OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Teknik Pengintegralan
Kusbudiono
Jurusan Matematika
13 Nopember 2012
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Metode Substitusi
Integral Fungsi Trigonometri
Substitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan Parsial
Beberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal
Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapaintegral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuahdaftar integral-integral dasar yang telah diurutkan:KONSTANTA, PANGKAT, EKSPONENSIAL
1.∫
du = u + C2.
∫a du = au + C
3.∫
ur du = ur+1
r+1 + C, r 6= −1
4.∫ du
u = ln |u|+ C5.
∫eu = eu + C
6.∫
au du = au
ln a + C,a > 0
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal
FUNGSI-FUNGSI TRIGONOMETRI7.
∫sin u du = − cos u + C
8.∫
cos u du = sin u + C9.
∫sec2 u du = tan u + C
10.∫
csc2 u du = − cot u + C11.
∫sec u tan u du = sec u + C
12.∫
csc u cot u du = − csc u + C13.
∫tan u du = ln | sec u|+ C
14.∫
cot u du = ln | sin u|+ C
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal
FUNGSI-FUNGSI HIPERBOLIK15.
∫sinh u du = cosh u + C
16.∫
cosh u du = sinh u + C17.
∫sech u du = tanh u + C
18.∫
csch u du = − coth u + C19.
∫sech u tanh u du = − sech u + C
20.∫
csch u coth u du = − csch u + C
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal
FUNGSI-FUNGSI ALJABAR21.
∫ du√a2−u2
= sin−1(ua ) + C
22.∫ du
a2+u2 = 1a tan−1(u
a ) + C
23.∫ du
u√
u2−a2= 1
a sec−1( |u|a ) + C = 1a cos−1( a
|u|) + C
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal
FUNGSI-FUNGSI ALJABAR24.
∫ du√a2+u2
= ln(u +√
u2 + a2) + C
25.∫ du√
u2−a2= ln |u +
√u2 − a2|+ C
26.∫ du
a2−u2 = 12a ln |a+u
a−u |+ C
27.∫ du
u√
a2−u2= −1
a ln |a+√
a2−u2
u |+ C
28.∫ du
u√
a2+u2= −1
a ln |a+√
a2+u2
u |+ C
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Pengintegraan dengan Metode Substitusi
Teorema (Substitusi)Untuk menentukan
∫f (x)dx, kita dapat mensubstitusi
u = g(x), dengan g fungsi yang dapat diintegralkan. Apabilasubstitusi itu mengubah f (x)dx menjadi h(u)du dan apabila Hsebuah anti turunan h, maka∫
f (x)dx =
∫h(u)du = H(u) + C = H(g(x)) + C
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Beberapa Integral Trigonometri
Dengan kesamaan trigonometri dan menggunakan metodesubstitusi kita akan dapat mengintegralkan banyakbentuk-bentuk trgonometri. Beberapa jenis integral trigonometriyang sering muncul adalah:
1.∫
sinn x dx dan∫
cosn x dx2.
∫sinm x cosn x dx
3.∫
tann x dx dan∫
cotn x dx4.
∫tanm x secn x dx dan
∫cotm x cscn x dx
5.∫
sin mx cos nx dx , sin mx sin nx dx , dan∫cos mx cos nx dx
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Jenis 1:∫
sinn x dx dan∫
cosn x dx
Diperlukan identitas trigonometri:
sin2 x =12(1− cos 2x) dan cos2 x =
12(1 + cos 2x)
dansin2 x = 1− cos2 x dan cos2 x = 1− sin2 x
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Jenis 2:∫
sinm x cosn x dx
Identitas trigonometri dan prosedur yang digunakan tergantungpada m dan n adalah ganjil atau genap.∫
sinm x cosn x dx Prosedur Identitas Terkait- Pilihlah faktor dari cos x
n ganjil - Gunakan kesamaan terkait cos2 x = 1 − sin2 xSubstitusi u = sin x- Pilihlah faktor dari sin x
m ganjil - Gunakan kesamaan terkait sin2 x = 1 − cos2 x- Substitusi u = cos x
m dan n genap - Gunakan kesamaan terkait untuk sin2 x = 12 (1 − cos 2x)
mereduksi pangkat sin x dan cos x cos2 x = 12 (1 + cos 2x)
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Jenis 3:∫
tann x dx dan∫
cotn x dxUntuk menghitung integral berbentuk
∫tann x dx dan
∫secm x dx
dimulai dengan rumus integral dasar∫tan x dx = ln | sec x |+ C∫
sec x dx = ln | sec x + tan x |+ C
Sedangkan untuk perpangkatan yang lebih tinggi dapat direduksidengan rumus: ∫
tann x dx =tann−1
n − 1−∫
tann−2 x dx∫secm x dx =
secm−2 x tan xm − 1
+m − 2m − 1
∫secm−2 x dx
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Jenis 4:∫
tanm x secn x dx dan∫
cotm x cscn x dx
Identitas trigonometri dan prosedur yang digunakan tergantungpada m dan n adalah ganjil atau genap.Berikut adalah prosedur untuk integran berbentuktanm x secn x .∫
tanm x secn x dx Prosedur Identitas Terkait- Pilihlah faktor pembagi dari sec2 x
n genap - Gunakan kesamaan terkait sec2 x = 1 + tan2 xSubstitusi u = tan x- Pilihlah faktor dari sec x tan x
m ganjil - Gunakan kesamaan terkait tan2 x = sec2 x − 1- Substitusi u = sec x
m genap dan n ganjil - Gunakan kesamaan terkait untuk tan2 x = sec2 x − 1mereduksi pangkat dari sec x- Kemudian gunakan rumus reduksiuntuk pangkat sec x
Dengan pertolongan kesamaan 1 + cot2 x = csc2 x prosedurdiatas dapat disesuaikan untuk menghitung integral berbentuk∫
cotm x cscn x dx .Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Jenis 5:∫
sin mx cos nx dx , sin mx sin nx dx , dan∫cos mx cos nx dx
Untuk menghitung integral berbentuk∫
sin mx cos nx dx ,sin mx sin nx dx , dan
∫cos mx cos nx dx digunakan
rumus-rumus pergandaan jumlahan dari trigonometri dibawahini:
sin mx sin nx = −12[cos(m + n)x − cos(m − n)]
cos mx cos nx =12[cos(m + n)x + cos(m − n)x ]
sin mx cos nx =12[sin(m + n)x + sin(m − n)x ]
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Integran yang memuat n√
ax + b
Apabila didalam integran ada bentuk n√
ax + b, substitusiu = n√
ax + b dapat merasionalkan integran.
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Integran yang memuat√
a2 − x2,√
a2 + x2 dan√x2 − a2
Untuk merasioanalkan bentuk bentuk integran√a2 − x2,
√a2 + x2 dan
√x2 − a2 kita gunakan masing-masing
substitusi sebagai berikut:Ekspresi Substitusi Pembatasan θ Kesamaan trigonometridalam yang diperlukan untukintegran penyederhanaan√
a2 − x2 x = a sin θ −π2 ≤ θ ≤ π
2 a2 − a2 sin2 θ = a2 cos2 θ√a2 + x2 x = a tan θ −π
2 ≤ θ ≤ π2 a2 + a2 tan2 θ = a2 sec2 θ√
x2 − a2 x = a sec θ 0 ≤ θ ≤ π2 (x ≥ a) a2 sec2 θ − a2 = a2 tan2 θ
π ≤ θ ≤ 3π2 (x ≤ −a)
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Melengkapkan Menjadi Kuadrat Sempurna
Apabila sebuah bentuk kuadrat x2 + Bx + C muncul dibawahakar dalam integran, kita dapat melengkapkannya menjadikuadrat sempurna sebelum kita menggunakan substitusitrionometri.
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Pecahan Parsial
Setiap fungsi rasional P(x)Q(x) dengan derajat pembilang lebih kecil
dari pada derajat penyebut dapat dinyatakan sebagai jumlahan
P(x)Q(x)
= F1(x) + F2(x) + . . .+ Fn(x)
dimana F1(x),F2(x), . . . ,Fn(x) fungsi-fungsi rasional dalambentuk A1
(ax+b)k atau Ax+B(ax2+bx+c)k
Suku-suku F1(x),F2(x), . . . ,Fn(x) pada sisi kanan persamaandiatas disebut pecahan parsial sedangkan semua sisikanannya disebut dekomposisi pecahan parsial dari sisi kiri.
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Mendapatkan bentuk dekomposisi pecahan parsial
Langkah pertama untuk mendapatkan dekomposisi pecahanparsial suatu fungsi rasional P(x)
Q(x) yang mempunyai derajatpembilang lebih kecil dari pada derajat penyebut adalahdengan memfaktorkan Q(x), secara lengkap menjadi faktorlinier dan faktor kuadratik yang tak dapat difaktorkan lagi, danmengumpulkan faktor berulang sehingga Q(x) dinyatakansebagai perkalian faktor-faktor yang berbeda dari bentuk(ax + b)m dan (ax2 + bx + c)m.
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Faktor-faktor Linier
Jika semua faktor Q(x) linier, maka dekomposisi pecahanparsial P(x)
Q(x) dapat ditentukan dengan aturan sebagai berikut:
Teorema (Aturan Faktor Linier)Untuk setiap faktor dalam bentuk (ax + b)m, dekomposisipecahan rasional mengandung jumlahan dari m pecahanparsial:
A1
ax + b+
A2
(ax + b)2 + . . .+Am
(ax + b)m
dengan A1,A2, . . . ,Am konstanta yang ditentukan.
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Faktor-faktor Kuadratik
Jika beberapa faktor Q(x) adalah kuadratik yang tidak dapatdisederhanakan lagi, maka kontribusi faktor-faktor itu padadekomposisi pecahan parsial P(x)
Q(x) dapat ditentukan denganaturan sebagai berikut:
Teorema (Aturan Faktor Kuadratik)Untuk setiap faktor dalam bentuk (ax2 + bx + c)m, dekomposisipecahan rasional mengandung jumlahan dari m pecahan parsial:
A1x + B1
ax2 + bx + c+
A2x + B2
(ax2 + bx + c)2 + . . .+Amx + Bm
(ax2 + bx + c)m
dengan A1,A2, . . . ,Am,B1,B2, . . . ,Bm konstanta yang ditentukan.
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Integral yang mencakup pangkat rasional
Integral yang mengandung pangkat rasional x seringkali dapatdisederhanakan dengan substitusi
u = x1n
dengan n adalah kelipatan persekutuan terkecil dari penyebutdalam pangkat.Tujuan dari substitusi ini adalah untuk menggantipangkat-pangkat pecahan dengan pangkat bilangan bulat,yang lebih mudah untuk dikerjakan.
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Contoh: ∫ √x
1 + 3√
xdx
Jawab:Digunakan subsitusi u = x
16 karena 6 adalah KPK dari 2 dan 3.
Sehingga didapat x = u6 dan dx = 6u5 du. Untuk√
x ,√x = (x
16 )3 = u3, sedangkan untuk 3
√x , 3√
x = (x16 )2 = u2.
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Sehingga∫ √x
1 + 3√
xdx =
∫u3
1 + u2 6u5 du
=
∫6u8
1 + u2 du
=
∫6u6 − 6u4 + 6u2 − 6 +
61 + u2 du
=67
u7 − 65
u5 + 2u3 − 6u + ln |u +√
1 + u2|+ C
=67(x
16 )7 − 6
5(x
16 )5 + 2(x
16 )3 − 6(x
16 ) + . . .
ln |(x16 ) +
√1 + (x
16 )2|+ C
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Integral yang memuat fungsi-fungsi rasional dalamsin x dan cos x
Fungsi yang terdiri dari beberapa jumlahan, selisih, hasilkali,dan hasilbagi berhingga dari sin x dan cos xContoh:
sin x + 3 cos2 xcos x + 4 sin x
,sin x
1 + cos x − cos2 x,
3 sin5 x1 + 4 sin x
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Pengintegralan Parsial Integral Tak Tentu
dv = uv −∫
v du
Integral diatas dimungkinkan untuk memindahkanpengintegralan u dv pada pengintegralan v du yang tergantungpada pemilihan u dan dv yang tepat.
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
OutlineMetode Substitusi
Integral Fungsi TrigonometriSubstitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan ParsialBeberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Pengintegralan Parsial Integral Tentu
∫ b
au dv = [uv ]ba −
∫ b
av du
Kusbudiono Teknik Pengintegralan
Top Related