MAKALAH

LOGIKA MATEMATIKA

Diajukan sebagai salah satu Ujian Akhir Semester (UAS)

Mata Kuliah: Bahasa Indonesia

Dosen Pengampu: Indrya Mulyaningsih, M.Pd.

Di Susun oleh :

Nur Aliyah

(141211520521)

Tarbiyah MTK C/SMT 2

INSITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN)

SYEKH NUR JATI CIREBON

2013

Jl.Perjuangan By Pass (0231) 48024

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Ilmu Matematika kini telah berkembang pesat. Bukan hanya sebatas hitung

menghitung yang menggunakan skala statistik, nilai, angka-angka real, kalkulus

dan peluang. Akan tetapi, perkembangan Ilmu Matematika juga terjadi didasarkan

pada penalaran-penalaran yang logis atas sistem matematis. Para ahli matematika

melakukan penalaran atas realita kehidupan nyata yang dirasakan langsung oleh

manusia. Penalaran ini dalam bahasa matematika disebut “Logika Matematika”.

Dalam mempelajari logika akan berkenalan dengan penalaran, yang

diartikan sebagai penarikan kesimpulan dalam sebuah argumen. Logika juga

merupakan suatu aktivitas manusia yang berkaitan dengan penggunaan akal dan

pikiran sehingga menghasilkan suatu penalaran dengan kebenaran-kebenaran yang

dapat dibuktikan secara matematis, tanpa perhitungan melalui angka atau dengan

statistik. Tetapi dapat diuji dan masuk akal akan kebenarannya.

B. Rumusan Masalah

1. Apa yang dimaksud Logika?

2. Seperti apa pernyataan dalam Logika?

3. Macam-macam Operasi Biner?

C. Tujuan

1. Mengetahui tentang Logika dan pernyataan-pernyataannya.

2. Mengerti pembuktian Operasi Biner.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pengertian Logika

Secara etimologis, istilah logika berasal dari kata “logos” (Yunani) yang

berarti kata, ucapan, fikiran secara utuh, atau bisa juga mengandung makna ilmu

pengetahuan. Dalam arti luas logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip

yang dapat memisahkan secar tepat antara penalaran yang benar dengan penalaran

yang salah1. Penalaran (reasoning) adalah suatu bentuk pemikiran yang masuk

akal.

Logika pertama kali dikembangkan oleh filusuf Yunani, Aristoteles,

sekitar 2300 tahun yang lalu. Saat ini logika mempunyai aplikasi yang luas di

dalam ilmu komputer, misalnya dalam bidang pemrograman, analisis kebenaran

algoritma, kecerdasan buatan (artificial intelligence), perancangan komputer, dan

sebagainya (Rinaldi Munir, 2012:2),.

Dalam Logika Matematika, akan mempelajari dan meneliti apakah sebuah

penalaran yang kita lakukan itu tepat atau tidak. Untuk dapat berfikir dengan tepat

(correct), logika memberikan sejumlah aturan-aturan atau kaidah-kaidah yang

harus diperhatikan agar kesimpulan yang diperoleh hasilnya akan tepat.

B. Pernyataan (Statement) dan Negasi

Sebuah pernyataan harus dibedakan dari kalimat biasa. Tidak semua

kalimat termasuk pernyataan. Kalimat biasa bisa merupakan sebuah perintah ,

pernyataan, kalimat yang kabur pengertiannya, atau kalimat yang mempunyai arti

ganda. Pernyataan diartikan sebagai kalimat Matematika tertutup yang benar atau

yang salah, tapi tidak kedua-duanya dalam saat yang sama2.

Pernyataan-pernyataan biasanya dinyatakan dengan huruf-huruf kecil

seperti: p, q, r....

1 Yaya S. Kusumah, Logika Matematika Elementer, Bandung: Tarisno, 1986, halaman 12 Ibid., halaman 3

Benar atau tidaknya sebuah pernyataan (statement) disebut nilai

kebenaran, misalnya:

1. 45 x 2 = 90, dinyatakan dengan p.

2. Bali terletak di Pulau Jawa, dinyatakan dengan q.

3. Taruhlah buku itu!

4. Berapa kaki kambing?

5. Manusia pasti akan mati, dinyatakan dengan r

6. Hati-hati menyebrang!

Jadi, 1, 2 dan 5 adalah sebuah pernyataan-pernyataan dimana p benar, q

salah, dan r benar, sedangkan pernyataan-pernyataan 3, 4 dan 6 bukanlah sebuah

pernyataan karena tidak ada satu pun yang benar atau pun salah.

Dari suatu pernyataan dapat dibuat suatu pernyataan yang mengingkari

pernyataan tersebut. Pernyataan yang mengingkari suatu pernyataan yang bernilai

benar adalah pernyataan yang bernilai salah dan sebaliknya. Pernyataan yang

mengingkari pernyataan tersebut disebut dengan negasi atau ingkaran.

Negasi dari suatu pernyataan p adalah pernyataan yang dinotasikan ~p, dan

bernilai benar jika pernyataan p bernilai salah, dan bernilai salah jika pernyataan p

bernilai benar.3

Contoh:

p : Jakarta berada di Pulau Jawa

~p : Jakarta bukan/tidak berada di Pulau Jawa

3 A. Saepul Hamdi, dkk, Matematika 1 Edisi Pertam,. Surabaya: LAPIS-PGMI, 2008, Paket 4 halaman 8

Nilai kebenaran dari suatu pernyataan dan negasinya dapat dinyatakan

dalam tabel berikut ini.

Tabel 1

p q

B S

S B

C. Operasi Biner

Operasi biner adalah operasi yang berkenaan dengan dua unsur. Dalam

Logika Matematika operasi biner berkenaan dengan dua pernyataan4.

Ada 4 (empat) macan operasi biner yang akan di pelajari yaitu:

1. Konjungsi (Conjunction)

Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan tunggal sehingga menjadi

pernyataan majemuk (compound statement) dengan kata hubung “dan”. Kalau

tersebut dinotasikan dengan "∧”. Konjungsi antara pernyataan p dan q dinyatakan

dengan p ∧ q. Pernyataan p dan q masing-masing dinamakan konjung-konjung5.Contoh :

1) p : Ariel anak yang rajin

q : Ariel anak yang pintar

p ∧ q : Ariel anak yang rajin dan pintar

2) p : Bujur sangkar termasuk poligon

q : Jajaran genjang termasuk poligon

p ∧ q : Bujur sangkar dan jajaran genjang termasuk poligon

4 Yaya S. Kusumah, op.cit., halaman 55 Ibid

Konjungsi dari pernyataan p dan q bernilai benar, apabila komponen-

komponen pembentukannya bernilai benar. Sebaliknya bernilai salah, apabila

salah satu komponen baik p atau q bernilai salah atau kedua-duanya. Hal ini dapat

dinyatakan dengan tabel kebenaran berikut ini.

Tabel 2

p q p ∧ q

B B B

B S S

S B S

S S S

Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa pernyataan konjungsi akan

bernilai benar apabila p itu bernilai benar dan q juga bernilai benar. Jika tidak

demikian berarti bernilai salah.

Kata penghubung konjungsi selain “dan” dapat pula diganti dengan kata-

kata lain yang mempunyai arti sepadan atau sejajar dengan “dan” diantaranya

“tetapi, walaupun, sedangkan dan lagi pula” misalnya:

1) Azkiya anak yang cantik, tetapi tidak sombong.

Artinya: Azkiya anak yang cantik dan tidak sombong.

2) Walaupun sering dihina, tetapi Yono tidak pernah marah.

Artinya: Yono sering dihina dan tidak pernah marah.

2. Disjungsi (Disjunction)

Suatu pernyataan majemuk yang terdiri dari dua pernyataan tunggal yang

dihubungkan dengan kata “atau” yang dinotasikan “V”. Konjungsi antara

pernyataan p dan q dinyatakan dengan p V q. Pernyataan p dan q masing-masing dinamakan disjung-disjung6.Suatu pernyataan apabila salah satunya benar, maka pernyataan disjungsi

benar, jika tidak demikian bernilai salah.

Contoh :

p : Uki anak yang pandai

q : Uki anak yang pintar

p V q : Uki anak yang pandai atau pintar

Pernyataan Uki anak yang pandai atau pintar berarti Uki anak yang pandai

atau pintar atau kedua-duanya yaitu anak yang pandai dan pintar.

Disjungsi dari pernyataan bernilai benar apabila salah satu dari

kedua pernyataan tersebut bernilai benar. Hal itu dapat dinyatakan dalam bentuk

tabel berikut ini .

Tabel 3

6 Ibid., halaman 6

p q p V qB B B

B S B

S B B

S S S

Dari tabel di atas dapat kita ketahui bahwa nilai kebenaran (B) dari suatu

pernyataan disjungsi diperoleh apabila salah satu dari komponennya bernilai

benar, tetapi apabila keduanya bernilai salah maka pernyataan disjungsinya salah.

3. Implikasi (Implication)

Pernyataan yang mengandung bentuk “Jika p maka q”7. Hal ini

dinotasikan dengan “p ® q. Pada pernyataan tersebut p dinamakan anteseden,

sedangkan q dinamakan konsekuen.

Suatu pernyataan apabila p benar, q salah bernilai salah. Bila tidak

demikian bernilai benar. Jadi pernyataan p ® q terjadi pernyataan salah, hanya

karena p benar, q salah.

Contoh dalam kalimat yaitu :

p : Pak Lukman adalah seorang haji

q : Pak Lukman adalah seorang Muslim

p ® q : Jika Pak Lukman adalah seorang haji, maka ia adalah seorang Muslim

Pernyataan implikasi p ® q bernilai benar atau salah dapat dilihat pada

tabel berikut ini.

Tabel 4

7 Ibid., 7

p q p ® qB B B

B S S

S B B

S S B

Implikasi p ® q dapat dibaca dengan beberapa cara, antara lain

a) Jika p maka q

b) p berimplikasi q

c) p berakibat q

d) q jika p

e) p syarat cukup bagi q

f) q syarat perlu bagi p

Perlu diingat bahwa penggunaan implikasi tidak diisyaratkan adanya

hubungan sebab akibat (hubungan kausalitas). Oleh karena itu, nilai kebenaran

implikasi hanya ditentukan oleh nilai kebenaran komponen-komponennya.

4. Biimplikasi (Biimplication)

Suatu pernyataan majemuk yang terbentuk “ .... jika dan hanya jika ....”

dinamakan biimplikasi yang dinyatakan dengan notasi p ↔ q (dibaca : p jika dan

hanya jika q ) artinya pernyataan nilai kebenaran akan bernilai benar apabila

antara p dan q komponennya sama, jika berbeda maka bernilai salah. Pernyataan

biimplikasi disebut pula pernyataan bikondisional8. Biimplikasi merupakan bentuk

singkat dari (p ® q) ∧ (p ® q). Hal ini dinyatakan dalam tabel di bawah ini.

Tabel 5

8 Ibid., 8

p q p ↔ q

B B B

B S S

S B S

S S B

Biimplikasi bernilai benar apabila komponen-komponennya memiliki

kebenaran yang sama.

Contoh :

1) p : Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi (B)

q : Ketiga sisi segitiga ABC sama panjang (B)

p ↔ q : Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi jika dan hanya jika Ketiga

sisi segitiga ABC sama panjang (B)

2) p : Anton akan selalu mencintai Alum (B)

q : Alum setia kepada Anton sampai tua (B)

p ↔ q : Anton akan selalu mencintai Alum jika dan hanya jika Alum setia

kepada Anton sampai tua (B)

Mengenai biimplikasi logis, tidak jauh dari implikasi logis yang

merupakan tautologi yaitu suatu nilai logika yang selalu benar. Biimplikasi logis

dilambangkan “↔“. Berikut ini tabel kebenarannya, yaitu biimplikasi logis (p ®

~q) ↔ (q ® ~p).

Tabel 6

p q ~p ~q p ® ~q q ® ~p (p ® ~q) ↔ (q ® ~p)

B B S S S S B

B S S B B B B

S B B S B B B

S S B B B B B

Dalam implikasi terdapat implikasi logis, namun terlebih dahulu akan

diuraikan pengertian teutologi dan kontradiksi.

a. Tautologi 

Tautologi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai benar untuk nilai

suatu kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk menentukan atau

membuktikan apakah suatu pernyataan merupakan tautologi. Kita dapat

menggunakan tabel kebenaran berikut ini.

Tabel 7

p q p ∧ q (p ∧ q) ® q

B B B B

B S S B

S B S B

S S S B

Pada kolom terakhir terdapat (p ∧ q) ® q yaitu notasi tautologi yang

terbentuk dari pernyataan “jika (p dan q) maka q”, yang nilai kebenarannya

selalu benar untuk semua komponen-komponennya.

b. Kontradiksi 

Kontradiksi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai salah untuk

setiap nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Hal ini merupakan

kebalikan dari tautologi yang tersusun dari komponen “p dan negasi q” (p ∧ ~q), sebagaimana tabel berikut ini :

Tabel 8

p q ~q p ∧ ~q q ∧ (p ∧ ~q)

B B S S S

B S B B S

S B S S S

S S B S S

Kolom terakhir tampak jelas, bahwa semuakomponen bernilai salah.

Oleh karena itu q ∧ (p ∧ ~q) adalah suatu kontradiksi.

c. Implikasi logis

Implikasi logis adalah sutau implikasi yang mempunyai nilai logika

selalu benar untuk nilai kebenaran dari komponennya. Dengan kata lain,

implikasi logis adalah implikasi yang merupakan tautologi yang dilambangkan

dengan “®“

Contoh :

Dengan tabel kebenaran, tunjukan bahwa (p ∧ q) ® (p V q) merupakan

suatu implikasi logis.

Penyelesaian :

Tabel 9

p q p ∧ q p V q (p ∧ q) ® (p V q)

B B B B B

B S S B B

S B S B B

S S S S B

Pada kolom ke lima dalam tabel di atas, tampak bahwa nilai logika (p ∧ q)

® (p V q) selalu benar. Hal ini yang disebut implikasi logis.

D. Pernyataan-pernyataan Ekuivalen

Dua pernyataan disebut ekuivalen satu sama lain secara logis (logically

equivalent) bila nilai kebenaran kedua pernyataan itu sama. Lambang ekuivalen

adalah “”9.

Contoh:

Buktikan bahwa p ® q dan ~p ® ~q adalah dua pernyataan yang ekuivalen.

Jawab:

Akan dibuktikan dengan menggunakan tabel kebenara.

Tabel 10

p q p ® q ~p ~q ~p ® ~q

B B B S S B

B S S S B S

S B B B S B

9 Ibid., 17

S S B B B B

Terbukti bahwa kedua pernyataan di atas adalah pernyatan yang ekuivalen.

E. Konvers, Invers dan Kontraposisi

Pada pernyataan bentuk implikasi mempunyai tentang nilai kebenaran

konvers, invers dan kontraposisi.

a. Konvers dari implikasi p ® q adalah q ® p

b. Invers dari implikasi p ® q adalah ~p ® ~q

c. Kontraposisi dari implikasi p ® q adalah ~q ® ~p

Jadi dapat ditulis juga seperti gambar berikut:

Gambar 1

Contoh:

p : hari ini hujan

q : hari ini berwarna

p ® q : jika hari ini hujan, maka hari ini berwarna.

p ® q Konvers

Invers

~q ® ~pKonvers

InversKontraposisi

~p ® ~q

q ® p

Jadi penulisan konvers, invers dan kontraposisnya seperti:

Konvers : jika hari ini berawan, maka hari ini hujan

Invers : jika hari ini tidak hujan, maka hari ini tidak berawan

Kontraposisi : jika hari ini tidak berawan, maka hari ini tidak hujan

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Logika diartikan sebagai penarikan kesimpulan dalam sebuah argumen

atau pernyataan yang penalaran kebenaran-kebenaran dapat dibuktikan secara

matematis, tanpa perhitungan melalui angka atau dengan statistik. Tetapi dapat

diuji dan masuk akal akan kebenarannya.

Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak

dapat sekaligus keduanya dalam saat yang sama.

Negasi adalah suatu pernyataan p bernilai benar jika pernyataan p bernilai

salah, dan bernilai salah jika pernyataan p bernilai benar. Negasi dinotasikan “~”.

Dalam Logika ini terdapat nacam-macam operasi biner:

1. Konjungsi (Conjunction)

p q p ∧ q

B B B

B S S

S B S

S S S

2. Disjungsi (Disjunction)

p q p V qB B B

B S B

S B B

S S S

3. Implikasi (Implication)

p q p ® qB B B

B S S

S B B

S S B

4. Biimplikasi (Biimplicatio)

p q p ↔ q

B B B

B S S

S B S

S S B

a. Tautologi

Tautologi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai benar

untuk nilai suatu kebenaran dari komponen-komponennya.

b. Kontadiksi

Kontradiksi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai salah

untuk setiap nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

c. Implikasi Logis

Implikasi logis adalah sutau implikasi yang mempunyai nilai

logika selalu benar untuk nilai kebenaran dari komponennya.

Bentuk pernyataan implikasi mempunyai konvers, invers dan kontraposisi.

a. Konvers dari implikasi p ® q adalah q ® p

b. Invers dari implikasi p ® q adalah ~p ® ~q

c. Kontraposisi dari implikasi p ® q adalah ~q ® ~p

DAFTAR PUSTAKA

Hamdi, A. Saepul, dkk. 2008 Matematika 1 Edisi Pertama. Surabaya: LAPIS-PGMI

Kusumah, Yaya S. 1986. Logika Matematika Elementer. Bandung: Tarsito

Munir, Rinaldi. 2012. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika

Rachmat, S. 2004. Pengantar Logika Matematika. Jakart: Informatika

Rasyad, Rashidan. 2003. Logika Aljabar Untuk Umum. Jakarta: Grasindo