1
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204
MATEMATIK GUNAAN
1. Hanya terdapat 1 pembolehubah
2. Kuasa tertinggi
pembolehubah ialah 2
PERSAMAAN KUADRATIK
ax2 + bx + c = 0
2 syarat utama : 3 kaedah
penyelesaian :
1. Pemfaktoran
2. Rumus
3. Graf Kuadratik
CONTOH
2x2 + 3x - 4 = 0 a = 2 b = 3 c = -4
Pemfaktoran Rumus
Graf Kuadratik
a = tentukan bentuk graf b2 – 4ac = tentukan jenis punca
a> 0 a> 0 ; b2 – 4ac > 0 : 2 punca beza a> 0 ; b2 – 4ac = 0 : 2 punca sama a> 0 ; b2 – 4ac < 0 : Tiada punca
a<0
a< 0 ; b2 – 4ac > 0 : 2 punca beza a< 0 ; b2 – 4ac = 0 : 2 punca sama a< 0 ; b2 – 4ac < 0 : Tiada punca
Cari punca persamaan (x)
Tentukan a, b, c Guna rumus:
a
acbbx
2
42
2
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204
MATEMATIK GUNAAN
Persamaan Kuadratik Menyatakan Persamaan Kuadratik : Bentuk Am : Contoh :
Menjadi
Persamaan Kuadratik mesti memenuhi 2 syarat berikut :
(a) Terdapat satu pembolehubah (b) Kuasa tertinggi pembolehubah ialah 2
Penyelesaian Persamaan Kuadratik Terdapat 3 kaedah penyelesaian persamaan kuadratik : (a) Pemfaktoran
(b) Rumus
(c) Graf
a. Pemfaktoran
Contoh 1 : Cari punca – punca persamaan kuadratik (x-3) (x+4) = 0
Penyelesaian : Diberi (x-3) (x+4) = 0 x -3 = 0 atau x + 4 = 0 x = 3 x = -4 Maka, punca-punca (x-3) (x+4) = 0 ialah 3 dan -4
ax2 + bx + c = 0
2x2 + (-5x) + 6 = 0
2x2 -5x + 6 = 0
3
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204
MATEMATIK GUNAAN
Contoh 2 : Cari punca – punca persamaan kuadratik di bawah :
x2 – 3x – 10 = 0
Penyelesaian : Diberi x2 – 3x – 10 = 0 (Kaedah Pemerinyuan)
(x+2) (x -5) = 0 x +2 = 0 atau x -5 = 0 x = -2 x = 5 Maka, punca- punca x2 – 3x – 10 = 0 ialah -2 dan 5
Contoh 3 : Cari punca – punca persamaan kuadratik di bawah :
x2 – 9 = 0
Penyelesaian : Diberi x2 – 9 = 0 x2 – 32 = 0 ( Kaedah Selisih Dua Kuasa Dua)
(x+3) (x -3) = 0 x +3 = 0 atau x -3 = 0 x = -3 x = 3 Maka, punca-punca x2 – 9 = 0 ialah -3 dan 3
Contoh 4 : Cari punca – punca persamaan kuadratik di bawah :
x2 – 42 = 0 ( Kaedah Selisih Dua Kuasa Dua)
Penyelesaian : Diberi x2 – 42 = 0
(x+4) (x -4) = 0
4
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204
MATEMATIK GUNAAN
x +4 = 0 atau x -4 = 0 x = -4 x = 4 Maka, punca-punca x2 – 42 = 0 ialah -4 dan 4
Contoh 5 : Permudahkan setiap yang berikut kepada bentuk teringkas
5x-2(3-2x) ( Faktor Sepunya)
Penyelesaian : Diberi 5x-2(3-2x) = 5x – 6 +4x = 9x – 6 = 3(3x-2) Maka, bentuk teringkas 5x-2(3-2x) adalah 3(3x-2)
Contoh 6 : Permudahkan setiap yang berikut kepada bentuk teringkas
(m-5) – (5-m) ( Faktor Sepunya) Penyelesaian : Diberi (m-5) – (5-m) = m – 5 – 5 + m
= 2m-10 = 2(m-5) Maka, bentuk teringkas (m-5) – (5-m) adalah 2(m-5)
5
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204
MATEMATIK GUNAAN
b. Rumus
Selain daripada kaedah pemfaktoran, kita juga boleh menyelesaikan persamaan kuadratik dengan menggunakan Rumus Kuadratik.
Contoh 1 :
Selesaikan 4x2 – 8x + 1 = 0 secara kaedah rumus. Berikan jawapan kepada 2 titik perpuluhan. Penyelesaian :
a = 4 ; b = -8 ; c = 1
x = )4(2
)1)(4(4)8()8( 2
= 8
16648
=8
488
= 8
928.68
Maka,
x = 8
928.68 x =
8
928.68
= 1.866 = 0.134 = 1.87 = 0.13
6
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204
MATEMATIK GUNAAN
Contoh 2 :
Selesaikan x + 1 = 3
6
x
( x-3) ( x+1) = 6 x2 – 2x -3 = 6 x2 – 2x -9 = 0
Jika dibandingkan dengan ax2 - bx + c = 0
a= 1 ; b = -2 ; c = -9
x = )1(2
)9)(1(4)2()2( 2
= 2
402
=2
324.62
Maka,
x = 2
324.62 x =
2
324.62
= 4.162 = -2.162
7
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204
MATEMATIK GUNAAN
c. Graf
Bentuk Graf terbahagi kepada 3 bentuk iaitu:
Fungsi Malar Fungsi Linear Fungsi Kuadratik
Contoh Graf Fungsi Malar :
Contoh Graf Fungsi Linear :
8
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204
MATEMATIK GUNAAN
Contoh Fungsi Kuadratik :
Contoh Fungsi Kubik :
9
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204
MATEMATIK GUNAAN
Contoh Fungsi Salingan :
10
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204
MATEMATIK GUNAAN
Penyelesaian Graf Kuadratik
Bentuk am fungsi kuadratik ialah f(x) = ax2 + bx + c atau y = ax2 + bx + c
Graf berbentuk parabola
Bentuk dan kedudukan graf bergantung kepada nilai a dan b2 – 4ac
a > 0 a < 0
a> 0 dan b2 – 4ac > 0 2 punca berbeza
a< 0 dan b2 – 4ac > 0
2 punca berbeza
a> 0 dan b2 – 4ac = 0
2 punca sama
a < 0 dan b2 – 4ac = 0
2 punca sama
a> 0 dan b2 – 4ac < 0
Tiada punca
a < 0 dan b2 – 4ac < 0
Tiada punca
11
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204
MATEMATIK GUNAAN
Contoh 1 :
Diberi f(x) = 2x2 + 8x + 8
a) Tentukan jenis punca dan kedudukan graf fungsi kuadratik
b) Dapatkan punca-punca persamaan tersebut @ Dapatkan titik persilangan
pada paksi x.
c) Lakarkan graf bagi f(x) = 2x2 + 8x + 8
Penyelesaian :
a)
b2 – 4ac = (8)2 – ( 4(2)(8))
= 64 -64
= 0
Maka, jenis punca ialah 2 punca yang sama
a = 2
Maka a > 0
Kedudukan graf ialah :
b) Dapatkan punca-punca persamaan tersebut @ Dapatkan titik persilangan
pada paksi x
f(x) = 2x2 + 8x + 8
Jika f(x) = 0
2x2 + 8x + 8 = 0
(2x + 4) ( x+2) = 0
12
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204
MATEMATIK GUNAAN
Maka,
2x + 4 = 0 x+2 = 0
x = 2
4 x = -2
x = -2
c) Lakarkan graf bagi f(x) = 2x2 + 8x + 8
Bila f(x) = 0, maka x = -2 Bila x = 0, maka f(0) = 2(0) 2 + 8 (0) + 8
= 8
Maka titik persilangan pada paksi x ialah -2 dan titik persilangan pada paksi f(x) ialah 8.
Graf :
x
8
-2
f (x)
13
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204
MATEMATIK GUNAAN
Contoh 2 :
Lakarkan graf f(x) = x2 - x – 6 untuk domain -2 5x dan nyatakan julat f(x)
yang sepadan.
(a) Tentukan jenis punca dan kedudukan graf fungsi kuadratik
Penyelesaian :
Didapati persamaan am ialah f(x) = x2 - x – 6
b2 – 4ac = (-1)2 – ( 4(1)(-6))
=1 + 24
= 25
Maka, jenis punca ialah 2 punca yang beza
a = 1
Maka a > 0
Kedudukan graf ialah :
(b) Dapatkan punca-punca persamaan tersebut @ Dapatkan titik persilangan
pada paksi x
Diberi f(x) = 6 + x – x2
Maka, f(x) = x2 - x – 6
Jika f(x) = 0
x2 - x – 6= 0
(x-3) ( x+2) = 0
x - 3 = 0 x+2 = 0
x = 3 x = -2
14
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204
MATEMATIK GUNAAN
(c) Lakarkan graf bagi f(x) = x2 - x – 6
Bila f(x) = 0, maka x =3 dan x = -2 Bila x = 0, maka f(0) = (0) 2 - (0) - 6 = - 6 Maka titik persilangan pada paksi x ialah -2 dan 3 dan titik persilangan pada paksi f(x) ialah 6. Graf : f(x)
x -
-6
3 -2
6
15
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204
MATEMATIK GUNAAN
Latihan : 1. Nyatakan samada persamaan berikut persamaan kuadratik atau tidak
(a) x2 -9x + 8 = 0 (b) 2x3 - 3 = 0
2. Tulis semula setiap persamaan kuadratik dalam bentuk am dan nyatakan
nilai a, b dan c
(a) x ( x + 1) = 4x -5 (b) y2 = 3y – 4
3. Cari punca-punca setiap persamaan kuadratik
(a) x (x- 4) = 0 (b) (2x + 1) (3x – 2) = 0
4. Selesaikan persamaan kuadratik berikut secara rumus. Berikan jawapan
sehingga 2 t.p.
(a) 2x2 + 7x + 4 = 0 (b) 2x2 = 10x -11
Top Related