1
06/10/2013
Matematika Teknik Kimia II
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
2
Metode Integrasi Numerik→metode integrasi yg berhubungan
langsung dgn data percobaan.
Integrasi
Numerik
Gauss’ Method
Simpson’s Rule
Trapezoidal’s
Rule
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
3
Gambar disamping
menunjukkan penerapan
integrasi numeris dgn
cara trapezoidal yg
dilakukan beruntun pd
daerah harga peubah
(variabel) batas yg
ditinjau.
y
Δx
x
x0=a x1 x2 xi xi+1 xn=b
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
4
Utk menghitung dgn cara Trapezoidal, daerah harga antara x=a dan x=b dibagi menjadi interval yg sama sebanyak n.∆x
Harga ditunjukkan sebagai jumlah luas trapesium yg terbentuk.
Tinjau bagian luasan antara xi dan xi+1 pd gambar yg merupakan salah satu trapesium yg terbentuk.
b
dxy a
b
dxy a
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
5
Integral dpt didekati dgn luas trapesium yg terbentuk.
Sehingga:
Integral dpt didekati dgn jumlah luas semua
trapesium yg terbentuk seperti terlihat pd gbr di atas.
atau
Cara ini disebut Cara Trapezoidal n+1 titik, krn
menggunakan n+1 titik ordinat.
xxi
dxy xi
1ii1ii21
xxi
yy2
xyy
n
a-bdxy
xi
b
dxy a
2
y...yy
2
y
n
a-bdxy n
21
0
bx
ax
n1-n210
bx
yy...y2y2y2
xdxy
ax
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 5
6
Contoh:
Diket data hubungan y dan x ditunjukkan dlm tabel.
Tentukan dgn cara Trapezoidal 2 ttk, 3 ttk dan
5 ttk.
x 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1
y 0.343 0.512 0.729 1.0 1.331
1.1x
7.0
dxy x
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 6
Penyelesaian:
Trapezoidal 2 ttk:
Trapezoidal 3 ttk:
Trapezoidal 5 ttk:
Trapezoidal→hasil makin baik dgn makin kecilnya ∆x, atau
makin banyaknya jumlah ttk ordinat x yg diperhitungkan.
3348.0331.1343.02
7.01.1dxy
1.1x
7.0
x
3132.0331.1)729.0(2343.04
7.01.1dxy
1.1x
7.0
x
3078.0331.1)1(2)729.0(2)512.0(2343.08
7.01.1dxy
1.1x
7.0
x
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
7 Matematika Teknik Kimia II
8
Cara Simpson menggunakan persamaan
polynomial order-3 dan yg melalui 3 ttk yg
equidistant (berjarak sama). Bentuk
persamaannya: y=a0+a1x+a2x2+a3x
3
Substitusikan peubah baru z dgn
menggunakan persamaan: z=(x-x1)/h,
sehingga dz=(1/h) dx
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
9
Integrasi fungsi y pd daerah
harga x dari x=x0 sampai x=x2
dpt ditulis:
Dan 3 ttk ordinat y0, y1, y2
berturut2 pd z=-1, z=0 dan z=+1
y
y1
y0
h
x
h
x2x1x0
y2
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
9
Jika interval (x) besar dan penurunan dari nilai
y tidak tajam, maka cara Simpson lebih baik
y 4y y3
x dxy mn0
xm
xn
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
10
y
y1
y0
h
x
h
x2x1x0
y2
xn xm
n1-n2-n654432210
xm
xny 4y y
3
x...y 4y y
3
xy 4y y
3
x y 4y y
3
x dxy
)yy4y2...y4y2y4y(3
x dxy n1-n2-n3210
xm
xn
Contoh soal
Tentukan hasil integrasi dari
Dengan x= 0.5
Penyelesaian:
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 11
4
1
2 dx 1) (x
1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
)yy4y2y4y2y4y(3
x dx 1)(x 43,532,521,51
4
1
2
))116()125,12(4)19(2)125,6(4)14(2)125,2(4)11((3
0,5 dx 1)(x
4
1
2
24)1753202910102(3
0,5 dx 1)(x
4
1
2
Bagaimana hasil soal di atas jika diselesaikan dengan
metode trapezoidal ?
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 12
Tentukan hasil integrasi dari x= 0.5
Dengan metode Trapizoidal Rule dan Simpson Rule
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 13
5
1dx2x ln x
Efisien→menggunakan 3 ttk ordinat dapat menghitung integral dari fungsi polynomial berpangkat linier.
Dgn n ttk data ordinat yg diket, hanya integral fungsi polynomial berpangkat 2n-1 dpt dihitung dgn cara Gauss.
Cth: penjabaran utk menghitung integral fungsi polynomial berpangkat linier→3 ttk ordinat→2(3)-1=5. Bentuk fungsi polynomial berpangkat linier:y=a0+a1x+a2x
2+a3x3+a4x
4+a5x5
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 14
15
Bagaimana cara Gauss menghitung
Substitusikan peubah baru u dgn persamaan:
Dgn N→harga rata2 dari y pd daerah harga x
antara x=a dan x=b.
b
dxy a
a-bN du y 2
a-b dx y
dandu 2
a-b dx sehinggau
2
a-b
2
ba x
1
1-
b
a
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Karena x linier thd n,maka:
y=a0’+a1’u+a2’u2+a3’u
3+a4’u4+a5’u
5 dan bila
selanjutnya disubstitusikan ke persamaan,
diperoleh:
Setelah diselesaikan lebih lanjut, didapat:
1
1
5
5
4
4
3
3
2
210 a-bN du u'au'au'au'au'a'a2
a-b
5
'a
3
'a 'a N 42
0
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 16
N adalah harga rata2 dr y pd daerah x=a sampai
x=b dan utk dpt dipenuhi oleh 3 ttk, maka:
N=K1y1+K2y2+K3y3, dengan K1,K2,K3 adalah
konstanta dan y1,y2,y3 adalah harga ordinat 3 ttk
yg berhub dgn harga u pd x1,x2,x3 yg akan
ditetapkan harganya pula.
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 17
Prinsip identik berlaku utk N, sehingga:
Persamaan di atas diselesaikan secara simultan,
diperoleh:
5
33
5
22
5
115
4
33
4
22
4
114
3
33
3
22
3
113
2
33
2
22
2
1123322111321042
0
5
55
4
44
3
33
2
323103
5
25
4
24
3
23
2
222102
5
15
4
14
3
13
2
12110142
0
xK xKxK'a xK xKxK'a xK xKxK'a
xK xKxK'axK xKxK'aK KK'a 5
'a
3
'a 'a
x'ax'ax'ax'ax'a'aK
x'ax'ax'ax'ax'a'aKx'ax'ax'ax'ax'a'aK 5
'a
3
'a 'a
5
3 x0 x
5
3- x
18
5K
9
4 K
18
5 K
321
321
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 18
19
Harga2 K dan u utk cara Gauss dgn 2,3,4 dan 5 ttk ordinat, sbb:
n=2
K1=1/2 u1=-√1/3
K2=1/2 u2=√1/3
n=3
K1=5/18 u1=-√3/5
K2=4/9 u2= 0
K3=5/18 u3=√3/5
n=4
K1=0.1739 u1=-0.8611
K2=0.3261 u2=-0.34
K3=0.3261 u3=0.34
K4=0.1739 u4=0.8611
n=5
K1=0.118436 u1=-0.906180
K2=0.239314 u2=-0.538469
K3=0.284444 u3=0
K4=0.239314 u4=0.538469
K5=0.118436 u5= 0.906180
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 19
Contoh:
Diket pers polynomial y=10+x-x2+x3-x4+x5.
Tentukan dgn cara Gauss 3 ttk.
Penyelesaian: utk a=0 dan b=2,maka:
Dgn 3 ttk ordinat maka harga u:
u1u2
02
2
20 u
2
a-b
2
ba x
7746.15
3 1x
5
3u
101x 0u
2254.0)5
3(- 1x
5
3-u
33
22
11
2
0
dxy
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 20
Utk x1=0.2254
y1=10+0.2254-(0.2254)2+(0.2254)3-
(0.2254)4+(0.2254)5=10.18
dgn cara yg sama diperoleh:y2=11 dan y3=21.9
Dgn K1=5/18, K2=4/9, K3=5/18
Maka
N=(5/18)(10.18)+(4/9)(11)+(5/18)(21.9)=13.8
27.60)-13.8(2a)-N(bdxxxxx-x10
2
0
5432
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 21
Top Related