8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
1/34
Ruang-ruang Vektor Umum
Adhi Kusuma Fothera 130210013
Whismanto 130210019Hendry 130210026
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
2/34
Aksioma Ruang Vektor
Anggap Vadalah sebarang himpunan tak-kosong dari objek dimana dua operasi didefinisikan yaitu penjumlahan dan perkalian
dengan scalar ( bilangan ).Yang kami maksud dengan
penjumlahan adalah suatu aturan yang menghubungkan setiap
pasangan objek u dan v dalam Vdengan suatu objek u + v, yangdisebut sebagai jumlah u dan v, yang dimaksud dengan perkalian
skalar adalah suatu aturan yang menghubungkan setiap scalar k
dan setiap objek u dalam V dengan objek ku, yang disebut
perkalian skalar dari u dengan k. Jika aksioma berikut ini
dipenuhi oleh semua objek u, v, w dalam Vdan semua skala k
dan l, maka disebut Vsebagai ruang vektor dan disebut objek
dalam Vsebagai vektor.
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
3/34
Jika u dan v adalah ojekobjek dalam V, maka u + v berada dalam
V.
u + v = v + u
u + (v + w) = (u + v) + w
Ada suatu objek 0 dan V, yang disebut suatu vector nol untuk V,
sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u dalam V.
Untuk setiap u dalam V, ada suatu objeku daam V, yang disebut
negatif dari u, sedemikian sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0
Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang objek dalam V,
maka ku ada dalam V.
k(u + v) = ku + kv
(k + l)u = ku + lu k(lu) = (kl)u
lu = u
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
4/34
Beberapa Sifat Vektor
Anggap V adalah suatu ruang vektor u suatu vektor
dalam V, dan k suatu skalar; maka:
0u = 0
K0 = 0
(-1)u = -u
Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
5/34
Subruang (Subspace)
Definisi suatu himpunan bagian w dari suatu ruang vektor V
disebut suatu sub-ruang dari V jika W sendiri adalah suatu
ruang vector dibawah penjumlahan dan perkalian scalar yang
didefinisikan pada V.
Teorema : Jika W adalah suatu himpunan satu atau lebih
vector dari ruang vector V, maka W adalah suatu sub-ruangdari V jika dan hanya jika syarat syarat berikut ini terpenuhi.
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
6/34
Jika u dan v adalah vectorvector dalam W,
maka u + v ada dalam V.
Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah
sembarang vektor dalam W, maka ku ada
dalam W.
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
7/34
Ruangruang Penyelesaian untuk
systemsystem Homogen
Teorema : Jika Ax= 0 Adalah suatu system linear homogen dari m
persamaan dalam n peubah, maka himpunan vektor penyelesaiannya
adalah suatu sub-ruang dari Rn.
Bukti: Anggap W adalah himpunan vektor penyelesaian. Paling tidak ada
satu vector dalam W, yaitu 0. Untuk menunjukkan bahwa W tertututp
terhadap penjumlahan dan perkalian scalar, kita harus menunjukkan
bahwa jika x dan x adalah sebarang vektorvektor penyelesaian dan k
adalah sebarang skalar, maka x + x dan k x juga merupakan vektorvektor
penyelesaian. Tetapi jika x dan x adalah vektorvektor penyelesaian,maka Ax = 0 dan Ax=0
Didapatkan bahwa:A(x + x) =Ax +Ax = 0 + 0 = 0 danA(kx) = kAx = k0 = 0 .
Yang membuktikan bahwa x + x dan kx dan vektorvektor penyelesaian.
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
8/34
Kombinasi Linear
Definisi Suatu vektor w disebut suatu kombinasi linear
dari vector-vektor v1,v2,v,jika bisa dinyatakan dalam
bentuk w=k1v1+ k2v2+ .+ krvr dengan k1,k2,,kr
adalah skalar. Jika r = 1, maka persamaan dalam definisi
di atas menjadi w= k1v1; yaitu,w adalah suatu, w adalah
suatu kombinasi linear dari suatu vektor tunggal v1jika
w adalah suatu pengandaan skala dari v1.
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
9/34
Rentang
Teorema berikut ini menunjukkan bahwa jika
menyusun suatu himpunan W yang terdiri dari suatu
vektor-vektor yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi
dari v1,v2,v, itu, maka W membentuk suatu sub-ruang
dari V. Torema jika v1,v2,v, adalah vektor-vektor dalamsuatu ruang vector V, maka
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
10/34
Himpunan W semua kombinasi linear dari
v1,v2,v, merupakan suatu sub-ruang dari
v1,v2,v,.
W adalah sub-ruang terkecil dari V yang berisi
v1,v2,v, dalam pengertian bahwa setiap sub-
ruang lain dari V yang berisi v1,v2,v, pasti
mengandung W.
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
11/34
Kebebasan Linear
Definisi : Jika S={v1,v2,...,vr} adalah himpunan vektor tak
nol, maka :
k1v1+ k2v2+ .+ krvr= 0
hanya mempunyai satu solusi yaitu k1= 0 , k2= 0, ... , kr=
0 (SPL homogen tersebut memiliki solusi trivial), maka S
disebut himpunan yang bebas linear. Bila ada solusi lain,
dinamakan himpunan bergantung linear.
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
12/34
Contoh :
Buktikan jika v1=(2,-1,0,3), v2=(1,2,5,-1), v3=(7,-1,5,8) maka himpunan
vektor-vektor S = {v1,v2,v3} tak bebas secara linear karena 3v1+v2-v3=0
Penyelesian :
B42(3)
B43(-1)
B12(2)
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
13/34
B31(-)
B1(1/5)
B21(-2)
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
14/34
Maka :
k2+k3=0 , k2= - k3
-k1-3k3=0 , -k1=3k3, k1= -3k3
Sehingga : -3k3v1k3v2+ k3v3= 0 (dikali -1)
3v1+v2-v3= 0 Jadi terbukti, v1=(2,-1,0,3), v2=(1,2,5,-1), v3=(7,-
1,5,8) maka himpunan vektor-vektor S = {v1,v2,v3}
tak bebas secara linear karena 3v1+v2-v3=0 atauSPL Homogen k1v1+ k2v2+ k3v3= 0 memiliki solusi
tidak trivial.
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
15/34
Basis untuk sebuah ruang vektor
Teorema: Jika = , , , adalah
suatu basis untuk suatu ruang vektor , maka
setiap vektor dalam bisa dinyatakan
dalam bentuk = + + + dalam tepat satu cara.
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
16/34
Basis Standar Untuk
Contoh: Jika = , , , , , =
, , , , , , = , , , , maka
= , , , adalah himpunan yang bebas
secara linear dalam . Himpunan ini juga
merentangkan karena sebarang vector
= ( , , , )dalam bisa dituliskan
sebagai: = + + +
Jadi, adalah basis untuk , ini disebut basis
standar untuk .
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
17/34
Dimensi
Teorema: Jika adalah suatu ruang vektorberdimensi terhingga dan , , , adalah
sebarang basis, maka:
Setiap himpunan dengan lebih dari n vektoradalah tak bebas secara linear
Tidak ada himpunan dengan vektor yang
kurang dari n yang merentang
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
18/34
Teorema: Semua basis untuk suatu ruang vector
berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor
yang sama.
Teorema: Jika adalah suatu ruang vektorberdimensi , dan jika adalah himpunan dalam
dengan tepat n vektor , maka adalah suatu
basis untuk jika merentang atau bebas
linear.
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
19/34
Teorema:
Jika merentang tetapi bukan merupakan basisuntuk , maka bisa direduksi menjadi suatu basis
untuk dengan menghilangkan vektor yang tepat dari
.
Jika adalah suatu himpunan yang bebas linear tetapi
belum menjadi basis untuk , maka bisa diperbesar
menjadi basis untuk dengan menyelipkan vektor
vektor yang tepat ke dalam .
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
20/34
Contoh:
+
+
=
+ + =
+ =
+ + =
Tentukan basis dan dimensinya!
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
21/34
5.3 Kebebasan Linear
BEBAS DAN BERGANTUNG LINEAR
DEFINISI
Jika S = {v1, v2, v3, ,vn} adalah himpunan vectorsedemikian sehingga:
k1v1+ k2v2+ + knvn= 0 maka S = {v1, v2, v3,..., vn}disebut :
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
22/34
Bebas linier apabila skalar-skalar k1, k2,,kn
semuanya nol.
Bergantung linier apabila skalar-skalar k1, k2,
k3,, kn tidak semuanya nol.
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
23/34
CONTOH BEBAS LINEAR
Diketahui S = {i, j, k}, dimana i = (1, 0, 0),
j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) pada R3.Tentukan apakah S bebas linear.
Jawab :
k1i + k2j +k3k = 0
Jadi persamaan dipenuhi bila k1= 0, k2= 0 dan k3= 0
sehingga S = {i, j, k} bebas linier.
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
24/34
CIRI-CIRI BEBAS DAN BERGANTUNG LINEAR :
Himpunan vector S bebas linier jika system
persamaan linier hanya mempunyaipenyelesaian trivial (nol).
Himpunan vector S bergantung linier jika
system persamaan linier mempunyaipersamaan non trivial.
Vektor S merupakan bebas linear apabila :
1. Matrik tersebut det(S) 0.
2. Ketiga vector tersebut mempunyai invers(sehingga dapat dibalik)
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
25/34
5.4 Basis Dan Dimensi
Misalkan V ruang vektor dan S = { s1, s2,..., sn}.
S disebut basis dari V bila memenuhi dua syarat :
1. S bebas linier
2. S membangun V
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
26/34
Basis dari suatu ruang vektor tidak harus
tunggal, tetapi bisa lebih dari satu.
Ada dua macam basis yang kita kenal yaitu
basis standar dan basis tidak standar
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
27/34
Contoh basis standar :
1. S = { e1, e2,..., en} , dengan e1, e2,..., en Rne1= ( 1,0,...,0) ,e2= ( 0,1,0,...,0 ),..., en= ( 0,0,...,1 )
merupakan basis standar dari Rn
2. S = { 1, x, x2...,xn} merupakan basis standar untuk Pn(polinom orde n)
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
28/34
Contoh Basis tidak standard :
Misal v1 = (1,2,1), v2 = (2,9,0), dan v3 =(3,3,4).
Tunjukkan bahwa himpunan S=(v1,v2,v3)adalah basis untuk R3 .
Dengan syarat:
1. S bebas linier 2. S membangun V
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
29/34
Sebarang vektor b dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linier :b = k1v1 + k2v2 + k3v3
Sistem memiliki pemecahan untuk semua
pilihan b= (b1,b2,b3)
k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
30/34
Contoh soal BAB 5
Tentukan apakah v1= (1,1,2), v2= (1,0,1) dan
v3= (2,1,3) merentang ruang vektor R3!
Buktikan jika v1=(2,-1,0,3), v2=(1,2,5,-1),v3=(7,-1,5,8) maka himpunan vektor-vektor S =
{v1,v2,v3} tak bebas secara linear karena
3v1+v2-v3=0 !
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
31/34
Pembahasan
Penyelesaian :
Kita harus menentukan apakah sembarang vektor b = (b1,b2,b3) dalam R3bisa
dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari v1, v2, dan v3sebagai berikut :
b = k1v1+k2v2+k3v3
Dengan menyatakan persamaan ini dalam bentuk komponen-komponen akan
didapatkan :
(b1,b2,b3) = k1(1,1,2)+k2(1,0,1)+k3(2,1,3)
(b1,b2,b3)=(k1+k2+2k3,k1+k3,2k1+k2+3k3)
k1+k2+2k3= b1 k1+ k3= b2
2k1+k2+3k3 = b3
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
32/34
Dalam matriks :
lalu kita cek apakah
v1,v2,v3merentangkan ruang vektor R3dengan cara
B31(-2)
B21(-1)
B3-B2
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
33/34
dari hasil di atas kita asumsikan 0
sehingga dari hasil di atas dapat kita lihat
bahwa spl tidak konsisten sehingga v1,v2,v3
tidak merentang R3.
8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum
34/34
Penyelesian :
B42(3)
B43(-1)
B12(2)
B31(-1)
B1(1/5)
0 1 1 0
1 2 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
B21(-2)
0 1 1 0
1 0 3 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Maka :
k2+k3=0 , k2= - k3
-k1-3k3=0 , -k1=3k3, k1= -3k3
Sehingga : -3k3v1k3v2+ k3v3= 0 (dikali -1/k3) 3v1+v2-v3= 0
Top Related