Laporan Metode Numerik Kelompok 3 Ana Triana M0509006Azis Rahmanto M0509014 Diah Sarasti M0509022Karina Rachma M0509038Lynda RM0509044Neno S M0509048 Nur AnisahM0509050Tisna Dedi M0509070 2 A.Dasar Teori 1.Integrasi Numerik Integral suatu fungsi adalah operator matematik yang dipresentasikan dalam bentuk: dx x f I}=ba) ( (7.1) danmerupakanintegralsuatufungsif(x)terhadapvariabelxdenganbatas-batasintegrasiadalah darix=asampaix=b.SepertipadaGambar7.1danpersamaan(7.1),yangdimaksuddengan integral adalah nilai total atau luasan yang dibatasi oleh fungsi f (x) dan sumbu-x, serta antara batas x = a dan x = b. Dalam integral analitis, persamaan (7.1) dapat diselesaikan menjadi: | | ) ( ) ( ) ( ) (babaa F b F x F dx x f = =} dengan F (x) adalah integral dari f (x) sedemikian sehingga F ' (x) = f (x).Sebagai contoh: . 9 ) 0 (31) 3 (31313 3303302=((

=((

=}x dx xIntegral numerik dilakukan apabila: 1)Integral tidak dapat (sukar) diselesaikan secara analisis. 2)Fungsiyangdiintegralkantidakdiberikandalambentukanalitis,tetapisecaranumerikdalam bentuk angka (tabel). Metodeintegralnumerikmerupakanintegraltertentuyangdidasarkanpadahitunganperkiraan. Hitunganperkiraantersebutdilakukandenganfungsipolinomialyangdiperolehberdasardata 3 tersedia. Bentuk paling sederhana adalah apabila tersedia dua titik data yang dapat dibentuk fungsi polinomial order satu yang merupakan garis lurus (linier). Seperti pada Gambar 7.2a, akan dihitung: dx x f I}=ba) (yang merupakan luasan antara kurve f (x) dan sumbu-x serta antara x = a dan x = b, bila nilai f (a) dan f (b) diketahui maka dapat dibentuk fungsi polinomial order satu f1(x). Dalam gambar tersebut fungsi f (x) didekati oleh f1(x), sehingga integralnya dalam luasan antara garis f1(x)dansumbu-xsertaantarax=adanx=b.Bidangtersebutmerupakanbentuktrapesium yang luasannya dapat dihitung dengan rumus geometri, yaitu: 2) ( ) () (b f a fa b I+ =Dalamintegralnumerik,pendekatantersebutdikenaldenganmetodetrapesium.Dengan pendekataniniintegralsuatufungsiadalahsamadenganluasanbidangyangdiarsir(Gambar7.2), sedang kesalahannya adalah sama dengan luas bidang yang tidak diarsir. Apabila hanya terdapatdua dataf (a)danf (b), maka hanya bisa dibentuk satu trapesium dan cara inidikenaldenganmetodetrapesiumsatupias.Jikatersedialebihdariduadata,makadapat dilakukan pendekatan dengan lebih dari satu trapesium, dan luas total adalah jumlah dari trapesium-trapesiumyangterbentuk.Carainidikenaldenganmetodetrapesiumbanyakpias.Sepertipada Gambar7.2b,dengantigadatadapatdibentukduatrapesium,danluaskeduatrapesium(bidang yangdiarsir)adalahpendekatandariintegralfungsi.Hasilpendekataninilebihbaikdaripada pendekatan dengan satu pias. Apabila digunakan lebih banyak trapesium hasilnya akan lebih baik. Fungsiyangdiintegralkandapatpuladidekatiolehfungsipolinomialdenganorderlebihtinggi, sehinggakurveyangterbentuktidaklagilinier,sepertidalammetodetrapesium,tetapikurve lengkung.SepertipadaGambar7.2c,tigadatayangadadapatdigunakanuntukmembentuk polinomialordertiga.MetodeSimpsonmerupakanmetodeintegralnumerikyangmenggunakan 4 fungsipolinomialdenganorderlebihtinggi.MetodeSimpson1/3menggunakantigatitikdata (polinomial order dua) dan Simpson 3/8 menggunakan empat titik data (polinomial order tiga). Jarak antara titik data tersebut adalah sama. Gambar 7.2. Metode integral numerik Zero Order (Metode Rectangular) Untukmerumuskanmetodeini,diperlukanhampiranjumlahkiridanhampiran jumlahkanan. Perhatikan gambar dibawah ini, dimana 0x a =dan 1x b = ,) (x f y = Gambar12.2aadalahhampiranjumlahkiridangambar12.2badalahhampiran jumlah sebelah kanan. Luasdaerahygdibatasiolehkurva) (x f y = ,garisa x = ,garisb x = dansumbux menurut jumlah hampiran sebelah kiri ( gbr 12.2 a ) adalah sebagai berikut: 0100) ( f h dx x f Lxx~}= (12.6 a). Sedangkan Luas daerah yg dibatasi oleh kurva) (x f y = , garisa x = ,garisb x = dan sumbux menurutjumlahhampiransebelahkanan(gbr12.2b)adalahsebagai berikut: 1101) ( f h dx x f Lxx~}= .(12.6 b). } } }+ = + = = + = +101 0 1 010101 0) ( ) ( 2 ) ( ) (xxxxxxf f h f h f h dx x f dx x f dx x f L L , maka luas daerah yg dibatasi oleh kurva) (x f y = , garisa x = ,garisb x = dan sumbux adalah1f0f x 1x b = y=f(x) 0x a = y h 1f0f x 1x b = y=f(x) 0x a = y h Gbr 12.2 aGbr 12.2 b 5 }+ = ~101 0) (2) (xxf fhdx x f L ..(12.7) Persamaan(12.7)adalahrumusanperhitunganluasdaerahuntuksatusegmen,. sedangkanrumusanluasdaerahyangdibagimenjadin segmenadalahmerupakan jumlahan dari luas masing-masing segmen, sebagai berikut: ) (2) (2... ) (2) (2) (1 1 2 2 1 1 00n n n nnf fhf fhf fhf fhdx x f Lx bx a+ + + + + + + + = = }== ) ... (21 1 2 2 1 1 0 n n nf f f f f f f fh+ + + + + + + = ) ... (21 1 2 2 1 1 0 n n nf f f f f f f fh+ + + + + + + = =+ + = + + + + =100 1 2 1 0) (2) 2 ... 2 2 (2nii n n nf h f fhf f f f fh(12.8) First Order(Metode Trapesium) Metodetrapesiummerupakanmetodependekatanintegralnumerikdenganpersamaan polinomialordersatu.Dalammetodeinikurvelengkungdarifungsif(x)digantikanolehgaris lurus. Seperti pada Gambar 7.2, luasan bidang di bawah fungsi f (x) antara nilai x = a dan nilai x = bdidekatiolehluassatutrapesiumyangterbentukolehgarislurusyangmenghubungkanf(a) danf(b)dansumbu-xsertaantarax=adanx=b.Pendekatandilakukandengansatupias (trapesium).Menurutrumusgeometri,luastrapesiumadalahlebarkalitinggirerata,yang berbentuk: 2) ( ) () (b f a fa b I+ ~ (7.2) PadaGambar7.3,penggunaangarislurusuntukmendekatigarislengkungmenyebabkan terjadinya kesalahan sebesar luasan yang tidak diarsir. Besarnya kesalahan yang terjadi dapat diperkirakan dari persamaan berikut: ) )( ( ' '121a b f E = (7.3)dengan adalah titik yang terletak di dalam interval a dan b. 6 Persamaan(7.3)menunjukkanbahwaapabilafungsiyangdiintegralkanadalahlinier,maka metodetrapesiumakanmemberikannilaieksakkarenaturunankeduadarifungsilinieradalah nol. Sebaliknya untuk fungsi dengan derajat dua atau lebih, penggunaan metode trapesium akan memberikan kesalahan. Gambar 7.3. Metode trapesium Bangun trapesium yg dibentuk dari kurva) (x f y = , lebar trapesium sama dgnh ,sisi-sisiyangsejajaradalah 0f dan 1f ,makaluastrapesium2) (1 0hf f LT + = .Luas daerahyangdibatasiolehkurva) (x f y = ,garisa x = ,garisb x = dansumbux adalah sama dengan luas trapesium ( daerah yang di arsir ), sehingga }+ = ~101 0) (2) (xxf fhdx x f L ..(12.9) Persamaan(12.9)adalahrumusanperhitunganluasdaerahuntuksatusegmen,. trapesiumsedangkanrumusanluasdaerahyangdibagimenjadin segmentrapesiumadalah merupakan jumlahan dari luas masing-masing segmen, sebagai berikut: ) (2) (2... ) (2) (2) (1 1 2 2 1 1 00n n n nnf fhf fhf fhf fhdx x f Lx bx a+ + + + + + + + = = }== ) ... (21 1 2 2 1 1 0 n n nf f f f f f f fh+ + + + + + + = ) ... (21 1 2 2 1 1 0 n n nf f f f f f f fh+ + + + + + + = =+ + = + + + + =100 1 2 1 0) (2) 2 ... 2 2 (2nii n n nf h f fhf f f f fh..(12.10) 7 Persamaan (12.10 ) sama persis dengan persamaan (12.8). Jadi metode segiempat sama persis dengan metode trapesium. Contoh soal: Gunakan metode trapesium satu pias untuk menghitung,. dx e I}=40x Penyelesaian: Bentuk integral diatas dapat diselesaikan secara analitis: | | | | . 598150 , 530 440x40x= = =}= e e e dx e IHitungan integral numerik dilakukan dengan menggunakan persamaan (7.2): . 1963 , 1112) 0 4 (2) ( ) () (4 0=+ =+ ~e e b f a fa b IUntuk mengetahui tingkat ketelitian dari integral numerik, hasil hitungan numerik dibandingkan dengan hitungan analitis.Kesalahan relatif terhadap nilai eksak adalah: %. 46 , 107 % 100598150 , 531963 , 111 598150 , 53t = = cTerlihatbahwapenggunaanmetodetrapesiumsatupiasmemberikankesalahansangatbesar (lebih dari 100 %). Metode Trapesium Dengan Banyak Bias Daricontohsoaldiatasterlihatbahwapendekatandenganmenggunakansatu pias(trapesium) menimbulkankesalahansangatbesar.Untukmengurangikesalahanyangterjadimakakurve lengkung didekati oleh sejumlah garis lurus, sehingga terbentuk banyak pias (Gambar 7.4). Luas bidang adalah jumlah dari luas beberapa pias tersebut. Semakin kecil pias yang digunakan, hasil yang didapat menjadi semakin teliti. DalamGambar7.4,panjangtiappiasadalahsamayaituAx.Apabilaterdapatnpias,berarti panjang masing-masing pias adalah: 8 na bx= A Batas-batas pias diberi notasi: xo = a, x1, x2, , xn = b Integral total dapat ditulis dalam bentuk: }+ +}+}=n1 n2110xxxxxx) ( ) ( ) ( dx x f dx x f dx x f I (7.4) Gambar 7.4. Metode trapesium dengan banyak pias Substitusi persamaan (7.2) ke dalam persamaan (7.4) akan didapat: 2) ( ) ( ...2) ( ) (2) ( ) (1 n n1 2 0 1++ ++++=x f x fxx f x fxx f x fx Iatau ((

+ + ==) ( ) ( 2 ) (2n1 n1 ii 0x f x f x fxI (7.5) atau ((

+ + ==1 n1 ii) ( 2 ) ( ) (2x f b f a fxI (7.6) Besarnya kesalahan yang terjadi pada penggunaan banyak pias adalah: ) ( ' ' ) (12i2tx f a bx = c (7.7) 9 yangmerupakankesalahanorderdua.Apabilakesalahantersebutdiperhitungkandalam hitungan integral, maka akan didapat hasil yang lebih teliti. Bentuk persamaan trapesium dengan memperhitungkan koreksi adalah: ) ( ) ( ' ' ) (12) ( 2 ) ( ) (2421 n1 iix O f a bxx f b f a fxI ((

+ + == (7.8) Untuk kebanyakan fungsi, bentuk f ''( ) dapat didekati oleh: a ba f b ff=) ( ' ) ( ') ( ' ' (7.9) Substitusi persamaan (7.9) ke dalam persamaan (7.8) didapat: | | ) ( ' ) ( '12) ( 2 ) ( ) (221 n1 iia f b fxx f b f a fxI ((

+ + ==(7.10) Bentukpersamaan(7.10)disebutdenganpersamaantrapesiumdengankoreksiujung,karena memperhitungkan koreksi pada ujung interval a dan b. Metodetrapesiumdapatdigunakanuntukintegralsuatufungsiyangdiberikandalambentuk numerikpadaintervaldiskret.Koreksipadaujung-ujungnyadapatdidekatidenganmengganti diferensial f '(a) dan f '(b) dengan diferensial beda hingga. Contoh soal: Gunakan metode trapesium empat pias dengan lebar pias adalah Ax = 1 untuk menghitung: dx e I}=40x Penyelesaian: Metode trapesium dengan 4 pias, sehingga panjang pias adalah: . 140 4 ===na bxLuas bidang dihitung dengan persamaan (7.6): ((

+ + ==1 n1 ii) ( 2 ) ( ) (2x f b f a fxI 10 | | . 991950 , 57 ) ( 2213 2 1 4 0= + + + + = e e e e eKesalahan relatif terhadap nilai eksak: %. 2 , 8 % 100598150 , 53991950 , 57 598150 , 53t = = cApabiladigunakanmetodetrapesiumdengankoreksiujung,makaintegraldihitungdengan persamaan (7.10). Dalam persamaan tersebut koreksi ujung mengandung turunan pertama dari fungsi.Apabila f (x) = ex, turunan pertamanya adalah f ' = ex; sehingga: | | ) ( ' ) ( '12) ( 2 ) ( ) (221 n1 iia f b fxx f b f a fxI ((

+ + == | | ) (121) ( 2210 4 3 2 1 4 0e e e e e e e + + + + =. 525437 , 53 466513 , 4 991950 , 57 = =Kesalahan relatif terhadap nilai eksak: %. 14 , 0 % 100598150 , 53525437 , 53 598150 , 53t= = cContoh soal: Diberikan tabel data berikut: x01 2 3 4 f (x)1391933 Hitung luasan di bawah fungsi f (x) dan di antara x = 0 dan x = 4, dengan menggunakan metode trapesium dan trapesium dengan koreksi ujung. Penyelesaian: Integral numerik dihitung dengan persamaan (7.6): 11 | | . 48 ) 19 9 3 ( 2 33 121) ( 2 ) ( ) (21 n1 ii= + + + + =((

+ + ==x f b f a fxIApabila digunakan metode trapesium dengan koreksi ujung, integral dihitung dengan persamaan (7.10): | | ) ( ' ) ( '12) ( 2 ) ( ) (221 n1 iia f b fxx f b f a fxI ((

+ + == Turunan pertama pada ujung-ujung dihitung dengan diferensial beda hingga: . 211 30 1) 0 ( ) 1 ( ) ( ) () 0 ( '1 21 21==== = =f fx xx f x fa x f. 14119 333 4) 3 ( ) 4 () ( ) () 4 ( '1 n n1 n nn==== = =f fx xx f x fb x f| | . 47 1 48 ) 2 14 (121) 19 9 3 ( 2 33 121= = + + + + = ISecond Order (Metode Simpson) Metode Simpson Disampingmenggunakanrumustrapesiumdenganintervalyanglebihkecil,caralainuntuk mendapatkanperkiraanyanglebihtelitiadalahmenggunakanpolinomialorderlebihtinggi untuk menghubungkan titik-titik data. Misalnya, apabila terdapat satu titik tambahan di antara f (a) dan f (b), maka ketiga titik dapat dihubungkan dengan fungsi parabola (Gambar 7.5a). Apabila terdapatduatitiktambahandenganjarak yangsamaantaraf(a)danf(b),makakeempattitik tersebut dapat dihubungkan dengan polinomial order tiga (Gambar 7.5b). Rumus yang dihasilkan oleh integral di bawah polinomial tersebut dikenal dengan metode (aturan) Simpson. Gambar 7.5. Aturan Simpson 12 1)Aturan Simpson 1/3DidalamaturanSimpson1/3digunakanpolinomialorderdua(persamaanparabola)yang melaluititikf(xi1),f(xi)danf(xi+1)untukmendekatifungsi.RumusSimpsondapat diturunkan berdasarkan deret Taylor. Untuk itu, dipandang bentuk integral berikut ini. dx x f x I}=xa) ( ) ( (7.11) Apabila bentuk tersebut didiferensialkan terhadap x, akan menjadi: ) () () ( ' x fdxx dIx I = = (7.12) Dengan memperhatikan Gambar 7.6. dan persamaan (7.12) maka persamaan deret Taylor adalah: ) ( ' '! 3) ( '! 2) ( ) ( ) ( ) (i3i2i i i 1 ix fxx fxx f x x I x x I x I + + + = + =+ ) ( ) ( ' ' '! 45i4x O x fx+ + (7.13) ) ( ' '! 3) ( '! 2) ( ) ( ) ( ) (i3i2i i i 1 ix fxx fxx f x x I x x I x I + = = ) ( ) ( ' ' '! 45i4x O x fx +(7.14) PadaGambar7.6,nilaiI(xi+1)adalahluasandibawahfungsif(x)antarabatasadanxi+1. Sedangkan nilai I (xi 1) adalah luasan antara batas a dan I (xi 1). Dengan demikian luasan di bawah fungsi antara batas xi 1 dan xi + 1 yaitu (Ai), adalah luasan I (xi + 1) dikurangi I (xi 1) atau persamaan (7.13) dikurangi persamaan (7.14). Ai = I (xi + 1) I (xi 1) atau 13 ) ( ) ( ' '3) ( 25i3i ix O x fxx f x A + + = (7.15) Gambar 7.6 Penurunan metode Simpson Nilaif ''(xi) ditulis dalam bentuk diferensial terpusat: ) () ( ) ( 2 ) () ( ' '221 i i 1 iix Oxx f x f x fx f ++ =+ Kemudianbentukdiatasdisubstitusikankedalampersamaan(7.15).Untukmemudahkan penulisan,selanjutnyanotasif(xi)ditulisdalambentukfi,sehinggapersamaan(7.15) menjadi:) ( ) (3) 2 (3 25 231 i i 1 i i ix O x Oxf f fxf x A + + + + =+ atau ) ( ) 4 (351 i i 1 i ix O f f fxA + + + =+ (7.16) Persamaan(7.16)dikenaldenganmetodeSimpson1/3.Diberitambahannama1/3karena Axdibagidengan3.Padapemakaiansatupias, 2a bx= A,sehinggapersamaan(7.16) dapat ditulis dalam bentuk: | | ) ( ) ( 4 ) (6ib f c f a fa bA + += (7.17) dengan titik c adalah titik tengah antara a dan b. Kesalahan pemotongan yang terjadi dari metode Simpson 1/3 untuk satu pias adalah: ) ( ' ' ' ' 9015t c f x =Oleh karena 2a bx= A, maka: 14 ) ( ' ' ' '2880) (5t c fa b =Contoh soal: Hitung, dx e I}=40xdengan aturan Simpson 1/3. Penyelesaian: Dengan menggunakan persamaan (7.17) maka luas bidang adalah: | | . 7696 , 56 ) 4 (60 4) ( ) ( 4 ) (64 2 0i= + += + += e e e b f c f a fa bAKesalahan terhadap nilai eksak: %. 917 , 5 % 100598150 , 537696 , 56 598150 , 53t = = cTerlihat bahwa pada pemakaian satu pias, metode Simpson 1/3 memberikan hasil lebih baik dari rumus trapesium. 2)Aturan Simpson 1/3 dengan banyak piasSeperti dalam metode trapesium, metode Simpson dapat diperbaiki dengan membagi luasan dalam sejumlah pias dengan panjang interval yang sama (Gambar 7.6): na bx= Adengan n adalah jumlah pias. Gambar 7.7. Metode Simpson dengan banyak pias 15 Luas total diperoleh dengan menjumlahkan semua pias, seperti pada Gambar 7.7. }+ + + =ba1 n 3 1... ) ( A A A dx x f (7.18) DalammetodeSimpsoninijumlahintervaladalahgenap.Apabilapersamaan(7.16) disubstitusikan ke dalam persamaan (7.18) akan diperoleh: ) 4 (3... ) 4 (3) 4 (3) (n 1 n 2 nba3 2 1 2 1 0f f fxf f fxf f fxdx x f + + +}+ + + + + + = atau }((

+ + + ===ba2 n2 ii1 n1 ii) ( 2 ) ( 4 ) ( ) (3) ( x f x f b f a fxdx x f (7.19) SepertipadaGambar(7.7),dalampenggunaanmetodeSimpsondenganbanyakpiasini jumlahintervaladalahgenap.Perkiraan kesalahan yangterjadipadaaturanSimpsonuntuk banyak pias adalah: ' ' ' '180) (45afna b = cdengan' ' ' ' fadalah rerata dari turunan keempat untuk setiap interval. Contoh soal: Hitung, dx e I}=40xdengan metode Simpson dengan Ax = 1. Penyelesaian: Dengan menggunakan persamaan (7.19) maka luas bidang adalah: . 863846 , 53 ] 2 ) ( 4 [312 3 1 4 0= + + + + = e e e e e IKesalahan terhadap nilai eksak: 16 . % 5 , 0 % 100598150 , 53863846 , 53 598150 , 53t= = c3)Metode Simpson 3/8MetodeSimpson3/8diturunkandenganmenggunakanpersamaanpolinomialordertiga yang melalui empat titik. dx x f dx x f I}~}=ba3ba) ( ) (Dengan cara yang sama pada penurunan aturan Simpson 1/3, akhirnya diperoleh: | | ) ( ) ( 3 ) ( 3 ) (8 33 2 1 0x f x f x f x fxI + + + = (7.20) dengan: 3a bx= APersamaan (7.20) disebut dengan metode Simpson 3/8 karena Ax dikalikan dengan 3/8. Metode Simpson 3/8 dapat juga ditulis dalam bentuk: | |8) ( ) ( 3 ) ( 3 ) () (3 2 1 0x f x f x f x fa b I+ + + = (7.21) Metode Simpson 3/8 mempunyai kesalahan pemotongan sebesar: ) ( ' ' ' ' 8033t c f x = (7.22a) Mengingat 3a bx= A , maka: ) ( ' ' ' '6480) (5t c fa b = (7.22b) Metode Simpson 1/3 biasanya lebih disukai karena mencapai ketelitian order tiga dan hanya memerlukantigatitik,dibandingkanmetodeSimpson3/8yangmembutuhkanempattitik. Dalam pemakaian banyak pias, metode Simpson 1/3 hanya berlaku untuk jumlah pias genap. Apabiladikehendakijumlahpiasganjil,makadapatdigunakanmetodetrapesium.Tetapi metodeinitidakbegitubaikkarenaadanyakesalahanyangcukupbesar.Untukitukedua 17 metode dapat digabung, yaitu sejumlah genap pias digunakan metode Simpson 1/3 sedang 3 pias sisanya digunakan metode Simpson 3/8. Contoh soal: DenganaturanSimpson3/8hitung dx e I}=40x.Hitungpulaintegraltersebutdengan menggunakan gabungan dari metode Simpson 1/3 dan 3/8, apabila digunakan 5 pias dengan Ax = 0,8. Penyelesaian: a)Metode Simpson 3/8 dengan satu pias Integral dihitung dengan menggunakan persamaan (7.21): | |8) ( ) ( 3 ) ( 3 ) () (3 2 1 0x f x f x f x fa b I+ + + =. 07798 , 558) 3 3 () 0 4 (4 6667 , 2 3333 , 1 0=+ + + =e e e eIBesar kesalahan adalah: . % 761 , 2 % 10059815 , 5307798 , 55 598150 , 53t = = cb)Apabila digunakan 5 pias, maka data untuk kelima pias tersebut adalah: f (0) = e0 = 1f (2,4) = e2,4 = 11,02318. f (0,8) = e0,8 = 2,22554f (3,2) = e3,2 = 24,53253. f (1,6) = e1,6 = 4,9530f (4) = e4 = 54,59815. Integral untuk 2 pias pertama dihitung dengan metode Simpson 1/3 (persamaan 7.17): | | ) ( ) ( 4 ) (6ib f c f a fa bA + +=. 96138 , 3 ) 95303 , 4 ) 22554 , 2 4 ( 1 (66 , 1= + + = ITiga pias terakhir digunakan aturan Simpson 3/8: 18 | |8) ( ) ( 3 ) ( 3 ) () (3 2 1 0x f x f x f x fa b I+ + + =. 86549 , 498) 59815 , 54 ) 53253 , 24 3 ( ) 02318 , 11 3 ( 95303 , 4 (4 , 2 =+ + += IIntegral total adalah jumlah dari kedua hasil diatas: . 826873 , 53 86549 , 49 96138 , 3 = + = IKesalahan terhadap nilai eksak: %. 427 , 0 % 10059815 , 53826873 , 53 598150 , 53t = = c1.Algoritma Error pada masing masing metode 1.Metode Rectangular 2.Metode Trapezoid 3.Metode Simpson B.Penggunaan Aplikasi Colea dan Matlab Colea adalah salah satu alat yang digunakan untuk merekam dan menganalisis suara yang dijalankan pada matlab. Pada program kami ini, rumus yang digunakan antara lain: -Metode rectangular (order 0) 19 }+ = ~101 0) (2) (xxf fhdx x f L-Metode trapezoid (order 1) }+ = ~101 0) (2) (xxf fhdx x f L-Metode simpson (order 2) | | ) ( ) ( 4 ) (6ib f c f a fa bA + += Fitur Colea : -Dual time-waveform and spectrogram displays -Records speech directly into MATLAB NEW -Displaystime-alignedphonetictranscriptions(e.g.,TIMIT's.phnfiles)- see example Figure above -Manual segmentation of speech waveforms - creates label files which can be used to train speech recognition systems -Waveform editing - cutting, copying or pasting speech segments -Formant analysis - displays formant tracks of F1, F2 and F3 -Pitch analysis -Filter tool - filters speech signal at cutoff frequencies specified by the user -Comparisontool- comparestwowaveformsusingseveralspectraldistance measures -Speechdegradation- addsnoisetothespeechsignalatanSNRspecifiedbythe user Dalam menggunakan colea, ada beberapa penambahan fungsi untuk mencari Luasan dan errordenganmetode(zero,first,second)order.Penambahannyayaitupadafile COLEA.M di bagian Et=1000*n_samples/Srate; xax=0:1000/Srate:(Et-1000/Srate); plot(xax,x,'y') 20 Ditambahkan beberapa algoritma menjadi Et=1000*n_samples/Srate; xax=0:1000/Srate:(Et-1000/Srate);

data=[]; for i = 1:(length(xax)) data = [data,0]; end

plot(xax,data,'',xax,x)

%luas daerah order 0%pada perhitungan luas daerah dengan metode rectangular ini kami mengunakan rumus L = h/2(fo+f1) Luas1=0; for i=3:2:n_samples %pada program ini kami menggunakan nilai awal i=3 dengan kenaikan tiap iterasi 2 dan batas i tertinggi n_samples %n_samples sudah didefinisikan sebelumnya (n_samples=length(x)) q=x(i-2); %q menunjukan f0 yaitu nilai f pada saat i-2 r=x(i); %r menunjukan f1 yaitu nilai f pada saat i Luas1=Luas1+abs((i-(i-2))/2*(q+r)); %luas merupakan hasil pertambahan dari hasil perhitungan %((i-(i-2))/2*(q+r)) yang di absolutkan. end fprintf('Luas daerah menggunakan metode rectangle(order 0) dengan interval waktu dari %d(msec) sampai %d(msec): %d \n',xax(1),xax(n_samples),Luas1); %luas daerah order 1 %pada perhitungan luas daerah dengan metode trapezoid ini kami menggunakan rumus L = h/2(fo+f1) Luas2 = 0; for i=3:2:n_samples %pada program ini kami menggunakan nilai awal i=3 dengan kenaikan tiap iterasi 2 dan batas i tertinggi n_samples %n_samples sudah didefinisikan sebelumnya (n_samples=length(x)) w=abs(((i-(i-2))/2)*(x(i)+x(i-2))); %luas dihitung dengan rumus ((i-(i-2))/2)*(x(i)+x(i-2)) Luas2=abs(Luas2+w); %luas akhir dihitung dengan menjumlahkan hasil perhitungan di tiap iterasi end fprintf('Luas daerah menggunakan metode trapezoid(order 1) dengan interval waktu dari %d(msec) sampai %d(msec): %d \n',xax(1),xax(n_samples),Luas2); 21 %luas daerah order 2 %pada perhitungan luas daerah dengan metode simpson ini kami menggunakan rumus L=((b-a)/6)*(f(a)+4.f(c)+f(b)) Luas3 = 0; for i=3:2:n_samples %pada program ini kami menggunakan nilai awal i=3 dengan kenaikan tiap iterasi 2 dan batas i tertinggi n_samples %n_samples sudah didefinisikan sebelumnya (n_samples=length(x)) v=(i-(i-2))/6; %v ini digunakan untuk menghitung (b-a)/6 z=abs(v*(x(i-2)+4*x(i-1)+x(i))); %luas dihitung dengan menggunakan rumus diatas dengan a=i-2,b=i,c=i-1. c =i-1 karena nilai antara a dan b = 2 sehingga nilai tengahnya i-1 Luas3=abs(Luas3+z); end fprintf('Luas daerah menggunakan metode simpson(order 2) dengan interval waktu dari %d(msec) sampai %d(msec): %d \n',xax(1),xax(n_samples),Luas3); % error untuk order 1 Error0=0; for i=3:2:n_samples Error0=((3-2)/24000)*abs(x(i)); end Error0=mean(Error0); fprintf('Error dengan menggunakan metode order 0 adalah %d \n',Error0); % error untuk order 1 Error1=0; for i=1:2:n_samples Error1=abs((((2)^3)/(12*(n_samples^2)))*abs(x(i))); end Error1=mean(Error1); fprintf('Error dengan menggunakan metode order 1 adalah %d \n',Error1);

% error untuk order 2 Error2=0; for i=1:2:n_samples Error2=(1/90)*((2/2000)^5)*abs(x(i)^4); end Error2=mean(Error2); fprintf('Error dengan menggunakan metode order 2 adalah %d \n',Error2);

Kemudian simpan dengan nama yang sama COLEA.M A.Langkah Penggunaan : 1.Mengcopy semua file yang ada di colea.zip ke dalam work matlab 22 2.Mengetik kata colea pada work space >> colea 3.Akan muncul window Kitamemakaicoba.wav.Fileyangbisadibacaolehcoleamatlabadalahfileyang berekstensi mav atau ils.Sebelumnya sudah dibuat file coba.wav dengan matlab. 4.Pada workspace akan muncul Samp.Freq: 16000 Hz,num.samples: 31991 (2.00 secs) Luasdaerahmenggunakanmetoderectangle(order0)denganinterval waktu dari 0(msec) sampai 1.999375e+003(msec): 4.488700e+006Luasdaerahmenggunakanmetodetrapezoid(order1)denganinterval waktu dari 0(msec) sampai 1.999375e+003(msec): 4.488700e+006Luas daerah menggunakan metode simpson(order 2) dengan interval waktu dari 0(msec) sampai 1.999375e+003(msec): 4.736952e+006Error dengan menggunakan metode order 0 adalah 3.227819e-003Error dengan menggunakan metode order 1 adalah 5.046306e-008Error dengan menggunakan metode order 2 adalah 4.001652e-010>> Dan window baru yang menampilkan grafik suara 23 Windowbaruinimemuatsuara/filesuarayanginputkanmenjadigrafik.SumbuY adalahpanjangamplitudodansumbuXadalahwaktufilesuaraitu,dalam miliseconds. B.Pembahasan Dari percobaan diatas kami memperoleh perbandingan dengan file coba.wavyang sama, nilai awalyang sama dan peningkatan tiap iterasi yang sama diperoleh hasil perhitungan luas : -Dengan metode rectangular(order 0): 4.488700e+006 -Dengan metode trapezoid(order 1) : 4.488700e+006 -Dengan metode simpson(order 2) : 4.736952e+006 Luasyangdiperolehdenganketigametodediatasorder1danorder2sama, sedangkan order 3 berbeda. Sedangkan perbandingan error nya : -Dengan metode rectangular(order 0): 3.227819e-003 -Dengan metode trapezoid(order 1) : 5.046306e-008-Dengan metode simpson(order 2) : 4.001652e-010 Errorpalingrendahpadametodesimpsondanerrorpalingtinggipadametode rectangular.