1
STATISTIKA
DR. IR. LA ODE NAFIU, M.Si.Prof. DR. IR. TAKDIR SAILI, M.Si.LA ODE ARSAD SANI, S.Pt., M.Sc.
ACHMAD SELAMET AKU, S.Pt., M.Si.
JURUSAN PETERNAKAN FPT-UHO
TUJUAN PEMBELAJARAN1. Memahami pengertian statistika, serta jenis, tipe dan sifat
data2. Memahami penyajian data3. Memahami distribusi frekeuensi4. Memahami ukuran pemusatan5. Memahami jenis dan cara melakukan sampling serta
penentuan ukuran sampel6. Memahami Distribusi peluang7. Memahami penaksiaran parameter8. Memahami pengujian hipotesis9. Mampu menghitung korelasi dan regresi10. Memahami dan menganalisis statistik non parametrik
2
PENDAHULUAN
3
PENGERTIAN• Statistik: - Suatu kumpulan angka yang tersusun lebih
dari satu angka- Data yang diperoleh dari hasil observasi
berupa data cacahan atau data ukuran.• Dalam statistika tercakup dua pekerjaan
penting, yaitu : Penyajian dan penafsiran....DATA informasi
4
PENGERTIAN• Statistika adalah: 1. ilmu yang mempelajari tentang teknik
pengumpulan data, penyajian data dan analisis data untuk penarikan kesimpulan terhadap populasi
2. metode yang berhubungan dengan penyajian dan penafsiran kejadian yang bersifat peluang dalam suatu penyelidikan terencana atau penelitian ilmiah
5
6
Biostatistika yaitu penerapan metode statistika dalam memecahkan permasalahan dalam bidang biologi •Mencari deskripsi suatu variable•Mencari hubungan antar variable•Menentukan perbedaan respon akibat perlakuan yang diberikanStatistik diperlukan sbg alat utk membantu memecahkan berbagai masalah melalui penelitianPenelitian = penyelidikan/pencarian yg sistematik thd kebenaran yg blm terungkap (Leedy, 1974)
PENGERTIAN
7
Ciri-ciri penelitian :• dimulai dg adanya pertanyaan• membutuhkan pernyataan yg jelas• membutuhkan perencanaan• dilakukan secara bertahap• mengajukan hipotesis• mengemukakan fakta dan makna dg
benar• bersifat sirkuler
8
Dalam melakukan suatu penelitian harus dilandasi dengan penggunaan metode ilmiahSyarat metode ilmiah:•Dasar :- fakta/data reliable, valid, ternilai - teori yg relevan•Sifat : universal, obyektif. Jujur dan terbuka•Logis, kritis, analistis, dinamis dan inovatif
Data kasar (raw data) diperoleh dari hasil pengukuran suatu variable pada sample yg diambil dari suatu populasi menggunakan teknik pengambilan sample tertentu
Langkah-langkah kegiatan statistika utk menangani data kasar :
1.Pengumpulan data2.Pengolahan data (diurutkan atau
digolongkan)3.Penyajian data dalam tabel atau grafik4.Penafsiran sajian data5.Analisa data6.Penafsiran dan pengambilan kesimpulan7.Pemanfaat penafsiran dan kesimpulan utk
penentuan kegiatan penelitian lbih lanjut
11
Poin 1,2,3,4,7 disebut statistik deskriptif = stat. Deduktif (tanpa analisis, tanpa generalisasi, tanpa pengujian hipotesis, dan hanya melakukan perhitungan-perhitungan saja) Disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi (mean, modus, median), bar-diagram, histogram, polygon, dll
Poin 5,6 disebut statistik inferensial = stat. Induktif (dg analisis, generalisasi, pengujian hipotesis)
Uji t,z, F
12
TIPE DATA STATISTIK• Data nominal• Data ordinal• Data interval• Data rasio
DATA NOMINAL :Data berskala nominal adalah data yang diperoleh dengan cara kategorisasi atau klasifikasi.CIRI : posisi data setara tidak bisa dilakukan operasi matematika (+, -, x, :)CONTOH : jenis kelamin, jenis pekerjaan
Kualitatif
Kuantitatif
13
TIPE DATA STATISTIK
DATA ORDINAL :Data berskala ordinal adalah data yang diperoleh dengan cara kategorisasi atau klasifikasi, tetapi di antara data tersebut terdapat hubunganCIRI : posisi data tidak setara tidak bisa dilakukan operasi matematika (+, -, x, :)CONTOH : kepuasan kerja (1= tidak puas; 2= kurang pusat; 3=cukup puas; 4=puas; 5=sangat puas)
TIPE DATA STATISTIKDATA INTERVAL :Data berskala interval adalah data yang diperoleh dengan cara pengukuran, di mana jarak antara dua titik skala sudah diketahui.CIRI : Tidak ada kategorisasi bisa dilakukan operasi matematikaCONTOH : temperatur yang diukur berdasarkan 0C dan 0F,
DATA RASIO :Data berskala rasio adalah data yang diperoleh dengan cara pengukuran, di mana jarak antara dua titik skala sudah diketahui dan mempunyai titik 0 absolut.CIRI : tidak ada kategorisasi bisa dilakukan operasi matematikaCONTOH : gaji, skor ujian, jumlah buku
15
KLASIFIKASI JENIS DATA
16
MENURUT SIFAT
DATA KUALITATIF Data kualitatif = berbentuk kategori & atribut, diperoleh dari hasil pengamatan
DATA KUANTITATIF• berbentuk bilangan, diperoleh dari kegiatan
pengukuran1. Data diskrit= diperoleh dengan cara menghitung
atau membilang, misal jumlah kursi per ruang ada 40 buah.
2. Data kontinyu= diperoleh dengan cara mengukur, misal tinggi badan 165 cm
17
SIFAT DATA
18
JENIS-JENIS DATA
DATA
Data Kualitatif
Data Kuantitatif
Data Diskret
Data Kontinu
1. Jenis kelamin2. Warna bunga3. Habitat, dll
1. Jumlah kloroplas
2. Jumlah trombosit
3. Jumlah sel, dll
1. Berat badan2. Jarak kota3. Luas tanah,
dll
CARA PENGUMPULAN DATA
• Wawancara• Observasi langsung• Angket• Studi Pustaka
19
20
• Statistika Deskriptif
• Statistika Inferensial
STATISTIKA MENURUT FUNGSINYA
Menggambarkan dan menganalisis kelompok data yang diberikan tanpa penarikan kesimpulan mengenai kelompok data yang lebih besar
Penerapan metode statistik untuk menaksir dan/atau menguji karakteristik populasi yang dihipotesiskan berdasarkan data sampel
21
Statistika Deskriptif dan Statistika Inferensi
Sumber: statistika deskriptif-suprayogi, ITBsolehpunya.files.wordpress.com/2008/03/00-
statistika-deskriptif.pdf
PENYAJIAN DATA
22
23
TUJUAN PENYAJIAN DATA• Memberi gambaran yang sistematis tentang
peristiwa-peristiwa yang merupakan hasil penelitian atau observasi,
• Data lebih cepat ditangkap dan dimengerti,• Memudahkan dalam membuat analisis data,
dan • Membuat proses pengambilan keputusan
dan kesimpulan lebih tepat, cepat, dan akurat.
24
BENTUK TABEL• Tabel satu arah
Yaitu tabel yang memuat keterangan mengenai satu hal atau satu karakteristik saja. Misalnya data Produksi kedelai menurut jenis varietas yang ditanam.
CARA PENYAJIAN DATA
25
BENTUK TABEL
• Tabel dua arahYaitu tabel yang menunjukkan hubungan dua hal atau dua karakteristik yang berbeda. Misalnya data Produksi kedelai menurut jenis varietas dan daerah panen
26
BENTUK TABEL• Tabel tiga arah
Yaitu tabel yang menunjukkan hubungan tiga hal atau tiga karakteristik yang berbeda. Misalnya data hasil pengamatan produksi kedelai (ton/ha) menurut jenis varietas, daerah panen, dan jenis tanah.
27
bidang pekerjaan
keuanganmarketingproduksipersonaliaadministrasi
Jum
lah
30
20
10
0
keuangan
marketing
produksi
personalia
administrasi
prestasi kerja
sangat baikbaikcukup baikjeleksangat jelek
Mea
n ga
ji pe
rbul
an
800000
700000
600000
500000
400000
300000
Jenis kelamin
laki-laki
w anita
Grafik Batang (Bar) Grafik Garis (line)
Grafik lingkaran (pie) Grafik Interaksi (interactive)bidang pekerjaan
keuanganmarketingproduksipersonaliaadministrasi
Cou
nt
30
20
10
0
BENTUK GRAFIK
28
Grafik gambar
ISTILAH DALAM STATISTIKA• Obyek = benda hidup atau mati yg diuji unsur-unsur, sifat
dan kelakuannya melalui pengamatan, pengukuran dan penilaian guna mendpt info atau nilai-nilai yg berguna mengenai benda tsb
• VARIABELSuatu sifat dari obyek atau unsur dari obyek yg dpt diamati atau diukur shg menghasilkan nilai, ukuran atau kriteria lain yg dpt bervariasi
• VARIATE Angka/nilai ukuran/keriteria lain yg dicapai suatu variabel
pada suatu individu atau unit statistik• VARIASI
Adanya perbedaan antar nilai/variate/ukuran dll dari suatu variabel pada populasi atau sampel
29
• VARIABILITASKemungkinan utk bervariasi dr nilai suatu variable pd suatu populasi atau sample
PARAMETERsuatu variabel terukur yg digunakan sbg kriteria utk mengevaluasi suatu populasi atau sistem
• NILAI PARAMETRIKsuatu nilai dari suatu parameter yg diperoleh dari perhitungan atau data sensus, masih harus di analisis.
NILAI STATISTIKsuatu nilai dari suatu parameter yg diperoleh dari perhitungan sampel atau data sensus.
30
ISTILAH DALAM STATISTIKA
Statistika Parametrik:• Membutuhkan pengukuran kuantitatif dengan
data interval atau rasio• mempertimbangkan jenis sebaran/distribusi
data, yaitu apakah data menyebar normal atau tidak.
• Contoh metode statistika parametrik: uji-z (1 atau 2 sampel), uji-t (1 atau 2 sampel), korelasi pearson, Perancangan Percobaan (1 or 2-way ANOVA parametrik), dll.
JENIS STATISTIKA
Statistika Nonparametrik: • Membutuhkan data dengan data ordinal dan
nominal• Merupakan statistika bebas sebaran (tdk
mensyaratkan bentuk sebaran parameter populasi, baik normal atau tidak).
• Contoh metode Statistika non-parametrik:Binomial test, Chi-square test, Median test, Friedman Test, dll.
32
ISTILAH DALAM STATISTIKA
PERTANYAAN
1. Uraikan perbedaan tipe data interval dan rasio dan berikan contoh
2. Uraikan perbedaan sifat data kualitatif dan data kuantitatif dan berikan contoh
3. Jelaskan tujuan penyajian data4. Uraikan perbedaan statistika deskriptif dan
inferensia5. Jelaskan macam-macam bentuk penyajian
data secara grafik dan berikan contohnya33
34
DISTRIBUSI FREKUENSI
35
Distribusi Frekuensi
• Bentuk pengelompokan data untuk menggambarkan distribusi data
• Dapat dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi histogram atau poligon frekuensi
36
Prosedur Umum Penyusunan Tabel Dist Frekuensi
• Tentukan banyaknya kelas• Tentukan lebar kelas• Hitung frekuensi untuk setiap kelas
37
Contoh tabel dist frekuensiKELOMPOK FREKUENSI
Kelompok ke-1
f1
Kelompok ke-2
f2
Kelompok ke-3
f3
Kelompok ke-i
fi
Kelompok ke-k
fk
kn = Σ fi i=1
Pendidikan Frekuensi
S1 62S2 19S3 9
90
kn = Σ fi = f1 + f2 + f3 +….. + fi + …… + fk
i=1
38
Contoh Soal• Susun data berikut dalam tabel dist frekuensi
USIA FREKUENSI20 521 622 1323 424 725 726 727 528 329 430 1531 333 535 1
39
Langkah-langkah
• Tentukan rentang
• Tentukan banyak kelas (k)
• Tentukan panjang kelas (p)
RENTANG: NILAI DATA TERBESAR – NILAI DATA TERKECIL
ATURAN STURGES:k = 1 + (3,322)(log n)
p = RENTANG/k
40
Catatan tentang panjang kelasDATA PANJANG KELAS (p)
41
Lanjutan langkah-langkah
• Tentukan nilai ujung bawah kelas interval pertama
• Masukkan semua data ke dalam interval kelas
Boleh mengambil nilai data terkecil atau nilai data yang lebih kecil dari nilai data
terkecil
42
Kembali ke contoh..Membuat distribusi frekuensi :1. Mencari rentang 35 – 20 = 152. Menentukan banyak kelas k = 1 + 3,3 log n 7 atau
83. Menentukan panjang kelas p = 15/7 = 2,5 2 atau 3
KELOMPOK USIA FREKUENSI20 – 21 1122 – 23 1724 – 25 1426 – 27 1228 – 29 730 – 31 1832 - 33 534 - 35 1
USIA FREKUENSI20 521 622 1323 424 725 726 727 528 329 430 1531 333 535 1
43
USIA FREKUENSI20 521 622 1323 424 725 726 727 528 329 430 1531 333 535 1
KELOMPOK USIA
FREKU-ENSI
20 – 22 ?23 – 25 ?27– 29 ?30 – 32 ?33 – 25 ?36 – 38 039 - 41 0
44
• Berikut diberikan data mengenai hasil ujian tengah semester, Mata Kuliah Statistika mahasiswa Peternakan. Susun data dalam tabel distribusi frekuensi!
65 72 67 82 72 91 67 73 71 7085 87 68 86 83 90 74 89 75 6165 76 71 65 91 79 75 69 66 8595 74 73 68 86 90 70 71 88 68
Latihan Soal
45
Macam-macam tabel distribusi frekuensi
46
Bentuk tabel distribusi frekuensi relatif
Nilai Data
Frekuensi Frekuensi Relatif (%)
a-b f1 f1’c-d f2 f2’e-f f3 f3’g-h f4 f4’i-j f5 f5’
Jumlah n 1001
' 100%ii n
ii
ff xf
Dimana:
47
Bentuk tabel dist frek kumulatifNilai Data
Frekuensi Frekuensi Kumulatif
a-b f1 f1
c-d f2 f1+f2
e-f f3 f1+f2+f3
g-h f4 f1+f2+f3+f4
i-j f5 f1+f2+f3+f4+f5
Nilai Data Frekuensi Kumulatif
Krg dr a 0
Krg dr c f1
Krg dr e f1+f2
Krg dr g f1+f2+f3
Krg dr i f1+f2+f3+f4
Krg dr k f1+f2+f3+f4+f5
Nilai Data Frekuensi Kumulatif
a atau lbh f5+f4+f3+f2+f1
c atau lbh f5+f4+f3+f2
e atau lbh f5+f4+f3
g atau lbh f5+f4
i atau lbh f5
k atau lbh 0
48
Bentuk tabel dist relatif kumulatif
• dengan
Nilai Data Frekuensi Frekuensi Kumulatif
Frek relatif kumulatif (%)
a-b f1 f1 f1’
c-d f2 f1+f2 f2’
e-f f3 f1+f2+f3 f3’
g-h f4 f1+f2+f3+f4 f4’
i-j f5 f1+f2+f3+f4+f5 100
%100' 1 xn
ff
i
kk
i
49
CONTOH TABEL DIST FREK, KUM, REL, REL KUM
50
Macam-macam bentuk diagram
• Data tidak terkelompok : diagram batang, diagram lingkaran, garis, gambar (simbol)
• Data terkelompok : histogram dan poligon frekuensi, ogive
51
Histogram dan poligon frekuensi
• Histogram mrpk bentuk diagram batng yg digunakan untuk menggambarkan dist frekuensi
• Poligon (kurva) frekuensi mrpk bentuk diagram garis yg digunakan utk menggambarkan dist frekuensi
52
Contoh Histogram
Sumber: statistika deskriptif-suprayogi, ITBsolehpunya.files.wordpress.com/2008/03/00-statistika-deskriptif.pdf
53
Contoh poligon frekuensi
Sumber: statistika deskriptif-suprayogi, ITBsolehpunya.files.wordpress.com/2008/03/00-statistika-deskriptif.pdf
54
Contoh Ogive (kumulatif)
Sumber: statistika deskriptif-suprayogi, ITBsolehpunya.files.wordpress.com/2008/03/00-statistika-deskriptif.pdf
55
Catatan tentang batas atas dan bawah
• Batas bawah (bb) = ujung bwh – ketelitian data yang digunakan
• Batas atas (ba) = ujung atas + ketelitian data yg digunakan
Data Ketelitian yang digunakan
Bil bulat 0,5Bil satu desimal 0,05Bil dua desimal 0,005
dst
56
Catatan tentang titik tengah (tanda kelas)
Titik tengah = ½ (ujung bawah + ujung atas)
57
UKURAN PEMUSATAN
58
Statistik
• Ukuran lokasi (pemusatan)• Ukuran dispersi (sebaran)• Ukuran kemiringan• Ukuran keruncingan
59
Ukuran lokasi ukuran cenderung memusat
rata-rata hitung• Rata-rata rata-rata ukur
rata-rata harmonik
• Median• Modus
60
Rata-rata hitung data tersebar
• Data tersebar (tdk berkelompok)
n
xx
n
ii
1
61
Rata-rata hitung data terkelompok
1. Tanda kelas 2. rata-rata duga
xi : titik tengah kelas AM : titik tengah kelas
interval ke-i interval (pilih sbrg) p : panjang kelas intv
n
xfx
k
iii
1
n
dfpAMx
k
iii
1
pAMxd i
i
62
Contoh menghitung rata-rata
Mean = 358/20 = 17,9
Kelas interval
Tanda kelas (xi)
fi xifi
13-15 14 5 7016-18 17 6 10219-21 20 7 14022-24 23 2 46
jumlah 20 358
n
xfx
k
iii
1
63
Contoh menghitung rata-rata
Kelas interval Tanda kelas (xi) fi di fidi
13-15 14 5 (14-20)/3 = -2 -10
16-18 17 6 -1 -6
19-21 20 7 0 0
22-24 23 2 1 2
jumlah 20 -14
Mean = 20+ (3)(-14)/20 =20 – 2,1 = 17,9
AM Yg dipilih
n
dfpAMx
k
iii
1
pAMxd i
i
64
Rata-rata ukur dan harmonis
• Rata-rata ukur
dimana dan seterusnya
• Rata-rata harmonis
nnxxxU .... 21
4
3
3
2
2
1
xx
xx
xx
n
i ix
nRh
1
1
RATA-RATA UKUR
• Keterangan:U = rata-rata ukur (rata-rata geometrik)n = banyaknya sampelΠ = Huruf kapital π (pi) yang menyatakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur data.Rata-rata geometrik sering digunakan dalam bisnis dan ekonomi untuk menghitung rata-rata tingkat perubahan, rata-rata tingkat pertumbuhan, atau rasio rata-rata untuk data berurutan tetap atau hampir tetap atau untuk rata-rata kenaikan dalam bentuk persentase.
• 1. Rata-Rata Ukur data Tunggal• Contoh 1:
Berapakah rata-rata ukur dari data 2, 4, 8?• Jawab:
»
» ATAU
65
Rata-rata Harmoni
Contoh:• Tuan A melakukan perjalanan dengan kereta dari Bandung ke Sidoarjo
pulang pergi. Bandung ke Sidoarjo berkecepatan 90 km/jam, tetapi waktu pulang mampir dulu ke yagyakarta dengan kecepatan 70 km/jam, kemudian hari berikutnya dilanjutkan lagi perjalanan menuju Bandung dengan kecepatan 80 km/jam, berapakah kecepatan rata rata ?
Penyelesaian: * Kecepatan Pertama X1 = 90 km / jam : * Kecepatan Kedua X2 = 70 km /
jam* Kecepatan Ketiga X3 = 80 km / jam: n = 3
660,0143
67
Modus
• Data kualitatif gejala yang sering terjadi
• Data kuantitatif angka yang sering muncul
68
Contoh mencari modus
• Data tidak terkelompok
69
Modus pada data terkelompok
Mo = Bb + p
dengan Bb = batas bawah kelas interval yang mempunyai frekuensi
tertinggib1 = selisih frekuensi tertinggi dengan frekuensi dari kelas
interval yang lebih rendah.b2 = selisih frekuensi tertinggi dengan frekuensi dari kelas interval yang lebih tinggi.p = panjang kelas.
211bb
b
70
• Data terkelompok
Contoh mencari modus
71
Median untuk data tidak terkelompok
• Jika jumlah data (n) genap
•
• Jika jumlah data (n) ganjil Me =
22
2n-ke data nilai2n-ke data nilai
Me =
21n-ke data nilai
Data harus diurutkan dulu dari terkecil ke terbesar
72
Contoh mencari median• Jumlah data (n) genap
73
• Jumlah data (n) ganjil
Contoh mencari median
74
Median data terkelompok
dengan Bb : batas bawah kelas interval yang mengandung Me
fm : frekuensi kelas interval yang mengandung Me F : frekuensi kumulatif sebelum kelas interval yang mengandung Me p : panjang kelas interval
mf
F2n
p Bb Me
Letak Me harus paling sedikit mencapai frekuensi setengah dari jumlah data seluruhnya
75
Contoh mencari median
mf
F2n
p Bb Me
76
Hubungan Mean, Modus dan Median
Hubungan empiris antara ketiganya: Mo +2 M = 3Me
• Kuartil• Desil• Persentil
77
Ukuran dispersi ukuran cenderung menyebar
78
Kuartil untuk data tidak berkelompok
denganKi : letak kuartil ke i
n : banyaknya data
3 2, 1,i ,1n4iK i
79
Artinya K1 terletak antara data ke 2 dan data ke 3
Nilai K1 = nilai data ke 2 + ½(data ke 3 - data
ke 2)= 40 + ½(50 -40) = 45
Contoh mencari Kuartil
Sebelum diurutkan
20
80
75
60
50
85
40
60
90
Setelah diurutkan
20
40
50
60
60
75
80
85
90
21219
41 K
1n4iK
1
i
80
denganKi : letak kuartil ke i
Bb : batas bawah kelas interval yang mengandung Ki
fK : frekuensi kelas interval yang mengandung Ki F : frekuensi kumulatif sebelum kelas interval yang
mengandung Ki p : panjang kelas interval
3 2, 1,i , f
Fn4i
pBbK iK
i
Kuartil data berkelompok
81
Contoh mencari Kuartil
Kelas yang memuat kuartil ke 3
Interval f f. kum
30 – 39 2 2
40 – 49 3 5
50 – 59 11 16
60 – 69 20 36
70 – 79 32 68
80 – 89 25 93
90 - 99 7 100
82,3 2,8 79,5
25
6810043
1079,5 K
3 2, 1,i , f
Fn4i
pBbK
3
iKi
82
Desil untuk data tidak berkelompok
denganDi : letak desil ke i
n : banyaknya data
9 ..., 2, 1,i ,1n10iD i
Artinya D6 terletak antara data ke 6 & ke 7
Nilai D6
= nilai data ke 6 + 0,6(data ke 7 - data ke 6) = 75 + 0,6(80 -75) = 78
83
Contoh mencari Desil
Setelah diurutkan
20405060607580859096
,66110106D
9 ..., 2, 1,i ,1n10iD
6
i
denganDi : letak desil ke i
Bb : batas bawah kelas interval yang mengandung Di fD : frekuensi kelas interval yang mengandung Di
F : frekuensi kumulatif sebelum kelas interval yang mengandung Di
p : panjang kelas interval
84
Desil data berkelompok
9 ..., 2, 1,i , f
Fn10i
pBbD iD
i
Kelas yang memuat desil ke 3
85
Contoh mencari Desil
Interval f f.kum30 – 39 2 240 – 49 3 550 – 59 11 1660 – 69 20 3670 – 79 32 6880 – 89 25 9390 - 99 7 100 66,5759,5
20
16100103
1059,5D
9 ..., 2, 1,i , f
Fn10 i
pBbD
3
iDi
denganPi : letak persentil ke i
n : banyaknya data
86
Persentil untuk data tidak berkelompok
99 ..., 2, 1,i ,1n100
iP i
Artinya P57 terletak antara data ke 6 & ke 7Nilai P57
= nilai data ke 6 + 0,27(data ke 7 - data ke 6)= 75 + 0,27(80 -75) = 76,35
87
Contoh mencari Persentil
Setelah diurutkan
20405060607580859096
6,27 11010057P
99 ..., 2, 1,i ,1n100
iP
57
i
denganPi : letak persentil ke i
Bb : batas bawah kelas interval yang mengandung Pi fP : frekuensi kelas interval yang mengandung Pi
F : frekuensi kumulatif sebelum kelas interval yang mengandung Pi
p : panjang kelas interval
88
Persentil data berkelompok
99 ..., 2, 1,i , f
Fn100
i
pBbP iP
i
89
Contoh mencari Desil
Kelas yang memuat persentil ke 96
Interval f f.kum30 – 39 2 240 – 49 3 550 – 59 11 1660 – 69 20 3670 – 79 32 6880 – 89 25 9390 - 99 7 100
93,794,29 5,89P
7
9310010096
105,89P
99 ..., 2, 1,i , f
Fn100
i
pBbP
i
96
Pi
i
90
Ukuran Dispersi (
Range
Deviasi rata-rata
Ukuran dispersi ukuran cenderung menyebar
Range = Nilai Maksimum – Nilai Minimum
n
xxDR i
91
Contoh menghitung deviasi rata-rata
Data
20 -37 37
80 23 23
75 18 18
60 3 3
50 - 7 7
6,175
88DR
575
285x
xx i xx i
285x i 88xx i
Variansi : penyebaran berdasarkan jumlah kuadrat simpangan data terhadap rata-ratanya; melihat ketidaksamaan sekelompok data
92
Ukuran dispersi ukuran cenderung menyebar
AM
x p
xxd
n
dfpn
dfps
1nnxfxfn
1n
xxfs
duga variansi kelas tandakberkelompo datauntuk
1nn
x(xn
1nxx
s
tersebardatauntuk
i
2
2i
22i
22
2ii
2ii
2ii2
2i
2i
2i2
Standar deviasi penyebaran data berdasarkan akar dari variansi; menunjukkan keragaman kelompok data
93
Ukuran dispersi ukuran cenderung menyebar
AM
x ,p
xxd
n
dfn
dfps
1nnxfxfn
1n
xxfs
duga deviasistandar kelas tandakberkelompo datauntuk
1nn
xxn
1nxx
s
tersebardatauntuk
i
2
i2
i2
ii2
ii2
ii
2i
2i
2i
94
Contoh menghitung variansi dan deviasi standar data tersebar
Data20 40080 6400
75 5625
60 3600
50 2500
8723570s
57020
1140020
8122592625
45285185255s
22
,
2ix
18525x 2i 285x i
1nn
x(xn
1nxx
s2
i2
i2
i2
95
Kelas interval
Tanda kelas (xi)
fi xifi
13-15 14 5 196 70 98016-18 17 6 289 102 173419-21 20 7 400 140 280022-24 23 2 529 46 1058
jumlah 20 358 6572
Contoh menghitung variansi dan deviasi standar data berkelompok
2ix 2
iixf
942628s
628380
3276380
1281641314401920
358657220s2
2
,,
,
1nnxfxfn
1n
xxfs
2ii
2ii
2ii2
96
Contoh menghitung variansi data berkelompok
17x AM
Kelas interval
Tanda kelas (xi)
fi d fid
13-15 14 5 -1 -5 516-18 17 6 0 0 019-21 20 7 1 7 722-24 23 2 2 4 8
jumlah 20 6 20
2idf
862198s
19881092069
20209s 2
22
,,
,,
2
2i
22i
22
ndfp
ndfp
s
AM
x
,p
xxd i
97
Ukuran Kemiringan (Skewness)
Adalah ukuran yang menyatakan sebuah model distribusi yang mempunyai kemiringan tertentu
Mo X Me
+-
☻Kurva positif apabila rata-rata hitung > modus / median☻ Kurva negatif apabila rata-rata hitung < modus / median
98
Rumus untuk Ukuran Kemiringan
sMo-xKK Koefisien kemiringan pertama Perason
Koefisien kemiringan kedua Perason
sMe-x3KK
Menggunakan nilai persentil
Menggunakan nilai kuartil K-K
KK2KKK 13
123
P-P
PP2PKK 1090
105090
Jika koefisien kemiringan < nol, maka bentuk distribusinya negatif
Jika koefisien kemiringan = nol, maka bentuk distribusinya simetrik
Jika koefisien kemiringan >nol, maka bentuk distribusinya positif
99
Kriteria untuk mengetahui model distribusi dari koefisien kemiringan
100
Ukuran Keruncingan (Kurtosis)
Adalah derajat kepuncakan dari suatu distribusi, biasanya diambil relatif terhadap distribusi normal
Leptokurtik Platikurtik Mesokurtik
PP
KK21
K 1090
13
Jika koefisien kurtosis kurang dari 0,263 maka distribusinya adl platikurtik
Jika koefisien kurtosis sama dengan 0,263 maka distribusinya adl mesokurtik
Jika koefisien kurtosis lebih dari 0,263 maka distribusinya adl leptokurtik
101
Kriteria untuk mengetahui model distribusi dari koefisien kurtosis
102
Contoh menghitung koefisien kemiringan dan ukuran keruncingan
Kelas interval
Tanda kelas (xi)
fi
13-15 14 516-18 17 619-21 20 722-24 23 2
jumlah 20
21,5 7
11-183518P
13,7 5
0-23512P
2120 7
11-153518K
18 6
5-103515K
15,5 5
0-53512K
90
10
3
2
1
,
,
,,
,
,
300
873552
713521
515212021
K
060714290
5152120515182-20,21KK
,,,
,,
,,
,,,
,,,
Model Distribusi ?
103
Latihan SoalDiketahui data seperti di bawah ini.15 25 21 16 20 17 19 25 21 15 17 16 19 20 17
20 15 25 15 21 19 16 17 25 19 21 20 19 19 21
17 20 16 21 20 21 16 20 17 19 20 19 17 21 19
20 16 19 19 17 20 21 19 19 21 19 17 20 19 15
1. Buatlah : Distribusi frek, dist frek kumulatif, dist frek relatif, dist frek relatif kumulatif
2. Gambarlah histogram dan poligon dari dist frek kumulatif tersebut
3. Tentukan Mean, Median, Modus4. Kuartil, Desil, Persentil
POPULASI DAN SAMPEL
104
105
Populasi dan sampel
Populasi
Sampel
Parameter Statistik
106
Populasi dan sampelPopulasi adalah data kuantitatif yang
menjadi objek telaah
Sampel adalah bagian dari populasi
Parameter adalah ukuran yang mencerminkan karakteristik dari populasi
Statistik adalah ukuran yang mencerminkan karakteristik dari sampel
POPULASI DAN SAMPEL
• Populasi– Populasi adalah wilayah generalisasi yang terdiri atas;
obyek/subyek yang mempunyai kuantitas dan karakteristik tertentu yang ditetapkan oleh peneliti untuk dipelajari dan kemudian ditarik kesimpulannya.
• Sampel– Sampel adalah sebagian dari jumlah dan karateristik
yang dimiliki oleh populasi.
Teknik sampling• Teknik sampling adalah teknik pengambilan sampel. • Secara skematis, teknik sampling seperti gambar berikut
Teknik sampling1. Probability Sampling• Probability sampling adalah teknik sampling yang memberikan peluang
yang sama bagi setiap unsur (anggota) populasi untuk dipilih menjadi anggota sampel. Teknik ini meliputi
a. Simple Random Sampling• Dikatakan simple (sederhana) karena pengambilan sampel anggota
populasi dilakukan secara acak tanpa memperhatikan strata yang ada dalam populasi itu. Cara demikian dilakukan bila anggota populasi dianggap homogen.
Teknik sampling - Probability Sampling
b. Proportionate Stratified Random Sampling• Teknik ini digunakan bila populasi mempunyai anggota/unsur yang tidak
homogen dan berstrata secara proporsional. • Suatu organisasi yang mempunyai pegawai dari latar belakang pendidikan, maka
populasi pegawai itu berstrata.
Teknik sampling - Probability SamplingC. Disproportionate Stratified Random Sampling• Teknik ini digunakan untuk menentukan jumlah sampel, bila populasi
berstrata tetapi kurang proporsional. • Misalnya, pegawai PT. X: S3: 3 orang, S2: 4, S1: 90, SMU 800, SMP 700,
maka 3 orang lulusan S3 dan 4 orang S2 diambil semua sebagai sampel. Karena dua kelompok terlalu kecil bila dibanding dengan kelompok S1, SMU, dan SMP.
d. Cluster Sampling (Area Sampling)• Teknik sampling untuk menentukan sampel bila obyek yang akan diteliti
atau sumber data sangat luas.• Misal penduduk dari suatu negara, propinsi atau kabupaten. Untuk
menentukan penduduk mana yang akan dijadikan sumber data, pengambilan sampel berdasarkan daerah populasi yang ditetapkan.
Teknik sampling - Nonprobability Sampling
2. Nonprobability Sampling• Nonprabability Sampling adalah teknik yang tidak memberi
peluang/kesempatan sama bagi setiap unsur atau anggota populasi untuk dipilih menjadi sampel.
a. Sampling Sistematis• Sampling Sistematis adalah teknik penentuan sampel
berdasarkan urutan dari anggota populasi yang telah diberi nomor urut.
• Misalnya anggota populasi yang terdiri dari 100 orang. – Dari semua anggota itu diberi nomor urut, yaitu nomor 1
sampai dengan nomor 100. Pengambilan sampel dapat dilakukan dengan nomor ganjil saja, genap saja, atau kelipatan dari bilangan tertentu, misalnya kelipatan dari bilangan lima. Untuk ini maka yang diambil sebagai sampel adalah nomor 5, 10, 15, 20, dan seterusnya sampai 100.
Teknik sampling - Nonprobability Sampling
b. Sampling Kuota• Sampling Kuota adalah teknik untuk menentukan sampel dari
populasi yang mempunyai ciri-ciri tertentu sampai jumlah (kuota) yang diiginkan.
• Sebagai contoh, akan melakukan penelitian terhadap pegawai golongan II, dan penelitian dilakukan secara kelompok. – Setelah jumlah sampel ditentukan 100, dan jumlah
anggota peneiiti berjumlah 5 orang, maka setiap anggota peneliti dapat memilih sampel secara bebas sesuai dengan karateristik yang ditentukan (golongan II) sebanyak 20 orang.
c. Sampling Aksidental• Sampling Aksidental adalah teknik penentuan sampel
berdasarkan kebetulan, yaitu siapa saja yang secara kebetulan bertemu dengan peneliti dapat digunakan sebagai sampel, bila dipandang orang yang kebetulan ditemui itu cocok sebagai sumber data.
Teknik sampling - Nonprobability Sampling
d. Sampling Purposive• Sampling Purposive adalah teknik penentuan sampel
dengan pertimbangan tertentu. Misalnya akan melakukan penelitian tentang disiplin pegawai, maka sampel yang dipilih adalah orang yang ahli dalam bidang kepegawaian saja.
e. Sampling Jenuh• Sampling Jenuh adalah teknik penentuan sampel bila
semua anggota populasi digunakan sebagai sampel. Hal ini sering dilakukan bila jumlah populasi relatif kecil, kurang dari 30 orang. Istilah lain sampel jenuh adalah sensus, dimana semua anggota populasi dijadikan sampel.
Teknik sampling - Nonprobability Samplingf. Snowball Sampling• Snowball sampling adalah teknik penentuan sampel yang mula-mula
jumlahnya kecil, kemudian sampel ini disuruh memilih teman-temannya untuk dijadikan sampel. Begitu seterusnya, sehingga jumlah sampel semakin banyak. Ibarat bola salju yang menggelinding, makin lama semakin besar. Pada penelitian kualitatif banyak menggunakan sampel Purposive dan Snowball.
Cara Melakukan Teknik Sampling• Beberapa kriteria yang perlu diperhatikan dalam mengambil sampel
adalah sebagai berikut:– Tentukan dulu daerah generalisasinya. – Berilah batas-batas yang tegas tentang sifat-sifat populasi. – Tentukan sumber-sumber informasi tentang populasi. – Pilihlah teknik sampling dan hitunglah besar anggota sampel yang
sesuai dengan tujuan penelitiannya.– Rumuskan persoalan yang akan diteliti.– Tentukan/cari keterangan mengenai populasi yang akan diteliti. – Definisikan unit-unit, istilah yang diperlukan. – Tentukan unit sampling yang diperlukan.– Tentukan skala pengukuran yang akan dipergunakan.– Cari keterangan yang ada kaitannya dengan permasalahan yang
akan dibahas.– Tentukan ukuran sampel yang akan dianalisis.
Cara melakukan teknik sampling
• Teknik sampling berguna agar:– Mereduksi anggota populasi menjadi anggota
sampel yang mewakili populasinya (representatif), sehingga kesimpulan terhadap populasi dapat dipertanggungjawabkan,
– Lebih teliti menghitung yang sedikit daripada yang banyak,
– Menghemat waktu, tenaga, biaya, menghemat benda coba yang merusak.
Cara melakukan teknik sampling• Beberapa kriteria yang perlu diperhatikan dalam mengambil
sampel adalah sebagai berikut:– Menentukan daerah generalisasinya.
Banyak penelitian menurun mutunya karena generalisasi kesimpulannya terlalu luas. Penyebabnya ialah karena peneliti ingin agar hasil penelitiannya berlaku secara meluas dan menganggap sampel yang dipilihnya sudah mewakili populasinya.
– Membeikan batas yang tegas tentang sifat-sifat populasi. Populasi tidak harus manusia. Populasi dapat pula berupa benda-benda lainnya. Semua benda-benda yang akan dijadikan populasi harus ditegaskan batas-batas karakteristiknya, sehingga dapat menghindari kekaburan dan kebingungan.
– Menentukan sumber-sumber informasi tentang populasi. Ada beberapa sumber informasi yang dapat memberi petunjuk tentang karakteristik suatu populasi. Umpamanya didapat dari dokumen-dokumen.
Cara melakukan teknik sampling• Beberapa kriteria yang perlu diperhatikan dalam mengambil
sampel adalah sebagai berikut:– Pilih teknik sampling dan hitung besar anggota sampel yang
sesuai dengan tujuan penelitian.– Rumuskan persoalan yang akan diteliti.– Tentukan/cari keterangan mengenai populasi yang akan
diteliti. – Definisikan unit-unit, istilah yang diperlukan. – Tentukan unit sampling yang diperlukan.– Tentukan skala pengukuran yang akan dipergunakan.– Cari keterangan yang ada kaitannya dengan permasalahan
yang akan dibahas.– Tentukan ukuran sampel yang akan dianalisis.
Penentuan besarnya anggota sampel
a. Contoh Menentukan Ukuran Sampel dengan Tabel Krecjie dan Nomogram Harry King.
– Penelitian akan dilakukan terhadap iklim kerja suatu organisasi. – Sumber data yang digunakan adalah para pegawai yang ada pada
organisasi tersebut (populasi). – Jumlah pegawainya 1000 terdiri atas lulusan
• S1 = 50• SM = 300 • SMK = 500• SMP = 50• SD = 100 (populasi berstrata).
Penentuan besarnya anggota sampel• Jumlah populasi = 1000. • Bila kesalahan 5%, maka jumlah sampelnya = 278. • Karena populasi berstrata, maka sampelnya juga berstrata. Stratanya
menurut tingkat pendidikan. Dengan demikian masing-masing sampel untuk tingkat pendidikan harus proporsional sesuai dengan populasi. Jadi jumlah sampel untuk
Penentuan besarnya anggota sampel
• Pada perhitungan yang terdapat koma dibulatkan ke atas sehingga jumlah sampelnya lebih 278 yaitu 280. Hal ini lebih aman daripada kurang dari 278.
• Gambaran jumlah populasi dan sampel dapat ditunjukkan pada gambar berikut
Penentuan besarnya anggota sampel
b. Contoh Menentukan Ukuran Sampel dengan Perhitungan• Bila ukuran sampel lebih dari 100.000, maka peneliti tidak bisa melihat tabel
lagi, oleh karena itu peneliti harus dapat menghitung sendiri.• Contoh 1:
– Misal seorang peneliti ingin mengetahui produktivitas kerja pegawai di lembaga A. peneliti berhipotesis bahwa produktivitas kerja pegawai di lembaga A paling sedikit 70 dari tolok ukur ideal yang ditetapkan. Untuk menghitung ukuran sampel sebagai sumber datanya diperlukan rumus sebagai berikut.
– n ≥ pq/ σp2
– n = Ukuran sampel yang diperlukan– p = Prosentase hipotesis (Ho) dinyatakan dalam peluang yang
besarnya = 0,70– q = 1 – 0,50 = 0,50– σp = Perbedaan antara Ha dan Ho, dibagi dengan z pada tingkat
kepercayaan tertentu.
Penentuan Besarnya Anggota Sampel
• Untuk tingkat kepercayaan – 68%, z = 1 – 95%, z = 1,96– 99%, z = 2,58.
• Misal taraf kepercayaan 95% berarti z = 1,96 maka:
• Dengan demikian maka besamya ukuran sampel yang diperlukan sebagai sumber data pada taraf kepercayaan 95% adalah:
• Atau 25 orang jadi paling sedikit diperlukan 25 orang sebagai sumber data.
Penentuan Besarnya Anggota Sampel
• Contoh 2• Untuk menaksir berapa tingkat kepuasan kerja pegawai di lembaga
B diperlukan sebuah sampel. Taraf kepercayaan yang dikehendaki 99%. Perbedaan antara yang ditaksir dengan tolok ukur yang ditetapkan tidak lebih dari 10%. Jika diketahui simpangan bakunya 20% maka ukuran sampel dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut:
• Dimana• n = Ukuran sampel yang diperlukan• b = Perbedaan antara yang ditaksir dengan tolok ukur penafsiran• z = Harganya tergantung pada taraf kepercayaan yang ditetapkan.
(lihat keterangan pada contoh pertama). • σ = Simpangan baku
Penentuan Besarnya Anggota Sampel
• Contoh 2• Untuk menaksir berapa tingkat kepuasan kerja pegawai di lembaga B
diperlukan sebuah sampel. Taraf kepercayaan yang dikehendaki 99%. Perbedaan antara yang ditaksir dengan tolok ukur yang ditetapkan tidak lebih dari 10%. Jika diketahui simpangan bakunya 20% maka ukuran sampel dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut.
• Untuk contoh di atas maka besarnya sampel dapat dihitung.
Kesalahan Umum dalam Menentukan Anggota Sampel
1. Gagal dalam menetapkan jumlah anggota populasi yang dapat dipercaya
2. Menggunakan anggota sampel yang terlalu kecil.3. Tidak menggunakan teknik sampling startified yang disyaratkan 4. Mengubah prosedur teknik sampling;5. Mengubah rumus untuk menghitung besarnya anggota sampel 6. Memilih anggota sampel yang tidak sesuai dengan tujuan penelitian7. Mengurangi anggota sampel yang telah ditentukan oleh
perhitungannya;8. Memilih grup eksperimen dan grup kontrol dari populasi yang
berbeda;9. Peneliti yang memakai grup sukarela, lupa atau sengaja tidak
membedakannya dengan grup wajib, akibatnya peneliti gagal dalam menginterpretasikan hasil penelitiannya;
Kesalahan umum dalam menentukan anggota sampel
10. Tidak memberikan alasan-alasan mengapa rumus dan teknik sampling tertentu yang ia gunakan di dalam penelitian.
11. Pemeriksaan yang kurang teliti dan lengkap terhadap populasi
12. Kekeliruan nonsampling, penyebabnya adalah: a) Populasi tidak didefinisikan sebagaimana mestinya. b) Penyimpangan populasi tidak dipelajari.c) Kuesioner tidak dirancang sesuai dengan keperluan.d) Rumusan dan istilah tidak dipergunakan sebagaimana
mestinya.e) Peneliti kurang memahami isi dari kuesioner sehingga
jawaban responden kurang sesuai dengan keinginan.f) Responden tidak memberikan jawaban yang objektif
untuk memberikan jawaban.
129
SEKIAN DAN TERIMA KASIH
TABEL NORMAL Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141
0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517
0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879
0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549
0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852
0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133
0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389
1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621
1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830
1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015
1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177
1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319
1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441
TABEL NORMAL Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545
1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633
1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706
1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767
2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817
2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857
2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890
2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916
2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936
2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952
2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964
2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974
2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981
2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986
3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990
Tabel t-Studentdf\p 0.40 0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0005
1 0.324920 1.000000 3.077684 6.313752 12.70620 31.82052 63.65674 636.6192
2 0.288675 0.816497 1.885618 2.919986 4.30265 6.96456 9.92484 31.5991
3 0.276671 0.764892 1.637744 2.353363 3.18245 4.54070 5.84091 12.9240
4 0.270722 0.740697 1.533206 2.131847 2.77645 3.74695 4.60409 8.6103
5 0.267181 0.726687 1.475884 2.015048 2.57058 3.36493 4.03214 6.8688
6 0.264835 0.717558 1.439756 1.943180 2.44691 3.14267 3.70743 5.9588
7 0.263167 0.711142 1.414924 1.894579 2.36462 2.99795 3.49948 5.4079
8 0.261921 0.706387 1.396815 1.859548 2.30600 2.89646 3.35539 5.0413
9 0.260955 0.702722 1.383029 1.833113 2.26216 2.82144 3.24984 4.7809
10 0.260185 0.699812 1.372184 1.812461 2.22814 2.76377 3.16927 4.5869
11 0.259556 0.697445 1.363430 1.795885 2.20099 2.71808 3.10581 4.4370
12 0.259033 0.695483 1.356217 1.782288 2.17881 2.68100 3.05454 4.3178
13 0.258591 0.693829 1.350171 1.770933 2.16037 2.65031 3.01228 4.2208
14 0.258213 0.692417 1.345030 1.761310 2.14479 2.62449 2.97684 4.1405
Tabel t-Studentdf\p 0.40 0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0005
15 0.257885 0.691197 1.340606 1.753050 2.13145 2.60248 2.94671 4.0728
16 0.257599 0.690132 1.336757 1.745884 2.11991 2.58349 2.92078 4.0150
17 0.257347 0.689195 1.333379 1.739607 2.10982 2.56693 2.89823 3.9651
18 0.257123 0.688364 1.330391 1.734064 2.10092 2.55238 2.87844 3.9216
19 0.256923 0.687621 1.327728 1.729133 2.09302 2.53948 2.86093 3.8834
20 0.256743 0.686954 1.325341 1.724718 2.08596 2.52798 2.84534 3.8495
21 0.256580 0.686352 1.323188 1.720743 2.07961 2.51765 2.83136 3.8193
22 0.256432 0.685805 1.321237 1.717144 2.07387 2.50832 2.81876 3.7921
23 0.256297 0.685306 1.319460 1.713872 2.06866 2.49987 2.80734 3.7676
24 0.256173 0.684850 1.317836 1.710882 2.06390 2.49216 2.79694 3.7454
25 0.256060 0.684430 1.316345 1.708141 2.05954 2.48511 2.78744 3.7251
26 0.255955 0.684043 1.314972 1.705618 2.05553 2.47863 2.77871 3.7066
27 0.255858 0.683685 1.313703 1.703288 2.05183 2.47266 2.77068 3.6896
28 0.255768 0.683353 1.312527 1.701131 2.04841 2.46714 2.76326 3.6739
29 0.255684 0.683044 1.311434 1.699127 2.04523 2.46202 2.75639 3.6594
30 0.255605 0.682756 1.310415 1.697261 2.04227 2.45726 2.75000 3.6460
inf 0.253347 0.674490 1.281552 1.644854 1.95996 2.32635 2.57583 3.2905