Integral
INTEGRAL
4
Definisi 4.0.1
Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika
F ’(x) = f(x) untuk setiap x ∈ D.
Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan ∫ dxxf )( dan f (x) dinamakan integran.
Jadi dxd∫ dxxf )( = f (x).
Contoh 1
sin x, sin x + 5, sin x – 7 adalah fungsi-fungsi integral tak tentu dari cos x pada seluruh garis real, sebab derivatif mereka sama dengan cos x untuk semua x. Sifat 4.0.2:
Misalkan f dan g mempunyai anti turunan dan k suatu konstanta, maka
1. ∫ dxxkf )( =
[ =
∫ dxxfk )(
2. ∫ + dxxgxf )]()( ∫∫ + dxxgdxxf )()(
Teorema 4.0.3
Jika F dan G keduanya integral tak tentu dari f pada interval I, maka F(x) dan G(x) berselisih suatu konstanta pada I
Jadi F(x) – G(x) = C dengan C sembarang konstanta. Akibat 4.0.4
Jika F suatu fungsi integral tak tentu dari f , maka
∫ dxxf )( = F(x) + C.
dengan C konstanta sembarang.
Thobirin, Kalkulus Integral 53
Integral
4.1 Rumus Dasar
1. ∫ = dxxn 1
11 +
+nx
n + C , n ≠ –1 11. dx
x∫ + 211 = arc tan x + C
2. ∫ dxx1 = ln x + C , x ≠ 0 = – arc cot x + C
3. ∫ = e x + C 12. dxe x dxx∫
− 211 = arc sin x + C
4. ∫ = dxa x xaaln
1 + C , a ≠ 1 = – arc cos x + C
a > 0
5. ∫ = – cos x + C 13. dxxsin dxxx∫ −112
= arc sec x + C
6. ∫ = sin x + C = – arc csc x + C dxxcos
7. ∫ = tan x + C 14. dxx2sec ∫ dxxsinh = cosh x + C
8. ∫ = – cot x + C 15. dxx2csc ∫ dxxcosh = sinh x + C
9. ∫ = sec x + C dxxx tansec
10. ∫ = – csc x + C dxxx cotcsc
SOAL Tentukan: 1. ∫ − dxx 2)2(
2. dxx
xx∫
++3
2 12
3. dxx
x∫
+1
4. ∫ − dxxx )(sin
5. ∫ dxx2
Thobirin, Kalkulus Integral 54
Integral
4.2 Integral dengan Substitusi
Masalah: Tentukan ∫ + dxx 2006)52(
Untuk menyelesaikan permasalahan seperti ini dapat digunakan aturan seperti pada teorema berikut. Teorema 4.2.1
Jika u = g(x) yang didefinisikan pada interval I mempunyai invers x = g –1(u) dan fungsi-fungsi g dan g –1 keduanya mempunyai derivatif yang kontinu pada intervalnya masing-masing, dan f kontinu pada interval di mana g –1 didefinisikan, maka
∫ dxxgxgf )(')}({ = ∫ duuf )(
Contoh 2
Tentukan ∫ + dxx 2006)52(
Penyelesaian:
Substitusikan u = 2x + 5 → 2=dxdu
du = 2 dx
maka = ∫ + dxx 2006)52( ∫ + dxx 2)52(21 2006
= ∫ duu 2006
21
= 2007
20071
21 u + C
= 2007)52(4014
1+x + C
Contoh 3
Tentukan ∫ + dxxx 20062 )53(
Penyelesaian:
Substitusikan u = 3x2 + 5 → dxdu = 6x
du = 6x dx
Thobirin, Kalkulus Integral 55
Integral
maka = ∫ + dxxx 20062 )53( ∫ + dxxx 6)53(61 20062
= ∫ duu 2006
61
= 2007
20071
61 u + C
= 20072 )53(12042
1+x + C
Contoh 4
Tentukan ∫ dxx21cos
Penyelesaian:
Substitusikan u = x21 →
21
=dxdu ⇔ du =
21 dx
maka ∫ dxx21
21cos2 = ∫ duucos2
= 2 sin u + C
= 2 sin x21 + C
SOAL Tentukan:
1. ∫ 6. − dxx 9)2(3 ∫−
dxx 24
1
2. ∫ 7. + dxxx 92 )25( ∫ ++ 2)1(4 xdx
3. ∫ +dx
x 4)3(8 8. ∫ − dxxx 12 2
4. ∫ dxxx ln
1 9. ∫ dxxe x cossin
5. ∫ dxx
x)sin(ln 10. ∫ dxe x4
Thobirin, Kalkulus Integral 56
Integral
4.3 Integral Parsial
Masalah: Tentukan ∫ dxex x
Misalkan: u = f(x) → )(' xfdxdu
= → dxxfdu )('= → dxudu '=
v = g(x) → )(' xgdxdv
= → dxxgdv )('= → dxvdv '=
uv = f(x) g(x) → )(')()()(')( xgxfxgxfdxuvd
+=
dxxgxfdxxgxfuvd )(')()()(')( +=
= )(uvd dxuvdxvu '' +
= )(uvd dvuduv +
Jika kedua ruas diintegralkan, diperoleh
uv = ∫∫ + dvuduv
∫ dvu = uv – ∫ duv ⇔
Contoh 5
Tentukan ∫ dxex x
Penyelesaian: Misalkan u = x → du = dx
→ dxedv x= xx edxev == ∫
sehingga = ∫ dxex x ∫− dxeex xx
= ∫− dxeex xx
= Ceex xx +−
Contoh 6
Tentukan ∫ dxex x2
Penyelesaian:
Misalkan → du = 2x dx 2xu =
→ dxedv x= xx edxev == ∫
Thobirin, Kalkulus Integral 57
Integral
sehingga = ∫ dxex x2 ∫− xdxeex xx 22
= ∫− dxxeex xx 22
= Ceexex xxx +−− )(22
= Ceexex xxx ++− 22
Contoh 7
Tentukan 5. ∫ dxxx cos
Penyelesaian: Misalkan u = x → du = dx
→ dxxdv cos= xdxxv sincos == ∫
sehingga = ∫ dxxx cos ∫− dxxxx sinsin
= Cxxx ++ cossin
Contoh 8
Tentukan ∫ dxxe x cos
Penyelesaian:
Misalkan → xeu = dxedu x=
→ dxxdv cos= xdxxv sincos == ∫
sehingga = ∫ dxxe x cos ∫− dxexxe xx sinsin
= ∫− dxxexe xx sinsin
misal → xeu = dxedu x=
dxxdv sin= → ∫= dxxv sin
xcos−=
= { }∫ −−−− dxexxexe xxx cos)cos(sin
= ∫−+ dxexxexe xxx coscossin
Diperoleh ∫ = dxxe x cos ∫−+ dxexxexe xxx coscossin
2 ∫ = dxxe x cos xexe xx cossin +
∫ = dxxe x cos xexe xx cos21sin
21
+ + C
Thobirin, Kalkulus Integral 58
Integral
SOAL Tentukan: 1. ∫ 6. dxxx sin ∫ dxxe x sin
2. ∫ 7. dxxx 2sin ∫ dxxarcsin
3. ∫ 8. dxxln ∫ dxarctan
4. ∫ 9. − dxex x ∫ dxxx 2ln
5. ∫ 10. − dxex x2 ∫ dxx
xlnln
4.4 Integral yang Menghasilkan Arcus Tangen dan Logaritma
Ingat: dxx∫ + 21
1 = arc tan x + C
Berdasarkan rumus di atas dapat dibuktikan bahwa untuk konstanta a ≠ 0, maka berlaku:
dxxa∫ + 22
1 = a1 arc tan
ax + C (4.4.1)
Perhatikan penyebut dalam integran.
Selanjutnya akan dicari dxcbxx∫ ++ 2
12
Jika f(x) = x2 + 2bx + c dengan D = 4b2 – 4c < 0, maka f(x) definit positif dan selalu dapat dibawa ke bentuk
f(x) = (x + b)2 + p2 dengan p2 = c – b2 > 0
sehingga dxcbxx∫ ++ 2
12 = dx
pbx∫ ++ 22)(1 dan dengan menggunakan (4.4.1)
dapat diperoleh
dxcbxx∫ ++ 2
12 =
pbx
p+arctan1 + C (4.4.2)
dengan p = 2bc −
Thobirin, Kalkulus Integral 59
Integral
Contoh 9
Tentukan ∫ +dx
x 231
Penyelesaian:
Dengan menggunakan rumus (4.4.1) diperoleh ∫ +dx
x 231 =
31 arc tan
3x + C
Contoh 10
Tentukan ∫ +dx
x 91
2
Penyelesaian:
Dengan menggunakan rumus (4.4.1) diperoleh ∫ +dx
x 231 = =
31 arc tan
3x + C
Contoh 11
Tentukan ∫ ++dx
xx 521
2
Penyelesaian: b = 1 c = 5
p = 2415 2 ==−
Dengan rumus (4.4.2) diperoleh ∫ ++dx
xx 521
2 = 21 arc tan
21+x + C
Atau secara langsung dengan cara berikut:
∫ ++dx
xx 521
2 = ∫ ++dx
x 4)1(1
2 = 21 arc tan
21+x + C
Selanjutnya ingat: ∫ dxx1 = ln x + C
Dengan rumus ini dapat ditunjukkan bahwa
∫ dxxgxg)()(' = ln )(xg + C (4.4.3)
Thobirin, Kalkulus Integral 60
Integral
Contoh 11
Tentukan ∫ +++ dxxx
x42
222
Penyelesaian:
Dengan rumus (4.4.3) diperoleh ∫ +++ dxxx
x42
222 = 42ln 2 ++ xx + C
Contoh 12
Tentukan ∫ +++ dxxx
x136
52
Penyelesaian:
∫ +++ dxxx
x136
52 = ∫ ++
++dx
xxx
1362)62(
221
= ∫ +++
dxxx
x136)62(
221
+ ∫ ++dx
xx 1362
2
= 136ln21 2 ++ xx + ∫ ++
dxx 4)3(
12 2
= 136ln21 2 ++ xx +
21.2 arc tan
23+x + C
= 136ln21 2 ++ xx + arc tan
23+x + C
SOAL
Tentukan:
1. ∫ +++ dx
xxx
13105
2 5. ∫ +++ dxxx
x74
232
2. ∫ −++ dx
xxx
1155
3
2
6. ∫ +++ dxxx
x136
152
3. ∫∫ = dxxxdxx
cossintan 7. ∫ +−
+ dxxx
x136
142
4. ∫ ++dx
xx 745
2 8. ∫ +−− dxxx
x74
232
Thobirin, Kalkulus Integral 61
Integral
4.5 Integral Fungsi Pecah Rasional Pn(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn dengan an ≠ 0 dinamakan polinomial (fungsí
suku banyak) berderajat n. Fungsi konstan Po(x) = ao dapat dipandang sebagai polinomial berderajat nol.
Fungsi pecah rasional adalah fungsi berbentuk )()(
xDxN dengan N(x) dan D(x) polinomial-
polinomial. Uraian mengenai integral fungsi pecah rasional dapat diperinci untuk beberapa kasus sebagai berikut.
4.5.1 Keadaan N(x) = D’(x)
Jika N(x) = D’(x) maka berdasarkan rumus (4.4.3) diperoleh:
∫ dxxDxN)()( = ln )(xD + C
dan ini sudah dibahas pada bagian 4.4 sehingga tidak perlu diulang. 4.5.2 Keadaan derajat N(x) ≥ derajat D(x)
Lakukan pembagian N(x) oleh D(x) sehingga diperoleh bentuk
)()()(
)()(
xDxRxQ
xDxN
+= dengan derajat R(x) < derajat D(x)
Q(x) adalah polinom, sehingga integralnya sangat mudah.
Contoh 13
1. ∫ +dx
xx
12
3
= ∫ ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+− dx
xxx
12 = ...
2. ∫ +++−− dx
xxxxx
136604819
2
24
= ∫ ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+++
++− dxxx
xxx136
8646 22 = ...
Kepada pembaca dipersilakan untuk melanjutkan penyelesaian kedua contoh dalam contoh 13 di atas. Dengan demikian yang perlu dipelajari lebih lanjut adalah keadaan dimana
derajat N(x) < derajat D(x) dan N(x) ≠ D’(x)
Thobirin, Kalkulus Integral 62
Integral
4.5.3 Keadaan Derajat N(x) < Derajat D(x)
Pada pembahasan ini N(x) ≠ D’(x). Tanpa mengurangi umumnya pembicaraan, diambil koefisien suku pangkat tertinggi dari x dalam D(x) adalah satu. Untuk
menghitung ∫ dxxDxN)()( , terlebih dahulu integran dipisah menjadi pecahan-
pecahan parsialnya. Contoh 14
6466
23
2
−+++
xxxx dapat dipecah menjadi pecahan-pecahan parsial berikut
315
210
11
6466
23
2
++
+−
−=
−+++
xxxxxxx
Jadi
∫ −+++ dx
xxxx
6466
23
2
= ∫∫∫ ++
+−
−dx
xdx
xdx
x 315
210
11
= ∫∫∫ ++
+−
−dx
xdx
xdx
x 3115
2110
11
= Cxxx ++++−− 3ln152ln101ln
Karena sebelum melakukan pengintegralan terlebih dahulu diadakan pemisahan
)()(
xDxN menjadi pecahan-pecahan parsialnya, maka sebelumnya perlu dipelajari
cara memisah )()(
xDxN menjadi pecahan-pecahan parsialnya tersebut.
Memisah Pecahan Menjadi Pecahan Parsial
Dalam pembicaraan ini tetap diasumsikan: 1) derajat N(x) < derajat D(x) 2) koefisien suku pangkat tertinggi dari x dalam D(x) adalah satu 3) N(x) dan D(x) tidak lagi mempunyai faktor persekutuan
Thobirin, Kalkulus Integral 63
Integral
Menurut keadaan faktor-faktor D(x), dalam memisahkan )()(
xDxN menjadi pecahan-
pecahan parsialnya dapat dibedakan menjadi 4 keadaan, yaitu: a. Semua faktor D(x) linear dan berlainan b. Semua faktor D(x) linear tetapi ada yang sama (berulang) c. D(x) mempunyai faktor kuadrat dan semua faktor kuadratnya berlainan d. D(x) mempunyai faktor kuadrat yang sama.
a. Semua faktor D(x) linear dan berlainan Misalkan faktor-faktor D(x) adalah x – a, x – b, x – c, dan x – d, maka D(x) = (x – a) (x – b) (x – c) (x – d).
Dibentuk )()(
xDxN =
dxD
cxC
bxB
axA
−+
−+
−+
− (1)
sebagai suatu identitas dalam x, sehingga untuk setiap nilai x yang diberikan maka nilai ruas kiri dan nilai ruas kanan dalam (1) sama. Konstanta A, B, C, dan D adalah konstanta-konstanta yang masih akan dicari nilainya.
Contoh 15
Pisahkan 64
6623
2
−+++
xxxx atas pecahan-pecahan parsialnya.
Penyelesaian:
64 23 −++ xxx = 0 ⇔ (x – 1) (x + 2) (x + 3) = 0
Dibentuk
32164
6623
2
++
++
−=
−+++
xC
xB
xA
xxxx (2)
⇔ )3)(2)(1(
)2)(1()3)(1()3)(2(64
6623
2
++−+−++−+++
=−++
+xxx
xxCxxBxxAxxx
x
⇔ )2)(1()3)(1()3)(2(66 2 +−++−+++=+ xxCxxBxxAx
untuk x = 1 → )4)(3(12 A= ⇔ A = 1
untuk x = – 2 → 30 = B(–3)(1) ⇔ B = –10 untuk x = – 3 → 60 = C(–4)(–1) ⇔ C = 15
Jika nilai A, B, dan C ini disubstitusikan ke dalam (2) maka diperoleh
315
210
11
6466
23
2
++
+−
−=
−+++
xxxxxxx
Thobirin, Kalkulus Integral 64
Integral
sehingga
∫ −+++ dx
xxxx
6466
23
2
= ∫∫∫ ++
+−
−dx
xdx
xdx
x 315
210
11
= Cxxx ++++−− 3ln152ln101ln
Pada bagian ini dijumpai bentuk ∫ −dx
ax1
b. Semua faktor D(x) linear tetapi ada yang sama (berulang)
Misalkan faktor-faktor D(x) adalah x – a, x – b, x – c, x – c, x – d, x – d, dan x – d, maka D(x) = (x – a) (x – b) (x – c)2 (x – d)3. Selanjutnya dibentuk
)()(
xDxN = 322 )()()( dx
Gdx
Fdx
Ecx
Dcx
Cbx
Bax
A−
+−
+−
+−
+−
+−
+−
(3)
Perhatikan suku-suku pecahan di ruas kanan terutama yang sesuai dengan akar sama c dan d.
Contoh 16
Pisahkan 3)1)(2( +− xxx atas pecahan-pecahan parsialnya.
Penyelesaian:
Dibentuk
323 )1()1(12)1)(2( ++
++
++
−=
+− xD
xC
xB
xA
xxx (4)
)2()1)(2()1)(2()1( 23 −++−++−++= xDxxCxxBxAx
untuk x = –1 ⎯→ –1 = –3D untuk x = 2 ⎯→ 2 = 27A untuk x = 0 ⎯→ 0 = A – 2B – 2C – 2D untuk x = 1 ⎯→ 1 = 8A – 4B – 2C – D Dari keempat persamaan tersebut diperoleh:
272
=A , 272
−=B , 276
−=C , 31
=D
Jadi 323 )1(31
)1(276
1272
2272
)1)(2( ++
+
−+
+
−+
−=
+− xxxxxxx
Thobirin, Kalkulus Integral 65
Integral
Selanjutnya dapat dicari integral ∫ +−dx
xxx
3)1)(2(
∫ +−dx
xxx
3)1)(2( = ∫∫∫∫ +
++−
++
−+
−dx
xdx
xdx
xdx
x 331
2276
272
272
)1()1(12
= ...
Pada bagian ini dijumpai bentuk ∫ −dx
ax1 dan ∫ −
dxax n)(
1 n = 2, 3, ...
c. D(x) mempunyai faktor kuadrat dan semua faktor kuadratnya berlainan
Ingat teorema dalam aljabar berikut. Teorema: Akar-akar tidak real persamaan derajat tinggi dengan koefisien real
sepasang-sepasang bersekawan, artinya jika a + bi suatu akar maka a – bi juga akar persamaan itu
Berdasarkan teorema tersebut maka apabila a + bi akar persamaan D(x) = 0 maka demikian juga a – bi, sehingga salah satu faktor D(x) adalah {x – (a + bi)}{ x – (a – bi)} = (x – a)2 + b2 yang definit positif. Misal D(x) = (x – p) (x – q) 2 {(x – a)2 + b2}{(x – c)2 + d2} maka perlu dibentuk
)()(
xDxN = 22222 )()()( dcx
GFxbax
EDxqx
Cqx
Bpx
A+−
++
+−+
+−
+−
+−
(5)
Contoh 17
Pisahkan 1
33 −x
x atas pecahan-pecahan parsialnya.
Penyelesaian:
133 −x
x = )1)(1(
32 ++− xxxx
Dibentuk 111
323 ++
++
−=
− xxCBx
xA
xx
)1)(()1(3 2 −++++= xCBxxxAx
untuk x = 1 ⎯→ 3 = 3A untuk x = 0 ⎯→ 0 = A – C untuk x = –1 ⎯→ –3 = A + 2B – 2C Setelah dicari nilai-nilai A, B, dan C diperoleh 1=A , 1−=B , dan , sehingga 1=C
Thobirin, Kalkulus Integral 66
Integral
11
11
13
23 +++−
+−
=− xx
xxx
x
Jadi ∫∫∫ +++−
+−
=−
dxxx
xdxx
dxx
x1
11
11
323
= ... = ...
Pada bagian ini dijumpai bentuk ∫ −dx
ax1 , ∫ −
dxax n)(
1 n = 2, 3, ... , dan
∫ +−+ dx
baxBAX
22)(
d. D(x) mempunyai faktor kuadrat yang sama
Berdasarkan teorema dalam bagian c di atas maka apabila a + bi merupakan akar berlipat k dari persamaan D(x) = 0 maka demikian juga a – bi, dan faktor-faktor dari D(x) yang sesuai dengan akar-akar ini adalah {(x – a)2 + b2}k. Misal D(x) = (x – p) (x – q) 2 {(x – a)2 + b2}{(x – c)2 + d2}3 maka perlu dibentuk
)()(
xDxN = 22222222 }){()()()( dcx
JHxdcx
GFxbax
EDxqx
Cqx
Bpx
A+−+
++−
++
+−+
+−
+−
+−
322 }){( dcxLKx+−+
+
Contoh 18
Pisahkan 22
23
)1)(2(1523
+−−+−
xxxxx atas pecahan-pecahan parsialnya.
Penyelesaian:
Dengan cara seperti yang telah diberikan sebelumnya didapatkan
22
23
)1)(2(1523
+−−+−
xxxxx = 222 )1(1
12
1+
−+−
−− x
xxx
x
Thobirin, Kalkulus Integral 67
Integral
Jadi ∫ +−−+− dx
xxxxx
22
23
)1)(2(1523 = ∫∫∫ +
−+−
−−
dxx
xdxxxdx
x 222 )1(11
21
Pada bagian ini dapat muncul bentuk ∫ +−+ dx
baxBAX
n}){( 22 , n = 2, 3, ... , dan
Dalam mencari ∫ dxxDxN)()( kita dihadapkan kepada empat jenis integral yang
berbentuk:
(1) ∫ −dx
ax1
(2) ∫ −dx
ax n)(1 n = 2, 3, ...
(3) ∫ +−+ dx
baxBAX
22)(
(4) ∫ +−+ dx
baxBAX
n}){( 22 , n = 2, 3, ...
Tiga bentuk yang pertama telah dapat diselesaikan menggunakan teori-teori yang sudah diberikan. Adapun integral bentuk keempat dapat diselesaikan dengan substitusi y = x – a sebagai berikut.
∫ +−+ dx
baxBAX
n}){( 22 = ∫ +++ dy
byBaAAyn}{ 22
= ∫∫ ++
+++ dy
byBaA
bybydA
nn }{}{)(
2 2222
22
Integral untuk suku pertama pada ruas terakhir bukan masalah karena berbentuk
∫ nudu , n = 2, 3, ... Sedangkan integral pada suku keduanya dapat diubah menjadi
∫ ++ dybyBaA
n}{ 22 = ∫
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
+nn
by
dyb
BaA22
1
= { }∫+
+− nn t
dtb
BaA212 1
dengan byt =
Untuk menghitung integral { }∫+
ntdt
21dapat digunakan rumus reduksi berikut
Thobirin, Kalkulus Integral 68
Integral
{ }∫+
ntdt
21 =
{ }∫ −−+−
−+
+− 1212 12232
)1)(22( nn tdt
nn
tnt
Dalam tulisan ini tidak diberikan bukti rumus reduksi tersebut.
Contoh 19
Selesaikan ∫ +++ dxxx
x22 )134(
3 .
Penyelesaian:
∫ +++ dxxx
x22 )134(
3 = ∫ ++++
dxxx
x22
21
)134(1)42(
= ∫∫ +++
+++ dx
xxdx
xxx
222221
)134(1
)134(42
= ∫∫ +++
++++ dx
xxxxxd
2222
2
21
}9)2{(1
)134()134(
= ∫∫ +++
++++ dx
xxxxxd
2222
2
21
}9)2{(1
)134()134(
= [ ]{ }∫
+++
++− dx
xxx 22221
13/)2(9
1134
1
= [ ]{ }∫
+++
++− dx
xxx 22811
221
13/)2(
1134
1
Untuk [ ]{ }∫
++dx
x2281
1
13/)2(
1 substitusikan dxdtxt31,
32
=+
= sehingga
[ ]{ }∫++
dxx
22811
13/)2(
1 = { }∫
+dt
t 22271
11
= { } ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−+
+− ∫ dttt
t1
122.232.2
)1)(22.2(271
2
= { } ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++ ∫ dt
ttt
11
21
)1(2271
2
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+t
tt arctan
21
)1(2271
Thobirin, Kalkulus Integral 69
Integral
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++
++
+ 32arctan
21
)1(2.32
271
32
xxx
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++
+++
32arctan
21
)2(262
271 x
xx
= 3
2arctan541
1022
271 +
+++ x
xx
Jadi ∫ +++ dxxx
x22 )134(
3 = [ ]{ }∫
+++
++− dx
xxx 22811
221
13/)2(
1134
1
= 134
122
1
++−
xx +
32arctan
541
1022
271 +
+++ x
xx + C.
LATIHAN
1. ∫ −+dx
xxx
432 4. ∫ +−dx
xxx
)1()1( 222
2. ∫ +−+ dx
xxx
)4()1(3
2 5. ∫ −−+− dx
xxxxx
2
234 2322
3. ∫ +dx
xx
22 )1( 6. ∫ −
++ dxx
xx32
23
)2(14
4.6 Integral Fungsi Trigonometri
4.6.1 Rumus-rumus Sederhana
∫ dxxcos = sin x + C ∫ dxxtan = – ln ⏐cos x⏐+ C
∫ dxxsin = – cos x + C ∫ dxxcot = ln ⏐sin x⏐+ C
∫ dxx2sec = tan x + C ∫ dxxx tansec = sec x + C
∫ dxx2csc = – cot x + C ∫ dxxx cotcsc = – csc x + C
∫ dxxsec = ln ⏐sec x + tan x⏐ + C ∫ dxxcsc = – ln ⏐csc x + cot x⏐ + C
4.6.2 Bentuk ∫ dxxxR cos)(sin dan ∫ dxxxR sin)(cos
Jika R fungsi rasional maka ∫ dxxxR cos)(sin = ∫ )(sin)(sin xdxR
= ∫ dyyR )(
Thobirin, Kalkulus Integral 70
Integral
∫ dxxxR sin)(cos = – ∫ )(cos)(cos xdxR
= – ∫ dttR )(
Dengan mengingat rumus cos2 x + sin2 x = 1, maka:
∫ dxxxxR cos)cos,(sin 2 = ∫ − dyyyR )1,( 2
∫ dxxxxR sin)sin,(cos 2 = – ∫ − dtttR )1,( 2
Contoh 20
1. ∫ +− dxxxx cos)7sincos2( 2
2. ∫ dxx3sin
4.6.3 Integral dengan memperhatikan rumus-rumus
sin x sin y = )}cos(){cos(21 yxyx +−−
sin x cos y = )}sin(){sin(21 yxyx −++
cos x cos y = )}cos(){cos(21 yxyx −++
sin2 x = }2cos1{21 x−
cos2 x = }2cos1{21 x+
Contoh 21 Carilah
1. ∫ dxxx 2sin3sin
2. ∫ dxxx 2cos3sin
3. ∫ dxxx 2cos3cos
4. ∫ dxx2sin
5. ∫ dxx4sin
4.6.4 Substitusi xy 2
1tan=
Jika R(sin x, cos x) fungsi rasional dalam sin x dan cos x, maka
dapat dibawa menjadi integral fungsi rasional dalam y dengan
menggunakan substitusi
∫ dxxxR )cos,(sin
xy 21tan= .
Thobirin, Kalkulus Integral 71
Integral
xy 21tan= → x = 2 arc tan y → dy
ydx 21
2+
=
Selanjutnya perhatikan
21 y+
x21
y
1 Memperhatikan gambar di atas dapat dipahami bahwa
x21sin =
21 yy+
dan x21cos =
211
y+
sin x = ).2sin( 2
1 x
= xx 21
21 cossin2 = 2
21 yy+
21
1y+
= 212
yy
+
Jadi sin x = 212
yy
+.
Dengan menggunakan rumus cos x = ).2cos( 21 x diperoleh
cos x = 2
2
11
yy
+−
tan x = 212
yy
−
cot x = yy
21 2−
Contoh 22
Carilah: 1. ∫ + xdxsin1
2. ∫ + xxdx
cossin
3. ∫ + xdxcos1
4. ∫ dxxcsc
Thobirin, Kalkulus Integral 72
Integral
4.6.5 Integral R(tan x) Jika integran fungsi rasional dalam tan x saja, maka dapat dijadikan integral fungsi rasional dalam y dengan substitusi y = tan x, sehingga x = arc tan y dan
21 ydydx+
= .
Jadi ∫ ∫ += dy
yyRdxxR 21)()(tan
Contoh 23
Carilah: 1. 2. ∫ dxxtan ∫ + xdxtan1
4.6.6 Rumus Reduksi untuk Integral Fungsi Trigonometri Jika n bilangan bulat positif, maka:
∫ ∫ −−=+ dyydxx nn )1(sin 212 dengan y = cos x
∫ ∫ −=+ dttdxx nn )1(cos 212 dengan t = sin x
Untuk n bilangan genap positif dapat digunakan rumus:
∫ ∫ −− −
+= dxxn
nn
xxdxx nn
n 21
cos1cossincos
∫ ∫ −− −
+−
= dxxn
nn
xxdxx nn
n 21
sin1sincossin
∫ ∫ −−
+−
= dxxn
xdxx nn
n 21
tan1
tantan
∫ ∫ −−
−−
−= dxx
nxdxx n
nn 2
1
cot1
cotcot
∫ ∫ −−
−−
+−
= dxxnn
nxxdxx n
nn 2
1
sec12
1secsinsec
∫ ∫ −−
−−
+−
−= dxx
nn
nxxdxx n
nn 2
1
csc12
1csccoscsc
Bukti rumus-rumus di atas tidak diberikan dalam tulisan ini.
Thobirin, Kalkulus Integral 73
Integral
LATIHAN
4.7 Integral Fungsi Irrasional
Dalam tulisan ini dibahas beberapa jenis integral fungsi irrasional. Pada dasarnya integral ini diselesaikan dengan mengubah integral irrasional menjadi integral rasional, baik rasional aljabar maupun trigonometri.
4.7.1 Rumus yang perlu dihafal
1) dxxa∫
− 22
1 = Cax+arcsin
2) dxaxx
a∫
− 22 = arc sec C
ax+
3) dxax∫
+ 22
1 = Caxx +++ 22ln
4) dxax∫
− 22
1 = Caxx +−+ 22ln
5) dxxa∫ − 22 = Caxaxax++− arcsin
22
222
6) dxax∫ + 22 = Caxxaaxx+++++ 22
222 ln
22
7) dxax∫ − 22 = Caxxaaxx+−++− 22
222 ln
22
Dua rumus pertama mudah dibawa ke bentuk rumus integral dasar dengan
substitusi axy = . Sedangkan rumus-rumus yang lain dapat dibuktikan dengan
menggunakan metode yang akan diterangkan pada bagian 4.7.4.
Thobirin, Kalkulus Integral 74
Integral
4.7.2 Bentuk Irrasional Satu Suku
ntuk irrasional dari satu macam suku, misalnya x, Jika integran hanya memuat be
maka integral dapat dijadikan integral rasional dengan substitusi n xy = dimana n
kelipatan persekutuan terkecil dari pangkat-pangkat akar.
Contoh 24
∫ +dx
xx3
6 xy =1
diambil substitusi , sehingga dan
.7.3 Satu-satunya Bentuk Irrasional
6yx = dyydx 56=
cbxax ++2
Dalam hal ini
4
cbxax ++2 se tubagai satu-sa nya bentuk irrasional di dalam tegran dapat dintegran, maka in ijadikan rasional dengan substitusi
cbxax ++2 = yax + , jika a > 0
atau
cbx cxy +ax 2 ++ = , jika c ≥ 0
Dengan substitusi yang pertama diperoleh bay
cyx−−−
=2
)( 2
dan dx dapat dinyatakan
ke dalam bentuk rasional dalam y kali dy.
Contoh 25
∫+−−
dxxxx 26)3(
1 yxxx +=+− 262
2 diambil substitusi , sehingga
)3(2)2( 2
+−−
=yyx dan dy
yyydx 2
2
)3(26
21
+++
−= . Selanjutnya dapat diselesaikan seperti
integral raasional
.7.4 Substitusi Trigonometri mus trigonometri
+ tan2 x = sec2 x bentuk-bentuk irra rasional fungsi
4Dengan memperhatikan ru
cos2 x + sin2 x = 1 dan 1sional berikut dapat dijadikan bentuk
trigonometri.
Thobirin, Kalkulus Integral 75
Integral
Thobirin, Kalkulus Integral 76
entuk Substitusi Diferensial B22 xa − x = a sin θ dx = a cosθ dθ 22 ax − x = a sec θ dx = a secθ tanθ dθ 22 xa + x = a tan θ dx = a sec2θ dθ
Contoh 26
= Caxaxax++− arcsin
22
222 dxxa∫ − 221. Buktikan
dxx∫
− 291 2. Gunakan substitusi x = a sin θ untuk menentukan
dxxxx∫ +−− 26)3(
12
3. Carilah
ATIHAN 4.7 L
1. d∫1 x
xx − 22 1
2. dxx
x∫
− 21
dxxxx∫ +−− 14)2(
12
3.
dxxxx∫ +−− 84)2(
12
4.
Top Related