1

TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204

MATEMATIK GUNAAN

1. Hanya terdapat 1 pembolehubah

2. Kuasa tertinggi

pembolehubah ialah 2

PERSAMAAN KUADRATIK

ax2 + bx + c = 0

2 syarat utama : 3 kaedah

penyelesaian :

1. Pemfaktoran

2. Rumus

3. Graf Kuadratik

CONTOH

2x2 + 3x - 4 = 0 a = 2 b = 3 c = -4

Pemfaktoran Rumus

Graf Kuadratik

a = tentukan bentuk graf b2 – 4ac = tentukan jenis punca

a> 0 a> 0 ; b2 – 4ac > 0 : 2 punca beza a> 0 ; b2 – 4ac = 0 : 2 punca sama a> 0 ; b2 – 4ac < 0 : Tiada punca

a<0

a< 0 ; b2 – 4ac > 0 : 2 punca beza a< 0 ; b2 – 4ac = 0 : 2 punca sama a< 0 ; b2 – 4ac < 0 : Tiada punca

Cari punca persamaan (x)

Tentukan a, b, c Guna rumus:

a

acbbx

2

42

2

TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204

MATEMATIK GUNAAN

Persamaan Kuadratik Menyatakan Persamaan Kuadratik : Bentuk Am : Contoh :

Menjadi

Persamaan Kuadratik mesti memenuhi 2 syarat berikut :

(a) Terdapat satu pembolehubah (b) Kuasa tertinggi pembolehubah ialah 2

Penyelesaian Persamaan Kuadratik Terdapat 3 kaedah penyelesaian persamaan kuadratik : (a) Pemfaktoran

(b) Rumus

(c) Graf

a. Pemfaktoran

Contoh 1 : Cari punca – punca persamaan kuadratik (x-3) (x+4) = 0

Penyelesaian : Diberi (x-3) (x+4) = 0 x -3 = 0 atau x + 4 = 0 x = 3 x = -4 Maka, punca-punca (x-3) (x+4) = 0 ialah 3 dan -4

ax2 + bx + c = 0

2x2 + (-5x) + 6 = 0

2x2 -5x + 6 = 0

3

TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204

MATEMATIK GUNAAN

Contoh 2 : Cari punca – punca persamaan kuadratik di bawah :

x2 – 3x – 10 = 0

Penyelesaian : Diberi x2 – 3x – 10 = 0 (Kaedah Pemerinyuan)

(x+2) (x -5) = 0 x +2 = 0 atau x -5 = 0 x = -2 x = 5 Maka, punca- punca x2 – 3x – 10 = 0 ialah -2 dan 5

Contoh 3 : Cari punca – punca persamaan kuadratik di bawah :

x2 – 9 = 0

Penyelesaian : Diberi x2 – 9 = 0 x2 – 32 = 0 ( Kaedah Selisih Dua Kuasa Dua)

(x+3) (x -3) = 0 x +3 = 0 atau x -3 = 0 x = -3 x = 3 Maka, punca-punca x2 – 9 = 0 ialah -3 dan 3

Contoh 4 : Cari punca – punca persamaan kuadratik di bawah :

x2 – 42 = 0 ( Kaedah Selisih Dua Kuasa Dua)

Penyelesaian : Diberi x2 – 42 = 0

(x+4) (x -4) = 0

4

TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204

MATEMATIK GUNAAN

x +4 = 0 atau x -4 = 0 x = -4 x = 4 Maka, punca-punca x2 – 42 = 0 ialah -4 dan 4

Contoh 5 : Permudahkan setiap yang berikut kepada bentuk teringkas

5x-2(3-2x) ( Faktor Sepunya)

Penyelesaian : Diberi 5x-2(3-2x) = 5x – 6 +4x = 9x – 6 = 3(3x-2) Maka, bentuk teringkas 5x-2(3-2x) adalah 3(3x-2)

Contoh 6 : Permudahkan setiap yang berikut kepada bentuk teringkas

(m-5) – (5-m) ( Faktor Sepunya) Penyelesaian : Diberi (m-5) – (5-m) = m – 5 – 5 + m

= 2m-10 = 2(m-5) Maka, bentuk teringkas (m-5) – (5-m) adalah 2(m-5)

5

TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204

MATEMATIK GUNAAN

b. Rumus

Selain daripada kaedah pemfaktoran, kita juga boleh menyelesaikan persamaan kuadratik dengan menggunakan Rumus Kuadratik.

Contoh 1 :

Selesaikan 4x2 – 8x + 1 = 0 secara kaedah rumus. Berikan jawapan kepada 2 titik perpuluhan. Penyelesaian :

a = 4 ; b = -8 ; c = 1

x = )4(2

)1)(4(4)8()8( 2

= 8

16648

=8

488

= 8

928.68

Maka,

x = 8

928.68 x =

8

928.68

= 1.866 = 0.134 = 1.87 = 0.13

6

TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204

MATEMATIK GUNAAN

Contoh 2 :

Selesaikan x + 1 = 3

6

x

( x-3) ( x+1) = 6 x2 – 2x -3 = 6 x2 – 2x -9 = 0

Jika dibandingkan dengan ax2 - bx + c = 0

a= 1 ; b = -2 ; c = -9

x = )1(2

)9)(1(4)2()2( 2

= 2

402

=2

324.62

Maka,

x = 2

324.62 x =

2

324.62

= 4.162 = -2.162

7

TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204

MATEMATIK GUNAAN

c. Graf

Bentuk Graf terbahagi kepada 3 bentuk iaitu:

Fungsi Malar Fungsi Linear Fungsi Kuadratik

Contoh Graf Fungsi Malar :

Contoh Graf Fungsi Linear :

8

TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204

MATEMATIK GUNAAN

Contoh Fungsi Kuadratik :

Contoh Fungsi Kubik :

9

TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204

MATEMATIK GUNAAN

Contoh Fungsi Salingan :

10

TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204

MATEMATIK GUNAAN

Penyelesaian Graf Kuadratik

Bentuk am fungsi kuadratik ialah f(x) = ax2 + bx + c atau y = ax2 + bx + c

Graf berbentuk parabola

Bentuk dan kedudukan graf bergantung kepada nilai a dan b2 – 4ac

a > 0 a < 0

a> 0 dan b2 – 4ac > 0 2 punca berbeza

a< 0 dan b2 – 4ac > 0

2 punca berbeza

a> 0 dan b2 – 4ac = 0

2 punca sama

a < 0 dan b2 – 4ac = 0

2 punca sama

a> 0 dan b2 – 4ac < 0

Tiada punca

a < 0 dan b2 – 4ac < 0

Tiada punca

11

TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204

MATEMATIK GUNAAN

Contoh 1 :

Diberi f(x) = 2x2 + 8x + 8

a) Tentukan jenis punca dan kedudukan graf fungsi kuadratik

b) Dapatkan punca-punca persamaan tersebut @ Dapatkan titik persilangan

pada paksi x.

c) Lakarkan graf bagi f(x) = 2x2 + 8x + 8

Penyelesaian :

a)

b2 – 4ac = (8)2 – ( 4(2)(8))

= 64 -64

= 0

Maka, jenis punca ialah 2 punca yang sama

a = 2

Maka a > 0

Kedudukan graf ialah :

b) Dapatkan punca-punca persamaan tersebut @ Dapatkan titik persilangan

pada paksi x

f(x) = 2x2 + 8x + 8

Jika f(x) = 0

2x2 + 8x + 8 = 0

(2x + 4) ( x+2) = 0

12

TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204

MATEMATIK GUNAAN

Maka,

2x + 4 = 0 x+2 = 0

x = 2

4 x = -2

x = -2

c) Lakarkan graf bagi f(x) = 2x2 + 8x + 8

Bila f(x) = 0, maka x = -2 Bila x = 0, maka f(0) = 2(0) 2 + 8 (0) + 8

= 8

Maka titik persilangan pada paksi x ialah -2 dan titik persilangan pada paksi f(x) ialah 8.

Graf :

x

8

-2

f (x)

13

TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204

MATEMATIK GUNAAN

Contoh 2 :

Lakarkan graf f(x) = x2 - x – 6 untuk domain -2 5x dan nyatakan julat f(x)

yang sepadan.

(a) Tentukan jenis punca dan kedudukan graf fungsi kuadratik

Penyelesaian :

Didapati persamaan am ialah f(x) = x2 - x – 6

b2 – 4ac = (-1)2 – ( 4(1)(-6))

=1 + 24

= 25

Maka, jenis punca ialah 2 punca yang beza

a = 1

Maka a > 0

Kedudukan graf ialah :

(b) Dapatkan punca-punca persamaan tersebut @ Dapatkan titik persilangan

pada paksi x

Diberi f(x) = 6 + x – x2

Maka, f(x) = x2 - x – 6

Jika f(x) = 0

x2 - x – 6= 0

(x-3) ( x+2) = 0

x - 3 = 0 x+2 = 0

x = 3 x = -2

14

TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204

MATEMATIK GUNAAN

(c) Lakarkan graf bagi f(x) = x2 - x – 6

Bila f(x) = 0, maka x =3 dan x = -2 Bila x = 0, maka f(0) = (0) 2 - (0) - 6 = - 6 Maka titik persilangan pada paksi x ialah -2 dan 3 dan titik persilangan pada paksi f(x) ialah 6. Graf : f(x)

x -

-6

3 -2

6

15

TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK SPA 3204

MATEMATIK GUNAAN

Latihan : 1. Nyatakan samada persamaan berikut persamaan kuadratik atau tidak

(a) x2 -9x + 8 = 0 (b) 2x3 - 3 = 0

2. Tulis semula setiap persamaan kuadratik dalam bentuk am dan nyatakan

nilai a, b dan c

(a) x ( x + 1) = 4x -5 (b) y2 = 3y – 4

3. Cari punca-punca setiap persamaan kuadratik

(a) x (x- 4) = 0 (b) (2x + 1) (3x – 2) = 0

4. Selesaikan persamaan kuadratik berikut secara rumus. Berikan jawapan

sehingga 2 t.p.

(a) 2x2 + 7x + 4 = 0 (b) 2x2 = 10x -11