resolver #or los !étodos'a conocidos en estructuras.'a conocidos en estructuras.

En este caso:En este caso:

7o7oAA D PK?) D PK?)

7o'7o'AA 7o' 7o'BB P=?) Q=?) P=?) Q=?)

NoNoAA D No D NoBB Q=)?1) D P=?> Q=)?1) D P=?>

*I*HENA P7INA7I3*I*HENA P7INA7I3

=as reacciones en la dirección de las coordenadas glo+ales=as reacciones en la dirección de las coordenadas glo+ales(or!an el(or!an el Rector Carga Pri!ariaRector Carga Pri!aria QQo.o.

Universidad Católica Andrés Bello – Postgrado de Ingeniería Estructural. )>


28/30

g g )>

Para este caso el Rector Carga Pri!aria es:Para este caso el Rector Carga Pri!aria es:

QQo o

-PK?)PK?)

P=?) Q=?)P=?) Q=?)

Q=Q=))?1)DPK?>?1)DPK?>

P=?) Q=?)P=?) Q=?)

DQ=DQ=))?1)PK?>?1)PK?>

Universidad Católica Andrés Bello – Postgrado de Ingeniería Estructural. )@


29/30

g g

*I*HENA C3NP=ENEHA7I3*I*HENA C3NP=ENEHA7I3

=as cargas actuantes (or!an el RECH37=as cargas actuantes (or!an el RECH37 CARGA QCARGA Q de la estructura ' son las reacciones del siste!ade la estructura ' son las reacciones del siste!a#ri!ario ca!+iadas de signo.#ri!ario ca!+iadas de signo. QQ D D QQoo

QQ

PK?)PK?)DP=?) D Q=?)DP=?) D Q=?)

DQ=DQ=))?1)PK?>?1)PK?>

DP=?)D Q=?)DP=?)D Q=?)Q=Q=))?1)DPK?>?1)DPK?>

El problema se reduce a El problema se reduce a

resolver el problemaresolver el problema

complementariocomplementario

Universidad Católica Andrés Bello – Postgrado de Ingeniería Estructural. ,


30/30

RECH37 4E CA7GA*RECH37 4E CA7GA*

ESP7E*A43 E 3H73 *I*HENAESP7E*A43 E 3H73 *I*HENA

Por tra+a2os virtuales #uede llegar a de!ostrarse %ue:Por tra+a2os virtuales #uede llegar a de!ostrarse %ue:

F H.F0F H.F0

%ue : %ue :F0 HF0 HD1D1//HH .F.F

Si el segundo sistema Si el segundo sistema

es tambiénes también generalizado generalizado

Igual!ente:Igual!ente: F H.7 F H.7

Pero:Pero: 77≠

HHD1D1 //HH.. FF

Si el segundo sistema Si el segundo sistema No es generalizado No es generalizado

Sesion-1(tema2)

Documents

Transcript of Sesion-1(tema2)