Bab I
Pendahuluan
Suatu gerak yang berulang pada selang waktu yang tetap disebut gerak
periodik. Beberapa contohgerak gerak periodik adalah gerak ayunan bandul ,getaran
senar biola dll. Dalam kenyataannya kebanyakan gerak diatas tidaklah betul-betul
periodik karena pengaruh gaya gesekan yang membuang energi gerak. Jadi benda
yang berayun lama akan berhenti. Jika gaya gesekan-gesekan ini dimasukan dalam
perhitungan maka gerak yang terjadi adalah gerak periodik teredam. Pemecahan dari
masalah gerak periodik atau dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi sinus dan cosinus.
Fungsi tersebut dinamakan fungsi harmonik, gerak dengan persamaan berupa fungsi
sinus disebut gerak harmonik sederhana.
Setiap gerak yang berulang dalam selang waktu yang tetap adalah
periodik,jika geraknya merupakan gerak bolak-balik pada jalan yang sama gerak ini
disebut gerak osilasi atau getaran. Suatu getaran (fibrasi) merupakan satu gerakan
pulang dan pergi.
Bab II
Gerak harmonik sederhana
Jika suatu partikel bergetar sekitar posisi setimbang atau pada saat gaya pada
suatu partikel sebanding dengan jarak suatupartikrl dalam posisi setimbang maka
partikel tersebut dinamakan melakukan gerak hahmonik serhana. Gaya selalu
bermaksud mengembalikan partikel pada posisi setimbang yang disebut gaya balik.
Contoh dari gerak harmonik sederhana adalah gerak suatu partikel bermassa
yang diikat pada suatu pegas. Pegas mempunyai elastik sifat elastis tidak hanya terjadi
pada pegas saja akan tetapi pada hampir setiap benda dalam batas-batas tertentu. Jika
batang-batang kawat direnggangkan dengan suatu gaya,maka kawat akan bertambah
panjang. Jika gaya yang digunakan kawat tidak terlalu besar,maka perpanjangan
kawat adalah setimbang dengan gaya yang bekerja. Ini pertama kali ditemukan oleh
Robert Hooks seorang kenalan newton,dan digunakan dalam hulum Hook dan dapat
ditulis sebagai berikut :
F= - kx
Dimana x adalah deformasi atau perubahan panjang, F gaya balik oleh bahan dan
k adalah suatu konstanta pembanding. Untuk pegas, k disebut konstanta pegas.
Tanda negatif berarti gaya kearah kiri bila x dan kearah kanan positif. Gaya pada
partikel selalu menuju posisi setimbang x = 0.
Dari hukun II newton diperoleh hubungan
atau (3.2)
Ingat bahwa untuk setiap sistem dengan massa m dimana bekerja gaya F = -kx
persamaan ini berlaku. Persamaan diatas memberi hubungan antara fungsi waktu
dengan turunan kedua dari fungsi tersebut terhadap waktu,yaitu .
Untuk mendapatkan posisi partikel terhadap waktu kita harus mencari fungsi
x(t) yang memenuhi persamaan diatas. Persamaan (3.2) dapat ditulis sebagai :
(3.3)
Dari persamaan (3.3) tampak bahwa fungsi x sedemikian rupa jika diturunkan
terhadap t maka kita akan memperoleh angka negatif lalu dikalikan dengan suatu
tetapan. Dari kalkulus deferensial bahwa fungsi sinus atau cosinus memenuhi fungsi
ini misalnya :
dan
(3.4)
Lebih umum lagi persamaan (3.3) juga dipenuhi oleh fungsi
X(t)=A cos (ω t + )
Diman A, ω dan adalah tetapan. Jika persamaan (3.4) kita deferensialkan dua kali
maka akan diperoleh :
Dan
(3,5)
Sedang
(3.6)
Jelas persamaan (3.3) dipenuhi jika :
atau
Jadi jika maka fungsi adalah suatu solusi dari persamaan
deferensial gerak harmonik. Harga tetapan-tetapan A dan masih belum tentu ,jadi
masih masih dapat mempunyai harga sembarang. Karena persamaan yang digunakan
berorde dua maka ada dua tetapan yang tidak tentu. Harga A dan untuk gerak
harmonik ditentukan oleh suatu gerak partikel pada awal gerak. Jika dilihat dari arti
fisis dari tetapan ω dan waktu t pada persamaan (3.4) dan ditambah maka akan
diperoleh :
X = A cos (ω(t + )+ )
=A cos (ωt + + )
=A cos (ωt + )
Jadi fungsi kembali pada harga semula setelah selang waktu ,sehingga
adlah periode gerak yaitu T. Karena maka akan diperoleh :
Jadi semua gerak yang memenuhi persamaan (3.3) perioda yang sama.,dan ditentukan
oleh massa m dari partikel yang bergetar dan konstanta pegas k.
Frekwensi osilator adalah banyaknya getaran penuh dalam satuan waktu.yang
dirumuskan oleh :
dan
Besaran ω sering kali disebut sebagai frekuensi sudut karena mempunyai harga 2
Kali frekwensi f ,sehingga mempunyai satuan radial/detik. Fungsi cosinus mempunyai
niali ( +1) dan (-1). Perpindahan x dari posisi setimbang pada X=0 mempunyai harga
maksimum A. Besaran (ω t + ) disebut fasa dari gerak harmonik. Tetapan disebut
tetapan fasa,dua buah gerak mungkin mempunyai amplitudo dan perioda yang sama
akan tetapi fasa yang berbeda. Jika = misalnya :
X=A cos (ωt + )
= A cos (ωt- 90)
= A sin ωt
Sehingga harga perpindahan x sama dengan nol pada saat t=0. Jika harga maka kita
peroleh solusi :
X = A cos ωt
Yang pada saat t = 0 mempunyai harga maksimum. Harga konstanta yang lain akan
memberikan simpangan awal yang berlainan pula. Amplitudo A dan konstanta fasa
dari osilasi ditentukan oleh posisi dan laju awal dari partikel. Kedua syarat harga A
dan yang tertentu. Sekali gerak sudah dimulai,partikel akan brgerak dengan
amplitudo dan tetapan fasa yang konstan pada suatu harga frekwensi.
Keterangan : warna ungu untuk : (t)
Warna kuning untuk : (t)
Gambar 3.1 menyatakan gerak harmonik sederhana untuk dua benda dengan
pesamaan gerak (t) dan (t). Kedua gerak ini berbeda fasa . Tampak bahwa
jika gerak (t) benda mencapai simpangan maksimum positif,benda dua dengan
gerak (t) selalu berada pada simpangan maksimum negatif. Kedua benda mencapai
titik nol (titik setimbang)selalu pada saat yang sama ,sehubungan dengan ini dua
benda yang berhubungna harmonik dengan beda fasa f dikatakan berlawanan
fasa.
Keterangan : warna ungu untuk : (t)
Warna kuning utuk : (t)
Gambar 3.2 menunjukan grafik x(t) untuk dua benda yang bergerak dengan
harmonik dengan fasa sama. Benda pertama bergerak dengan persamaan (t) dan
(t). Walaupun kedua amplitudo gerak ini berbeda , kedua benda selalu pada
simpangan maksimum positif ,titik setimbang,maksimum negatif pada saat yang
sama. Gerak seperti ini disebut gerak sefasa.
Gambaran fisis untuk dua gerak harmonik berbeda fasa tidaklah mudah untuk
dibuat,suatu cara untuk menggambarkan ini dengan melukiskan grafik x(t). Sifat lain
dari gerak harmonik sederhana adalah hubungan antara simpangan , percepatan , dan
kecepatan dari partikel yang berosilasi.jika dibandingkan ketiga persamaan tersebut
menjadi :
X(t) = A cos ω
Untuk kecepatan percepatan
Sehingga untuk persamaan gerak diatas kita peroleh persamaan :
= - A ω sin ωt dan = - A cos
ωt
Grafik persamaan ketiganya dapat dilukiskan sebagai berikut :
Contoh soal!
1. sebuah denda bermasa titik mempunyai berat 500 gram dipasang pada pegas
tanpa massa dan digetarkan diatas lantai datar tanpa gesekan. Getaran terjadi
sepanjang sumbu –x dan mempunyai persamaan gerarak benda x(t)= 100+ 10
cos ( t+ 60) dengan x posisi benda dalam cm.maka tentukan lah :
posisi pegas bila benda dalam keadaan kendor
perioda getaran
posisi awal , kecepatan awal , dan laju maksimum
tetapan pegas
basaran dan gaya tarik pada pegas
Jawab :
Dalam menentukan posisi benda bila pegas dalam keadaan kendor, kita
perlu ingat bahwa simpangan getaran(dihitung dari posisi setimbang)
Pegas dalm keadaan kendor bila = 0 ,jadi posisi posisi benda jika
pegas dlam keadaan kendor adalah x = 100 cm. Posisi setimbang ini
dicapai pada saat = 0 ,jadi posisi setimbang
terjadi pada saat :
Yaitu untuk
Guna menentukan perioda getaran perlu diingat bahwa bentuk uum
persamaan harmonik adalah :
= A cos
Dengan A amplitudo getaran dan fasa awal,frekwensi sudut ω
dinyatakan dalam bentuk radial/detik dan sebanding dengan f (dalam
cps atau herzt sebagai ω= ) sehingga dapat ditulis persamaan :
Sehingga diperoleh frekwensi getaran :
Dalam satu detik terjadi 5/2 getaran,berarti perioda getarannya :
Posisi awal benda dapat ditentukan dengan mengambil t = 0,sehingga
X(t = 0) = 100+10 cos = 105 cm
Dari titik asal sumbu x yaitu disebelah kanan titik setinbang. Pada saat
awal tersebut benda sedang bergerak dan kecepatan awal dapat
ditentukan dari persamaan gerak benda. Kecepatan sesaat dapat
dihitung dari :
Pada saat t = 0 kecepatan benda adalah :
Tanda negatif berarti pada saat t =0 benda sedang bergerak ke arah
sumbu x negatif (kekiri).
Tetapan pegas dapat ditentukan bila massa benda dan frekwensi getar
diketahui yaitu dari hubungan gerak jadi kita peroleh :
Dengan menggunakan satuan maksimum kmasukan harga m = 0,5 kg
sehingga :
= 12,5
Ingat bahwa radail adalah suatu sudut tanpa dimensi karena radial
menyatakan sudut dalam satuan
Gaya tarik pada pegas dapat dihitung dangan dua cara yang pertama
dapat dihitung menggunakan hukum hooke atau dengan menggunakan
hukum newton.
Menggunakan cara 1 :
Hukum hooke menyatakan bahwa dalam batas elastisitas gaya dalam
pegas adalah sebanding dengan pertambahan panjang pegas,sedang
pertambahan panjang pegas sama dengan simpangan osilasi (getaran)
jadi dapat dihitung dengan :
F = + k
Sedang untuk t = 0
F(t = 0) = + k (t = 0)
= + (12,5)
= + 6,16 newton
Tanda positif berarti gaya ke arah kanan.
Menggunakan cara II :
Hukum newton menyatakan bila suatu benda bermassa m mempunyai
percepatan a gaya yang bekerja pada benda tersebut haruslah sama
dengan F = m.a. tentukan percepatan sesaat benda dari bentuk fungsi
kecepatan sesaat v(t) yaitu dari hubungan :
Pada saat t = 0 percepatan benda adalah :
=
Karena massa benda m = 0,5 kg gaya yang bekerja haruslah :
F = m.a = (0,5kg) ( )
= - 6,16 newton (arah kiri)
Gaya pada pegas adlah reaksi dari gaya F paa benda gan dari hukum
III newton = - sehingga gaya tarik pada pegas adlah :
= + 6,16 newton (karah kanan)
Sesui engan hasil yang diperoleh dengan [enghitungan hukum hooke.]
2. sebuah benda titik bermassa 200 gr dipasang tanpa pegas tanpa massa dan
digetarkan di atas lantai tanpa gesekan. Gerak osilasi yang terjadi sepanjang
sumbu –x dapat dianggap sebagai gerak harmonik sedarhana.diketahui hal-hal
berikut :
posisi setimbang terletak pada jarak 50 cm dari titik asal sumbu x. Pada saat
t = 0 benda ditarik sejauh 10 cm kekiri dari titik setimbang dan kemudaian
dilepaskan,pagas yang digunakan memilika sifat apabila untuk meregang
pegas sebanyak 10 cm diperlukan gaya 5 newton. Tentukan :
berapa benyak osilasi(getaran) dalam satu menit
persamaan derak benda
bentuk grafik x(t) untuk gerak benda ini.
Jawab :
Untuk menentukan banyaknya osilasi dalam satu menit kmaka harus
diketahui nilai f osilasi. Diketahui untuk frekwensi sudut yaitu
berhubungan degan ketetapan pegas k dan massa benda m dari
. k dapat dihitung dapat dihitung dengan cara meregangkan pegas
sepanjang 10 cm dan diperlukan gaya 5 newton. Hukum hooke
menyatakan F = k tetapan pembanding k tidak lain adalah tetapan
pegas jadi :
Selanjutna frekwensi sudut dapat dihtung dengan memasukan m
= 200 gr
=
Frekwensi getaran f = sehingga dalam satu menit terjadi
osilasi sebanyak det x 60 det = osilasi.
Persamaan gerak benda yitu posisi gerak benda tiap saat dapat
ditentukan dengan . Besaranya menyatakanposisi
setimbang saat benda diukur dari titik asal sumbu –x ,besaran
menyatakan simpangan sesaat tehadap posisi setimbang. Untuk gerak
harmonik sederhana simpangan ini mempunyai bentuk umum :
Dengan amplitudo osilasi dan fasa awal osilasi. Pada saat t = 0
benda dilepas dari simpangan sebesar 10 cm disebelah kiri posisi
setimbang. Ini berarti amplitudo osilasi A = 10 cm dan pada saat T = 0
benda mempunyai simpangan = -10 cm. Jadi berlaku hubungan
atau
Pemecahan persamaan diatas memberikan . Akhirnya
persamaan gerknya dapat ditulis sebagai berikut :
Persamaan gerak dapat dilukiskan dalam grfik x(t).
Bab III
Penutup
Kesimpulan
Gerak harmonik adalah gerak danga persamaan fungsi sinuJika
suatu partikel bergetar sekitar posisi setimbang atau pada saat gaya
pada suatu partikel sebanding dengan jarak suatu partikel dalam posisi
setimbang maka partikel tersebut dinamakan melakukan gerak
hahmonik serhana. Gaya selalu bermaksud mengembalikan partikel
pada posisi setimbang yang disebut gaya balik.
Perioda getaran yaitu waktu yang diperlukan untuk satu kali geteran di
simbolkan dengan huruf T,sedang frekwensi gerak adalah jumlah
fribasi dalam satu satuan waktu. Posisi saat gaya sama dengan nol
disebut dengan posisi setimbang , simpanan linier atau sudut adalah
jarak antara partikel yang berosilasi dari keadaan setimbang.
Setiap gelombang muncul akibat adanya benda yang bergetar.
Daftar pustaka
Sutrisno . 1977. Fisika dasar, makanika. Bandung : ITB.
Zaelani, ahmad dkk. 2006. Bimbingan pemantapan fisika. Bandung : Yarma widia.
http:// www guru muda.com/gerak harmonik/ diakses tanggal 12 desember 2009
pukul 13.50.
http:\Gelombang Harmonik _ Gudang Ilmu Fisika Gratis.htm .Gelombang Harmonik
Saturday Dec 19,2009 10:30 PM By san In Gelombang Mekanik
TUGAS PRAKTIKUM
SISTEM LINIER
PRAKTEK 4
“Gejala fisika yang berhubungan dengan deferensial “
Dosen Pengampu : Drs. Herdi Saputra, M.Pd
Disusun Oleh :
Nama : Indah Pangestuti
NIM : 5301408074
Prodi : Pend. Teknik Elektro, S1
JURUSAN TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2009
Top Related