Transformasi Satu Peubah Acak

(Lanjutan)

Dr. Kusman Sadik, M.Si

Departemen Statistika IPB, 2016

1

2

Transformasi Peubah Acak (Lanjutan)

B. Metode Penggantian Peubah

Metode ini merupakan pengembangan dari metode fungsi

sebaran. Misalkan diketahui fkp bagi p.a. X adalah fX(x). Jika

didefinisikan p.a. lainnya yaitu Y = h(x), maka ingin diketahui

fkp bagi Y yaitu fY(y).

3

Perhatikan bahwa dalam transformasi p.a. fungsinya, yaitu

h(x), harus fungsi satu-satu (one-to-one).

Y = h(X) X = h-1(Y)

FY(y) = P(Y y) = P(h(X) y) = P(X h-1(y)) = FX(h-1(y))

FY(y) = FX(h-1(y))

4

FY(y) = FX(h-1(y))

selanjutnya tentukan turunan dari FY(y) di atas untuk

mendapatkan fY(y):

fY(y) = dy

yhd

yhd

yhdF

dy

yhdF

dy

ydF XXY )]([

)]([

)]([)]([)( 1

1

11

karena X = h-1(Y) , maka persamaan di atas menjadi:

fY(y) = dy

dxxf

dy

dx

dx

xdF

dy

yhd

yhd

yhdFX

XX )()()]([

)]([

)]([ 1

1

1

5

fY(y) = dy

dxxf

dy

dx

dx

xdF

dy

yhd

yhd

yhdFX

XX )()()]([

)]([

)]([ 1

1

1

atau

fY(y) = dy

ydhyhfX

)())((

11

6

Teorema:

Misalkan X adalah p.a. dengan fkp fX(x) pada gugus S R, dan

didefinisikan fungsi h : S T sebagai tranformasi satu-satu

(one-to-one), sehingga inversnya x = h-1(y), y T. Anggap

bahwa untuk y T, turunan (dh-1(y))/dy ada, kontinu dan

tidak sama dengan 0. Maka fungsi kepekatan peluang bagi

p.a. yang didefinisikan Y = h(X) adalah:

fY(y) = dy

ydhyhfX

)())((

11

, y T

Catatan : dy

ydh )(1

disebut sebagai Jacobi atau disingkat J.

7

Kasus 1

Misalkan p.a. kontinu X mempunyai fkp sebagai berikut:

fX(x) = 2x, 0 < x < 1

Jika didefinisikan p.a. Y = 8X3, ingin diketahui fkp bagi Y yaitu

fY(y).

Perhatikan bahwa dalam transformasi p.a. fungsinya harus

fungsi satu-satu (one-to-one). Pada transformasi di atas, Y =

X3, merupakan fungsi satu-satu.

Y = h(X) = 8X3 X = h-1(Y) = 3/1

8

Y=

2

3/1Y

dan karena 0 < x < 1 maka 0 < y < 8.

8

Y = h(X) = 8X3 X = h-1(Y) = 3/1

8

Y=

2

3/1Y

dan karena 0 < x < 1 maka 0 < y < 8.

J = dy

ydh )(1

=62

3/23/1

yy

dy

d

9

J = dy

ydh )(1

=62

3/23/1

yy

dy

d

fY(y) =

6))((2

)())((

3/21

11 y

yhdy

ydhyhfX

fY(y) 3/1

3/23/1

6

1

622

y

yy

Sehingga fkp bagi p.a. Y adalah

3/16

1)(

yyfY , 0 < y < 8

Coba cek bahwa fY(y) tersebut merupakan fkp !

10

Kasus 2

Misalkan p.a. kontinu X U(, ). Jika kemudian

didefinisikan p.a. Y = eX, akan ditentukan fkp bagi Y yaitu

fY(y).

Karena X U(, ) maka < x < dan e < y < e

Y = h(X) = eX X = h-1(Y) = ln(Y)

J = dy

ydh )(1

=ydy

yd 1)ln(

11

J = dy

ydh )(1

=ydy

yd 1)ln(

fY(y) = yydy

ydhyhfX

)(

111)())((

11

Sehingga fkp bagi p.a. Y adalah

)(yfYy)(

1

, e < y < e

Coba cek bahwa fY(y) tersebut merupakan fkp !

12

Kasus 3

Misalkan p.a. kontinu X U(0, 1). Jika kemudian

didefinisikan p.a. Y = -2ln(X), akan ditentukan fkp bagi Y

yaitu fY(y).

Karena X U(0, 1) maka 0 < x < 1 dan y > 0

Y = h(X) = -2ln(X) X = h-1(Y) = e-y/2

J = dy

ydh )(1

= 2/2/2/

2

1

2

1 yyy

eedy

de

13

J = dy

ydh )(1

= 2/2/2/

2

1

2

1 yyy

eedy

de

fY(y) = 2/2/1

1

2

1

2

1.1

)())(( yy

X eedy

ydhyhf

Sehingga fkp bagi p.a. Y adalah

2/

2

1)( y

Y eyf , y > 0

Coba cek bahwa fY(y) tersebut merupakan fkp. Catatan, fkp

ini merupakan sebaran 2 dengan derajat bebas 2.

14

Kasus 4

Misalkan p.a. kontinu X mempunyai fkp sebagai berikut:

fX(x) = )2/(12 2

2

1 xex

, - < x <

Jika didefinisikan p.a. Y = X

1, tunjukkan bahwa fkp bagi Y

adalah Normal(0, 1).

15

Kasus 5

Misalkan p.a. kontinu X N(, 2). Jika kemudian

didefinisikan p.a. Y = aX - b, akan ditentukan fkp bagi Y yaitu

fY(y).

Karena X N(, 2) maka - < x < dan - < y <

Y = h(X) = aX - b X = h-1(Y) = a

bY

J = dy

ydh )(1

=aaa

bY

dy

d 11

16

J = dy

ydh )(1

=aaa

bY

dy

d 11

fY(y) = a

a

by

dy

ydhyhfX

1.

2exp

2

1)())((

2

2

11

2

2

)(2

)(exp

2

1

a

bay

a

Sehingga fkp bagi p.a. Y = aX - b adalah Normal(a - b, (a)2)

17

Kasus 6 (Bukan Fungsi Satu-Satu)

Misalkan p.a. kontinu X menyebar Normal(0, 1) yaitu

fX(x) = 2

2

1

2

1 x

e

, - < x <

Jika didefinisikan p.a. Y = X2, ingin diketahui fkp bagi Y yaitu

fY(y).

Perhatikan bahwa dalam transformasi di atas, Y = X2, bukan fungsi satu-satu (one-to-one). Sehingga transformasi tersebut harus dipecah dulu agar menjadi fungsi satu-satu, yaitu: - < x 0 dan 0 < x < .

18

Untuk - < x 0

Y = h(X) = X2 X = h-1(Y) = Y

dan karena - < x 0 maka 0 y < .

J = dy

ydh )(1

= 2/12/1

2

1

2

1 yyydy

d

2/2/1

2/12

111

22

1

2

1.

2

1)())(()(

2

y

y

XY

ey

yedy

ydhyhfyf

19

Untuk 0 < x <

Y = h(X) = X2 X = h-1(Y) = Y

dan karena 0 < x < maka 0 < y < .

J = dy

ydh )(1

= 2/12/1

2

1

2

1 yyydy

d

2/2/1

2/12

111

22

1

2

1.

2

1)())(()(

2

y

y

XY

ey

yedy

ydhyhfyf

20

Sehingga fkp bagi p.a. Y adalah

0 ,2

1

22

1

22

1)(

2/2/1

2/2/12/2/1

yey

eyeyyf

y

yy

Y

Perhatikan bahwa fkp p.a. Y tersebut merupakan sebaran

Khai-Kuadrat dengan derajat bebas 1 yaitu 2(1).

Jadi jika X N(0, 1) maka Y = X2 2(1).

21

Catatan : sebaran Khai-Kuadrat dengan derajat bebas r dapat

dinyatakan sebagai berikut:

0 ,2)2/(

1)( 2/1)2/(

2/

yey

ryf yr

r

untuk r = 1 maka (r/2) = , sehingga

0 ,2

1

2.

1)( 2/2/12/1)2/1( yeyeyyf yy

22

Kasus 7 (Peubah Acak Diskret)

Untuk transformasi peubah acak diskret dilakukan seperti

pada peubah acak kontinu di atas, hanya saja untuk peubah

acak diskret Jacobi selalu sama dengan satu (J = 1), yaitu

fY(y) = ))(( 1 yhfX

, y T

23

Dr. Kusman Sadik

Dept. Statistika IPB, 2016

Misalkan p.a. diskret X mempunyai sebaran Poisson(),

yaitu:

fX(x) = !x

ex

, x = 0, 1, 2, ...

Jika didefinisikan p.a. Y = 5X, akan ditentukan fkp bagi Y

yaitu fY(y).

Y = h(X) = 5X X = h-1(Y) = Y/5

karena X merupakan p.a. diskret maka Jacobian = 1, sehingga

fY(y) = ))(( 1 yhfX

= fX(y/5) = )!5/(

5/

y

ey

, y = 0, 5, 10, ....

24

1. Roussas, G. 2003. Introduction to Probability and Statistical Inference. Academic Press

2. Nasoetion, A. H. dan Rambe, A. 1984. Teori Statistika untuk Ilmu-Ilmu Kuantitatif. Bhratara Karya Aksara, Jakarta.

3. Hoog RV , McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics 6th Edition. Pearson Prentice Hall.

4. Wackerly D, Mendenhall W, Scheaffer RL. 2007. Mathematical Statistics with Applications 7th Edition, Duxbury Thomson Learning

5. Pustaka lain yang relevan.

25

Bisa di-download di

http://www.stat.ipb.ac.id/en/index.php?page=dr-kusman-sadik

26