MAKALAH

LINEAR SYSTEMS OVER COMMUTATIVE RINGS

( SISTEM LINEAR ATAS RING KOMUTATIF )

JEROL VIDEL LIOW12/340197/PPA/04060

PROGRAM STUDI S2 MATEMATIKAJURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUANALAM

UNIVERSITAS GADJAH MADAYOGYAKARTA

2014

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

I Linear Systems Over Commutative Rings . . . . . . . . . . 1

1.1. Sistem Linear atas Ring Komutatif . . . . . . . . . . . . . . . . 1

DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

ii

I

Linear Systems Over Commutative Rings

Tulisan ini membahas topik mengenai siklisasi ketercapaian sistem li-

near atas ring komutatif dalam kaitannya dengan ring regular von Neumann.

Oleh karena itu, perlu untuk dibahas mengenai ketercapaian dari sistem line-

ar atas ring komutatif serta sifat feedback siklisasi. Kemudian akan diberikan

beberapa karakteristik utama dari ring regular von Neumann.

1.1. Sistem Linear atas Ring Komutatif

Konsep pertama yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah sistem li-

near atas ring. Sistem linear atas ring komutatif merupakan abstraksi dari

sistem linear time-invariant atas bilangan real, yang dikenal juga sebagai sis-

tem linear klasik. Sebagaimana dalam sistem klasik, maka dalam pembahasan

sistem linear atas ring komutatif diberikan ide mengenai ketercapaian. Da-

lam sistem klasik berlaku bahwa sistem (A,B) atas lapangan R berdimensi

n tercapai jika dan hanya jika pemetaan L : Rnm → Rn didefinisikan dengan

L = [B|AB| · · · |An−1B] surjektif. Hasil yang tidak melibatkan elemen invers

dari lapangan R ini memotivasi untuk mendefinisikan ketercapaian dari sistem

linear atas ring komutatif.

Definisi 1.1.1 (Brewer,1986) Misal ring komutatif R dan sistem berdimensi

n dengan m − input atas R, dengan A ∈ Rn×n dan B ∈ Rn×m. Diberikan

homomorfisma R−modul

ρ :∞⊕i=0

Rm → Rn,

yaitu

ρ ((x1, x2 · · · ))def= Bx1 + ABx2 + · · · ,∀(x1, x2, · · · ) ∈

∞⊕i=0

Rm.

1

2

Sistem Σ = (A,B), dikatakan tercapai jika dan hanya jika homomorfisma

R−modul ρ surjektif.

Matriks ketercapaian dari sistem Σ, dinotasikan dengan A ∗ B, didefinisikan

sebagai A ∗B = [B|AB| · · · |An−1B].

Definisi 1.1.1 memunculkan pertanyaan apakah sistem yang tercapai

akan mengkarakterisasi Rn melalui matriks ketercapaiannya. Diperhatikan

bahwa kolom-kolom dari matriks ketercapaian membangun suatu submodul

dari Rn dan dituliskan dengan NΣn (Hermida-Alonso, et al, 1996). Sebelumnya

perlu diberikan lemma bahwa kolom-kolom dari [B|AB|A2B| · · ·] membangun

Rn merupakan syarat perlu agar sistem Σ = (A,B), tercapai.

Lemma 1.1.2 (Brewer,1986) Jika sistem Σ = (A,B) tercapai maka kolom-

kolom dari [B|AB|A2B| · · ·] membangun Rn.

Bukti. Diketahui sistem Σ = (A,B) tercapai, yaitu ρ :∞⊕i=0

Rm → Rn

surjektif. Diambil sebarang y ∈ Rn. Karena ρ surjektif, maka terdapat

¯x = (x1, x2, · · · ) ∈∞⊕i=0

Rm, sedemikian hingga ρ(¯x) = y. Karena ¯x ∈∞⊕i=0

Rm,

maka ∃n ∈ N sehingga ¯x = (x1, x2, · · · , xn, 0, · · · ). Akibatnya,

y = ρ(¯x) = Bx1 + ABx2 + · · ·+ An−1Bxn.

Misal xj = ( ¯x1j, x2j, · · · , xmj); (AjB)i = kolom ke-i dari AjB., maka:

y =∑m

i=1xi1(B)i +

∑m

i=1xi2(AB)i + · · ·+

∑m

i=1xi2(An−1B)i.

Diperoleh: y merupakan kombinasi linear dari kolom-kolom [B|AB|A2B| · · ·].

Dengan demikian, kolom-kolom dari [B|AB|A2B| · · ·] membangun Rn. �

Lemma berikut menyatakan bahwa sistem yang tercapai menjadi sya-

rat cukup sekaligus syarat perlu agar kolom-kolom matriks ketercapaiannya

membangun Rn.

Lemma 1.1.3 (Brewer,1986) Diberikan sistem Σ = (A,B), maka pernyataan-

pernyataan berikut ekuivalen:

3

(i) Sistem Σ = (A,B) tercapai.

(ii) Kolom-kolom dari [B|AB| · · · |An−1B] membangun Rn.

Bukti. (⇒)Diketahui sistem Σ = (A,B) tercapai, maka berdasarkan 1.1.2,

kolom-kolom dari [B|AB|A2B| · · ·] membangun Rn. Akan ditunjukkan kolom-

kolom dari [B|AB| · · · |An−1B] membangun Rn. Karena A matriks berukuran

n× n, maka A memenuhi persamaan karakteristiknya, yaitu: jika

|λI − A| = λn + a1λn−1 + · · ·+ an−1λ+ an = 0,

untuk a1, · · · , an ∈ R, maka

An + a1An−1 + · · ·+ an−1A+ anI = 0.

Dari sini diperoleh:

An = −a1An−1 − · · · − an−1A− anI,

sehingga kolom-kolom dari An merupakan kombinasi linear dari kolom-kolom

I, A,A2, · · · , An−2, An−1. Diperhatikan:

An+1 = A(An)

= A(−a1An−1 − · · · − an−1A− anI)

= −a1An − a2A

n−1 − · · · − an−1A2 − anA

= −a1(−a1An−1 − · · · − an−1A− anI)− a2A

n−1 − · · · − an−1A2 − anA

= (a21 − a2)An−1 + · · ·+ (a1an−1 − an)A+ a1anI.

Jadi, kolom-kolom dari An+1 merupakan kombinasi linear dari kolom-kolom

dari I, A, · · · , An−1. Secara umum, untuk k ≥ n, kolom-kolom Ak merupakan

kombinasi linear dari kolom-kolom I, A, · · · , An−1. Akibatnya, untuk k ≥ 0,

kolom-kolom AkG merupakan kombinasi linear dari [B,AB, · · · , An−1B] .

Diambil sebarang y ∈ Rn. Karena kolom-kolom dari [B|AB|A2B| · · ·] mem-

bangun Rn, maka y merupakan kombinasi linear dari kolom-kolom matriks

[B|AB|A2B| · · ·]. Karena setiap kolom dari AkG untuk k ≥ 0 merupakan

4

kombinasi linear dari kolom-kolom [B,AB, · · · , An−1B] , maka y merupakan

kombinasi linear dari kolom-kolom [B,AB, · · · , An−1B] . Jadi, kolom-kolom

matriks [B|AB| · · · |An−1B] membangun Rn.

(⇐) Diketahui kolom-kolom dari [B|AB| · · · |An−1B] membangun Rn. Akan

ditunjukkan ρ :∞⊕i=0

Rm → Rn, surjektif.

Diambil sebarang y ∈ Rn. Karena kolom-kolom dari [B|AB| · · · |An−1B] mem-

bangun Rn, maka

y =∑m

i=1xi1(B)i +

∑m

i=1xi2(AB)i + · · ·+

∑m

i=1xi2(An−1B)i.

Misalkan ¯xi = (x1i, x2i, · · · , xmi) untuk i = 1, 2, · · · , n, maka diperoleh xi ∈

Rm, i = 1, 2, · · · , n, sehingga ¯x = (x1, x2, · · · , xn, 0, · · · ) ∈∞⊕i=0

Rm, dan

ρ(¯x) = Bx1 + ABx2 + · · ·+ An−1Bxn

=∑m

i=1xi1(B)i +

∑m

i=1xi2(AB)i + · · ·+

∑m

i=1xi2(An−1B)i = y.

Jadi, ρ surjektif, yang berarti sistem Σ = (A,B) tercapai. �

Diperhatikan sistem yang diberikan dalam Definisi 1.1.1 merupakan sis-

tem berdimensi n dengan m−input. Untuk kasus single input, yaitu matriks

G hanya terdiri dengan 1 kolom, maka sistem yang diberikan dinamakan sis-

tem single input, ditulis dengan (A, g). Karena g berukuran n × 1, maka g

dapat dipandang sebagai vektor dalam Rn. Dari sini muncul motivasi untuk

mendefinisikan vektor siklik, seperti halnya dalam sistem klasik atas lapangan.

Definisi 1.1.4 (Brewer,1986) Suatu vektor v ∈ Rn disebut vektor siklik untuk

A jika {v, Av, · · · , An−1v} basis untuk Rn.

Berikut diberikan lemma mengenai ketercapaian sistem single input de-

ngan vektor input g.

Lemma 1.1.5 (Brewer,1986) Diberikan (A, g) sistem single input berdimensi

n atas ring komutatif R, maka sistem (A, g) tercapai jika dan hanya jika g

vektor siklik untuk A.

5

Bukti.

Sistem (A, g) tercapai ⇔ kolom-kolom dari [g|Ag| · · · |An−1g] membangun

Rn dan Det([g|Ag| · · · |An−1g]) ∈ U(R)

⇔ {g, Ag, · · · , An−1g} basis di Rn

⇔ g vektor siklik untuk A.

�

Sekarang akan diberikan karakterisasi penting dari ring dalam kaitannya

dengan sistem tercapai. Misalkan Σ = (A,B), atas R, jika terdapat matriks K

dan vektor u sedemikian hingga Bu vektor siklik untuk A−BK, maka sistem

baru (A−BK,Bu) dinamakan siklisasi sistem Σ. Tidak semua ring komutatif

memiliki sifat bahwa setiap sistem tercapainya memiliki sistem siklisasi, mi-

salnya ring bilangan bulat Z dan ring polinomial R[x](Brewer, 1986). Hal ini

menimbulkan motivasi untuk mendefinisikan sifat dari ring yang setiap sistem

tercapainya memiliki siklisasi, yaitu sifat feedback siklisasi.

Definisi 1.1.6 (Brewer,1986) Suatu ring R dikatakan mempunyai sifat fee-

dback siklisasi jika memenuhi kondisi: apabila sistem Σ = (A,B) tercapai atas

R, maka terdapat matriks K dan vektor u sedemikian hingga Bu vektor siklik

untuk A−BK.

Contoh 1.1.7 (Brewer,1986) Setiap lapangan F mempunyai sifat feedback si-

klisasi.

Untuk menjelaskan Contoh 1.1.7, dimisalkan F lapangan dan (A,B) sis-

tem tercapai atas F . Dari sini, maka ruang kolom dari ([B|AB| · · · |An−1B])

adalah F n. Misalkan g1 kolom tak nol dari B dan ditinjau kolom-kolom

g1, Ag1, · · · , An1−1g1, dengan n1 bilangan bulat positif pertama sedemikian

hingga An1g1 merupakan kombinasi linear dari {g1, Ag1, · · · , An1−1g1}. Misalk-

an g2 kolom dari B sedemikian hingga g2 bukan merupakan kombinasi linear

dari {g1, Ag1, · · · , An1−1g1, g2, Ag2, · · · , An2−1g2}.Ditinjau g2, Ag2, · · · , An2−1g2

6

dengan n2 bilangan bulat positif pertama sedemikian hingga An2g2 merupak-

an kombinasi linear dari {g1, Ag1, · · · , An1−1g1, g2, Ag2, · · · , An2−1g2}. Proses

dilanjutkan dan karena F merupakan lapangan,diperoleh basis:

{g1, Ag1, · · · , An1−1g1, · · · , gr, Agr, · · · , Anr−1gr},

dengan r ∈ N . Selanjutnya, didefinisikan

K : F n → Fm,

dengan aturan:

K(Aigj) = 0 jika i < nj − 1,

K(Anj−1gj) = εc(gj+1) jika j < r,

K(Anr−1gj) = 0 jika j ≥ r,

dengan c(gi) menotasikan nomor kolom dari B, εk vektor ke k dari basis ele-

menter.

Akan ditunjukkan sistem baru (A+BK,Bεc(g1)) tercapai. Diperhatikan bahwa

Bεc(g1) = g1. Dari sini, diperoleh:

Jika n1 = 1, maka (A+BK)g1 = Ag1 +BKg1 = Ag1 +B · 0 = Ag1.

Jika n1 6= 1, maka (A+BK)g1 = Ag1 +BKg1 = Ag1 +Bεc(g2) = Ag1 + g2.

Dari penentuan n1 diperoleh: jika n1 = 1, maka Ag1 merupakan kelipatan dari

g1. Akibatnya,

(A+BK)2g1 = (A+BK)Ag1 = A2g1 jika n1 6= 2

(A+BK)3g1 = A3g1 jika n1 6= 3...

(A+BK)n1g1 = (A+BK)An1−1g1 = An1g1 + g2

Dengan demikian, An1g1 merupakan kombinasi linear dari {g1, Ag1, · · · , An1−1g1}.

Diperhatikan:

(A+BK)n1+1g1 = (A+BK)(A+BK)n1g1

= (A+BK)(An1g1 + g2)

= (A+BK)An1g1 + (A+BK)g2.

7

Diperoleh: (A+BK)An1g1 merupakan kombinasi linear dari

{g1, Ag1, · · · , An1−1g1, g2}.

Proses perhitungan dilanjutkan, sehingga terlihat bahwa

{g1, (A+BK)g1, · · · , (A+BK)n1−1g1}

merupakan basis untuk F n. Demikian diperoleh bahwa g1 merupakan vektor

siklik untuk (A + BK), sehingga menurut Lemma 1.1.5, sistem (A + BK, g1)

tercapai atas F . �

Lemma 1.1.8 . (Brewer,1986) Jika R mempunyai sifat feedback siklisasi,

maka untuk sebarang sistem Σ = (A,B) tercapai atas R, terdapat matriks K

dan vektor u sedemikian hingga sistem baru Σ′ = (A+ BK,Bu) tercapai atas

R.

Bukti. Diketahui R mempunyai sifat feedback siklisasi dan diberikan seba-

rang sistem Σ = (A,B) tercapai atas R. Dari Definisi 1.1.6, maka terdapat

matriks K dan vektor u sedemikian hingga Bu vektor siklik untuk A − BK.

Berdasarkan 1.1.5, diperoleh sistem Σ′ = (A+BK,Bu) tercapai atas R. �

Berdasarkan Contoh 1.1.7 dan Lemma 1.1.8, diperoleh bahwa jika R

merupakan lapangan, maka untuk sebarang sistem Σ = (A,B) tercapai atas

R, terdapat matriks K dan vektor u sedemikian hingga sistem baru Σ′ =

(A + BK,Bu) tercapai atas R. Untuk kasus sebarang ring komutatif, jelas

syarat perlu dalam Lemma 1.1.8 tidak dipenuhi. Seperti diuraikan dalam

bagian pendahuluan, diduga bahwa jika R dalam syarat cukup Lemma 1.1.8

merupakan ring regular, maka syarat perlu tersebut dipenuhi.

Lemma 1.1.9 Misal R ring komutatif. Jika R memiliki sifat feedback siklisasi,

maka untuk a, b ∈ R dengan 〈a, b〉 = R, terdapat c, d ∈ R dengan d elemen

satuan, sedemikian hingga

bc2 ≡ d(mod a).

8

Contoh 1.1.10 Ring R[x] tidak mempunyai sifat feedback siklisasi.

Untuk menjelaskan hal ini, diandaikan R[x] mempunyai sifat feedback

siklisasi. Diambil a, b ∈ R[x], dengan a = x2−1 dan b = x. Karena x2−1 dan

x relatif prima, maka 〈x2− 1, x〉 = R[x]. Dari sini, maka terdapat h(x) ∈ R[x]

dan d 6= 0 ∈ R sedemikian hingga

x · (h2(x) ≡ d(mod (x2 − 1)),

yaitu

g(x) · (x2 − 1) = (h2(x) · x)− d,

dengan g(x) ∈ R[x]. Untuk x = 1, maka d = h2(1) > 0, dan untuk x = −1,

maka d = −h2(−1) < 0. Dari sini diperoleh d adalah bilangan real yang seka-

ligus positif dan negatif. Kontradiksi ini mengakibatkan pengandaian ditolak,

sehingga terbukti R[x] tidak mempunyai sifat feedback siklisasi. �

Contoh 1.1.11 Ring Z tidak mempunyai sifat feedback siklisasi.

Diandaikan Z tidak mempunyai sifat feedback siklisasi. Diambil a = 5

dan b = 2 di dalam Z. Karena 2 dan 5 relatif prima, maka 〈2, 5〉 = Z. Dari sini,

maka terdapat c dan d = ±1 di dalam Z sedemikian hingga bc2 ≡ d(mod 5),

yaitu

2c2 ≡ ±1(mod 5)

2c2 ≡ 5k ± 1

dengan k ∈ Z. Untuk c = 0, maka 5k±1 = 0, dan untuk c = 1, maka 5k±1 = 2.

Jelas tidak ada k ∈ Z yang memenuhi. Hal ini berarti 2c2 6= 5k ± 1,∀k ∈ Z,

yaitu 2c2 6= ±1(mod 5). Kontradiksi ini mengakibatkan pengandaian ditolak,

sehingga terbukti ring Z tidak mempunyai sifat feedback siklisasi.�

DAFTAR PUSTAKA

Anderson, D. F., Badawi, A., 2010, Von Neumann Regular Rings and Related

Elements in Commutative Rings, AMSS CAS and Suzhou Univ.

Brewer, J. W., 1986, Linear Systems Over Commutative Rings, Marcel Dekker,

Inc., New York and Basel.

Cohn, P. M. , 1967, Bezout Rings and their Subrings, Queen Mary College,

London.

Gillman, L., Henriksen, M. , 1956, Rings of Continuous Functions in Which

Every Finitely Generated Ideal is Principal, Claremont Colleges, Claremont.

————, 1956, Some Remarks about Elementary Divisor Rings, Claremont

Colleges, Claremont.

Goodearl, K. R., 1979, Von Neumann Regular Rings, Pitman, California.

Hermida-Alonso, J. A., Perez, M. P., Sanchez-Giralda, T., 1996, Brunovsky’s

Canonical Form for Linear Dynamical Systems over Commutative Rings,

Journal ”Algebra and Discrete Mathematics” Number 1. pp.151-165.

Kaplansky, I., 1948, Elementary Divisors and Modules, Trans. Amer. Math.

Soc., 66. 464-491. MR0031470(11,155b).

Saez-Schwedt, A., 2010, Cyclic Accessibility of Reachable States Characterizes

von Neumann Regular Rings, Elsevier Inc.

Zabavsky, B., 2005, Diagonalizability Theorems for Matrices over Rings with

Finite Stable Range, Pitman, California.

9