Solusi Persamaan Diferensial

INTEGRAL, Vol. 7, No. 2, Oktober 2002 63

Iwan Sugiarto dan Marcellus Mario

Solusi Persamaan Diferensial Solusi Persamaan Diferensial Eksak Tiga VariabelEksak Tiga Variabel

Intisari Tinjau persamaan diferensial eksak tiga variabel :

( ) ( ) ( ) 0,,,,,, =++ dzzyxRdyzyxQdxzyxP Dalam tulisan ini akan dicari solusi dari persamaan diferensial eksak tiga variabel dan faktor integrasi.

Abstract

Consider exact differential equation of three variables: ( ) ( ) ( ) 0,,,,,, =++ dzzyxRdyzyxQdxzyxP

In this paper, we will find the solution of exact diferential equation of three variables and integrating factors.

Diterima : 23 April 2002

Disetujui untuk dipublikasikan : 4 Mei 2002

1. Pendahuluan Persamaan diferensial orde satu (tiga variabel) yang berbentuk:

( ) ( ) ( ) 0,,,,,, =++ dzzyxRdyzyxQdxzyxP disebut eksak apabila terdapat fungsi

( )zyxf ,, , sehingga ( ) ( ) ( ) ( )dzzyxRdyzyxQdxzyxPzyxdf ,,,,,,,, ++=

Dalam tulisan ini akan diperkenalkan suatu metode untuk mencari solusi persamaan diferensial eksak baik dua

variabel maupaun tiga variabel dan bagaimana mencari faktor integrasi agar persamaan diferensial yang tak eksak menjadi eksak. Untuk persamaan diferensial eksak dapat dilihat bahwa berlaku hubungan :

yR

zQ

xR

zP

xQ

yP

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

,, .

2. PD Eksak dengan Tiga Variabel Pandang persamaan diferensial eksak berikut :

( ) ( ) ( ) 0,,,,,, =++ dzzyxRdyzyxQdxzyxP ...................................(2.1)

Misalkan terdapat fungsi-fungsi : 2121 ,,, RRQQ sebagai berikut :

1. 21 QQQ += dengan 02 =∂

∂x

Q, 21 RRR += dengan 0,0 22 =

∂∂

=∂

∂y

Rx

R

2. ( ) 0,,01 =zyxQ dan ( )zyxRdyz

Qy

y

,,012

0

=∂

∂∫

64 INTEGRAL, Vol. 7, No. 2, Oktober 2002

Maka solusi umum PD (2.1) adalah :

( ) CzyxF =,, dengan ∫∫∫ ++=z

z

y

y

x

x

dzRdyQPdxF000

22

Bukti: Untuk menunjukkan ( ) CzyxF =,, dengan ∫∫∫ ++=z

z

y

y

x

x

dzRdyQPdxF000

22

merupakan solusi PD di atas, cukup ditunjukkan Px

F=

∂∂

, QyF =

∂∂

dan Rz

F=

∂∂

.

• Akan ditunjukkan PxF =

∂∂

∫∫∫ ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂ z

z

y

y

x

x

dzRx

dyQx

Pdxxx

F

000

22

Karena 02 =∂

∂x

Q dan 02 =

∂∂

x

R , maka 00 ++=

∂∂

PxF

P= .

• Akan ditunjukkan QyF

=∂∂

∫∫∫ ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂ z

z

y

y

x

x

dzRy

dyQy

Pdxyy

F

000

22 02

0

++∂∂

= ∫ QQdxx

x

x

221

0

Qdxx

Qx

Qx

x∫ +

∂

∂+

∂∂

= 21

0

Qdxx

Qx

x∫ +

∂∂

= 21

0

Qdxx

Qx

x

+∂

∂= ∫

( ) ( ) 2011 ,,,, QzyxQzyxQ +−= 21 QQ += Q=

QyF =

∂∂∴

• Akan ditunjukkan RzF =

∂∂

∫∫∫ ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂ z

z

y

y

x

x

dzRz

dyQz

Pdxzz

F

000

22 ( ) 201 ,,0

RzyxRdxxRx

x

++∂∂

= ∫

( ) 20121

0

,, RzyxRdxx

RxRx

x∫ ++

∂∂

+∂

∂= ( ) 201

1 ,,0

RzyxRdxx

Rx

x

++∂

∂= ∫

( ) ( ) ( ) 201011 ,,,,,, RzyxRzyxRzyxR ++−= ( ) 21 ,, RzyxR += R=

Rz

F=

∂∂

∴

Jadi CdzRdyQPdxFz

z

y

y

x

x

=++= ∫∫∫000

22 merupakan solusi umum dari persamaan

diferensial eksak: ( ) ( ) ( ) 0,,,,,, =++ dzzyxRdyzyxQdxzyxP


Catatan: 1. Dalam pemilihan 00 ydanx harus diperhatikan kondisi: ( ) 0,,01 =zyxQ dan

( )zyxRdyz

Qy

y

,,012

0

=∂

∂∫ .Untuk mempermudah perhitungan, pilih 1Q dan 2Q

sehingga dapat diambil 0x dan 00 =y .

2. PD eksak yang diberikan dapat dipisahkan menjadi dua atau lebih PD eksak, dan dikerjakan masing-masing. Penjumlahan dari solusi ini adalah solusi umum dari PD eksak awal.

Contoh : 1. Pandang persamaan diferensial berikut ini :

( ) ( ) ( ) 012222222222 =−+−+++− zdzyxyxydyzzxxdxzyz . Tulislah :

( )xzyzP 222 −= ; ( )yzzxQ 222 += ; ( )zyxyxR 12222 −+−=

22xyzyP =

∂∂

dan 22xyzx

Q=

∂∂

xzzxyzP

22 2 −=∂∂

dan xzzxyxR

22 2 −=∂∂

yzyzxzQ

22 2 +=∂∂

dan yzyzxyR

22 2 +=∂∂

PD di atas eksak, karena :yR

zQ

xR

zP

xQ

yP

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

,,

Ambil : 221 yzxQ = dan 2

2 yzQ = dengan 02 =∂

∂x

Q

( )zyxyxR 22221 +−= dan zR −=2 dengan 0,0 22 =

∂∂

=∂

∂y

Rx

R

Terlihat bahwa 0x dan 00 =y memenuhi kondisi berikut :

( ) 0,,01 =zyxQ dan ( )zyxRdyz

Qy

y

,,012

0

=∂

∂∫

Maka : ( ) ∫∫∫ −++−=zyx

zdzdyyzxdxzyzF00

2

0

222

Jadi solusi umum PD eksak: ( ) Czzyzxzyx =−+− 22222222

2

1

2. Pandang persamaan diferensial berikut ini :

( ) ( ) ( ) 0sincos =++−++ dzzxydyyexzdxyzye xx Tulislah :

yzyeP x += cos ; yexzQ x sin−= ; zxyR +=

zyeyP x +−=

∂∂

sin dan zyex

Q x +−=∂∂

sin


yzP =

∂∂

dan yxR =

∂∂

xz

Q=

∂∂

dan xyR =

∂∂

PD diatas eksak karena : yR

zQ

xR

zP

xQ

yP

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

,, .

PD di atas dapat dipisah menjadi: PD eksak pertama:

0sincos =− ydyeydxe xx

yeP x cos= ; yeQ x sin−= ; 0=R

Ambil : yyeQ x sinsin1 +−= dan yQ sin2 −= dengan 02 =∂

∂x

Q.

01 =R dan 02 =R dengan 0,0 22 =∂

∂=

∂∂

yR

xR

Ambil 00 =x dan 00 =y maka kondisi berikut terpenuhi:


Qy

y

,,012

0

=∂

∂∫

∫∫ −=yx

x dyyydxeF00

1 sincos 1cos1coscoscos −=−+−= yeyyye xx

PD eksak kedua: ( ) 0=+++ dzzxyxzdyyzdx

yzP = ; xzQ = ; zxyR +=

Ambil : xzQ =1 dan 02 =Q dengan 02 =∂

∂x

Q.

xyR =1 dan zR =2 dengan 0,0 22 =∂

∂=

∂∂

yR

xR

Ambil 0x = 0 dan 00 =y maka kondisi berikut terpenuhi:


Qy

y

,,012

0

=∂

∂∫

∫∫ +=zx

zdzyzdxF00

22

2

1zxyz +=

Jadi solusi umum PD eksak: Czxyzye x =++ 2

2

1cos

3. Menentukan Faktor Integrasi PD Yang Tidak Eksak Tiga Variabel Misal PD ( ) ( ) ( ) 0,,,,,, =++ dzzyxRdyzyxQdxzyxP tak eksak. Fungsi ( )zyx ,,µ

disebut faktor integrasi jika PD ( ) ( ) ( ) 0,,,,,, =++ dzRzyxdyQzyxdxPzyx µµµ

menjadi eksak. Dalam tulisan ini akan dicari fungsi ( )zyx ,,µ tersebut.


Misal ∫=++ cdzbdyadx

eµ , dengan a berupa fungsi konstan atau fungsi a(x), b berupa fungsi konstan atau fungsi b(y), dan c berupa fungsi konstan atau fungsi c(z). Karena persamaan diferensial : ( ) ( ) ( ) 0,,,,,, =++ dzRzyxdyQzyxdxPzyx µµµ adalah eksak maka:

• ( ) ( )

xQ

yP

∂∂

=∂

∂ µµ atau

xQ

xQ

yP

yP

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂ µ

µµ

µ

µµµµ QaxQ

PbyP

+∂∂

=+∂∂

atau QaxQ

PbyP

+∂∂

=+∂∂

PbQaxQ

yP

−=∂∂

−∂∂

• ( ) ( )

x

R

z

P

∂∂

=∂

∂ µµ atau

xR

x

R

zP

z

P

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂ µ

µµ

µ

µµµµ RaxR

PczP +

∂∂=+

∂∂

atau RaxR

PczP +

∂∂=+

∂∂

PcRaxR

zP −=

∂∂−

∂∂

• ( ) ( )

yR

zQ

∂∂

=∂

∂ µµ atau

yR

yR

zQ

zQ

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂ µ

µµ

µ

µµµµ RbyR

QczQ

+∂∂

=+∂∂

atau RbyR

QczQ

+∂∂

=+∂∂

QcRbyR

zQ

−=∂∂

−∂∂

Kita bagi menjadi tiga kasus, yaitu:

• Kasus 1: Untuk 0=a dan xQ

yP

b∂∂

=∂∂

⇒= 0

PcxR

zP −=

∂∂−

∂∂

atau QcyR

zQ

−=∂∂

−∂∂

( )Q

yR

zQ

PxR

zP

zc−

∂∂−

∂∂

=−

∂∂−

∂∂

=

Jadi faktor integrasi ( )∫=

dzzceµ (fungsi dari z)

• Kasus 2: Untuk 0=b dan yR

zQ

c∂∂

=∂∂

⇒= 0

QaxQ

yP

=∂∂

−∂∂

atau RaxR

zP =

∂∂−

∂∂


( )R

xR

zP

QxQ

yP

xa ∂∂−

∂∂

=∂∂−

∂∂

=


dxxaeµ (fungsi dari x)

• Kasus 3: Untuk 0=a dan xR

zP

c∂∂=

∂∂⇒= 0

PbxQ

yP −=

∂∂−

∂∂

atau RbyR

zQ =

∂∂−

∂∂

( )R

y

R

z

Q

Px

Q

y

P

yb∂∂

−∂∂

=−

∂∂

−∂∂

=


dyybeµ (fungsi dari y)

Contoh: Tinjau PD: ( ) ( ) ( ) 01222222 =−+−+++− dzyxyxydyzzxxdxzzy

Tulislah :

( )xzzyP −= 2 ; ( )yzzxQ += 2 ; ( )12222 −+−= yxyxR

xyzyP

2=∂∂

dan xyzxQ

2=∂∂

xxyz

P−=

∂∂ 2 dan xxy

x

R22 2 −=

∂∂

yyxz

Q+=

∂∂ 2 dan yyx

yR

22 2 +=∂∂

Terlihat PD diatas tak eksak. Akan ditentukan faktor integrasi PD sehingga menjadi

eksak. Karena xQ

yP

∂∂

=∂∂

maka :

( )P

xR

zP

zc−

∂∂−

∂∂

=

( )( )xzzxy

xxyxxy−−

−−−=2

22 22

( )xzzxyxxy

−−+−=

2

2


( )11

2

2

−−=

yzy

z

1=

Jadi faktor integrasi ( )

zeee zdzzdzzc

==∫=∫= ln1

µ sehingga menjadi PD eksak:

( ) ( ) ( ) 012222222222 =−+−+++− zdzyxyxydyzzxxdxzyz

4. Kesimpulan

Solusi persamaan diferensial eksak baik dua variabel maupaun tiga variabel dapat dicari melalui teorema diatas. Begitupun faktor integrasi suatu persamaan diferensial juga dapat dicari sehingga persamaan diferensial menjadi eksak. 5. Daftar Pustaka

1. Ross, S., “Differential Equation” , 3rd.ed.( John Wiley & Sons, 1984 )

2. Purcell, Edwin J., “Kalkulus dan Geometri Analitik”, Jilid 2, Erlangga, 1994.

3. BoyceW.E. and DiPrima R.C.: “Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems”, John Wiley & Sons,Inc,New York, 1992.

6. Penulis Iwan Sugiarto adalah dosen Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Katolik Parahyangan, Bandung. Marcellus Mario adalah mahasiswa angkatan 1999 program studi Matematika FMIPA, Universitas Katolik Parahyangan.

Solusi Persamaan Diferensial

Documents

Transcript of Solusi Persamaan Diferensial