Tiga Krisis dalam Matematik.docx

7/28/2019 Tiga Krisis dalam Matematik.docx

1/16

Tiga Krisis dalam Matematik:

Logicism, Intuitionism dan Formalisma

Krisis dalam falsafah klasik mendedahkan keraguan mengenai kriteria matematik dan falsafah

asas yang memuaskan bagi matematik.

Snapper ERNST

Dartmouth College

Hanover, NH 03755

Tiga buah sekolah, disebut dalam tajuk, semua cuba untuk memberikan asas yang kukuh untuk

matematik.

Ketiga-tiga krisis kegagalan sekolah-sekolah untuk menyelesaikan tugas-tugas mereka. Artikel

ini melihat

krisis "melalui mata moden," menggunakan apa jua matematik boleh didapati hari ini dan bukan

hanya

matematik yang disediakan kepada perintis yang menciptakan sekolah-sekolah. Oleh itu, iniartikel tidak mendekati tiga krisis dalam cara yang ketat sejarah. Artikel ini juga tidak

membincangkan jumlah besar matematik, teknikal yang timbul daripada

teknik yang diperkenalkan oleh tiga buah sekolah berkenaan. Salah satu sebab adalah bahawa

apa-apa perbincangan

akan mengambil sebuah buku dan tidak artikel pendek. Satu sama lain adalah bahawa semua

ini matematik teknikal mempunyai

sangat sedikit kaitan dengan falsafah matematik, dan dalam artikel ini saya ingin tekankan

mereka

aspek logicism, intuitionism, dan formalisme yang menunjukkan jelas bahawa sekolah-sekolah

diasaskan dalam falsafah.

LogicismSekolah ini telah dimulakan pada kira-kira 1884 oleh ahli falsafah Jerman, logik dan mathemati-

Cian, Gottlob Frege (1848-1925). Sekolah telah ditemui semula kira-kira lapan belas tahun

kemudian oleh

Bertrand Russell. Lain-lain logicists awal Peano dan Russell pengarang bersama Principia

Mathe

matica, A. N. Whitehead. Tujuan logicism adalah untuk menunjukkan bahawa matematik klasik

adalah sebahagian

logik. Jika logicists telah dapat menjalankan program mereka berjaya, soalan seperti

"Mengapa matematik klasik bebas daripada percanggahan?" Akan menjadi "Mengapa logik

bebas daripadapercanggahan? " Ini soalan kedua adalah salah satu di mana ahli-ahli falsafah mempunyai

sekurang-kurangnya menyeluruh

mengendalikan dan satu boleh mengatakan secara umum bahawa kejayaan menyiapkan

program logicists '

akan diberikan klasik matematik asas yang kukuh dari segi logik.

Jelas sekali, dalam usaha untuk menjalankan program ini daripada logicists, seseorang mesti

pertama, entah bagaimana, menentukan


2/16

apa "matematik klasik" dan apa "logik". Jika tidak, apa yang kita sepatutnya menunjukkan

adalah

sebahagian daripada apa? Ia adalah tepat pada kedua-dua definisi yang kita mahu melihat

melalui mata moden,

membayangkan bahawa perintis logicism mempunyai semua matematik hari ini yang ada pada

mereka.Kita mulakan dengan matematik klasik.

Dalam usaha untuk menjalankan program mereka, Russell dan Whitehead mencipta Principia

Mathematica

[10] yang telah diterbitkan pada tahun 1910. (Jilid pertama klasik ini boleh dibeli untuk $ 3,45!

Terima syurga, hanya buku-buku moden dan tidak klasik telah menjadi terlalu mahal untuk

purata pembaca.) Princzpia, seperti yang kita akan rujuk kepada Principia Mathematica, boleh

dianggap sebagai

teori set formal. Walaupun perasmian tidak lengkap sepenuhnya, Russell dan Whitehead

pemikiran bahawa ia adalah dan merancang untuk menggunakannya untuk menunjukkan

bahawa matematik boleh dikurangkan kepada logik.

Mereka menunjukkan bahawa semua matematik klasik, yang dikenali dalam masa mereka,

boleh diperolehi daripada teori set

dan seterusnya dari aksiom Princivia. Oleh itu, apa yang masih perlu dilakukan, adalah untuk

menunjukkan

bahawa semua aksiom Principia tergolong kepada logik.

VOL. 52, NO. 4, SEPTEMBER 1979 207

________________________________________

Page 2

Sudah tentu, bukan Principia, seseorang boleh menggunakan mana-mana teori set formal yang

lain seperti juga. Sejak

teori set rasmi yang dibangunkan oleh Zermelo dan Fraenkel (ZF) hari ini begitu banyak lebihdikenali

daripada Principia, kita hendaklah mulai sekarang merujuk kepada ZF bukan Principia. ZF

mempunyai hanya sembilan aksiom

dan, walaupun beberapa daripada mereka sebenarnya skema aksiom, kita hendaklah merujuk

kepada semua mereka sebagai

"Aksiom." Penggubalan program logicists 'kini menjadi: Tunjukkan bahawa kesemua sembilan

aksiom

ZF tergolong kepada logik. -

Formulasi logicism berdasarkan tesis bahawa matematik klasik boleh ditakrifkan

sebagai set teorem yang boleh dibuktikan dalam ZF. Ini definisi matematik klasik

jauh dari sempurna, seperti yang dibincangkan dalam [12]. Walau bagaimanapun, penggubalan

atas logicism

memuaskan bagi tujuan menunjukkan bahawa sekolah ini tidak mampu untuk menjalankan

program.

Kita kini beralih kepada takrif logik.

Dalam usaha untuk memahami logicism, ia adalah sangat penting untuk melihat dengan jelas

apa logicists bermakna dengan


3/16

"Logik." Sebabnya ialah, apa sahaja yang mereka bermakna, mereka sudah tentu bermakna

lebih logik klasik.

Kini, seseorang boleh menentukan logik klasik sebagai terdiri daripada semua orang teorem

yang boleh dibuktikan

dalam bahasa tertib pertama (dibincangkan di bawah dalam seksyen di formalisme) tanpa

menggunakanaksiom nonlogical. Kami seterusnya menyekat diri kita kepada logik tertib pertama dan

menggunakan potongan

peraturan dan aksiom logik logik yang. Satu contoh seperti teorem adalah undang-undang yang

terkecuali

pertengahan yang mengatakan bahawa, jika p ialah cadangan, maka sama ada p atau penafian

-11: adalah benar; lain

perkataan, cadangan p \ / -1 p sentiasa benar di mana \ / adalah simbol biasa termasuk "atau"

Jika definisi ini logik klasik juga telah takrif logicists logik, ia akan menjadi

kebodohan untuk berfikir walaupun untuk 2 satu bahawa semua ZF boleh dikurangkan kepada

logik. Walau bagaimanapun, logicists '

definisi yang lebih luas. Mereka mempunyai satu konsep umum apabila cadangan kepunyaan

"cadangan logik" logik, iaitu, apabila cadangan perlu dipanggil Mereka berkata: Satu logik

cadangan adalah cadangan yang mempunyai keluasan yang lengkap dan benar dalam menurut

bentuknya agak

daripada kandungan. Di sini, perkataan "cadangan" digunakan sebagai sinonim dengan

"teorem."

Sebagai contoh, undang-undang di atas pertengahan dikecualikan "p \ / - ip" adalah satu

cadangan yang logik.

Iaitu, undang-undang ini tidak tahan kerana sebarang kandungan khas p cadangan, ia tidak

kira sama ada p adalah cadangan matematik atau fizik atau apa yang telah anda. Sebaliknya,

undang-undang ini memegang dengan "keluasan lengkap," iaitu, bagi mana-mana p cadangansekalipun. Kenapa pula

adakah ia tahan? Jawapan logicists: "Kerana bentuk" Di sini mereka maksudkan dengan bentuk

"sintaksis

bentuk, "bentuk p \ / ip yang diberikan oleh kedua-dua connectives pertuturan seharian,

termasuk

"Atau" dan penafian "tidak" (ditandakan oleh \ / dan - |, masing-masing).

Dalam satu tangan, ia tidak sukar untuk berhujah bahawa semua teorem logik klasik,

sebagaimana yang ditakrifkan

di atas, adalah cadangan yang logik dalam erti kata logicism. Sebaliknya, tidak ada a priori

sebab untuk mempercayai bahawa terdapat tidak boleh menjadi cadangan logik yang terletak di

luar logik klasik.

Inilah sebabnya mengapa kita berkata bahawa takrif logicists 'logik adalah lebih luas daripada

takrif

logik klasik. Dan kini tugas logicists 'menjadi lebih jelas: Ia terdiri dalam menunjukkan bahawa

kesemua sembilan

aksiom ZF adalah cadangan yang logik dalam erti kata logicism.

Satu-satunya cara untuk menilai kejayaan atau kegagalan logicism dalam melaksanakan tugas


4/16

ini adalah dengan pergi

melalui semua sembilan aksiom ZF dan menentukan bagi setiap daripada mereka sama ada ia

jatuh di bawah

'Konsep logicists cadangan yang logik. Ini akan mengambil artikel yang berasingan dan akan

kepentingan hanya untuk pembaca yang benar-benar biasa dengan ZF. Oleh itu, sebaliknya,

kita hanya menyatakanbahawa sekurang-kurangnya dua aksiom ini, iaitu, aksiom infiniti dan aksiom pilihan, tidak boleh

mungkin dianggap sebagai cadangan logik. Sebagai contoh, aksiom infiniti mengatakan

bahawa terdapat

wujud set terhingga. Mengapa kita menerima aksiom ini sebagai benar? Sebabnya ialah

bahawa semua orang

biasa dengan set begitu banyak yang tidak terhingga, katakan, set nombor tabii atau set mata

dalam

Euklidan 3 ruang. Oleh itu, kita menerima aksiom ini atas alasan pengalaman seharian dengan

set, dan ini jelas menunjukkan bahawa kami menerima ia dalam menurut kandungan dan tidak

menurut kuasanya

bentuk sintaksis. Secara umum, apabila aksiom mendakwa kewujudan objek-objek yang kita

biasa atas alasan pengalaman biasa seharian kita, ia adalah cukup pasti bahawa aksiom ini

adalah

bukan satu cadangan yang logik dalam erti kata logicism.

208 MATHEMAT LCS magazine

________________________________________

Page 3

Dan di sini maka krisis pertama dalam matematik: Sejak sekurang-kurangnya dua daripada

sembilan aksiom

ZF tidak cadangan logik dalam erti kata logicism, ia adalah adil untuk mengatakan bahawa

sekolah ini gagal olehkira-kira 20% dalam usaha untuk memberi matematik asas yang kukuh. Walau bagaimanapun,

logicism telah

kepentingan besar untuk pembangunan logik matematik moden. Malah, ia adalah logicism

yang bermula logik matematik dengan cara yang serius. Dua pengkuantiti, "untuk semua"

Pengkuantiti V

dan "wujud" pembilang 3 telah diperkenalkan ke dalam logik oleh Frege [5], dan pengaruh

Princzlvia pada pembangunan logik matematik adalah sejarah.

Ia adalah penting untuk menyedari bahawa logicism diasaskan pada falsafah. Sebagai contoh,

apabila

logicists memberitahu kita apa yang mereka maksudkan dengan cadangan yang logik (atas),

mereka menggunakan falsafah dan tidak

bahasa matematik. Mereka mempunyai untuk menggunakan bahasa falsafah bagi maksud itu

sejak mathe-

matics semata-mata tidak boleh mengendalikan definisi skop yang begitu luas.

Falsafah logicism kadang-kadang dikatakan berdasarkan sekolah falsafah yang dipanggil

"Realisme." Dalam falsafah zaman pertengahan "realisme" berdiri bagi doktrin Platonik bahawa

entiti abstrak


5/16

mempunyai kewujudan bebas daripada minda manusia. Matematik, sudah tentu, penuh abstrak

entiti seperti nombor, fungsi, set, dll, dan menurut Plato semua entiti itu wujud

di luar minda kita. Minda boleh menemui mereka tetapi tidak mencipta mereka. Doktrin ini

mempunyai

kelebihan yang seseorang boleh menerima konsep seperti itu sebagai "set" tanpa perlu

bimbang tentang bagaimana mindaboleh membina satu set. Menurut kepada realisme, set yang ada untuk kita mengetahui, tidak

akan dibina,

dan sama memegang untuk semua entiti lain abstrak. Secara ringkas, realisme membolehkan

kita untuk menerima banyak

entiti yang lebih abstrak dalam matematik daripada falsafah yang terhad kita menerima sahaja

entiti minda manusia boleh membina. Russell adalah seorang realis dan menerima abstrak

entiti yang berlaku dalam matematik klasik tanpa mempersoalkan sama ada minda kita sendiri

boleh

membina mereka. Ini adalah perbezaan asas antara logicism dan intuitionism, kerana dalam

entiti abstrak intuitionism dimasukkan hanya jika mereka buatan manusia.

Ekspo Cemerlang logicism boleh didapati dalam penulisan Russell, [9] contoh, [10] dan

[11].


________________________________________

Page 4

Intuitionism

Sekolah ini telah bermula kira-kira tahun 1908 oleh ahli matematik Belanda, L. E; J. Brouwer

(1881 -

1966). Intuitionists pergi tentang asas-asas matematik dalam cara yang berbeza

dari logicists. Logicists tidak pernah terfikir bahawa ada apa-apa yang salah dengan klasik

matematik; mereka hanya mahu menunjukkan bahawa matematik klasik adalah sebahagiandaripada logik. The

intuitionists, sebaliknya, merasakan bahawa terdapat banyak salah dengan matematik klasik.

Menjelang tahun 1908, paradoks beberapa telah timbul dalam teori set Cantor. Di sini,

perkataan "paradoks" adalah

digunakan sebagai sinonim dengan "percanggahan." Georg Cantor mencipta teori set, bermula

sekitar

Tahun 1870, dan dia tidak kerjanya "naif," yang bermakna nonaxiomatically. Akibatnya, dia

membentuk set

dengan meninggalkan itu bahawa dia sendiri, Russell dan lain-lain mendapati beberapa

paradoks dalam beliau

teori. Para logicists ini dianggap paradoks sebagai kesilapan yang lazim dilakukan, disebabkan

oleh berdosa mathemati-

cians dan tidak oleh matematik yang rosak. Intuitionists, di sisi lain, yang dianggap ini

paradoks sebagai petunjuk jelas bahawa matematik klasik itu sendiri adalah jauh dari sempurna.

Mereka berpendapat bahawa

matematik terpaksa dibina semula dari bawah pada sehingga.

"Bawah," iaitu, permulaan matematik untuk intuitionists, penjelasan mereka


6/16

apa nombor tabii 1,2, 3, ... berada. (Perhatikan bahawa kita tidak termasuk nombor sifar

kalangan nombor tabii.) Menurut falsafah intuitionistic, semua manusia mempunyai

intuisi primordial untuk nombor tabii dalam diri mereka. Ini bermakna di tempat pertama yang

kita

mempunyai kepastian segera tentang apa yang dimaksudkan dengan nombor 1 dan, kedua,

bahawa mentalproses yang berlaku dalam pembentukan nombor 1 boleh diulangi. Apabila kita melakukan

mengulanginya,

kita mendapatkan konsep nombor 2, apabila kita mengulangi sekali lagi, konsep bilangan 3;

Dengan cara ini, manusia boleh membina mana-mana 1,2 segmen awal terhingga. . . , N bagi

sebarang nombor semulajadi

n. Ini pembinaan mental satu nombor asli selepas lain tidak akan menjadi

mungkin jika kita tidak mempunyai kesedaran masa dalam diri kita. "Selepas" merujuk kepada

masa dan Brouwer

bersetuju dengan falsafah Immanuel Kant (l724-l804) bahawa manusia mempunyai segera

kesedaran masa. Kant menggunakan perkataan "gerak hati" untuk "kesedaran serta-merta" dan

ini adalah di mana

nama "intuitionism" datang dari. (Lihat Bab IV [4] untuk maklumat lebih lanjut mengenai perkara

ini

konsep intuitionistic nombor asli.)

Ia adalah penting untuk memerhatikan bahawa pembinaan intuitionistic nombor asli

membolehkan satu hingga

membina hanya sewenang-wenangnya panjang terhingga segmen l awal, 2, ..., n. Ia tidak

membenarkan kita untuk membina

bahawa keseluruhan ditutup set semua nombor semulajadi yang begitu biasa daripada

matematik klasik.

Ia adalah sama penting untuk memerhatikan bahawa pembinaan ini adalah kedua-duanya"induktif" dan "berkesan." Ia adalah

induktif dalam erti kata bahawa, jika seseorang mahu untuk membina, berkata, Nombor 3,

seseorang itu untuk pergi melalui

semua langkah-langkah mental terlebih dahulu membina 1, kemudian 2, dan akhirnya 3;

seseorang tidak boleh hanya merebut

bilangan 3 keluar dari langit. Ia adalah berkesan dalam erti kata bahawa, sekali pembinaan

semulajadi

nombor telah selesai, bahawa nombor asli telah dibina secara keseluruhannya. Ia bermaksud

sebelum kita sebagai membina mental yang telah selesai sepenuhnya, bersedia untuk kajian

kami itu. Apabila seseorang

berkata, "Saya telah selesai pembinaan mental nombor 3," ia adalah seperti tukang batu

berkata, "Saya

telah selesai bahawa dinding, "yang dia boleh sayonly selepas dia telah meletakkan setiap batu

di tempat.

Kita kini beralih kepada takrif intuitionistic matematik. Menurut intuitionistic

falsafah, matematik harus ditakrifkan sebagai aktiviti mental dan bukan sebagai satu set teorem

(sebagai


7/16

telah dilakukan di atas dalam seksyen pada logicism). Ia adalah aktiviti yang terdiri dalam

menjalankan, satu

selepas yang lain, mereka pembinaan mental yang induktif dan berkesan di dalam pengertian

mana pembinaan intuitionistic nombor asli adalah induktif dan berkesan. Di-

tuitionism menegaskan bahawa manusia adalah dapat mengenali sama ada mental yang

diberikan construc-tion mempunyai kedua-dua sifat. Kami akan merujuk kepada pembinaan mental yang

mempunyai kedua-dua

hartanah sebagai membina dan seterusnya definisi intuitionistic matematik mengatakan:

Mathemat-

ics adalah aktiviti mental yang terdiri dalam menjalankan membina salah satu selepas yang lain.

Satu akibat utama definisi ini adalah bahawa semua matematik intuitionistic adalah berkesan

atau

"Membina" sebagai salah satu biasanya berkata. Kami akan menggunakan adjektif "membina"

sebagai sinonim

dengan "berkesan" mulai sekarang. Iaitu, membina setiap konstruktif, dan intuitionistic

matematik adalah hanyalah menjalankan konstruk berulang. Sebagai contoh, jika nombor nyata

210 I MATEMATIK magazine

________________________________________

Page 5

r berlaku dalam bukti intuitionistic atau teorem, ia tidak pernah berlaku di sana semata-mata

atas alasan sesuatu

bukti kewujudan. Ia berlaku di sana kerana ia telah dibina dari atas ke bawah. Ini bermakna

bagi contoh bahawa setiap tempat perpuluhan dalam pengembangan perpuluhan r pada

prinsipnya boleh dikira.

Secara ringkas, semua bukti intuitionistic, teorem, definisi, dan sebagainya, adalah sepenuhnya

konstruktif.Satu lagi akibat utama takrif intuitionistic matematik adalah mathemat-yang

ics tidak boleh dikurangkan kepada sains mana-mana lain seperti, untuk contoh, logik. Definisi

ini terdiri daripada

terlalu banyak proses mental bagi apa-apa pengurangan. Dan di sini, maka, kita lihat perbezaan

radikal

antara logicism dan intuitionism. Malah, sikap intuitionistic ke arah logik adalah tepat

bertentangan dari sikap logicists ': Menurut kepada intuitionists, apa sahaja yang sah logik

memproses terdapat, mereka semua membina; itu, sebahagian sah logik klasik adalah

sebahagian daripada

matematik! Mana-mana undang-undang logik klasik yang tidak terdiri daripada konstruk adalah

untuk

intuitionist gabungan bermakna perkataan. Ia adalah, sememangnya, mengejutkan bahawa

klasik

undang-undang pertengahan dikecualikan ternyata menjadi gabungan yang bermakna

perkataan. Ini

menunjukkan bahawa undang-undang ini tidak boleh digunakan sewenang-wenangnya dalam

matematik intuitionistic; ia boleh sering


8/16

boleh digunakan, tetapi tidak semestinya.

Apabila definisi intuitionistic matematik telah difahami dan diterima, semua ada

tinggalan yang perlu dilakukan ialah untuk melakukan matematik cara intuitionistic. Malah,

intuitionists mempunyai

dibangunkan intuitionistic aritmetik, algebra, analisis, teori set, dan lain-lain Walau

bagaimanapun, dalam setiapcawangan matematik, ada berlaku teorem klasik yang tidak terdiri daripada membina

dan oleh itu, adalah kombinasi perkataan bermakna untuk intuitionists. Oleh itu, satu

tidak boleh mengatakan bahawa intuitionists telah dibina semula semua matematik klasik. Ini

tidak

mengganggu intuitionists sejak apa bahagian matematik klasik mereka tidak boleh

mendapatkan adalah

bermakna bagi mereka anyway. Intuitionism tidak mempunyai sebagai tujuan justifikasi

matematik klasik. Tujuannya adalah untuk memberi definisi yang sah matematik dan kemudian

untuk "tunggu

dan lihat "apa matematik datang daripada itu. Apa jua matematik klasik tidak boleh dilakukan

intuitionistically hanya tidak matematik bagi intuitionist. Kita memerhatikan di sini lagi

perbezaan asas antara logicism dan intuitionism: logicists mahu mewajarkan semua

matematik klasik. (Satu pengenalan yang cemerlang kepada teknik sebenar intuitionism [8].)

Marilah kita sekarang bertanya bagaimana kejayaan sekolah intuitionistic telah memberikan kita

yang baik

asas untuk matematik, diterima majoriti ahli matematik. Sekali lagi, terdapat

perbezaan ketara antara cara soalan ini akan dijawab dalam kes ini dan dalam

kes logicism. Malah logicists keras berhidung perlu mengakui bahawa sekolah mereka setakat

ini telah gagal untuk

memberi matematik asas yang kukuh sebanyak 20%. Walau bagaimanapun, intuitionist keras

berhidung mempunyai setiaphak di dunia untuk menuntut intuitionism yang telah diberikan matematik memuaskan

sepenuhnya

asas. Terdapat definisi yang bermakna matematik intuitionistic, yang dibincangkan di atas;

terdapat falsafah intuitionistic yang memberitahu kita mengapa membina tidak boleh

menimbulkan

percanggahan dan, dengan itu, bahawa matematik intuitionistic adalah percuma percanggahan.

Malah, tidak

hanya masalah ini (kebebasan dari percanggahan) tetapi semua masalah-masalah lain

daripada asas

sifat serta menerima penyelesaian yang sempurna memuaskan dalam intuitionism.

Namun jika satu kelihatan pada intuitionism dari luar, iaitu, dari sudut pandangan klasik

matematik, seseorang itu untuk mengatakan intuitionism yang telah gagal untuk memberikan

matematik yang mencukupi

asas. Malah, masyarakat matematik telah hampir universal ditolak intuitionism.

Mengapa masyarakat matematik yang dilakukan ini, walaupun ciri-ciri yang sangat menarik

banyak

intuitionism, beberapa yang hanya disebut?


9/16

Salah satu sebab adalah bahawa ahli matematik klasik bulat-bulat menolak untuk melakukan

jauh dengan yang indah banyak

teorem yang kombinasi perkataan bermakna untuk intuitionists. Satu contoh ialah

Brouwer teorem titik tetap topologi yang intuitionists menolak kerana titik tetap

tidak boleh dibina, tetapi hanya boleh ditunjukkan wujud atas alasan bukti kewujudan. Ini,

dengancara ini, adalah Brouwer yang sama yang menciptakan intuitionism; dia adalah sama terkenal

kerana karyanya dalam

(Nonintuitionistic) topologi.

Sebab kedua datang dari teorem yang boleh dibuktikan kedua-dua klasik dan intuitionisti-

Cally. Ia sering berlaku bahawa bukti klasik seperti teorem adalah pendek, elegan, dan

devilishly


________________________________________

Page 6

pandai, tetapi tidak konstruktif. Intuitionists sudah tentu akan menolak apa-apa bukti dan

menggantikannya dengan

mereka sendiri bukti membina teorem sama. Walau bagaimanapun, ini bukti konstruktif kerap

ternyata menjadi kira-kira sepuluh kali selagi bukti klasik dan sering kelihatan, sekurang-

kurangnya untuk

matematik klasik, telah kehilangan semua keanggunan. Satu contoh ialah teorem asas

algebra yang dalam matematik klasik dibuktikan dalam kira-kira setengah halaman, tetapi

mengambil masa kira-kira sepuluh

muka surat bukti dalam matematik intuitionistic. Sekali lagi, ahli matematik klasik menolak untuk

mempercayai

bahawa bukti pandai mereka tidak bermakna apabila bukti-bukti itu tidak konstruktif.

Akhir sekali, terdapat teorem yang memegang dalam intuitionism tetapi adalah palsu dalamklasik mathemat-

ics. Satu contoh ialah teorem intuitionistic yang mengatakan bahawa setiap fungsi sebenar

bernilai yang

ditakrifkan untuk semua nombor nyata adalah berterusan. Teorem ini tidak seperti yang pelik

kerana ia berbunyi kerana ia

bergantung kepada konsep intuitionistic fungsi: A f bernilai sebenar fungsi yang ditakrifkan

dalam

intuitionism untuk semua nombor nyata hanya jika, untuk setiap nombor r sebenar yang

intuitionistic construc-

tion telah selesai, bilangan sebenar f (r) boleh dibina. Mana-mana jelas selanjar

berfungsi dengan seorang ahli matematik klasik menyebut tidak memenuhi kriteria ini konstruktif.

Walaupun begitu, teorem seperti yang satu ini kelihatan begitu jauh kepada ahli matematik

klasik bahawa mereka menolak

mana-mana matematik yang menerima mereka.

Ketiga-tiga sebab untuk penolakan intuitionism oleh ahli matematik klasik tidak

rasional serta saintifik. Nor mereka sebab-sebab pragmatik, berdasarkan sabitan yang klasik

matematik adalah lebih baik untuk aplikasi fizik atau sains lain daripada intuitionism. Mereka


10/16

semua sebab-sebab emosi, berasaskan pengertian yang mendalam tentang apa yang

matematik adalah semua tentang. (Jika salah satu

pembaca mengetahui penolakan yang benar-benar saintifik intuitionism, penulis akan berterima

kasih kepada

mendengar tentang hal itu) Kami kini mempunyai krisis kedua dalam matematik di hadapan kita:

Ia terdiri dalamkegagalan sekolah intuitionistic untuk membuat intuitionism diterima sekurang-kurangnya

majoriti

matematik.

Ia adalah penting untuk menyedari bahawa, seperti logicism, intuitionism berakar umbi dalam

falsafah. Apabila,

contoh, intuitionists menyatakan definisi mereka matematik, yang diberikan sebelum ini, mereka

menggunakan tegas

falsafah dan bukan bahasa matematik. Ia akan, sebenarnya, menjadi agak mustahil bagi

mereka untuk

menggunakan matematik untuk definisi sedemikian. Aktiviti mental yang matematik boleh

ditakrifkan

dari segi falsafah tetapi definisi ini mesti, dengan keperluan, menggunakan beberapa terma

yang tidak

tergolong dalam aktiviti ia cuba untuk menentukan.

Sama seperti logicism berkaitan untuk realisme, intuitionism berkaitan dengan falsafah yang

dipanggil

"Conceptualism." Ini adalah falsafah yang menegaskan bahawa entiti abstrak wujud hanya

setakat

kerana mereka dibina oleh minda manusia. Ini adalah sangat banyak sikap intuitionism yang

berpendapat bahawa entiti abstrak yang berlaku dalam matematik, sama ada jujukan atau

perintah-hubunganatau apa yang telah anda, semua pembinaan mental. Ini tepat mengapa seseorang tidak

mencari dalam

intuitionism koleksi mengejutkan entiti abstrak yang berlaku dalam matematik klasik

dan seterusnya dalam logicism. Sebaliknya antara logicism dan intuitionism adalah sangat

serupa dengan

Sebaliknya antara realisme dan conceptualism.

Satu cara yang sangat baik untuk mendapatkan ke intuitionism adalah dengan mengkaji [8],

Bab IV [4], [2] dan [13],

perintah ini.

Formalisme

Sekolah ini telah diwujudkan pada kira-kira 1910 oleh ahli matematik Jerman David Hilbert

(1862-1943). Benar, seseorang mungkin mengatakan bahawa sudah ada formalists pada abad

kesembilan belas

sejak Frege berhujah menentang mereka dalam jilid kedua der Arithmetik Grundgesetze beliau

(lihat

buku oleh Geach dan Hitam di bawah [5], laman l82 ~ -233); jilid pertama daripada

Grundgesetze


11/16

muncul pada tahun 1893 dan yang kedua pada tahun 1903. Walau bagaimanapun, konsep

moden formalisme,

yang termasuk pemikiran finitary, mesti dikreditkan kepada Hilbert. Sejak buku kursus dan

moden

dalam logik matematik biasanya berurusan dengan formalisme, sekolah ini adalah lebih baik

terkenal hari ini berbandingsama ada logicism atau intuitionism. Kita itu akan membincangkan hanya kemuncak formalisme

dan mula

dengan bertanya, "Apakah ia bahawa kita merasmikan apabila kita merasmikan sesuatu?" '

212 MATEMATIK S MAGAZINE

________________________________________

Page 7

Jawapannya adalah bahawa kita memformalkan beberapa teori axiomatized diberikan.

Seseorang perlu berwaspada terhadap

mengelirukan axiomatization dan perasmian. Euclid axiomatized geometri dalam kira-kira 300

SM, tetapi

perasmian bermula hanya kira-kira 2200 tahun kemudian dengan logicists dan formalists.

Contoh

teori axiomatized geometri satah Euclid dengan aksiom Euclid biasa, aritmetik

dengan aksiom Peano, ZF dengan aksiom sembilan, dll Persoalan seterusnya ialah:

"Bagaimana kita

merasmikan teori axiomatized yang diberikan? "

Katakan kemudian bahawa sesetengah T teori axiomatized diberikan. Menghadkan diri kepada

perintah pertama

logik, "

untuk merasmikan T "ertinya untuk memilih bahasa perintah yang sesuai pertama bagi T.

perbendaharaan kata bahasa perintah pertama terdiri daripada lima perkara, empat yangsentiasa sama

dan tidak bergantung kepada teori yang diberikan T. empat perkara ini adalah seperti berikut: (1)

Satu senarai

pembolehubah denumerably banyak - yang boleh bercakap tentang matematik tanpa

menggunakan pembolehubah? (2)

Simbol untuk connectives pertuturan seharian

"Dan," \ / bagi

, Katakan -1 untuk

inklusif "atau," -> "jika kemudian," dan untuk "jika dan hanya jika" yang boleh bercakap

tentang apa-apa pada semua

tanpa menggunakan connectives? (3). Tanda kesaksamaan

=; Lagi, tiada siapa yang boleh bercakap tentang matematik

tanpa menggunakan tanda ini. (4) Kedua-dua pengkuantiti, "untuk semua" Pengkuantiti V dan

"wujud"

3 Pengkuantiti; yang pertama digunakan untuk mengatakan perkara-perkara seperti "semua

nombor kompleks mempunyai persegi

Satu boleh melakukan tanpa


12/16

beberapa simbol-simbol di atas, tetapi tidak ada sebab untuk pergi ke itu. Sebaliknya, kita

beralih kepada kelima

item.

akar, "yang kedua untuk mengatakan perkara-perkara seperti" wujud nombor tidak rasional. "

Sejak T adalah satu teori axiomatized, ia telah dipanggil "undefined terms." Satu untuk memilih

simbol yang sesuai bagi setiap istilah undefined T dan simbol-simbol membentuk item kelima.Untuk

213

VOL. 52, NO. 4, SEPTEMBER 1979

________________________________________

Page 8

contoh, antara terma undefined satah geometri Euclid, berlaku "titik", "garis," dan

"Kejadian," dan bagi setiap seorang daripada mereka satu simbol yang sesuai mesti memeterai

perbendaharaan kata bahasa perintah pertama. Antara terma undefined aritmetik berlaku

"sifar,"

"Selain itu," dan "pendaraban," dan simbol seseorang memilih untuk mereka adalah kursus 0, +,

dan

X, masing-masing. Teori yang paling mudah semua untuk merasmikan ZF sejak teori ini hanya

mempunyai satu

istilah undefined, iaitu hubungan keahlian. Satu memilih, sudah tentu, E simbol biasa

hubungan itu. Ini simbol, salah untuk setiap penggal undefined T teori axiomatized,

sering dipanggil "parameter" bahasa perintah pertama dan seterusnya parameter membentuk

item kelima.

Sejak parameter adalah simbol sahaja dalam perbendaharaan kata bahasa perintah pertama

yang

bergantung kepada T teori axiomatized diberikan, seseorang fonnalizes T hanya dengan

memilih iniparameter. Apabila pilihan ini telah dibuat, T teori keseluruhan telah sepenuhnya untuk

malized. Satu kini boleh meluahkan dalam perintah disebabkan bahasa pertamanya L bukan

sahaja semua aksiom,

definisi, dan teorem T, tetapi lebih! Satu juga boleh meluahkan L semua aksiom logik klasik

dan, akibatnya, juga semua bukti seseorang menggunakan untuk membuktikan teorem T.

Secara ringkas, seseorang kini boleh

meneruskan sepenuhnya dalam L, yang, sepenuhnya "secara rasmi."

Tetapi sekarang soalan ketiga membentangkan sendiri: "Mengapa di dunia sesiapa mahu

merasmikan

teori yang diberikan axiomatized? "Lagipun, Euclid tidak pernah melihat keperluan untuk

merasmikan beliau axiomatized

geometri. Ia adalah penting untuk bertanya soalan ini, sejak walaupun Peano besar telah

tersilap idea

tentang tujuan sebenar formalisasi. Beliau telah menerbitkan salah satu penemuan yang paling

penting dalam

persamaan pembezaan dalam bahasa formal (sangat serupa dengan bahasa perintah pertama)

dengan


13/16

mengakibatkan bahawa tiada siapa yang membacanya sehingga beberapa jiwa amal

diterjemahkan artikel ke dalam bahasa Jerman biasa.

Marilah kita sekarang cuba untuk menjawab soalan ketiga. Jika ahli matematik melakukan

penyelidikan teknikal dalam

cawangan tertentu matematik, katakan, geometri satah Euclid, mereka yang berminat dalam

mencaridan membuktikan teorem penting cabang matematik. Bagi jenis yang teknikal

kerja, formalisasi biasanya bukan sahaja tidak membantu tetapi halangan yang pasti. Walau

bagaimanapun, jika seseorang bertanya

apa-apa soalan asas seperti, misalnya, "Mengapa ini cabang matematik percuma

percanggahan? ", maka perasmian tidak hanya membantu tetapi satu keperluan mutlak.

Ia adalah benar-benar strok Hilbert genius untuk memahami bahawa formalisasi yang betul

teknik untuk menangani soalan asas itu. Apa yang dia mengajar kita boleh meletakkan kira-kira

sebagai

berikut. Katakan bahawa T ialah satu teori axiomatized yang telah dirasmikan pada segi yang

pertama

tindanan bahasa L. bahasa ini mempunyai sintaks yang tepat bahawa ia sendiri boleh dikaji

sebagai

objek matematik. Satu boleh meminta contoh: "Bolehkah seseorang mungkin menghadapi

percanggahan jika satu

perolehan sepenuhnya secara rasmi dalam L, menggunakan hanya aksiom T dan logik klasik,

semua

yang telah dinyatakan dalam L? "Jika seseorang boleh membuktikan secara matematik bahawa

jawapan kepada ini

soalan adalah "tidak," kata seorang ada mempunyai bukti matematik yang T teori adalah

percuma percanggahan!

Ini adalah pada dasarnya apa yang terkenal "program Hilbert" adalah semua tentang. Idea iniadalah untuk memformalkan

pelbagai cabang matematik dan kemudian untuk membuktikan secara matematik bahawa

setiap seorang daripada mereka adalah

bebas percanggahan. Malah jika, melalui teknik ini, yang formalists boleh mempunyai hanya

menunjukkan bahawa ZF adalah bebas daripada percanggahan, mereka akan sekali gus sudah

telah menunjukkan bahawa semua

matematik klasik adalah bebas daripada percanggahan, sejak matematik klasik boleh dilakukan

axiomatically dalam segi sembilan aksiom ZF. Secara ringkas, formalists cuba untuk

mewujudkan

teknik matematik dengan cara yang mana satu boleh membuktikan bahawa matematik adalah

percuma

percanggahan. Ini adalah tujuan asal formalisme.

Ia adalah menarik untuk memerhatikan bahawa kedua-dua logicists dan formalists dirasmikan

pelbagai cawangan

matematik, tetapi atas sebab-sebab yang sangat berbeza. The logicists mahu untuk

menggunakan seperti formaliza-

tion untuk menunjukkan bahawa cabang matematik dalam soalan kepunyaan logik; formalists


14/16

mahu

untuk menggunakan ia untuk membuktikan matematik bahawa cawangan itu adalah percuma

percanggahan. Sejak kedua-dua sekolah

"Dirasmikan," mereka kadang-kadang keliru.

Adakah formalists melengkapkan program mereka berjaya? Tidak! Di l93l, Kurt Godel

menunjukkan[6] formalisasi yang tidak boleh dianggap sebagai satu teknik matematik dengan cara yang

mana satu

214 MATEMATIK S MAGAZlNE

________________________________________

Page 9

boleh membuktikan bahawa matematik adalah percuma percanggahan. Teorem dalam kertas

itu yang berbunyi

loceng kematian bagi kebimbangan program Hilbert axiomatized teori yang bebas contradic-

tions dan aksiom yang cukup kuat supaya aritmetik boleh dilakukan dalam segi mereka.

Contoh teori yang aksiom adalah yang kuat, sudah tentu, Peano aritmetik dan ZF.

Katakan sekarang bahawa T ialah seperti teori dan T yang telah dirasmikan oleh cara perintah

pertama

Pada


15/16

The

nama.

________________________________________

Epilog


16/16

Rujukan

Tiga Krisis dalam Matematik.docx

Documents

Transcript of Tiga Krisis dalam Matematik.docx