Unit Pelajaran 2 Sistem Nombor Nyata

Unit 2 Sistem Nombor Nyata |9

UNIT PELAJARAN 2

SISTEM NOMBOR NYATA

HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir unit ini, anda diharap dapat:

1. Menyatakan set ,W, , Q, H dan R serta perkaitan di antaranya.

2. Melakar garis nombor dan mencari set nilai yang tertakrif bagi sesuatu

ketaksamaan dan sebaliknya.

3. Mentakrif nilai mutlak dan mencari nilai mutlak.

4. Mengenal beberapa sifat-sifat asas untuk nombor nyata seperti tutupan, aksiom

kesamaan, aksiom nombor nyata.

5. Membezakan dan memahami ketaksamaan seperti > , < , , .

6. Menyatakan teorem sifat ketaksamaan dan jenis-jenis selang, iaitu selang terbuka,

selang tertutup, selang separuh terbuka dan selang separuh tertutup.

Matematik Asas|10

PENGENALAN

sas kepada matematik adalah nombor. Perkataan nombor dan angka selalu digunakan

bertukar ganti. Apakah perbezaannya? Nombor adalah konsep abstrak yang

digambarkan di dalam pemikiran dan sImbol untuk mewakili konsep ini dinamakan

angka. Boleh anda berikan contoh untuk membezakannya?

Asas kepada sistem nombor nyata ialah set yang mana kita telah pelajari di Unit 1. Di dalam unit

ini kita akan mengkaji set nombor nyata dan sifat-sifatnya. Kewujudan subset-subset nombor

nyata dan kepentingannya akan dikaji serta operasi penambahan, penolakan, pendaraban dan

pembahagian. Orang Mesir telah mempelopori sejarah penulisan nombor. Sistem nombor yang

digunakan pada hari ini ialah berasal dari Hindustan dan diperkembangkan penggunaannya oleh

orang Arab. Maka sistem ini digelar sistem Hindu-Arab.

Layari Laman Web http://wwwgroups.dcs.stand.ac.uk/~history/Indexes/Number_Theory.html

2.1 Subset-subset nombor nyata

a) Set nombor tabii (N) atau nombor pembilang

N = {1,2,3,4,…..}

b) Set nombor bulat (W)

W = {0,1,2,3,4,…..} atau W = {0} {1,2,3,4,…..}

A

http://wwwgroups.dcs.stand.ac.uk/~history/Indexes/Number_Theory.html


c) Set integer ( Z )

Z = {…–3, –2, –1,0,1,2,3…}

= {…–3, –2, –1} {0} {1,2,3,4,...}

Z Z+

N Z dan W Z

d) Set nombor nisbah (Q)

Q = {q

p| p Z, q Z – {0} }

Contoh 4

3,

2

9 , 0, –2, 5,

11

24, 16

Didapati bahawa setiap nombor integer adalah nombor nisbah kerana semua nombor integer boleh

dituliskan sebagai hasil bahagi nombor itu dengan 1. Atau nombor nisbah boleh ditakrifkan

sebagai:

Q = { x | nombor perpuluhan yang mewakili x sama ada berakhir atau berulang}

Nombor perpuluhan berakhir

2

1 = 0.5

4

5 = 1.25

Contoh 2.1

Matematik Asas|12

Nombor perpuluhan berulang

= 0.33

3

1= 0.3333…. ,

6

1= - 0.1666…

= 0.33 = 0.66

Tukarkan nombor 0.151515… kepada bentuk nisbah.

Katalah x = 0.1515…

100x = 15.1515..

100x – x = 15

99x = 15

x = 99

15=

33

5

Setakat ini hubungan subset bagi set nombor yang telah kita pelajari ialah:

N W Z Q

e) Set nombor tak nisbah (H atau Q )

H = {x| x ialah nombor perpuluhan yang tidak berakhir dan tidak berulang }

ATAU

Q = {x| x bukan nombor nisbah}

Contoh 2.2

Contoh 2.3


e = 2.7182818…, = 3.1415926..., 2 = 1.4142135…

Jika diperhatikan, didapati bahawa nombor tak nisbah tidak akan berakhir dan tidak berulang .

f) Set nombor nyata (R)

R = {x| x Q atau x H}

= Q H

R = H Q

Nombor Nyata Positif

R+ = {x R : x > 0}

Nombor Nyata Negatif

R-- = {x R : x < 0 }

Nombor Nyata Bukan Negatif

R = {x R : x ≥ 0}

Contoh 2.4

Matematik Asas|14

Maka hubungan antara subset-subset nombor nyata ialah seperti berikut:

g) Set Nombor Kompleks (C).

Bentuk amnya ialah c = a + ib, di mana a dan b adalah nombor Nyata dan i adalah

nombor khayalan ( i2 = –1 atau I = 1- )

Contoh : 5- , 3 + 2- , -1 – 2 7 .

Nombor Nyata

R

Nombor Nisbah

Q = { q

p | p Z, q Z – {0}}

Nombor Tak Nisbah

(Contoh: 19 , 2 , 43

H or Q Nombor Nisbah

Bukan integer

Integer

Z = {…-3,-2,-1,0,1,2,3…}

Integer Negatif

…,-3,-2,-1

Nombor Bulat

W = {0,1,2,3,4,…..}

Sifar

0

Nombor Tabii

N = {1,2,3,4,…..}


h) Set nombor perdana

{x| x ialah nombor integer positif (x 1) yang hanya boleh dibahagikan dengan 1 dan

nombor itu sendiri} = {2, 3, 5, 7,11,13,17,19,23…}

i) Set nombor komposit

{x| x ialah nombor integer positif (x 1) dan bukan nombor perdana}

= {4, 6, 8, 9, 10,12,14,15,…}

1 bukan nombor komposit dan bukan nombor perdana. Kenapa?

Tahukah anda semua nombor nyata boleh dinyatakan dalam bentuk nombor kompleks?

Layari laman web berikut dan cuba senaraikan beberapa ahli matematik yang telah mengkaji

mengenai nombor perdana. Bincangkan sumbangan setiap ahli matematik yang telah dipilih.

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Prime_numbers.html

Teorem:

Semua nombor komposit boleh difaktorkan secara unik dalam bentuk hasil darab nombor-

nombor perdana.

10 = 2 5, 14 = 2 7

36 = 22 32

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Prime_numbers.html

Matematik Asas|16

2.2 Garis Nombor

a) Garis nombor digunakan untuk mewakili seluruh nombor nyata. Satu garis lurus dengan

panjang yang bersesuaian dilukis. Panjang garis lanjut ke takterhingga adalah pada

kedua-dua arah. Pilih sebarang titik pada garis untuk mewakili asalan 0. Tandakan titik-

titik dengan selang yang sama pada garis ini di sebelah kanan dan kiri asalan untuk

mewakili integer positif dan negatif.

b) Semua titik pada garis itu (termasuk titik yang bertanda) di kanan dan kiri, pula

mewakil nombor nyata positif dan nombor nyata negatif. Maka set nombor nyata

memenuhi garis nombor nyata.

c) Koordinat ialah titik-titik pada garis nombor nyata yang memperihalkan nombor nyata.

Nombor negatif Nombor Negatif

3 2 1 0 1 2 3

Binakan garis nombor bagi { 2, -1.5, , 3

2, 2 }

1.5 2

● ● ● ●

3 2 1 0 1 2 3

Hanya anggaran kedudukan sahaja yang boleh dibuat untuk sebarang nombor nyata bukan integer.

Labelkan semua titik supaya jelas kedudukannya.

Contoh 2.5

3

2

asalan


Bina garis nombor bagi setiap set nombor nyata berikut.

i) {x : x Z dan x antara –2 dengan 2}

ii) {x : x R dan –3 < x 3}

iii) {x : x N dan x > 3}

Penyelesaian:

i) {x : x Z dan x di antara –3 dengan 2} = {–2, –1, 0, 1}

● ● ● ●

3 2 1 0 1 2

ii) {x : x R dan –3 < x 3} = { –3 < x 3}

4 3 2 1 0 1 2 3 4

Kerana –3 < x , maka titik di –3 tidak dilorekkan. Manakala kerana x 3, maka titik di 3 dilorekkan.

iii) {x : x N and x > 3} = {4,5,6,…}

● ● ● ● ● 3 4 5 6 7 8…

‘…’ bermakna ianya berterusan ke tak terhingga

Contoh 2.6

Matematik Asas|18

Nilai Mutlak

Nombor-nombor adalah bersifat simetri terhadap asalan. Tiga unit ke kanan asalan akan

membawa kita ke nombor 3, dan tiga unit ke kiri asalan akan membawa kita ke 3.

| 3 | = 3 | 3 | = 3

● ● ● ● ● ● ●

3 2 1 0 1 2 3

Konsep berapa jauh sesuatu nombor dari asalan disebut nilai mutlak bagi nombor itu.

Contohnya nilai mutlak bagi 3 ialah 3, nilai mutlak untuk -3 ialah 3, dan nlai mutlak bagi sifar

ialah sifar dan dituliskan seperti berikut:

| 3 | = 3 | 0 | = 0 | -3 | = 3

Takrif Nilai mutlak

Untuk semua nombor nyata a,

a, a R : a 0 | a | =

a, a R : a 0

| 5 | = 5

| 5 | = ( 5) = 5

Nilai mutlak bagi

suatu nombor

positif adalah

nombor itu sendiri.

Contoh 2.7


Jika a dan b mewakili sebarang nombor nyata, maka,

1. | a | tak negatif i.e | a | 0 dan |a|=0 a=0

2. | a | = | a |

3. | a – b | = | b – a |, maka a – b dan b – a adalah saling berlawanan

4. | a |2 = a2

5. | a – b | = 0 a = b

Jarak Antara Dua Titik

Nilai mutlak juga boleh digunakan untuk mendapatkan jarak antara dua titik pada satu garis

nombor. Contohnya jarak di antara M dan N ialah 4 unit dan ianya boleh dihitung dengan

menggunakan sama ada

| 1 3| atau |3 ( 1)|.

M N ● ● ● ● ●

1 0 1 2 3

Secara amnya, jarak antara dua titik x1 dan x2 pada satu garis nombor boleh ditentukan oleh

| x1 x2 | atau | x2 x1 |.

1. Letakkan simbol untuk memperoleh penyataan yang benar.

a) N __ W b) W __ Z

c) H __ Q d) N __ Z

2. Senaraikan unsur set { a | a ialah nombor nisbah dan integer lebih besar daripada 2}

Nilai mutlak bagi

suatu nombor

negatif pula ialah

lawannya.

Latihan Formatif 2.1

Matematik Asas|20

2.3 Operasi Asas Nombor Nyata

Aksiom adalah pernyataan yang dianggap benar tanpa bukti.

a) Aksiom Kesamaan

Andaikan a, b, c R

i) Sifat refleksi a = a

ii) Sifat Simetri a = b maka b = a

iii) Sifat transitif Jika a = b dan b = c maka a = c.

iv) Sifat tukar ganti

Jika a = b, maka a boleh diganti dengan b tanpa menjejaskan kebenaran atau kepalsuan

pernyataan.

b) Aksiom Nombor Nyata membincangkan sifat-sifat dan hubungan untuk Nombor Nyata.

Andaikan a, b, c R

1. Sifat tutupan : a + b R, ab R

2. Sifat tukar tertib : a+b = b+a; ab = ba

3. Sifat Sekutuan : (a + b) + c = a + (b + c)

(ab)c = a(bc)

Suatu operasi ialah satu peraturan di mana dua unsur bagi satu set digunakan untuk

menghasilkan unsur ketiga .


c) Operasi-operasi yntuk nombor nyata adalah:

i) operasi penambahan: Jika 4, 9 R , maka 4 + 9 = 13

ii) penolakan ditulis depan simbol , seperti 8 2 = 6

iii) pendaraban di tulis dalam beberapa cara, misalnya 2x8, 2 8, 2(8) dan (2)(8) mewakili

hasil darab bagi 2 dan 8 . Apabila menulis hasil darab melibatkan pemboleh ubah, simbol

operasi tidak ditulis misalnya xy ialah hasil darab x dan y .

iv) pembahagian bagi a dan b ditulis a ÷ b atau b

a, b ≠ 0

Set nombor nyata bersama dengan hubungan kesamaan dan operasi penambahan dan

pendaraban membentuk sistem nombor nyata.

d) Hukum-hukum Penambahan dan Pendaraban

Jika a, b, c R ,

i) Hukum kalis tukartertib : a+b = b+a (penambahan)

ab = ba (pendaraban) ii) Hukum kalis sekutuan : (a+b )+c = a+(b+c)

(ab) c = a (bc)

iii) Hukum Identiti

Identiti penambahan : wujud nombor nyata unik 0 sedemikian

hingga a + 0 = a dan 0 + a = a

Identiti pendaraban : wujud nombor nyata unik 1 sedemikian

hingga a.1 = a dan 1.a = a

Matematik Asas|22

Songsangan

songsangan penambahan

wujud secara unik nombor nyata –a sedemikian hingga a+( a) = 0 dan ( a) + a = 0 .

a dipanggil negatif bagi a.

songsangan pendaraban

jika a 0 maka wujud secara unik nombor nyata a

1 sedemikian di mana

a a

1 1 dan

a

1 a = 1

a

1 dipanggil salingan bagi a .

Sifat Identiti

i) Wujud satu unsur 0 R dengan

a + 0 = a dan 0 + a = a

ii) Wujud satu unsur 1 R dengan,

a 1 = 1 a = a

Sifat Taburan

a (b + c) = ab + ac

(b + c) a = ba + ca

Sifat Songsangan

a) Wujud – a R dengan a + ( a) = ( a) + a = 0

b) Jika a 0, maka wujud satu unsur a

1 R dengan a

a

1 =

a

1 a = 1

c) a, b R, a – b = a + (–b)

d) a, b R dengan b 0, a b =b

a = a

b

1


Teorem

Jika a, b, c, d R, maka

i) Jika a = b, maka a + c = b + c

ii) – (–a) = a

iii) If a = b, therefore a + c = b + c

iv) – (–a) = a

Bukti:

i) a + c = a + c (refleksif)

Oleh kerana a = b, maka

a + c = b + c (tukarganti)

ii) ( a) = ( a) + 0 (identiti)

= ( a) + ( a + a) (songsangan)

= [ ( a) + ( a)] + a (sekutuan)

= 0 + a = a (songsangan)

Jika a, b, c, d R, tunjukkan (a + b) (c + d) = ac + bc + ad + bc

Penyelesaian:

(a + b) (c + d) = (a + b) c + (a + b) d (sifat taburan)

= (ac + bc) + (ad + bd)

= ac + bc + ad + bd

Contoh 2.8

Matematik Asas|24

SIFAT NOMBOR NYATA

Jenis Sifat Huraian Contoh

1. Tutupan a + b = c; a,b R a+b = c R

a b = c; a,b R a b = c R

5 + 9 =14, 14 R

(0.2)(0.3) = 0.06 R

2. Kalis Tukar Terbit a + b = b + a

ab = ba

2 +3

1=

3

1+ 2

5(80)=(80)5

3. Kalis Sekutuan (a + b) + c = a + (b + c)

(ab)c = a(bc)

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

(5 2) 4 = 5 (2 4)

4. Kalis

Agihan/Taburan

a(b + c) = ab + ac

a(b c) = ab ac

2(8 + 6) = (2 8) + (2 6)

2(8 3) = (2 8) (2 3)

5. Identiti a + 0 = 0 + a = a

a(1 ) = (1)a = a

5 + 0 = 0 + 5 = 5

2(1) = (1)2 = 2

6.Songsangan

a + ( a) = 0 = ( a) + a

a(a

1) = 1 = (

a

1)a, a 0

2 + ( 2) = 0 = ( 2) + 2

12(12

1) = 1 = (

12

1)12

Sifat Tutupan

Jika diberi a, b R dan a + b = c, dimana c R, maka penambahan mempunyai sifat tutupan.

a,b R a+b = c R

Jika diberi a, b R dan a b = c, dimana c R, maka pendaraban mempunyai sifat tutupan.

a b = c; a,b R a b = c R


Untuk menentukan jika nombor-nombor lain mempunyai sifat tutupan untuk penambahan dan

penolakan.

Adakah N mempunyai sifat tutupan untuk + dan – ?

Untuk penambahan (+), a,b N, a + b N a, b N

Untuk penolakan (–) : a, b N, a – b tidak semestinya ahli N

Penyelesaian:

Misalnya 5 – 8 = – 3 N

N tertutup untuk + dan tidak tertutup untuk. –

Tentukan sama ada set Z mempunyai sifat tutupan untuk operasi * berikut:

a * b =

ab

b a

Diberi a, b Z, adakah a b Z ?

Penyelesaian:

a * b =

ab

b a

Diketahui bahawa jika a, b Z , maka a+b Z dan ab Z. Tetapi jika c,d Z, d

c Z

Contohnya,

a = 5, b = 2

a b =

10

7

5(2)25 Z maka a b Z

Z tidak mempunyai sifat tutupan untuk operasi *

Contoh 2.9

Contoh 2.10

Matematik Asas|26

Diberi set R mempunyai sifat tutupan untuk operasi dibawah

x y = x + y + 1

Tentukan sama ada bersifat saling tukar tertib.

Penyelesaian:

Diberi x y = x + y + 1

Untuk menentukan sama ada bersifat saling tukar tertib, perlu tunjukkan bahawa y x = x y

y x = y + x + 1

= x + y + 1 ( tukar tertib dalam R)

= x y

Ketaksamaan

Tatatanda Maknanya

a) > lebih besar

b) < lebih kecil

c) lebih besar atau bersamaan

d) ≤ lebih kecil atau bersamaan

Untuk sebarang dua nombor nyata a, b R, mungkin a = b atau a b atau a b

Perhatian: a < x > b dan a > x < b tidak dibenarkan dan tidak bermakna.

Contoh 2.11


Tatatanda Maknanya

a) x > 5 x lebih besar daripada 5

b) x ≤ 3 x lebih kecil atau sama dengan 3

c) – 2 < x <3 x lebih besar daripada –2 dan lebih kecil daripada 3

Teorem : Untuk a,b,c R,

a) a b dan b c, maka a c

b) a b maka a + c b + c

c) Jika a b dan c d, maka a + c b + d

d) Jika a b dan c 0, maka ac bc

e) Jika a b dan c 0, maka ac bc

f) Jika a dan b, kedua-dua positif atau kedua-dua negatif dan a b maka a

1<

b

1

Selang

Secara geometri, suatu selang merupakan suatu tembereng garis.

Jika a < b, maka

i) selang tertutup dari a ke b ialah set

{ x| a ≤ x ≤ b } = [ a , b ]

ii) selang terbuka dari a ke b ialah set

{ x| a < x < b} = ( a , b )

iii) selang setengah terbuka dan setengah tertutup dari a ke b ialah set

{ x| a ≤ x < b } = [ a , b )

{ x| a < x ≤ b } = ( a , b ]

Contoh 2.12

Matematik Asas|28

iv) selang tak terhingga

{ x| x > a } = ( a , +∞ )

{ x| x ≥ a } = [ a , +∞ ]

{ x| x < b } = ( -∞ , b )

{ x| x ≤ b } = ( -∞ , b )

{ x| x ialah nombor nyata } = ( -∞ , +∞ )

Jika a b, maka

i) selang tertutup dari a ke b ialah set

{x | a x b} = [a,b]

a b

ii) Selang terbuka dari a ke b ialah set

{x | a x b} = (a,b)

a b

iii) [a, b) = { x | a x b}

iv) (a, b] = {x | a x b}

1. Sebatang skru dikehendaki mempunyai ukuran 1.25 cm dengan ralat yang dibenarkan sebanyak

0.05 cm.

a) Berapa ukuran terpanjang dan terpendek bagi skru tersebut?

b) Bina garis nombor bagi set ukuran yang dibenarkan.

Contoh 2.12


2. IQ bagi seseorang, I didapati dengan membahagi usia mental, M, yang ditentukan melalui

ujian piawai, dengan usia kronologi, c, dan mendarab nisbah ini dengan 100.

I = c

100M

Jika IQ bagi satu kumpulan kanak-kanak berusia 9 tahun berada dalam julat 80 I 145,

apakah julat usia mental mereka, M kepada satu tempat perpuluhan.

Penyelesaian:

1. a) katalah x ialah panjang skru

1.25 – 0.05 x 1.25 + 0.05

1.2 x 1.3

b)

1.1 1.2 1.3 1.4

2. Diberi

0 I 145 I = c

100M c = 9

maka 80 9

100M 145

80 100

9 M 145 100

9

7.2 M 13.1

Usia mental berada di dalam julat dari 7.2 tahun ke 13.1 tahun

Matematik Asas|30

1. Nyatakan pernyataan - pernyataan berikut, yang mana benar dan tidak benar.

a) Jika x Q dan y Q , maka x + y Q.

b) Jika x N dan y N , maka x + y N.

c) Jika x N dan y N , maka x – y N.

2. Diberi

i) A = { x : x2 – 3x – 4 = 0 }

ii) A = { x : x2 – 5 = 0 }

iii) A = { 2x2 – 3x +1 = 0 }

Senaraikan semua unsur dalam set A apabila

a) x N b) x Z c) x Q

3. Tuliskan songsangan terhadap penambahan bagi nombor nyata 5 , 2

1 , – 3 , p , – q .

4. Tuliskan songsangan terhadap pendaraban bagi nombor nyata

7 , 4

5 ,

3

2,

5

8, m ,

n

1

5. Diberi x*y = xy , x dan y ialah integer positif. Nyatakan sama ada operasi dedua, * , ialah

a) kalis tukar tertib,

b) kalis sekutuan, atau tidak.

Dapatkan informasi mengenai ahli matematik Perancis Evariste Galois dari laman

sesawang: http://www.helpalgebra.com/onlinebook/realnumbersystem.htm

Latihan Formatif 2.2

http://www.helpalgebra.com/onlinebook/realnumbersystem.htm


RUMUSAN

Perkaitan nombor-nombor adalah seperti berikut;

KATA KUNCI

Nilai Mutlak, hukum tukartertib, hukum sekutuan, hukum identiti, salingan, sifat tutupan.

N W Z Q R

Nombor Nyata

R

Nombor Nisbah

Q = { q

p | p Z, q Z – {0}}

Nombor Tak Nisbah

(Contoh: 19 , 2 , 43

H or Q Nombor Nisbah

Bukan integer

Integer

Z = {…-3,-2,-1,0,1,2,3…}

Integer Negatif

…,-3,-2,-1

Nombor Bulat

W = {0,1,2,3,4,…..}

Sifar

0

Nombor Tabii

N = {1,2,3,4,…..}

Matematik Asas|32

1. Tentukan sama ada yang berikut adalah benar (B) atau palsu (P)

a) 1 1 , 2 f) + Q

b) 1 1 g) Q R = Q

c) 2 1,2 h) Q =

d) 2 1, 2 , 3 i) + =

e) 0 j) W

2. Tentukan sama ada yang berikut adalah benar (B) atau palsu (P)

a) 2 2 f) W

b) 0 g) N R

c) h) 0.25 R

d) 2 2 i) 0 2,3

e) p j) W N

3. Nyatakan sama ada setiap pernyataan berikut adalah benar (B) atau tidak (T)

a) 3 = {3} e) {0} i) {4} {{4}, 4}

b) 3 {3} f) = 0 j) 4 {{4}, 4}

c) 2 {3} g) 3 {3,4} k) {2, {8}} {2,8,9}

d) {3} {3} h) 3 {3,4} l) {x : x2+2x+1=0} {x : x3+1=0}

4. Katakan B = {x : x integer antara 0 dan 20}. Dengan menggunakan tatatanda atau , nyatakan perhubungan setiap nombor berikut dengan set B. a) 1 c) –2 e) 35

b) 5 d) 16 f) 100

Latihan Sumatif


5. Dengan menggunakan takrif nilai mutlak, ringkaskan penyataan yang berikut:

a) – 4 – x2

b) 2x – 6

6. Tuliskan set berikut dengan menyenaraikan unsur-unsurnya

{ x : x nombor genap antara 10 dan 20 }

{ x : x2 – 3x + 2 = 0 }

7. Senaraikan unsur yang terhasil daripada ketaksamaan berikut (dalam bentuk set) dan

perwakilkan dalam bentuk garis nombor.

a) x R –2 X 5

b) x Z –2 X 5

c) x Z+ –2 X 5

8. a) Selesaikan persamaan

b) Selesaikan ketaksamaan –1 4 – 5x 14.

Seterusnya lukiskan garis nombor bagi penyelesaian tersebut.

c) Tukarkan 0.2828282… kepada bentuk nisbah.

RUJUKAN

Marzita Puteh. 2010. Foundation Mathematics. Tanjong Malim: Penerbit Universiti Pendidikan Sultan Idris.

Marzita Puteh. 2002. Matematik PermulaanSiri 1. Kuala Lumpur: Prentice Hall

Marzita Puteh. 2002. Matematik Permulaan Siri 2. Kuala Lumpur: Prentice Hall.

McGregor, C. 1994. Fundamentals of University Mathematics : Albion Publishing, Chichester.

42x1x

Matematik Asas|34

JAWAPAN LATIHAN FORMATIF

Jawapan Latihan Formatif 2.1

1. a) b) c) d)

2. {-1, 0, 1, …}

Jawapan Latihan Formatif 2.2

1. a) benar b) benar c) tidak benar

2 . a) i) { 4 } ii) { } iii) { 1 }

b) i) { 4 , –1 } ii) { } iii) { 1 }

c) i) { 4, –1} ii) { } iii) { 1 , 2

1 }

3. – 5 , 2

1, 3 , – p , q.

4. 7

1 ,

5

4,

2

3 ,

8

5 ,

m

1 , – n

5. a) tak kalis tertib b) tak kalis sekutuan

JAWAPAN LATIHAN SUMATIF

1. a) P b) P c) P d) P e) P f) P g) B h) P i) P j) P

2. a) P b) P c) B d) P e) P f) P g) B h) B i) P j) P

3. a) P b) B c) P d) B e) B f) B g) B h) B i) B j) B k) B

i ) B

4. a) b) c) d) e) f)

5. a) |−4−x2| = |− (4+x2)| = 4+x2

2x−6 jika x 3 b) |2x−6| = 6−2x jika x < 3

6. {1, 2}

7. a) −2 0 5


b) {−1, 0, 1, 2, 3, 4}

−1 0 1 2 3 4 5

c) {1, 2, 3, 4}

0 1 2 3 4 5

8. a) x – 1 = 2x + 4

x – 1 = (2x + 4)

x – 1 = 2x + 4

– x = 5

x = – 5

dan x – 1 = - 2x – 4

3x = -3

x = –1

b) – 1 4 –5x 14

– 5 –5x 10, maka – 2 x 1

-3 -2 -1 0 1 2

c) katakan c = 0.282828…. 100 c = 28.282828…

100c – c = 28.282828… – 0.282828….

99c = 28

Maka

c = 99

28

Unit Pelajaran 2 Sistem Nombor Nyata

Documents

Transcript of Unit Pelajaran 2 Sistem Nombor Nyata