MAKALAH
LOGIKA MATEMATIKA
Diajukan sebagai salah satu Ujian Akhir Semester (UAS)
Mata Kuliah: Bahasa Indonesia
Dosen Pengampu: Indrya Mulyaningsih, M.Pd.
Di Susun oleh :
Nur Aliyah
(141211520521)
Tarbiyah MTK C/SMT 2
INSITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN)
SYEKH NUR JATI CIREBON
2013
Jl.Perjuangan By Pass (0231) 48024
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Ilmu Matematika kini telah berkembang pesat. Bukan hanya sebatas hitung
menghitung yang menggunakan skala statistik, nilai, angka-angka real, kalkulus
dan peluang. Akan tetapi, perkembangan Ilmu Matematika juga terjadi didasarkan
pada penalaran-penalaran yang logis atas sistem matematis. Para ahli matematika
melakukan penalaran atas realita kehidupan nyata yang dirasakan langsung oleh
manusia. Penalaran ini dalam bahasa matematika disebut “Logika Matematika”.
Dalam mempelajari logika akan berkenalan dengan penalaran, yang
diartikan sebagai penarikan kesimpulan dalam sebuah argumen. Logika juga
merupakan suatu aktivitas manusia yang berkaitan dengan penggunaan akal dan
pikiran sehingga menghasilkan suatu penalaran dengan kebenaran-kebenaran yang
dapat dibuktikan secara matematis, tanpa perhitungan melalui angka atau dengan
statistik. Tetapi dapat diuji dan masuk akal akan kebenarannya.
B. Rumusan Masalah
1. Apa yang dimaksud Logika?
2. Seperti apa pernyataan dalam Logika?
3. Macam-macam Operasi Biner?
C. Tujuan
1. Mengetahui tentang Logika dan pernyataan-pernyataannya.
2. Mengerti pembuktian Operasi Biner.
BAB II
PEMBAHASAN
A. Pengertian Logika
Secara etimologis, istilah logika berasal dari kata “logos” (Yunani) yang
berarti kata, ucapan, fikiran secara utuh, atau bisa juga mengandung makna ilmu
pengetahuan. Dalam arti luas logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip
yang dapat memisahkan secar tepat antara penalaran yang benar dengan penalaran
yang salah1. Penalaran (reasoning) adalah suatu bentuk pemikiran yang masuk
akal.
Logika pertama kali dikembangkan oleh filusuf Yunani, Aristoteles,
sekitar 2300 tahun yang lalu. Saat ini logika mempunyai aplikasi yang luas di
dalam ilmu komputer, misalnya dalam bidang pemrograman, analisis kebenaran
algoritma, kecerdasan buatan (artificial intelligence), perancangan komputer, dan
sebagainya (Rinaldi Munir, 2012:2),.
Dalam Logika Matematika, akan mempelajari dan meneliti apakah sebuah
penalaran yang kita lakukan itu tepat atau tidak. Untuk dapat berfikir dengan tepat
(correct), logika memberikan sejumlah aturan-aturan atau kaidah-kaidah yang
harus diperhatikan agar kesimpulan yang diperoleh hasilnya akan tepat.
B. Pernyataan (Statement) dan Negasi
Sebuah pernyataan harus dibedakan dari kalimat biasa. Tidak semua
kalimat termasuk pernyataan. Kalimat biasa bisa merupakan sebuah perintah ,
pernyataan, kalimat yang kabur pengertiannya, atau kalimat yang mempunyai arti
ganda. Pernyataan diartikan sebagai kalimat Matematika tertutup yang benar atau
yang salah, tapi tidak kedua-duanya dalam saat yang sama2.
Pernyataan-pernyataan biasanya dinyatakan dengan huruf-huruf kecil
seperti: p, q, r....
1 Yaya S. Kusumah, Logika Matematika Elementer, Bandung: Tarisno, 1986, halaman 12 Ibid., halaman 3
Benar atau tidaknya sebuah pernyataan (statement) disebut nilai
kebenaran, misalnya:
1. 45 x 2 = 90, dinyatakan dengan p.
2. Bali terletak di Pulau Jawa, dinyatakan dengan q.
3. Taruhlah buku itu!
4. Berapa kaki kambing?
5. Manusia pasti akan mati, dinyatakan dengan r
6. Hati-hati menyebrang!
Jadi, 1, 2 dan 5 adalah sebuah pernyataan-pernyataan dimana p benar, q
salah, dan r benar, sedangkan pernyataan-pernyataan 3, 4 dan 6 bukanlah sebuah
pernyataan karena tidak ada satu pun yang benar atau pun salah.
Dari suatu pernyataan dapat dibuat suatu pernyataan yang mengingkari
pernyataan tersebut. Pernyataan yang mengingkari suatu pernyataan yang bernilai
benar adalah pernyataan yang bernilai salah dan sebaliknya. Pernyataan yang
mengingkari pernyataan tersebut disebut dengan negasi atau ingkaran.
Negasi dari suatu pernyataan p adalah pernyataan yang dinotasikan ~p, dan
bernilai benar jika pernyataan p bernilai salah, dan bernilai salah jika pernyataan p
bernilai benar.3
Contoh:
p : Jakarta berada di Pulau Jawa
~p : Jakarta bukan/tidak berada di Pulau Jawa
3 A. Saepul Hamdi, dkk, Matematika 1 Edisi Pertam,. Surabaya: LAPIS-PGMI, 2008, Paket 4 halaman 8
Nilai kebenaran dari suatu pernyataan dan negasinya dapat dinyatakan
dalam tabel berikut ini.
Tabel 1
p q
B S
S B
C. Operasi Biner
Operasi biner adalah operasi yang berkenaan dengan dua unsur. Dalam
Logika Matematika operasi biner berkenaan dengan dua pernyataan4.
Ada 4 (empat) macan operasi biner yang akan di pelajari yaitu:
1. Konjungsi (Conjunction)
Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan tunggal sehingga menjadi
pernyataan majemuk (compound statement) dengan kata hubung “dan”. Kalau
tersebut dinotasikan dengan "∧”. Konjungsi antara pernyataan p dan q dinyatakan
dengan p ∧ q. Pernyataan p dan q masing-masing dinamakan konjung-konjung5.Contoh :
1) p : Ariel anak yang rajin
q : Ariel anak yang pintar
p ∧ q : Ariel anak yang rajin dan pintar
2) p : Bujur sangkar termasuk poligon
q : Jajaran genjang termasuk poligon
p ∧ q : Bujur sangkar dan jajaran genjang termasuk poligon
4 Yaya S. Kusumah, op.cit., halaman 55 Ibid
Konjungsi dari pernyataan p dan q bernilai benar, apabila komponen-
komponen pembentukannya bernilai benar. Sebaliknya bernilai salah, apabila
salah satu komponen baik p atau q bernilai salah atau kedua-duanya. Hal ini dapat
dinyatakan dengan tabel kebenaran berikut ini.
Tabel 2
p q p ∧ q
B B B
B S S
S B S
S S S
Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa pernyataan konjungsi akan
bernilai benar apabila p itu bernilai benar dan q juga bernilai benar. Jika tidak
demikian berarti bernilai salah.
Kata penghubung konjungsi selain “dan” dapat pula diganti dengan kata-
kata lain yang mempunyai arti sepadan atau sejajar dengan “dan” diantaranya
“tetapi, walaupun, sedangkan dan lagi pula” misalnya:
1) Azkiya anak yang cantik, tetapi tidak sombong.
Artinya: Azkiya anak yang cantik dan tidak sombong.
2) Walaupun sering dihina, tetapi Yono tidak pernah marah.
Artinya: Yono sering dihina dan tidak pernah marah.
2. Disjungsi (Disjunction)
Suatu pernyataan majemuk yang terdiri dari dua pernyataan tunggal yang
dihubungkan dengan kata “atau” yang dinotasikan “V”. Konjungsi antara
pernyataan p dan q dinyatakan dengan p V q. Pernyataan p dan q masing-masing dinamakan disjung-disjung6.Suatu pernyataan apabila salah satunya benar, maka pernyataan disjungsi
benar, jika tidak demikian bernilai salah.
Contoh :
p : Uki anak yang pandai
q : Uki anak yang pintar
p V q : Uki anak yang pandai atau pintar
Pernyataan Uki anak yang pandai atau pintar berarti Uki anak yang pandai
atau pintar atau kedua-duanya yaitu anak yang pandai dan pintar.
Disjungsi dari pernyataan bernilai benar apabila salah satu dari
kedua pernyataan tersebut bernilai benar. Hal itu dapat dinyatakan dalam bentuk
tabel berikut ini .
Tabel 3
6 Ibid., halaman 6
p q p V qB B B
B S B
S B B
S S S
Dari tabel di atas dapat kita ketahui bahwa nilai kebenaran (B) dari suatu
pernyataan disjungsi diperoleh apabila salah satu dari komponennya bernilai
benar, tetapi apabila keduanya bernilai salah maka pernyataan disjungsinya salah.
3. Implikasi (Implication)
Pernyataan yang mengandung bentuk “Jika p maka q”7. Hal ini
dinotasikan dengan “p ® q. Pada pernyataan tersebut p dinamakan anteseden,
sedangkan q dinamakan konsekuen.
Suatu pernyataan apabila p benar, q salah bernilai salah. Bila tidak
demikian bernilai benar. Jadi pernyataan p ® q terjadi pernyataan salah, hanya
karena p benar, q salah.
Contoh dalam kalimat yaitu :
p : Pak Lukman adalah seorang haji
q : Pak Lukman adalah seorang Muslim
p ® q : Jika Pak Lukman adalah seorang haji, maka ia adalah seorang Muslim
Pernyataan implikasi p ® q bernilai benar atau salah dapat dilihat pada
tabel berikut ini.
Tabel 4
7 Ibid., 7
p q p ® qB B B
B S S
S B B
S S B
Implikasi p ® q dapat dibaca dengan beberapa cara, antara lain
a) Jika p maka q
b) p berimplikasi q
c) p berakibat q
d) q jika p
e) p syarat cukup bagi q
f) q syarat perlu bagi p
Perlu diingat bahwa penggunaan implikasi tidak diisyaratkan adanya
hubungan sebab akibat (hubungan kausalitas). Oleh karena itu, nilai kebenaran
implikasi hanya ditentukan oleh nilai kebenaran komponen-komponennya.
4. Biimplikasi (Biimplication)
Suatu pernyataan majemuk yang terbentuk “ .... jika dan hanya jika ....”
dinamakan biimplikasi yang dinyatakan dengan notasi p ↔ q (dibaca : p jika dan
hanya jika q ) artinya pernyataan nilai kebenaran akan bernilai benar apabila
antara p dan q komponennya sama, jika berbeda maka bernilai salah. Pernyataan
biimplikasi disebut pula pernyataan bikondisional8. Biimplikasi merupakan bentuk
singkat dari (p ® q) ∧ (p ® q). Hal ini dinyatakan dalam tabel di bawah ini.
Tabel 5
8 Ibid., 8
p q p ↔ q
B B B
B S S
S B S
S S B
Biimplikasi bernilai benar apabila komponen-komponennya memiliki
kebenaran yang sama.
Contoh :
1) p : Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi (B)
q : Ketiga sisi segitiga ABC sama panjang (B)
p ↔ q : Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi jika dan hanya jika Ketiga
sisi segitiga ABC sama panjang (B)
2) p : Anton akan selalu mencintai Alum (B)
q : Alum setia kepada Anton sampai tua (B)
p ↔ q : Anton akan selalu mencintai Alum jika dan hanya jika Alum setia
kepada Anton sampai tua (B)
Mengenai biimplikasi logis, tidak jauh dari implikasi logis yang
merupakan tautologi yaitu suatu nilai logika yang selalu benar. Biimplikasi logis
dilambangkan “↔“. Berikut ini tabel kebenarannya, yaitu biimplikasi logis (p ®
~q) ↔ (q ® ~p).
Tabel 6
p q ~p ~q p ® ~q q ® ~p (p ® ~q) ↔ (q ® ~p)
B B S S S S B
B S S B B B B
S B B S B B B
S S B B B B B
Dalam implikasi terdapat implikasi logis, namun terlebih dahulu akan
diuraikan pengertian teutologi dan kontradiksi.
a. Tautologi
Tautologi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai benar untuk nilai
suatu kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk menentukan atau
membuktikan apakah suatu pernyataan merupakan tautologi. Kita dapat
menggunakan tabel kebenaran berikut ini.
Tabel 7
p q p ∧ q (p ∧ q) ® q
B B B B
B S S B
S B S B
S S S B
Pada kolom terakhir terdapat (p ∧ q) ® q yaitu notasi tautologi yang
terbentuk dari pernyataan “jika (p dan q) maka q”, yang nilai kebenarannya
selalu benar untuk semua komponen-komponennya.
b. Kontradiksi
Kontradiksi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai salah untuk
setiap nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Hal ini merupakan
kebalikan dari tautologi yang tersusun dari komponen “p dan negasi q” (p ∧ ~q), sebagaimana tabel berikut ini :
Tabel 8
p q ~q p ∧ ~q q ∧ (p ∧ ~q)
B B S S S
B S B B S
S B S S S
S S B S S
Kolom terakhir tampak jelas, bahwa semuakomponen bernilai salah.
Oleh karena itu q ∧ (p ∧ ~q) adalah suatu kontradiksi.
c. Implikasi logis
Implikasi logis adalah sutau implikasi yang mempunyai nilai logika
selalu benar untuk nilai kebenaran dari komponennya. Dengan kata lain,
implikasi logis adalah implikasi yang merupakan tautologi yang dilambangkan
dengan “®“
Contoh :
Dengan tabel kebenaran, tunjukan bahwa (p ∧ q) ® (p V q) merupakan
suatu implikasi logis.
Penyelesaian :
Tabel 9
p q p ∧ q p V q (p ∧ q) ® (p V q)
B B B B B
B S S B B
S B S B B
S S S S B
Pada kolom ke lima dalam tabel di atas, tampak bahwa nilai logika (p ∧ q)
® (p V q) selalu benar. Hal ini yang disebut implikasi logis.
D. Pernyataan-pernyataan Ekuivalen
Dua pernyataan disebut ekuivalen satu sama lain secara logis (logically
equivalent) bila nilai kebenaran kedua pernyataan itu sama. Lambang ekuivalen
adalah “”9.
Contoh:
Buktikan bahwa p ® q dan ~p ® ~q adalah dua pernyataan yang ekuivalen.
Jawab:
Akan dibuktikan dengan menggunakan tabel kebenara.
Tabel 10
p q p ® q ~p ~q ~p ® ~q
B B B S S B
B S S S B S
S B B B S B
9 Ibid., 17
S S B B B B
Terbukti bahwa kedua pernyataan di atas adalah pernyatan yang ekuivalen.
E. Konvers, Invers dan Kontraposisi
Pada pernyataan bentuk implikasi mempunyai tentang nilai kebenaran
konvers, invers dan kontraposisi.
a. Konvers dari implikasi p ® q adalah q ® p
b. Invers dari implikasi p ® q adalah ~p ® ~q
c. Kontraposisi dari implikasi p ® q adalah ~q ® ~p
Jadi dapat ditulis juga seperti gambar berikut:
Gambar 1
Contoh:
p : hari ini hujan
q : hari ini berwarna
p ® q : jika hari ini hujan, maka hari ini berwarna.
p ® q Konvers
Invers
~q ® ~pKonvers
InversKontraposisi
~p ® ~q
q ® p
Jadi penulisan konvers, invers dan kontraposisnya seperti:
Konvers : jika hari ini berawan, maka hari ini hujan
Invers : jika hari ini tidak hujan, maka hari ini tidak berawan
Kontraposisi : jika hari ini tidak berawan, maka hari ini tidak hujan
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Logika diartikan sebagai penarikan kesimpulan dalam sebuah argumen
atau pernyataan yang penalaran kebenaran-kebenaran dapat dibuktikan secara
matematis, tanpa perhitungan melalui angka atau dengan statistik. Tetapi dapat
diuji dan masuk akal akan kebenarannya.
Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak
dapat sekaligus keduanya dalam saat yang sama.
Negasi adalah suatu pernyataan p bernilai benar jika pernyataan p bernilai
salah, dan bernilai salah jika pernyataan p bernilai benar. Negasi dinotasikan “~”.
Dalam Logika ini terdapat nacam-macam operasi biner:
1. Konjungsi (Conjunction)
p q p ∧ q
B B B
B S S
S B S
S S S
2. Disjungsi (Disjunction)
p q p V qB B B
B S B
S B B
S S S
3. Implikasi (Implication)
p q p ® qB B B
B S S
S B B
S S B
4. Biimplikasi (Biimplicatio)
p q p ↔ q
B B B
B S S
S B S
S S B
a. Tautologi
Tautologi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai benar
untuk nilai suatu kebenaran dari komponen-komponennya.
b. Kontadiksi
Kontradiksi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai salah
untuk setiap nilai kebenaran dari komponen-komponennya.
c. Implikasi Logis
Implikasi logis adalah sutau implikasi yang mempunyai nilai
logika selalu benar untuk nilai kebenaran dari komponennya.
Bentuk pernyataan implikasi mempunyai konvers, invers dan kontraposisi.
a. Konvers dari implikasi p ® q adalah q ® p
b. Invers dari implikasi p ® q adalah ~p ® ~q
c. Kontraposisi dari implikasi p ® q adalah ~q ® ~p
DAFTAR PUSTAKA
Hamdi, A. Saepul, dkk. 2008 Matematika 1 Edisi Pertama. Surabaya: LAPIS-PGMI
Kusumah, Yaya S. 1986. Logika Matematika Elementer. Bandung: Tarsito
Munir, Rinaldi. 2012. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika
Rachmat, S. 2004. Pengantar Logika Matematika. Jakart: Informatika
Rasyad, Rashidan. 2003. Logika Aljabar Untuk Umum. Jakarta: Grasindo
Top Related