i

SIMULASI PELUANG RUIN

DENGAN SUKU PREMI TIDAK KONSTAN

MENGGUNAKAN DUAL DARI FUNGSI SURPLUS

SKRIPSI

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains dalam bidang matematika

oleh:

BINTANG FAJAR

135090407111010

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG

2017

ii

iii

LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI

SIMULASI PELUANG RUIN

DENGAN SUKU PREMI TIDAK KONSTAN

MENGGUNAKAN DUAL DARI FUNGSI SURPLUS

Disusun Oleh:

BINTANG FAJAR

135090407111010

Setelah dipertahankan di depan Majelis Penguji

pada tanggal 07 Agustus 2017

dan dinyatakan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains dalam bidang Matematika

Pembimbing

Dra. Endang Wahyu Handamari, M. Si

NIP. 196611121991032001

Mengetahui,

Ketua Jurusan Matematika

Fakultas MIPA Universitas Brawijaya

Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si.,M.Si.,Ph.D

NIP. 197509082000031003

iv

v

LEMBAR PERNYATAAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Bintang Fajar

NIM : 135090407111010

Jurusan : Matematika

Judul Skripsi : SIMULASI PELUANG RUIN

DENGAN SUKU PREMI TIDAK

KONSTAN MENGGUNAKAN DUAL

DARI FUNGSI SURPLUS

Dengan ini menyatakan bahwa:

1. isi Skripsi yang saya buat adalah benar-benar karya sendiri

dan tidak menjiplak karya orang lain, selain nama- nama

yang termaktub di isi dan tertulis di Daftar Pustaka dalam

Skripsi ini.

2. Apabila di kemudian hari ternyata Skripsi yang saya tulis

terbukti hasil jiplakan, maka saya bersedia menanggung

segala risiko yang akan saya terima.

Demikian pernyataan ini dibuat dengan segala kesadaran.

Malang,

Yang menyatakan,

Bintang Fajar

NIM. 135090407111010

vi

vii

SIMULASI PELUANG RUIN

DENGAN SUKU PREMI TIDAK KONSTAN

MENGGUNAKAN DUAL DARI FUNGSI SURPLUS

ABSTRAK

Mengestimasi peluang ruin dimana terdapat faktor bunga yang

bekerja pada premi, dapat digunakan dual dari fungsi surplus yaitu

fungsi kerugian. Fungsi kerugian dibuat dengan cara menegatifkan

fungsi surplus. Untuk mengestimasi peluang ruin dapat dilakukan

dengan cara mensimulasikan fungsi kerugian. Nilai dari fungsi

kerugian dibuat selalu positif atau bernilai nol saat nilainya negatif.

Melalui metode ini peluang ruin dapat dicari tanpa khawatir nilai dari

proses kerugian menuju ke negatif tak hingga. Peningkatan bunga

tidak mengakibatkan penurunan nilai peluang ruin. Penambahan nilai

modal awal memiliki pengaruh yang signifikan dalam penurunan

peluang ruin.

Kata kunci : Peluang ruin, fungsi surplus, dual.

viii

ix

THE SIMULATION OF RUIN PROBABILITY

WITH UNCONSTANT PREMIUM RATE

USING DUAL OF SURPLUS FUNCTION

ABSTRACT

Estimating the ruin probability which there is interest working on the

premium, dual function of the surplus function, loss function, can be

used. Loss function is formed from the negation of the surplus

function. Estimating the ruin probability can be done by simulating

the loss function. The amount of loss function is always positive, in

the other hand the amount is zero when its amount becomes negative.

Using this methods, the ruin probability can be found without

worrying that the amount of loss function goes to minus infinity. The

increasing of the intereset rate don’t affect in decreasing the ruin

probability. Initial fund gives significant effect in decreasing the

probability of ruin.

Keywords : Ruin probability, surplus function, duality.

x

xi

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan kasih

dan karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang

berjudul “SIMULASI PELUANG RUIN DENGAN NILAI

PREMI TIDAK KONSTAN MENGGUNAKAN DUAL DARI

FUNGSI SURPLUS” tepat pada waktunya. Penulisan skripsi ini

dilakukan dalam rangka memenuhi salah satu syarat untuk

memperoleh gelar Sarjana pada program studi Matematika, Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Brawijaya.

Penulisan Skripsi ini tidak lepas dari bantuan, bimbingan, dan

dukungan dari banyak pihak. Oleh karena itu, penulis

menyampaikan terima kasih kepada:

1. Dra. Endang Wahyu Handamari, M.Si. selaku Dosen

Pembimbing Skripsi atas bimbingan, arahan, saran dan kesabaran

yang telah diberikan selama penyusunan skripsi ini.

2. Prof. Dr. Agus Widodo, M.Kes dan Drs. Imam Nurhadi Purwanto,

MT selaku Dosen Penguji, atas segala kritik dan saran yang telah

diberikan untuk perbaikan Skripsi ini.

3. Vira Hari Krisnawati, S.Si., M.Sc selaku Dosen Penasehat

Akademik yang selalu memberikan motivasi dan nasihat selama

penulis menjadi mahasiswa di Universitas Brawijaya.

4. Ratno Bagus Edy Wibowo S.Si., M.Si., Ph.D. selaku Ketua

Jurusan Matematika dan Dr. Isnani Darti, S.Si., M.Si. selaku

Ketua Program Studi Matematika atas segala bantuan yang

diberikan.

5. Seluruh dosen Matematika FMIPA Universitas Brawijaya yang

telah memberikan bekal dan ilmu pengetahuan serta staff

administrasi dan karyawan Jurusan Matematika atas segala

bantuannya.

6. Keluarga yang selalu memberikan cinta kasih, motivasi,

semangat, dukungan serta doa kepada penulis.

7. Teman-teman Matematika 2013 yang sangat luar biasa selama

bersama-sama menempuh program studi Matematika Universitas

Brawijaya dan yang juga memberikan dukungan, motivasi, dan

semangat selama penulisan skripsi ini.

xii

8. Teman-teman dari luar jurusan matematika yang telah memberi

motivasi dan semangat.

9. Semua pihak yang telah membantu selama proses perkuliahan

program studi Matematika FMIPA Universitas Brawijaya yang

tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini masih

terdapat kekurangan, untuk itu penulis mengharapkan kritik dan

saran dari semua pihak. Kritik dan saran dapat dikirim melalui

email penulis bintanggfajar@gmail.com. Semoga skripsi ini dapat

bermanfaat bagi pembaca khususnya mahasiswa Matematika

Universitas Brawijaya.

Malang,

Penulis

xiii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................ i LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI ........................................... iii LEMBAR PERNYATAAN ............................................................. v ABSTRAK ..................................................................................... vii ABSTRACT ..................................................................................... ix KATA PENGANTAR .................................................................... xi DAFTAR ISI ................................................................................. xiii DAFTAR GAMBAR ..................................................................... xv DAFTAR TABEL ........................................................................ xvii BAB I ................................................... Error! Bookmark not defined.

1.1 Latar Belakang ...................... Error! Bookmark not defined.

1.2 Rumusan Masalah ................. Error! Bookmark not defined.

1.3 Asumsi .................................. Error! Bookmark not defined.

1.4 Tujuan ................................... Error! Bookmark not defined.

BAB II ................................................. Error! Bookmark not defined. 2.1 Peubah Acak .......................... Error! Bookmark not defined.

2.1.1 Ekspektasi.......................... Error! Bookmark not defined.

2.1.2 Variansi .............................. Error! Bookmark not defined.

2.1.3 Fungsi pembangkit momen. Error! Bookmark not defined.

2.2 Proses Stokastik ..................... Error! Bookmark not defined.

2.2.1 Proses Poisson ................... Error! Bookmark not defined.

2.2.2 Proses Poisson majemuk.... Error! Bookmark not defined.

2.2.3 Rantai Markov ................... Error! Bookmark not defined.

2.2.3.1 Distribusi stasioner ....... Error! Bookmark not defined.

2.2.3.2 Rata-rata kunjungan pada keadaan stasioner ...... Error!

Bookmark not defined.

2.3 Hukum Bilangan Besar (Kuat)Error! Bookmark not defined.

2.4 Model Risiko Kolektif ........... Error! Bookmark not defined.

2.5 Model Ruin Klasik ................ Error! Bookmark not defined.

2.5.1 Model ruin untuk waktu diskrit ........ Error! Bookmark not

defined.

2.6 Force of Interest .................... Error! Bookmark not defined.

xiv

2.7 Dualitas ................................. Error! Bookmark not defined.

2.7.1 Dualitas pada fungsi surplusError! Bookmark not defined.

2.8 Penentuan Distribusi StasionerError! Bookmark not defined.

2.9 Relative Security Loading ...... Error! Bookmark not defined.

BAB III ................................................ Error! Bookmark not defined. 3.1 Jenis Penelitian ...................... Error! Bookmark not defined.

3.2 Sumber Data .......................... Error! Bookmark not defined.

3.3 Metode Penelitian .................. Error! Bookmark not defined.

3.4 Analisis Data ......................... Error! Bookmark not defined.

3.5 Diagram Alir.......................... Error! Bookmark not defined.

BAB IV ................................................ Error! Bookmark not defined. 4.1 Fungsi Surplus dengan Premi Tidak Konstan .............. Error!

Bookmark not defined.

4.2 Fungsi Surplus dan Fungsi Sediaan ..... Error! Bookmark not

defined.

4.3 Pembuktian Dualitas .............. Error! Bookmark not defined.

4.4 Simulasi ................................. Error! Bookmark not defined.

BAB V ................................................. Error! Bookmark not defined. 5.1 Kesimpulan ............................ Error! Bookmark not defined.

5.2 Saran ...................................... Error! Bookmark not defined.

DAFTAR PUSTAKA ......................... Error! Bookmark not defined.

xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Ilustrasi fungsi surplus ............................................... 15

Gambar 2.2 Grafik untuk mendefinisikan ..................... 17

Gambar 2.3 Ilustrasi grafik H(t) dan L(t) ............................................... 21

Gambar 3.1 Diagram alir penelitian ....................................................... 25

Gambar 4.1 Ilustrasi grafik U(t) dan X(t) ............................................... 28

xvi

xvii

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Hasil simulasi perhitungan peluang ruin dengan tingkat

bunga berbeda............................................................... 32

Tabel 4.2 Hasil simulasi perhitungan peluang ruin dengan modal

awal berbeda ................................................................. 33

Tabel 4.3 Prosentase penurunan peluang ruin dengan tingkat bunga

berbeda ......................................................................... 34

Tabel 4.4 Prosentase penurunan peluang ruin dengan modal awal

berbeda ......................................................................... 34

18

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari hari sering dihadapi hal-hal yang

tidak pasti. Ketidakpastian tersebut seringkali menyebabkan suatu

kerugian pada kehidupan, misalnya adalah terjadinya kecelakaan

atau kematian. Maka dari itu, diperlukan rencana antisipasi untuk

mengurangi dampak yang ditimbulkan apabila timbul suatu kerugian.

Salah satu cara untuk mengantisipasi kerugian tersebut adalah

dengan mengikuti suatu asuransi.

Dengan mengikuti program asuransi berarti seseorang setuju

untuk membayarkan sejumlah uang kepada pihak asuransi dan

menyetujui kontrak asuransi dan menjadi pemegang polis. Suatu

dana santunan akan diberikan oleh pihak asuransi apabila terjadi

suatu kerugian yang menimpa pemegang polis. Saat hal tersebut

terjadi, maka pemegang polis berhak untuk mengajukan klaim

kepada pihak asuransi atas dana sesuai dengan kontrak asuransi yang

telah disetujui.

Dari sudut pandang pihak perusahaan asuransi, dengan

menyetujui kontrak asuransi dengan pemegang polis berarti

perusahaan asuransi setuju untuk menanggung risiko yang mungkin

dialami pemegang polis. Perusahaan asuransi akan menerima

pemasukan dari premi yang dibayarkan pemegang polis, dan

perusahaan asuransi harus memberikan santunan jika terdapat

pemegang polis yang mengajukan klaim. Jumlah dan waktu dari

klaim yang diajukan oleh pemegang polis tidak dapat diketahui

dengan pasti.

Untuk meminimalkan risiko pada perusahaan asuransi, sangat

penting untuk mengetahui peluang ruin. Ruin adalah keadaan dimana

perusahaan asuransi mengalami kerugian untuk pertama kali.

Terdapat beberapa cara menghitung peluang ruin, metode yang

paling dasar adalah dengan metode ruin klasik. Anugerah Rizki I

pada tahun 2007 melakukan penelitian tentang perhitungan peluang

ruin dengan menggunakan fungsi surplus, atau menggunakan model

ruin klasik. Francois Dufrense dan Hans U. Gerber menuliskan tiga

metode perhitungan ruin pada artikelnya yang berjudul Three

2

Methods to calculate the Probability of Ruin. Metode yang

dijelaskan antara lain metode upper and lower bound, metode

dengan distribusi kombinasi eksponensial, serta yang terakhir adalah

dengan simulasi. Arif Edi Nugroho pada tahun 2009, berdasarkan

artikel dari Gerber dan Dufrense melakukan penelitian tentang

perhitungan peluang ruin menggunakan metode batas atas dan batas

bawah. Selain itu pada tahun 2014, Karmila dkk. Melakukan

penelitian tentang perhitungan peluang ruin menggunakan metode

kombinasi eksponensial. Metode-metode yang diajukan oleh Gerber

dan Dufrense digunakan untuk menghitung peluang ruin dengan

asumsi premi yang diterima pihak asuransi bernilai konstan. Pada

kenyataannya sistem keuangan menerapkan sistem bunga, hal ini

menyebabkan nilai premi tidak konstan.

Skripsi ini akan mengulas kembali pengaruh bunga dan

modal awal terhadap pendekatan peluang ruin melalui simulasi.

Rujukan utama yang digunakan dalam skripsi ini adalah artikel oleh

Frederic Michaud pada tahun 1996 dengan judul Estimating the

Probability of Ruin for Variable Premiums by Simulation. Pada

artikel tersebut dibahas dual dari fungsi surplus yang menyerupai

fungsi sediaan dan digunakan untuk mengestimasi nilai peluang ruin.

Estimasi dilakukan dengan cara melakukan simulasi dengan satu

tingkat bunga. Terdapat dua ilustrasi yang menyebabkan nilai

preminya tidak konstan, yaitu saat bunga dikenakan pada fungsi

surplus, dan nilai premi dihitung per layer.Pada skripsi ini akan

digunakan beberapa nilai tingkat bunga dan beberapa nilai modal

awal untuk mengestimasi peluang ruin.

1.2 Rumusan Masalah

Rumusan masalah pada skripsi ini adalah:

1. Bagaimana mengestimasi peluang ruin dengan nilai premi tidak

konstan menggunakan metode dual melalui metode simulasi?

2. Bagaimanakah pengaruh bunga terhadap peluang ruin melalui

metode simulasi?

3. Bagaimanakah pengaruh modal awal terhadap peluang ruin

melalui metode simulasi?

3

1.3 Asumsi

Asumsi yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah:

1. Diasumsikan pada perusahaan asuransi hanya terjadi pembayaran

premi dan pengajuan klaim.

2. Diasumsikan premi yang diinvestasikan pada perusahaan asuransi

mendapatkan bunga.

3. Diasumsikan Model waktu yang digunakan adalah model waktu

diskrit.

4. Diasumsikan besar klaim dan waktu antar klaim berdistribusi

Poisson.

1.4 Tujuan

Tujuan penulisan skripsi ini adalah:

1. Menjelaskan metode mengestimasi peluang ruin dengan nilai

premi tidak konstan menggunakan metode dual melalui metode

simulasi.

2. Mengetahui pengaruh bunga terhadap peluang ruin melalui

metode simulasi.

3. Mengetahui pengaruh modal awal terhadap peluang ruin melalui

metode simulasi.

4

1

BAB II

DASAR TEORI

2.1 Peubah Acak

Peubah acak adalah suatu fungsi bernilai riil yang

didefinisikan pada suatu ruang sampel. Contohnya pada suatu

percobaan, maka akan terdapat fungsi dari hasil percobaan dan hasil

percobaan sebenarnya. Karena nilai dari suatu peubah acak

ditentukan dari hasil percobaan, maka dibentuk peluang-peluang

kemungkinan dari nilai-nilai peubah acak.

Suatu peubah acak memiliki fungsi kepadatan peluang,

dinotasikan p(x), yaitu menyatakan besarnya peluang pada suatu

ruang sampel. Selain itu juga terdapat fungsi distribusi kumulatif

( ) * +

Menyatakan untuk semua nilai riil x, peluang nilai dari peubah acak

adalah kurang dari sama dengan x.

2.1.1 Ekspektasi

Salah satu konsep penting dalam teori peluang adalah nilai

ekspektasi. Misalkan X adalah suatu peubah acak dengan fungsi

kepadatan peluang p(x), maka nilai ekspektasinya dinotasikan

dengan E[X] didefinisikan sebagai

, - ∑ ( ) ( ) ,

untuk peubah acak diskrit, dan untuk peubah acak kontinu

didefinisikan sebagai berikut

, - ∫ ( )

.

Nilai ekspektasi dari X adalah rata rata nilai kemungkinan yang

dapat dimuat oleh X.

2

2.1.2 Variansi

Diberikan suatu peubah acak X dengan fungsi distribusi F.

Untuk mengetahui sifat-sifat dari peubah acak dibutuhkan suatu

ukuran yang cocok. Ekspektasi merupakan salah satu ukuran yang

dapat digunakan untuk mengetahui sifat peubah acak, namun

ekspektasi tidak menjelaskan tentang variasi atau sebaran data dari

suatu peubah acak.

Variansi digunakan untuk mengetahui seberapa jauh sebaran

nilai-nilai X dari nilai rata ratanya. Variansi didefinisikan sebagai

( ) ,( ) - atau

( ) , - , - ,

dengan X merupakan suatu peubah acak dengan rata-rata .

2.1.3 Fungsi pembangkit momen

Fungsi pembangkit momen ( ) dari peubah acak X, jika ada

didefinisikan untuk setiap nilai riil dari t sebagai berikut

( ) , - . (2.1)

( ) disebut fungsi pembangkit momen karena semua momen dari

X dapat diperoleh dengan menurunkan ( ) dan mengevaluasi

hasilnya pada .

(Ross, 2010)

2.2 Proses Stokastik

Proses stokastik * ( ) + merupakan kumpulan dari

peubah acak, yaitu untuk setiap t pada indeks T, G(t) merupakan

peubah acak. Biasanya diinterpretasikan t sebagai waktu, dan G(t)

adalah keadaan proses pada waktu t. Indeks T dibedakan menjadi dua,

jika T merupakan deretan yang dapat dihitung maka G disebut

proses stokastik waktu diskrit, dan jika T merupakan suatu deretan

yang kontinu maka G disebut proses stokastik waktu kontinu.

Dalam proses stokastik terdapat kenaikan bebas dan kenaikan

stasioner. Kenaikan bebas yaitu bila kejadian-kejadian yang terjadi

3

pada interval yang berbeda dan tidak beririsan pada suatu proses

stokastik dengan parameter kontinu * ( ) + adalah bebas.

Suatu proses stokastik berparameter kontinu * ( ) + memiliki

kenaikan stasioner bila ( ) ( ) memiliki distribusi

yang sama dengan ( ) ( ) untuk setiap nilai s dan t, namun

tidak pada suatu nilai tertentu s.

(Ross, 1996)

2.2.1 Proses Poisson

Suatu fungsi f dikatakan sebagai ( ) jika

( )

Yaitu untuk nilai h yang kecil, nilai dari ( ) lebih kecil. Diketahui

suatu kejadian terjadi pada suatu waktu yang acak, dan ( ) merupakan banyaknya kejadian yang terjadi pada suatu interval , -. Kumpulan peubah acak * ( ) + merupakan Proses Poisson

dengan parameter , , jika

i. ( ) .

ii. Kejadian yang terjadi pada interval waktu yang tidak

beririsan saling bebas.

iii. Distribusi banyaknya kejadian pada suatu interval waktu

hanya bergantung pada lamanya interval waktu tersebut,

tidak bergantung pada letaknya.

iv. Peluang kemunculan tepat satu kejadian dalam interval h

adalah ( ) , yaitu bahwa , ( ) - ( ) .

v. Peluang kemunculan lebih dari satu kejadian dalam suatu

interval h adalah ( ), yaitu bahwa , ( ) - ( ). Poin (i) menyatakan bahwa proses dimulai pada waktu . Poin

(ii) menyatakan kenaikan bebas, dan poin (iii) menyatakan kenaikan

stasioner.

Lemma 2.2.1

Untuk Proses Poisson dengan parameter λ

* ( ) +

Bukti

Diberikan ( ) * ( ) +, sehingga

4

( ) * ( ) + * ( ) ( ) ( ) + * ( ) + * ( ) ( ) + ( ), ( )- ,

dengan demikian

( ) ( )

( )

( )

Dan

( ) ( )

( )

Sehingga

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) .

Karena ( ) ( ( ) ) , maka ( ( ) ) ,

artinya: peluang tidak ada kejadian hingga waktu t adalah atau

* ( ) +

Untuk

( ) * ( ) + * ( ) ( ) ( ) +

* ( ) ( ) ( ) +

* ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,

dengan demikian

5

( ) ( )

( ) ( )

( )

dan

( ) ( )

( )

sehingga

( ) ( ) ( )

( ( ) ( )) ( )

. ( )/ ( ).

Ketika n=1 diperoleh

. ( )/ dan

( ) ( )

karena ( ) maka , sehingga terdapat satu kejadian

hingga waktu t adalah ( ) . Maka secara umum dapat

dirumuskan

( ) ( )

(Ross, 2010)

2.2.2 Proses Poisson majemuk

Suatu proses stokastik * ( ) + disebut Proses Poisson

majemuk jika untuk

( ) ∑

( )

dimana * ( ) + merupakan proses Poisson, dan * }

merupakan distribusi peubah acak yang bersifat independen dan

identik serta bebas dari proses * ( ) + . Sehingga jika

6

* ( ) + merupakan proses Poisson majemuk, maka ( ) merupakan peubah acak Poisson.

Contoh dari proses Poisson majemuk, dimisalkan waktu

kedatangan pengunjung pada suatu toko mengikuti distribusi Poisson

dengan parameter λ. Selain itu, jumlah uang yang akan dibelanjakan

oleh masing-masing pengunjung juga membentuk sautu peubah acak

yang bersifat independen dan identik yang bebas terhadap waktu

kedatangan pengunjung.

2.2.3 Rantai Markov

Diberikan suatu barisan peubah acak dan

nilai yang mungkin dari peubah acak adalah {0,1,2,...,M}.

diinterpretasikan sebagai keadaan suatu sistem pada waktu n, dan

keadaan suatu sistem tersebut adalah i pada waktu n jika . Suatu barisan peubah acak membentuk suatu Rantai Markov jika

setiap sistem berada di keadaan i, terdapat suatu peluang , yaitu

selanjutnya sistem akan berada di keadaan j. Sehingga untuk semua

berlaku

* | +

Dengan disebut sebagai peluang transisi

dari Rantai markov, dimana

∑

terpenuhi. Akan sangat memudahkan untuk menyusun suatu peluang

transisi dari Rantai Markov menjadi suatu matriks persegi

[

]

disebut matriks transisi. Notasi untuk peluang transisi dari keadaan i

menuju keadaan j dalam n langkah adalah didefinisikan sebagai

* | +

7

Sehingga untuk n langkah matriks transisi dilakukan sebanyak n

faktor dari P, atau

Selain itu juga terdapat suatu kondisi awal Rantai Markov

( ) ( ) ∑ ( )

dengan merupakan suatu vektor baris yang menyatakan peluang

peluang dari suatu keadaan yang nantinya dapat berpindah atau tetap

pada keadaan tersebut bergantung pada matriks transisinya

2.2.3.1 Distribusi stasioner

Jika diketahui Rantai Markov dengan ruang keadaan S dan

matriks transisi P, terdapat distribusi dari keadaan dimana

dan

∑

disebut sebagai distribusi stasioner.

2.2.3.2 Rata-rata kunjungan pada keadaan stasioner

Diberikan suatu keadaan awal suatu rantai Markov merupakan

distribusi stasioner dengan peluang transisi

( )

Setiap transisi akan berpindah antara satu langkah ke kanan atau

satu langkah ke kiri. Maka, rantai Markov akan berada pada kondisi

awal yaitu pada keadaan stasioner setelah melakukan langkah genap.

Dengan kata lain ( ) untuk n bilangan ganjil, dan

( ) ( )

tidak berlaku.

8

Berdasarkan ilustrasi tersebut, diberikan merupakan

suatu deret bilangan. Jika

(2.2)

untuk L merupakan suatu bilangan berhingga, maka

∑

(2.3)

Berdasarkan (2.2) dan (2.3) akan ditunjukkan bahwa

∑

( )

ada untuk setiap pasangan keadaan x, y pada sebarang rantai Markov.

Mengingat kembali

( ) {

dan

. ( )/ ( ) ( )

Dengan . ( )/ menyatakan ekspektasi transisi dari keadaan x

menuju keadaan y dalam n langkah. Selanjutnya diberikan

( ) ∑ ( )

dan

( ) ∑ ( )

( ) menyatakan jumlah kunjungan pada keadaan y selama waktu

m=1,2,3,...,n, dan nilai ekspektasinya adalah

( ( )) ( )

9

Dimisalkan y merupakan keadaan sementara, maka

( ) ( )

dengan peluang satu, dan

( ) ( )

Maka dari itu

( )

dengan peluang satu, dan

( )

Perhatikan bahwa ( )

merupakan suatu bagian dari n unit waktu

pertama rantai Markov berada di state y dan ( )

menyatakan

ekspektasi dari waktu suatu rantai markov berada di keadaan y.

Dimisalkan y adalah kondisi berulang, dan ( )

menyatakan mean return time menuju keadaan y dari suatu rantai

dimulai dari keadaan y jika memiliki nilai ekspektasi yang positif,

jika tidak maka Diberikan ( ) menyatakan peubah

acak yang bernilai 1 jika dan 0 jika .

2.3 Hukum Bilangan Besar (Kuat)

Diberikan merupakan suatu barisan peubah acak yang

independen dan identik. Jika peubah acak tersebut memiliki rata-rata

yang berhingga , maka

dengan peluang satu. Jika peubah acak tersebut tidak negatif dan

tidak memiliki nilai ekspektasi yang berhingga, limit di atas tetap

terpenuhi, dan diasumsikan .

10

Teorema 2.3

Diberikan y merupakan kondisi stasioner. Maka

( )

* +

dengan peluang satu, dan

( )

menyatakan bahwa keadaan y akan tercapai jika proses berawal

dari keadaan x.

Saat sebuah rangkaian mencapai y, rangkaian tersebut kembali

ke y dengan rata-rata setiap my satuan waktu. Sehingga jika

dan n adalah bilangan yang besar, dari sebanyak n satuan waktu,

rangkaian kejadian berada pada keadaan y adalah ⁄

Akibat wajar dari Teorema 2.3 adalah, diberikan C

merupakan himpunan tertutup tak tereduksi dari suatu kondisi

berulang, maka

( )

dan jika ( ) , maka dengan peluang satu

( )

Jika maka

, dan

( )

.

(Hoel,Port and Stone, 1972)

2.4 Model Risiko Kolektif

Model risiko kolektif merupakan model risiko dimana pada

suatu portofolio terdapat beberapa polis asuransi, dan setiap polis

11

pada portofolio tersebut terdapat kemungkinan mengajukan lebih

dari satu kali klaim (jumlahnya tidak diketahui) pada suatu periode

asuransi. Secara umum dapat diformulasikan sebagai berikut

. (2.4)

Dengan S menyatakan klaim agregasi pada suatu periode, N

menyatakan Jumlah klaim yang dihasilkan dari portofolio polis pada

suatu periode, dan WN menyatakan Besar klaim ke-N, dengan

N=1,2,3,...,n.

N merupakan peubah acak dan merupakan kumpulan dari

frekuensi klaim. W1, W2, W3, ... XN adalah peubah acak dan disebut

measure the severity of claims. Diasumsikan W1, W2, W3, ... WN

bersifat identik dan saling bebas.

(Riaman dkk., 2013)

2.5 Model Ruin Klasik

Diberikan U(t) adalah surplus pada waktu t dengan U(0)

adalah modal awal sebesar u, c(t) adalah premi yang didapatkan

hingga waktu t, dan S(t) adalah klaim agregasi hingga waktu t. Maka

fungsi surplus (U(t)) adalah

( ) ( ) ( )

Dengan asumsi premi yang didapatkan konstan, grafik dari fungsi

surplus ditunjukkan pada Gambar 2.1 berikut.

Gambar 2.1. Ilustrasi fungsi surplus U(t)

Seperti yang terlihat pada Gambar 2.1, nilai surplus akan

bernilai negatif pada suatu waktu tertentu. Saat hal ini terjadi untuk

12

pertama kali, kejadian ini disebut keadaan ruin dan didefinisikan

sebagai

* ( ) +,

yang merupakan waktu terjadinya ruin dengan pengertian bahwa

jika U(t) 0 untuk semua t. Sehingga peluang terjadinya ruin

adalah

( ) ( )

2.5.1 Model ruin untuk waktu diskrit

Diberikan Un adalah surplus pada waktu ke-n, dengan

n=0,1,2,3, ... . Maka seperti yang telah diketahui, fungsi surplus pada

waktu ke-n adalah

(2.5)

Dengan u adalah modal awal. Premi yang diterima setiap periode

konstan dinotasikan dengan c. Sn merupakan klaim agregasi selama n

periode. Selanjutnya didefinisikan

(2.6)

Dengan Wi adalah peubah acak yang menyatakan besar klaim pada

periode ke-i, dan W1, W2, ... bersifat independen identik dengan

, - Dengan mensubstitusikan (2.6) ke (2.5) maka Un

dapat dinyatakan sebagai

( ) ( ) ( )

Selanjutnya didefinisikan

* +

menyatakan waktu terjadinya ruin, dengan anggapan jika

Un 0 untuk semua n. Maka peluang ruin dalam konteks ini

didefinisikan sebagai

( ) ( ).

13

Terdapat hubungan yang penting antara peluang ruin dengan

adjustment coefficient. Di mana adjustment coefficient ( ) didefinisikan sebagai solusi positif dari persamaan

( ) [ ( )] ( )

atau ( ) . (2.7)

Untuk menunjukkan keberadaan dari akan ditunjukkan pada

grafik dari ( ) seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.2

dapat ditelusuri dengan mengamati bahwa

[ ( )] ,( ) ( ) dan

[ ( )] ,( ) ( )

Gambar 2.2. Grafik ( ) untuk mendefinisikan .

Pada Gambar 2.2 ditunjukkan bahwa kemiringan pada saat

adalah , merupakan suatu nilai yang negatif, serta

grafiknya menghadap ke atas. Jika diberikan W memiliki peluang

untuk melebihi nilai c, pada turunan pertama, untuk nilai r yang

cukup besar W menjadi positif dan tetap positif. Maka dari itu

ditunjukkan pada Gambar 2.2, , ( )- memiliki nilai minimum

14

dan (2.7) memiliki sebuah akar positif. Akar positif ini disebut

adjustment coefficient.

Sebagai contoh, diketahui suatu klaim memiliki distribusi

normal ( ). Sebagaimana diketahui fungsi pembangkit momen

dari distribusi normal adalah ( )

. Berdasarkan (2.7)

nilai dari dapat dicari dengan cara sebagai berikut

, ( )-

[

]

(2.8)

Sehingga solusi positif dari (2.6) adalah

( )

Secara umum peluang ruin dapat diperoleh dengan menggunakan

teorema 2.5.1 berikut

Teorema 2.5.1

Diberikan Un = u + nc – ∑ untuk n= 0,1,2,... dan W1, W2, ...

independen identik dengan , - . Untuk U 0 , maka

( ) ( )

, ( ) | - .

(Bowers dkk., 1986)

2.6 Force of Interest

Suatu investasi dana dimana pada waktu t jumlahnya diberikan

pada fungsi A(t), yaitu suatu intensitas dimana bunga i beroperasi

pada suatu dana dalam waktu pembungaan. Satu-satunya faktor yang

yang beroperasi pada dana adalah pertumbuhan dana melalui bunga,

dengan catatan tidak ada dana pokok yang ditambahkan atau ditarik.

Intensitas dimana bunga beroperasi pada waktu t dihitung

dengan laju perubahan atau kemiringan dari fungsi A(t) pada waktu t.

15

Pada kalkulus dasar, kemiringan pada fungsi A(t) pada waktu t

didapatkan dengan menghitung turunan pada titik tersebut.

Namun dalam perhitungan bunga, A’(t) tidak memuaskan,

karena perhitungan bunga bergantung pada besarnya jumlah yang

diinvestasikan. Misalkan suatu dana sebesar 100 dan 200

diinvestasikan dalam kondisi yang sama, tingkat perubahan dana

sebesar 200 akan dua kali lebuh besar dibandingkan dana sebesar

100. Namun bunga tidak beroperasi dengan intensitas dua kali lebih

besar pada dana sebesar 200. Bunga pada kedua dana adalah sama

karena kedua dana baik 100 dan 200 diinvestasikan pada kondisi

yang sama.

Untuk mendapatkan intensitas bunga yang beroperasi pada

waktu t sebagai suatu tingkat pertumbuhan yang independen dari

besarnya dana awal, dapat dilakukan dengan membagi A’(t) dengan

besarnya dana pada waktu t atau A(t). Dengan demikian, percepatan

pembungaan pada waktu t, dinotasikan dengan , didefinisikan

sebagai berikut

( )

( )

( )

( ) atau

( )

( )

Maka dengan mengintegralkan kedua sisi dengan batas 0 dan t

diperoleh

∫

∫

( )

( )|

( )

( )

Sehingga

∫

( )

( )

( )

( ) ( )

Dengan ( ) ( ) , dapat dinyatakan dalam i, diperoleh

16

( ) ( ) ∫

dengan sifat dari t adalah sebagai berikut:

1. adalah suatu ukuran intensitas bunga tepat pada waktu t.

2. menyatakan ukuran tingkat perubahan per periode pengukuran.

(Kellison, 2009)

2.7 Dualitas

Suatu model persamaan dengan bentuk asli disebut sebagai

primal. Sedangkan bentuk kedua yang berhubungan dengan model

primal disebut sebagai dual yang merupakan model alternatif primal.

Suatu model dual merupakan pengembangan dari model primal yang

dirumuskan dan diinterpretasikan untuk mendapatkan informasi

informasi tambahan. Suatu model dual dibuat untuk menyelesaikan

masalah yang sulit diselesaikan dengan model primal.

2.7.1 Dualitas pada fungsi surplus

Diketahui fungsi surplus ( ) ( ) ( ) .

Berdasarkan fungsi surplus tersebut dibentuk suatu model dual, yaitu

merupakan fungsi kerugian atau loss function. Didefinisikan

agregate loss pada waktu t sebagai berikut

( ) ( ) ( )

dan maximal agregate loss pada interval waktu 0 sampai t sebagai

berikut

( )

( )

Maka peluang survival pada waktu t (sebuah fungsi dari surplus

awal) merupakan distribusi fungsi dari M(t), didefinisikan sebagai

berikut

( ) ( ( ) ).

Selanjutnya didefinisikan

( ) ( )

( ),

17

proses {H(t)} didapatkan dari proses {L(t)} dengan membuat

nilainya selalu tidak negatif. Klaim yang terjadi pada proses {H(t)}

menjadi lompatan-lompatan sebagaimana ditunjukkan pada Gambar

2.3 berikut.

Gambar 2.3. Ilustrasi grafik H(t) dan L(t)

Diberikan

( ) ( ( ) )

menyatakan distribusi fungsi dari H(t). Sehingga H(t) dapat

dinyatakan sebagai

( )

* ( ) ( )+.

Karena proses L(t) memiliki distribusi stasioner dan kenaikan yang

independen, mengakibatkan H(t) dan M(t) memiliki distribusi yang

sama. Oleh karena itu dapat disimpulkan

( ) ( ). (2.9)

Dengan menyatakan distribusi stasioner dari {H(t)} sebagai

( ) ( ), (2.10)

H(t)

L(t)

t

y

18

dan berdasarkan (2.9) menunjukkan bahwa F(u) dapat diperoleh

dengan efektif.

2.8 Penentuan Distribusi Stasioner

Distribusi dari F(Y) dapat diperoleh dengan melakukan

simulasi dengan cara berikut: Untuk suatu nilai tertentu y diberikan

D(y,t) menyatakan waktu total dari proses {H(z)} berada di bawah

tingkatan x sebelum waktu t. Sehingga dapat ditunjukkan bahwa

( )

( ) . (2.11)

Dengan menyatakan waktu lompatan ke-n. Hal ini merupakan

aplikasi dari Strong Law of Large Numbers atau Hukum Bilangan

Besar Kuat yang terdapat pada Hoel, Port and Stone (1972, bagian

2.3). Berdasarkan (2.10) dan (2.11) dapat dilihat bahwa besarnya

peluang ruin equivalen dengan distribusi stasioner, dan dapat

diperoleh dengan melakukan simulasi, dimana proses {H(t)} harus

disimulasikan.

(Dufresne and Gerber, 1989)

2.9 Relative Security Loading

Perusahaan asuransi ingin mengumpulkan sejumlah bagian

dana setara dengan persentil ke-95 dari distribusi total klaim.

Perusahaan asuransi mendapatkan dana tersebut dari setiap individu,

dimana jumlahnya proporsional dengan ekspektasi klaim setiap

individu sebagai biaya tambahan premi. Suatu bagian dana dari

sebanyak individu dengan ekspektasi besar klaim , - adalah

( ) , -. Biaya tambahan sebesar , - merupakan security

loading, dan adalah relative security loading.

Relative security loading dapat dicari dengan cara

[ , -

√ ( )

, -

√ ( )]

19

Mendekati distribusi dari , -

√ ( ) dengan distribusi normal baku, dan

menggunakan persentil ke-95 didapatkan

, -

√ ( )

(Bowers dkk., 1986)

20

23

BAB III

METODOLOGI

3.1 Jenis Penelitian

Penelitian pada skripsi ini adalah mengulas kembali jurnal

dengan judul Estimating The Probability of Ruin for Variable

Premiums by Simulation, dimana akan dilakukan pengkajian metode

yang digunakan pada jurnal tersebut. Penelitian akan dilakukan

terhadap pendekatan peluang ruin menggunakan dual dari fungsi

surplus melalui simulasi. Selain itu, akan dilakukan bebrapa kali

simulasi dengan nilai bunga dan modal awal yang berbeda. Hasil dari

simulasi akan dianalisa untuk menentukan suatu kesimpulan.

3.2 Sumber Data

Data yang digunakan dalam skripsi ini didapatkan melalui

simulasi. Simulasi yang dilakukan bertujuan untuk mendekati nilai

peluang ruin.

3.3 Metode Penelitian

Dalam penelitian ini akan dilakukan sebuah simulasi untuk

mendekati peluang ruin. Simulasi yang dilakukan adalah

mensimulasikan proses dengan nilai awal pada tingkat

bunga dan nilai modal awal yang berbeda. Adapun langkah langkah

pendekatan peluang ruinnya adalah sebagai berikut:

1. Menentukan fungsi surplus dari suatu perusahaan asuransi.

2. Membentuk dual dari fungsi surplus yang telah ditentukan,

yaitu suatu proses 3. Mensimulasikan besarnya lompatan yang terjadi pada proses

, yaitu dan waktu antar lompatan .

4. Menentukan tingkat bunga dan batas x yang digunakan

dalam simulasi.

5. Menghitung nilai dari dengan

* (

) +

24

dimana merupakan tingkat percepatan pembungaan, dan c

adalah besarnya premi.

6. Menghitung yaitu merupakan waktu yang dibutuhkan

dari untuk mencapai batas x, dengan x adalah modal awal

(diasumsikan tidak terjadi lompatan atau klaim pada interval

ini), dan diperoleh dengan cara sebagai berikut

(

⁄

⁄

)

7. Menghitung waktu , yaitu waktu yang dibutuhkan

pada proses saat berada di bawah batas x sebelum lompatan

ke-n. didapatkan secara rekursif dengan cara

{

8. Menghitung peluang ruin dengan cara

∑

dimana atau menyatakan peluang survive,

sehingga peluang ruinnya adalah .

3.4 Analisis Data

Akan ditunjukkan bagaimana dual dari fungsi surplus dapat

digunakan untuk mencari peluang ruin. Simulasi akan dilakukan

sebagai contoh dari penggunaan dual dari fungsi surplus untuk

mencari peluang ruin. Hasil dari simulasi akan dianalisa, lalu akan

dibandingkan hasil simulasi dengan tingkat bunga dan modal awal

yang berbeda untuk mengetahui pengaruh bunga dan modal awal

terhadap peluang ruin.

25

3.5 Diagram Alir

Berdasarkan metodologi yang telah dibuat maka dibentuk

sebuah diagram alir penelitian seperti ditunjukkan pada Gambar 3.1

berikut

Mulai

Studi literatur

Membentuk fungsi surplus

Membentuk dual dari fungsi surplus

Mensimulasikan lompatan dan

waktu antar lompatan pada fungsi dual

Menentukan tingkat bunga dan batas x

A

26

Gambar 3.1. Diagram alir penelitian.

Menghitung 𝑌𝑛 𝑟𝑛 dan 𝐷𝑛 𝑦

∑ 𝑇𝑖𝑛𝑖=1

Menghitung peluang ruin

Analisis data dan membuat kesimpulan

Selesai

A

27

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Fungsi Surplus dengan Premi Tidak Konstan

Dufresne dan Gerber(1989) menggunakan dualitas antara

waktu tunggu semu pada single-server queue (M/G/1) dan proses

risiko dengan premi konstan untuk mendapatkan peluang ruin

dengan simulasi. Pembuktian dualitas telah ditunjukkan pada Feller

(1971, halaman 198) dan Seal (1972). Jika premi diasumsikan tidak

konstan, masih terdapat dualitas antara antara dua proses tersebut.

4.2 Fungsi Surplus dan Fungsi Sediaan

Proses surplus {U(t); t 0} dengan nilai modal awal U(0)=u

didefinisikan dengan persamaan diferensial stokastik

( ) ( ( )) ( ) (4.1)

dimana {S(t); t 0} adalah proses klaim agregasi dan c(.) adalah

suku premi dimana c(u)>0 untuk u>0. Diasumsikan {S(t) 0}

adalah proses Poisson majemuk dengan parameter dan distribusi

besarnya klaim adalah P(.). Ditekankan bahwa klaim tidak

diharuskan positif.

Saat premi diasumsikan tidak konstan, dapat dikatakan premi

mendapatkan bunga dengan tingkat percepatan pembungaan yang

konstan sebesar , sehingga didapatkan

( ) Pendapatan bunga ini setara dengan pemasukan premi dengan laju

linear sesuai dengan fungsi surplus.

Selanjutnya untuk membentuk suatu dual dari proses surplus,

diberikan {X(t)} dengan nilai awal X(0) dan persamaan diferensial

stokastik

( ) ( ( )) ( ) (4.2)

dengan c(.) dan S(t) sama dengan sebelumnya. Andaikan {X(t)}

adalah suatu proses dengan nilai tak negatif. Dengan demikian,

peningkatan dari {X(t)} didefinisikan sesuai dengan persamaan

diferensial stokastik di atas. Namun jika hal ini menyebabkan proses

28

memiliki nilai negatif, maka proses akan bernilai nol sampai keadaan

selanjutnya dimana nilainya positif.

Proses {X(t)} disebut Storage process karena beberapa

interpretasi berikut. Andaikan {X(t)} adalah keadaan x pada waktu t

(call x the stock) dan dengan memperhitungkan interval waktu yang

sangat kecil (t,t+dt), di mana pada selang interval tersebut terdapat

nilai input dS(t)dan output yang setara dengan c(x)dt. Pada konteks

ini, c(x) disebut release rate, yaitu fungsi dari stok saat ini.

Diasumsikan bahwa nilai stok tidak pernah bernilai negatif.

Gambar 4.1. Ilustrasi grafik U(t) dan X(t)

4.3 Pembuktian Dualitas

Didefinisikan fungsi ( ) adalah

( ) ∫ ( ( ))

Mengacu pada proses ( ) , saat belum terjadi klaim sama sekali

maka nilai dari ( ) adalah sama dengan ( ). Pada selang interval

h, merupakan selang interval dimana kemungkinan klaim pertama

akan terjadi atau tidak. Proses terjadinya klaim merupakan proses

Poisson majemuk. Peluang tidak terjadi klaim pada selang interval

tersebut adalah , dan peluang terjadi klaim pada selang interval

adalah . Dengan tidak adanya klaim pada interval h,

pertumbuhan fungsi surplus adalah ( ), sedangkan dengan adanya

klaim pada waktu t, pertumbuhan fungsi surplus didefinisikan

29

sebagai ( ) , dengan peluang ( ) Menggunakan hukum

peluang total untuk kemungkinan terjadinya klaim atau tidak pada

selang interval h, jika diasumsikan terjadi ruin pada saat terjadi

klaim pertama maka peluang survive dinyatakan dengan

( ) ( ( )) ∫

[ ∫ ( ( ) ) ( )

( )

] ( )

Perlu di ingat bahwa ( ) untuk setiap nilai u yang negatif,

dengan kata lain ruin pasti terjadi jika surplus pertama bernilai

negatif. Dengan menurunkan kedua ruas dari persamaan (4.3)

terhadap h, dan mensubtitusikan nilai maka akan

menghasilkan

( ) ( ) ∫ ( )

( ) ( )

Memandang fungsi ( ) sebagai fungsi dual dari fungsi ( ),

dan sebagaimana diketahui ( ) merupakan fungsi distribusi dari

proses ( ) dengan

( ) ( ( ) )

Diasumsikan nilai cukup besar sehingga proses ( ) tidak menuju

ke tak hingga dan memiliki distribusi stasioner. Diberikan ( )

merupakan distribusi stasioner, maka

( )

( )

Menggunakan alasan yang sama dengan persamaan (4.3) dapat

diturunkan persamaan integro diferensial untuk ( ) sehingga

didapat

( ) ( ) ∫ ( )

( ) ( )

30

Didefinisikan fungsi ( ), yaitu

( ) ∫ ( ( ))

dan interval waktu ( ) Maka kejadian

( ( ) ) equivalen dengan kejadian berikut

1. ( ( ) ( )) jika tidak terjadi lompatan pada interval

waktu yang diberikan, atau

2. ( ( ) ( ) ) jika pada interval waktu yang diberikan,

lompatan terakhir dari sampel adalah sebesar dan terjadi pada

waktu Menggunakan hukum peluang total berdasarkan keadaan di atas

didapatkan

( ) ( ( )) ∫ [ ∫ ( ( ) ) ( )

( )

] ( )

Dengan menurunkan persamaan (4.6) terhadap dan

mensubstitusikan maka didapatkan persamaan (4.5).

Bukti

Pada persamaan (4.3) didefinisikan suatu persamaan

( ) ( ( )) ∫

[ ∫ ( ( ) ) ( )

( )

]

( ( )) (

) [ ∫ ( ( ) ) ( )

( )

]

(4.7)

Menurunkan persamaan (4.7) terhadap maka didapatkan

( ) ( ( )) ( ( )) ∫ ( )

( )

(4.8)

Dan mensubstitusikan pada persamaan (4.8) didapatkan

persamaan (4.4). Dengan cara yang sama kita menurunkan

31

persamaan (4.6), dan mensubtitusikan pada hasil turunannya

sehingga diperoleh persamaan (4.5).

Jika dibandingkan antara (4.4) dan (4.5), dapat dilihat bahwa

( ) dan ( ) merupakan solusi dari persamaan integro diferensial

yang sama. Berdasarkan Dufresne dan Gerber dapat disimpulkan

bahwa ( ) ( ), sehingga peluang ruin dapat didekati dengan

mensimulasikan ( ). (Michaud, 1996)

4.4 Simulasi

Simulasi dilakukan untuk menghitung peluang ruin melalui

dual dari proses surplus, yaitu proses kerugian. Dalam simulasi, yang

pertama kali dilakukan yaitu membangkitkan data besar klaim atau

lompatan lompatan yang terjadi pada proses kerugian, dan waktu

antar klaim atau waktu antar lompatan. Data besar klaim ( ) yang

disimulasikan berdistribusi Poisson dengan parameter dan

data waktu antar klaim berdistribusi Poisson dengan parameter

Data besar klaim dan waktu antar klaim keduanya

dibangkitkan sebanyak 10.000 data.

Pembangkitan data tersebut dilakukan menggunakan program

R, yaitu program statistika berbasis bahasa R. Data yang telah

dibangkitkan pada program R kemudian diexport ke dalam bentuk

data excel untuk kemudian diolah pada microsoft excel.

Setelah data besar klaim dan waktu antar klaim dibangkitkan,

langkah selanjutnya adalah mensimulasikan proses ( ) . Proses

( ) merupakan proses kerugian dengan nilai yang tak negatif,

dengan kata lain di saat nilai dari ( ) kurang dari nol maka

( ) . Berdasarkan simulasi proses ( ) , dapat diketahui

keadaan proses berdasarkan data yang telah dibangkitkan, yaitu .

Setelah proses kerugian disimulasikan dan keadaan dari

dapat diketahui, ditentukan suatu nilai batas yaitu x. Keadaan dimana

nilai tidak melewati batas x adalah kondisi yang dapat digunakan

untuk menghitung peluang survive, atau dengan kata lain merupakan

komplemen dari peluang ruin. Batas x yang digunakan dalam

simulasi yaitu .

Penggunaan tingkat bunga yang berbeda-beda yaitu 1%, 2,5%,

5%, dan 10% dalam simulasi, tentunya menghasilkan peluang

32

survive yang berbeda-beda untuk setiap tingkat bunga yang

digunakan. Langkah langkah simulasi dapat dilihat pada sub bab 3.3

metode penelitian. Hasil simulasi menggunakan tingkat bunga yang

berbeda-beda ditunjukkan pada Tabel 4.1.

Tabel 4.1 Hasil simulasi perhitungan peluang ruin dengan

tingkat bunga berbeda

Y:Poisson(3); T:Poisson(4); c:1; x:3

δ n F(y)

1%

1.000 0,230796 0,769204

5.000 0,168771 0,831229

10.000 0,167148 0,832851

2,5%

1.000 0,158376 0,841624

5.000 0,116614 0,883386

10.000 0,117895 0,882105

5%

1.000 0,108667 0,891333

5.000 0,095109 0,904891

10.000 0,093091 0,906909

10%

1.000 0,088478 0,911522

5.000 0,096198 0,903802

10.000 0,095341 0,904659

Berdasarkan Tabel 4.1, dapat diketahui bahwa semakin besar

tingkat bunga yang digunakan, maka semakin besar peluang ruin

yang dihasilkan. Dengan kata lain, tingkat bunga berbanding lurus

dengan peluang ruin.

Selain tingkat bunga, hal yang berpengaruh dalam perhitungan

peluang ruin adalah modal awal. Pada simulasi yang telah dilakukan,

modal awal pada fungsi surplus dapat dianalogikan pada batas x yang

ditentukan untuk menghitung peluang survive. Dengan

mensimulasikan proses ( ) menggunakan batas x yang berbeda-

beda maka didapatkan beberapa nilai peluang survive dan peluang

ruin. Dengan membandingkan nilai peluang pada beberapa nilai

modal awal yang berbeda dapat diketahui bagaimana pengaruh

modal awal terhadap perhitungan peluang ruin. Sebagai contoh akan

disimulasikan proses ( ) dengan menggunakan batas x atau modal

awal yang berbeda-beda. Tabel 4.2 menunjukkan hasil simulasi

dengan modal awal yang berbeda-beda.

33

Tabel 4.2 Hasil simulasi perhitungan peluang ruin dengan

modal awal berbeda

Y:Poisson(3); T:Poisson(4); c:1; n:10.000

δ x F(y)

1%

3 0,167148 0,832852

6 0,620184 0,379816

9 0,860255 0,139745

12 0,956089 0,043911

15 0,985795 0,014205

2,5%

3 0,117895 0,882105

6 0,638131 0,361869

9 0,897589 0,102411

12 0,973579 0,026421

15 0,993884 0,006116

5%

3 0,093091 0,906909

6 0,682704 0,317296

9 0,931229 0,068771

12 0,983133 0,016867

15 0,997608 0,002392

10%

3 0,095341 0,904659

6 0,752837 0,247163

9 0,956755 0,043245

12 0,992460 0,007540

15 0,999540 0,000460

Berdasarkan Tabel 4.2, dengan menggunakan batas ,

yaitu merupakan suatu titik batas yang cukup dekat dari titik awal

yaitu menunjukkan modal awal yang cukup kecil, sehingga

peluang ruin sangat besar. Dengan batas x yang semakin menjauhi

titik awal, peluang ruin menjadi semakin kecil, hal ini berarti

semakin besar modal awal yang dimiliki suatu perusahaan asuransi,

maka semakin kecil peluang perusahaan asuransi tersebut mengalami

ruin.

Semakin besar modal awal suatu perusahaan asuransi

mengakibatkan penurunan peluang ruin yang lebih signifikan

dibandingkan penurunan peluang ruin akibat peningkatan bunga.

34

Prosentase penurunan peluang ruin ditunjukkan pada Tabel 4.3 dan

Tabel 4.4.

Tabel 4.3 Prosentase penurunan peluang ruin dengan tingkat

bunga berbeda bunga

n δ Penurunan

1000

1% 0,769204 -

2,5% 0,841624 -9,4%

5% 0,891333 -5,9%

10% 0,911522 -2,3%

5000

1% 0,831229 -

2,5% 0,883386 -6,3%

5% 0,904891 -2,4%

10% 0,903802 0,1%

10.000

1% 0,832851 -

2,5% 0,882105 -5,9%

5% 0,906909 -2,8%

10% 0,904659 0,2%

Tabel 4.4 Prosentase penurunan peluang ruin dengan modal

awal berbeda

δ x Penurunan

1%

3 0,832852 -

6 0,379816 54,4%

9 0,139745 63,2%

12 0,043911 68,6%

15 0,014205 67,6%

2,5%

3 0,882105 -

6 0,361869 58,9%

9 0,102411 71,7%

12 0,026421 74,2%

15 0,006116 76,8%

5%

3 0,906909 -

6 0,317296 65%

9 0,068771 78%

12 0,016867 76%

15 0,002392 87%

35

10%

3 0,904659 -

6 0,247163 73%

9 0,043245 83%

12 0,007540 84%

15 0,000460 94%

36

37

37

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, dapat

disimpulkan:

1. Untuk mengestimasi peluang ruin, dimana grafik dari fungsi

surplus diperkirakan akan menuju ke tak hingga akibat dari adanya

faktor bunga yang bekerja pada fungsi surplus, dapat digunakan dual

dari fungsi surplus yaitu fungsi kerugian. Fungsi kerugian dibuat

dengan cara menegatifkan fungsi surplus. Untuk mencari peluang

ruin, dapat dilakukan dengan cara mensimulasikan fungsi kerugian.

Nilai dari fungsi kerugian dibuat selalu positif atau bernilai nol saat

nilainya negatif. Melalui cara ini peluang ruin dapat dicari tanpa

khawatir nilai dari proses kerugian menuju ke negatif tak hingga.

2. Berdasarkan simulasi yang telah dilakukan, tingkat bunga

mempengaruhi perhitungan peluang ruin. Untuk tingkatan bunga

yang umumnya digunakan yaitu 1%, 2,5% , 5%, dan 10%, setiap

penambahan tingkat bunga tidak mengakibatkan penurunan peluang

ruin, namun peluang ruin semakin besar.

3. Selain tingkat bunga, modal awal juga berpengaruh pada

perhitungan peluang ruin. Semakin besar modal awal yang dimiliki

suatu perusahaan asuransi, maka semakin kecil peluang perusahaan

asuransi mengalami ruin. Penambahan nilai modal awal

mengakibatkan penurunan peluang ruin yang signifikan.

5.2 Saran

Untuk penelitian selanjutnya dapat melakukan analisa pada

suatu batas minimal modal awal dalam simulasi peluang ruin dengan

memperhitungkan security loading pada premi.

38

39

DAFTAR PUSTAKA

Dufrense,F. and H.U.,Gerber. 1989. Three Methods to

Calculate the Probability of Ruin. ASTIN Bulletin, 19,

71-90

Hoel,P.G., S.C.Port, and C.J.Stone. 1972. Introduction to

Stochastic Process. Houghton Mifflin Company. Los

Angeles.

Kellison, S.G. 2009. The Theory of Interest 3rd Edition. Mc

Graw Hill. Singapore.

Michaud,F. 1996. Estimating the Probability of Ruin for

Variable Premiums by Simulation. ASTIN Bulletin, 26,

93-105

Riaman dkk. 2013. Analisis Model Risiko Kolektif Pada

Asuransi Jiwa Kredit Menggunakan Model Klaim

Agregasi. Jurusan Matematika FMIPA Universitas

Padjajaran.

Ross, S. 1996. Stochastic Processes 2nd Edition. John Wiley

and Sons Inc. New York

Ross, S. 2010. A First Course in Probability 8th Edition.

Pearson Education Inc. New Jersey.