Teori kebarangkalian Teori kebarangkalian adalah cabang matematik berkenaan dengan analisis fenomena rawak.Tujuan utama teori kebarangkalian ialah pembolehubah rawak, proses stokastik, dan peristiwa: peniskalaan matematik peristiwa tak-berketentuan atau kuantiti yang diukur yang mungkin merupakan kejadian tunggal atau berkembang mengikut masa tampaknya secara rawak. Walapun satu lambungan syiling atau balingan dadu merupakan satu kejadian rawak, jika diulang banyak kali satu urutan peristiwa rawak akan menunjukkan pola statistik tertentu, yang boleh dikaji dan diramal. Dua hasil matematik berperwakilan yang menerangkan pola seperti ini ialah hukum bilangan besar dan teorem had memusat.

Sebagai asas matematik untuk statistik, teori kebarangkalian amat penting untuk banyak aktiviti manusia yang melibatkan analisis kuantitatif set data yang besar. Teknik teori kebarangkalian turut boleh digunakan dalam penerangan suatu sistem kompleks di mana hanyak sebahagian keadaannya diketahui, seperti dalam mekanik statistik. Satu penemuan besar dalam fizik abad ke-20 ialah sifat berkebarangkalian fenomena fizik pada skala atom, yang diterangkan dalam mekanik kuantum

Peluang sesuatu berlaku

Aktiviti/proses menghasilkan sesuatu peristiwa

DEFINISI KEBERANGKALIAN

Hasilan ujikaji/ruang sampel

Himpunan satu atau lebih kesudahan yang mungkin terhasil selepas ujikaji

Pengiraan Kebarangkalian Kebarangkalian, P boleh dikira berdasarkan: P(Peristiwa A) = Bil. Peristiwa A yg mungkin Bil. Populasi. Contoh: Aktiviti melambung duit siling yang adil dan merekodkan keputusannya. Keputusan yang mungkin atau populasi ={K,E} Jika kita takrifkan Peristiwa A sebagai mendaptkan kepala iaitu Peristiwa A={K}, maka Peristiwa A adalah subset kepada populasi Dan Contoh: Sebuah kotak dibahagi 2, Petak A dan B dengan lubang yang menghubungkan antara keduanya. Petak A mengandungi 100 ekor lalat, dan 5 daripadanya yg dipilih secara rambang dan diwarnakan. Kita berminat kepada peristiwa lalat berwarna adalah yg pertama memasuki Petak B. Maka P (Lalat Pertama Memasuki Petak B adalah Lalat Berwarna) = Bil. Lalat Berwarna Bil. Semua Lalat = 5/100 =0.05 atau 5 % Kita katakan terdapat 5% kemungkinan (atau kebarangkalian) yg lalat pertama memasuki petak B adalah lalat berwarna. P({K})=n({K})/n({K,E})=1/2=0.5.

0 P (E) 1.

KONSEP KEBERANGKALIAN

Ruang sampel

Peristiwa merdeka

Perisiwa saling eksklusif Uji kaji

KONSEP KEBERANGKALIAN

Keberangkalian kekerapan relatif

Keberangkalian klasik Keberangkalian bersyarat

Peristiwa tak saling ekslusif

Uji kaji Uji kaji - Satu proses yang apabila dilaksanakan menghasilkan satu dan hanya satu keputusan yang diperolehi daripada cerapan Contoh : Ujikaji melambung dadu dan ujikaji melambung sekeping duit syiling.

Ruang sampel Ruang sampel - Set semua kesudahan yang mungkin bagi suatu eksperimen .

Contoh ruang sampel yang ada : Himpunan Gambar rajah Venn Jadual kontigensi Gambar rajah pokok 1. Contoh himpunan: Ujikaji melambung dadu S = {1,2,3,4,5,6}

2. Contoh venn diagram: Ujikaji kelahiran bayi S = {lelaki, perempuan} S y y Lelaki Perempuan

3. Contoh gambar rajah pokok: Ujikaji kelahiran bayi S = {lelaki, perempuan}

Lelaki S Perempuan

Keberangkalian kekerapan relatif Keberangkalian kekerapan relatif ujikaji yang dijalankan berulang kali dan bilangan peristiwa A akan berlaku. P (A) =

Semakin banyak ujikaji dijalankan, anggaran akan menghampiri kebarangkalian yang sebenarnya.

Peristiwa saling ekslusif dan tak saling eksklusif Peristiwa saling ekslusif Peristiwa A dan B saling eksklusif jika mereka tidak berlaku serentak. Sekiranya dua peristiwa adalah saling eksklusif maka kebarangkalian salah satu daripadanya berlaku ialah: A B = dan n ( A U B ) = 0 serta P (A B) = 0

P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) Peristiwa saling tak eksklusif Peristiwa A dan B tidak saling eksklusif jika mereka berlaku serentak. Sekiranya peristiwa-peristiwa tersebut adalah tidak saling eksklusif maka P ( A ) 0 dan P ( B ) 0 P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) P (A B ) Sebagai contoh ,peristiwa mendapat mangsa jenayah yang dilakukan oleh orang luar dan peristiwa mendapat mangsa jenayah yg dilakukan oleh saudara/rapat adalah peristiwa saling eksklusif. Ini kerana dlm kedua-dua peristiwa penjenayah tidak mungkin orang luar dan saudara/rapat dengan mangsa pada masa yg sama.

Contoh: Katakan komputer memilih secara rawak digit terakhir bagi satu nombor telefon (8 digit). Dapatkan kebarangkalian digit tersebut adalah a) nombor 8 atau 9 b) nombor ganjil atau kurang drp 4.. Penyelesaian (a) A = peristiwa mendapat nombor 8 B = peristiwa mendapat nombor 9 Adakah peristiwa A dan B saling eksklusif? Ya, saling eksklusif. Dengan itu P (8 9) = 0 @ Petua penambahan: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 1 1 0 10 10 2 ! 10 1 ! 5 ! 0.2 ! Penyelesaian (b) A = peristiwa mendapat nombor ganjil B = peristiwa nombor kurang drp 4 Adakah peristiwa A dan B saling eksklusif? Tidak saling eksklusif. @ Petua penambahan: P(AB) = P(A) + P(B) P(AB)5 4 2 10 10 10 7 ! 10 ! 0.7 !

Keberangkalian bersyarat Keberangkalian bersyarat Kebarangkalian sesuatu peristiwa A akan berlaku jika peristiwa B telah berlaku dan dinyatakan dalam bentuk simbol P(A|B) Pengetahuan/maklumat tambahan yang memberi kesan kepada kesudahan ujikaji Kebarangkalian bersyarat bermaksud kebarangkalian bagi sesuatu peristiwa berlaku, iaitu diberi bahawa peristiwa lain sudah berlaku. P(A l B) - kebarangkalian peristiwa A berlaku diberi bahawa peristiwa B sudah berlaku.

P =

atau P =

Peristiwa Peristiwa - Satu himpunan atau lebih kesudahan-kesudahan bagi satu ujikaji Ada dua jenis peristiwa iaitu peristiwa mudah dan peristiwa kompoun (majmuk). Peristiwa mudah hanya terdiri daripada satu dan hanya satu kesudahan. Peristiwa mudah dilabelkan sebagai E1, E2 dan seterusnya. Jika E adalah satu peristiwa mudah , maka 0 P ( E ) 1.

Contoh 1: Katakan kita memilih secara rawak 2 biji guli daripada sebuah uncang. Cerap sama ada guli yg terpilih setiap kali pilihan adalah biru atau merah. Andaikan b = biru dan m = merah.

-

Menggunakan gambar rajah Venn S

y bb y mm y mb y bm

-

Menggunakan gambar rajah Pokok

Maka, S = {bb, bm, mb, mm}. Dari itu, Peristiwa mudah bagi ujikaji ini adalah, E1 = (bb), E2 = (bm), E3 = (mb) dan E4 = (mm) Sesuatu peristiwa dikatakan peristiwa majmuk apabila peristiwa itu mengandungi lebih daripada satu unsur daripada ruang sampel. Keberangkalian klasik Mengira kebarangkalian bagi suatu peristiwa ujikaji di mana ke semua kesudahan adalah sama. Katakan suatu ujikaji mempunyai n peristiwa mudah yang berbeza, di mana setiap peristiwa mempunyai peluang yang sama untuk berlaku. P (A) = bilangan peristiwa A akan berlaku bilangan kesudahan (n) Contoh 2: Satu uncang mengandungi 1 biji guli biru dan 1 biji guli merah. Pilih secara rawak dua biji guli (dengan pulangan). Biarkan A adalah peristiwa sekurang-kurangnya 1 biji guli biru terpilih. S = {bb, bm, mb, mm} dan A = {bm, mb, bb}. P (A) =

Peristiwa merdeka Dua peristiwa A dan B dikatakan merdeka jika keberangkalian sesuatu peristiwa berlaku tidak mempengaruhi keberangkalian peristiwa lain yang berlaku. Secara amnya , dua peristiwa A dan B adalah merdeka atau tidak bersandar jika P (A) = P (A | B) dan P (B) = P (B | A) Daripada P (A | B) =

, kita memperolehi P (A

P (A) P (B)

Jika P (A | B) = P (A), iaitu A dan B adalah tidak bersandar atau merdeka.

Contoh : Sebiji dadu dilemparkan 4 kali. Cari keberangkalian mendapat 5 bagi setiap lemparan. Penyelesaian Katakan A ialah peristiwa mendapat 5 pada lemparan pertama Katakan B ialah peristiwa mendapat 5 pada lemparan kedua Katakan C ialah peristiwa mendapat 5 pada lemparan ketiga Katakan D ialah peristiwa mendapat 5 pada lemparan keempat

Peristiwa A, B , C , dan D semuanya tak bersandar ,maka

P (A B C D) = P (A) P (B) P (C) P (D) = =

Ringkasan Kebarangkalian

Peristiwa

Kebarangkalian

A

bukan A

A atau B

A dan B

A bersyarat B

CONTOH KEBERANGKALIAN DALAM KEHIDUPAN SEHARIAN

CONTOH 1: Empat orang pergi memancing.mereka dibenarkan memancing untuk satu jam sahaja. Setiap orang tidak dibenarkan menangkap lebih daripada seekor ikan. Keberangkalian setiap orang menangkap seekor ikan ialah

. jika mereka memancing bersama

bersama , apakah keberangkalian mereka menangkap a) Tepat 2 ekor ikan? b) Tepat 3 ekor ikan ? c) 2 atau 3 ekor ikan? d) Sekurang-kurangnya 2 ekor ikan?

Penyelesaian Katakan 1100 bermaksud pemancing pertama da kedua masing- masing menangkap seekor ikan dan pemancing ketiga dan keempat tidak menangkap sebarang ikan dan 1 bermaksud menangkap seekor ikan. a) Kita ingin mencari keberangkalian bagi peristiwa A dengan A = {1100, 1010 , 1001 ,0110 , 0101 ,0011 } P (A) = 6.

= b) Kita ingin mencari keberangkalian bagi peristiwa B , dengan B = {1110, 1101 , 1011 , 0111} P (B) = 4 . =

c) Katakan C = Peristiwa menangkap 2 atau 3 ekor ikan =AUB P (C) = P (A U B) = P (A) + P (B) =

+

=

= d) Katakan D ialah peristiwa menangkap sekurang-kurangnya 2 ekor ikan maka D = A U B U {1111} dan P (D) = P (A U B U ({|1111|}) = P (A) + P (B ) + P ({1111})

[ P ({|1111|} ) =

=

]

= =

+

+

= =

CONTOH 2:

Sebuah syarikat menggunakan 3 mesin A, B, C untuk membuat kompenan elektronik . mesin A menghasilkan 40 % daripada jumlah output syarikat itu; mesin B menghasilkan 50 % daripada jumlah output syarikat itu dan mesin C menghasilkan 10% daripada jumlah output syarikat itu. Peratusan kompenan cacat yang dihasilkan oleh mesin A, B, dan C adalah masing- masing 2%, 3%, dan 1%. Suatu kompenan dipilih secara rawak daripada jumlah output syarikat itu. a) Apakah keberangkalian kompenan itu rosak? b) Apakah keberangkalian kompenan itu dihasilkan oleh mesin A , diberi kompenan itu rosak? c) Apakah keberangkalian kompenan itu dihasilkan oleh mesin A, diberi kompenan itu tidak rosak? d) Apakah keberangkalian kompenan itu dihasilkan oleh mesin B , diberi kompenan itu rosak?

Penyelesaian : Katakan R mewakili peristiwa kompenan itu rosak. Kita mula dengan melukis gambar rajah pokok seperti berikut: 0.02 A 0.4 0.98 0.03 Mula 0.5 B 0.97 0.1 C 0.99 R P (C R) = 0.099 0.01 R R P (B P (C R) = 0.485 R) = 0.001 R R P (A P (B R) = 0.392 R) = 0.015 R P (A R) = 0.008

a) P (R) = P (A

B) + P(B

R) + P(C R)

= (0.4) (0.02) + (0.05) (0.03) + (0.1) (0.01) = 0.008 + 0.015 + 0.001 = 0.024

b) P (A | R) =

= =

c) P (A | R) =

=

=

=

d) P (B | R) =

=

= =

CONTOH 3 Dua orang sahabat yang mengambil kereta api metro untuk pergi ke tempat kerja dari stesen yang sama tiba ke stesen secara rawak antara 7:00 dan 7:20 pagi. Mereka sanggup menunggu selama lima minit yang lain selepas mereka memilih sama ada mengambil kereta api secara bersama atau bersendirian. Apakah keberangkalian untuk mereka berjumpa di stesen?

Penyelesaian Dalam kordinat sistem Cartesian (s, t), segiempat sama bagi sisi 20 (minit) mewakili keseluruhan keberangkalian bagi dua orang sahabat yang tiba pada pagi hari di stesen kereta api metro.

Kawasan A yang kelabu itu terhad pada dua garisan lurus t = s + 5 dan t = s - 5 maka di dalam A , | s- t | 5 , diikuti dua sahabat yang akan berjumpa jika ditetapkan

ketibaan mereka s dan t berada pada kawasan A. Keberangkalian untuk peristiwa ini terjadi diberi oleh nisbah bagi luas kawasan A ke luas kawasan segi empat sama: [400 - (15 + 15 )] / 400 = =

CONTOH 4 Seorang doktor dipanggil untuk merawat seorang budak yang sakit. Doktor itu mempunyai maklumat utama iaitu 90% daripada budak sakit yang ada di kawasan kejiranan itu menghidapi seleselma , manakala 10% sakit batuk. Biarkan F berdiri untuk peristiwa budak sakit selesema dan M untuk peristiwa budak sakit batuk. Andaikan F U M = 0, iaitu tiada penyakit lain kawasan kejiranan itu. Simptom yang paling ketara bagi penyakit batuk ialah tekak berasa gatal (peristiwa ini diwakili oleh R) P (R | M) = 0.95. Walaubagaimanapun, selesema juga ada simptom yang sama dengan batuk, maka P (R | F) = 0.08. Apabila memantau keadaan budak tersebut , doktor itu mendapati budak itu mempunyai tekak yang gatal. Apakah keberangkalian budak itu menghidap batuk?

Penyelesaian

P (M | R) =

=

= 0.57

CONTOH 5 Dalam suatu kajian , ahli pakar fizik pernah ditanya tentang keganjilan yang ada pada barah payu dara yang mungkin berada dalam diri wanita yang pada mulanya mempunyai risiko 1% untuk mendapat barah tersebut tetapi berakhir dengan keputusan mammogram positif ( mammogram mengklasifiksikan secara tepat sekitar 80%dari tumor kanser dan 90% dari tumor permulaan.) 95 daripada 100 ahli fizik menjangkakan keberangkalian mendapat barah tersebut adalah sekitar 75%. Adakah anda setuju?

Penyelesaian Pengenalan peristiwa P keputusan mammogram yang positif B permulaan tumor M tumor yang kritikal

Formula Bayes bagi kes ini ialah; P(M|P)=

0.075 75%

=

.