8/6/2019 Numerical (5.1)
1/10
1
5. 1 : PENYELESAIAN PERSAMAAN SERENTAK LINEAR
5.1 .1 : KAEDAH PENGHAPUSAN GAUSS (GAUSS ELIMINATION RULE)
Berkonsepkan membuang atau menghapuskan sebahagian daripada unsur-unsur dalam matriks.
Persamaan matriks akan menjadi mudah dimana pembolehubah-pembolehubah dapat diperolehi terus dari matriks terbit
terakhir.
Persamaan serentak perlu ditukar ke bentuk matriks imbuhan BA sebelum menyelesaikan penghapusan.
Selepas dikenakan kaedah penghapusan Gauss, persamaan matriks akan menjadi:
''33
'23
'21
131211
00
0
a
aa
aaa
3
2
1
x
x
x
''3
'2
1
b
b
b
Unsur-unsur sifar dalam matriks di atas adalah hasil selepas dihapuskan dengan kaedah penghapusan Gauss.
Namun begitu, penghapusan juga mengakibatkan unsur-unsur lain bertukar nilai. Proses ini dikatakan penjelmaan.
Terdapat 2 peringkat penjelmaan:
1. Penjelmaan peringkat pertama (hanya melibatkan baris ke-2 dan ke-3 sahaja)
Rumus
(Bagi baris ke-2) B2 -
11
21a
ax B1
(Bagi baris ke-3) B3 -
11
31aa B1
2. Penjelmaan peringkat kedua (hanya melibatkan baris ke-3 sahaja)
Rumus
(Bagi baris ke-3) B3 -
22
32a
aB2
Contoh
Dapatkan penyelesaian menggunakan Kaedah Gauss
x + y + z = 8
3x + 2y + z = 49
5x 3y + z = 0
BAB 5: KAEDAH
BERANGKA
8/6/2019 Numerical (5.1)
2/10
8/6/2019 Numerical (5.1)
3/10
3
Langkah 4: Tukar matriks imbuhan di langkah 3 ke dalam bentuk persamaan serentak dan selesaikan.
x + y + z = 8
-y 2z = 25
12z = -240
Untuk mendapatkan nilai z :
z = 2012240
Setelah dapat nilai z, teruskan pengiraan untuk mendapatkan nilai y :
-y 2(-20) = 25
y = 15
Akhir sekali, dapatkan nilai x dengan menggantikan nilai z & y dari atas :
x + 15 + (-20) = 8
x = 13
Maka x = 1 3 y = 1 5 z = - 20
Contoh
x1 + 2x2 x3 = 6
3x1 + 8x2 + 9x3 = 10
2x1 x2 + 2x3 = -2
Penyelesaian
2
10
6
212
983
121
3
2
1
x
x
x
2
10
6
212
983
121
A X B BA
210
6
212983
121
B2 -
11
21a
ax B1
861
310
12)1(1
39
221
38
011
33
B3 -
11
31a
aB1
1461
2
2
4)1(1
22
521
21
011
22
Peringkat
pertama
8/6/2019 Numerical (5.1)
4/10
4
14
8
6
450
1220
121
34
8
6
3400
1220
121
x1 + 2x2 x3 = 6
2x2 + 12x3 = -8
34x3 = -34
x1 = 1 x2= 2 x3 = - 1
LATIHAN 5a
1. Selesaikan mengikut kaedah penghapusan Gauss.
a) x + 2y 3z = 3
2x y z = 11
3x + 2y + z = -5
b) x1 4x2 2x3 = 21
2x1 + x2 + 2x3 = 3
3x1 + 2x2 x3 = -2
c) a + 3b + 3c = 4
2a 3b 2c = 2
3a + b + 2c = 5
d) t + 2s u = 2
4t + s + 3u = 15
t 2s + 4u = 9
B3 -
22
32a
aB2
Peringkat
kedua
3482
514
34122
54
02255
002
50
8/6/2019 Numerical (5.1)
5/10
5
Segitiga
atas
5. 1 . 2 CARA PENGHURAIAN LU - DOOLITTLE (LU DECOMPOSITION - DOOLITTLE METHOD)
Merupakan kaedah-kaedah penyelesaian sistem persamaan serentak linear menggunakan pendekatan matriks dala
mengeluarkan rumusan-rumusan atau formula-formula yang membolehkan penyelesaian persamaan serentak linear mela
kaedah berangka.
Dalam aljabar matriks, di bawah syarat-syarat tertentu, suatu matriks boleh dihuraikan sebagai hasil darab LU dengan
(Lower), satu matriks segitiga bawah dan U (Upper), satu matriks segitiga atas.
Untuk matriks A berperingkat 3 x 3, huraian LU boleh ditunjukkan sebagai:
33
2322
131211
333231
2221
11
333231
232221
131211
00
00
00
u
uu
uuu
lll
ll
l
aaa
aaa
aaa
A L U
Contoh
Selesaikan set tiga persamaan serentak berikut:
x1 + 3x2 + 3x3 = 4
2x1 3x2 2x3 = 2
3x1 + x2 + 2x3 = 5
Penyelesaian
Langkah 1: Tukar persamaan dalam bentuk matriks
213
232
331
3
2
1
x
x
x
=
5
2
4
A X B
Langkah 2: Tukarkan kepada matriks segitiga bawah, L (lower) & matriks segitiga atas, U (upper), kemudian jadikan persamaan A
LU
A L U
33
2322
131211
333231
2221
11
00
00
00
213
232
331
u
uu
uuu
lll
ll
l
Langkah 3: Letakkan nilai 1 di setiap pepenjuru utama L
33
2322
131211
3231
21
00
0
1
01
001
213
232
331
u
uu
uuu
ll
l
Segitiga bawah
Gantikan nilai 1 di sini
8/6/2019 Numerical (5.1)
6/10
6
Langkah 4: Darabkan matriks LU (hasil tambah LU di bawah adalah sama bagi setiap cara Doolittle)
213
232
331
=
3323321331223212311131
2313212212211121
131211
uululululul
uuluulul
uuu
A LU
Langkah 5: Cari nilai L dan U dengan membandingkan nilai di A. Bandingkan nilai dari satu baris ke baris seterusnya @ dari satu
lajur ke lajur seterusnya
Penyelesaian dari baris ke baris
Baris 1:
1 banding u11 1=11u 111 u
3 banding u12 3=12u 312 u
3 banding u13
u13 = 3 3
13u
Baris 2:
2 banding l21u11 l21u11 = 2
l21 x (1) = 2 l21 = 2
-3 banding l21u12 + u22 l21u12 + u22 = -3
2(3) + u22 = -3 u22 = -9
-2 banding l21u13 + u23 l21u13 + u23 = -2
2(3) + u23 = -2 u23 = -8
Baris 3:
3 banding l31u11 l31u11 = 3
l31 x 1 = 3 l31 = 3
1 banding l31u12 + l32u22 l31u12 + l32u22 = 1
[3x3] + [l32 x (-9)] = 1 l32 = 0.889
2 banding l31u13 + l32u23 + u33 l31u13 + l32u23 + u33 = 2
[3x3] + [ 9
8
x -8] + u33 = 2 u33 = 0.111
Langkah 6: Binakan matriks L dan U yang baru setelah menggantikan nilai dari langkah 5
L =
1889.03
012
001
dan U =
111.000
890
331
8/6/2019 Numerical (5.1)
7/10
7
tukar
tukar
Langkah 7: Bina persamaan baru menggunakan rumus Ly = B dan tukarkan matriks di bawah ke dalam bentuk persamaan
1889.03
012
001
3
2
1
y
y
y
=
5
2
4
321
21
1
889.03
2
yyy
yy
y
=
5
2
4
L y B
Langkah 8: Dapatkan nilai y1, y2 dan y3. Selesaikan y1 terlebih. Kemudian diikuti y2 dan y3
Nilai y1 : Nilai y2 : (ganti nilai y1 )
41 y 22 21 yy
2 (4) + y2= 2
y2 = -6
Nilai y3 : (ganti nilai y1 dan y2)
5889.03 321 yyy
3 (4) + 0.889 (-6) + y3 = 5
y3 = -1.666
Maka y =
3
2
1
y
y
y
=
666.1
6
4
Langkah 9: Bina persamaan matriks baru guna rumus Ux = y dan tukar matriks di bawah ke bentuk persamaan
111.000
890
331
3
2
1
x
x
x
=
666.1
6
4
3
32
321
112.0
89
33
x
xx
xxx
=
666.1
6
4
U x y
Langkah 10: Dapatkan nilai x1, x2 dan x3. Selesaikan x3 terlebih. Kemudian diikuti x2 dan x1
Nilai x3 : Nilai x2 (ganti nilai x3 ) Nilai x1 :
0.112 x3 = -1.666 -9x2 8x3 = -6 x1 + 3x2 + 3x3 = 4
x3 =112.0
666.1 9x2 8 (-15) = -6 x1 + 3 (14) + 3 (-15) = 4
x3 = -15 x2 = 14 x1 = 7
x1 = 7 x2= 1 4 x 3 = - 15
8/6/2019 Numerical (5.1)
8/10
8
Segitiga
atas
100
10
1
0
00
213
232
331
23
1312
333231
2221
11
u
uu
lll
ll
l
5. 1 . 3 CARA PENGHURAIAN LU CROUT (LU DECOMPOSITION CROUT METHOD)
Contoh
Selesaikan set tiga persamaan serentak berikut:
x1 + 3x2 + 3x3 = 4
2x1 3x2 2x3 = 2
3x1 + x2 + 2x3 = 5
Penyelesaian
Langkah 1: Tukar persamaan dalam bentuk matriks
213
232
331
3
2
1
x
x
x
=
5
2
4
A X B
Langkah 2: Tukar kepada matriks segitiga bawah, L (lower) & matriks segitiga atas, U (upper), dan buat persamaan A = LU
A L U
33
2322
131211
333231
2221
11
00
00
00
213
232
331
u
uu
uuu
lll
ll
l
Langkah 3: Letakkan nilai 1 di setiap pepenjuru utama u
A L U
Langkah 4: Darabkan matriks LU (hasil tambah LU di bawah adalah sama bagi setiap cara Crout)
213
232
331
=
332332133132123131
2322132122122121
1311121111
lulullull
ulullull
ulull
A LU
Segitiga bawah
Gantikan nilai 1 di sini. Langkah ini berbeza
dari Doolittle kerana Crout menggantikan nilai
1 di pepenjuru L manakala Doolittle
menggantikan nilai 1 di pepenjuru U
8/6/2019 Numerical (5.1)
9/10
9
tukar
Langkah 5: Cari nilai L dan U dengan membandingkan nilai di A. Bandingkan nilai dari satu baris ke baris seterusnya @ dari sat
lajur ke lajur seterusnya
Penyelesaian dari lajur ke lajur
Lajur 1:
1 banding l11 111 l 111 l
2 banding l21 221 l 221 l
3 banding l31 l31 = 3 l31 = 3
Lajur 2:
3 banding l11u12 l11u12 = 3
1 x u12 = 3 u12 = 3
-3 banding l21u12 + l22 l21u12 + l22 = -3
2(3) + l22 = -3 l22 = -9
1 banding l31u12 + l32 l31u12 + l32 = 1
3(3) + l32 = 1 l32 = -8
Lajur 3:
3 banding l11u13 l11u13 = 3
1 x u13 = 3 u13 = 3
-2 banding l21u13 + l22u23 l21u13 + l22u23 = 1
[2x3] + [-9 x u23] = 1 u23 = 0.889
2 banding l31u13 + l32u23 + l33 l31u13 + l32u23 + l33 = 2
[3x3] + [-8 x 0.889] + l33 = 2 l33 = 0.112
Langkah 6: Binakan matriks L dan U yang baru setelah menggantikan nilai dari langkah 5
L =
112.083
092
001
dan U =
100
889.010
331
Langkah 7: Bina persamaan baru menggunakan rumus Ly = B dan tukarkan matriks di bawah ke dalam bentuk persamaan
112.083
092
001
3
2
1
y
y
y
=
5
2
4
321
21
1
112.083
92
yyy
yy
y
=
5
2
4
L y B
8/6/2019 Numerical (5.1)
10/10
10
tukar
Langkah 8: Dapatkan nilai y1, y2 dan y3. Selesaikan y1 terlebih. Kemudian diikuti y2 dan y3
Nilai y1 : Nilai y2 : (ganti nilai y1 ) Nilai y3 : (ganti nilai y1 dan y2)
41 y 292 21 yy 5112.083 321 yyy
2 (4) - 9y2 = 2 3 (4) 8(0.667) + 0.112y3 = 5
y2 = 0.667 y3 = -14.857
Maka y =
3
2
1
y
y
y
=
857.14
667.0
4
Langkah 9: Bina persamaan matriks baru berdasarkan rumus Ux = y dan tukarkan matriks di bawah ke dalam bentuk persamaa
100
889.010
331
3
2
1
x
x
x
=
857.14
667.0
4
3
32
321
889.0
33
x
xx
xxx
=
857.14
667.0
4
U x y
Langkah 10: Dapatkan nilai x1, x2 dan x3. Selesaikan x3 terlebih. Kemudian diikuti x2 dan x1
Nilai x3 : Nilai x2 (ganti nilai x3 )
x3 = -14.857 @ -15 x2 + 0.889x3 = 0.667
x2 + 0.889 (15) = 0.667
x2 = 14
Nilai x1 :
x1 + 3x2 + 3x3 = 4
x1 + 3 (14) + 3 (-15) = 4
x1 = 7 x1 = 7 x2= 14 x 3 = - 15
LATIHAN 5b
Selesaikan persamaan berikut menggunakan kaedah Doolittle
1. 6x1 + 3x2 + x3 = 4 2. 2x1 x2 4x3 = 8
4x1 2x2 3x3 = 2 x1 5x2 9x3 = -9
3x1 7x2 + 3x3 = 5 7x1 2x2 + 3x3 = 3
3. 3x1 2x2 + 3x3 = 23 4. 7x + 4y + 3z = 26
x1 + 4x2 + x3 = 17 6x + 11y = 60
2x1 + x2 + 3x3 = 2 4x + 6y +12z = 68
Top Related