สมการก าลงสอง

1

www.iq-tutor.com สมการก าลงสอง

Tel : 08-1826-8321 08-594-1550

ความหมาย

สมการก าลงสอง คอ สมการพหนามซงมตวแปรในพจนใดพจนหนงทยกก าลงสองโดยพจนทอยใน

สมการก าลงสองนมก าลงสงสดของตวแปรเปนสอง

รปมาตรฐานของสมการก าลงสอง

สมการก าลงสองมรปมาตรฐานคอ 0CBxAx2

เมอ BA, และC เปนคาคงตว และ x เปนตวแปร

โดยท 0A ยกตวอยางสมการเชน 04x3x42

วธการแกสมการก าลงสอง

หลกในการแกสมการก าลงสองทส าคมมอยดวยกน 3 วธ

1. การแกสมการก าลงสองโดยวธการแยกตวประกอบ

2. การแกสมการก าลงสองโดยวธการท าใหเปนก าลงสองสมบรณ

3. การแกสมการก าลงสองโดยวธการใชสตร

การแกสมการก าลงสองโดยวธการแยกตวประกอบ

การแกสมการก าลงสองโดยวธการแยกตวประกอบมหลกการทส าคมดงน

1. จดรปสมการทโจทยก าหนด ใหอยในรปมาตรฐานของสมการก าลงสอง

2. ใชหลกการ การแยกตวประกอบ แยกตวประกอบจากสมการทจดรปแบบเปนรปแบบมาตรฐาน

เรยบรอยแลว

3. หาคาตวแปรหรอค าตอบของสมการก าลงสองโดยอาศยความรเกยวกบจ านวนจรงทวา ถา ba, เปน

จ านวนจรง และ 0ab แลว a หรอ b อยางนอยตองมคาเปนศนยหนงตว

การแกสมการก าลงสองโดยวธการท าใหเปนก าลงสองสมบรณ

การแกสมการก าลงสองโดยวธการท าใหเปนก าลงสองสมบรณน จะใชเมอการแกสมการก าลงสอง

โดยวธการแยกตวประกอบไมสามารถแยกตวประกอบไดลงตวหรอไมสามารถแยกตวประกอบได โดยมหลกการ

ในการแกสมการดงน

1. จดรปสมการทโจทยก าหนดใหอยในรปมาตรฐานของสมการก าลงสอง

2. น าสมประสทธทอยหนาตวแปร2

x หารตลอดสมการ

สมการก าลงสอง (Quadratic Equation)

2

www.iq-tutor.com สมการก าลงสอง

Tel : 08-1826-8321 08-594-1550

3. ยายพจนคาคงตวไปทางดานขวาของสมการ

4. จดทางซายมอของสมการใหอยในรปก าลงสองสมบรณโดยอาศยความรเกยวกบก าลงสองสมบรณ

2222

yxy2x)y(x

2222

yxy2x)y(x

5. พจนทเพมเขามาทางซายมอของสมการใหน าไปเพมทางขวามอของสมการดวย

6. จดทางซายมอและขวามอของสมการใหเปนก าลงสองสมบรณใหเรยบรอย

7. ถอดรากทสองท งสองขางของสมการ

8. หาคาตวแปรหรอค าตอบของสมการไดจากการถอดรากทสองของสมการ

การแกสมการก าลงสองโดยวธการใชสตร

การแกสมกาก าลงสองดวยวธนเปนทนยมใชกนมากเพราะเปนวธทงาย สะดวก และรวดเรว โดยมหลกการ

ดงน

1. จดรปสมการทโจทยก าหนด ใหอยในรปมาตรฐานของสมการก าลงสอง

2. ใชสตรa2

ac4bbx

22 เพอหาค าตอบของสมการ ซงค าตอบของสมการสามารถพจารณา

จากสตรไดคอ

ถา 0ac4b2 แลว x จะมค าตอบเพยงคาเดยวคอ

a2b

ถา 0ac42

b แลว x จะมค าตอบ 2 ค าตอบคอa2

ac4bb2

ถา 0ac4b2

แลว x จะไมเปนจ านวนจรงซงเปนค าตอบของสมการ

*** ค าตอบของสมการก าลงสองทไดจากการแกสมการจะมค าตอบไดไมเกน 2 ค าตอบ ***

ความสมพนธระหวางค าตอบของสมการก าลงสอง

สมการก าลงสอง 0CBxAx2

ทมค าตอบของสมการ 2 คา ความสมพนธระหวางค าตอบของ

สมการท ง 2 ค าตอบ เปนดงน

ผลบวกของค าตอบของสมการab

ผลคณของค าตอบของสมการac

3

www.iq-tutor.com สมการก าลงสอง

Tel : 08-1826-8321 08-594-1550

1. ถา 40 เทาของผลบวกของจ านวนเตมคสองจ านวนทเรยงตอกนเทากบ 9 เทาของผลคณของจ านวนท งสองนน

อยากทราบวาจ านวนท ง 2 มคาเทากบเทาไร

ก. 108, ข. 119, ค. 1110, ง. 1211 ,

2. ถาความยาวของดานคขนานคหนงของรปสเหลยมจตรสเพมขน 6 เซนตเมตร และความยาวของดานคขนาน

อกคหนงลดลง 2 เซนตเมตร รปสเหลยมผนผาน จะมพนทเปน 131 เทาของพนทของรปสเหลยมจตรสเดม จง

หาความยาวของดานแตละดานของรปสเหลยมจตรสรปนน

ก. 5 เซนตเมตร ข. 6 เซนตเมตร ค. 7 เซนตเมตร ง. 8 เซนตเมตร

3. เรอล าหนงแลนทวนกระแสน าซงไหลดวยความเรว 2 กโลเมตร/ชวโมง เปนเวลา 6 ชวโมง ตอมากระแสน า

เกดเปลยนทศทางเปนตรงกนขาม แตความเรวเทาเดม เรอล านแลนตอไปไดอก 9 ชวโมง รวมไดระยะทาง 96

กโลเมตร อยากทราบวา เรอล านแลนในน านงจะไดช วโมงละกกโลเมตร

ก. 3 กโลเมตร ข. 4 กโลเมตร ค. 5 กโลเมตร ง. 6 กโลเมตร

4. ถงน าใบหนงมกอกเปดน าเขา 2 แหง ในขณะทถงเปลา เมอเปดกอกทละกอกใหน าเตมถงจะใชเวลาตางกน 6

ชวโมง แตถาเปดพรอมกนน าจะเตมถงในเวลา 4 ชวโมง อยากทราบวา ถาเปดทละกอกน าจะเตมถง ตองใชเวลา

กอกละกช วโมง

ก. 126, ชม. ข. 127, ชม. ค. 138, ชม. ง. 139, ชม.

5. รปสเหลยมผนผารปหนงมพนทเทาใด ถาหากวาดานทแยงมมยาวกวาดานยาวอย 2 นว และดานกวางส นกวา

ดานยาว 2 นวดวย

ก. 48 ตารางนว ข. 49 ตารางนว ค. 50 ตารางนว ง. 52 ตารางนว

6. ชางทาสและผชวย ทาสตกแหงหนงจะแลวเสรจภายใน 4 วน แตถาผชวย ทาสคนเดยว จะใชเวลามากกวาชาง

ทาสคนเดยว 6 วน ดงนน ถาชางทาส จะทาสตกนคนเดยวเสรจภายในกวน

ก. 2 วน ข. 4 วน ค. 6 วน ง. 8 วน

7. ถา 5 เปนค าตอบหนงของสมการ 0409xx2

แลว x มคาเทากบเทาไร

ก. 3 ข. 2 ค. 2 ง. 3

8. ค าตอบของสมการ 41)(m2)(m

ก. 2 และ 3 ข. 2 และ 3 ค. 2 และ 3 ง. 2 และ 3

4

www.iq-tutor.com สมการก าลงสอง

Tel : 08-1826-8321 08-594-1550

9. ขอใดเปนค าตอบของสมการ 2y61

y2

ก. 23 และ

34 ข.

23 และ

34 ค.

23 และ

34 ง.

23 และ

34

10. ถา a และ b เ ปนค าตอบของสมการ 02536P2

แลว ba มคาเทาไร

ก. 65 ข. 0 ค.

65 ง.

65 และ

65

11. ถา m และ n เปนค าตอบของสมการ 03541x12x2

แลว nm มคาเทากบเทาใด

ก. 235 ข.

3512 ค.

3512 ง.

235

12. จงหาคา k ทท าใหสมการ 025kxx2

มคาก าหนดของสมการเพยงคาเดยว

ก. 10 ข. 10 ค. 20 ง. 20

13. ถา p และ q เปนค าตอบของสมการ 83

x32

x61 2

แลว qp มคาเทากบเทาไร

ก. 8 ข. 6 ค. 4 ง. 4

14. ถา 3 และ 5 เปนค าตอบของสมการ 1p2mxx2

จงหาคา m และ p

ก. 2p1,m ข. 14p1,m ค. 1p,21

m ง. 229

p,43

m

15. ถา 015x2x2

แลว 2)45

(x มคาเทากบขอใด

ก. 1617 ข.

417 ค.

1633 ง.

433

16. ซอผาจ านวนหนงเปนเงน 240 บาท ถาราคาผาลดลงเมตรละ 2 บาท จะซอผาไดเพมอก 6 เมตร จงหาวา

ซอผามาท งหมดกเมตร

ก. 24 เมตร ข. 20 เมตร ค. 12 เมตร ง. 10 เมตร

17. สนามหมาแหงหนงกวาง 10 เมตร ยาว 12 เมตร รอบนอกของสนามหมามถนนกวางเทาๆกนโดยรอบ 4 ดาน

ถาพนทถนนท งหมดเปน 104 ตารางเมตร อยากทราบวาถนนนกวางกเมตร

ก. 1.5 เมตร ข. 2 เมตร ค. 3 เมตร ง. 4 เมตร

5

www.iq-tutor.com สมการก าลงสอง

Tel : 08-1826-8321 08-594-1550

18. กลองทรงสเหลยมมมฉากใบหนงมพนทฐาน 150 ตารางน ว ความยาวทฐานยาวกวาดานกวาง 5 นว ถากลอง

ใบนบรรจไดเตม 600 ลกบาศกนว กลองทรงสเหลยมมมฉากมความสงกนว

ก. 4 นว ข. 8 นว ค. 10 นว ง. 15 นว

19. ปจจบนบดาอายเปน 6 เทาของบตร เมอ 2 ปกอนเขามอายเปน 8 เทาของบตร อยากทราบวาปจจบนบดาม

อายกป

ก. 57 ป ข. 52 ป ค. 47 ป ง. 42 ป

20. หองๆหนงยาว 5 เมตร มความสงของหองเทากบความกวางของหอง ถาพนทฝาหองท งสดานรวมกนได 48

ตารางเมตร หองนสงกเมตร

ก. 2 เมตร ข. 3 เมตร ค. 5 เมตร ง. 8 เมตร

21. จงหาคา x จากสมการตอไปน 04)5(22x2x

ก. 20, ข. 20, ค. 21, ง. 21,

22. ค าตอบของสมการ 06)x23(x2

มคาเทากบเทาไร

ก. 3,2 ข. 3,2 ค. 3,2 ง. 3,2

23. จงหาคา k ทท าใหสมการ kx14x4x2

มค าตอบเทากบ

ก. 0 ข. 8 ค. 8 ง. 80,

24. จงหาค าตอบของสมการ 03x35x

ก. 21, ข. 21, ค. 21, ง. 1

25. ถาค าตอบหนงของสมการ 027pxx2

เทากบก าลงสองของอกค าตอบหนง ดงนนคา p มคา

เทากบเทาไร

ก. 6 ข. 6 ค. 12 ง. 12

26. ลวดเสนหนงยาว 52 เซนตเมตร ถกตดออกเปนสองสวน แตละสวนน ามาขงเปนรปสเหลยมจตรสไดพนท

เทากบ 97 ตารางเซนตเมตร จงหาผลบวกของความยาวของดานของสเหลยมจตรสท งสอง

ก. 13 เซนตเมตร ข. 15 เซนตเมตร ค. 17 เซนตเมตร ง. 19 เซนตเมตร

6

www.iq-tutor.com สมการก าลงสอง

Tel : 08-1826-8321 08-594-1550

27. ก าลงสองของเลขจ านวนเตมบวกทเปนจ านวนคตดกน 3 จ านวน มคารวมกนได 2,819 เลขทมากทสดมคา

เทากบเทาไร

ก. 27 ข. 29 ค. 31 ง. 33

28. จงหาคา x จากสมการ 32

2x5

32x

วามคาเทากบเทาไร

ก. 53, ข. 71, ค. 17, ง. 35,

29. ซอสมดมาจ านวนหนงเสยเงน 100.บาท จากนนสมดหายไป 5 เลม ขายสมดทเหลอแพงกวาราคาซอเลมละ

2 บาท เมอขายหมดไดก าไร 5 บาท อยากทราบวาซอสมดมาท งหมดกเลม

ก. 20 เลม ข. 30 เลม ค. 15 เลม ง. 25 เลม

30. จงหาคา c ทจะท าให cx324x2

เปนก าลงสองสมบรณ

ก. 9 ข. 12 ค. 15 ง. 16